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Dimensionsbetrachtungen zur Kontinuumphysik.

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336
dnnalen der Physik. 5. Folge. BUnd 32. 1938
Bimensio9asbetrachtungem xur Eontinuumphgsib
Von R e h h o l d P u r t h
(Aus dem physikalischen Institut der deutschen Universitat in Prag)
1. I n der Kontinuumphysik wird bekanntlich nngenommen, daB
es ,,homogene Korper" gibt, d. h. so!che, die keine Struktur aufweisen. Das physikalische Verhalten eines solchen Korpers wird
beherrscht durch Differentialgleichungen zwischen den beobachtbaren
physikalischen GroBen, den Koordinaten und der Zeit, in deuen
noch gewisse .,Materialkonstanten" enthalten sind, die fur jeden aus
dem gleichen Material hergestellten Korper unabhangig von seiner
Gestalt und GroBe den gleichen Wert haben sollen. Umgekehrt
kann man jedoch daraus, daB ein Korper bei makroskopischer Betrachtung Differentialgleichungen der angegebenen Art geniigt, noch
nicht schlieRen, daB er im Sinrie der Kontinuumtheorie homogen
sei. I n der Tat steht ja fest, daB alle Korper aus Molekiilen und
Atomen bestehen, also struktuiert sind. Dennoch 1aiBt sich ihr
makroskopisches Verhalten sehr gut durch Differentialgleichungen
und Mnterialkoustanten beherrschen; die letzteren sind dann natiirlich
nicht ,,primarer Natur", denn sie lassen sich aus anderen Konstanten, namlich den Atom- und Molekulkonstnnten auf Grund
gewisser Forrneln berechnen.
Es gibt also sicher physikalische Gesetze, die in ihrer mathematischen Darstellung durchaus den Charakter von Gesetzen der
Kontinuumphysik tragen. Es erhebt sich nun die Frage, ob ein
solches Gleicliungssystem wirklich als Ausdruck einer Kontinuumtheorie aufgefaBt werden kann, d. h. ob die darin enthaltenen Materialkonstanten einen homogenen Korper kennzeichnen oder ob man zum
Verstandnis der vorliegenden Erscheinung unbedingt eine verborgene
raumliche oder zeitliche Struktur annehmen mu& Es zeigt sich,
daB sich diese Frage in jedem einzelnen Palle leicht durch die
Prufung der physikalischen Dimension der ,,Materialkonstanten"
beantworten la&. Da die betreffenden Uberlegungen meines Wissens
noch keine Darstellung gefunden haben, aber des Interesses nicht
entbehren diirften, mogen sie im folgenden mitgeteilt werden.
Angeregt wurden diese f j berlegungen durch die Beschaftigung
mit einer vou Z o c h e r l) aufgestellten Theorie iiber das elastische
1 ) 14. Z o c l i e r , Phys. Ztpchr. '38. S. 790. 1927.
R. Furih. Dimensionsbe2rachtungen zur Kontinuumphysik 337
Verhalten flussiger Kristalle, die dieser Forscher als ,,Kontinuunitheorie" bezeichnet. Die nahere Betrachtung der fur diese Theorie
giiltigen Differentialgleichung beziiglich der Dimension der darin
enthaltenen Konstanten fiihrte namlich K S i t t e und mich zu dem
Schlusse'), daB diese Konstante unmoglich im Rahmen einer Kontinuumtheorie sinnvoll gedeutet werden konne. Obzwar wir in der
zitierten Srbeit diesen Punkt hinlanglich klar dargelegt zu haben
meinten, hat doch Z o c h e r in einer Entgegnung2) die Stichhaltigkeit
unserer Darlegungen angefochten. Dies hat mich dazu veranlabt,
diese oberlegungen zu erweitern und nuf das Gesamtgebiet der
Physik auszudehnen, wobei sich, wie im folgenden gezeigt werden
wird, ihre Allgemeingiiltigkeit herausgestellt hat.
