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Durch Wechselwirkung mit Atomen bedingte Frequenzaufspaltung in einem Resonator. I

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344
Annalen der Physik
7. Folge
Band 19, Heft '718
*
1967
Durch Wechrelwirkung mit Atomen bedingte Frequenzaufspaltung in einem Resonator. I
Der Fall eines Atoms
Von H. PAUL, J. FRAHM
und D. RAUH
Mit 1 Abbildung
Abstract
Making uw of the eigenfunctions of the total Hamiltonian, the correlation function
i.8 ca8lcdated explicitly for a one-mode radiation field interacting inceesantly with an atom.h the frequency spectrum following from this correlation function
there appear frequency ehifta corresponding, just 88 in [7], in one w e , to a Change of the
effwtive dielectric conatant within the cavity due to the atom. and, in the other cam. to an
amplitude modulation due to the alternating abaorption and emission of a photon by the
atom.
<$'-'(tJ &'+)(t2)>
1. Einleitnng
In [l]wurde die quantenmechanische Streuung der elektrischen Feldstarke
eines in einer Eigenechwingung angeregten Strahlungsfeldes in einem Resonator
untemucht, daa zur Zeit t = 0 mit einem (urspriinglich im angeregten bzw. nichtangeregten Zustrtnd befindlichen) 2-Niveau-System in Wechselwirkung tritt.
Der Ausgangszustand des Strahlungsfeldes war d a h i ein quantenmechaniech
maximal kohiirenter Zustand [2,3]
( I n ) Zustand des Strahlungsfeldes, bei dem n Photonen vorhanden aind), d. h.,
zur &it t = 0 war die iiber eine Lichtperiode gemittelte reduzierte Streuung 2
der elektrischen Feldstkke [4] gleich Null, wobei
Hier bezeichnet BT das in der bekannten Weise normierte klassbche Vektorpotential der E i ge nsc h h g u n g und o deren Kreisfrequenz; If ist der Photoneneneugungs- und der -vernichtungsoperator in der Normierung [ij, C+] = 1.
Die in [l] erhaltenen Resultate ergaben, daB fiir sehr kleine Zeiten - genauer
gespochen, fiir 6= J x I t
1,wobei ti x = (a,1 I
I b, 0) das Matrixelement des
Wechselwirkungsoperators H W zwiachen den Zustiinden Ib, 0) (Atom angeregt,
kein Photon vorhanden) und I a, 1) (Atom im tieferen Zustand, ein Photon vor-
<<
PAUL,
FRAHH
u. RAUH:Durch Wechselwirkung bedingte Frequenzeufspaltung. I
345
handen) bedeutet - die Abweichung der GrBBe vom Wert Null vernachlhsigbar ist (vgl. auch [5]). Fiir gr6Bere wiichst jedoch 2 nicht, wie man zuerst
erwarten wiirde, monoton an, sondern zeigt einen gediimpft oszillatorischen
Verlanf. Wahrend fur No = 1 (No mittlere Photonenzahl im Resonator zur Zeit
f = 0) dieses Schwanken noch fast regellos erfolgt [S], findet mit steigendem No
immer deutlicher ein Einschwingen von 7 in Form einer von einer Kosinusfunktion iiberlagerten Exponentialfunktion in einen ,,stationiiren" Wert s t a t t
(der mit der H6he des ersten Maximums iibereinstimmt). I n [ l ] wurde dies am
Beispiel fiir No = 10, berechnet fur das Interval1 0 5 5 100, gezeigt. Bemerkenswert ist, daB die Streuung, nachdem sie praktisch maximal geworden ist,
wieder kleiner wird, wenn sie auch nie wieder ganz verschwindet.
