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Diskussion einer normierten WKB-hnlichen Wellenfunktion.

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31
Snnalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 19G3
Diskussion einer normierten WKB-ahnlichen
Wellenfunktion*)
Von W . M a c k e und P . Rennert
Mit 6 Abbildungen
Inhaltsiibcrsicht
E s wird ein Naherungsverfahren zur Berechnung der Wellenfunktion eines
Teilchens im gegebenen Potential besprochen, das zu einer WKB-ahnlichen
Losung fiihrt. I n erster Naherung ergibt sich dabei ein der von L a n g e r verbesserten WKB-Losung entsprechender Ausdruck. Das Verfahren laBt die
physikalischen Annahmen, die zur WKB-Losung fuhren, genau erkennen. Sie
blieben bei der nach der WKB-Methode durchgefuhrten Entwicklung nach
Potenzen von A unklar.
Einleitung
Die Losung der Schrodinger-Gleichung fur ein Teilchen im gegebenen
Potential ist nur in Spezialfiillen geschlossen darst,ellbar, im allgemeinen mu0
die Auswertung numerisch erfolgen und erfordert grol3en Rechenaufwand. Das
gilt insbesondere dann, wenn das Potential einen Mittelwert im Sinne eines
H a r t r e e - F o c k s c h e n Verfahrens darstellt. Mit der von W e n t z e l l ) , K r a mersz) und B r i l l o u i n 3 )gefundenen sogenannten WKB-Losung ist seit langem
eine pauschale Naherung bekannt. Ein Mange1 dieser Methode ist, daB keine
AnschluBbedingungen fur die Aste der Wellenfunktion innerhalb und auBerhalb
der klassischen Umkehrpunkte existieren. Dies ist, wie z. B. die Diskussion
von F b n y e s 4 ) zeigt, durch die Entwicklung nach Potenzen von A bedingt. Eine
von L a n g e r 6, angegebene verbesserte Form der WKB-Losung beseitigt diese
Schwierigkeiten. Die Langersche Losung ist insbesondere fur Streuprobleme
gut geeignet. Bei der Anwendung auf gebundene Zustiinde besitzt sie den Nachteil, daB die Wellenfunktion nicht normiert ist, d. h. der Normierungsfaktor
hangt noch vom speziell betrachteten Potential ab. Das macht sich vor allem
dann storend bemerkbar, wenn man mehrere Teilchen im aufieren Potential
behandeln will. Deswegen wird hier fur die Wellenfunktion y ( x ) ein Ansatz gemacht, bei dem sie automatisch normiert ist6).
*) Auszug aus der Dissertation von P. R e n n e r t , TU Dresden 1962.
G . W e n t z e l , Z. Physik, 38, 518 (1926).
H. A. Kramers, Z . Physik, 39, 829 (1926).
3, L. B r i l l o ui n, C. R. Acad. Sci. Paris 183, 2 1 (1996).
4, I. FBnves. Acta Dhvs. hung. 4. 133 (1955).
d, R. E. i a n g e r , P6yi. Rev. gl, 669 (1937).’
l)
2,
6,
Die Anwendune dieses Verfahrens auf die Behandlung von Vielteilchensystemen
wird i n einem weitereiArtike1 besprochen, der in Kiirze in der gleichen Zeitsclrift e;scheint.
W.Macke u. P . Rennert: Diskussion einer normierten WKB-ahnlichen Wellenfunktion 33
Die Folgen der Forderung, daB die Wellenfunktion eine vom speziellen
Potential B (2)unabhiingige Form erhalten soll, werden in Kapitel [l]und [2]
besprochen. Unter der Annahme, daI3 sich das Potential nur ,,quasistatisch"
iindert, erhiilt man in Kapitel [3] und [4] Losungen in nullter und erster Niiherung. Die nullte Niiherung stimmt dabei im wesentlichen mit der WKB-Losung
nullter Ordnung iiberein. I n erster Niiherung erhiilt man sofort eine der L a n g e r schen Losung entsprechende Wellenfunktion. Am klassischen Umkehrpunkt
divergente Losungen treten iiberhaupt nicht auf. Dieser Vorteil hat seine Ursache darin, daS hier keine Entwicklung nach Potenzen von A, wie bei der WKBMethode, durchgefuhrt wird, sondern nur Fordemngen an das Potential gestellt werden. Die Diskussion des Verfahrens in Kapitel [5] zeigt, daB die hier
behandelte Niiherung als die Fortfiihrung eines von einem der Autoren') dieses
Artikels angegebenen Naherungsverfahrens fur die Wellenfunktion aufgefaBt
werden kann
1. Problemstellung
Es wird die Bewegung eines Teilchens im vorgegebenen Potential betrachtet,
wobei hier insbesondere an gebundene ZustSinde gedacht wird. Sie wird durch
eine Wellenfunktion beschrieben, die der S c h r 6 d i n g e r-Gleichung
.
genugt. Fur einfache Potentiale kann (1)in geschlossener Form gelost werden,
im allgemeinen ist der Losungsweg muhsam.