2. Wir beginnen mit der Betrachtung der Gesetze, welche diejenigen reversiblen, mechanischen Erscheinungen beherrschen, die
sich im Innern eines homogenen Korpers abspielen. Die darin enthaltenen Konstanten bestimmen die Elastizitats- und Pestigkeitseigenschaften der betreffenden Materialien. D a diese Konstanten
von der GroBe der Deformation unabhangig sein sollen, iniissen sie
dem undeformierten Korper eigen sein und daher wegen der angenommenen Homogenitat desselben von der Dimension einer
,,Dichte'. sein, d.h. gleich einer in einem Volumenteil des Korpers
enthaltenen ,,Menge" gebrochen durch dieses Volumen. Da die
Gleichungen ferner stets auf ein Koordinatensystem bezogen werden
konnen, in dem der undeformierte Korper ruht, kommen als solche
,,Mengen(' nur die Nasse 112 und die Energie E in Frage. Die einzigen Dimensionen, die also fur die hier betrachteten Materialkonstanten zulassig sind, sind die ,,Massendichte" Q und die ,,Energiedichte" e.
I n der Tat kann man sich sofort uberzeugen, daR die Grogen:
Elastizitatsmodul, Torsionsmodul, Zerreififestigkeit, Bruchfestigkeit,
Zerdrehungsfestigkeit die Dimension E , die Kompressibili tat die Dimension 6-1 und die Harte die Dimension E*/= haben; das sind
neben der gewohnlichen Massendichte Q alle Konstanten, die zur
oben gekennzeichneten Kategorie gehoren.
Gehen wir nun zu den Erscheinungen uber, die sich a n der
Oberflache eines homogenen Korpers abspielen, so lehrt eine der
oben angestellten analoge Betrachtung, daB die betreffenden Materialkonstanten die Dimension einer ,,FlachendichteiL und zwar entweder
einer ,,Massenflachendichte" cp oder einer ,,Energieflachendichte" 71
1) R. F i i r t h und K. S i t t e , Ann. d. Phys. [j]30. S. 388. 1937.
2 ) H. Z o c h e r , Ann. d. Phys. [5] 31. S. 570. 1938.
386
-4nnnlen der Plrysik. 5 . Folgc. Band 32. 1938
hnben miissen. Zu den letzteren gehort z. B. die Oberflachenspannnng.
Ebenso miissen f u r Erscheinungeu, die sich an Kanten honiogener
Korper abspielen, Konstanten von der Dimension einer ,,linearen
Dichte" gelten.
Wir bemerken noch, dab die GroBen
dF
und
dxv
die Di-
nieiision einer Geschwindigkeit 7' hahen. I n der Tat gibt es Materialkonstanten von dieser Dimension, niimlich die Geschwindigkeit
der Wellenausbreitung im Inneru und an der OberHache homogener
Korper.
F u r Erscheinungen, die den Charakter der Irreversibilitiit tragen,
inussen Gesetze gelten, in denen nIaterialkonstaiiten auftreten, die
in ihren Dimensionsformeln auch noch die Zeit t enthalten, denn
kennzeichnend fur jeclen nicht unikehrbaren Vorgang ist eine gewisse
,,Relaxationszeit.' t. Nun sieht man sogleich, dnB sich aus den Dimensionen p , e und t durch Kombination die Dimensionen Lange,
Zeit und Masse. gewiniien lassen, aus denen sich bekanntlich die Dimensionen aller mechanischen GroBen ergeben. Das oben entwickelte
Kriterium lafit sich also in diesem Falle nicht in vollem Umfang
anwenden. Das einziqe, was sich hier sagen lafit, ist vielmehr, daB
die Materialkonstanten der Kontinuumtheorie, die sich auf solche
nicht umkehrbare Vorgiinge bezieben, jedenfalls nicht alleiiz aus Q
und E zusammengesetzt sein konnen, sondern notwendig auch noch
t enthalten mussen.
Insbesondere darf also auch in den entsprechenden Kontinuumgesetzen keine dimensionslose Materialkonstante auftreten.
