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Drehmoment kubischer Rekristallisationstexturen im Magnetfeld.

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H. Mussmann
u. H . Schlechtweg. L?rehmomen,t usw.
215
Drehmommt kubdscher Rekr38tall4eat4onste3ctwre9a
4hn Magnetf'eld
Von H. Mussmannrc und H. SchLech,tweg
(Mit 6 Abbildungen)
Einleitung
Es ist bekannt, dab durch die rontgenographische Untersuchung
die Textur plastisch verformter Werkstoffe in einfacher Weise, etwa
an Hand einer F1achenpolfigur l) qualitativ ilbersehen werden kann.
Man gewinnt dabei Aussagen dariiber, in welchen Richtungen sich
als Konsequenz der plastischen Verformung und eventuellen Rekristallisation bestimmte kristallographische Richtungen hiinfen. Es
labt sich auch abschatzen, von welcher Art die Streuung nm die
sich dabei ergebenden Haufungsstellen ist. Schwierigkeiten stellen
sich jedoch ein bei der Frage nach der quantitativen Verteilung
einer beliebigen kristallographischen Richtung iiber die verschiedenen Richtnngen des auf die Walzebene bezogenen Raumes, besonders wenn noch ein gewisser Volumanteil dea Werkstoffes bei der
plastischan Verformung praktisch isotrop geblieben ist.
Ein beqnemes magnetisches Prllfverfahren, das seiner Natur
nach auf ferromagnetische Stoffe beschrankt bleibt, wurde in der
gleichen Weise wie bei Einkristallena) fur Vielkristalle wohl zuerst
von D a h l und P f a f f e n b e r g e r ? angegeben, die das auf eine Kreisscheibe ausgeiibte Drehmontent gemessen haben bsi vmschiedewn Lagen
des Magnetfeldes innerhalb der Scheibenebene.
Eine quantitative
Auswertung dieser Methode wurde fur den Grenzfall praktisch unendlich grol3en Betrages dieses magnetischen Feldes von Akulov
und B r u c h a t o v4) versucht. Ihre Betrachtung bezieht sich auf den
speziellen Fall der Qfberlagerung von vier verschieden gro6en Volumenanteilen, deren jeder durch eine bestimmte Lage seiner kristallographischen Achsen zu Walzebene und Walzrichtung gegeben ist.
Insbesondere handelt es sich bei zweien dieser Anteile nm in der
Walzebene liegende Wilrfelebenen des Kristallgitters, wobei in einem
1) R. G1o c k e r , Materialprtifung mit Biintgenatrahlen, 2. Au0. Berlin 1936.
2) P. W e i a s , ThBaea, Paris 1896.
3) 0.Dahl u. J. P f a f f e n b e r g e r , Ztechr. f. Phys. 71. S. 93. 1931.
4) N. A k u l o v u. N. Briichatov, Ann. d. Phys. [5]15. S. 741. 1932.
dnnalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
21 6
Fall eine Wurfelkante, im andern eine Flachendiagonale in der
Walzrichtung liegt ; die beiden anderen Anteile beziehen sich auf
eine in der Walzebene liegende Dodekaederebene mit einerseits einer
Wurfelkante, andererseits einer Flachendiagonalen in der Walzrichtung. SuBerdem wird ein fiinfter Volumenanteil als isotrop angesetzt. Die Auswertung der MeSergebnisse, die an kaltgewalzten
Scheiben aus Eisen und Transformatorenmaterial erhalten wurden,
mit Hilfe der so erhaltenen Formeln, muB jedoch als problematisch
bezeichnet werden; denn durch die beim WalzprozeS entstehenden
Eigenspannungen kanu in die -4bhangigkeit des Drehmomentes vom
Winkel zwischen Feld und Ralzrichtung noch eine von Akulov
und Briicha t ov unbeachtete zusatzliche zweite Harmonische l) hineinkommen. Aus dem gleichen Grunde erscheint auch die sich auf
kaltgewalztes Eisen beziehende Auswertung eines Ver'suches von
Boz or t h 2, zweifelhaft. Seine Rechnung bezieht sich dabei auf einen
Vielkristall, der aus snit der Flachendiagonalen in der Walzrichtung
liegenden Einkristallen aufgebaut ist, die mit ihrer Wiirfelebene urn,
gewisse, mit jeweils einem bestimmten Gewicht in die Rechnung
eingehende Winkel gegen die Walzebene verdreht sind.
Ein magnetisches Verfahren z u r Texturanalyse von Walzblechen,
das in seinem Ansatz auch die inneren Spannungen des Werkstoffes
berucksichtigt, wurde von B i t t e r s ) versucht. Dabei wird die Lage
eines Kristalls durch die Winkel mi (i = 1,2,3) bestimmt, um welche
der Kristall um die drei aufeinander senkrechten Achsen einer
festen Grundlage gedreht werden muB, um in seine wirkliche
Lage zu kommen. Fur die praktische Anwendung seiner Methode
macht B i t t e r die nicht naher begriindete Annahme, daB die Verteilungsfunktion @ ( m l , oz,cog) sich in der Form eines Produktes
cl, (ol) cl,(02) @(cog) darstellen 1aBt. AuSerdem beschrankt er sich
auf Texturen, deren Kristalle in ihrer Orientierung nur sehr wenig
abweichen von einer mittleren Kristallage. Die mittlere Orientierung
wird dabei als bekannt vorausgesetzt. Tarasov") hat dieses Verfahren etwas abgeandert, indem er aus einer Polfigur die mittlere
Lage und eine Beziehung abliest zwischen zwei der quadratischen
Abweichungen von der Grundlage. Sowohl B i t t e r als auch T a r a s o v
sertreten im Verlauf ihrer weiteren Untereuchnngen die Ansicht,
daS der EinfluB der Spannungen auf die Drehmomentkurven im
Magnetfeld vernachlassigbar gering ist. Ein eingehendes Studinm
-
.
