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Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung und Wrmeleitung.

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K . Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung
usw.
207
Ebene Wellen in ideaten Ga8m
rnit Reibung und Wttrvneleituny
Von Kart? B e c h e r t
(Mit 3 Abbildungen)
Zusammenfassung
Untersuchung spezieller ebener Wellenvorgiinge in idealen Gasen , die
Reibung und Warmeleitungzeigen. Es wird eine groEereZab1 strengerL6sungen der
Bewegungsgleichungen angegeben und diskutiert, welche verfiigbare Konstanten,
mitunter willkiirlicbe Fuuktionen (bis zu cwei) entbalten. - 1. Einleitung,
Ergebnisse.
2. Umformung der Differentialgleichungen (6). 8 3. Die willkiirlich wahlbaren GroBen des Problems. § 4. Folgerungen aus den Ahnlichkeitstransformationen der G1. (6). $j5. Einige weitere Integrale von (6). 6. Die
pbysikalische Bedeutung der.Losungen von 5 4 und 5. 8 7. Stationare Zustande.
8. Allgemeines uber Bewegungen, auf welche die Reibung oder die
Wlirmeleitung oder beide keinen EinfluE haben. (j 9. Speeielle Vorgbge, bei
denen. die Warnieleitung vernachlfissigt werden ksnn. 5 10. Die pbysikalische
Bedeutung der in .(3 8 und 9 angegebenen Losungen. 5 11. Integrale, fur
welcbe alle Glieder in (6) von Null verschieden sind.
5 1.
Einleitung, Ergebnisse
Einleitung. In einem idealen Gas, das Reibung und Warmeleitung zeigt, sei eine ebene Stromung im Gange, die nicht staticnik
zu sein braucht. Der physikalische Zustand soll nur von einer
kartesischen Koordinate (5)und der Zeit (t) abhangen; in der y- und
z-Richtung soll das Gas also hinreichend ausgedehnt sein und in Ebenen
1 5 uberall der gleiche Zustand herrschen. Volumkriifte sollen nicht
wirken, auch die Schwerkraft wird nicht in Reohnung gesetzt. Strenge
nichtstationiire Losungen der zu unserem Problem gehorigen hydrodynamischen Gleichungen sind meines Wissens bisher nicht angegeben
worden, auBer solchen, bei denen die von der Reibung und Warmeleitung herriihrenden Glieder identisch gleich Null sind I). Die
1) In der Dissertation von W. K i r c h h o f f , Marburg 1931, ist unser
Problem am Ende der Arbeit formuliert und (S. 15) eine spezielle U sung angegeben; sie entspricht unserer Losung (34),Nr. VIII in $ 6 . Seine Differentialgleichungen sind aber nicht ganz richtig, in der Energiegleichung (45) fehlt
das Glied, welchee die durch Reibung verlorene Wiirme angibt. Die aus seinen
Bewegungsgleichungen folgende, durch Elimination gewonnene Differentidgleicbuug - sie entspricbt unserer GI. (9),ist aber in z und t geschrieben und
daher weniger iibersichtlich - ist folglich urn ein (leicht angebbares) Glied eu
vermehren.
Altnalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
208
allgemeine Losung des mathematisch recht schwierigen Problems
.diirfte nicht leicht zu finden sein; in der vorliegenden Arbeit wird
eine Reihe von speziellen Losungen abgeleitet und auf physikalisches
Verhalten untersucht.
Von der Stromungsgeschwindigkeit b ist gemaJ3 unserer Voraussetzung ebener Stromung nur die z-Kdmponente u von Null verschieden. Den Druck nennen wir p, die Temperatur T, die Dichte 8,
1
das spezifische Volamen u = -,
die innere Energie pro Gramm U.
0
Die. Reibungskonstante p und die Warmeleitfiihigkeit 1 setzen wir
als konstant vorau~. Differentialquotienten, die sich auf zeitliche
Veranderungen in einer bestimmten Gasschicht beziehen, bezeichnen
wir in den in x, t geschriebenen Gleichungen mit dldt, wie es iiblich
.
a
a
ax
ist; es 1st - = - + uat
a
ax
.
Partielle Differentiation bezeichnen wir
au
.
durch Indizes, z. B. ist u, = 2X
Die physikalischen Gro6en sind durch drei Differentialgleichungen
mit einandez verkniipft, die wir im folgenden kurz die ,,Bewegungsgleichungen" heiSen werden. Es sind die Gleichnng der Massenerhaltung :
dQ
at
(1a)
+ eu,=
0,
die eigentliche Bewegungsgleichung (der Impulssatz):
und die Energiegleichung:
AuBerdem gilt die Zustandsgleichung:
(2a)
p = OCT;
C ist die Gaskonstante R, geteilt durch das Molekulargewicht M:
zwischen innerer Energie und Temperatur besteht der Zusammenhang:
u =C
T + const;
x-1
x ist das Vorb, l a i s der spezifischen Warmen:
K . Bechert. Ebene WeUen in idealen Gasen mit Reibung usw. ‘209
und es gilt nach einer bekannten Eigenschaft der idealen Gase:
was schon in (2c) ausgeniitzt wurde.
Da in den G1. (1)die Differentiation nach t nur in der Form d / d t
vorkommt, liegt es nahe, die Gleichungen auf solche unabhangigen
Veranderlichen umzuschreiben, da6 d j d t als partieller Differentialquotient erscheint; an Stelle van x mu6 d a m eine Veranderliche
eingefiihrt werden, die bei der Differentiation djdt konstant bleibt.
Nach der Massenerhaltungsgleichung (1a) hat die in einer bestimmten
Gasschicht enthaltene Masse:
=Spa%
X
(3)
m
l o
die verlangte Eigenschaft; (in der y- und z-Richtung sei das betrachtete
Volumen je 1 cm lang). Mathematisch folgt die Konstanz von m
durch Differentiation von (3) nach t unter Beachtung von (la):
Wir beniitzen daher m, t an Stelle von x, t als unabhangige
Veranderliche und kennzeichnen alle in m, t geschriebenen Funktionen
durch oberstreichen. Es gilt fur eine beliebige Funktion F von z
und t 1):
(4 a)
F,= F m -p; F,=- P,. p u s q ;
und umgekehrt:
Ft ist seiner Definition nach gleichbedeutend mit dPldt.
Die Umrechnung von F,,F, auf Pm,Ft und umgekehrt ware
nur dann nicht mijglich, wenn die Funktionaldeterminante
(5)
standig Null oder oc) ware; aus physikalischen Griinden kommt
dieser Fall fur uns nicht in’Betracht.
In der erwabnten vorhergehenden Arbeit ist die Umrechnung
der Bewegungsgleichungen (1) auf die Veranderlichen m, t angegeben.
Das Ergebnis war: an Stelle von (la;-(lc) kommt
Bc - am = 0;
pa)
1) Die folgenden Besiehungen (4) aind in einer vorhergehenden Arbeit
abgeleitet worden: K. Bechert, Ann. d. Phys. [5] 39. 357. 1941; 8. dort 0 3.
21 0
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40.
1941
dabei sind die Beziehungen (2a) und (2c) beniitzt und die Abkiirzung:
eingefiihrt worden. Statt (6c) ist meist eine Form bequem, die man
durch Einsetzen von (6b) und (6a) in (6c) bekommt:
Ergebnisse. Aus den G1. (6) la6t sich durch Elimination eiue
nicht-lineare Differentialgleichung fiinfter Ordnung (9) fur eine
Punktion K (m, t) gewinneri (0 2); die allgemeine Losung von (9) gibt
zugleich die allgemeine Losung von (6). Aus K konnen die physikalischen GroSen u,v, C T , p , x durch Differentiation als Funktionen
von m,t berechnet werden, vgl. G1. (8a, c). Die Losungen von (9)
und (6) erlauben stets die Transformation m --t m + mo, t +t + t,,
z-+ z + z,
A (t to), K+
K A(m m,) (t t,); dabei sind
m,,, to, z,, A beliebige Konstanten (0 2).
Das Integrationsproblem der G1. (6) kann auch so formuliert
werden: man integriere die zwei G1. ( l l a , b), welche die GroBe (10a):
+
+
+
+
- +
und das spezifische Volumen v verkniipfen (8 2). Aus P und v
kann K berechnet werden und damit all0 physikalischen GroBen.
In 0 3 wird an Hand einer Taylor-Entwicklung untersucht,
welche GroSen bei dem Integratiohsproblem (6) willkurlich vorgegeben werden konnen. Die Frage wird diskutiert fur Vorgabe der
Anfangswerte in den Veranderlichen m, t und in den Veranderlichen x,t ;
auoh die Falle werden betrachtet, datl schematisch I = 0 oder ,u = 0
oder beide gleich Null gesetzt werden, und schliefilich wird das
Anfangswertproblem der Differentialgleichung (9) ftir K besprochen.
In 0 4 werden aus den ;6hnlichkeitstransformationen, welche
die G1. (6) erlauben, die Integrale (l?),(ZO),(26), (29)-(32) abgeleitet
nach einem Verfahren, das in einer friiheren Arbeit entwickelt
worden ist'). Doch stecken in dem in 0 4 abgeleiteten System (25)
1) Vgl. K. Bech e r t , Ann. d. Phys. [5] 39. 357. 1941.
K . Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen .mit Reibung usw. 211
von drei gewohnlichen Differentialgleichungen , das man mit der
Ausnutzung der Xhnlichkeitstransformationen gewinnt, noch mehr
Integrale.
6 5 bringt einige weitere Integrale von (6), die auf andre Art
gefunden sind, namlich: (33a, b), (34a, b), (36), (37). Die letzten
zwei sind die einzigen Integrale, bei denen die Temperatur iiberall
und immer konstant bleibt. (37) enthiilt eine wirkliche Funktion,
wahrend die ubrigen bisher genannten Integrale willkiirliche Konstanten
haben. SchlieBlich werden noch gangbare Wege zu weiteren Losungen
gezeigt, z. B. gibt der Ansatz (38) elementar berechenbare Integrale.
In 6 6 folgt die Untersuchung des Verhaltens der ZustandsgoBen, die den Losungen (20), (261, (29)-(34), (36$ (37) entsprechen.
Dabei zeigt sich, daB die G1. (6) auch physikalisch nicht oder nicht
vollstandig realisierbare Losungen liefern; das ist verstandlich, weil
die Zustandsgleichung der idealen Gase zugrunde gelegt wurde, weil I
und p nicht in einem beliebig groi3en Veranderungsbereich der ZustandsgroBen unveranderlich siud und weil die ZustandsgraBen selbst
makroskopische Begriffe sind, die nicht bis zu beliebiger Verdiinnung
des Gases sinnvoll bleiben.
Schematisiert man die GI. (6) auf 1 = 0, p = 0, so ergibt sich
ein allgemejner adiabatischer Zusammenhang der Form (40b):
PVX= f@),
desseu ,,Adiabatenkonstante" f ( m ) im allgemeinen fur jede Gasschicht
einen anderen Wert hat; das bekannte Adiabatengesetz pvx = const
gilt fur reibungsfreie nicht-warmeleitende Gase im allgemeinen nur
fiir die einzelne Gasschicht, in der Regel nicht im ganzen Gas (8 6).
Mehrere der Integrale zeigen StoBwelleneigenschaft: p t (z, t)
uod p2(z,t) werden bei bestimmten, im allgemeinen zeitlich veranderlichen Stellen 2 unendlich groB. Diese StoBwellen ,,kippen" nicht
um, d. h. die ZustitndsgroBen werden nicht mehsdeutige Funktionen
vom Zeitpunkt des Auftretens der StoBwellen an - im Gegensatz
zu den Losungen, die man erhalt, wenn man in (6) I und p Null
und die Funktion f (m)des Adiabatengesetzes konstant setzt.