I m Limes sehr groBer No kann man die Summe uber die PoIssoN-Verteilung
durch ein Integral iiber eine Normalverteilung gleicher Varianz ersetzen
hnd in dieser Niiherung einen Ausdruck fiir z'i erhalten, der bereits fiir No = 10
schon recht gut das Einschwingverhalten dieser GrbBe beschreibt [7]. Wie d o r t
ausgefiihrt, h a e n sich die oben erwtihnten Schwankungen von 3 zwanglos a16
Effekt einer Inhrferenz (im Erwartungswert der elektrischen Feldstiirke) zwischen verschiedenen Strahlungsfeldfrequenzen verstehen, in welche die urspriingliche Frequenz infolge der Wechselwirkung mit dem Atom aufgespalten
wird. I m folgenden sol1 nun eine weitergehende Untersuchung dieser Problematik mit Rilfe von Korrelationsfunktionen des elektromagnetischen Feldes durchgefiihrt werden. Wir gehen dabei nicht wie in [ l ] von einem ganz speziellen
Anfangszustand aus, sondern fiihren die Rechnung im Rahmen des benutzten
Modells fiir beliebige Zustiinde des Gesamtsystems Atom
Strahlungsfeld
durch .
+
2. Eigedunktionen des totalen HAMILTON-Operators
Wir betrachten einen verlustfreien Resonator,in dem nur eine Eigenschwingung angeregt ist, deren Frequenz 4 2 7 2 in der Ntihe einer ubergangsfrequenz
eines im Resonator befindlichen Atoms (oder Molekiils) liegt. Die zu dem passenden ubergang gehiirigen Atomzustiinde seien) .1 und ( b ) , die entsprechenden
Energien no, und h o b , und es liege das Niveau b h6her als das Niveau u. Da fiir
1-Quanten-Prozesee die Zwischenzustiinde des Atoms in erster und zweiter s t i i rungstheoretischer Niiherung keinen Beitrag zur ubergangswahrscheinlichkeit
leisten, erscheint die Annahme gerechtfertigt, daa wir niiherungsweise von der
Existenz aederer Niveaus absehen und irn weiteren von einem 2-Niveau-System
sprechen kbnnen.
Fiir die Eigenfunktionen des totalen H m ~ ~ ~ o ~ - O p e r aB0
t o+
r sf i w (fro
ungestbrter IiamToN-Operator, gW Operator der elektromagnetischen
Wechselwirkung zwischen dem Atom und dem Strahlungsfeld) erhalten
wir, wenn wir in der S C R R ~ D I N G E B - G ~ diejenigen
~~C~U~~
Matrixelemente des
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7. Folge
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Wechselwirkungsoperators HTP
streichen, die dem Energieaatz widersprechen,
entsprechend [8, 93 hn SCHBijDINOER-Bild:
+ sin 9,la,n + I)] = e -@on+,
sin@, lb,n> + C O s e n la, + I > ] e-iQitoc
pn
+ ( t ) = e - i Q i t [COS0, Ib, n)
-iQit
pc ( 1 ) = e
[)
(n = - l , O , 1, 2, ...).
Hierbei gelten folgende Bezeichnungen bzw. Relationen :
(5)
cose 8, =
sin s, cos 8, =
km
q
p
Die Phasen der Atomzustiinde la) und I b) denken wir uns dabei so gewiihlt,
da8 x reel1 wird. Man beachte, dal3 auch der Wert n = -1 in den Gln. (5) bis
(13) zugelaasen ist. Es iat dann I -1) formal gleich Null zu setzen, und wir erhalten k - l = 0, sin 8-,= 0, cos 8-1= 1, Qll
= oa und damit
-
+
p-l (1) = 0 , y-l ( t ) = e - b a t Ia90).
(14)
Es ist phyeikalisch klar, da8 der letztere Zustand ein Eigenzustand des GesamtHAmToN-Operatore jst, wed von ihm aus (ah Grundzustand des ungesttirten
HAMILTON-Operators ho)wegen der vorausgeeetzten genauen Energieerhaltung
keine Obergiinge mtiglich sind.
