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Diskussion einiger asymptotischer Entwicklungen den vertikalen elektrischen Dipol betreffend.

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Murray. Diskussion einiger asyrnptot. Entwicklungen usw. 821
Dis/cussiorn edn8ger asymptotiacher Entwick Lumyen,
dern uertikalern elektrdschm Dipol betreffe-md
Von 3’.H. X u r r a y
In einer Untersuchung gewisser bei der Berechnung des
elektrischen Feldes eines vertikalen Dipols benutzter Integrale
hat kiirzlich Dr. K. Ni es s e n l) gezeigt, daB die Integrationswege
fur die Tom Verf.2) benutzten Integrale die Schnitte in den
R i em a n n schen Flachen fur die doppelwertigen Funktionen in
den Integranden kreuzen. Gegenstand dieser Notiz ist der
Nachweis, daB, wahrend diese Entwicklungen formal richtig
bleiben, bei einer zahlenmabigen Berechnung eine eingehendere
Diskussion dieser Riemannflachen notig wird; und fur gewisse
Falle, - wenn der Radiusvektor vom Dipol aus einen groBen
Winkel zur Horizontalen bildet und das Feld an der Erdoberflache, das von dem Dipol an der Erdoberflbhe herriihrt,
desgleichen, - wird die angenaherte Diskussion hier gegeben.
Als eine Anwendung wird S o m m e r f e l d s Formel fur kleine
Abstandswerte abgeleitet.
1. In der Bezeichnungsweise von (A) wird das Feld eines
vertikalen elektrischen Dipols im Punkte (0, 0, h) ausgedruckt
mittels gewisser Integrale, die keiner weiteren Erorterung bediirfen, und der Funktion:
i sm
I,
il)
I
= eawI(w)
I ( w )=
- e - a w I ( - w),
,-aaufik,l/rw
l/;q-uT
-au.
w
Mit der Transformation aus (A):
(2)
x=
p 2 +
u2
-yu;
1.
u = [ y z + l/F-T
1) K. F. N i e s s e n , Ann. d. Phys.[5] 16. S. 810. 1933.
2) F. H. M u r r a y , Asymptotic Dipole Expansion for small horizontal Angles. Proc. Cambr. Phil. Soc. 68. S. 443. 1932; im folgenden
mit (A) bezeichnet.
":
-- a
Xl
wobei jedesmal auf solchem Wege integriert ist, daB im UnX
T
endlichen X oder T positiv unendlich w i d : z-+
1; -+
1.
t
Wenn die Riemannflache fur X einen Schnitt von - r 6
nach + r 8 hat, ist X eindeutig auf der aufgeschnittenen Flache;
X
das obere Blatt sei definiert als dasjenige, auf dem 31 -+ 1,
2 --f + 03. Ebenso sei das obere Blatt der RiemannAache fur
T definiert als dasjenige, fur das T --f 1 ; t --f + 00. Wenn
y = a - j b , a>0, b>0, a>b,
___
X = u - a d r z + u2 + j b
Es folgt unmittelbar, da8 fur den speziellen Wert a = a 1/r2+ u2
X rein imaginar ist, daher x 2 - rz reel1 und negativ, und
Venn der Integrationsweg den Wert u = 0 einschliefit, verlauft
der Weg auf der Riemannflache fur X zwischen den Punkten
r B und + rB, fur alle u > 0. Es konnen auch die beiden
Werte fur u bestimmt werden, fur die x 2 oben oder unten
gleich r 2 a 2 ist; fur diese Werte ist
w+7.
-
tj
X=IXle-
4,
Die beiden Werte sind
und X liegt auf dem oberen Blatt, wenn u > u,, anf dem
unteren, wenn u < ul.