Nun interessiert zum einen der Verlauf von y bzw. Iy12 immer nur bis zu
einer gewissen Genauigkeit, die durch die Fragestellung bestimmt wird. Zum
anderen ist der Verlauf der Wellenfunktion y ( x )qualitativ bekannt. Sie besitzt
innerhalb der klassischen Umkehrpunkte keinen, einen, zwei, usw. Knoten.
Die Krummung ist dort am stiirksten, wo sich B(z) und E am meisten unteracheiden. Am Umkehrpunkt besitzt die Wellenfunktion einen Wendepunkt,
und auBerhalb der Umkehrpunkte fiillt sie exponentiell ab (s. Abb. 1).
Abb. 1. a) Der qualitative Verlauf der Wellenfunktion ~ ( s im
) Potential V ( s ) bei der
Energie 1.In der Umgebung der tiefsten Stelle von V sind die Knoten zusammengedriingt,
dort wiichst auch q(z) stark. b) Nach der Transformation auf die q-Achse sind die Knoten
der Wellenfunktion gleichmiiDig verteilt
Es erhebt sich daraus die Frage, ob diese qualitativen Aussagen - in mathematische Form gebracht - die Wellenfunktionen nicht schon ausreichend be7 ) W.Macke, Ann. Physik, Lpz., 17, 1 (1955).
3 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 12
34
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 12. 1963
schreiben. Da die genannten qualitativen Eigenschaften unabhiingig von V (x)
sind, muB auch diese qualitative Form der Wellenfunktion unabhiingig vom betrachteten Potential sein. Man hiitte dann eine Wellenfunktion, deren Verwendung eine bedeutende Einsparung an Rechenarbeit verspricht.
Urn die genannte Wellenfunktion aufzusuchen, wird zuniichst von der VariaX
/-
blen z zu der Variablen q(z) = dz' k (z') ubergegangen. Da q (z)an den
tiefen Stellen des Potentials, wo die Kriimmung der Wellenfunktion grol3 ist,
also die Knoten dicht beieinander liegen, schneller wiichst als an flachen Stellen
des Potentials, wo die Knoten weiter auseinander liegen, sind die Knoten bezuglich q (5)annahernd gleichmiiBig verteilt (8. Abb. 1).Auch besitzt q nach der
B o h r - Sommerfeldschen Quantelungsvorschrift bei Integration uber den
gesamten klassischen Aufenthaltsbereich einen vom Potential unabhangigenWert.
Durch diese Transformation werden also schon die fiir das betrachtete Potential charakteristischen Merkmale der Wellenfunktion im wesentlichen eliminiert.
Deswegen wird fiir die Wellenfunktion ein Ansatz gemacht, nach dem sie nur
uber q (2)vom Potential abhangt.
2. Diskussion des Ansatzes fur die Wellenfunktion
Bevor ein Ansatz fur die Wellenfunktion diskutiert werden kann, muS die
Transformation q (2)genauer festgelegt werden. k (2)wird am klassischen Um-
Abb. 2. Der Verlauf von p(s). Die GroBen p+,
q-, Q+, &- sind einzeln eingetragen worden.
Die AnschluBstelle x, liegt nicht in der Mitte
zwischen den Umkehrpunkten x+,x-, sondern
niiher ZUP tiefsten Stelle von V ( z )
kehrpunkt, entsprechend k = i K mit
imaginiir. Daher ist es zweckmiiBig, in q(z) vorn Umkehrpunkt ausgehend zu
integrieren. Da es im allgemeinen zwei Umkehrpunkte gibt, werden insgesamt
die vier Ausdrucke
21
5
q- = j- ax' k(z')
zz-
&- = J dx' K ( d )
q+ =
/- ax' k(z')
z
X
&+ = J ax' K(2')
(2)
W . Hacke u. P. Rennert: DiakusGon einer normierten WKB-ahnlichen Wellenfunktion
35
eingefuhrt. x+ und x- bedeuten darin die beiden Umkehrpunkte. Eine Definition von q ( x ) , nach der q uberall reel1 und positiv ist, ist dann
x-
qf (4=
< 5 I2,
x, Ix I x+
2 2 x+
(3)
Zur Veranschaulichung wird q (x)fur ein beliebig angenommenes Potential in
Abb. 2 dargestellt. x, in (3) wird durch q+(x,) = q-(x,) festgelegt.
