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Ebene elektrostatische Felder die eine strenge Berechnung der Elektronenbahnen zulassen.

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Ebene efektrostatische Felder, die eine strenge Berechnung
der Efektronenbahnen zufassen
t'on H a n s Griirnrn
Inhaltsiibersicht
Es werden ebene elektrostatische Felder gesucht, die eine Bestimmung
der Triigerbahnen durch Quadraturen zulassen. Dazu ist es notig, die von
S t a e c k e 1 angegebenen Feldtypen weiteren Bedingungen zu unterwerfen;
Die sich ergebenden Felder werden explizit angegeben.
~
1. Einleitung
Felder, die eine strenge Berechnung der Elektronen- oder Ionenbahnen
zulassen, sind fur die Partikeloptilr von grofier Bedeutung. Xie konnen als
Modelle fur reale Felder dienen, wobei man an den Modellen die Abhangigkeit
der optisch wichtigen Grofien (Brennweiten, Fehlerkoeffizienten usw.) von
den Parametern der Bahnen und des Feldes leicht iiberblicken kann. Bisher
sjnd nur wenige derartige Feldmodelle gefunden worden. Im g a n z e n R a u m
konnte bisher nur der Fall des homogenen Feldes, des (rotationssymmetrischen)
Hyperbel- und des Parabelfeldesl) beherrscht werden. Dariiber hinaus war nur
ein streng integrierbarer Fall bekannt, der sich allerdings nur auf das paraxiale
Gebiet bezog2). Es ist dann P. S c h i s k e gelungen, ein im ganzen Raum
streng behandelbares Einzellinsen-Feld zu findens).
Hier soll der Versuch unternnmmen werden, das Problem allgemeiner und
systematischer in Angriff zu nehmen. Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe: Es sind elektrostatische Felder zu suchen, welche. so beschaffen sind,
dafi inan die Bahnen .der sich in ihnen bewegcnden geladenen Partikel streiig
herechnen. kann. Der Begriff ,,streng" ist allerdings verschwommen und
soll dahingehend prazisiert werden, dafi jene Bahnen als streng berechenbar
bezeichnet werden sollen, die durch eine einfache Quadratur gewonnen werden
lionnen (fuhrt..dieIntegration dabei auf bereits tabuliert vorliegende oder gar
nuf elementare Funktionen, so ist clas naturlich wjllkommen). Einc Beschriinkung auf das paraxiale Gebiet soll nicht vorgenommen werden4). Es verA. R e c l r n a g e l , Z. I'hysilr 104, 381 (1937).
W. G l a s e r u. H. R o b l , ZAMP, Vol. 11, 444 (1948).
3, P
:Schiske;,Nature 171, 413 (1953). Ausfiihrlicher 1%'. G l a s e r u. P. S c h i s k e ,
Optik 11, 422 (1954).
4 ) Die bier angewendete Methode kann in mehrfacher Weise auf den paraxialen
Bereich spezialisiert werden. Zunachst kann man die hier gefundenen Felder fur die Umgebung einer geraden Feldachse entwiclreln. Man lrann aber auch in (1) von vorherein
auf das paraxiale Gebiet spezialisieren. SehlielJlich.kmn. man von der geraden Feldachse
abgehen und z. B. die um die Linien u = const und w = const entwickelten Felder betrachten.
l)
2)
270
Annalen der Ph,ysik. 6. Folye. Band 17. 1956
steht sich von selbst, daB nur analytisch darstellbare Felder in Betracht
gezogen werden.
3. Kriterien fur die Separierbarkeit der H a m i l t o n - Jacobischen
Differentialgleichung (H.JDG)
Der Cirundgedanke der voriiegenden Arbeit besteht in folgendeni. Wenn
es gelingt, die H J D G fur die Partikelbewegung in einem bestinimten Feld
durch Suninienansatz zu separieren, so ergeben sich die Bahnen in diesem
Feld automatisch durch Quadraturen und sind damit in dem oben definierten
Sinn ,,streng” berechenbar. Unsere Aufgabe kann also auch dahingehend
Iormuliert werden, daB jene elektrostatischen Felder zu suchen sind, die zur
Separierharkeit der H J D G fuhren. Wjr sind daniit z u einem Sonderfall des
Problems yon S taeckel5) gelangt. Mit dern hier skizzierten Verfahren
cverderi wir nicht unbedingt a l l e Felder des oben tlefinierten Typus erfassen,
doch wird sich zeigen, daB wir zu ejner Reihe von Feldern gelangen, die unter
Umstanden praktische Bedeutung besitzen. AuBerdem umfassen wir damit
systematisch die bisher bekannten Falle.