3. Berechnong der Korrelationsfnnktion (&-)
+,
( t l ) &(+I ( t g ) )
Die Zustirnde y l ( t )(mit 0 =
-) stellen fiir jedes feate t ein vollstirndiges
normiertes Orthogonalsystem dar. Wir ktinnen daher die Wellenfunktion des
Gesamtsystems nach den Basisfunktionen &(O) =
entwickeln. Bezeichnen
'
PAUL,
FRARM
u. RAUH:Durch Wechselwirkung bedingte kequenzaufspaltung. I
347
wir ganz allgemein mit @(nu,
n'a') die Dichtematrix des Qesamtsystems (im
HEISENBERG-Bild) in bezug auf die Bask yz(0). 80 schreibt sich die fur das Frequenzepektrum bedeutsame Korrelationsfunktion (Niiheres s. Abschn. 4)
(&-)(tl)
&+)(tz))
=2
e(nu, n ' d ) (n'd I&-)(tl) & + ) ( t a ) ] nu>
(15)
21U
n'u'
&-) positiver bzw. negativer Frequenzanteil des Operators 6 der elektrischen Feldstiirke). Die Aufgabe besteht also darin, das Matrixelement
(@+),
(n1~116(-)(ti)
&+)(ta)
M
=
2 (nla,
n'u'
l&-)(tJ
I n2~2)
I n'a')
(16)
I
(n'u' 1 @ + ) ( t 2 ) n,a,)
zu berechnen (Summation iiber alle ZustLnde n'u', fur die beide Matrixelemente von Null verachieden sind). &hen wir zum SCHR6DINGER-Bild
uber, so ergibt sich explizit
x (n,a, I & - ) ( O ) / n'a') (n'u'
I @ + ) ( O ) l n,a,>
oder, wenn wir die Operatoren @ - ) ( O ) und & + ) ( O ) in der Form
&-)(o) = e * i + ,
&+J(o) = eij
(18)
schreiben, schlieBlich
Wie man aus (5) leicht erkennt, ist das emte Matrixelement (nlol
nur fiir
das zweite (n'a'
141 npaa)
I#+l
n'a')
entsprechend nur f i r
von Null verschieden. [Fiir ntl,712 = 0 ist gemiiB (14) nur der Wert a' = - zu
nehmen.] Das bedeutet, es mu0 n1 = ng sein, damit das Matrixelement M nicht
verachwindet. Die Summation iiber alle Zwischenzustiinde reduziert sich folglich
auf
M = I e / 2 2 d ( l ) * l 0, - " , - , ) f l ~ - j ( o ~ - o ~ , - , ) ~ a
U
x <nlaI It+I n, -
1 9 0 )
(niua
[I+1 711 - 1, a> &n.
-
(20)
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Die explizite Berechnung der von Null verschiedenen Matrixelemente liefert :
Wie au8 (13) in Verbindung mit (9)...(11) ersichtlich ist, werden die Matrixelemente (21), (24) fiir geniigend groDe n proportional zu
wiihrend die
1
Matrixelemente (22), (23) proportional zu 1/n + 1 w -werden, d. h.
l/i
fib groBe n fast Null sind.
vn,
2 r/n
Enbprechend (15) und (20) erhalten wir fur die Korrelationsfunktion
(&-)(t1)
6'+)(ts)> = ~1 e(nol, nu,) (not /&-)(tl) b + ) ( t e )I no,>
WP,
= ~1@(nol,
no1
(nu1 I @ - ) ( ~ J & + ) ( t o )
I nol>
(25)
mit
wobei nach (6) gilt :
+
+
Die zweite Summe in (25) enthiilt nur Funktionen, die nicht von t, - t, allein
abhiingen, die aber fiir gr613ere n - wie aus (22) und (23) ersichtlich iet - nur
mit sehr kleiner Amplitude vorkommen. Fiir groBe n iet daher diese zweite
Summe praktisch bedeutungslos. Weiterhin konnen bei der ersten Summe die
Beitriige der Zwischenzustiinde mit o ol in (26) niiherungsweise weggelaasen
werden, da sie betragsmiiBig sehr klein sind. Fiir grofk n vereinfacht sich daher
=+
PAUL,
FBAHM
u. RAUE:Durch Wechaelwirkung bedingte Fkequenzaufspaltung. I
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die Korrelationsfunktion naherungsweise zu
Q2-
-i(
(&(-)(t,) &(+)(tz)> =
Ie122
@(nol,na,) e
001
n-1).
no1
mit
t
= t,
x (nul 1 i+I n - 1, a,>*
- t,.
