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Dopplereffekt und EINSTEIN shift im SCHWARZSCHILD-Raum.

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H.-H. v. BORZESZKOWSKI
u. U. KASPER:
Dopplereffekt und EISSTEIK
shift
185
Dopplereffekt und EINSTEINshift im SCHWARZSCHILD-Raum
Von H.-H. v. BORZESZKOWSKI
und U. KASPER
Mit 5 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Es werden die von radial auf die SCHWARzsCHILD-SingU1aritiit (bei r = 0) frei fallenden
Beobachtern registrierten Rot- bzw. Violettverschiebungseffekte betrachtet.
Betrachtet man die SCHWARZSCHILDsChe Losung in spharischen Polarkoordinaten, so sieht man, daB die Eigenzeit t eines in einem festen Raumpunkt ruhenden Beobachters mit der Koordinat!enzeit t durch die Beziehnng
>
2m
verbunden ist. Physikalisch bedeutet das bekanntlich, daB ein bei r
ruhender Beobachter eine von einem bei r = ro befindlichen Atom emittierte
Frequenz mit der verkleinerten Frequenz
v'
= 1/1-
wahrnimmt (Rotverschiebung) [I]. Anders ausgedriickt : Die Ganggeschwindigkeit einer bezuglich der ScHwARzscmLD-Singularitat bei r = 0 ruhenden Uhr
nimmt mit abnehmendem r zu.
Uhren, deren Ganggeschwindigkeiten vom Ort r unabhangig sein sollen,
miissen sich also beziiglich der Singularitat geeignet bewegen, um die infolge
des r-abhiingigen Gra.vitationsfeldes auftretende Bnderung der Ganggeschwindigkeit durch einen entsprechenden ,,Bewegungseffekt" zu kompensieren.
Wir wollen im folgenden nach dem Bewegungszustand eines derartigen Kontinuums von Uhren fragen und die fur die mit den Uhren mitbewegten Beobachter auftretende Rot- bzw. Violettverschiebung diskutieren.
Sofern sich die Uhren (im Sinne der allgemeinen Relativitiitstheorie) frei,
d. h. nur unter dem EinfluB gravitativer Krafte, bewegen sollen und die Kugelsymmetrie fur die mitbewegten Beobachter nicht zerstort werden soll, sind ihre
Weltlinien durch die radialen zeitartigen Geodiiten gegeben. Diese Geodatischen
werden durch die Gleichung
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Annalen der Physik
7. Folge
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Band 20, Heft 3/4
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beschriebenl). Da diese Geodaten hyperfliichenorthogonal sind, entspricht der
Ubergang zu einem Koordinatensystem, das von dem Kontinuum sich derartig
bewegender Uhren realisiert wird, der Transformation der SCHWARZSCHILDLosung von sphiirischen zeitunabhlngigen Polarkoordinaten (t, r , 0:q ~ auf
) synchronisierte Koordinaten (T, R,0,
y).
Wir haben also eine Transformation der Form
T = T ( t , r ) , R = R(t, r ) , v' = v, 0'= 0
durchzufiihren derart, daB die radialen Geodatischen (3) die neuen Zeitlinien
R = const, q~ = const, 0 = const
sind.
Die Transformation R = R(t, r ) lautet dann
wobei @ eine beliebige Funktion des Argumentes t
+ -1/2m
1
~
r
''
dr ist. Sinn-
r-2m
vollerweise wird man @ so wahlen, da13 das Linienelement fur 2m + 0 in das
MmKowsKIsche Linienelement in der Form
+
+
ds2 = - dT2 + dR2 R2(d@2 sin2 @drp2)
(5)
iibergeht .