1) H. S c h l e c h t w e g , Ann. d. Phys. [5] 28. 6.701. 1937.
2) R. M. B o z o r t h , Phya. Rev. 60. S. 107K 1936.
3) F. B i t t e r , Introduction toFerromagnetism. S. 219-222. New York,1937.
4) L. P. T a r a s o v , Journ. Appl. Phya. 9. S. 192. 1938.
H . Nussmann u. H . Schlechtweg. Drehmment usw.
217
der W alz- und Rekristallisationstexturen von Transformatorenmaterial
mit Hilfe der Messung der Drehmomente im Magnetfeld und der
Rontgenanalyse durch T a r a s o v l ) zeigte in manchen Fiilleii gute
ffbereinstimmung zwischen magnetischer und rontgenographischer
Nessung, in einigen Fallen traten aber auch betrachtliche Unterschiede auf.
Die Abhllngigkeit der magnetischen Eigenschaften von der Textur
hat in den letzten Jahren eine gewisse technische Bedeutung auf
dem Gebiet der Transformatoren- und Dynamostilhle erhalten durch
die Herstellung von Werkstoffen mit einer solchen Textur, dal3 gerade die Richtung bester Magnetisierbarkeit sich in einer bestimmten Richtung des Bleches hauft, die man dann zwecks s t i k s t e r
inagnetischer Ausnutzung des Bleches durch geeignete Konstruktion
zur Richtung des magnetischen Flusses im Transformstor oder dgl.
mrtcht. Die folgenden Ausfuhrnngen sollen sich nun auf das Drehmoment im Magnetfeld von Vielkristallen im Gebiet der magnetischen
Yattigung beziehen. Es sollen einige grundlegende Betrachtungen
uber die Verteilung der Kristalle im Walzblech und uber das dazugehorige Drehmoment angestellt werden.
1. Das Drehmoment dee Einkripietelle im Magnetfeld
Wir betrachten zunachst das Drehmoment einer kreisfdrmigen
Einkristallscheibe mit kubischem Kristallgitter im Magnetfeld Bedeutet Q den Winkel zwischen dern ih der Blechebene liegenden:
Magnetfeld und der Projektion einer Kristallachse in die Blechebene, so laSt sich, wenn V das Volumen und K die magnetische
Anisotropieenergie bedeutet, das Drehmoment darstellen in der
Formz): d (a) V K , wobei
-
(1,l) A (a)= ( A , cos 2a
+ A, cos 40 + Ill sin 2a + B, sin 4a).
Es ist zu beachten, daS dieser Ausdruck beim Eisen .in der Gegend
der Oktaederebene etwas ungenau wird, da er auf der Annahme
einer magnetischen Gleichwertigkeit der Richtungen der Oktsederebene beruht; beim Eisen jedoch sind diese letzteren Richtnngen
einander nicht ganz vollstandig gleichwertigs). 1st r der Winkel
1) L. P. T a r a s o v , Am. Inst. Min. metallurg. Engra., Techn. Publ. Nr. 1012,
Metals Techn. 6. Nr. 1. 1939.
2) H. Mussmann u. H:Schlechtweg, Kruppsche Mitt. Forschungsber.
1. S. 161.1938; Experimcntelle Prtifuung vgl. L. P. T a r a s o v , Phys. Rev. [2]66.
$. 1224. 1939.
3) K.H o n d a u. S. K a y % ,Sc. Rep. Tohoku Imp. Univ. 15. 6. 721. 1926.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
218
zwischen den Bezugsgeraden etwa der Wabrichtung nnd der Projektion
einer Wilrfelkante des Kristallgitters in die Scheibenebene, so gilt:
{
(172)
A , = a, COB 2 r 2 6, sin 2 7 , B, = a, sin 2 r + b, cos 2 T,
A, = a , c o s 4 r - b b , s i n 4 r , B8 = a 2 s i n 4 r + b , c o s 4 r .
.
Die Zahlen a, , 4 , b, , b, hangen dabei von der Lage der Blechebene
relativ zu einem durch drei Wiirfelkanten des Kristallgitters festgelegten Koordinatensystem in der folgenden Weise ab: Es sei 0 der
Winkel zwischen der Scheibeunormalen und einer Wilrfelkante, die
wir a18 Achse 3 bezeichnen wollen. 'p eei der Winkel zwischen der
Achse I und der Projektion der Blechnormalen N von der Achse 3
am in die Ebene der beiden anderen Wiirfelkanten (vgl. Abb. 1).
E s bestehen dann die Beziehungen:
1
a, =
- 41 sin, p cos p sin 4 'p ,
-
Die in der Gl.(l,l) vorkommenden Koeffizienten Al, A,, B,, B, sind
also Funktionen der auf der Ein3
heitskugel
gemessenen Winkel
t
p, tp, r ; cs ist daher klarer,
wenn man in (1,l) an Stelle von
A (0) echreibt d (a;p, (p, r).
