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Dispersionstheorie und Serienspektren.

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42 1
8. Dispersionstheorie mzd Serienspektrem;
vow Clernemns S c h a e f e r .
Bekanntlich fuhrt die gewohnliche Dispersionstheorie zu
folgender Gleichung fur den Brechungsindex v :
a,,
wo eh die Ladung, m h die Masse,
die hnzahl pro cm3, 7;
die Eigenperiode der htenElektronengattung und 1’ endlich die
zum Brechungsexponenten u gehorige Periode des auffallenden
Lichtes bedeutet.
Es ist bekannt, daB Formeln dieses Charakters zur Darstellung des Dispersionsverlaufes in festen, fliissigen und nichtleuchtenden gasformigen Substanzen sich bestens bewahrt haben.
S c h o t t l) hat nun kurzlich darauf hingewiesen , da6 man
bei Anwendung von Gleichung (1) auf leuchtende Qase dann
zu einem Widerspruche kommt, wenn man, wie dies bisher
stillschweigend wohl immer geschehen ist, das Serienspektrum,
welches die Gase aussenden, als aus unendlich vielen Linien
bestehend auffa6t. Denn gema6 den Grundlagen der Dispersionstheorie miiBte man dann jeder der unendlich vielen
Linien der Serie eine Art schwingender Elektronen zuordnen,
so daB man folgende Dispersionsformel erhielte :
Jiese Gleichung hat aber iiberhaupt heinen Sirin mehr, da die
unendliche Reihe auf der rechten Seite, wie dies aus der Betrachtung der physikalischen Bedeutung der einzelnen Glieder
hervorgeht, notwendig divergent ist; man wiirde also durch An1)
G.A. S c h o t t , Physik. Zeitschr. 9. p. 214.
1908.
422
Cl. Schaefer.
wendung von (1a) z. B. auf leuchtenden Wasserstoff das Resultat
erhalten, daB dieser fur alle endlichen Wellenlangen einen unendlich qropen 3rechungsindex besale, im Widerspruch mit der
Erfahrung.
Zu diesem absurden Ergebnis gelangt man natiirlich nur
dann, wenn man annimmt, daB die Serie wirklich aus unendlich vielen Linien besteht; wir wollen dies im folgenden kurz
als ,,Unendlichkeit" der Serie bezeichnen. S cho t t bemiiht
sich freilich, zu zeigen, da8 auch, wenn man die Unendlichkeit der Serien preisgibt und z. B. fur Wasserstoff nur die
sicher gemessenea 29 Linien einsetzt , ein Widerspruch mit
der Erfabrung insofern besteht, als vie1 zu groBe Werte fiir
den Brechungsindex sich ergeben sollen. Doch ist dieser Teil
seiner Uberlegungen auf eine unrichtige Annahme basiert,
so da6 ich dieser SchluBfolgerung keine Bedeutung zuerkennen kann.
Dennoch hat auch in diesem Falle die Anwendung der
gewohnlichen Dispersionstheorie etwas Unbefriedigendes. Denn
in derselben werden die gegenseitigen Einwirkungen der verschiedenen Elektronenarten aufeinander vollkommen ignoriert,
so daB also die auffallenden Gesetzmaj3igkeiten der Serienstruktur, die doch eine enge Abhangigkeit aller Linien voneinander zur Folge hat, in der Dispersionstheorie gar nicht
zum Ausdruck gelangen.
Man wird also die Frage aufwerfen miissen, wie die Ausgangsgleichungen der Dispersionstheorie anzusetzen seien, damit
erstens bei Annahme der Unendlichkeit der Serie ein endlicher
Wert des Brechungsindex resultiert, und daB zweitens - mag
mart die Serie als unendlich oder endlich betrachten - die
bekannten GesetzmaBigkeiten der Serienspektren ihren Ausdruck in der Dispersionstheorie finden.
Es zeigt sich, daB man vom mathematischen Standpunkt
am einfachsten zum Ziele gelangt, wenn man zunachst einmal
die Unendlichkeit der Serien zugibt, d. h. wenn man als Emissionszentrum derselben ein Gebilde mit unendlich vielen Freiheitsgraden annimmt. Dieses letztere wird erhalten aus einem
System von endlicher Freiheit durch einen geeigneten Grenziibergang.
Wir betrachten aleo zunachst ein System von s diskreten
Dispersionstheorie und Serienspektren.