I n der G1. (2,l) in (A) ist der Integrationsweg so verstanden, daB er im oberen Blatt im Unendlichen liegt, also im
unteren Blatt bei u = w = 0 ; fur kleine numerische Abstande
mu8 in der Berechnung von J, -ft
mit negativem Vorzeichen
gesetzt werden, was gleichbedeutend damit ist, J, durch - J ,
zu ersetzen und das positive fi zu benutzen. Diese h d e r u n g
Murray. Dislcussion einiger asymptot. Entwiclclungen usw. 023
mu8 in Formel (6,3) vorgenommen werden, wenn J , berechnet
aus (6,4):
wird mit +
v-
Mit dem ersten Term von (6,4), (A):
K=O
oder dem aquivalenten Ausdruck in Integralform:
erhalt man1) unter Vernachlassigung des zweiten Terms in der
Klammer im Ausdruck fur V und unter Anwendung des
asymptotischen Ausdruckes fiir die Besselfunktion im Term P
der Oberflachenwelle:
Das ergibt die Sommerfeldsche Formel, wenn das TTerhaltnis k l 2 / k Z Zzu vernachlassigen ist, 6 = 1 jausgenommen fur
den Faktor 2).
2. Wenn der Winkel nicht klein ist, den der Radiusvektor
vom Dipol zu dem Punkt bildet, in dem das Feld berechnet
wird, und wenn Ik, XI
1, so wird die entsprechende Entwicklung (2,3) aus (A):
>
3:
a=+-$,
p = - ilclr,
~ ( t=) t - ' / * ( t
+ 26)-'/1=
T-I,
vJ(4= (7)
- l = *[w - y f P + w q - ' .
Diese Entwicklung ist unzweideutig und giiltig, wenn der Integrationsweg nicht in der Nahe der singulten Punkte veryauft;
das ist der Fall, wenn w > u2, nach dem vorigen Paragraphen.
1) B. v a n der Pol u. I(. F. N i e s s e n , Ann. d. Phys. [5] 6. S. 274.
1930, G1. (2).
824
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
Diese Bedingung ist nicht erfullt, wenn w < u l , wie bei der
Berechnung von I ( - w); aber wenn man zu I ( w ) hinzufiigt
das Linienintegral I c , dessen Weg im oberen Blatt im Unendlichen beginnt, einen kleinen Kreis um den Punkt r 8 beschreibt und auf einem Weg zuriickkehrt, der im unteren Blatt
unter dem ersten Teil des Weges liegt, wird
I = e i S z - ax = - 2 K 0 ( - i l c l r J ) ;
c
x
s
(T
6)
daher:
I ( w )- 2 K 0 ( - i k , r J ) = T ( w ) ,
(8)
worin T(w)ein Integral langs eines Weges im unteren Blatt
ist, der in einen vollstHndig auf der rechten Seite des Anfangspunktes liegenden umgeformt werden kann. Also ist Entwicklung (7), oder (2,3) aus (A), giiltig fur das Integral I'(w).
Es ist leicht zu verifizieren, daB, wenn w > u2und I[-- w)aus
der Formel I ( - w)= 2K,, (- i k, r 8 ) T(- w) berechnet wird,
der Oberflachenwellenterm aus dem Ausdruck fur die Funktion V verschwindet.
Wenn Ik,XI>>l, aber O < w < u , ,so da8 X auf dem
unteren Blatt der Riemannflache liegt fur einen Teil des Integrationsweges, so mu8 sowohl I ( w ) wie I ( - w) aus (8) berechnet werden mit der Entwicklung (7); fur I'(w)und I'(- w)
gilt Entsprechendes; also:
+
e-aw]+
e a w I ' ( w ) - e - a w I l (- w)
In den ubrigen Fallen ist I k, XI << 1, und Formel (2,7) ist
Il = 2 K 0 ( - i k , r 8 ) [ e a w -
c-
gultig, wenn das Vorzeichen der Funktion fc = 3-- 6 auf
dem oberen Blatt positiv gesetzt wird, auf dem unteren Blatt
qegativ, also negativ bei der Berechnung von I , (- w);fur die
1, ist es ohne weitere Untersuchung
fJbergangsfalle, j k , X /
nicht sicher, daW jede der in (A) benutzten Reihen schnell
genug konvergiert, urn von Wert zu sein.
-
H i n s d a l e , Illinois U.S.A.
(Eingegangen 29. April 1933)
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