Nachdem nun q ( x ) entsprechend (3) festliegt, kann der Ansatz fur die
Wellenfunktion y (2) besprochen werden. p (x)sol1 nach den Betrachtungen von
[ I ]niiherungsweise nur uber q (x)vom Potential abhiingen, so daB zuniichst der
Ansatz
Y (4= F k ( 4 1
( 4)
versucht werden konnte. Der Ansatz (4) besitzt den Nachteil, daB mit ~ ( x )
nicht automatisch auch y ( x )normiert ist. Das ist vor allem fur gebundene Zustlnde, die hier insbesondere betrachtet werden sollen, von Bedeutung. Deswegen wird fur die Wellenfunktion statt (4)der Ansatz
)
gemacht. Bei diesem Ansatz ist mit ~ ( q auch
J dn Ip1(PI la = 1 = J dxa'
IF l a = J d x
yl(x)
normiert, was aus
IQf I IF I*
=J dx
IY (4l2
(6)
ersichtlich ist. Im ersten Ausdruck verlguft die Integration so, daB dq immer
positiv ist, also von den Umkehrpunkten ausgehend nach rechts und links.
Man beachte dabei, daB beim Obergang von q' zu 1 qf 1 ein eventueller Vorzeichenwechsel durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen kompensiert wird, SO
daB im letzten Ausdruck von (6) x von -w bis +oo liiuft. Mit dem Ansatz (5)
fur die Wellenfunktion bedeutet also der von der speziellen Form des Potentials
unabhiingige Ausdruck Ip1 (q) 12 dq die Aufenthaltswahrscheinlichkeitim Intervall dq. DaS die normierte Wellenfunktion - wie in (5) bzw. (6) - vom Potential
unabhiingig ist, ist besonders denn vorteilhaft, wenn mehrere Teilchen im gemeinsamen Potential betrachtet werdene). Dann - und nur dann - kann niimlich die Berechnung der Teilchendichte als Summe uber die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilchen in einer fur a 11e Potentiale gultigen
Form durchgefuhrt werden. Um die Mcglichkeit offen zu lassen, auch einen
Ansatz wie (4) diskutieren zu konnen, wird jedoch der allgemeinere Ansatz
w(4.=
Iq'(x)lA~"q(~)1
(7)
betrachtet, worin spiiter wieder A = 112 zu setzen ist.
Mit dem Ansatz (5) bzw. (7) fur die Wellenfunktion geht die SchrBdingerGleichung (ll.l),
die mit (3)
da
(.@fq'S)y(x)=O
3*
fiir q =
KL
36
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
lautet, in eine Gleichung fur p uber. Um diese Gleichung besser diskutieren zu
konnen, sollen zunachst entsprechend
die Ableitungen nach x durch Ableitungen nach q ersetzt werden. Dabei wird
im folgenden eine Ableitung nach x kurz durch einen Strich und eine Ableitung
nach q kurz durch einen Punkt gekennzeichnet
dF
.
dF - p'
_
ax
_ -- F .
-
dq
I n dieser Bezeichnung und mit (9) lautet dieschrodinger-Gleichung fur Q,
+ (2 A +
+ [&-+
($y+ A$]
1) p,
1 A(A - 1)
gbersichtlichkeitshalber sol1 noch die GroBe
oc=q'3
& = 3 q ' q " = - 3 (q'2)'
& = 3q
@
'I'
Q, = 0.
q"2 - 3 (9'"''
+ 3---q'
2 Q'
(11)
(12)
eingefuhrt werden, mit, der sich die Koeffizienten in (11) entsprechend
vereinfachen. So erhalt man fur
~
Q,
~~
schliel3lich die Gleichung
~
~~
Bevor Losungen der G1. (14) diskutiert werden konnen, muB geklart werden,
welche Forderungen sich aus der Stetigkeit der Wellenfunktion y (2) fur das
Verhalten von rp(q) a n den Obergangspunkten der verschiedenen Definitionsbereiche von (3) ergeben. Am Obergangspunkt q, (s. Abb. 2) ist die Stetigkeit von y
durch die Definition (3) q = Min (q+, q-)
schon gesichert, d a q dadurch keinen
(%'
Sprung hat. Die Stetigkeit der Ableitung
von y (z)verlangt entsprechend die Stetigkeit der Ableitung von q (q). Beachtet man
Abb. 3. Die beiden h e der Wellen- nun nooh, dafi die Wellenfunktion pl(q)
funktion V ( q ) . die bei qm
ihren symmetrisch oder alltisymmetrisch bezugAbleitungen stetig ineinander uber~u~ symmetris&e
muo lich qm sein muB (Abb.3), wenn sie vom
@
h.en.
@(qm)= 0 und fur antisymmetrische Potential unabhangig sein SOU, dann er~(q,=
) 0 sein
geben sich die Bedingungen
lQ,(qm)= 0
oder
+(!Irn)
= 01
(15)
fur antisymmetrische bzw. symmetrische Losungen.
Da y a n den Umkehrpunkten von Null verichieden ist, muB p nach (7) wegen
des Faktors 1 q' Irl dort singular sein. Daher interessiert besonders das Verhalten
von 91 (q) fur q + 0. H a t das Potential am Umkehrpunkt keinen Sprung, was
normalerweise erfullt ist, dann besteht dort der Zusammenhang
q'
rv q113
k/qyz K/Qy3.