423
Partibelchen mit der Masse mh und der Ladung er Die
kinetische Energie des Systems sei A, seine potentielle @, die
augeren Krafte Kh. Nennt man die x-Komponente der Vorschiebung des hten Teilchens aus seiner Gleichgewichtslage X,,
so liefern die Lagrangeschen Gleichungen die folgenden
s Bewegungsgleichungen:
(%
= Xi) :
gesetzt werden kann, wenn wir mit X die x-Komponente der
einfallenden elektrischen Welle bezeichnen , so erhalten wir :
dBXh
mhdte
a@
+ ax,
= eh X ;
(11 = 1, 2
. . , s).
Diese s .Gleichungen (2a) treten an die Stelle der folgenden
Gleichungen der gewijhnlichen Dispersions theorie :
(3)
Der wesentliche Unterschied zwischen ( 2 4 und (3) besteht darin,
daB an Stelle von p , Xh in Gleichung (2a) der Ausdruck d @,ldX,
steht. Letzterer ist insofern allgemeiner, als @ im allgemeinen
Funktion aller Cropen Xh(h= 1, 2 . . . s) ist, walirend in (3) p ,
als Konstante betrachtet wird. Dies hat zur Folge, daB,
wahrend die Gleichungen (3) voneinander unabhangig sind, im
Gegensatz dazu die Gleichungen (2a) miteinander gekoppelt sind.
Um dies zum Ausdruck zu bringen, kijnnen wir (Za) in folgender Form schreiben:
m d2 xh
f h (XI,
X,,. . . XJ = eh X .
+
h dte
Es liegt auf der Hand, daB der Ansatz (2b) allgemeiner
und den wirklichen Verhaltnissen entsprechender ist als der
ubliche Ansatz (3); denn in diesem wird j a die gegenseitige
Beein flussung der verschiedenen Elektronengattungen vernachIassigt. Wenn nun trotzdem auch die Gleichungen (3) aus-
424
Cl. Schaefer.
reichen, urn eine hinreichend genaue Dispersionsformel zu
liefern, so liegt das an dem Umstande, da6 der durch die
Vernachlassigung der Koppelung begangene Fehler zu klein
ist, urn beim Vorhandensein einiger weniger Eigenschwingungen,
wie sie bei den meisten Korpern vorliegen, ins Gewicht zu
fallen. Anders aber liegt die Sache, wenn die Anzahl der
Eigenschwingungen immer gro6er und groBer wird. Dann
wird schlieBlich jede noch so kleine Vernachlassigung uber
alles MaB hinauswachsen, und das Resultat vollig falschen
konnen. Es ist also kein Wuncler, wenn man bei Anwendung
der Gleichungen (3) auf ein Medium mit unendlicher Serie auf
eineo unheilbaren Widerspruch stofit.
Wir werden deshalb (3) durch (2a) bzw. (2b) ersetzen, und
nun die Anzahl s der Partikelchen des Systems in bestimmter
Weise wachsen lassen. Dann vermehrt sich mit wachsendem s
die Anzahl der Eigenschwingungen, um mit s selbst unendlich zu werden. Urn hier zu einem branchbaren Resultate zu
gelangen, mussen wir den Grenzubergang von einem System
auR s diskreten Teilchen mit endlicher Ladung und Masse so
vollziehen, dap auch f u r s = co Gesamtmasse und Gesamtladung
endlich bleiben. Das heiBt, wir gehen von einem aus diskreten
Partikelchen bestehenden System zu einem kontinuierlichen
Gebilde iiber , das bekanntlich unendlich viele Freiheitsgrade
und Eigenschwingungen besitzt. Dieser Grenzubergang , V O I ~
dem Lord R a y l e i g h in der ,,Theorie des Schalles" den aus.
gedehntesten Gebrauch macht, wird daher auch wohl als
,!Rayleighsches Prinzip" bezeichnet; bei demselben verwandelt
sich das System der Gleichungen ( 2 a ) bzw. (2b) in eine partielle
Bifferentialg[eichung mil den zugehiirigen Randbedingutigen.
Ein detailliertes Beispiel eines solchen Grenziiberganges
findet sich zum Teil in H e l m h o l t z ' Vorlesungen Bd. IIIl),
wo eine Saite zunachst als aus diskreten Massenpunkten bestehend gedacht und d a m der Ubergang zu einem kontinuierlich verbreiteten Gebilde vollzogen wird. Ein anderes, sehr
instruktives Beispiel findet sich in einer Abhandlung von
1) H. v. H e l m h o l t z , Vorlesungen Bd.111, $9 35 u. 36. p.72-91;
noch ausfiihrlicher bei R a y l e i g h , Theorie des Schallee, Deutsche Ausgabe Bd. I. Art. 12Off.