Die StoBwelle tritt vielmehr bei diesen Losungen (auch bei den
in den spateren Paragraphen untersuchten) erst auf, wenn die Zustandsveranderlichen Grenzwerte erreicht haben, die physikalisch
nicht iiberschritten werden konnen: T ,v , p = 0 oder 00 oder u = m.
Unter den in 8 6 besprochenen Losungen sind auch solche, fiir
welche Reibung oder Wkmeleitung oder beide keine Rolle spielen. h allgemeinen veriindern die Storungen ihre F o r m beim Weiterwandern; bei geeigneten Strijrnungsverhaltnissen kann aber anch
212
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
unverzerrtes Weiterwandern vorkommen (Integral I11 von 0 6, und
Integral VIII von 0 10).
Es gibt f u r manche Wellenvorgange Grenzen der physikalischen
Realisierbarkeit, ohne da6 a n der Grenze eine StoSwelle auftrate;
z. B. hat die Losung V I I von 8 6 eine wandernde Grenze p = 0, T = 0,
zeigt aber nirgends StoBwellencharakter.
Man kann zwei Arten stationarer Vorgange unterscheiden:
1. solche, bei denen der physikalische Zustand jeder einzelnen Gasschicht zeitlich unverandert bleibt, und 2. solche, bei denen der
physikalische Zustand an einer bestimmten Raumstelle 5 zeitlich
unverandert bleibt (8 7). Die allgemeine Losung fur den Fall 1. lafit
sich leicht angeben (3 7), sie beschreibt eine Bewegung, auf die
Reibung und Warmeleitung keinen EinfluB haben. Fiir den Fall 2.
lassen sich did Differentialgleichungen auf eine einzige gewohnliche
Differentialgleichung erster Ordnung zuruckfiihren; setzt man A = 0
oder p = 0, so kann sie elementar integriert werden (9 7).
In 8 8 wird allgemein die Frage nach den Vorgangen gestellt,
die so ablaufen, daB Reibung oder Warmeleitung oder beide ohne
EinfluB bleiben. Es gibt vier Elassen von Vorgangen, auf welche
die Reibung keinen EinfluB hat; sie sind mathematisch durch (34),
(48), (53 d) und (54) beschrieben, die physikalische Untersuchung wild
in $5 6, 7 und 10 gegeben. Die Frage nach den Vorgangen, fur
walche die Wiirmeleitung ohne Bedeutung ist, wird nicht allgemein
beantwortet; es sind aber in der Arbeit eine Reihe von Vorgangen
mathematisch und physikalisch beschrieben. bei welchen die Wiirmeleitung ohne Bedeutung ist: (29), (33), (36), (37), (48), (56), (58a).
Sollen Reibung und Warmeleitung beide ohne EinfluB sein, so gibt
es nur die Losungen (48) und (56).
U'ahrend i n den Untersuchungen von tj 8 und bei fast allen
vorher angegebenen Losungen ausdrucklich
und p. als von Null
verscliieden vorausgesetzt wurden, ist in 8 9 angenommen, da6
formal ii = 0 gesetzt werden konne. Physilralisch bedeutet dies: das
Warmeleitungsglied in (6 c') kann gegen die andern Glieder der
Gleichung vernachlassigt werden. Es sind drei Losungstypen angegeben: (%), (59a), (59 b); (58) enthalt zwei willkurliche Funktionen, (59a, b) je eine. Durch geeignete R a h l der Funktionen
kann man diese Losungen ubrigens zu strengen Losungen von (6)
machen, also zu Losungen auch fur I =t=0.
8 10 bringt die physikalische Diskussion der in 08 8 und 9 angegebenen Losungen. Ausfuhrlich ist das Integral (58) untersucht,
das zwei willkiirliche Funktionen enthalt: der Zusammenhang dieser
Funktionen mit den Anfangswerten der ZustandsgriiBen wird an-
Ti. Bechert. Ebene FYeZZeri in idealen, Gasen snit Resibung usw. 213
gegeben, es wird gezeigt, daW bei den nach dieser Losung verlaufeuden
Vorgiingen StoBwellen nicht entstehen, aber auch niclit vergelien
kihnen, wenn sie zu Anfang vorhanden waren; die M'ellen wandern
und verandern ihre Form, kippen aber nicht um, die Reibung glattet
die Wellenformen, Grenzzustiinde l) treten nicht auf; die Entropie jecler
Gasschicht ninimt im Lnuf der Zeit standig zu. Es werden zwei Beispiele zu (58) gegeben, das eine ( A ) stellt eine d r t eindimensioiiales
Model1 eines instabilen Sterns dar (allerdings ohne TViirmeleitung
und vor allem ohne Strahlung), dns andere ( B ) eiueii Vorgang. bei
dem zu hnfang bereits eine StoBwelle vorhilnden F a r ; die plotzlichen Anderungen der ZustandsgroBen an der StoBwellenfront m r d e n
im Lauf der Zeit relativ inimer unbedeutender. -111Beispiel d wird
klar, dsB mit (55)auch Tiorgiinge vor einer festen IYand begchrieben
werden konnen.
Auf das Integral (59b) ist schon hingewiesen worden (Sr. TI11
von § 10): es stellt Kellen dar, die trotz vorhanclener Reibung ihre
Form beim Wandern unverzerrt beibehalten.
Alle bisher angegebenen Losuugen machten mindestens ein Glied
in den G1. (6) identisch Null. I n 5 11 wird ein Integral abgeleitet,
das mehrere verfiigbare Konstanten enthalt (mit den in 5 2 genannten zusammen 6), und fur das keines der Qlieder in (6) identisch
Null ist. Die zeitliche Entwicklung der Welle fiihrt liier zwangslaufig zu Grenzzustanden.
E s wird moglich sein, mit den in dieser Arbeit verwendeten
Verfahren die Differentialgleichungen ebener Gasbewegungen hei
wirkender Reibung und Warmeleitung auch f iir andere Zustandsgleichungen zu integrieren als fur die hier vorausgesetzte Gleichung
idealer Gase.
3 2.
Umformung der Diffdrentialgleiohungen (6)
Die Aufgabe, die GI. (6) z u liiseu, 1iLtBt sich auf die Integration
einer nichtlinearen Differentialgleichung funfter Ordnuug zuriickfiihren. Die Gleichungen haben namlich alle drei die Form:
Differentialquotient nach t + Differentialquotient nach 1 ) ~gleich Null.
Daher wird (6a) identisch erfiillt durch den Ansatz:
-
( ' = s 'm. )
(7 a)
(6b) wird identisch erfiillt durch:
Q
=
s,;
CT =
a - p (lg = '2 ; __
-j = _ 1:.
t )
(7 b)
P
durch Einsetzen von fi = St in die erste G1. (7b) folgt:
= ( p Ig ,r; + qn.
st
1) D. h. physiknlisch nieht reslisierbare Zustlude.
Annalen der Physik. 5. Folge. 40.
I3
21 4
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
Das wird identisch erfiillt durch:
S=Em;
(7 c)
plgo+
%E,;
nimmt man noch die zweite G1. (7 b) hinzu, so kann man alle physikalischen GroBen durch die Funktion IT ausdriicken :
=Pik
Ij
q n 3 , - El,;
c 2i = p E,,,ml- E m J t t .
Auch E ist durch Differentiation aus
namlich *):
(8b)
E
=Jadt
h'
zu gewinnen.
Es gilt
+ f(m),
denn die Integration ist bei konstantem m auszufiihren, so daB
rechts eine willkiirliche Funktion f (m) von m addiert werden kann.
Es ist aber auch:
(8 b')
+g(t);
=J*dm
diesmal ist bei konstantem t zu integrieren, daher eine willkiirliche
Funktion -von t rechts hinzuzufiigen. Einsetzen von ti = Emt und
von B = Kmmzeigt, daB die beiden Funktionen sich auf additive
Konstante reduzieren, also weggelassen werden konnen, weil in 2
immer eine additive Konstante willkiirlich bleibt, die wir nicht eigens
anschreiben brauchen. K i r konnen daher feststellen :
-
(84
?E = K m .
Durch (8a) werden die Differentialgleichungen (6 a, b) identisch erfiillt.
Zur Bestimmung von K bleibt die Energiegleichung, die wir in der
Form (6c3 beniitzen; es kommt mit der Abkiirzung:
I,, = 1, ( x - 1) =
(8 d)
die Gleichung:
(9)
p ~ m n t t
-X
i( x
~
--- 1)
C
-
- I T ~ ~ ~-E a,, ,[---=-,(p h;,
~ m m l ~ t t
*t
in,"
] =o.
-E,,,
h;,"
1
m
Das Problem ist also auf die Integration von (9) zuruckgefiihrt.
Ware die allgemeine Losung von (9) bekannt, so konnte die allgemeine Losung von (6) durch Differentiation gemaB (8a, c) daraus
gefunden werden. Im folgenden wird eine Anzahl von Integralen
von (9) und (6) angegeben werden.
Zwei Eigenschaften sieht man der G1. (9) leicht an: 1. I n jeder
Losung konnen m und t ersetzt werden durch m
+ mo
und t
+ to,
1) Wegen GI. (8b) und (8b') vgl. K. Bechert, a. a. O., GI. (18c) und
(18e), S. 365.
K. Bechert. Ebene Wellen in idealen Gmen
mit Reibung w w .
wo motto willkiirliche Konstunten sdnd; 2. wenn
Losung ist, dann ist auch
+
+
+
+
215
iT = L(m, t) eine
(9 4
i7 = Z ( m , t) A . ( m m o ) . ( t+ to),
eine Losung, wobei A eine beliebige Konstante bedeutet. Denn Emm,
Ett
andern sich bei dieser Substitution nicht. Daraus folgt wegen (Sa)
weiter: Jede Losung erlaubt die Substitution:
(9b)
u--tu+A;
v--tv;
T-T;
p--tp;
schliefllich kann 2 durch 5 xo ersetzt werden; zu (9b) kolnmt also
wegen (8c) noch:
z --t 5
A ' ( t to) + X o .
(9b3
+
Drei willkurliche Bonstanten: mo, to, A oder zo, to,A hat man daher
in jeder Losung. Physikalisch bedeutet die Eigenschaft 2: Jeder
ebenen Stiirung kann eine konstante, uberall gleiche Stromung fiberlagert werden, ohne da8 sich Druck, Temperatur nnd Dichte dadurch
andern. Die Verallgemeinerung, die bei jeder der im folgenden angegebenen Losungen durch Beachtung der Eigenschaften 1. und 2
moglich ist, schreiben wir meist nicht mehr eigens an. Die in unseren
Losungen vorkommenden willkurlichen Konstanten kijnnen immer nm
die genannten drei Konstanten vermehrt aerden.
Man kann das Problem (6) noch etwas anders formulieren. Dazu
fiihren wir die Graf3e ein:
P=p
(10a)
-p
'6,
y =
-
-Ktt;
wenn die Rsibung keine Rolle spielt (tjt
dem Qasdrnck p zusammen. Wegen
3
:
0, vgl.
0 8, I), f d l t P mit
C T = p B = P o + p tjt
(lob)
kann man die G1. (6c3 auch in die Form bringen:
zwischen
P und
2)
besteht gema8 ( 8 4 und (l0A die Beziehung:
+
L 21-tt = o .
(1lb)
daranf an, die G1. (1 1a, b) zu
In dieser Formulierung kommt
integrieren. Sind P, B gefundeu, so berechne man E aus = Kmm
nnd P = Ett; wegen (Ilb) ist das widorspruchsfrei mijglich. Die
Q1. ( 8 4 c) liefern dann alle bhysikali8chen qriisen.