Zunachst sollen in kurzer Form Kriterien fur die Separierbarkeit cler
H J D G angegeben werden. Wir legen ein ort,hogonales - im allgemcinen
krumrnliniges - Koordinatensystem (u,
21, u)) zugrunde, in dem die H J D G
die Gestalt
A , S:
d, S’;
A3 St,-- 2 e m . = E
(1)
hat. Die Wirkungsfunktion S (a, 21, w,c,, c2, E) sol1 die Form
S = 17 ( u ) T’ ( v ) M’ ( ~ 1 )
( 2)
annehmen. Dafur ist notwendig und hinreichend5)6), daB sich das Potential
jn der Gestalt
2 e m . y ( u , e!, 7 0 ) = A, P (u) A 2 Q ( 2 : )
A , R (2))
(3)
darstellen lafit, wahrend die A , (u,
v, w)die Form
+
+
+
+
+
+
(4)
sufweiseri. Dabei ist unter d die Determinante aus den neun Funktionen
u, die der
zweiten Spalte nur von und die der dritten nur von w abhangen. Sonst sirid
diese Funktionen willkiirlich. Dnter M , sind die Minoren cler ersten Zeile
von 3 zu verstehen.
Die durch (4) chamkterisierten Koordinatensysteme wurden durch
E i s e n h a r t naher uritersucht ’). Danach gibt es (irn euklidischen Raurn)
nur 11 verschiedene derartige Systeme. Sie werden z. T. in dieser und in
einer folgenden Arbeit herangezogen.
Die hier gefundenen Feldtypen erlauben ubrigens auch die Separation
der fur die Einkorper-Bewegung im elektroniagnetischen Feld zustandigen
S c h r o d i n g e r -GleichungR).
pik zu verstehen, in der die Funktionen der ersten Spalte niir von
11
5)
P. S t a e c k e l , Habil. Schrift, Halle 1891 und Math. Ann. #2, 546 (1893).
6 )
0. H a m c l , Theoretische Mcchanik. Springer 1949, 5;. 359.
L.P. E i s e n h a r t , dnn.Math.35, 284 (1934). Eerncr Phy8ic Rev. 4.5,4‘27 (1934)
und $4, 87 (1948).
8, H. P. R o b e r t s o n , Math. Ann. 98, 749 (1927).
’)
271
H . Griimm: Ebene elektrostatische Felder
Fur die Partikeloptik sind vor allem die e b e n e n Felder (ElektronenT'rismen und -Zylinderlinsen) und die r o t a t i o n s s y m m e t r i s c h e n Felder
(rot. symm. Elektronenlinsen) wichtig. I n dieser Arbeit wird das ebene Feld
in den Vordergrund gestellt. Die rotationssgmmetrischen Felder werden i n
einem zweiten Teil behandelt.
3. Bedingungen fur Feld und Koordinaten
Das e b e n e elektrostatische Feld ist von einer Koordinate, z. B. von
ui = 3 unabhangig. ZweckmaiBigerweise wird man a l l g e m e i n e Z y l i n d e r k o o r d i n a t e n verwenden, die sich aus ebenen Orthogonalkoordinaten durch
Hirizunahme der w-Achse ergeben. Die ebenen Koordinaten 7 4 'v werden durch
eine anal~ytischePunktion f am kartesischen erzeugt :
+
u i 21
f (x
Das Linienelement sei gegeben durch
d&'
1
A
= - (du2
+ i y).
(5)
+d~2+
) dd.
(6)
Wir haben also
A,
= A, = A
(u,a) und A , = 1.
(7a, b)
Bus (7b) in T7erbindung mit (4) ergibt sich d = M 3 ; die Deterniinante d ist
also von w unabhangig. Ans (7a) in Verbindung mit (4) folgt XI= M 2 .