Die wichtigsteu, nicht umkehrbaren mechanischen Vorgainge sind
die Reibung und die Diffusion, die wir nun einer kurzen Sichtung
nnterziehen. Die innere Reibung ist gekennzeichnet durch die Ziihigkeit, eine Konstante, die die Dimension 8 . t hat, also den oben ausgesprochenen Forderungen entspricht. Der sogeuannte ,,Reibungskoeffizient': fester Korper aneinander jedoch, der in dem C o u l o m b schen Reibungsgesetz auftritt, ist eine dimensionslose Zahl. GemaB
dem oben Gesagten kann also dieses Gesetz nicht erklart werden,
wenn man die aneinander voriibergleitenden Korper als homogen
ansieht; man mu6 ihnen vielniehr eine Struktur und zwar eine
Oberflachenstruktur zuschreiben. I n cler Tat kann kein Zweifel
dariiber bestehen, daB die gleitende Reibung im wesentlichen dnrch
die Rauhigkeit der gleitenden E'lachen bedingt ist.
Die Diffusion wird bekanntlich durch den Diffusionskoeffizienten
gekennzeichnet, der von der Dimension 12 t- 1 = 7 .t- 1 =
g'i*. 5-1
ist. Unser Kriterium spricht also nicht gegen die Kontinuumauf~ ' 1 2 .
R. Fiirth. Dimensionsbetracktunge?~xur Iiontin.uuntphysik 359
fassung eines Diffusionsvorganges, der der Ficltschen Diffusionsgleichung genugt.
3. I n 2. wurde stillschweigend angenornnien, dnB der betrachtet.e
Korper isotrop sei. Man sieht jedoch leicht, daB die dort angestellten
Betrnchtungen auch f u r den anisotropen Korper Geltuug haben.
Denn ein solcher ist ja von eineni isotropen KorIier nur durch das
Bestehen gexisser ausgezeichneter Richtungen verschieden, cleren
gegenseitige Myinkel diniensionslose Zahlen sind. An die Stelle der
skalaren Materialkonstanten von 2. treten dann entsprechende Tensoren, deren skalare Komponenten die Dimensionen ? oder 8 haben
miissen. I n der Tat kann man sich uberzeugen, claW die i l l der
Elastizitatstheorie der Kristalle auftretenden Materialkonstanten
dieser Forderung geniigen.
Die fiiissigen Kristalle oder kristallinen Fliissigkeiten teilt inan
bekauntlich in die ,,nematischen" und die ,,smektischen" ein. Wahrencl
f ur die letzteren das Bestehen einer Schichtenstruktur von niemaudern
bezweifelt worden ist, wird von manchen Forschern den ersteren
eine Struktur abgesprochen und sie werden als homogene, anisotrope
Korper aufgefaBt. Wenn diese Suffassung richtig ist, dann mu6
sich das elastische Verhalten dieser Korper durch Materialkonstanten
von der Dimension
und E kennzeichnen lassen.
Nach Z o c h e r gilt nun fiir das Drehmoment D zwischen den
EndHachen einer u m den Winkel y tordierten zylindrischen Schicht
von der Dicke x und dem Querschnitt q aus einer neniatischen
Substanz , deren Achsenrichtung ursprunglich in allen Volumenelenienten der ganzen Schicht untereinander parallel und parallel
zu den Endfiachen n-ar, die Formel: D = K t q % , worin Kt eine
Materialkonstante sein soll. Analoge Gleichungen gelten f u r die
elastischen Verbiegungen einer solchen Schicht. Man sieht, daB die
Konstante I<, die Dimension einer Kraft oder einer Energie/Lange
hat, also unserer Forderung nicht geniigt. Das gleiche gilt f u r die
zwei weiteren Konstanten, die Z o c h e r mit K,. und K , bezeichnet.
Entwecler ist also der Zochersche Ansatz unrichtig oder die auf
ihn aufgebaute Theorie ist eine ,,Pseudokontinuumtheorie", die sich
nur durch die Annahme einer rtiumlichen Struktur der Suhstanz
sinnvoll deuten laBt.
I n der eingangs zitierten Arbeit haben sich S i t t e und ich fur
die zweite dieser Moglichkeiten entschieden unter Berufung auf die
Tatsache, daB dieselbe Differentialgleichung, die Z o c h e r aus seinem
Ansat.z ableitet auch, wie v a n W y k * )gezeigt hat, ails der Schwarm1) A. v a n W y k , Ann. d. Phys. [5] 3. S. 879, 1929.