In den folgenden Paragraphen lassen wir die Querstriche aber
den Funktionen wieder weg; wenn nicht ausdriicklich das Gegenteil
gesagt ist, m'einen wir steta- Funktionen, die in m, t geschrieben sind.
-
15*'
Annalen der Physik. 5. Folge.
216
B u d 40. 1941
8 3. Die willkurlich wahlbaren GroBen des Problems
Die Frage, welche physikalischen GrEjSen vorgegeben werden
konnen, wenn die G1. (6) den Vorgang beschreiben, kann an Hand
einer Taylorschen Entmicklung beantwortet werden l). Wir denken
uns U ,v, T an einer Stelle m = m,, t = t o entwickelt, der Kiirze
halber setzen wir m, = 0 , to = 0. Eine Taylorreihe in zwei Veranderlichen 1aBt sich ubersichtlich in einer Art von Pascalschem
Dreieek aufschreiben; die Differentiation 6ldm bezeichnen wir mit m,
da/dmamit ma usw. Die Bedeutung der eingerahmten Gebiete wird
noch angegeben werden. Die Reihen fur U , a , T konnen wir darstellen durch:
T
tl
1
m
t
,iL t
I
m
t3
\
mr m9t m'te m t 3 t 4
. . . . . . .
. .
m
t
m2 m t
t=
\
ms m P t mt'
/
1
1
te
mp m t
/ \
m3 m p t m t e t a
/
\
mr m3t m P t em t '
t'
t
t8
/ \
ms mpt m t S t S
i
\
m4 m s t m s t P nats t +
. .
. . . . . . .
Die Energiegleichung (612') zeigt, daB T,, mit allen seinen
Differentialquotienten nach m und t bestimmt ist durch T,, T,, T ,
wm, wt, v und alle ihre Differentialquotienten nach m und t. Das
Gebiet, das durch Tmmund alle seine Differentialquotienten in dem
Dreieck fur T weggenommen wird, ist durch Striche angedeutet. l m
T-Ureieck bleiben so die ersten zwei Reihen willkurlich, die schriig
nach rechts unten laufen. Die erste Reihe bedeutet aber T (0, t),
d. h. T bei m = 0 fur alle t, die zweite Reihe bedeutet T,,,(O,tj.
Au0erdem ist w mit allen seinen Differentialquotienten zunachst willkiirlich, also das game w-Dreieck. Die Bewegungsgleichung (6 b) zeigt
aber, daO vmt mit allen seinen Differentialquotienten bestimmt ist
durch w,, w t , w? T,, T, ut und alle ihre Differentialquotienten. Das
durch wmt weggenommene Gebiet im v-Dreieck ist wieder durch
Striche angedeutet. I n diesem Dreieck bleiben jetzt nur mehr die
beiden Randreihen willkurlich. Da wir durch die willkiirliche Wahl
von T (0,t) und T, (0,t) das T-Dreieck .bereits ,,erledigt" haben , so
bleibt au0er den beiden eben genaniten w-Reihen nur noch das
u-Dreiedr willkurlich. Die Massenerhaltungsgleichung (6a) verlangt
1) Vgl: K. Bechert, Ann. d. Phya. [5] 39. S. 357. 1941; vgl. dort 94.
K. Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen
mit Reibung usw.
217
aber, da8 urn mit allen seinen Differentialquotienten bestimmt sei
durch vt und alle seine Differentialquotienten. Daher bleibt im
u-Dreieck nur die rechte Randreihe willkurlich, die u (0, t) bedeutet.
I m ganzen kiinnen wir also vorschreiben, wenn wir jetzt wieder die
allgemeinen Werte m,, to benutzen: T (m,, t), T, (mo,t), v (mo,t),
vm(m,to), u(mo,t). I n Worteu: F u r eiue beliebige Gasschicht (aber
nur fur eine) kann fur alle Zeiten vorgeschrieben werden: die Temperatur, das spezifische Volumen, die Stromungsgeschwindigkeit, die
Anderung der Temperatur beim Fortschreiten zur nachsten Gasschicht, auBerdem die ffnderung des spezifischen Volumens beim
Fortschreiten von Schicbt zu Schicht im ganzen Gas fur einen beliebigen Zeitpunkt.
Naturlich hatten wir die G1. (6) auch nach anderen GroBen aufloseu konnen und hatten dann funf andere willkiirliche GroBen bekommen. Die Wahl der GroBen, die willkurlich vorgeschrieben
werden konnen, ist aber durch die Differentialgleichungen in gewisser
Weise festgelegt, wie wir gesehen haben und wie j a auch unmittelbar
einleuchtet. Eine entsprechende oberlegung kann man f u r die in z,t
geschriebenen Gleichungen machen. Vorschreibbar sind z. B. T jzo,t),
T, (zo, t), 2, ($0’ 4, vz(z, to), u ( $ 0 , t).
Ware 1 = 0, das Gas also uberhaupt nicht warmeleitend, EO
hatte man vier willkurliche GroBen, etwa T (m,to), w (m,, t), wm (m, to),
u (mo,t). Ware y = 0, also keine Reibung vorhanden, so waren
wieder vier GroBen willkiirlich, etwa T (mo,t ) , Tm(mn,
t ) , v tmo, t),
u(m,,t). Setzt man A und y beide Null, so bleiben drei Funktionen
willkurlich, z. B. T (m,to), w (mo,t), u (mo,t).
Geht man statt von (6) von der G1. (9) aus, so erhalt man
fur il,y 0 naturlich wieder funf willkurliche Funktionen, als die
man R (mo,ti, x [mu,t), v (mu,t), vm (mo,t$ vMM(m,to) wahlen kann.
Die Ergebnisse dieses Paragraphen sind ihrem allgemein-mathematischen Gehalt nach nicht neu; die Uberlegung an Hand der
Taylorreihe scheint aber besonders durchsichtig.
+
8 4.
Folgerungen aus den Hhnliahkeitstransformationen der CI1. (8)
Die G1. (6) erlaubeu die xhnlichkeitstransformation (Streckung):
I
I
u--tpu;
u.-+
uvi
m
--t
1
-m;
vr--tp1/T;
t
et.
B
(12)
B
Statt T beniitzen wir die Veranderliche
(13)
IT=@.
--t
A n n a b der Physik. 5. Folge. Band
218
40. 1941
Eine Klasse von ,Losungen von (5) bekommt man darch die
Forderung l) :
Durch Differentiation nach
b
,;( -$)
ergibt sich, wenn wir v
mit v'. bezeichnen, m / b mit m' und cctlgZ mit t ' :
Auf demselben Weg findet man fur u :
j15b)
("-2);
u'=-m'd,+t'u;,
@"
.
fiir 0' gilt dieselbe Gleichung wie fur u', weil 0 sich nach
ebenso transformiert wie u.
(14)
(G)b
+ 0,
Die G1. (15) sind auf zwei Weisen erftillbar: 1. wenn B
so folgt:
v'
t'v;,;
m'&,
t'ul, = 0 ;
u'
e
und :
+2t'4,P 0;
+ m'u;
=
0;
fur 0' gelten dieselben Gleichungen wie fur u'.
2.Wenn
8.
( @P = 0, sofolgt: 2= const = I;
~
)/9
cil
= const
-
~ 1 .
Dann ergeben sich fur v', u' die Gleichungen:
+ ( I - 2 ) t ' v ; , ; u' = - m'u; + (1 - 2)t'u;t.
Fiir 0' gilt naturlich wieder dasselbe wie far u'.
Wir untersuchen die zwei Falle gesondert; die Striche an den
Veranderlichen konnen wir im folgenden weglassen.
Der Fall 1. gibt: v = t . j , (m) und v = f,
giiltig:
Zv'
E
- m'v;,
v = CL t -
P6a)
my
'
1) Die Methode ist entwickelt in Ann. d. Phys. [b] 39. S. 357. 1941; vgl.
dort $2. Herr Prof. F.Enge1, GieBen, hat mich: darauf aufmerksamgemacht, daI3
schon S. L i e den Gedanken einer Ableitung von Integralen partieller Differentialgbichungen mit Hilfe bekannter Transformationen derselben durchgef iihrt hat:
Ges. Abhandlgn., Bd. IV, S. 358ff. L i e verwendet die Theorie der Beriihrungstransformationen. Fiir die von mir betrachteten Frille aeheint mir mein Yerfahren BUT Ableitung der Integrde besondera einfach.
K . Bechert. E h e We&* in idealen Gasen %it Rsibung urn. 219
in iihnlicher Weise erhlilt man fiir u:
us%.
(16b)
m '
dieselbe Form hat 8 , daher ist C T gegeben durch:
Die Losung (16) w&e schon durch reine Dimensionebetrsohtnngen
en finden gewesen; wenn wir n b l i c h verlangen, d d in (12) u nnd
willkiirlich bleiben und die Darstellnngen von u , y T dnrch m,t
bilden, ans denen a und p bei der'Trrtnsformation (12) heransfallen,
so erhdten wir (16). In I der Tat bedentet der Fall I., daS keine
Beziehung zwischen a und @ bestehen 8011.
Die Konstanten C, von (16) hangen mitebander zusammen.
Eindtzen in die Bewegungsgleichungen (6) zeigt, da8
man erkennt dabei auch, da6 ia der eigentlichenBewegnngsgleichnng(6b)
die drei @lieder eineeln Null sind.
Ans v, Y, T konnen leicht p, P, K nnd x nach der Vorschritt
der Ol. (8a, c) berechnet werden. Es ergibt aich als endgUltige Form,
wenn wir C, mit c bezeichnen:
2111
(C-24)t'
. K
I
=- ctlgm
x3--.
-2 4 p t(lgt - 1);
- 22,
c
ct
*
Man beachte die in 8 2 besprochene steta mtigliche Verallgemeinernng
der Losung. Die Umrechnung auf s, t nnd die phyeiktrlische Dentung
dieeer nnd der folgenden Lhungen wird in 4 6 gegeben.
Der Fall 2. gibt:
(lea) v = m-z.f(ml-at);
u = m-l.g(m*-2t); C T = m-2. h(mz-at).
Die Funktionen f, g, h sind durch die Bewegungsgleichungen (6) miteinender verkniipk Wir erhalt'en miC der Abhirznng:
Wb)
nnd der Bezeichnung:
mz-at
a
c
220
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1Bl
am (6) folgendes System gewohnlicher Differentialgleichungen:
f’+ g - (1 - 2)g’a = 0;
(194
g ‘ - P ( l - 2 ) . ( 7 0 ) +f ( z -‘2 ) ( 7 )
h o ’- 0 ;
(19b) kann integriert werden und gibt:
g + ( I - 2,P-(h-pffl) = - c ;
f
(19b)
c ist eine beliebige Konstante; 2 ist willkurlich geblieben, wie j a
schon aus der Transformationseigenschaft (12) folgtt
Bei der weiteren Behandlung ist zu unterscheiden, ob 2 = 2 ist
oder nicht.
1. Wenn 1 = 2, so folgt aus den G1. (19) wegen (18a) schliefllich
als Losung:
a -* 0 geht die Lijsung (20)
offenbar in (17) uber.
II. Wenn 1 2, kann man die Ordnung der Integrationsaufgabe (19) erniedrigen. Zunachst handelt e8 sich offenbar urn vier
Integrationen, wenn man (19b) beachtet; man kann ihre Zahl auf
drei herunterdrucken. Die G1. (19) erlauben namlioh die Transformation:
(21)
f--taf;
g--tg;
h+h;
u--+czu
a und c sind willkurliche Konstanten, fur
+
mit beliebigem cc.