4. Korrelationsfunktion und Frequenzspektrum
Eine grundlegende Beziehung der Theorie stationiirer stochastischer Prozesse verknupft die (Auto-)Korrelationsfunktion mit der spektralen Dichtefunktion. Sie ist unter dem Namen ,,Wiener-Chintschin-Theorem" bekannt und sagt
aus, daB diese beiden Funktionen durch FouBIER-Transformation auseinander
hervorgehen.
Die quantenmechanische Verallgemeinerung dieses Theorems fur das elektromagnetische Feld wurde von GLAUBER[2] angegeben. Er fand einen dem
klassischen Fall vollkommen analogen Zusammenhang zwischen der von ihm
definierten Korrelationsfunktion 1.Ordnung (&-)(tl) &f)(t,)> und dem Energiespektrum. GLAUBEBSUntersuchungen galten jedoch dem freien elektromagnetischen Feld, wlhrend es sich im vorliegenden Fall um ein Strahlungsfeld
handelt, das sich in standiger Wechselwirkung mit einem 2-Niveau-System
befindet. Es sol1 im folgenden die FOURIER-Transformierte w (Q) der im vorangegangenen Abschnitt erhaltenen Korrelationsfunktion gebildet werden ; dabei
erhebt sich die Frage, ob diem als das Frequenzspektrum des wechselwirkenden
Feldes betrachtet werden kann. Es scheint, als ob diese Frage in dem Sinn zu
bejahen ist, daB w (Q) ah Frequenzspektrum desjenigen f r e i e n Strahlungsfeldes auftritt, das sich bei binreichend schwacher Auskopplung aus dem Resonator
im freien Raum ausbildet. (Die Auskopplung muB man sich so ,,vorsichtig"
durchgefuhrt denken, daB der Zustand des Feldes innerhalb des Resonators
praktisch nicht geiindert wird und die Linienverbreiterung infolge des Austretens der Strahlung klein bleibt im Verhiiltnis zu den vorhandenen Linienabstanden.) I n der T a t beruhen beispielsweise alle quantenmechanischen Berechnungen
der Linienbreite der Laserstrahlung mit Hilfe von Korrelationsfunktionen
( & - ) ( t , ) & ~ ) ( t , , ) ) (siehe z. B. [lo]) auf dieser Vorstellung. Die Funktion w ( Q )
hat dann also (fur die ausgetretene Strahlung) die Bedeutung einer Frequenzverteilung im ublichen Sinn ; den verschiedenen Frequenzen entspricht die Anregung verschiedener Eigenschwingungen des Strahlungsfeldes (wlihrend im
Innern des Resonators s t e t s nur eine einzige Eigenschwingung angeregt ist).
Um die FOURIER-Transformierte der allgemeinen Korrelationsfunktion (25)
bilden zu kcnnen, mussen wir zunlchst Stationaritiit in dem Sinne vorauseetzen,
daB die genannte Funktion nur von der Differenz t = t, - t , abhiingt. Das bedeutet fur die Dichtematrix des Systems offenbar die Einschritnkung e (nu1,nuz)
= 0 fiir u1 $. a, (alle anderen Dichtematrixelemente k6nnen noch beliebig sein).
Dann fiillt die zweite Summe in (25) weg, und wir erhalten entsprechend der
Definition der FonRIER-Transformierten einer Funktion f (t)
8
350
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7. Folge
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unter Beriicksichtigung der bekannten Darstellung der Deltafunktion
f i r die FonBIEa-Transformierte von (25) im oben definierten stationliren Fall
den Ausdruck
w ( 9 ) = 2 le l2 2 e(nul, nol) (nul I$+ I n - 1, a)?
+w%
(33)
x 6(Q - [92- 9 ; - 1 ] ) .