340
Annnlen der Physik. 5. E'olyc. Band 32. 1938
theorie der fliissigen Kristalle hergeleitet werden kann, die auf der
Snnahme beruht, daB diese Substanzen eine raumliche Struktur aufweisen, indem sie sich aus ,,Schwarmen" von einem bestimmten
mittleren Volumen v aufbauen. I n der v a n Wykschen Theorie erscheint die Zochersche Konstante I<, als Quotient zweier anderer
Konstanten, von deneii eine mit dem erwahnten v identisch ist.
Sowie aber eine Lineardimension, der Schwarnidurchmesser v'$ zur
Verfiigung steht, kann die Z o c h e r sche Konstante sehr wohl aus
diesem und einer Elastizitatskonstanten von cler Dimension E aufgebaut werden.
Man kann noch auf Gruncl einer andereri Uberlegung einsehen,
claB die Z o c h ersche Theorie eiiie ,,Pseuclokontinnumtheorie'. ist
und daher unser Diinensionskriterium auch im Falle der fliissigen
Kristalle zu Recht besteht. Nach Z o c h e r sollen namlich diese
Substanzen keine Schubfestigkeit besitzen. Die oben betrachtete
Torsion kann also nicht dadurch zustande kommen, daB jede infinitesimale Schicht der Dicke dx als Ganzes eine Drehung um eine
Achse erfahrt. (Dies ware tibrigens, wie Z o c h e r selbst bemerkt,
mit dem Snsatz, wonach D mit q proportional sein soll, nicht vertraglich.) Es soll vielmehr jedes Volumenelement der Schicht eine
Drehung um den gleichen Winkel um eine durch das Element
gehende dchse erfahren. Nine solche Bewegung eines Kontinuums
ist aber kinematisch unvorstellbar, wenn die erwahnten ,,Volumenelementel( nicht eine bestimmte, endliche GroBe haben. Damit ist
aber schon eine Struktur zugegeben ; die ,,Volumenelemente" sind
nichts anderes als die oben betrachteten Schwarnie.
4. Wir gehen nun einen Schritt weiter, indem wir als beobachtbare physikalische GroBe noch die Temperatur T hinzunehmen.
Messen wir die Temperatur in der iiblichen Weise mit einem materiellen, rnakroskopischen Thermometer, so mtissen wir der Tatsache
Rechnung tragen, da6 zur Festlegung der Temperaturskalen gewisse
fiir bestimmte Materialien bestehende ,,charakteristische Temperaturen"
79 beniitzt werden. (Fur die Kelvinskala geniigt bekanntlich eine
solche Temperatur, namlich der normale Schmelzpunkt des Eises.)
Dies bedingt, daB in den Gleichungen der Kontinuumphysik, die
das thermisch mechanische Verhalten eines homogenen Korpers
beherrschen, Materialkonstanten auftreten, die in ihrer Dimensionsformel auBer den unter 2. und 3. betrachteten GroBen auch noch t9.
enthalten konnen.
DaB wirklich keine anderen Diniensionen auftreten, davon kann
man sich leicht iiberzeugen. Wir beginnen mit den Materialkonstanten, die sich auf reversible Vorgange beziehen. Wir finden hier
-
R. Fiirth. Dimensi,onsbetrachtungen zur Iiontinuumphysik 341
zunachst Materialkonstanten von der Dimension 9, wie die verschiedenen 'ijbergangstemperaturen, die kritische Temperatur usw.
Die spezifischen Warmen und die N e r n s tsche chemische Konstante
haben die Dimension E - 9 - 9- l. Die fjbergangswarmen, Warnietonungen, Losungswarme, Verdiinnungswarme usw. haben die Dimension E .p- 1, die Gleichgewichtsdrucke die Dimension E. Die Ausdehnungskoeftizienten haben die Dimension 9- l, die Gaskonstante
die Dimension E . Q - 9- 1. Schreibt man schliel3lich die Zustandsgleichung eines homogenen KGrpers in der Form
-
-
ik
worin p den Druck oder eine Komponente des elastischen Spannungstensors bedeutet, dann setzen sich die Dimensionen der Materialkonstanten a i k offensichtlich aus denen von p , c, und T , also aus
E , 0, 9. zusammen.