(224
Daher setzen wir:
f
=OF;
a = e g ,
Ii. Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung usw. 221
fiihren die Abkiirzung ein:
9 s -a9
(22b)
da
(entsprechend fur 9, h) und erhalten:
fp
(23a)
+ q + g - (1 - 2 ) 9 = 0;
(23c)
-A,[2h-3 (2-2)h+ (1-2)'h+ (1-2)T(2 h-(Z-2$)) =O.
9
Jetzt kann die Ordnung urn Eins erniedrigt werden, wenn man
(24)
+ = T
setzt und
aus (23):
v
als unabhangige Veranderliche einfuhrt.
cp
(25a)
da
+ r + g - (2 - 2 ) Fd'p
-
Dann wird
=0;
Die allgemeine Losung von (25) enthalt 3 Integrationskonstanten,
auBerdem c und 2; dazu kommen die Integrationskonstaute von (24)
und die drei in 8 2 genannten: A , m,, t o . Zusammen also 9 beliebige lionstanten; zum vdllstandigen Integral, das 10 lionstanten
haben muB, fehlt gerade noch eine.
Wir beschranken uns auf die Untersuchung einfacher Falle.
1. V e n n r$ = 0, folgt wegen (22): y = a , j = ac. Fur g und h
ergibt sich aus (23a, b):
*
a, b sind zunachst beliebige Konstanten, mit der Einschrhkung,
da6 a 0, sonst ware nach (Ma) v = 0. Einsetzen in (23c) gibt
die Bedingungen :
- 1 ) + 1) = 0 ;
a -c
+ i-:z)
=24 (p- c
+ &);
Annulen
222
&T
Physik. 5. Folge. B a d 40. 1941
durch eine elementare Bechnung findet man, da6 b = 0 auf die
Losung (17) fiihrt. Als neue Lbsung ergibt sich am t$ = 0 n u :
p = ap+b(x- 1)rnt-x;
(a - 21,)t
P=
%=-
2r11p
(a - 21,)t
+b(x-
l)rnt-";
b t Z d x -at.
2 - x
m '
a, b sind willbliche Konstanten, ftir b - = ~ 0 erhalt man wieder
die Losnng (17).
2. Wir versuchen (25) mit dem Ansatz:
r a ( P
(1 - 2) a
'
(28b)
-ava*a(p-
+ V*
'+?hi
(
a + l
2
1 ) ( i - 2 ) a +a,) -Q"pP-((x-i)(I-22)=-+ai)
pal-c
(x
- 1)(1 - 2) a
+-+a-l)'-cGq)
2 as4
"aye) (1-22a)=O;
K . Bechert. Ebene
Wellen
in idealen Gasen mit Reibung urn. 228
-
zustandig. ar = 1 gibt zwei Moglichkeiten. Die ersk ist aa = 0,
al = 0, I = 3, c 0; sie bedeutet [beachte (24), (27) und (2211:
g=*%; h = - a ;
r = - -drv- + ;
v = - f - b ; o=mt.
ds
0 '
P
'-
Das gibt die Losung:
a und b sind willkiirlich.
Die a d r e Moglichkeit zu
2 .
a1 = x f l '
1-2=- %+I.'
x-1'
a!
=
- 1 ist
as=--
+
(1,
= a, (x - 1)):
- 2 @ + 41,).
Cx + l
'
x - 1 .
(x
11' '
+
a = - 61, (p 212);
sie gibt schlieJ3lich mit der Abkurzung:
PI = P
(304
+ 21,
das weitere Integral:
b ist sine beliebige Xonstante.
Fur ar = 1 gilt wegen (25a, b):
g
=
v(a
+ 4 1g v);
=
- -+a
1-2
+ a, l g q ) + (- c + p a , ) y ;
Einsetzen in (25c) fiihrt aber schlieSlich auf T = 0;
also keine brauchbaren Losungen.
a!
= 1 liefert
224
Annalen de?: Physik. 5. Folge. Band 40.
1941
Es bleibt noch der Fall zu untersuchen, wo der Exponent u + 2
in (25b) mit keinem der iibrigen Exponenten iibereinstimmt,, Bier
erhalt man auSer der trivialen Losung, daB alle Zustandsvariablen
konstant sind, zwei Integrale. Mit der Abkurzung:
(31a)
Pa=P
+a2
wird das erste Integral:
2
x
= bmtx'l;
b ist eine willkiirliche Konstante.
Das nndere Integral lautet:
b ist wieder willkiirlich.
8 5.
Einige weitere Integrale von (6)
Das Verfahren der Ahnlichkeitstransformationen 1&Bt sich anch
auf (9) oder (11) anwenden, gibt aber naturlich keine Integrale, die
man nicht schon bei der Anwendung auf (6) bekame. Der ganze
Unterschied des Verfahrens bei der Anwendung auf (9) gegeniiber
dem in 6 4 angewandten besteht darin, daB man an Stelle der
3 G1. (19) eine einzige gewohnliche nicht-lineare Differentialgleichung
fiinfter Ordnung bekommt, die sich allgemein auf eiue Qleichung
dritter Ordnung erniedrigen la&. Das entspricht genau (25), denn
auch aus (25) konnte man durch Elimination eine Gleichung dritter
Ordnung gewinuen.
K. Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen
rnit
Reibung usw. 225
Entsprechendes gilt fur die Anwendung der xhnlichkeitstransformationen auf die G1. (11).
Man kann aber noch auf andre Weisen Integrale des Problems
finden. Zum Beispiel auf die kindliche Art des Ratens. SO ist
das Integral von (6):
I
(33a)
u=at;
v=c;
am
p=-
+ b;
CT
=
c ( b - am),
mit den beliebigen Konstanten a, b , c zu finden. Durch Rechnung
folgt daraus:
(33b)
c mq
tz
K=y+(~m-b)---;
2
2
a tz
x = c ~ + - a- ;
P=p.
Auch das Integral von (9):
(344
mit den beliebigen Konstanten a, b, c ist noch verhaltnismabig leicht
zu erkennen. Es bedeutet:
Die GI. (6) zeigen, daS bei. diesem Integral ziemlich viele Glieder
der Differentialgleichungen einzeln verschwinden; das legt nahe,
systematisch nach Losungen zu suchen, fur die bestimmte Glieder
von (6) Null sind oder einfache Form haben. Ein Teil dieses
Programms wird in den folgenden Paragraphen erledigt.
Es gibt auch LGsungen, bei denen ein adiabatischer Zusammenhang der Form:
P vx = f ( 4
(354
besteht, und solche, fur die:
(35b)
Pvx = F(m)
gilt; der G1. (35a) geniigt z. B. das Integral (32).
Wir wollen uns jetzt die Frage stellen: fur welche ebenen
Storungen kann in idealen Gasen mit Reibung und Warmeleitung die
Temperatur raumlich und zeitlich konstant bleiben? Aus (6 c') folgt,
daB die Warmeleitnng auf solche Vorgange keinen EinfluB hat; dieCT
selbe Gleichung lehrt, da6 entweder vi = 0 sein oder vt = __, also
P
konstant sein mu6.
Annalen &r Physik. 5. Fo2ge. 3 d 40. 1941
226
Wenn v, = 0, so folgt aus (6) schlieblich:
a ist eine willkiirliche Konstante.
1st vt = CT , so kommt:
P
f ist eine beliebige Funktion von rn. Wir haben damit eine erste
Losung gefnnden, die eine willkiirliche Funktion enthllt.
(3s) und (37) sind die einzigen Lowngen, bei hnen T raumteitlich 7wnstant bleat.
Setzt man vt = 0, ohne zu verlangen, das T konstant sei, so
bekommt man weitere Losungen. Auch aus 01. (9)kiinnen weitere
Integrale abgelesen werden; z. ,B. ist
+
K = f (4 k m s(t)
(38)
eine Losung, wenn f und g Differentialgleichungen geniigen, die
leicht aufzustellen sind und deren Integrale in Form von Quadraturen
angeschrieben werden konnen. Physikalisch gibt das Integral (38)
aber nichta wesentlich Neues.
5 6. Die
phyeikalirahe Bedeutung der LGsungen von 53 4 und 5
I n $0 4 und 5 haben wir 10 voneinander verschiedene Losungen
explizit angegeben, niimlich die Integrale (20), (26), (29)-(34), (36),(37);
wir numerieren sie mit I--X and untersuohen jetzt ihre physikalische
Bedeutung.
L Wir beginnen mit (20), denn (17) ist nur ein Spezialfall
von (20). Einsetzen von (20) in (6) zeigt, daS die Qlieder in der Bewegungsgleichung (6b) alle drei einzeln Null sind; es ist:
(394
U,=O;
( F ) ~ = o ;p , a o .
Alle iibrigen Glieder in den (31. (Sa), (60') sind von Null verschieden.
Der Druok ist also zu fester Zeit im ganzen OaE dereelbe; denn x
lrommt nur auf dem Weg iiber m in dein Funktionen vor, p ist aber
von m unabhiingig, andert sich daher ftir dse ganze Gas in gleicher
Weise mit der %it. Die Umrechnung der physikalischen Qr6l3en
ct
auf die Veriinderlichen z, t ist mit E l f e von 5 =
leicht zu
machen und gibt:
-
K , Bechert. Ebelte Wellen in ikalen Gaselz mit Reibung usw. 227
0
Man beachte auch die in
allgemeinerung :
u --f
u+A;
t
--f
t
2 besprochene stets mogliche Ver-
+ to;
2
+2
+ A(t + to)+ 2,.
Wir beschriinken unsere Betrachtung aber auf die Form (39b), an
der schon alles Wesentliche zu erkennen ist.
Die Losung ist physikalisch nur sinnvoll, wenn v, p, T > 0 sind.
Also muB sein:
Fur t < 0 ist die Stromung uberall auf x = 0 zu gerichtet, ihre
Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit immer mehr zu und steigt bei
festem t linear rnit 2 an. z = 0 ist ein singuliirer Punkt, dort ist
standig u = 0, p =a,T = 0. Mit wachsendem t nimmt v uberall
(auflerhalb 2 = 0) zu, bis der Zustand’ bei t = 0 schlie6lich ganz
ausartet in v = a ;zugleich wird u =a. Fur geeignete a- und
c-Werte und ein bestirnmtes t < 0 ist sogar uberall T = 0, p = 0
moglich. Ausfuhrlichere Diskussion ist wohl unnotig. Jedenfalls
zeigt die Liisung, daB in den G1. (6) trotz Beachtung von Reibung
und Rarmeleitung physikalisch unmogliche Losungen enthalten sind.
Das ist auch nicht verwunderlich, denn die Zustandsgleichungpv = C T
gilt w r in einem gewissen Spielraum der Veranderlichen, die
GroBen A, p sind auch nicht rtllgemein konstant, und p , v, T sind
nicht fur beliebige Verdunnungen sinnvolle Begriffe.
Fur t > 0 ist die Stromung uberall von z = 0 weggerichtet,
ihre Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit standig ab, mit II: aber
linear zu. Die Dichte nimmt mit z quadratisch ab, bei festem 5
aber im Lauf der Zeit linear zu.
StoBwellen gibt e8 bei dieser Losung nicht, denn p t , pt, auch
ut, vt, Tt (bei festem 2) und auch die Differentialquotienten nach x
werden nur fur t = 0 oder 03 oder fur x = 0 oder 03 beliebig gro&
Setzt man 1 = 0, p = 0, so erhalt man rtllgemein aus (6) einen
adiabatischen Zusammenhang I) der Form:
(40b)
P vx = f(m)i
1) Vgl. dazu I(. Bechert, Ann. d. Phys. [5] 39. S. 370. 1941. G1. (34a).