Fur jede Lage des Walzbleches im System der drei in
Abb. 1gezeichneten Kristallachsen
ist bei festeraichtung des Magnetfeldes 8 der Winkel zwischen der
in der Blechebene liegenden Feldrichtung und einer Bezngsrichtung, etwa der Walzrichtnng
Abb. 1. Orientipung der Probeecheibe konstant; der Winkel sei mit CL
und deren Normalen im Krietdlgitter bezeichnet. Es besteht dann bei
Beriicksichtignng der Definitionen
der Winkel CT und T fur 'jede Lage der Walznormden gemiif3
Abb. 1 die Beziehung
(1,4)
r+fT-~Zu;
B=t(-7.
H. Mussmann
u.
H. Schbchtweg. Drehmoment
usw.
219
Setzen wir diesen Wert in Gleichung (1,l) ein, so erhalten wir fiir
das Drehmoment
d ( a )= a1 Cos2(u - 2 r ) + a,cos4(ac - 2 r )
+ b, sin 2 (dc - 2 4 + b, sin 4 (a- 2.~1,
oder
(1,5) d ( d = A,'cos2cc + A,'cos4a + N,'sin2a! + B,'sin4rr.
Hierbei bedeuten :
All= a, cos 4 r - b, sin 4 r , B,'= a, sin 4s + b, cog 4r,
V,6)
A,'== a, c o s 8 r - b, sin 8 r , B4'=a, sin 8 r + b, cos S r .
Fur das a d eineii isotropm Vielkristall ausgeiibte Drehmoment erhalt man dnrqh Integration
{
0
P
Man iiberzeugt sich leicht. daf3 dies in gbereinstimmung mit der
Anschauung den Wert Null ergibt.
2. Einiges uber die Hiiuflgkeitnverteilung der Texturen
von Walnbleohen
Es mogen nun Vielkristalle betrachtet werden, die eine bestimmte Art der Kristallausrichtung, Textur, besitzen. Dasjenige
Volumen der Probe, das aus Kristallen der Orientierung (v, r, cp) besteht, sei gegeben durch
fk,T ,
dr
dq-einqdg
'v 2n
F
1
wobei V das Gesamtvolnmen der Probe iit und unter F das Oberflachenstiick der Einheitskngel verstanden ist, das die vorkommenden
Normalenrichtungen anf der in Abb. 1 dargestellten Einheitskugel
ausschneiden. Es gilt d a m f > 0.
1st ein gewisser Volumenanteil c der Probe quasiisotrop, so gilt:
+
f(P1 r, cp) = c g(0, Tl cp).
und das xur Lage (0, r, 9) gehorige Volumen ist
dq
- sing. d v
F
1st V,,= c V der isotrope Teil des Volumens, so gdt dann
2n
.
220
Annalen der I'hysili.
5. Folge. Band 38. 1940
Da die Verteilungsfunktion g(p: r , qj) fur festes r auf der Einheitskugel definiert ist und 0 , cp als Koordinaten auf der Einheitskugel
aufgefaBt werden konnen (Abb. l), so kann sie nach cp in eine Fourierreihe entwickelt werden. Die Achsen 1, 2, 3 bedeuten in der Abbildung die Wiirfelkanten des Kristallgitters. Die Funktion g (4,T,rp)
kann dabei nicht vollstandig beliebig gewiihlt werden; denn die an
der spannnngsfrei gegliihten Probe vorliegende Testur ist in der
Regel erzeugt durch Kaltverformnng m i t Hilfe eines der technisch
iiblichen Formgebungsverfahren, die in gewisser Weise symmetrisch
vor sich gehen. So liegen bei einer
aus einem Walzblech (auch in rekristallisiertem Znstapd) entnommenen 'Probe infolge der beim Kaltwalzen auftretenden Spannungsverteilung Symmetrieebenen vor, und
zwar muB die Auarichtnng des
Kristallgitters
spiegelsymmetrisch
sein zur Walzebene, der Langsebene und der Querebene. Die
Funktion g (Q,T , rp) mu6 sich also
reproduzieren bei Spiegelung des
durch 9 , T , cp beschriebenen DreiN
Abb. 2. Spiegelung an der Walz- beins der Kristallachsen an diesen
drei Ebenen. Um nun die Orientieebene
rungen zu finden, die denselben
Wert van g haben, betrachten wir zunachst die Spiegelung an der
Walzebene. In Abb. 2 bezeichnen 1 , 2 , 3 die Lage der drei Kristallachsen; die Pfeile geben, wie auch in den folgenden Abbildnngen,
den Sinn der Winkelzahlung 80 an, daB die Zahlung stets im gleichen
Sinne erfolgt; die Nummern l', 2 , 3 bezeichnen das an der Walzebene gespiegelte Dreibein. Bezeichnet ni den Winkel zwischen N
und der Achse i, nil den Winkel zwischen N und i', so erfordert die
Spiegelnng :
nil = R - n,,
+
Um den Zusammenhang zu finden, der zwischen den Winkeln p = 3N,
y
1A , r
W P einerseits und den Winkeln p' =+3",
I' A' (man beachte den in der Abbildung eingezeichneten
Drehsinn!), 7 = 7' besteht, sind mit Hilfe von Abb. 2 die Winkel ni
durch p , r , ~p und die Winkel n; durch p', T', rp' auszudriicken.