(16)
W . dlacke u. P. Rennert: Diskussion einer normierten W K B-ahnlichen Wellenfunktion 37
AuBerdem gilt mit LY = q dr,
+ q2 bi0/2 + - -
b
c 1
-+-
a
4
Da l / q schwlcher als l/qa divergiert, kann man daher das Glied mit bi. streichen.
Somit befolgt q . am
~
Umkehrpunkt die Gleichung
Die beiden Losungen dieser Gleichung sind q- ( A - 1 * l)/s. Der Faktor qwird durch Iqf Irl entsprechend (16) kompensiert. Die Stetigkeit von y~ und der
Ableitung von y~ ist dann gewahrleistet, wenn die Liisungen innerhalb yi (9) und
aul3erhalb pla (q) der Umkehrpunkte entsprechend
Ti@) = 9 @) E q.J(Q*)
Ya(q) = it q.~(-iq) E irl FJ(- i Qkt)
(19)
zusammenhangen.
Anders liegen die Verhiiltnisse, wenn das Potential am Umkehrpunkt einen
Sprung hat. Die in k enthaltende Unstetigkeit mu13 dann durch q . ~kompensiert
werden. Damit hlngt pl vom betrachteten Potential ab. Daraus .folgt, daS fur
Potentiale mit Sprungstellen der Ansatz (5) fur die Wellenfunktion nicht
miiglich ist. Am gunstigsten ist in diesem FaIle noch der Ansatz (4) mit A = 0.
Aber auch dann mu13 man in Kauf nehmen, daB die Ableitung von y~ unstetig
ist. Im weiteren sollen deshalb nur noch stetige Potentiale in Betracht gezogen
werden.
Gleichung (14) sollte, der qualitativen Diskussion in [l] entsprechend, Losungen, zumindest Niiherungslosungen, besitzen, die unabhlngig von V (2)
und Emsind und damit nur noch uber q selbst von k abhlngen. Zunlchst ist in
(14) jedoch noch k bzw. LY enthalten. I n den nlchsten Kapiteln wird besprochen,
wie LY niiherungsweise eliminiert werden kann.
3. Nullte Niiherung
Eine Nlherungslosung von (2.14) wird dann gut mit der tatslchlichen
Wellenfunktion iibereinstimmen, wenn die durch die Transformation q (2)hervorgerufenen Verschiebungen, siehe Abb. 1, klein sind, wenn also das Potential
eine geringe Welligkeit aufweist. Um eine solche Bedingung genauer formulieren
zu konnen, wird zunachst
in die Schriidinger-Gleichung (2.14) eingefiihrt. Sie geht dabei iiber in
+ +
r,
+
+ +
q+
9, (2 A 1) pl [& 1 A (A 1)
Afol q.J = 0 .
(2)
h d e r t sich das Potential nur schwach mit dem Ort, dann bedeutet das, daS die
mit der Wellenzahl I kl = I q’ I uber k = l / A zusammenhlngende Wellenllnge 3,
nahezu konstant ist. Wegen
wird daher in nullter Niiherung angenommen, daB
ITo M 0
oder
Do -01
(4)
38
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 2963
gilt. Mit der Annahme (4) vereinfacht sich die Schrodinger-Gleichung (2)
wesentlich. Sie lautet
IQ'
Die normierte Naherungslosung (2.5) erhlilt man aus (5) uber y = [ 1 / 2 v ( q ) .
Sie zeigt ein gleichmiiSiges Oszillieren bezuglich q = q*, so daB sich an den
Stellen, an denen k grol3 ist, die Knoten hliufen. p verschwindet an den Umkehrpunkten und ist daher nur dann normierbar, wenn y (5)= 0 fur q = Q* gesetzt
wird. Durch die Wahl y = 0 kann auBerdem erreicht werden, daB auch die
Ableitungen am Umkehrpunkt stetig sind. Die Stetigkeit am Verknupfungspunkt der beiden Bste der Wellenfunktion fordert entsprechend (2.15), daB die
Eigenwerte die Bedingung
-.
I,"
J
dx k ( ~ =
) (12
+ 1) z
I
n = 0, 1, 2,
. ..
erfiillen. Der Normierungsfaktor ciin (5)bestimmt sich dann zu ci = V21.c (n
I n der Niiherung (4)lautet daher die Losung fur die Wellenfunktion (2.5)
'
(6)
+ 1)
L'
(7) stimmt im wesentlichen mit der WKB-Lo~ungl-~)
uberein, nur ist (7) automatisch normiert. Ebenso ist die Eigenwertsbedingung (6) schon als Bo hrSommerf eldsche Quantenbedingung bekannt.
Um die Niiherung (5) noch von einer anderen Seite zu betrachten, kann man
fragen, welcher Gleichung dime Losung exakt genugt. Sie lautet mit Do aus (1)
~ " - ( 2 1 + 1 ) D ~ ~ ' + ( & ~ ' ~ +1)D;-1Di)p=O.