22s
dwzale)i dcr Phpil,. 5. Foky~. Baud 40. ]!I31
iti unsereni Fall ist - wenn wir I., p Xiill setzeii - nacli den
G1. (20) f(Wl) = t l C " - l
. Durch Umreclinnii~auf s.t ergibt sicll:
Uer T'oigaug ist' :tl.cu adiahatiscli in ilem allgemeinen Pinn, daB fiir
einc: bestinmite Gass~~liicht
21 tix wiihrend rler ganzen Bewegung unveriindert bleiht; fiir jede Gasscliicht hat das I'rodukt p IF aber
einen andereri \\'ert. Die (auf I., p = 0 spezialisiertei Liisung ( ~ 9 b )
ist also iu diesem Punkt :illgemeiner als die sonst in der Literatur
betrxliteten Liisungen, h i denen 3, = 0, p = 0 gelten soll.
11. Fiir das Integral ( 2 6 ) wrschwindet in den Differentialgleichungen (6) nur clas 1tuil)urigsglied in tler G1. (6b). der eigentlichen
Re~~egnngsgleicliiin,rr;das Reibungsglied in der Euergiegleichung ist
wie nlle anderen G l i d e r der G1. ;GInirht identiscli Sull. .Umrechnung
nuf r , t gibt:
p=
nlr
( n - " ~ , ) f $-
n b(x
- I)
6t
-
sf"-l
2 - X
Der Punkt t = 0 ist wieder singuliir. Diesnial gibt es aber eine Art
StoBwelle. ZL,, uI,vt, vz werden zwar nur fur t = 0 unendlich,
auOerdeiii noch bei
aber pl, p,, ( I , ,
(41b)
diese Stelle waudert von t = 0, z = 0 ails nrit der zeitlich abnehmenden Geschwindigkeit (es ist 1 < x < 2):
nach IJegativen oder positive11 2. j e nach dem Vorzeiclien von b. An
der SteIle (41 h) ist stiinclig p -03,
0 =m, 1
' = 0; ZL ist dort
gleich b j t x - 1, also gleidi der U'andergeschwindigkeit (41c) dieser
Stelle selbst.
V e n n die Liisung (41a) auch nicht als ausreichende Beschreibung
einer wirklichen StoWwelle angeselien werden kann, so ist sie doch
lehrreicli. Die bisher untersuchten StoB\~elleiiliisuiigenfur Gase ohne
Reibung und W.iirnieleituiig liatten niimlich die Eigenschaft. d:iB sie
,,umkipptenL'.das soll heiBm. daB sie vom Zeitpunkt des Auftretens
Ii.Bechert. Ebene Wellen ill itiealen
Gaseii wiit
Rcibung usw. 429
der StoRwelle (t = t l ) an mehrdeutige Fuilktionen von 1:
n-urden'). Die Funktionen (4la) kippen nicht urn, was man s c h o ~ ~
daran erkennen kann, daB es fur beliebiges t nur eine einzige
Stelle x gibt, an der die Differentialquotienten p t , jlD, !)z unendlicli
werden; bei den inehrdeutig werdenden Liisungen niuB es %us Stetigkeitsgriinden n h d e s t e n s zwei Unendlichkeitsstellen der Diffcrentialquotienten geben, sobald t > t, geworden ist; vgl. Ahl). 1, in der die
zeitliche Eptwicklung einer Losung schematisch mgegeben ist, fiir
die 1. = 0, p = 0. p v x = const gilt.
mit
j. =
Abb. 1, %eitlichc VerInderung einer Ldsung der GI. (61,
0, p = 0, 11 tix = corlst; fiir t = t , tritt die StoUwelle auf. Die Stellen
uuendlich steilen Ansticgs sind durch Kreise bezeichuct
Auch fur iv = 0,p = 0 kippen die Funktionen j41a) nicht urn;
in der Tat ist (26), (41a) insofern allgemeiner als die in den friiheren
Arbeiteu untersuchten Losungen (von deren Verhalten Abb. 1 berichteti. als sich f a r ?.= 0, p = 0 die Adiabatengleichung (40b) mit
nicht-konstantem f ( m ) ergibt; es ist jetzt:
Allerdings ist die StoRwelle bei unserer Lijsung (41a) standig vorhanden, sie entsteht nicht erst.
111. F u r das Integral (29) verschwinden beide Glieder in (b:a),
das Reibungsglied in (tib) und alle Glieder in ( 6 ~ ' ) . Daraus folgt,
da6 Reibung und Wiirrneleitung auf das Verhalten dieser Liisurig
keinen Einflu6 haben; in der Tat komrnen A , p in (29) nicht Tor.
Wir haben es also mit einer Liisung zu tun, bei der stets, aucli
fur A, p 0, p . u x = f j m ) ist. Umrechnung suf x, t giht:
+
Wir kiinnen uiis auf die Vorzeichenwahl b > 0 beschranken, dann
ist iiberall das obere Vorzeichen zu nehmeii iind a ist notwendig < 0.
~-
~
1) L H e c l i e r t , Ann. d. 1'11~s. [5] 2;. S. !I<. 19.10.
Annslrn dcr Phqsik. 5 Iolrc
10.
16
m
AnlzaEen der Physik. 5.Folge. Band 40.
AuSerdem mu3
xCTa t P
sein; z ist also immer
1941
<0. Die Grenze
des physikalisch redisierbaren Gebiets lie& bei x = at' ; sie wand&
2b
yon x = -00 (fiir t =--a)) bis x = 0, das ftir.t = 0 erreicht wird,
und Iiiuft dann wieder nach x = - -a) zuriick (t -- a)). Die Wander-
+
'
geschwindigkeit dieser Grenze ist
ax
at
= b,
also
at
in jedem Augen-
blick gleich der Stiomungsgeschwindigkeitu des Gases, die ubrigens
bei festem t fur alle x gleich g o 8 ist. An der Grenze ist p =m,
p ==GO, T = 0; an ihr (und nur an ihr) werden et, ez, p , , p , fur beliebiges t nnendlich, die iibrigen Differentialquotienten werden fiir
endliches 2, t nirgends unendlich.
Fur t > 0 schieben sich die Kurven e, p, T von x = 0 aus starr
nach links mit der Geschwindigkeit zd, im Zeitbereich t < 0 kamen
sie ebenso unveriinderlich von links her a d 5 = 0 zu. Die BeWhtungen von # 3 zeigen, wie eine solche Gasbewegung (angeniihert)
realisiert werden kiinnte, niimlich etwa durch Vorgeben von T,v,
U, T, an einer bestimmten Stslle xo fUr alle t , und von p zu bestimmter Zeit t,, fiir alle x. Bei unserer Lasung mufi dies Vorgeben
gemxB den G1. (42) geschehen. Selbstverstilndlich gelten an der
at
Grenze x = die GI. (6) nicht mehr,
2b
60
dab die Losung dort un-
branchbar wird und das physikalische Verhalten dort anders sein
wird, Js (42) angibt.
Iv. Fiir die Lasung (30b) verschwindet nur das Reibungsglied
in (6bX alle andern Glieder sind nicht identisch Null. Es gilt:
a
b t -x + l
m2 = - 2
.
1
2x
31, U t
z+--x
(X
( X f
1)'
- 1) b
'
tq
man sjeht, daB m = 00 wird fur
dort ist nach (30b) o = 0, T = 0, p =m.
wandert mit der Geschwindigkeif
-=--------~x+'
dX
at
61, pr Ix +. 1)
(X
Dieser Grenzzustand
x-1
- 1)b
die gleich der Stromungegeschwiodigkeit u im Grenzzustand ist; diese
nbereinstimmung folgt auBer aus (30b) auch daraus, daS u seiner
Definition nach die Geschwindigkeit eines festen m-Wertes bedeutet;
da an der Grenze m s 0 0 bleibt, so ist die Wandergeschwindigkeit
dieses m-Wertes gleich der zugehiirigen Stromungsgeschwindigkeit.
I<. Bechert. Ebene Wellen in idecden-Gasen mit Rcibung urn. 231
Die Wanderrichtung der Grenze hangt vom Vorzeichen von b ab.
An der Grenze werden p t , pz, p,, p , unendlich, sie ist wieder eine
Art StoBwelle.
V. Das Integral (31b) bringt wieder das Reibungsglied in (6b)
zum Verschwinden, alle anderen Glieder sind nicht identisch Null.
Nach Umrechnung auf x, t hat man:
t = 0 ist ein singularer Punkt, dann ist uberall v = 0, T = m, p = 00
und tiberall, auBer bei x = 0, auch u unendlich grol. Fur t 0
ist die Stromung uberall von x = 0 fortgerichtet und steigt linear
>
mit 5 an; das Verhalten ist ahnlich dem, das die Losung I beschreibt. StoSwellen gibt es nicht.
VI. Das Integral (32) ist physikalisch unbrauchbar, weil es
T < 0 gibt.
VII. Das Integral (33) bringt alle Glieder in (6a) und (6c') und
das Reibungsglied in (6b)zum Verschwinden; Reibung und W h e leitung spielen daher keine Rolle fur das Verhalten, 1, p kommen
auch wirklich in (33) nicht vor. Dem entspricht es, daS wieder
eine Beziehnng der Form pv# f (m) besteht. In x und t geschrieben
lautet die Losung:
=i
(44) u - u t ;
c muB also
v=c;
>0
CT=cb--n(z+
sein; da auch p
atP
p=b-+y);
0 zu fordern ist, folgt:
ax
Die Grenze p = 0 wandert mit der Geschwindigkeit = at n u ;
dt
an ihr ist zugleich T 0. StoBwellen gibt es nicht, denn p t , p t
(ubrigens auch p=, pJ werden fur endliches t nirgends unendlich.
Drnck nnd Temperatur sind bei festem t lineare Funktionen von z.
VIII. Fiir dtts Integral (34)verschwinden alle Glieder in (6s)
und .(6b) nnd die Qlieder mit vt, daher auch das Reibungsglied
in ( 6 4 ; die Reibung spielt also ftir den Vorgang keine Rolle. Umrechnung auf x, t gibt:
-
252
Ann,alen der Physik.
5 . Folge. B a d 40. 1911
< 0, b
kann reel1 oder rein iniaginar sein; ist b
reia imaginiir, so muW a < 0 sein, damit 1) und T > 0 n-erden. Die
Dichte hat d a m ein Maximum bei z = 0 und sinkt nach auWen
gegen Sull ab: sie ist zeitunabhingi,F; die Temperatur nimmt nach
auBen parabolisch zu! und mit der Zeit exponentiell. Es stromt
also standig WBrrne yon auMen nach innen, Druck und Temperatur
sieigen mit der Zeit stark an.
IS. Die Liisung (36) bringt alle Glieder in (6a) und (6c’) Zuni
Verschwinden und ilas Reihungsglied in (tib); Reibung und Warmeleitung spielen hier fiir die Rewegung keine Rolle. I n x und t gilt:
c ist notwendig
a ist notweudig > 0. F u r groBe positive x ist der Druck sehr
hoch; wenn t < 0, striimt das Gas von negativen x her, der Druck
nimrnt mit wachsendem t ab gegen t = 0 zu. F u r t > 0 stromt
das Gas von positiven r her, der Druck steigt iiberall stark an. Es
gilt wieder p v x = F (m). StoBwellen gibt es nicht.