Dispersionsth eorie und Serienspektren .
425
Ph. F r a n k l ) , wo das Problem der Schwingungen eines frei
herabhiingenden Fadens behandelt wird. Dort wird gezeigt,
daB man den Faden zunachst ersetzen kann durch eine Reike
aneinander h&ngender kleiner mathematischer Pendel; die
Pmdelmassen werden so gewahlt , da6 beim Grenziibergang
die gegebene Dichtigkeit des Fndens resultiert. Das System
der verkoppelten Pendelgleichungen geht dabei uber in die
diesem Problem eigentumliche partielle Differentialgleichung
nebst Randbedingungen.
Aus diesen Darlegungen geht zur Genitge hervor, wie
man zu verfahren hat, um auch fur Medien mit einem unendIichen Serienspektrum zu einer brauchbaren Dispersionsformel zu gelangen. An Stelle der bisherigen GZeichungen (3)
hzw. (2a) ader (26) tritt die partielle Bifferentialgleickung des
betreffenden Kontinuurns mit den nctigen Rnndbedinguqen.
Ich will dies an einem miiglichst einfachen Beispiele zeigen.
Zu diesem Zwecke unterwerfe ich einen Hilfsvektor g der
Differentialgleichung :
(4)
die im Intervalle von x = 0 bis x = 1 gelten soll; gleichzeitig
soll g den Randbedingungen gehorchen:
Wegen der formalen Ubereinstimmung von (4) und (4a) mit
den Gleichungen der schwingenden Saite wird es gestattet sein,
das der Differentialgleichung (4) entsprechende elektrische Gebilde ebenfalls als ,,Saite" zu bezeichnen; dabei ist es natiirlich fur unseren Zweck ganz gleichgultig, ob ein solcher Korper
in der Natur vorkommt oder nicht. Das Interval1 von z = 0 bis
x = 1 ware dementsprechend als die ,,Langetcder ,,Saite" zu bezeichnen; @ wlire die Massen-, e die Ladungsdichtigkeit derselben.
Fur die x-Komponente der dielektrischen Verschiebung (BJ
setzen wir, analog dem ublichen Verfahren der Dispersionstheorie, an:
(5)
1) Ph. Frank, Wiener Sitzungsber., math.-naturw. Ki. 117. Abt. Ira.
Februar 1908.
Annalen der Physik. 1%'. Bolge. 28.
28
426
Cl. Schaefer.
e' ist ein Proportionalitatsfaktorl), den man als die (unendlich kleine) Elektrizitatsmenge interpretieren kann, die in einem
Punkte oder genauer in einem unendlich kleinen Stucke der
,,Saite" konzentriert ist; die Summe ist fur alle Punkte der
,,Saite", d. h. fur alle Werte von x zwischen 0 und 1 zu bilden.
Dazu tritt endlich noch die I. Hauptgleichung der Maxwellschen Theorie,
1 as, - curl,@,
(6)
c at
wo 8 und c die bekannten Bedeutungen haben. Durch Kombination von (5) und (6) erhBlt man:
i a
-(X
c at
+ 2 e' F)
=
curl, @,
da wir rein periodische Vorgange betrachten, k b n e n wir setzen :
X = U ( x ).cos n t,
(8)
= y(x).cosnt.
Dann liefert (4):
- 0 n a v ( x )- p ~ " ( x=) e U ( x ) ,
oder
Q n2 y (a?)= y" (x) U(3*
(9)
+
P
P
Dazu kommen die Randbedingungen:
Zur Abkurzung setzen wir 0 na/p = ;1 und betrachten zunachst
die freien Schwingungen, d. h. die Integrale der Gleichungen:
y"+ Ly = 0 ,
ypz=o = 0, yx,1=
0.
Es ist bekannt, daS diese Gleichungen nur fur bestimmte
Werte yon A, die wir mit Ax bezeichnen wollen, erfullbar sind.
Zu jedem Werte Lx gehort ein Funktionswert vX(x). Nach
H i l b e r t a ) nennen wir LXdie Eigenwerte, y,(x)die Eigenfunktionen.