Man hat
cos n1 = sin Q cos y , cos n2 = sin p sin y , cosn3 = COB p ,
cog Itl'= sin p'. cos v', cos n2'= sin p'- sin v', COB n3' = cos p'.
=+
=+
=+
-
-
H. Mussmann u. H . Schlechtueg. Drehmoment usw.
221
-
Da nun aber cos nil = cos (n ni) = - cos ni sein muB, so ist p‘= n - p ,
y’= n - y. Aus der Spiegelung an der Walzebene folgt somit, daS die
gleiche Anzahl von Kristallen in der Lage (p, T , y ) und ( x - 8, T , n- y)
auftritt.
R i r betrachten nunmehr die Spdegelung an der Langsebene. In
Abb. 3 ist der besseren Anschauung halber die Walzebene in die
Zeichenebene gelegt, so daB der Sinn des aus Walznormale, Walzrichtung und Querrichtung gebildeten Koordinatensystams derselbe
ist wie vorher. Die Nummern 1,2,3 geben wieder die DurchstoSpunkte der Kristallachsen durch
fbtmQ
die Einheitskugel; 1’, Z‘, 3’ bedeuten das System, das an der
jetzt horizontal liegenden Langse b p e , die durch Walzrichtung W
und Walznormale N geht, gespiegelt ist. Bezeichnet man die
Winkel zwischen Q und den
Achsen i mit qi, diejenigen zwischen Q und den Achsen i’ mit q;,
so verlangt die Spiegelung hier:
q; = I
- qi.
&fh
hat nun,
Abb. 3. Spiegelung an der Lhgsdie pi auszudriicken durch die
ebene
Winkel Q =
3N, y =
1 A,
t = +Z W P und die q; durch p’= + 3 N , #=+l’C’B’2’A’
und
W P , wobei wegen der Spiegelung r’= r ist. Man erhalt
dann folgende Beziehungen:
+
.+
T I = +
(2,4)
I
.
.
cos q1 = cos r sin q -sin T . COB y cos p (aus Dreieck Q 1 B),
cos qa = -cos r .cos rp -sin r .sin y . cos p (aus Dreieck Q B 2),
(aus Dreieck Q P 3).
cos q3 = sin r . sin 8
Bei der Spiegelung an der Langsebene WN gehen die Winkel qi uber
in die Winkel q[ = n - qi. F u r die q; bestehen folgende Gleichungen:
-
.
-
-
cos q,‘ = cos r . sin y’ + sin z cos e’ cos p’,
COB T COB y‘ - sin T sin a’ cos p’ ,
cos q2’ =
cos q3’ = - sin r sin p‘ .
-
-
Aus COB qi = - cos q; folgt d a m . daS die gleiche Anzahl von Kristallen in den Lagen (p, r, rp) und (p, - T, - y ) auftritt.
Wir betrachten nunmehr noch die Spjegelung an der Querebene.
Abb. 4 zeigt die entsprechenden Verhaltnisse. Sind tui bzw. w,.’ die
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
222
Winkel zwischen U'alzrichtung W und den Achsen i bzw. i', so
verlangt die Spiegelung an der Walzebene :
w;= x - wi.
Man hat nun wieder den Zusammenhang zu ermitteln zwischen dem
Zahlentripel (p, r , 9) und p ' = + 3 " ,
4 = 4 = 1 ' C ' B 2 ' 8 ' nnd
r'= 72 - r, da wegen der Spiegelnng QP = QP' ist. An Hand der
Abb. 4 kommt man zu folgenden Zusammenhangen:
y - c o s Tacos
(am Dreieck W 1 B),
cos w ,= -sin 9 sin r-COB
cos w 2= cos tp sin r sin yi-cos T-COS
(aus Dreieck W B Z),
(215' cos w3= cos z sin p
(aus Dreieck W P 3).
-
J
I
-
Fiir die Winkel
gi
-
liefert Abb. 4 folgende Beziehnngen:
cosw,'=-sinr.siny'cosr.sincp'.cos$,
coswg' = - s i n r cos tp' - cos r sin y ' . cos Q',
COS w3' = - sin !)' cos r .
-
-
Aus COSW;
- coswi folgt f i r i = 3 dann p = (J' und f u r i = 1
und 2 wird cp' = 2 n y. - Aus der Spiegelung an der Querebene
folgt eomit, daS die gleiche Anzahl von Kristallen vorhanden ist
far (8, r, 9)und (p, x 7, 21 - rp).
Man hat also zusammenfassend:
=
I
-
-
g
(e, 7?4 ~ )= g (72 - P, 7 ) n - sp)
= g (p, 2 n - 7 , 272 - q )
= g ( ? , - r , 272 - ip).
[R
Man bemerke, dab diejenige dieser
Verteilungsfunktionen, die (n - p)
als Argument enthillt, in einem
System von Kristallachsen gehort,
bei der die mit 3 numerierte Ache,
von
der BUS p gezahlt wird, nach
Abb. 4. Spiegelung an der Querder
Unterseite
des Wdzbleches geebene
richtet ist. Rechnet man jedoch
positive Richtungen der Achsen stets nach oben und beschrankt
sich bei der Integration auf solche, so gehart zu dem Tripe1
(n - p; r , I
y ) dieselbe Anzahl Kristalle wie zu dem die
Verlingerungen dieser Kristallachsen beschreibenden Zalilentripel
(0, 72 + 7 , y). Es gelten demgemaB die Syrnmetrierelathen:
-
-
9 ( ~ , 7 , ~s(e,
)
+ T, rt.) = g k , 272 = g (p,
72
2% - v )
- 7 , 2 n - yP).