X. F u r das Integral (37) verschwindet das erste und das letzte
Glied in (6c’) und das erste in (6b); dies ist also die erste Losung,
fur welche das Reibungsglied in (6b) nicht verschwindet; auch das
Reibungsglied in (6c’) ist ubrigens nicht Null. Die Wiirmeleitung
spielt fur den Vorgang keine Rolle. I n 2 , t wirrl das Integral:
5 - u t und hangt
mit der in ( 3 7 ) vorkoinmenden willkiirlichen Funktion f (m) zusammen
gemliB :
(47 a)
Jf(m)dm=h-1(vi),
h ist eine willkiirliche Funktion des Arguments
wobei h-l die Umkehrfiinktion zu h bedeutet. Das physikalische
Verhalten yon (47) wird in 5 10 uutersucht, (37) und damit (47) ist
ein Spezialfall der dort beschriebenen Losung (58), (62).
g 7. Stationiire Zuatiinde
Wir unterscheiden zwei Arten von stationaren Bewegungen
1. Vorgiinge, bei denen der physikalische Zustand in jeder Gasschicht zeitlich unrerandert bleibt; fur solche Vorggnge verschwinden
die partiellen Differentialquotienten nach t in den in m und t geschriebenen Differentialgleichungen (6); 2. Vorgiinge, bei denen sich
K. Bechert. Ebene Wellen in idealen Garsen mit Reibung ww. 233
der physikalische Zustand an einer festen Raumstelle x im Lauf
der Zeit nicht andert; fur solche Vorgiinge verschwinden in den
in z und t geschriebenen Differentialgleichungen (1) die partiellen
a
Differentialquotienten at
.
Fur die Vorgange der ersten Art folgt aus (6):
a, b, c sind beliebige Konstanten. Das Integral (48a) macht alle
Glieder in allen G1. (6) einzeln zu Null. Reibung und Warmeleitung
spielen fur den Vorgang gar keine Rolle. Umrechnung auf 2, t gibt:
(48b)
v=bx; U-0; CT=bcx;
P=C;
die Substitution (9a-b') ist hier, wie bei jeder Losung moglicb. In
diesem Sinn verstanden ist (48) die einzige Losung, welch? bei
wirkender Reibung und Wlirmeleitung statwnaren physikalischen Zustand in den einzelnen Gasschichten liefert. Es gilt:
pvx = f p =
) c(bx).,
fur jede Gasschicht hat die ,,Adiabatenkonstante" f(m) einen anderen
Wert.
Physikalisch interessanter sind die Vorgange der zweiten Art.
Nach einer einfachen Rechnung folgt aus (1):
(49a)
pu=A;
(49b) x B u - - (A( dx +
1)
p=B
- A u -I-puz;
+ ~uu,- ~ ( B ~ , - - S A U ~ ~ + ~ ( O L U ~ = ) = D
A, B, D sind willkurliche Konstante, A, ist in (8d) erklart. Wenn (49 b)
integriert ist, kSnnen p, v und damit auch T a m (49a) berechnet
werden. Die G1. (49) sind von R. Becker bei der Behandlung stationarer StoBwellen untersucht worden (Ztschr. f. Phys. 8. 334. 1922).
(49b) la6t sich auf eine Differentialgleichung erster Ordnung
zuruckfuhren. Man setze
(50%)
u== W ', w z = u
und f b e U als abhangige, w als unabhangige Veranderliche ein;
dann wird aus (49b):
(50b) 2 x B ~ ~ - A w ( x + l ) + p U -
- 2 A U + p U - - -" ) = 2 D .
aw
Wenn A = 0 oder p = 0, kann x als Funktion yon u durch
elementare Integration aus (50) berechnet werden. Es wird far A= 0:
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
234
i
___
.~
* L I ~ ~ + G ~x- B + ~ x ~ ~ ~ - ? D A ( x + ~ ~ ]
____.._________~
>
zo ist eine willkurliche Konstante. Zu jedem fest gewahlten u‘kann
man demnach 5, p, p und damit auch T angeben; es ist namlich
1
u, = - - aus (51) berechenbar.
ax
~
(521
such hier kann die Losung punktweise konstruiert werden.
8 8.
Allgemeines uber Bewegungen, auf welche die Reibung
oder die Warmeleitung oder beide keinen EinfluB haben
Wir untersuchen jetzt Vorgange, die so verlaufen, da8 Reibung
oder Warmeleitung oder beide keine Rolle spielen. Wir setzen
ausdriicklich A und p als eon Null iarschieden voraus.
1. Wenn die Reibung keine Rolle spielen soll, d a m mussen
in (6) die Glieder identisch Null sein, die p als Faktor haben.
Dafur ist notwendig und hinreichend, daW
(53)
0, = 0
ist.
Aus (6a, b) folgt d a m :
(53a) v=f(m); u=g(t); p = -mg,+k(t)=P;
Einsetzen in (6c’) gibt die Bedingung :
Wenu gt
+ 0 ist, erhalt man
entwedcr:
C T=f(m)(h(t)-mg,).
li. Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung usw. 235
oder, wenn man beachtet, daB die Transformationen m ---+ m
t +t t, und (9 b) immer moglich sind:
+
g = Be-Lbt;
(534
+ m,,
h = 0;
und als Differentialgleichung fur f :
(53f)
Integration gibt hier schlieBIich als Losung mit den willkurlichen
Konstanten a,, b, c, B :
I
p=&Bbme-*&t=P; C T = p p ; r=Srd.fit-
-~~
B e-Lb';
1, b
die Diskussion dieser beiden und der folgenden LSsungen (bis 8 9
einschlieBlich) wird in § 10 gegeben.
Wenn gt = 0 ist, erhalt man als Losungen entweder (48) oder (34):
Die vier Integrale (34), (48), (53d) und (54) kschreiben daher die
einzigen ebenen F70rgange. in idealen Gasen, auj welche die Reibung
keinen Einjlup hut.
11. Wenn die Warmeleitung keinen EinfluB haben soll, 80
mu8 nach (6c') gelten:
(55)
I n den Integralen (36) und (37) haben wir spezielle Losungen angegeben, bei denen (55) erfiillt ist; dns allgemeine Integral von (6)
unter der Nebenbedingung (55) diirfte nicht leicht aufzustellen sein.
111. Wenn Reibung und Warmeleitung fur den Vorgang ohne
Bedeutung sein sollen, so miissen die unter I. gefundenen Integrale
noch die Bedingung (55) erfullen. Wegen (53) ist v, = 0, also muB
auch T,= 0 und F(tJ eine Konstante sein. Aus C T = pv folgt
weiter pr= 0; d. h.: p , v, T sind fur jede Gasschicht zeitlich unverunderlich. - Fur das Integral (54) erhalt man aus p,= 0 die Bedingung: Bb2 = 0 und weiter b = 0, Bb 0, clamit nicht p Null
wird. Damit nun u nicht m wird, hat man zu u die Konstante - B
zu addieren, was bei jeder Losung moglich ist (vgl. 8 2); Grenziibergang zu b = 0 gibt dann aus (54):
+
am =
P ; G T = - nBm~+1;
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 40. 1941
236
CTI= v const ist damit auch erfiillt. (29), (33) und (36) sind
Spezialfallq dieses Integrals. Zwingt man der Losung (53d) die
Bedingung (55) auf, so entsteht ebenfalls der Typ (56), mit y = 3.
Fur das Integral (48)ist die Bedingung (55) von selbst erfiillt,
wie ja schon daraus folgt, daB in (48) die Warmeleitfahigkeit I
nicht vorkommt. Fur das Integral (34) ist (55) nicht erfullbar.
Wir haben also das Ergebnis: die einzigen ebenen Vorgange in
idealen Gasen, auf welch Reibung und Warmeleitung (daauernd)
keinen Einjlup haben, werden durch (56) and (48) besehrieben.
6
-
0 9. Spesielle Vorghge , bei denen clie WHrmeleitung vernachlhsigt
werden kann
Wir nehmen an, die Warmeleitung sei fur die Vorgange, die
wir jetzt untersuchen wollen, ohne Bedeutung. Das wird dann der Fall
sein, wenn das letzte Glied in (6c') klein ist verglichen mit den anderen
Gliedern dieser Gleichung. Formal kann diese Bedingung durch
Nullsetzen von I erfiillt werden; an den so gefundenen Losungen
w%redann natiirlich immer erst zu prufen, ob die gemachte Vernachlassigung erlaubt ist, bevor man sie auf wirkliche Vorgange anwendet.
Die in den vorigen 60 angegebenen Integrale sind strenge Losungen
der unverkurzten Gleichungen (6) bei beliebigen Werten von a und p ;
jet& aber s u c h wir Integrak von (6) fur 1 = 0 .
Recht allgemeine Losungen bekommt man durch den Ansatz,
daB P Null sei:
(57 a)
P = 0.
Dann folgt aus (llb), daB
-
(57 b)
Vtt
0
sein muB, und damit ist auch ( l l a ) schon erfiillt. So folgt:
+
tf,
g,.;
dabei sind f,g willkurliche Funktionen von m allein. Wegen P = - lit,
und v = K,,,,,, wird schlieBlich:
(57 c)
v =
Sol1 diese Losung den G1. (6) hinreichend genau genugen, so
mug il,
<< pv, sein, was eine Bedingung fur f und g bedeutet,
m
deren Erfiilltsein im Einzelfall zu prufen ist.
.
(%)
K. Bechert. Ebeae Wellen ilz idealen Gasen
mit
Reibung urn. 237
So11 (58) eine strenge Losung von (6) sein - also fur beliebiges
-, so entsteht entweder:
1richtig sein
(58a) u = a e b m ; v = abte"; C T = p a b e b m ; x = atebm;p
=
$; P = 0 ;
oder die Losung (37).
Aus dem Ansatz vtt = 0 erhalten wir zwei weitere Lijsungen
mit willkiirlichen Funktionen (fur L = 0). Nach einer elementaren
Rechnung folgen aus (11) die Integrale:
I
P=amt-x; v
(594
I
x = tF(m)-
=
tF,,,(m);
s
am12-X
K = t F ( m ) d m - (1 - x ) ( 2 - x )
.
-x) '
.
'
at2Wx
(1- x ) (2
1
u =F(m)
p =
~~
P
t
+ amt-x
;
und:
a ist eine willkurliche Konstante, F eine willkiirliche Funktion
von m. Zu beachten ist, daB in (59 a) wegen der in $j2 besprochenen
Transformationsmoglichkeit m --t m m,, , t --t t + to z. B. auch
der Losungstyp enthalten ist :
+
(59c)
P = bt-*;
v = tFmcm);
man braucht ja nur a so gegen Null gehen zu lassen, daS am, endlich bleibt, dann entsteht der Typ (59c). Entsprechende oberlegungen lassen sich iibrigens fur alle Losungen von (6) anstellen.
Alle Integrale, fiir welche 1 = 0 und vttt= 0 ist, erfiillen gemiil3
(11a) die Beziehung:
(60)
P u n = Gem),
also eine adiabatische Beziehung zwischen P und dem spezifischen
Volumen, mit einer von Schicht zu Schicht verschiedenen ,,AdiabatenkonstantenL6G (m); die Richtigkeit von (60) besfatigt man leicht an
den Formeln (58) und (59a-c).
Bus (59a, b) kiinnen die fur il+ 0 giiltigen strengen Losungen
ohne Schwierigkeit abgeleitet werden; man hat dam die Forderung
CT, = ~ ( t zu) erfiillen.