Bekanntlich erweisen sich ja die meisten ,,Materialkonstanten"
,$ i n M'irklichkeit als Funktionen des Druckes (oder der elastischen
Spannungen) und der Temperatur. Schreibt man diese Funktionen
wieder in der Form einer Entwicklung
ik
so erkennt man, daB die Dimensionen der wahren Materialkonstanten
bi, sich wieder nur aus denen von 8, p und T und daher letzten
Endes wieder nur aus E , Q und 9 aufbauen, womit unsere Behauptung auch fur diese sehr allgemeine Type von Materialkonstanten
allgemein bewiesen ist.
Von irreversiblen Vorgaingen kommen hier die Erscheinungen
der Reibung und der Warmeleitung in Betracht. Was die ersteren
betrifft, so werden die durch sie bewirkten thermischen Veranderungen vollkommen durch die mechanischen beherrscht, die wir
bereits unter 2. besprochen haben; hierzu ist also nichts hinzuzufugen. Die Warmeleitung im Innern homogener Korper wird
gemal3 der Fourierschen Theorie durch die ,,Warmeleitfahigkeit"
beschrieben, deren Dimension gleich
E
.B-l. ist.
t
22
Der zweite
Faktor hierin hat die Dimension des Diffusionskoeffizienten. Nach
dem fur irreversible Vorgange entwickelten Kriterium kann demnach
nur soviel geschlossen werden, daB die F o u r i ersche Theorie der
Warmeleitung nicht gegen die Kontinuumauffassung dieses Vorganges spricht. Die Erscheinung des Warmeuberganges durch die
Grenzflache zweier einander beriihrender, homogener Korper ist
342
Arwcnben der Physik. 5. E'oly. Bmd 32. 1938
durch die sogenannte ,,f8rmeiibergangszahl" gekennzeichnet, dereii
Dimension gleich 71 . x-1. $P1
ist. Hier brauchen wir also ziim
1-erstandnis des Vorganges nicht mie bei der au6eren Keibung eine
Struktur cler Oberflsche anzunehnieu.
Wir bemerken schlieWlich noeh, daB man auf Grund der Tatsache, daD es eine universekle Gaskonstante gibt, die GroBen 9. aus
den Dimensionsforiiieln der Materiallronstanten eliminieren und durch
R, Q, E und diniensionslose Zahlenkonstanten ausdrucken kann.
5 , Wir gehen nun zur Besprechung der Materialkonstanten
iiber, die das magnetische und elektrische Verhalten der honiogenen
Korper in der Kontinnumphjdr kennzeiclinen. Wir diirfen hier
iiatiirlicli nicbt wie es im CGS-System geschieht, die Dimensionen
der elektrischen und niagnetischen GriiBen auf die mechaiiischen
zuruckfrihren, indem ivir willkiirlich die Iionstanten iin C o u l o m b schen Gesetz dimensionslos ansetzen. Wir miissen vielmehr fur die
niagnetischen und aucli fur die elektrischen GroBen je eine neue
Dimension einfiihren. Aus Grunden, dereu ZweckmaiKigkeit sich
sogleich erweisen wird, wahlen wir hierfiir die maguetische Polarisation p und die ele1;trische Polarisation J. d u s p, 9 und den Dimeusionen der niechanischen GroBen lassen sich offenlsar die aller
andwen elektromagnetischen GroDen auf bauen.
Auf Grund der uiiter 2. angestellten Uberlegung werdeii wir
auch fiir die elektrischen und die magnetischen Materialkonstanten,
die sich auf reversible Vorgiinge beziehen, die Dimension einer Terallgemeinerten Dichte corzuschreiben haben. W i r stellen zunachst
fest, daB es permanent magnetisclie Korper gibt. X-enu sie hoiiiogen
auch in bezug nuf die magnetischen Eigenschaften sein sollen, so
miissen sie homogen niagnetisiert sein, d. h. im ganzen Innern miissen
alle Komponeuten der niagnetischen Polarisation konstant sein. Nun
hat aber p gerade deu Charakter eirier ?,Dichtei' (magnetisches Moment
pro Volumeneinheit'i; wir werden also nicht fehlgehen, a e n n wir auBer
und 2 aucli noeli ,u als Aufbauelenient fur die Dimeosionen der inagnetischen Materialkonstanten homogeuer Kiirper zulassen. Auf Grund
der Analogie zKischen elektrischen und magnetkchen Feldern, clie
sic11 aus deiii gleichen Bau der entsprechenden Differentialgleichungen
ergibt,, werden wir entsprechend als hufbauelemente fiir die Dimensiouen der elektrischen Materialkonstaiiten Q, F und S zulassen.