F u r die Differentialgleichung (9) sind sowohl Eigenwerte als
1) Ein Faktor 47z, der sonst gewohnlich in (5) auftritt, ist a m Bequemlichkeitsgriinden fortgelassen.
2) D. H i l b e r t , GGttinger Nschr. p. 49ff., 213ff. 1904.
Dispersionstheorie und Serienspektren.
427
auch Eigenfunktionen bekannt I); letztere sind trigonometrische
Funktionen; von den Eigenwerten sei hier nur hemerkt, da6
der Wert A = O nicht zu ihnen gehort.
Nach diesen Vorbemerkungen kehren wir wieder zur Diskussion der Gleichungen (9) und (9a) zuruck. Die Liisung derselben la6t sich in sehr eleganter Form vermittelst der von
F r e d h o l m ), begrundeten Theorie der Integralgleichungen
geben.
Wir haben zunachst an Stelle der Differentialgleichung (9)
und der Randbedingungen (9a) eine bquivalente ,,Integralgleichung" zu substituieren.
Dazu gelangt man nach K n e s e r g am einfachsten in
folgender Weise: Wir bilden zwei Integrale der homogenen
Gleichung q"= 0, von denen das eine (tou,)der Randbedingung
am unteren Ende des Intervalles (z= 0), das andere (y.Jderjenigen fur x = 1 genugt. Dies Verfabren ist, wie in der
Theorie der Integralgleichungen gezeigt wird, dann zulassig,
wenn A= 0 kein Eigenwert iet, was hier bekanntlich zutrifft.
Wir haben also:
vl=A,x+B1,
{ y,
(10)
= A,x
+ B2*
-
Da yl (==o)= 0 sein soll, folgt: B , = 0; ebenso ergibt sich:
B, = A,. Also:
-
(104
w1 = A, ";
Ip, = A, (x- 1).
Die Koeffizienten A, und A, werden iiun noch eingeschrankt
durch die Forderung, dal3
9
1%'-
I p z If$'=
1
sein soll. Dies liefert: A, A, = 1 ; also kann man A , = A , = 1
setzen, und erbalt endgiiltig:
1) Ich fuhre diese Werte nur deshalb nicht in die Gleichungen ein,
urn diesen trotz des sehr speziellen Beispieles ihren allgemeinen Charakter
zu wahren.
2) Ivar F r e d h o l m , Acta mathematics 27. p. 365. 1903.
3) A. Kneser, Math. Ann. 63. p. 477. 1907.
28 *
CI. Schaefer.
428
Wir gehen jetzt zur Konstruktion einer Hilfsfunktion K
iiber, die wir nach H i l b e r t den Kern der Integralgleichung
nennen. Wir greifen innerhalb des Intervalles , in dem die
Differentialgleichung (9) gilt, also zwischen x = 0 und x = 1
einen Punkt 8 heraus. Dann definieren wir unsere Hilfsfunktion R folgendermaBen:
dagegen
fur 1.) O s x s E sei K ( x g ) = q , , ( x ) y , ( E ) ,
x
1 sei K (xg) =U,~I (8)qz(x).
fur 2.)
In unserem Falle ergibt sich in den beiden Gebieten:
(12)
1.1 K b E ) = X Q - 11,
K(z&g)
= l(x - 1).
{ 2.)
‘Clm nun zu einer der Differentialgleichung (9) nebst den Randbedingungen (9a) Lquivalenten Integralgleichung zu gelangen,
ist es zweckma6ig , von einer etwas allgemeineren Gleichung,
als (9) es ist, auszugehen. Dafur nehmen wir:
dx
(9-)
+ (h - I) y
d x
=
P(x),
wo E etwa eine Konstante sei. Konstruiert man hier nach
der oben gegebenen Vorschrift den Kern, indem man il = 0
(unter der Voraussetzung, daB dies kein Eigenwert sei) setzt,
so sieht man, daB fur den Kern K ( x 8 ) die folgende Differentialgleichung gilt:
d
(K’(xE)) Z K ( X E ) = 0.