T,
H. Mussmann u. H . Schlechtweg. Drehmment
usw.
223
In den vorliegenden Erorternngen wird jede Kristallage beschrieben durch das System der Kristallachsen, wobei jedoch eine
Achse ausgezeichnet wird, niimlich die, von der aus der Winkel e
gezibhlt wird (hier stets als Achse 3 numeriert). Nun muS aber die
Beschreibung der Hilufigkeitsverteilung der Kristalle so vorgenommen
werden, da6 die H&fti@itsjunktion g(p, T , cp) sich bei Vertauschu~
der Kristalluchsen reproduziert. Am einfachsten lil6t sich die Vertauschung der Achsen 1 und 2 ilberblicken; unter Beachtung, daB
der Winkel cp von der Achse 1 aus stets so zu riihlen ist, da6 der
Sinn des aus den Achsen 1, 2, 3 gebildeten Kqordinatensystems
derselbe ist, erhillt man durch die Verhuschung von 1 und 2 einen
n
+ tp, d. h. es gilt
Winkel 'p' = 2 n g ( e , 7 , ~=
) ~(P,T,Y-
(297)
+)a
Setzt man also fiir g(e, 7 , 'p) in tp eine Fourierreihe an, so sieht
man, daS sie nur durch 4 teilbare Harmonische enthalten kann.
Vertauscht man nun z. B. die Achsen 1 und 3, so werde die
neue Achse 3, die mit 1 zusammenfallt, mit 5 bezeichnet und entsprechend werde mit 1' die neue Achse 1 bezeichnet. Far die hierdurch entstehenden neuen Werte (e', r', cp') gilt die Bedingung, da6
die Winkel von 1 und 3' bzw. 1' und 3 mit den Richtungen des auf
die Walzebene bezogenen Koordinatensystems (es geniigt Walzrichtung
und Querrichtnng zu betrechten) dieselben sind, d. h.
cosq, = cos q,' ,
cos n1 = cos ng' ,
cos ng = cos n l ' ,
cos q, = cos q l ' .
Man erhalt hieraus
g (p', T', 'p? = g (0, '5, v) fur
cos p' = sin p COB 'p ,
I
I
a
cos cp' =
COB
4
I / i - sin' 4
COS~
cp
Bei Vertauschung der Achsen 2 und 3 erhalt man entsprechend
aus : cos n, = cos n,"? cos n, = cos n,", cos qz = cos q," das Ergebnis
cos p" = sin p sin 'p ,
-
sin qj" = sin 7" = -
COB p
- s i n 9 . COB* '
COB 9 - coe T + cos Q - sin cp - sin
-_.
1/1
'T
v F s i n * g . cos* cp
224
Annalen der Yhysik. 5. Folge. Band 38. 1940
Mit Hilfe dieser soeben abgeleiteten Symmetrie- und Vertauschbarkeitsrelationen kann man im Raum (0 e n, 0 T < an,
0
cp < 274 einen Grundbereich angeben, auf den sich die Betrachdung der Verteilungsfunktion g (9, T , y ) beschranken Zuj3Rt; fuhrt
man namlich eine dieser Spiegelungs- oder Vertauschungsoperationen
durch, so erhalt man aus der durch p, t,y gegebenen Lage des
Kristallsystems eine durch die Winkel Q', T', 9' bestimmte Lage der
Kristallachsen, ftir die die Verteilungsfunktion g den gleichen Wert
hat. Es sol1 jetzt der Rereich in Q, r, cp gesucht werden, der dadurch
gekennzeichnet ist, da8 in ihm jede Lage des Kristallgitters nur
einmal vorkommt. Fur den Winkel g zeigt die Anschauung sofort,
< <
<
<
< <
beschranken kann, da
dab man sich auf das Interval1 0
man ja stets die positiven Richtungen des Kristallachsensystenis
nach derselben Seite der Walzebene rechnen kann. Bei fester Lage
der Achse 3, d. h. festem (g, t) erhalt man samtliche Moglichkeiten
ftir die Achsen .1 und 2, wenn man in der zur Achse 3 senkrechten
Ebene die Achse I ron der Walzebene aus urn 90° sich drehen
laBt, wenn man also y einen Bereich von n/2 dnrchlaufen labt, beginnend an der Stelle, an der die Achse I in der Walzebene liegt.