238
Annalen der Yhysik. 5. Folge. Band 40. 1941
$ 10. Die phyeikalische Bedeutung der in
Losungen
8 und 0 angegebenen
I. Fur die Integrale (53d) und (54) verschwinden in (6) auBer
den Reibungsgliedern beide Glieder in (6 a) und das Glied p v , in
(6c’). Wir besprechen (54): Die Stromung ist in jedem Zeitpunkt
im ganzen Gas dieselbe und nimmt in1 Lauf der Zeit exponentiell
zu oder ab, je nach dem Vorzeichen von 6 ; die Dichte jeder Gasschichf bleibt zeitlich unverandert; der Druck jeder Gasschicht ist
proportional der in ihr enthaltenen Masse uhd verhalt sich zeitlich wie
die Striimungsgeschwindigkeit. Es gibt eine Art StoBwellen, aber
wieder nur fiir physikalische Grenzzustinde: p, (z,i) kann nur fur
p ---+ rm selbst unendlich groB werden. Auch die iibrigen Differentialquotienten der ZustandsgroBen nach x und t konnen nur fur p = 0
oder 00 selbst 00 werden.
Die Funktionen in (53 d) verhalten sich ahnlich wie die in (54);
nur gibt es fiir (53 d) auBer der Grenze p = 0 0 , die bei m = co
liegt, noch die Grenze p = 0 fur das physikalisch realisierbare Gebiet; beide Grenzen wandern.
11. (48) ist in § 7 auf z,t umgerechnet; StoBwellen gibt dieses
Integral nicht.
111. (34) ist in 8 6 diskutiert; auch hier gibt es keine Sto6wellen.
IV. Das Integral (56) bringt alle Glieder in (6a), (6c’) zum Verschwinden und das Reibungsglied in (6b). (56) ist aus (54) durch
Grenzubergang gewonnen und unterscheidet sich im physikalischen
Yerhalten nicht wesentlich von (54).
V. Fur das Integral (58) verschwindet das erste Glied in (6 b)
und (6 c’); alle Reibungsglieder sind von Null verschieden. Bei diesem
Integral, das zwei willkiirliche Funktionen enthalt, aollen wir eine
ausfuhrlichere Diskussion geben.
Zunachst die Anfangswertaufgabe. Wir zeigen, daB durch das
Vorgeben von v und T fur einen bestimmten Zeitpunkt i m ganzen
Raum die Funktionen f und g festgelegt sind. -Fur t = 0 sei also
gege ben :
(61 a)
v ( t = O)=F(zj; C T ( t = 0) =pIL(rj;
die Funktion m fur t = 0 bezeichnen wir mit m.o:
(61 b)
m(t = 0 ) = m a ( 2 ) ;
nach (58) und (61 a) ist:
2 = gjma\
UUd
v ( t = 0 ) = F ( r ) = E’@(rnaj\ = d 9
(WJ
d WL,,
.
K . Bechert. Ebene Wellen in idealen Gasen mit Reibung usw. 239
Die letzte Beziehung mutl eine Identitat in ma sein, also folgt fur
alle m:
__
d g (m)- F(g(m))= F ( z - u t ) ;
(61 c)
d
bei der letzten Umformung ist wieder (58) beniitzt worden. Ebenso
folgt :
C T ( t = 0) = pG@(m,l)= p -a- f, ( m . ) .
dma
und
Fur u brauchen wir f ( m ) selbst; es ist
f W =JG
(9 (m)) d m :
und nach (61 c):
daraus folgt :
Man kann dis Losung (56) also in der Form darstellen:
2-Ill
(62) u = [ 9 ! d a ;
P (0)
2'
= tG(r
- ut)+ F ( z - ut);
C T = p G ( z -ut);
F und G sind willkiirliche Funktionen ihres Arguments, fur t = 0
bedeuten sie geml6 (61 a) die Anfangsverteilungen yon T und C TIP.
Wir untersuchen jetzt, ob die Differentialquotienten nach x und
t unendlich werden konnen. Dazu fiihren wir die Abkurzung ein:
x-ut=c
(63 a)
und erhalten aus (62):
u, ist also immer 9.0, u eine monotone Funktion von z bei
festem t. Die Differentialquotienten (63 b) konnen nur da unendlich
werden, wo Flu, G/v, Go,Fa oder t G, unendlich werden oder v Null wird.
DaB die beiden zuerst genannten Mijglichkeiten ausscheiden, kann man
so einsehen: Als Anfangszustand miissen wir einen physikalisch moglichen voraussetzen, daher ist fur t = 0 : G 0 und G 00, au6erdem v > 0 fur alle z. Folglich gilt G 0 , G 0 0 ~ F > 0 fur
>
>
+
+
Annalen der Physili. 5. Folqe. Band 40.
240
Das heifit: fur t > 0 ist v > 0 , T > O ,
ix. Grenzzustande treten also nicht auf.
alle o-.
p
+
G
wird -nicht
co,wegen
F
- ~1)
= ___ und t>O
tG
P
+
1941
T
+ co,Gp >O,
Wegen -
wird
F
~
=
U
.nicht
P
00.
-
I
Gu und Fa konnten fur bestimmtes o- unendlich werden, dannmiiBten sie aber fur t = 0 bei bestimmtem x auch unendlich sein, d. h.
der Anfangsznstand miiBte bereits eine StoBwelle dargestellt haben.
1st fur 1 = 0 wirklich eine StoBwelle vorhanden gewesen, so bleibt
sie StoBwelle auch. beim Weiterwandern. 1st aber zu Anfang keine
StoBwelle da, so entsteht durch das Verhalten von Go, F, auch keine. AuBerdem geht v in allen Gebieten, in denen G(o)> 0 ist, im Idaufe
der Zeit gegen m, die Dichte nimmt ab gegen Null, t G , konnte
also fur t --f cu nur dort StoBwellen geben, wo G = 0 und Go 0
ist; das-sind Punkte endlichen v-Wertes (wegen F > 0). Fur t = 0
lnuBte an der entsprechenden Stelle x gewesen sein: T = 0 , T , 0,
bei dem zugehorigen D wurde 0, fur 2 = 00 selbst unendlich werden.
Physikalisch sind solche Falle wohl auch als Idealisierung unzulassig. - Aus den vorigen uberlegungen folgt auch, da8 v nicht
Null werden kann.
Die Differentialquotienten nach t bei festem u werden:
+
+
,
(63c)
I
- -v-
=
- IlP .
E'
F
CT,=-puGaT;
1
.'
pt=--
i "USU F (G,F
- G F , +Gz);
als neue Moglichkeit des Unendlich-werdens der Differentialquotienten
kommt hier noch u --f co hinzu. Aber auch sie wird nicht realisiert,
weil im Anfangszustand u nirgends unendlich gewesen sein kann
(wenn unsere Losung iiberall brauchbar sein soll), und weil u nach (62)
dann aueh fur spatere t nicht unendlich werden kann; denn u bleibt
ja immer die gleiche Funktion von o-.
Ein ,,Urnkippen'' der Losungen ist nicht moglich. Denn die
einzigen Stellen, an denen die Differentialquotienten nach x und i
unendlich werden konnen, sind die Unendlichkeitsstellen von Go,
F,.
Diese Stellen liegen bei bestimmten Werten Oi von a; zu jedem G,
gibt es bei festem t nur einen einzigen x-Wert, weil nach (63a:
z=-o+ut, und weil u eine eindeutige Funktion von u ist, denn u(t = 0:
muB eine eindeutige Funktion von x gewesen sein. Es werden also
im Lauf der Zeit nicht mehrr Stellen, an denen die Differentialquotienten cu sind. Eine Veranderung der Kurvenform fiir die
ZustandsgriiSen. von der Art, wie sie Abb. 1 darstellt, kann also
hier nicht vorkommen.
K . Bechert. LCbene Wellen in idealen Gasen mit Beibung usw.
241
Das Integral (62) unterscheidet sich darin wesentlich von den
anderen Losungen, die wir bisher untersucht haben, da6 in den
friiheren Losungen die Grenzzustande v = 0 oder p = 00 zu allen
Zeiten in den Losungsfunktionen enthalten waren; in der Nahe
dieser Punkte h6rten die Losungen auf, eine hinreichende Beschreibung des Vorgangs zu geben. Beim Integral (62) dagegen
haben wir die Moglichkeit, solche Zustande fur t == 0 auszuschliefien,
weil F, G willkiirliche Funktionen sind; wir haben gesehen, da6 danu
auch fur spatere Zeiten solche Grenzzustande nicht realisiert werden.
Wir konnen daher zusammenfassen :
Die Reibung ist bei den. Integrabn (62) hinreichend, das Auftreten mn Grenzzusttinden und das Urnkippen &r Losungskumen zu
verhindern; die Warmeleitung haben wir ja als vernachlassigbar
vorausgesetzt. Wenn zu Anfang nicht schon StoSwellen vorhanden
waren, gibt es auch keine StoBwellen. Waren solche vorhanden, so
bleiben sie StoBwellen. Die durch (62) dargestellten Wellen wandern
und verandern ihre Form, das folgt aus (62) und (63a). An Beispielen sieht man, daB die Reibung die Formen glattet.
Sol1 die Losung (62), (58) fur 1 0 streng gelten, so entsteht
nach 9 9 entweder (37) oder (58a). - GemaB (37), (47) ist G = const,
also Go= 0 ; das Unendlichwerden von t G, kann dann also auch
mathematisch nicht mehr vorkommen; alle an (62) angekniipften
nberlegungen gelten natiirlich auch fiir diesen Fall. - Die Losung
(58a) lautet, auf 2, t umgeschrieben:
+
(64)
sie wird unter VI besprochen.
Die Entropie pro Gramm ist:
s = C ( = l g1 T
also in unserem Fall (62), (58):
S
1
(65b)
+ 1gv1 + const,
-c --w--lkf, (4+ lg Pf,W
+ 9 (mil + Const
*
Daher wird bei festem m:
die Entropie jeder Gasschicht nimmt bei den Vorgangen, die durch
(58), (62) beschrieben werden, im L a d der Zeit .standig zu.
Wir geben zwei Beispiele zu (62).
A. Wir setzen
242
=Ilznabia der Physik. 5. Folye. Band #. 1941
(I, A, B sind willkurliche positive Konstanten. Dann ist uberall
G 0, G m, und F > 0, wie physikalisch zii verlangen. Die
ZustandsgroBen werden:
>
+
Abb. 2. Die ZustandsgroBen der LSsung (66s); ea ist D = 0, a E 1, A = 1,
B = 1 gesetzt. Die Kurven mit dem Index 0 gehsren zu t = 0, die mit dem
Index 1 zu t = 0,5, die mit dem Index 2 zu t = 1
Das Verhalten fur feste Zeitpunkte ist i n Abb. 2 dargestellt,
es ist D = 0 angenommen, was keine Einschrankung bedeutet.
Druck, Temperatur und Dichte sind fur alle t bei z = 0 am groBten
und nehmen nach 'anBen (nach positiven und negativen 3) zu Null
ab. Die Stromungsgeschwindigkeit ist positiv hei positivem x, negativ bei negativem X; fur groSe Absolutwerte von x, ale0 in den
iiu6eren Gesschichten, wird sie konstant. Die ,,Xittelpunktstempe-
I<. Rechert. Ebene Wellen i n idealen Gasen mil Reibung usw. 843
ratur" bleibt dieselbe, ihr Bereich breitet sich aber raumlich immer
weiter aus, jedoch nicht auf neue Gasschichten; jede Gasschicht
behalt vielmehr ihre Temperatur bei, denn es ist nach (58) T nur
von m abhangig und fur feste Gasschichten zeitlich unveranderlich.
Die einzelnen Schichten dehnen sicb 'eben immer weiter aus, der
Druck sinkt, ebenso die Dichte. StoBwellen gibt es nicht. Bei
x = 0 kann man sich eine Wand angebracht denken, der Vorgang
wird dadurch nicht gestort, weil bei z = 0 standig u = 0 bleibt,
und weil wir die Warmeleitnng als vernachlassigbar ansehen wolIten.