(13 4
ds
(In unserem speziellen Falle haben wir nachher nur I = 0 zu
nehmen, und F ( x ) durch - (e/p)U(x) zu ersetzen.) Durch Elimination von 1 aus (13) und (13a) ergibt sich dann sofort:
-
lntegrieren wir diese Gleichung nach x von x = 0 bis x = 1,
d. h. innerhalb des Intervalles, in dem die Differentialgleichung (9)
gilt, so folgt, wie leicht ersichtlich l) :
1) A. ICnaser, 1. c. p. 484, - Ich benutze diese Gelegenheit, urn
Hrn. Prof. K n e s e r , der mich auf rneine Bitte hin in die Theorie der
Integralgleichungen einfuhrte, fur seine liebenawurdige Hilfe meinen
besten Dank zu sagen.
429
Dispersionstheorie und Serienspektren.
1
1
Setzen wir noch zur Abkurzung:
- - j K ( x E m W x =fW?
(15)
0
so erhalten wir schlie6lich die gewohnliche Form der inhomogenen Integralgleichung:
I
n
Y (6) - aJ K (x6) sp (x)d z = f
(1 6)
~. )
0
Setzt man hier fur K ( x 6 ) und f ( s ) nach (12) und (15) ihre
Werte ein, so hat man i n (16) die zu der Differentialgleichung (9)
und den Randbedingungen (9a) gehorige Integralgleichung.
Es wird zweckmiiBig sein, gleich an dieser Stelle den
Wert von f ( E ) zu berechnen. Nach (15) ist:
1
f ( 6 )= -JK
(x6) P(z)tl x =
0
+P
jthGBi
U(x)dx.
0
Da aber nach (12) fur K ( z 6 ) oberhalb und unterhalb
schiedene Definitionen gelten, so ist zu setzen:
1
e
6
ver-
1
An dieser Stelle ist es nun an der Zeit, eine neue Hypothese
einzufiihren, namlich die, daS U ( z ) innerhalb des Intervalles
von 0 bis 1 nicht merklich mit x variiert; physikalisch ausgedriickt bedeutet das im wesentlichen, dab die Wellenlange
der auffallenden Schwingung sehr groW im Vergleich zn der
,,Lange" der ,,Saite" ist. Diese Annahme ist physikalisch
begriindet und wird in ahnlicher Form in allen Dispersionstheorien akzeptiert. Dann kann man in (17) U ( z ) vor das
Integralzeichen nehmen und erhalt :
1
e
1
( 1 7 a ) J . ( s h ) U ( x ) d x= U(z)[~'~(h-l)dx+Se(z-l)ds],
0
0
a
430
el. Schaefer.
woraus nach leichten Umrechnungen der gesuchte Wert fur
folgt:
(18)
f (8=
U ( 4 E (E - 1)*
f
+
Die inhomogene Integralgleichung (16) hat nun, solange il+A,,
d. h. verschieden von einem der Eigenwerte ist, stets eine
L8sung. Und zwar kann man diese Losung nach dem von
E. S c h m i d t l) bewiesenen Satze allgemein schreiben:
Die Reihe auf der rechten Seite ist fur alle zulassigen Werte
von A , d. h. fur alle il Ax, konvergent; T, (x) bedeutet die
zum Eigenwerte 1, gehijrige Eigenfunktion.
Setzen wir in (19) unsere Werte fur K ( z C) und f(6) nach (12)
und (18) ein, so folgt:
+
oder, wenn wir wieder U ( x ) vor das Integralzeichen ziehen:
oder, wenn wir
0
zur Abkurzung setzen:
00
(20)
Y ( 6 )=
6U ( 4 [us- + azxyq
1)
1
woraus durch Multiplikation mit
gemaS (8) sich ergibt:
COB ?L t
1
1) E. Schmidt, Inaug.-Dies. Gattingen 1905.
Bispemionstheorie und Serienspektren.
43 1
Nach (5) bzw. (7) haben wir nun zu bilden Ce’g, wobei der
unter dem Sumrnenzeichen stehende Ausdruck fur jeden Punkt
der Saite zu bilden ist; e’ ist, wie oben hervorgehoben, die
Ladung, die sich auf einem unendlich kleinen Stuck der
,,SaitelL befindet. Geben wir also dem Punkte g eine Verschiebung um a!& so ist e’= e d t , da e die Ladungsdichtigkeit,
d. h. in unserem Falle die Ladung pro Langeneiiiheit bedeutet,
und die Summe C e ’ x geht in folgendes bestimmte Integral
tiber: e J i d l . Bilden wir diesen Ausdruck nach (20a) so folgt:
0
Setzt man endlich diesen Ausdruck in (7) ein, so folgt:
oder, unter Benutzung der Abkurzungen:
1
+
e2
--
j
I ( %- l ) d t = a ,
2P
U
1
endlich:
ax
-1- ( a
+
m
..
at
1
432
Q. Schaefer.
Fiihrt man ferner statt A,, und h die Perioden T,,bzw. T ein,
so folnt, da
ist :
wobei noch
ill,' 2;2 = Nx
gesetzt worden ist.