Fur diese Lage ist aber y = $, da die Achse 1 dann auf 3 und N ,
also sowohl auf der Ebene durch 3 und N als auch a d der Projektion von N in die (I,Z)-Ebene senkrecht steht. Daher gentigt es,
bei festem ( g , 7 ) den Winkel cp den Bereich von 0 bis n / 2 durchlsufen zu lassen. Wiirde man y uber n/2 wachsen lassen, ao erhielte man bereits betrachtete Gitterlagen. Eine Beschrankung des
Grundbereiches in T liefert die Forderung (2,6)
9 (Cl,
Y) = 9 (Q, n
t,
+
7,
y ) = 9 ( n - !A
T, 'Ic
- y )'
Hieraus folgt unmittelbar, daS 7 auf den Bereich voxi 0 bis n beschrankt werden muB, wenn keine Wiederholungen von Gitterlagen
n
2
,
vorkommen sollen. Wir branchen also nur den Bereich 0 6 p
<
<
zu betrachten. Bei Spiegelung des Kristall0
t < n, 0 6 y <
achsensystems an der Langsehene mu8 zu der durch 0 , t, 90 beschriebenen Lage dieselbe Zahl von Kristallen gehoren wie fur die
gespiegelte Lage Q' = 0 , T' = 2 a - t, = 2 n - y . Betrachtet man
jetzt den vorhin festgelegten Grundhereich 0
0 6 rp
n
< T , so
in den Bereich 0
n
<g <T
, 0 < < n.
7
sieht man, da5 er durch die genannte Spiegelung
<
z,
2 n />
> n,
2
T I
2z
> rp' > 3 -2
TI
uber-
H . Mussmann u. H . Schlechiweg. Drehmoment usw.
225
geht. Da diese beiden Bereiclie eiuander nicht teilweise iiberdeclcen,
so liefert diese Spiegelung fiir eine irn (frundkorper rorgegebene
Verteilungsfunktion keine Bedingung f u r die Art der Vorgabe im
Grundbereich. Aus der Spiegelung cles Kristallgitters an der Querebene folgt, daS die Zahl der Rristalle in der Lage 0, r, sp gleich
der Zahl der Kristalle mit der Orientierung Q' = 0 , T' = n - r,
< Q <%,0 < r < n , 0 < <
den Bereich 0 < p'< $, ,> T' > 0 ,
n
rp'= 2 n - tp ist. Der Bereich 0
wird dabei abgebildct auf
2%
> tp' > 3 3.Auch diese beiden
qj
I
fbene
Be1 eiche iibei decken sich nirgends,
so dafi die Spiegelung an der Querebene ebenfalls keinen Einflufi auf
die Art der Verteilungsfunktion im
Grundbereich hat. Vertauscht man
die Achsen 1 und 3 des Kristallgitters, so bleibt die Achse 2 fest,
d. h. cosn2 = cosn,' (Abb. 5). Es
miissen nun gleich viele Kristalle
in der Lage g, r, sp sein wie in der
Lage p', T', y ' , wobei zwischen
den Koordinaten beider Lagen
Abb. 5. Vertauschung
die Beziehung (2,8) besteht. Aus
der Achsen 1 und 3
cos n2 = cos np' folgt nach Abb. 5
rein geometrisch die Beziehnng sin p sin sp = - sin 0' sin y'. D a
die Winkel p, g', y kleiner als n / 2 sind, so mufi n < sp'< 2 % sein,
auch hier gehort also das neue Kristallsystem nicht zum Grundbereich und liefert demgemaB keine Bedingung f u r die Angabe der
Verteilungsfunktion im Grundbereich. Dasselbe gilt fiir die Vertauschung der Achsen 2 und 3, wie man sofort der zweiten Gleichung
von (2,9) entnimmt.
Es werde nun g(0, '5, sp) f u r alle Punkte des Grundkorpers
-
0
-
< g < 3,0 < t < n , 0 < (p < $ irgendwie vorgegeben; durch
Ausfiihrung der notwendigen Spiegelungs- und Vertauschungsoperationen erhalt man dann die Werte von g in sgmtlichen iibrigen
n, 0
T < 2n, 0
sp < 2n.
Punkten des Bereiches 0 p
Wir zerlegen nun den eben genannten Gesamtbereich nach
Abb. 6 in 16 Teilbereiche, von denen der mit Nr. 1 versehene Bereich unser Grundbereich ist. In der folgenden Tabelle ist die
Transformation angegeben, die die Punkte Q', z', sp' der Einzelbereiche
< <
Annslen der Phyeik. 5. Folge. SB.
<
<
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Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
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in die Punkte p, 7 , sp des Grundbereiches uberfuhrt; in der letzten
Spalte ist dann angegeben, wie die betreffende Transformation aufgebaut werden kann aus Operationen, welche die Verteilungsfunktion
invariant lassen. (Spiegelungen a n den drei durch den WalzprozeS
bedingten Symmetrieebenen, Vertauschungen und Umkehrungen des
Richtungssinnes der drei Kristallachsen so, daS der Drehsinn in dem
System der drei Achsen bewahrt
bleibt; van nimmt hierbei zweckmiiSig Abb. 2 zu Hilfe.) Man sieht
also, daB zur Ausfuhrung der in
der zweiten Spalte der Tab. 1 any
gegebenen Transformationen nur Richtungsumkehrungen der Achsen, VerAbb. 6. Reduktion
anf den Grundbereich
tauschungen der Achsen 1 und 2
sowie die Spiegelung an der Walzebene benotigt werden. Da es, wie Tab. 1 im einzelnen zeigt,
moglich ist, die uberfuhrung der 16 Teilbereiche in den Grundbereich
nur mit Hilfe von Operationen durchzufiihren, die die Verteilungsfuuktion invariant lassen, so gilt fur die Punkte jedes Teilbereiches
(2710)
(0' T', (P3 = 9 (8TI (PI
Tabelle 1
-
Zuruckfuhrung der Lagen des Kristallgitters auf die im Grundbereich enthaltenen Lagen
Kr. des
Teilbereichs
Transformation
Aufbau aus den Grundoperationen
~~~
Identitiit
Richtungsumkehr der Achse 2 und Vertauschung
der Achsen 1 und 2
1
3
e'
=
el
Richtungsumkehr der Achsen 1 und 2
Vertauschung der Achsen 1 und 2, Richtungsumkehr der Achse 2
5
0
-~
3n-
a
+ 'p
I
~
Spiegelung
an der
der Achsen 1' und 2'
ichtungsumkehr der Achse 2'
Vertauschung der Achsen 1' und 2'.