Da A nach ( 7 ) ebenfalls nicht von w abhangt, erkennen wir, daB
und p,,
konstant sein mussen. Die Beziehung MI = ill, kann also in der Gestalt
'
'
q 2 2 - V23
q13 - %2
8)
geschrieben werden. Da links eine Funktion von u allein iind rechts eine von
21 sllein steht, mussen beide einer Konstanten k gleich sein. Mjt Hilfe vo11 (8)
kann man z. R. vZ2
und qlz als Funktionen von q,, bzw.
ausdriicken und
in d sowie in M, und M , einsetzen. Es zeigt sich, dalS der Behrwert von A als
Summe einer Funlition I, (a)und einer Funktion q (v) darstel1ba.r sein nmfi:
vl,
Fur das Potential haben wir nach ( 3 ) zu fordern:
+
2 e m . q = A [ P (u) Q (w)].
Nun haben wir norh sicherzustellen, dafi q die Potentislglcichung
(10)
+
(11)
*,
(I
quu
VVV) = 0
befriedigt. Durch Einsetzen von (10) in (11) gelmgt man zu der Funktionalgleichung
+
+ +
+
+
+
( A u u A , , , ) ( P 0) 2
p'
A , dr')
=2 (P', &") = 0
(13
fur P (u)und Q (v). Da nach (10) P nur von ?L und Q nur von 21 abhiingen darf,
treten zu (13) die Nebenbedingungen
(
d
&
Haben wir P und Q so bestimmt, da13 sie (12) und (13) genugen, so lierinen wir
nach (10) ein Potential, fur welches die H J D G separierbar ist.
272
Bnnalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956
4. Berechnung der Bahnen
Linter der Voranssetzung, dafl clas Koordinatensystem so gewiihlt ist,
da13 (9) zutrifft und dal3 das Potential die Form (10) hat, liil3t sich (1)separieren urid wir erhalten die Wirkungsfiinktion
I-
S(x,v,w) = ~ x ( o - f u , )
+
u
p
J1’1-’-xp+3du+
UO
j-I/+Xq--l.d*.
(14)
1‘0
Es wurde dabei festgesetzt, (la13 S im Anfangspunkt (uo,I),, w,,)verschwindet
und das Potential wurde so normiert, da13 es dorl verschwindet, wo die Gcschwindigkeit Null nird.
Von (14) gelangen n i r mit Hilfe des J a c o b i s c h e n Slttzes zu dcn B a h n g l e i c h u n g e n (die Integranden von (14) sollen dahei den erforderliehen Stetigkeitsbedingungen genugen) :
(15)
%
26”
Die Parameter x und 3, lassen sich leicht durch Anfangspunkt urid Anfangsrichtung im ( u , el, w)-Sg’stem ausdrucken. Implizite Ableitung von (16) und
Ableitung von (15) fuhren zii
Die Auflosiing ergibt
Bei praktischen Rechnungen wird man zweclimiifligerweise den Ifhergang
voni (a,21, u1f-Sgstem zum linrtesischen moglichst sptlt vollziehen. Dabei
kann man sich vorteilhaft der Konforniitiit der durch f beuirkten Abbildung
hedienen.
Zur 17erdeutlichung der hier entwiclielten Methode sollen nun einige elementare Beispiele gegeben 7.2 erden. ,Jedes Iioordinaterlsystem wird dabei
l’otentialfelder von rnehr oder weniger praktischem Interesse Iiefern. Die
hier gefundenen Felder sollen in einer spateren Arbcit im einzelnen untersiicht
wvden, someit sie von Intwesse sind.
5. Kartcsischo Koordinaten
Dieser triviale Fall ergibt sich, wenn, man in ( 5 ) die identische Transforniation benutzt. Es gilt dann p = 0, q = 1 und die Funlitionalgleichuiig (12)
laiitet
P” (.t) g l (y) == 0.
(20)
+
273
H . Griirrim: Ebene elcktrostatische Felder
Sie kann unniittelbar scpariert werden und iuhrt auf das Potential
+
2 e m y ( T , y) = fr k2 (x2- y2) -!- c1 I(' 4- c, y
".
(211
Man kann zwei Fdle unterscheiden. 1st lc2 = 0, so erhalt man nach einer Umformung (wir behalteii die Bezeichnung der Varinbleii auch nach der Drehung
bei) das h o m o p e n e elektrostatische Feld:
3em.g- = a x + b .
(22)
1st ciagegen k2 =t 0, so ergibt sich iiach Umformung das , , H y p e r b e l f e l d "
2 F m . qc = u2
das
eiii
(x2
- y2) + b
(23)
Model1 f i x einc elektrostatische Zylinderlinee darstellt.