Die als Folge der Wechselwirkung auftretenden Frequenzen sind daher gemaB
(28) und (29)
.
.
= of
- do 2 kS,-*] 3 0 f don
(34)
sowie
[jfq-ziv(T)
n
+
wobei die letzteren nach dem Obigen nur fiir kleine n mit merklicher Amplitude
vertreten sind. Diem Ergebnisae stimmen genau mit den in [7] aus der Untersuchung der Erwartungswerte dee Operators 6 der elektriachen Feldstiirke und
h6herer Potenzen von @ gefolgerten iiberein. Bei festgehaltenem n ergeben (34)
und (36) vier verschiedene, zur urspriinglichen Frequenz w symmetrisch gelegene
Frequenzen, von denen zwei [entaprechend (34)] o benachbart und zwei [ent1 von o weit entfernt sind. LiiDt man n noch variieren,
sprechend (35) J fiir n
so werden, wie in Abb. 1 veranschaulicht, aus den genannten Frequenzen jeweils
Gruppen relativ dichtliegender Frequenzen.
>>
?n
-+H*k
c
w
I
%7
Id
bn-r
-1-
Abb. 1. Schematiache Damtellung dee infolge Wecheelwirkung
mit dem Atom auftretenden
Frequenzepektrume. Fiir n & 1
und Aw = 0 iet der Abstand
zweier benachbarter Frequenzen
1
xn-'/' in den nahe bei w lie4
genden Frequenzgruppen und
x i ' b den entfernten Gruppen.
Die Frequenzen (35) zunlichst k6nnen nach [?I im Rahmen einer semiklassischen Theorie (Strahlungafeld klassisch, Atom quantenmechanisch beschrieben)
ohne weiteres verstanden werden. Berechnet man nlimlich in dem genannten
Modell den Erwartungswert 6 des Dipolmomentes des Atoms unter dem EinfluD
eines vorgegebenen monochromatiachen liuBeren Feldes im Falle der Anfangsbedingung, daD sich im Zeitpunkt t = 0 das Atom entweder im Zustand la) oder
im Zustand la) befindet, so erhiilt man ohne Muhe (a. etwa [ll])eine ZeitabhiingigkeitderForm -f sin 2 k ~ - l tc o s o t m i t k ~ - lgemiiB(9)(NformalausderEnergie
des Feldes berechnete Lichtquantenzahl). (Der Einfachheit halber beschrlinken
wir uns auf den Resonanzfall d o = 0.) Die hier auftretende Amplitudenmodu-
PAUL,
FRAHW u. R a m : Durch Wechwlwirkung bedingte Frequenzsufspaltung. I
351
lation bringt zum Ausdruck, daB das Dipolmoment 9 durch das auBere Feld
erst induziert wird und daB seine Phasenlage zum Feld - je nachdem, ob vom
Atom Energie aufgenommen oder abgegeben wird - im L a d e der Zeit stiindig
wecheelt. (Im Fall der Absorption haben die elektrische Feldatiirke E ud % die
gleiche Phaae, im Fall der induzierten Emission besteht eipe Phasendifferenz
der Gr6Be n ; die Leistung $@ des Feldes am Atom ist daher im ersten Fall
positiv, im zweiten negativ, wie es aus energetischen Grunden sein muB;
vgl. [71.) Die genannte Amplitudenmodulation bedingtandererseits das Auftreten
der beiden Frequenzen w
2 k ~ - 1und w - 2kx-I - die fiir d o = 0 und N
1
offenbar mit (35) (fur 7~ = N) iibereinstimmenl) - zuniichst im Dipolmoment
des Atoms; bei der Berechnung der Ruckwirkung des Atoms auf das Strahlungsfeld hiitte man %
als
I Polarisationsterm in die MAxwELrschen Gleichungen einzusetzen, so dal3 die genannten Frequenzen schlieBlich auch beim Strahlungsfeld in
Erscheinung treten. (Sie entsprechen hier einer Amplitudenmodulation des
Strahlungsfeldes, bedingt durch die abwechselnde Absorption und Emission
eines Lichtquants durch das Atom.)