~ ( 1 +
(8)
Man sieht, daB (8) in der Naherung (4)in die Schrodinger-Gleichung (2.8)
ubergeht. DaB p an den Umkehrpunkten verschwindet, ist eine Folge davon,
daB dort die Naherung (4) nicht mehr erfiillt ist und die Zusatzglieder in (8)
divergieren. Exakt gultig ist die NBherung (4)nur bei konstantem Potential.
Man kenn daraus entnehmen, daB sich die Nahemngslosung (5) auch ergibt,
wenn man die S c h r o d i n g e r-Gleichung (2.8) unter der Annahme
dV
& W O
(9)
lost und danach wieder V = V(x) als das gegebene, ortsabhlingige Potential
betrachtet. Die Abhiingigkeit des Potentials von x wird gewissermaBen nur
so beriicksichtigt, als ob 2 ein Parameter ware. V(x) wird also keinesfalls
konstant gesetzt.
Die Niiherung (4)versagt am Umkehrpunkt, da dort q' = 0 gilt, so daB die
Losung (5) dort die Wellenfunktion schlecht beschreibt. Deswegen soll (4)im
weiteren durch eine Naherung ersetzt werden, die das Verhalten der Wellenfunktion in der NLhe des Umkehrpunktes richtig beschreibt. Diese Niiherung
wird im niichsten Abschnitt besprochen.
4. Erste Ngiherung
Am klassischen Umkehrpunkt, wo die nullte Naherung (3.7) falsch wird,
genugt die Wellenfunktionder Schrodinger-Gleichung (2.18). Wennman nun
W . Macke u . P . Rennert: Diskuasion einer normierten WKB-ahnlichen Wellenfunktion 39
in die Schrodinger-Gleichung (2.14)
d
I d
rl-*= -In
(4p= --In
q’ dz
’ =!
P
!!
q1’8
(1)
- q’
einfuhrt, dann erhiilt man die Gleichung
(2)
Diese geht in der Niiherung
ITl
w 0
oder Dl w 01
(3)
i n die Gleichung
p, + (2 I + 1 ) & + + (f1 +
i l ( A -2)
T ) P =0
(4)
-
uber, die fur q +-0 mit (2.18) ubereinstimmt. Die Niiherung (3) gilt exakt fur
V ( x ) x. Bei ihr werden also hderungen des Potentials besser erfaBt als bei
der Nkiherung (3.4). Das fuhrt dazu, daB die Wellenfunktion am Umkehrpunkt
entsprechend (4) richtig beschrieben wird. Um (4) zu losen, wird zungchst zu
I ( q ) = q‘”
(5)
1)/34)(q)
ubergegangen. I genugt dann der Gleichung
1
1 - - )ilL O ,
9 qa
die als Losungen Zylinderfunktionen der Ordnung 1/3 besitzt. Als zwei voneinander unabhiingige Lijsungen werden die B e s sel-Funktionen I k 1 / 3 betrachtet,
die sich asymptotisch wie
I f 1 / 3 k) +- q “I3
q+-o
verhalten. Die allgemeine Losung von (6) innerhalb und auBerhalb der Umkehrpunkte ist eine Linearkombination entsprechend
I,(q)
Ii(qZIC) = a 1 1 / 3 ( q f )
+b
1-113
+
(q*)
I~(~)~~~(QzIc)=~I~B
/ I~- (1 /-3 ~( -Qi Qz fI) *c )
(8)
Um die Koeffizienten zu bestimmen, wird zuniichst die Forderung betrachtet,
daB die Wellenfunktion auBerhalb der Umkehrpunkte keinen exponentiell anwachsenden Anteil haben darf. Mit der Beziehung
K1/3
=
.ld
1/3[Ill3 (-
a’ &)
+ I-
113
(- i &)I
K1/3 (&)
1/$e-.
(9)
folgt daraus A = B. (Eine ausfuhrliche Diskussion dieser Frage findet man z. B.
in S. Flugge, Rechenmethoden der Quantentheorie, Berlin 1952, Seite 160.) Aus
(2.19) entnimmt man die AnschluBbedingungen fur die beiden Losungen (8) am
Umkehrpunkt
Ii(-i &) = - i I,(&).
(10)
40
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12.1963
Sie liiBt sich durch die Wahl a = b und A = i a erfullen. Die noch offene Konstante a mu13 aus der Normierungsbedingung bestimmt werden. Somit hat man
als Losung von ( 4 ) '
vi (a) = a q-("-')13 111/3 (9)
1-1/3 (q)]
(11)
+
gefunden. Die Losung q i ( q ) muB auBerdem bei qm noch die Bedingung (2.15)
erfdlen, die wie in nullter Niherung wieder eine Forderung an die Eigenwerte
darstellt. Aus dem asymptotischen Verlauf der B e s s e 1-Funktionen (7) kann
man ersehen, daB (2.15) fur die hoheren Niveaus durch
erfiillt wird. (12) kann aber auch fur die unteren Niveaus verwendet werden,
denn schon das zweite Niveau, das bei qmYl= 2,38 = ( 1
0,52)n/2 liegt,
weicht von (12) praktisch schon nicht mehr ab.