Der Klammerausdruck auf der linken Seite ist aber nichts
anderes als das Quadrat des Brechungsexponenten u ; also erhalten wir schlieBlich folgende Dispersionsgleichung:
m
die den typischen Verlauf des Brechungsexponenten auBerhalb
der Eigenperioden T,, wiedergibt; es mag noch einmal besonders hervorgehoben werden, daB die Reihe auf der rechten
Seite konvergiert, solange die Periode des einfallenden Lichtes
nicht mit einer der Eigenperioden ubereinstimmt. 1st dies
jedoch der Pall, so versagt unsere Losung, weil wir die
Dampfung vernachliissigt haben. Der EinfluB der letzteren
wurde sich iibrigens leicht beriicksichtigen lassen; ich gehe
hierauf nicht niiher ein, da es fur den Zweck der vorliegenden
Untersuchung nicht von Belang ist.
Die gestellte Aufgabe, namlich die Schaffung einer branchbaren Dispersionsformel fiir Medien mit unendzicher Serie ist
also im Prinzip a19 gelost zu betrachten.')
1) Ich bcmerke, daB die oben entwickelten theoretischen Uberlegungen sich ohne jede Schwierigkeit naturlich such auf die von Voig t
gegebene Theorie des iuversen Zeemanphauomeus anwenden lasseu.
Formal genommen ist j a die Voigtsche Theorie nichts anderes als eine
erweiterte Dispersionstheorie. - Folgende Bemerkung ist vielleicht nicht
uberflussig: Die in Ceisslerrohren zum Leuchten gebrachten Gase sind
in Wirklichkeit ein Gemisch von leuchtendem und nichtleuchtendem
Gas;suf ersterem Bestandteil allein bezieht sich Gleichung (23); daruber
lagert sich denn noch die gewohniiche Dispersion des nichtleuch tenden
Bestnndteiln.
Bispersionstheorie und Serienspektren.
433
Bevor ich nun dazu ubergehe, den Fall der endlichen Serie
zu betrachten, wollen wir erst einen Blick auf die experimentellen Tatsachen werfen, die man fur Unendlichkeit oder
Endlichkeit der Serien ins Feld fuhren kann. Zunachst ist zu
konstatier en, da6 eine unendliche Anzahl von Linien naturlich
niemals heobachtet, sondern nur aus der Serienformel geschlossen
worden ist. Das chsrakteristischete Beispiel ist der Wasserstoff; dort sind im ganzen 29 Linien gemessen; jedoch hort
mit den zuletzt gemessenen Linien das Spektrum keineswegs
auf, sondern es schlie6t sich daren ein mit den benutzten
Dispersionsapparaten nicht auflosbarer kontinuierlicher Grund,
der ungefahr da endet, wo die letzte Linie der als unendlich
vorausgesetzten Serie ihren Platz haben soll.
Diese Tatsache fugt sich der ,,Unendlichkeit'( der Serie
aufs beste ein, weil die Beobachtung von diesem Standpunkt
gerade so ausfallen mu6, wie sie tatsachlich vorliegt. Dagegen
scheint mir diese Tatsache unvertraglich mit der Annahme,
daB nur 29 Linien in der Wasserstoffserie vorhanden sein
sollen. Denn dann ist der kontinuierliche Grund unerkliirlich.
Dagegen besteht wieder volle Ubereinstimmung , wenn man
zwar auf dem Standpunkte der Endlichkeit der Serien steht,
aber die Zahl der Linien als sehr groB (vielleicht einige Hunderte)
annimmt.
Ganz iihnlich liegen die Tatsachen mit der I. Hauptserie
des Natriums, von der bisher nur 7 Linien bekannt waren;
soeben ist es Wood') gelungen, die Zahl der Linien auf ca. 30
zu bringen. Auch hier schlie6t sich an die letzte Linie ein
kontinuierlicher Grund an.
Zusammenfassend kann man also sagen, dafl die Tatsachen in gleicher Weise mit der Auffassung der Unendlichkeit
der Serie vereinbar sind, wie mit der Annahme, da6 sie zwar
aus einer endlichen, aber sehr gropen Zahl von Linien bestehe.