Es ware rerfehlt, wenn nian auch noch die Dimension einer
Ladungsdichte zu diesen Dichtedimensionen hinzuziehen wollte.
Denn man kann ohne weiteres zeigen, daB in einem homogenen
und homogen elektrisch polarisierten Korper die rCLumliche Ladungsdichte verschwinden mu6. Die ,,P15chenladungsdichteL'o an der
K . P uri h. Uanaenszo?zsbetmclit un geiz ZUY 1io?Lt211 uumph ystk
343
OberflBche des Kiirpers kann jedoch nicht iiberall verschwinden,
was aus der bekannten Beziehung zwischen w und der Fliichendivergenz des Maxwellschen Vektors % folgt. Aus der gleichen
Beziehung entnehmen wir ferner, daB w und CY die gleiche Dimension haben.
Es erhellt zuniichst aus den Definitionen unmittelbar, daB magnetische Permeabilitat und Suszeptibilitst die gleiche Dimension haben.
Aus cler bekannten Beziehung fiir die magnetische Energiedichte folgt
unter Beniitzung dieser Tatsache sogleich fiir die Dimension dieser
GroBen: p2 e - l , im Einklang mit unserer E'orderung. Analog folgt
f u r die Dimension cler Dielektrizitatskonstante: d" e-l. Die magnetischen Materialkonstanten: Sattigungsmagnetisierung und Remanenz
haben die Dimension p, die Koerzitirkraft die Diinension c p-l.
F u r die Erscheinungen, die sich an der Oberflache, bzw. der
Grenzflache zweier homogener Iiiirper abspielen, wird man natiirlicli
statt der raumlichen Energiedichte e wieder die Flcichenenergiedichte p als Aufbauelement der L)imensiousformeln der entsprecheiirlen
Materialkonstanten zu fordern haben ; hierzu kommt nach dem ohen
Gesagten sicher noch die E'liichenladungsdichte o. Nun hat das
Potential die Dimension Energie: Laclung oder ri . c ~ l . Potentialdifferenzen an der Grenzfliiche zweier sich beruheutler homogener
Korper sind also im Sinne der Kontinuumt,heorie zulassige Materialkonstanten. I n der Tat treten solche Konstanten auf, \vie z. B. die
Voltapotentiale, die elektrochemischen Potentiale usw.
, ,
Die therniornagnetisclien und die thermoelektrischen Erscheinungen werden durch Materialkonstanten gelten~zeichnet sein,
die auBer den eben besprochenenen Dimensionen noch die einer
charakteristischen Temperatur I? enthalten liiinnen. So hat der C u r i e sche Unirvandlungspunkt die Dimension $, die ,,Thermospannuug" die
Dimension : Potential . IY - l . Ferner hangen beltanntlich alle elektrischen
und rnagnetisclien ,,Materialkonstanten" noch von der Temperatur ab.
Die durcli diese Funl~tionsbeziehungen hereingebrachten neuen wirltlichen Naterialkonstanten enthalten wieder in ihren Dimensionen
aukier den oben betrachteten nur noch 9.,wie auf Gruiid einer
Uberlegung, die der unter 4. angestellten vollig analog ist; bewiesen
werden kann.
Genau so beweist man auch, daB durch die Funktionsbeziehungen, die die Abhiingigkeit der elektrischen und magnetischen GroBen vom Druck oder den elastischen Spannungeii ausdrucken wieder nur Konstanten eingefiihrt werden konnen, die
auBer den Dimensionen dieser GroBen selbst noch E enthalten.
SchlieBlich folgt auf die gleiclie Weise, daR die Funktionsbeziehungen?