~~
~~
9-16
+
sowie je eine der
Transformationen 1-6
T'=
n
T
zusatzlich zu den Operationen 1-8: Spiegelung an
der Walzebene und Richtungsumkehr aller Achsen
H.Mussmann
u. H. Schbchtweg. Drehmonzent usw.
227
Auf Grund der abgeleiteten Symmetrie- uud Vertauschbarkeitsbedingungen werde nunmehr eine passende Form gesucht, in der die
Verteilungsfunktion angesetzt werden kann. Da diese Verteilungsfunktion periodisch in den Winkeln p, r , y ist, so kann man sie als
Fourierreihe ansetzen, die wir der Einfachheit halber komplex schreiben :
g(!l,r,e)
(2,111
=
222
I=-m
m=-m
cL,. ei(le+mr+nrp).
n=-m
Bus der Forderung der Invariane dieser Funktion gegen alle in Tab. 1
aufgefuhrten Transformationen lassen sich die gesuchten Beziehungen
fur die Koeffizienten c~,,, des obigen Fourieransatzes aufstellen.
Bildet man den Bereich 3 der Tab. 1 auf dem Grundbereich
ab, so lautet nach (2,lO) die Invarianzbedingung fiir g(e, T, fp)
s(e,
oder
m
l=-m
m
ma-m
r)
e ) = g ( e , r , 'P + $)
m
n=-m
=
222
I-
-m
m = -m n =
i(le+mr+nrp)
clmn e
n
i n T
e
.
--OD
Dies ist nur moglich, wenn die Verteilungsfunktion die Form hat
m
m
m
Wie man sich leicht uberzeugt, ist dieser Ausdruck audh gleichzeitig invariant gegeniiber den Transformationen der Teilbereiche 5
und 7 in den Grundbereich. Die ubrigen in Tab. 1 angegebenen
Transformationen ftihren in analoger Weise zu weiteren Vereinfachungen des Ausdruckes f a r g@, T, y). W e bereits oben dargelegt , mu8 die Verteilungsfunktion auBerdem den. Symmetriebedingungen genligen, die nicht zur Reduktion des Gesamtbereiches
der Variabeln auf den Grundbereich benutzt werden. Es sind dies
die Relationen, die aus den Spiegelnngen an der Langs- und Querebene folgen. Unter Beachtung dieser beiden Beziehnngen erhalt man
eine weitere Bedingungsgleichung far die Fourierkoeffizienten clmn.
Von den Vertauschbarkeitsbedingungen wwde bisher nur die benutzt,
die sich auf die Vertauschbarkeit derjenigen beiden Achsen bezieht,
in deren Ebene der Winkel y gemessen wird. Man konnte jetzt
noch die Bedingungen far g(g, r, cp) suchen, die sich aus den beiden
anderen Vertauschbarkeitsrelationen ergeben. Es. sol1 hier aber davon
Abstand genommen werden, da die Ableitung mit einem unverhaltnismaSig pollen Aufwand von Rechenarbeit verkniipft ist ; auBerdem
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Annalen der Physik. 5. FoZge. Band 38.
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1940
wird sich im ngchsten Paragraphen zeigen, daS aus den bisher unbenutzten Symmetrien bereits die Aussagen folgen , die wesentlich
sind f u r die vereinfachte Form, in der sich bei Vielkristallen das
Drehmoment darstellen la&. Der Realteil der Fourierentwicklung
von g(p, r, tp!, der j a infolge der physikalischen Bedeutung der Verteilungsfunktion nur fur unsere weiteren Betrachtungen beriicksichtigt werden muS, la& sich d a m in der vereinfachten Form
sclireiben :
m
I
n i l
m
n = l
Die Funktionen RL,", sind dabei als Fourierreihen in
zufassen.
auf-
3. Des Drehmoment des Vielkrietalle im Magnetfeld
1st der Volumanteil der Kristalle mit der Orientierung (9, r, rp)
gleich f (e, r, a ) .V , so wird auf die Kreisscheibe vom Volumen V
im Magnetfeld das folgende Drehmoment ausgeubt :
da der isotrope Anteil c kein Drehmoment liefert [vgl. Formel (l,?')].
Der Ausdruck f u r d ( u ; p,r,tp) ist dabei der Gleichung (1,5) xu entnehmen. Zerlegt man den Bereich 0 <p < n;, 0 < T < 2 n , O<y < 2 n
in der oben beschriebenen Weise in die 16 Teilbereiche der Tab. 1
und berechnet man fur jeden dieser Teilbereiche das Drehmoment
im Magnetfeld, so sieht man sofort, da6 jeder Teilbereich dns gleiche
Drehmoment liefert. Man kann sich also bei der Integration des
O<r
n, O<q<+
Drehmomentes auf den Grundbereich 0 p
der Tab. 1 beschranken. An Stelle der obigen Gleichung fur D(u) darf
man daher schreiben:
< <!;
( 3 ~ ) (a)= P K
J $J
0
+J
n/Z
n
0
x
0
<
I:'
d v g (elr , a)
a
e,
(u; r, y ) ,
H . Mussmann u. H . Schlechtweg. Drehmoment usw.