Die Entscheidung fur Unendlichkeit oder Endlichkeit der
Serie hat nun eine Bedeutiiug fur die Frage nach dem
Emissionszentrum der Serie. Stellt man sich auf den ersten
Standpunkt, so muB man die Schwingungen einem Rontinuierlich
uerbreiteten Gebilde zuschreiben. Will man an dem allgemeinen
1) 8, W. Wood, Phil. Mag. (6) 16. p. 846. 1908,
434
Cl. Schaefer.
Bilde festhalten, das uns die ubrigen Erfahrungen in Verbindung mit der Elektronentheorie von der Konstitution des
Atoms nahegelegt haben, so bleibt kaum etwas anderes ubrig
so weit ich sehen kann - als die Emission der Serien
ins einzehe Elektron zu verlegen. Sollte es sich als unmijglich erweisen, dem Elektron solche Eigenschaften zuzuschreiben, damit es diese Funktion erfullen kann, so wurde
man a posteriori Zuni Schlusse gelangen, da6 die Serien nicht
unendlich sein konneii, sondern nur aus einer groflen Anzahl
von Linien bestehen. Diese letztere Auffassung ware dann
- wie es bisher auch immer geschehen ist -, so zu deuten,
da8 im Atom sehr zahlreiche Elektronen vorhanden sind, die
ein System von sehr vielen Freiheitsgraden und Eigenschwingungen
bilden. Diese letzteren wurden dann die Schwingungen der
Serie bilden kijnnen.
Auch in diesem Falle bleiben die oben angestellten
theoretischen Erwagungen zu Recht bestehen.
Denn ebenso, wie wir eine ,,Saite" in der Akustik - trotz
ihrer atomistischen Struktur - als ein kontinuierliches Gebilde
behandeln konnen und durfen, obwohl sie in Wirklichkeit nur
eine sehr grope, aber endliche Anzahl von Eigenschwingungen
besitzt, durfen wir auch hier das &us sehr vielen Elektronen
bestehende System als ein ,,quasikontinuierliches" betrachten.
Das ist ein Verfahren, das durch seine Resultate und seine
Einfachheit in der Elastizitatslehre langst legitimiert ist.
Die theoretischen Entwickelungen, die wir zunachst fur
die unendliche Serie gemacht haben, behalten also ihre Bedeutung auch im Falle der Endlichkeit der Serie bei.
Was nun noch zu geschehen hat, ist die Auffindung einer
Differentialgleichung, deren Losungen die Gesetzma6igkeiten
der Serien wiedergeben. In dieser Richtung sind bereits
Resultate erhalten von W. Ritz') und - allerdings mehr
andeutungsweise - von I. Fredholm..2) Die Ritzsche Differen tialgleichung ist naturlich wesentlich komplizierter, als die
von mir zugrunde gelegte Gleichung der schwingenden Saite.
Die Verbindung dieser Differentialgleichung mit den Maxwell-
-
1) W. R i t z , Ann. d. Phys, 12. p. 264. 1903.
2) 1. F r e d h o l m , Compt. rend. 142. p. 506. 1906.
Dispersionstileorie und Serienspektren.
435
schen Gleichungen wiirde die richtige Dispersionsformel fur
leuchtende Gase ergeben , doch sind die mathematischen
Schwierigkeiten hier betrachtlich.
Als Resultat dieser Arbeit mochte ich folgende Satze
betrachten:
I. Unter Annahme der Unendlichheit der Serie wurde prinzipiell - gezeigt, wie man in diesem Falle die Gleichungen
der Dispersionstheorie anzusetzen hat. Das spezielle Beispiel,
fur das die Untersuchung vollkornmen durchgefiihrt wurde,
bietet gleichzeitig die Losung eines akusiischen Problems, namlich
der erzwungenen Schwingungen einer Saite, dar. Diese Aufgabe ist zwar vermutlich schon anderweitig behandelt , doch
diirfte die Erledigung mit Hilfe der Theorie der Integralgleichungen neu sein.
11. Nacht man dagegen die Annahme der Endliehkeit der
Serien, so wurde gezeigt, da6 die auf die Dispersionstheorie
bezuglichen Entwickelungen trotzdem ihre Bedeutung beibehalten.
B r e s l a u , im August 1908, Physik. Institut d. Universitat.
(Eingegangen 5. Dezember 1908.)
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