Der Normierungsfaktor a in (11)
+
(n+);
a2
= N-1 = S d a l v I 2 = 2
m
J
0
d q l e ) i @ ) I 2 + 2 J ~qle)a(!?)12
0
(13)
hangt entsprechend (2.6) nur beim hier betrachteten Fall 1 = 1/2 nicht vom
speziellen Potential ab.
AlsNiiherungslosungfur die Wellenfunktiony (z)bekommtman damit schlieolich
Die Wellenfunktion ist, wie gefordert, normiert und in der Form unabhiingig
vom speziell betrachteten Potential. Sie besitzt innerhalb der Umkehrpunkte
ein durch die B e s s e 1-Funktionen beschriebenes periodisches Verhalten. Der
exponentielle Abfall auBerhalb der klassischen Umkehrpunkte wird durch die
modifizierte H a n k e l -FunktionKll,wiedergegeben.DieNiiherungslosung(12) und
(14) stimmt im wesentlichen mit der von Langer 6, verbesserten WKB-Losung
uberein. Die Unterschiede sind durch die Forderung beclingt, daB y hier normiert sein soll.
Es sei noch darauf hingewiesen, daB durch die Niiherungsforderung ( 3 ) das
asymptotische Verhalten der Wellenfunktion ( 2 ) fur q = q& +00 gegebenenfalls veriindert wird. Insbesondere ist das fur die Betrachtung von Streuproblemen von Bedeutung. Dann verschwindet namlich der Koeffizient von nur
mit l / q , was zur Folge hat, da13 y
p-(2a+1)'e wird. Somit besitzt (4) im
allgemeinen keine ein- oder auslaufenden ebenen Wellen als Losung. So sinkt
z. B. die Amplitude der Niiherungsl6sung (14) wie y
q-1/3 ab. Das ist aber
auch nicht weiter verwunderlich, denn der Ansatz (2.5) ist auf gebundene Zustiinde zugeschnitten und kann nicht ohne Einschrankung auf Streuprobleme
ubertragen werden. Bei Streuproblemen interessiert die Normierung nicht, da
-
-
W . Macke u. P . Rennert: Diakussion einer normierten WKB-ahnlichen Wellenfunktion
41
man nur Verhiiltnisse von Wahrscheinlichkeiten berechnet, ja die ebene Welle
ist sogar nicht ohne weiteres normierbar. LiiBt man aber die Normierungsforderung 3, = 112 fallen, dann kann man das richtige asymptotische Verhalten
erzwingen, wenn man A = -- 112 wiihlt. Dann verschwindet nlimlich der KOeffizient von @ in (4) immer. Die Losung, die man so erhiilt, ist identisch mit der
schon oben genannten, von Langer verbesserten WKB-Losung, die also besonders fur die Behandlung von Streuproblemen geeignet ist.
Wie in nullter Niiherung (3.8), 80 sol1 auch in erster Niiherung angegeben
werden, welcher Schriidinger-Gleichung die Wellenfunktion p = Iq'
mit q(q) aus (11) exakt genugt. Die Transformation.von (4) auf Ableitungen
nach x fiihrt auf
I"(@)
+
+
+
+
-
p" - (22 1)0 1 ~ ' (+q'*
R ( R 1) 0; R 0;)
p = 0;
(15)
Diese Gleichung hat dieselbe Form wie (3.8), nur steht Dl (1) an Stelle von
Do (3.1). I n der NLherung (3) geht (15) in die urspriingliche SchrodingerGleichung (12.8) uber.
Wie schon oben erwlhnt wurde, ist die Niiherung (3) nur fur V ( z ) x exakt
erfullt. In diesem Fall gilt niimlich q N P,so daS der in Dl auftretende Quotient
Ik l/p1/3 z-unabhiingig wird. Daraus kann man entnehmen, daS man die Niiherungslosung (14) auch erhiilt, wenn man bei der Losung der SchrodingerGleichung (2.8)
-
d"v
M
(16)
0
annimmt und die in der Losung auftretende Ableitung von V ( x ) entsprechend
_________~_______
~~
ersetzt. V' wird dabei durch die Grol3e ausgedriickt, die in der Niiherung (3)
als konstant angesehen wird. Danach ist V ( x ) wieder das gegebene Potential.
Fiir den Fall V ( z ) 5 ist (17) wieder exakt erfiillt. Mit (16) und (17)hat man
ein Rechenschema, das die Niiherung (3) ersetzt. Der Vorteil davon ist, dal3 die
Naherung (3) auf dem Wege (16) und (17) zum Teil leichter durchgefuhrt werden
kann als uber (3) selbsf. So wird z. B. bei der Behandlung von Vielteilchensystemen in 6 ) dieser Weg begangen.