2.29
I
16n’
u
-
u
u
2 s i n p ) s i n 4 r - - ( s41 i n 5 g + 3 s i n 3 g - l 4 s i n y ) s i n 4 r . c o s - l r p
- (sin 40 - 2 sin 2g) cos 4 r - sin 4cp
n
Cp--
n/!!
n/2
J d t l d r f b O g (g, 7 , y ~ [ +(sin 5 p
1 617 1 ~
u
u
- 5 sin 3 p
0
+ 10 sinp) sin 8 t + 1 (sin 5q+27 sin 3 0+42 sine)sin8r.cos4cp
-
1
- ( s i n 4 ~ ~ + 6 s i n 2 g ) c o s 8 rs i n 4 y ,
+ 1 (sin 5g + 3 sin 3g - 14 sin g)cos 4 r - cos 4rp
+ (sin 4 p - 2 sin 2!))sin4t . sin 4rp ,
- 2 siug)cos 4 r
1
+ losing) c o s 8 t + i ( s i n 5 g + 2 7 sin3~+42sing)cos8t~cos4rp
+ (sin 4 e + 6 sin 2p) sin 8 t - sin 497 .
I
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Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
Setzt man far g(p,r,v)den Ausdruck (2,13) ein, so erhalt man
wegen der Orthogonalitiltsrelationen der trigonometrischen Funktion en
sofort, dab die Koeffizienten C, und C, verschwinden. Fur die
Koeffizienten S, und S, erhiilt man dagegen folgende Rerte:
n/Z
+ -:-J(sin5~ + 3 sin3g - 14sine)R:j(g1d!,
U
ni2
+ SJ(sin
40
+ 6 sin 2g)
(q) d p)
0
Das Ihehmvment eines gewalzten Bleches i m Magnetfeld liiiipt sich
also allein durch Sinusglieder in dem von der Walzrichtung aus gerechneten Drehwinkel a darstellen. Bereits T a r a s ovl) hat experimentell gezeigt, daB die Kosinusglieder in der Gleichnng fiir das
Drehmoment praktisch verschwinden, ohne jedoch eine theoretische
Begriindung fiir diese Tatsache anzugeben. Eigene Versuche bestatigten dieses Ergebnis. Wenn gelegentlich sich heim Versuch ein
mit cos 2 a gehendes Glied ergibt, so hat dies im wesentlichen seinen
Grund in mehr oder weniger grogen Unsymmetrien der verwendeten
Kreisscheibe, was lediglich eine Folge etwas weniger sorgfaltiger
Werkstattarbeit ist.
Man erkennt nunmehr aus (3,4) zuniichst, dafl aus der Beobachtung des Drehmomentes in1 Magnetfeld kein eindeutiger SchluB moglich ist auf die Art der vorliegenden Kristallausrichtung. Andererseits ist ein quantitativer SchluD ilber die Textur aus Schwkzungsmessungen von Rontgenaufnahmen infvlge der hierbei auftretenden
Unsicherheiten etwas schwierig zu gewinnen. Es erscheint daher
1) L. P.' T a r a s o y , Am. Inst. Min. metallurg. Engre.; Techn. Publ.
Nr. 1012, S. 5.
23. Mussmann u. H . Schlechtweg. Drehmonmt usw.
231
von Wert, in der magnetischen Methode eine Moglichkeit zu haben,
die Aussagen der Rontgenuntersuchung in quantitativer Beziehung
zu sichern.
Zusammenfaeeung
Es wird das Drehmoment des mit Textur behafteten Vielkristalls im Magnetfeld aus der Sumrne des Ilrehmomentes der einzelnen Kristalle berechnet. Dabei wird beachtet, da6 f u r jede Lage
des Walzbleches im Kristallachsensystern bei fester Lage des Magnetfeldes der Winkel mischen der in der Blechebene liegenden Feldrichtung und der Walzrichtung konstant ist. qfber die Verteilungsfunktion werden einige grundsatzliche Betrachtungen angestellt, und
der Grundbereich wird abgeleitet, auf den man sich bei der Integration der Verteilungsfunktion und auch des Drehmomentes beschrilnken kann. Das Drehmoment des Vielkristalls la& sich ausdriicken
allein durch die Sinusglieder des zweifachen und vierfachen Winkels
zwischen Feld- und Ralzrichtung, enthillt also keine Kosinusglieder.
Dies Ergebnis stimmt gut mit den Versuchen uberein. Es laBt sich
freilich mit Hilfe des Drehmomentes allein 'keine eindeutige Aussage
iiber die Verteilungsfunktion machen. Man hat dadurch jedoch ein
Mittel zur quantitativen Sicherung der Rontgenanalyse in die Hand
bekommen, zumal letztere quantitativ ebenfalls keine eindeutigen
Aussagen liefern kann.
Ess e n , Physikalische Versuchsanstalt der Friedr. Krupp-A.-G.,
Mai 1940.
(Eingegangen 26. Juni 1940)
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