Die durch (34) ausgedruckten Frequenzverschiebungen andererseits lassen
sich, wie in [7] niiher awgefiihrt, als Folge einer Bnderung der effektiven Dielektrizitiitskonstante des RRsonators durch das Atom verstehen. Wir betrachten die
Falle, in denen nur jeweils eine der F'requenzen (34) auftritt. Offenbar lie@ diese
Situation dann vor, wenn ein einziger der Eigenzustiinde (5) des GesamtHAMnToN-Operators angeregt ist, und zwar ergibt sich, wie aus (28) ersichtlich,
fur:y die Frequenz w
60, [mit 60, gemiiB (34)], und f i i r y i die Frequenz
w - do,. I n den genannten Zustiinden sind zwar die Envartungswerte des
Operators @ der elektrischen Feldstiirke und des Operators % des Dipolmoments
des Atoms einzeln gleich Null, es bestehen aber nichtsdestoweniger Korrelationen zwischen diesen beiden GrijBen.
I n der Tat erhalten wir, wenn wir H I v zweckmaBigerweise gleich mit - 6 6
identifizieren, aus (5) sofort
+
>>
+
+
+
( y i - - ) l % @ l y L - ) )= c ~ ~ 2 s i n 0 , c o s 0 , h k ,
(36)
oder, wenn wir den Wert (13)fur sin 8,cos 0, einsetzen,
Eine analoge Rechnung Iiefert unter Beachtung der Beziehung (a I i. 1 b )
= i ( w , - wp) ( a (rI b )
d. h., das Feld leistet im Mittel keine Arbeit an dem Atom, wie es wegen der
Stationaritiit ja auch sein muB. Im Fall der Wellenfunktion :y schwingen also
l ) Bei Beriickeichtigung einer adringlichen Verstimmung zwiechen Strahlungsfeld und
Atom (do + 0) ergibt sich aus der semikleseischen Rechnung eine Amplitudenmodulation
deaDipolmomenteemit d e r h q u e n z 2
fmg
(fiir N 9 1) abereinetimmung mit (36).
(vgl. [ll]);wir hsben also such him
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die elektrische Feldstiirke und das Dipolmoment des Atoms gegenphasig. Die
dabei entsprechend (28) auftretende Vergr6Berung der Frequenz ist (f iir n
1)
mit derjenigen identisch, die man in der klassischen Elektrodynamik erhllt,
wenn man das Vorliegen der gleichen Phasenbeziehung annimmt und fiir die
Amplitude der atomaren Dipolschwingung in Q-Richtung den Wert
2 lsin8,-1 cosQ,-l(a1~,,1b)verwendet.(Siehe[7],diedortfiirdo=Odurchgefiihrten Oberlegungen lassen sich leicht a d den allgemeinen Fall do
0
k:4]-1’e,
was
iibertragen und ergebem dann klassisch Bw, = 1 %* [(.$)2
fiir 7t
1 mit (28) iibereinstimmt.)
GemiiB (37) haben wir im Fall der Wellenfunktion y l ein Miteinanderschwingen von elektrischer Feldstiirke und atomarem Dipolmoment, dem (ebenfalls in
quentitativer Obereinstimmung mit der klassischen Theorie) eine Verkleinerung
der Frequenzen entspricht.
Die hier erfolgte Untersuchung der Wechselwirkung eines Atoms mit dem
Strahlungsfeld ist natiirlich wegen der Kleinheit des Effektese) hauptsiichlich
von theoretischem Interesse. F’iir eine experimentelle Verifizierung ist eine Ausweitung der vorliegenden Untersuchung auf den Fall der Wechselwirkung vieler
Atome mit dem Strahlungsfeld erforderlich. Eine entsprechende Arbeit [ 123 ist
in Vorbereitung.