Wir wollen im weiteren folgendermaljen vorgehen : Zunachst ( 8 1)bestimmen
wir die Transformation T = T(t, r ) fur den Ubergang zu synchronisierten
Koordinaten. Dabei wird sich zeigen, daR (4)die allgemeinste R-Transformation
ist, die zu der Klasse von T-Transformationen T = t
f ( r ) gehort. I n diesem
Zusammenhang sol1 die ScHwARzScHILD-Losung in synchronisierten Koordinaten diskutiert werden. AbschlieBend ( 9 2) wollen wir die von den radial auf
die Singularitat bei r = 0 frei fallenden Beobachtern registricrte Rot- bzw.
Violettverschiebungseffekte betrachten.
5 1. Die ScHwARzscHILD-Losunglautet in spharischen Polarkoordinaten
+
Mit T
=
T (t, r ) und R
=
R (t, r ) erhiilt man aus
die Gleichungen2)
- (1 -
1) 1. c. [l], S. 70. Die in der Geod&tengleichungauftretende Konstante C setzen wir
gleich 1; das bedeutet, daB sich ein liSngs dieser Weltlinien bewegender Massenpunkt bei
r & 2m langsam bewegt.
2) Der Strich bedeutet die Ableitung nach r und der Punkt die nach t.
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H.-H. V. BOBZESZKOWSKI
u. U. KASPER:
Dopplereffekt and EINSTEIN
shift
wenn man fur das Linienelement in synchronisjerten Koordinaten
ds2 = dT2
+ g11(R,T)dR2- r2(R,T ) + sin20dp2)
(11)
+ f ( r ) folgt fur R die Differential-
schreibt.
Aus (8)-(10) und dem Ansatz T = t
gleichung
FR+
f-
1/2m
r - 2m
~-
p.3/"
R'
=
0,
deren Losung eine beliebige Funktion von z
t
-f
+ [ r )'T
=
5
t
*
+. r - 2 m
(12)
dr ist :
dr).
Fur ql1 erhalt man damit
Man kann sich leicht davon uberzeugen, daB g, fur 2.m -+ 0 gerade dann gegen
- 1 geht, wenn man @ so wahlt: dal3
gilt. Da R als Radialkoordinate interpretiert wird, wahlen wir K posit,iv. I n
diesem Fall geht also das ScHwaRzscHILDsche Lidenelement in synchronisierten
Koordinaten fur 2nt + 0 in das ~INKOWSKIscheLinienelement (5) in gewohnlichen dreidimensionalen Kugelkoordinaten uber.
Die Gln. (8)-(10) legen f' nur bis auf das Vorzeichen fest. Entscheiden wir
uns im folgenden fur das positive Vorzeichen3) von f ' , so lautet, die Transformation schliel3lich
(Die Transformation ist nur fur r > 0 reell).
Fur r = r ( T , R ) erhiilt man aus (14) und (15)
I-
)'2%
und
__
TIp"
]*"
fur
a
fiir
a
1/ 2m T + 2
3 r3PL 2 0
= ]/rGT + z r3 3 / z <
0.
Da g,,(R, T ) = - R / r , gilt also
3,
Diese Wahl des Vorzeicheiis entspricht auf r = 0 zusturzenden Beobachtern.
(16)
(17)
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Band 20, Heft 3/4
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bzw.
Unter Benut'zung von (14) erhalt man fur a:
=
)/2m t
+I*
r - dm d r .
Die Kurven a = const sind also die radialen zeitartigen Geodatischen. Daher
ist n < 0 (bzw. a > 0) in dem in Abb. 1 mit I (bzw. mit 11) bezeichneten
Gebiet.
dbb. 1. Radiale, zeitartige GeodZlten im SCHWARZSCHILDFeld
Die Beziehungen (16) und (17) und die Ausdriicke (18), (19) fur das Linienelement zeigen, daB fiir die beiden Gebiete I und I1 unterschiedliche Transformationen durchgefiihrt werden mussen, urn zum SCKWARzscHILDschen
Linienelement in synchronisierten Koordinat,en zu gelangen. Dabei entspricht
dem (r, t)-Bereich I der (R,5")-Bereich A und dem (r, t)-Bereich I1 der (R,T)Bereich B (Abb. 2, 3).
Abb. 2.