-
-
344
Annalen dcr PhysiX. 5. Folge. Band 32. 1.938
die die Abhangigkeit irgendwelcher scheinbarer Stoff konstanten von
der elektrischen oder magnetischen Polarisation ausdriicken , nur
solche neue wahre Konstanten einfiihren konnen, die au6er den
Dimensionen der scheinbaren Konstanten noch p bzw. S enthalten.
Von irreversiblen elektromagnetischen Erscheinungen kommt
im wesentlichen wohl nur die elektrische Stromleitung in Betracht.
Die diese Erscheinung beherrschende GesetzniaiBigkeit driickt sich
durch eine Funktionsbeziehung zwischen der Stromdichte u und
der elektrischen Feldstarkef aus, die nian in der Form der folgenden Entwicklung schreiben kann:
00
u =
2’ c, f*,
i = l
worin die Koeffizienten c, Materialkonstanten sin& Da nun u die
Dimension 6 r - l und f die Dimension E . 8-1 hat, ist die Dimension
von c, gleich & + I - 5 - l . t - 1 . , cl, die gevohnliche Ohmsche Leitfahigkeit hat die Dimension cT2 6-1. t - l . Wie man sieht enthalten alle
diese GroBen auBer 6 und E nur noch eine Relaxationszeit r, entsprecheii also unseren allgemeinen Forderungen an eine fur einen
irreversiblen elektrischen Vorgang innerhalb der Kontinuumphyslk
geltende Gesotzmafiigkeit. Uber die Abhangigkeit dieser Oro6en
von der Temperatur und vom Druck gilt das oben Gesagte.
6. F u r das optische Verhalten der homogenen Korper im
Rahmen der Kontinuumphysik miissen offenbar ebenfalls die vorhergehenden Entwicklungen gelten. Nun ist fur einen isotropen, homogenen, durchsichtigen Korper zunachst das Bestehen einer bestimmten
Lichtgeschwindigkeit als Materialkonstanten kennzeichnend. Dies ist
-
-
i:,wie
-
lnit unseren Forderungen im Einklang, da die Gro6e y =
bereits unter 2. erortert wurde, die Dimension einer Geschwindigkeit
hat. Da nun fur den ,,absolut homogenen und isotropen KorpeiCb,
namlich den leeren Raum die universelle Lichtgeschwindigkeit c gilt.
kannen wir die GrGBen y auf c und dimensionslose Zahlenkonstanten,
die Brechungsquotienten, reduzieren. Fur die optisch anisotropen,
homogenen Korper gilt im wesentlichen das Gleiche, es treten nur
an die Stelle der skalaren Brechnungsquotienten entsprechende
Tensoren.
Der Lichtdurchgang clurch absorbierende Korper ist ein ii reversibler Vorgang und es sol1 daher hier gema6 den1 friiher uber
solche Phauomene Gesagten eine Relaxationszeit r auftreten. I n der
Tat hat die diese Erscheinung nach der Kontinuuniauffassung regelnde
Materialkonstante, der Extinktionskoeffizient, die Dimension 7-l. 2-l.
B. Furth. Dimensionsbetrachtungen zur Kontinuumph ysik
345
Ein weiterer irreversibler optischer Vorgang, der sich auf die
Oberfliche eines homogenen Korpers bezieht, ist die Strahlungsemission. Er la6t sich durch eine E'unktionsbeziehung zwischen der
Energiestromdichte J der Strahlung an der Korperoberflache und
der Temperatur T darstellen, die man in der Form der Entwicklung
J=xkiT'
i
schreiben kann, worin die Koeffizienten k, Materialkonstanten sind.
Da J die Dimension q t-l hat, hat ki die Dimension 1 i - t - ~ . 9 - ~ ,
im Einklang mit unseren allgemeinen Forderungen.