>>
+
>
+
5. Frequenzverteilnng fiir die SpeziaUUe Emiseion und Absorption
Die Gesamtwellenfunktion f i i r die Emission (Atom zur Zeit t = 0 im angeregtsn Zwtand Ib)) hat die Gestalt
+
ye = 2 dn(cos e n yn - sin Qn v)n);
(39)
entsprechend lautet die Gesamtwellenfunktion fur die Absorption (Atom zur
Zeit t = 0 im Grundzustand la))
ya=
xdd ,+l(sin % lp ,f
+
(40)
COsSnrP,).
Diem Wellenfunktionen erfiillen, wie leicht ersichtlich ist, die entsprechenden
Anfangsbedingungen
y e @ )= 2 d, [case 8 , 1 b , n )
cos @, sin 8, la, n
1)
+
+
;sin2e,Ib,n)--inQncosenla,n+
+ sin2 0, la, n + 1)
(42)
Qn sin 8, Ib, n) + cos2 S, la, n + l)] = la) 2 d, In).
n
;Ya(0) = 2 d,+l [sin 8,
n
- COB
(41)
1)3= p ) 2 nd , l n ) ,
COB
8, Ib, n )
Die bei geniigend groBer mittlerer Lichtquantenzahl intereseierenden Dichtematrixelemente sind :
Id, COG0, fiir u =
Emission
e(nu, nu) =
(43)
Id, 12 sin2 0, fur u = - ,
12sin28, fiir u =
A b sor p t.io n
e(na,nu) =
(44)
~ d n + l ~ * c o s 2 8fur
, u = -.
I*
+
+
4) Im gunstipten Fall (dw = 0 und n N 1) iat die Frequenzverechiebung 6w, von der
QraSenordnung x , a h einiger Hz fur Blikrowellenubergirnge dea Atoms bzw. Molekiils.
363
PAUL,
FBAHM
u. RAUH:Durch Wechselwirkung bedingte Frequenzaufepeltung. I
AuBerdem ist fur groBe n
(no
14"
?a
- 1 , o y = n,
(45)
und wir erhalten nach (30) im Falle der Emission
F e ( t )= l e 1 2 r n Id,
n
12 ( ~ 0 Q,
~ 2e-i(a+dwn)r
+ sin2 8, e - i ( a - d a a ) r
1
(46)
bzw. im Falle der Absorption
r,(7)
=
I e 1 2 x n I d , + l IZ{sin28,e-'(a+dan)r+cos*8ne-i(a-da.)r
n
1. (47)
Die entsprechenden FonmER-Transformierten ergeben sich nach (31) zu
we(Q) = 2 ~ e ~ 2 ~ ~ ~ d n ~ 2 { c o s ~ Q n 8 ( Q - o - 6 0 , ) + i 3 i n ~ 8 , 6 ( Q - o + + ~ n ) }
11
I
(48)
wc(Q) = 2 e l2 2 n Id,+ )2(ain28,6 (Q - o - 60,)
n
+ cos2@, d (Q - o + do,)}.
( 49)
Fiir den Fall hinreichend guter Resonanz zwischen Atomiibergangsfrequenz und
Strahlungsfeldfrequenz ( ( ~ l o / 2 ) ~k?,) gilt nach (10) und (11)einfach sin2 en
1
= cos2 8, = p . Entsprechend (34) folgt fur die im Resonanzfalle ale Folge der
Wechselwirkung auftretenden Frequenzen niiherungsweise (fiir groBe n )
<
Die beiden Gleichungen (48) und (49) stellen einen interessanten Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion Id, 12 der Photonen im Ausgangszustand
(dort haben wir eine scharfe Frequenz, aber eine unscharfe Photonenzahl) und
der Frequenzverteilung der wechselwirkenden Strahlung dar. I m Prinzip k6nnte
somit die Energiemessung eines freien Strahlungsfeldes scharfer Frequenz auf
eine Analyse der bei Ankopplung eines (anharmonischen) Atoms entstehenden
Frequenzen zuriickgefiihrt werden.
Literaturverzeiehnis
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B e r l i n - A d l e r s h o f , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
Institut fiir spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redektion eingegangen am 14. Oktober 1966.
23 Ann. Physlk.
7. Folge, Bd. 19
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