Bild von I ( 8 . dbb. 1)
in (R, 5")-Koordinaten
dbb. 3. Bild von I1 (s. Abb. 1)
(R,T)-Koordinaten
in
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u. U. KASPER:
Dopplereffekt und EIWTEIN
shift
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Die T-Koordinatenlinien sind die Weltlinien unserer synchronisierten Uhren ;
sie enden auf der S C H W A R Z S C ~ L D - S i n g U l a n t ~bei
t T = 0. Das bedeutet, daB die
Uhren in die Singularitat sturzen. Die obige Transformation ist derart, daB die
letzte der sich langs der radialen Geodatischen in I bewegenden Uhren zum
Zeitpunkt T = 0 in die Singularitat stiirzt, wahrend zurn selben Zeitpunkt die
erste Uhr der sich in I1 bewegenden Uhren auf die Singularitat trifft.
Die einzig mogliche Wahl von @ in (4) derart, daB sowohl fur den Bereich I
als auch fur den Bereich 11 dieselbe Transformation zum SCHwARzscHILDschen
Linienelement in synchronisierten Koordinaten fuhrt, ist die, bei der @ ( 2 ) gleich
dem Argument
selbst ist :
(20)
(21)
1/%
Diese Transformation ist bis auf den konstanten Faktor
in ( 2 0 ) die in
anderem Zusammenhang [21 angegebene Transformation. Das Linienelement
lautet in diesem Fall
(22)
Dem ( r , t)-Bereich I entspricht der Bereich r' < 0 und dem ( r , t)-Bereich TI
der Bereich r' > 0.
Aus dem Linienelement ( 2 2 ) erhalt man fur 2 m + 0 das MINKowsKIsche
Linienelement in einer Form, die erst nach einer Umdefinition der r'-Koordinate
in die Form (5) ubergeht. Diese r'-Transformation lautet
R
=
K(r')'I3.
(23)
Gerade dann geht (22) in die Transformation (15) iiber.
Aus (23) ist auch ersichtlich, da13 wegen des auf der rechten Seite auftretenden Quadrates sowohl der Bereich r' < 0 als auch der Bereich r' > 0 auf das
Gebiet R > 0 (fur K > 0) abgebildet wird.
8 2. Betrachten wir nun eine bei r = r0 ( 7 2 r n ) beziiglich der Singularitat
bei r = 0 ruhende Lichtquelle und einen 1Lngs der radialen zeitartigen Geodgtischen von aufien (d. h. rB > ro) auf die ScHwARzscHILD-Singulantiitfallenden Beobachter.
Aus
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7. Folge
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Band 20, Heft 31.1
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erhalt man fiir die radialen Nullgeodlben (dO = &p = 0) die Gleichung
T
-
C'
=
& [R3E
+ 2 1%[R"!2
- -
3 1/G
- 2
1/%T]li3
l/3
(24)
- 2 ~ ~ 1 .
( C = beliebige Konstante).
Die bei r = ro befindliche Quelle moge nun hintereinander zwei Lichtsignale
aussenden, wobei der Zeitabstand zwischen den beiden Emissionen mit den bei
r = ro gerade vorbeifallenden Uhren bestimmt werden soll. Der sich von auBen
auf die Quelle zu bewegende Beobachter soll den Zeitabstand zwischen dem
Eintreffen der beiden Signale mit der mit ihm verbundenen Uhr messen (s.
Abb. 4).
Rz
R3
'
Abb. 4.
Frequenzverschiebung zwischen im
SCHWARZSCHILD-Feld ruhender
Quelle und sich auf die Quelle zu bewegender Beobachter
Aus (24) erhalt man
(rB = zeitlich veriinderlicher Ort des fallenden Beobachters). Beachtet inan,
daR wegen (20) fiir eine bei r = ro ruhende Uhr
dT, = dt,
=
-r----,
2m
1l1--
I
TO
gilt, so erhalt inan schlieBlich
(25)
Dabei ist wieder vo die mit Hilfe einer am Ort ro ruhenden Chr gemessene Frequenz, die von einem dort befindlichen Atom emittiert wird (s. ( 2 ) ) . v' ist die
\-on dem auf die Quelle stiirzenden Beobachter gemessene Frequenz. Da rB im
Verlauf der Bewegnng kleiner wird, wachst der Ausdruck
2 ,In
~-
~
1 2nt
.