-
5. Vergleich mit anderen Methoden
Die Bessel-Funktionen I , 113 sind Eigenfunktionen der SchrodingerGleichung fur die Potentialecke V(z) N 1% 1, so daS die LBsung (4.14) fiir dieses
Potential nicht nur eine geniiherte, sondern die exakte Wellenfunktion ist.
Dieser Zusammenhang gibt einen Hinweis darauf, dal3 die in [4] durchgefiihrte
Niiherungsbetrachtung auch 141s Fortffihrung eines von einem der Verfasser
dieses Artikels ') angegebenen (dort zur Berechnung der Teilchendichte von
Vielteilchensystemen verwendeten) Ntiherungsverfahrens aufgefal3t werden
kann. Dort wird fiir die Wellenfunktion der mit (2.5) eng zusammenhangenden
Ansatz
42
Annalen der Phyeik. 7. Falge. Band 12. 1963
gemacht, worin cpn irgendein orthonormiertes Funktionensystem darstellt und
t ( x ) eine zuniichst beliebige Transformation von x ist. Eine der beiden Funktionen cpn(t)
bzw. t ( x ) ist willkiirlich wiihlbar, die andere mu13 dann aus der
transformierten S chrodinger-Gleichung berechnet werden. I n der genannten
Arbeit werden die cpn festgelegt (als ebene Wellen), t ( x ) wird anschlie5end niiherungsweise durch Variation der Energie bestimmt. Dieses Verfahren ist um so
genauer, je besser das gewiihlte cpn mit der zu berechnenden Wellenfunktion
ubereinstimmt. Daher ist es naheliegend, das beschriebene Verfahren fortzusetzen, indem fur cpn ein dem Verlauf der Wellenfunktion y (insbesondere in der
Niihe und au5erhalb der klassisohen Umkehrpunkte) besser angepal3tes Funktionensystem gewahlt wird, das natiirlich trotzdem miiglichst einfach zu handhaben sein 5011. I n diesem Sinne kann man die in [4] behandelte Niiherung wie
folgt auffessen :
Als Bezugsfunktionen werden die Eigenfunktionen der Potentialecke (4.14)
gewiihlt, die sich dadurch auszeichnen, daB bei ihnen die Eigenwerte - wie
beim Sinus - nicht explizit auftreten, so da5 q n ( t )= cp(6,) fur alle Eigenwerte
dieselbe Funktion ist, 5 ( 2 ) wird danach niiherungsweise bestimmt, hier nicht
durch ein Variationsverfahren, sondern iiber die in [l] durchgefiihrten Niiherungsbetrachtungen, die suf t ( x ) = q ( x ) fuhren. Die in [4] betrachtete Naherung kann daher im Sinne der Arbeit ') als eine Transformation der S c h r o d i n g e r -Gleichung auf die Potentialecke aufgefaot werden.
Beim Vergleich der hier betrachteten Niiherung (3.7) bzw. (4.14) mit anderen
Methoden sol1 auch noch einmal auf ihren Zusammenhang mit der WKBLosung eingegangen werden. Die Losungen beider Methoden sind sich iiuBerlich
iihnlich, der Unterschied wird dadurch hervorgerufen, da13 die WKB-Losung auf
Streuprobleme zugeschnitten ist, wahrend hier vorwiegend gebundene Zustiinde
betrachtet werden, wie in [4] ausfuhrlich diskutiert wurde. Man hat also praktisch mit der hier behandelten Methode einen andereri Zugang zur WKB-Losung zur Verfugung. Als ein wesentlicher Vorteil des hier beschrittenen Weges
mu13 angesehen werden, dal3 hier keine Entwicklung nach Potenzen von A durchgefiihrt wird, sondern nur Forderungen a n das Potential erhoben werden. Dadurch konnen die der WKB-Losung zugrunde liegenden Annahmen deutlich
erkannt werden. Dariiber hinaus erhiilt man auf diesem Wege in erster Niiherung
sofort die von L a n g e r verbesserte WKB-Losung, a m klassischen Umkehrpunkt divergente Losungen treten gar nicht auf.
6. Beispiele zur Bereehnung von Eigenwerten und Wellenfunktionen
I n [4] wurden Niiherungslosungen fur Eigenwerte und Eigenfunktionen gefunden. Nach (4.12) miissen die Eigenwerte aus
berechnet werden, wahrend fur die Wellenfunktionen der Ausdruck
Y)n ( x ) = N - 1 1 2 I (2)
(11' ql" (2,n, [I113(q ( 2 , n ) )
1-1/3 (4 ( x , n ) ) ]
(2)
bestimmt werden mu13. Zunachst poll (1)fur verschiedene Potentiale betxachtet
werden. Die dabei auftretenden Integrationen werden hier nicht durchgefuhrt.