Da6 wir mit diesen Dimensionen unser Auslangen im Bereiche
der Optik nicht finden, erhellt sogleieh aus der Tatsache, da6 die
eben betrachteten GroBen: Brechungsquotient, Extinktionskoeffizient,
Strahlungskonstanten usw. noch von der Schwingungszahl des Lichtes
abhangen. Daraus folgt, da6 in die Dimensionen der Materialkonstanten, die die Gesetze dieser Abhangigkeiten regeln, auBer den
oben betrnchteten Dimensionen noch die Dimension einer Frequenz Y
eintreten muB. Das hei6t aber, daB wir, um von diesen Erscheinungen Rechenschaft geben zu kiinnen, den Korpern eine ,,zeitliche
Struktur'l zuschreiben miissen, die wohl in nichts anderem als einer
verborgenen, periodischen Rewegung innerhalb des Korpers bestehen
kann. Dadurch ist aber bereits eine Inhomogenitat bzw. eine raumliche Struktur bedingt, die Kontinuumphysik versagt also zur Erklarung dieser Erscheinungen. Nach der Atomphysik besteht die
erwahnte Periodizitat bekanntlich in der periodischen Bewegung der
Elektronen in den Atomen, bzw. der Atomkerne imVerbande eines
Molekuls oder eines Kristallgitters.
Weitere Materialkonstanten, in deren Dimensionen die charakteristische Frequenz v vorkommt, sind die folgenden: Die Frequenzen
der Linien in den Emissions- und Absorptionsspektren, die Grenzfrequenzen der kontinuierlichen Emissions- und Absorptionsspektren,
die Frequenzen der ,,Ileststrahlen", die Grenzfrequenzen des lichtelektrischen Effektes usw., die alle die Dimension v haben, ferner
die spezifische Drehung optisch aktiver Substanzen, die die Dimension y-1. ?r hat und die Konstanten, die die Dispersion dieser
h e h u n g zum Ausdrucke bringen.
Was die Abhangigkeit der besprochenen optischen ,,Konstanten'b
von Temperatur, Druck, elektrischer und magnetischer Feldstiirke
anlangt, kann auf die Entwicklungen in den vorhergehenden Abschnitten verwiesen werden. SchlieBlich folgt aus der Tatsache,
da6 die Strahlungsintensitgt die Dimension E c = E'/P Q-'/Z hat, daM
-
.
Annalen der Physik. 5. Folge. 32.
23
346
Annaben der Physik. 5 . Folye. Band 32. 1938
in allen Funktionsbezieliungen, die die Abhangigkeit irgendeiner der
bisher besprochenen Materialkonstanten von der Strahlungsintensitiit
zum Ausdrucke bringen, wieder nur Konstanten vorkommen konnen,
die aueer der Dimension dieser ,,scheinbarenLbIconstanten noch die
Dimension E und p enthalten.
7. Zum Schlusse niogen noch einige Worte iiber die Gravitation
gesagt m-erden. Die Dimension der New t o n schen Gravitationskonstanten kann entweder in der Form 10-l. vz oder in der Form
p-1. c2. h-2 = E e-$.
geschrieben werden. Wir sehen hieraus,
daB auf alle Falle eine ,,Erklarung" der Gravitationserscheinungen
auf Grund einer Atherkontinuumtheorie unnioglich ist, wenn wir nicht
als Zusatzannahme das Bestehen einer universellen Frequenz 91 oder
einer universellen Lange ihinzunehmen. Die erstere Annahme liegt
der bekannten Theorie von K o r n zugrunde, die der Materie eine
,,Pulsation" von bestimmter Frequenz zuordnet und die Gravitation
auf die Bj e r k n e s schen, hydrodynamischen Fern kraft e zuriickzufuhren sucht. Die zweite Annahme fiihrt im wesentlichen auf
die Voraussetzung eines endlichen Weltradius, wie z. B. in der
E i n s t einschen Gravitationstheorie die ja eine typische Kontinuumtheorie ist. Die entsprechende Formel dieser Theorie, die den U'eltradius I mit der mittleren Massendichte Q und der Lichtgeschwindigkeit c verbindet, ist bis auf den unwesentlichen Zahlenfaktor 4 n mit
der oben angegebenen identisch.
R i r bemerken schliefllich, daB das Gravitationspotential die
Dimension E 9-l hat, da6 also die zur Darstellung der Abhangigkeit der im vorhergehenden besprochenen Materialkonstanten Tom
Gravitationspotential erforderlichen neuen Konstanten keine anderen
Dimensionen enthalten, als die bisher betrachteten.
.
-
P r a g , im Marz 1938.
(Eingegangen 30. Marz 1038)
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