Wir gelangen also zu folgendem Ergebnis :
Wenn sich der Beobachter im Unendlichen befindet (rB = m), miBt er die
Rotverschiebung (2). Das ist plausibel, da die von uns betrachteten zeitartigen
Geodaten - wie oben bemerkt - einer fiir grol3e r langsamen Bewegung entsprechen. Beim radialen Sturz gewinnt der Beobachter dann eine inimer groBer
werdende Geschwindigkeit, bis sie schliel3lich so groB ist, daB Y' = yo. Die Rotverschiebung wird in diesem Zeitpunkt durch die infolge des Dopplereffektes
auftretende Violettverschiebung kompensiert. Da die Geschwindigkeit des
Beobachters weiter anwiichst, wircl die Violettverschiebung schlieBlich groRer
als die vom statischen Gravitationsfeld verursachte Rotverschiebung. so daW
H.-H. V. BORZESZKOWSKI
11. U. KASPER:
Dopplereffekt und EIXJTEIN
shift
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der Beobachter nur noch die resultierende Violettverschiebung registriert. Fur
I'B --f 2 rn geht diese Violettverschiebung gegen Unendlich.
Sofern die Quelle genauao wie der Beobachter mit dem Kontinuum der sich
IIngs der radialen Geodatischen bewegenden Uhren verbunden ist, ergibt sich
aus (24)
\Venn r2 > rl (rl und rg sind die zeitabhangigen Abstande der Quelle und des
Beobachters von r = 0). Es gilt also fur die mit Hilfe der mitbewegten Uhren
gemessenen Frequenzen
y"<
1.
1'1
Da sich die Quelle wegen rl < r2 schneller als der Beobachter bewegt, besteht
cine relative Bewegung zwischen beiden (sie entfernen sich voneinander). Das
fuhrt zu der durch (26) beschriebenen Rotverschiebung, wahrend die infolge
des statischen Gravitationsfeldes auftretende Rotverschiebung bei dieser Art
der Frequenzmessung nicht festgestellt w i d .
Der Fall, in dem auch die durch (26) beschriebene Rotverschiebung nicht
gemessen wird, tritt dann ein (Abb. 5), wenn sowohl die Quelle aJs auch der
Beobachter beziiglich der ScHwmzscmm-Singularitat ruhen, ihre Frequenz
T
I
r =ro
Q+dh - - 5 --G+dfi
ij
d b b . 5. Die im S C H W A R Z S C H I L D - F ~ ~ ~
ruhenden Beobachter messen ihre
Frequenz mit den anihren Orten vnrbeifallenden Uhren
-----
I
&+dR,
aber mit Hilfe der gerade an ihrem Ort (ro und r l ) vorbeifallenden Uhren bestimmt wird. (Diese Uhren geben die lokale Inertialzeit an.) Dann folgt aus (24)
namlich dT, = dT,.
Das g,-Feld wird in diesem Fall also durch einen Beschleunigungseffekt
lioinpensiert .
Herrn Prof. Dr. H.-J. TREDER
danken wir fur anregende Diskussionen und
Hinweise .
Lit eraturverzeichnis
[l] Siehe P. JORDAN, Schworkraft und IVeltall, Brnunschwoig 1952.
[2] v. BORZESZKOWSKI,
H.-H., Ann. Physik 19, 312 (1967).
P o t s d a m - B a b e l s b e r g , Institut fur relativistische und extragalaktische
Forschung der DAW zu Berlin (Sternwarte Babelsberg).
Bei der Redaktion eingegangen am 3. April 1967.
13 Aiin. Pllysik. 7. POlgC, Bd. 00
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