+
W . Macke u. P . Renaert: Disku8aion einer normierten WKB-ahnlichen Wellenfunktion 43
Beim eindimensionalen harmonischen Oszillator fuhrt (1) auf die Eigenwerte
E, = fi o ( n
+ +)
(3)
die mit den exakten Eigenwerten vollstiindig ubereinstimmen. Sogar die Energie
des Grundzustandes n = 0 wird zu E = h 4 2 richtig geliefert.
Die Niiherungen (1) und (2) konnen auch bei dreidimensionalen Problemen
verwendet werden. Bei kugelsymmetrischem Potential ist nur der Radialteil der
Wellenfunktion unbekannt. Er geniigt einer eindimensionalen Schrodinger Gleichung und kann daher in der Niiherung (1)und (2) behandelt werden. Als
Merkmal des dreidimensionalen Problems tritt dabei das Zentrifugalpotential
auf 1(1
1) h2/2 m r2. So lautet das Potential beim dreidimensionalen Oszillator.
+
fur das sich die Eigenwerte
+ vWT3 +
En, = A 0 (2
1)
(5)
aus (1)ergeben. Auch bei diesem Beispiel sind die Abweichungen zu den exakten
Eigenwerten
En,= ti o (2 n
1 312)
(6)
sehr klein. Das erkennt man am besten, wenn man die Wurzel in (5) nach 111
entwickelt
=1
112 - 118 1 -.
SchlieBlich soll noch das beim Wasserstoffatom auftretende Coulomb Potential
+ +
v
m
+
+
behandelt werden. Aus (1) folgen die Eigenwerte
E n z= - E" ( n
2 a0
+ v m + 1/2)-2
€2
statt E n ,= - (n
2%
+ I + 1)-2
(8)
mit a0 = k 2 / m ~ 2Die
. ubereinstimmung ist ebenfalls gut.
Die Beispiele zeigen, daB die Fehler der Eigenwerte hochstens von der
GroBenordnung l / n sind, also bei hochangeregten Zustiinden verschwinden.
Aber auch fiir die unteren Niveaus liefert (1)uberraschend gute Resultate.
Entsprechend einem Vorschlttg von L a n g e r s, kann eine weitere Verbesserung
erzielt werden, wenn man grundsiitzlich 1 (I 1) durch (I 1/2)a ersetzt.
Als nkchstes soll noch am Beispiel des eindimensionalen harmonischen
Oszillators verglichen werden, wie gut die Wellenfunktion durch (2) beschrieben
wird. Dazu wird zuniichst der nur von q abhiingige Anteil der Wellenfunktion (2)
x ( q ) =q1'3 ( I l / S ( q )
I-1/3 (a)) berechnet. Der Faktor q1l3 wurde gewahlt, damit
x bei q = 0 keine Singularitiit besitzt. 1st ~ ( q einmal
)
bekannt, dann kann die
Wellenfunktion (2) fur ein spezielles Potential leicht berechnet werden. I n
Abb. 4 ist ~ ( qangegeben
)
worden.
Der Vergleich der Wellenfunktionen fur das Oszillatorpotential soll fiir das
funfte PYTiveau, also fiir 1y4, durchgefuhrt werden. Aus Symmetriegriinden braucht
dabei nur der Ast x
0 betrachtet zu werden. I n Abb. 5 sind der Verlauf von
(2) und zum Vergleich der Verlauf der exakten Wellenfunktion eingetragen
+
+
+
44
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
worden. Bis auf die GrijBe der Amplituden stimmen die beiden Kurven im
wesentlichen uberein. Die Abweichungen sind natiirlich eine Folge der Naherung
(4.3). Zum Teil sind sie aber auch durch den Ansatz (2.5) bedingt. So zeigt
eine Abschatzung, dal3 die dem Ansatz (2.4) entsprechende Wellenfunktion
.',-.
*.
Abb. 4. Darstellung des vom betrachteten
Potential unabhiingigen Teilsder Wellenfunktion (2). Der zweite Ast gibt den
Verlauf auBerhalb des Umkehrpunktea an
Abb. 5. Vergleich der Niiherungswellenfunktion (2) ( - - - ) mit dem exakten Verlauf (-)
fiir den harmonischen Oszil-
+
y = q1l3 (1113 1-113)kleinere Abweichungen der Amplituden besitzt. Das ist
darauf zuriickzufiihren, dal3 die Differentialgleichung (4.15), der die Niiherungs16sungy exakt geniigt, fur 2 = 0 besonders gut mit der S chrodinger -Gleichung
(2.8) ubereinstimmt. Die in Abb. 5 auftretenden Abweichungen sind also zum
Teil der Preis, den man fur die Vorteile bezahlen mul3, die die Losung (2) bezuglich der Normierung besitzt.
Dresden, Institut fur Theoretische Physik der Technischen Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 1. Dezember 1962.
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