Diese Bemerkung gilt offenbar allgemein fur die Losungen (62)
in der Form, da6 bei einem bestimmten s-Wert fur alle Zeiten
u = 0 ist. Denn u = 0 bedeutet:
wobei wir die Integrationskonstante D des Integrals ausdrucklich hingeschrieben haben. D ist willkurlich, daher kann u = 0 immer
erfiillt werden' und gehort, wie man sieht, zu einem festen s-Wert.
Geben wir D vor, so ist dieser x-Wert allerdings nicht notwendig
reell. Es gibt hochstens ein solches s, weil nach (63b) u, immer
> 0 ist, u daher bei festem t eine monotone Funktion von z ist.
Stehende Wellen kann man also mit (62) nicht beschreiben, aber
bei geeignet gewahlten Funktionen das Verhalten von Storungen
an einer festen Wand.
Das Zeichnen der Kurven geschieht in einfacher Weise aus
der Kenntnis der liurven fur t = 0; fur t = 0 ist x = D , fur spateres t findet man den s-Wert zu festem D aus 5 = D + ut.
B. Fur t = 0 sei: = a, fur x < 0, 6 = a2 fur x > 0; C T =
p B ; a,, a,, B seien positive lionstanten, und a, > aB. Bn der
Stelle z = 0 nimmt Dichte und Druck in Richtung nach positiven
z sprunghaft zu. Fur spatere Zeiten ist dann:
D ist eine Konstante; fur ai ist a, zu setzen, wenn cr < 0, a,, wenn
o > 0. Die Sprungstelle in v, p liegt standig bei D = 0, d. h.
3: = u t, also bei x = D t, sie wandert mit der konstanten Geschwindigkeit D; D 0 bedeutet x D 6. Die Stromungsgeschwindigkeit u ist
iiberan
stetig l ) , aber ihre Differentialquotienten u,, ut haben bei
.1) DaB wir kein Beispiel gewiihlt haben, bei dem auBer p , 21, T auch
uberall endlich bleibt, hat seinen Grnnd in dem Streben nach einfacher
Uarstellung. Stetige Funktionen F ( u )oder G (u), die an einer Stelle u unendlich
steil abfallen und dort einen Wendepunkt haben, lassen sich zwar leicht angeben, aber das Integral, das nach (62) zur Berechnung von u auszuwerten wiire,
ist dann nicht elementar oder iibersichtlich auswertbar.
21
'
244
Annalen der Physik. 5. Folge. Band
40. 1941
x E D t eine Unstetigkeit. Der Sprung in v bleibt etiindig a, - a2,
wird aber relativ immer unbedeutender, weil v mit 1 anwachst;
der Sprung in p wird absolut immer kleiner und auch relativ immer
Abb. 3. Die ZuetandsgroSen'der Liisung (6612)(StoBwelle); es ist a, = 2,5;
a, = 1,s; 3 = 1; D = 2 gesetet. Der Index 0 bezieht sich auf t = 0; 1 auf
t = 0,5; 2 auf t = 1
unbedeutender, dasselbe gilt f ur den Knick in u, denn es ist nach (63b)
u, = p / p . Die Reibung gkttet also auch hier die Wellenform, vgl.
Abb. 3.
VI. Fur das Integral (58a) verschwinden alle Glieder in (6b)
und das erste und letzte in (6c'). In 2 und t wird [vgl. (6411:
>
Es ist notwendig t 3 0 und fur b > 0 auch x 0; t = 0 ist ein
singulirer Punkt, bei 2 = 0 ist standig e = 03, T = 0, u = 0
StoBweUen gibt es nicht.
VII. Fur das Integral (59 a) verschwindet nur das.Reibungsglied
in (6b). In z und t wird mit der Abkiirzung:
T
=
X
.-+
t
(2 - x ) (1 - x )
@ ist eine willkiirliche Funktion von T, es ist einfach die Umkehrfunktion zu der Funktion F yon (59a):
F-'(a) = @ (u);
a ist eine willkiirliche Konstante.
VIII. Fur das Integral (59b) verschwinden die beiden Glieder
in (6a), das zweite in (6b) und die ersten drei in (6c'); das letzte
(68 c)
X. Bechert. Ebene Wellen in idealen
Gasen mit Reibung usw. 245
ist wegen der Voraussetzung h = 0 nicht vorhanden. Die Reibung
spielt also keine Rolle. Fiihren wir die Abkiirzung ein:
so wird aus (59b) in z und t :
(1, ist eine willkiirliche Finktion von y und hangt mit dem in (59 bj vorkommendeu F wieder geniaB (68c) zusammen. Wegen (69a) hat
a @ (x) die anschauliche Bedeutung der Druckverteilung, wie sie
fur t = 0 herrscht; gibt man diese vor, so ist die Losung (69b)
bestimmt. Fur CD muB aus physikalischen Grunden gelten: a 4 0;
*>
d @
>
0. Wilhrend die Stromungsgeschwindigkeit von t = 0 an
mit der Zeit immer groBer wird, bleiben die Verteilungen von W, p, T
ihrer Form nacli zeitlich unvergndert, denn alle y -Werte wandern
mit clerselben Geschwindigkeit d x/d t = - a t = u. Der gyattende
EinfluE der Reibung kommt bei dieser Bewegung gar nicht zur
Wirkung. Aus dem unverzerrten Fortwandern der Wellen folgt
schon, da6 ein Umkippen der Wellenform nicht vorkommen kann;
ist eine StoBwelle vorhanden, so bleibt sie unveriindert erhalten.
9 11. Integrale, fur welche alle Glieder
in (6) von Null verachieden Bind
Bei allen Losungen, die wir bisher in dieser Arbeit angegeben
haben, war mindestens ein Glied der G1.(6) identisch Null; meist war
das Reibungsglied in (6 b) unter diesen Gliedern. Wir geben jetzt eine
Klasse von Losungen an, fur welche alle Glieder von (6) von Null
verschieden sind. Weder die Reibung noch die Warmeleitung
sollen vernachlgssigbar sein.
Rir machen den Ansatz:
(704
P, = 0 .
Aus ( l l a ) folgt dann:
Also konnen wir setzen:
auBerdem muS (11b) erfiillt werden. Wir versuchen den einfachen
Ansatz:
(70c)
s = tf(m) + g w .
Annalen der Phyelk. 5. Folge. 40.
17
246
Annalen der Ph ysik. 5. Folge. B a d 40. 1941
Das gibt aegen (iOb):
t pql.
(718)
=?If(W,
nnd:
x pfl
(7 1b)
Wegen (708)ist:
(71 c)
Aus (71 I)) kann
P
21
+0
= P (nz).
brrechnet werden:
(72a) v = G (m,). exp
Dabei ist F
t p?'t =tf, t n.,
+n
-
1
-(ifw,
E'(N1)
+ g, - x fmpE'(m) )
~
vorausgesetzt worden; I-' = 0 wiirde v aegen
(1 1b), (71a,b) zu einer Funktion w n m allein machen und das
Reibungsglied in (Gb) wieder zum Verschwinden briugen.
AuBerdem muB (11b) erfiillt werden:
= 0 und erlialten: F
wir setzen daher: G = 0; Fmm
und da wir m, Xu11 setzen ItBnnen, schlieblich:
= a(m
+ mo),
(72 1))
Jetzt bleibt nur nocli (71%) zu erfiillen.
gibt die zwei Bedingungen f u r f und 9:
Einsetzen von (72b)
Sie sind bestimmt erfiillbar, weil man aus der ersten f berechnen kann, und dann aus der zweiten g. Unser Ansatz gibt also
wirklich Lijsungen. f, setzen wir als von Null verschieden voraus;
sonst wiirde 27 nur von m abhiingig werden und das Reibungsglied
in (6b) wieder verschwinden. Die erste G1. (72c) ist homogen in
m, kann leicht integriert werden und gibt:
(73a)
dabei ist gesetzt:
f = - U
r ((em)y + 11
(cm)Y - 1
u = L2a;
(7 3 b)
7 und e sind Integrationskonstanten.
Wir bereclinen g,iL aus der zweiten G1. (72c):
K. Bechert. E'bene
TVeUen i n idealen Gasen nait Reibullg usw. 247
A ist pine lntegrationskonstante. Die A4usd~iickein ( 7 3 ~ 1 )lassen
sic11 vereiufaclien. Kegen (72c) ist
die eckige Klnmmer in (I, w i d :
-5-( + f -
(x
- 1 ) ) ; das gibt:
An (7213) erkennt man, daB die Konstaute A nur eine Verschielwng' der Zeitziihlung hedeutet, wir konnen sie daher gleich
Null srtzcn. Aus (73a) schliebt man auf:
(734
und :
Also schliefllich:
Man crlililt so die Liiuung:
n, c, 7 sincl willklirliche Konstahten.
Fiir eine feste Gasschicht gilt: 5 ist eine quadratische Funktion
yon t; u, Q, T sind lineare Funlrtionen von t; das Verhalten von p
ist durch das von 17, T bestimnit.
Ihierkenswert ist, da6 je nach dem Vorzeichen von f
.. clas
am
spezifische Volumen einer Gasschicht entweder staiidig zu- oder
abnimmt.
17'
248
Annalen der Physik.
5. Folge. Band 40: 1941
< 0, so gilt, weil v und T fur t = 0 positiv ge1. Wenn
wesen sein mussen:
also weiter:
Y,-l(am
P
f m > o ;
am>O;
j,<o.
T und v nehmen daher beide in Richtung auf Null ab; T = 0
wird fruher erreicht als v = 0, nilmlich fur
p ( x - 1)
+ -__xa
gm
t=-
fm
m
r;
fm
zu diesem Zeitpunkt z hat v den positiven R e r t :
9(T)
=
rfm .
- -___
x a2 mP '
p ( r ) ist Null, wie aus der Gasgleichung folgt. Bei diesem Vorgang
nimmt also die Dichte der Gasschicht stindig zu bis auf l/v(z),
die Temperatur und der Druck nehmen auf Null ab.
2. Wenn f
,, > 0 ist, gelten wieder die Ungleichungen (75).
am
Sie kijnnen erfullt werden entweder a) durch:
(7 5 a)
gm
- ;awy
am>O;
f m > o ;
dann ist auch f,,, > 0 ; oder b) durch
(75b)gm---tk-<0;
xa
a m < O ; f,<O;
m
g,-
El
fn
P
fm
.-
Im Fall a) wachst T im Laufe der Zeit immer weiter an,
ebenso v; der Endzustand (fur t -+ 00) ist T = co,v = M,,p = a m.
I m Fall b) nimmt T standig ab und v standig zu; der Endzustand
ist derselbe wie im Fall 1.
Es scheint miiglich, mit den hier geschilderten Methoden auch
f iir andere Zustandsgleichungen Integrale der Bewegungsgleichungen
zu finden, z. B. fur die nach T a m m a n n benannte Zustandsgleichung:
(p + a)(w - b) = G T,
in der a, b, C Konstante sind.
G i e S e n , Institut fur thooretische Physik, 12. Juli 1941.
(Eingegxngen 13. Juli 1941)
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V e r a n t w o r t l i c h : rilr dle Bednktion. Prof. Dr. E. Orbeisen YarbnrglL: .fllr Anreigen
Bernhard v. Ammoh, Leipzig. Anzeigedsnnahme: Lelprig C 1, Sniomonstr. 18 4, Tel. 70861.
Vetlag: Johann Ambroaius Barth. Leluzip. Druck: Metzser & WittlK.
~.teIuzlK
. C 1.
Rur ZeIt gllt Prelslk-4. Piluted in Qermany.
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weller, reibung, gases, ebene, wrmeleitung, idealen, mit, und
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