6. Iireiszylindcr-Koordinaten
Vi-iihlt man in (5) den Logarithmus, so ergeben sjch Kreiszylinder-Koordinaten mit
x = ctl cos1 . 1
uiid p = e 2 U ; q = 0.
y = el1 sin 21
Die Funktionalgleirhung (12) lautet
P 7-Q - P' -? $ (I"' + Q")
r
0.
(25)
Sie liann separiert und cturch
ge1ost werden.
Wenn man niit
u = In r :
2)
=:
y
zur iiblichen Schreibung der Polarkoordinaten ubergeht, ergi bt sich das
Potential
z c m . p 7 ( r , y ) ===a+ b l n r + $ c o s 2 ( y - ~ ) .
(28)
Dieses Potential ist BUS dem gewohnlichen logarithmischen Potential und
eineni winkelabhangjgen Anteil zusammengesetzt.
5. Koordinaten des parabolischen Zylinders
In diesem Fall ist fur (5)
~ _ _
u $- i 2' = 2 (x i y)
zu setzen, woraus weiter
1/
+
(29)
(30)
folgen. Die Funktionalgleichung (12)
(Y"+ &")
+
-4
(P'u + &' v) + 4 (Y4-Q ) = 0
(31)
ist hier nicht unmittelbar separierbar, wie in den friiheren Fallen. Wir miissen
von den Nebenbedjngungen (13) Gebrauch machen. Wenn man (31) zuerst
(u2
02)
Ann. Physlk. 6 . Folgd, Rd. 1 7
18b
274
Bnnaletz dcr P h p i k . 6. Polge. Band 1;. 19.56
nach u und dann nach zi,ableitet, ergibt sich die Beziehung
3 p"'
21
+ 2 Q"'
u
=
0,
(33)
d'ie zu
k2
1
P =--d
+?c2
24
u2
-
+ c3 u f- c 4 ;
Q
p
= --
~3~
2-1
+1
tr2
+
c 6 2 ~$- ci
(33)
fuhrt. Durch den DifferentiationsprozeB sind wir allerdings zu allgemeineren
Lijsungen gelangt und niiissen daher (33) wieder in (51) einsetzen. Es zeigt
sich, daS k2, c3 und c6 beliebig gewahlt werden konneii, daB jedoch die Beziehungen cq = - c7 und c2 = c5 bestehen. Man gelangt so zum Potential
Hier ist nur der letzte Ausdruck von Interesse, neil der erste, \vie die
Einfiihrung kartesischer Koordinaten zeigt, ein homogenes Feld darstellt.
8. Koordinatcn des elliptischen Zylinders
In dieseni Falle hat man in (5) den Arcussinus z u nehmen. Es ist d a m
.y: =
sin u c h v
1
und
p
~ = _ ~ c o s u . s ~ ~
= - sin2 u;
q
=c
h2 I ! .
(35)
=O
(361
Die Funktionalgleichung (13)
(c h2 u - sin2 2') (P"
+ Q") + P' sin u cos u
-Q&'shechv+ (ch2v+sin2u-l)(P+Q)
8
kann wiederum nicht unmittelbar separiert werden. Differenzieren narh u
und anschliefiend nach 21 fuhren zu der Beziehung
(P''
+ 4 P') s h,
'u
. c h, v
=
(Q"'
-
4 &') sin u . cos u ,
(37)
welclie die Losungen
P
= c 2 sin
Q
= c5
+ c3 cos 2 10 u . sin 3 u + c4
kz
+ c 6 e h 2 v + Z Zs.h 3 v +
x.2
2u
sh 2
'L,
,
ZL -
(58)
c7
besitzt. Das Einsetzen in (36) zeigt, daS k2, c2 und c j beliebig gewithlt werden
1 men, wahrend die Beziehungen c3 = c6 und cq = - c7 zu beriicksichtigen
I . Auf diese Weise gelangen wir z u
3 f~ m . ~1 (u,v)
=
a
+ c hz
+d
1
~~~~~
2' - sinz u
(21
[ b . sin 2 u
+ c .s h 2
. s h 2 v - u . sin 2 u)].
21
(39)
Das erste Glied dieses Ausdrucks stellt den interessanten Fall cines Ablenkfeldes dar, das eine esakte Bahnbestimmung zulaiBt, da,s zweite dagegeri eine
Immersions-Zylinderlinse.
W i e n V I , Joanelligasse 7
Bei dcr Redaktion eingegangen am 2 . Juli 1955.
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