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E-H-Zyklotronechos in Plasmen.

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Bnnalen der Physik
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7. Folge
*
Band 26, Heft 1 * 1971
E-H-Zyklotronechos in Plasmen
Von P. BACHMANN,
K. SAUERund G. WALLIS
Mit 1Abbildung
Abstract
A new echo type with free electrons in a slight inhomogeneous magnetic field excited
by one electric and one magnetic pulse is calculated. Thus features of cyclotron echos and
spin echoes are combined. The first electric pulse accelerates all (cold) particles to the same
velocity as in the case of usual cyclotron echoes. The second magnetic pulse (at t = t)
rotates the plane of precession in phase space, quite in analogy to the motion of magnetic
moments in the case of spin echoes. The echo arises a t t = 2 t .
The E-H echoes make relaxation and diffusion measurements in plasmas possible,
using the methods proved useful in spin echo technique. There are no complications as in
the case of E-E cyclotron echoes which are based on the fact that a velocity-dependent
collision frequency is necessary for the nonlinearity of that echo mechanism.
Einleitung
Bei dem vorgeschlagenen Echotyp im Plasma [l,21 werden Elemente zweier
bereits bekannter Echotypen, der ,,E-E-Zyklotronechos" (zwei elektrische Primiirsignale) und der Spinechos miteinander verbunden : Nach einem elektrischen Impuls ( t = 0) wird zur Zeit t = z ein magnetisches Zusatzfeld Q1=
( H I cos cot, -Hl sin cot, 0) eingeschaltet. I m Abstand t = 22 vom ersten Impuls
IaBt sich dann ein Echo in Form eines Strahlungsimpulses mit der Zyklotronfrequenz coo beobachten. Der grundlegende Mechanismus dieser E-H-Zyklotronechos beruht im Gegensatz zu den E-E-Zyklotronechos nicht auf einer geschwindigkeitsabhgngigen StoBfrequenz v ( v ) , sondern ist eher mit dem der
Spinechos vergleichbar. Dies liiBt sich am einfachsten am geometrischen Modell veranschaulichen.
Wir betrachten dazu ein Ensemble wechselwirkungsfreier Teilchen in einem
leicht inhomogenen konstanten Magnetfeld Q0. Anfiinglich mogen sich die
Elcktronen in Ruhe befinden (kaltes Plasma). Fur die E-H-Zyklotronechos ist
dann folgender Zeitplan charakteristisch (Abb. 1):
i-f,+-tJ-A
1-0
dekirisckr lmpulr
magnehcherJmpuh
t
Echo
Abb. 1. Echozeitplan
P. BACHMANN,
K. SAWER
u. G .WALLIS:E-H-Zyklotronechosin Pla:c men
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1. Durch einen d-funktionsartigen elektrischen Impuls zum Zeitpunkt
t = 0 erhalten alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit bo.
2. Fur t > 0 gyriert jedes Elektron mit der lokalen Zyklotronfrequenz co,,
was zu einer nahezu gleichmiil3igenVerteilung der Phasenlagen in der Qeschwindigkeitsebene senkrecht zu Qo und damit zum Abklingen der makroskopischen
Stromdichte fiihrt.
3. Das zweite magnetische Signal zum Zeitpunkt t, = 2 mit o w oo (Resonanzfall) erzeugt eine Priizession der Elektronen um das magnetische Zusatzfeld mit der Frequenz 0,. Wird die Impukdauer so bemessen, daB die Geschwindigkeitsvektoren der Elektronen nach einer Drehung um 180" (coltz = n)wieder
in der selben Ebene liegen, so entspricht das einer Spiegelung der Phasenlagen
an der &-Achse.
4. Xach dem zweiten Impuls gyrieren die Elektronen mit der gleichen Richtung und Geschwindigkeit wie vor der Umverteilung. Die Spiegelung der Phasen
fuhrt jetzt jedoch dazu, dal3 mit dem weiteren Zeitablauf die Phasenmischung
ruckgiingig gemacht wird und nach einer Zeit t, = z, gemessen vom zweiten
Impuls, sich der gleiche Ordnungszustand wieder einstellt. Das bedeutet das
Echo zum Zeitpunkt t = 22.
5. Das anschlieBende Abklingen der Echoamplitude ist wieder eine Folge
der unterschiedlichen Gyration der einzelnen Elektronen um das inhomogene
konstante Magnetfeld Qo.
Die Phasensituation unter 1. und 2. (t < z), erzeugt durch den ersten elektrischen Impuls, ist voUig identisch mit derjenigen bei E-E-Zyklotronechos [3].
Die ,,phasenspiegelnde" Wirkung eines magnetischen Impulses und der daraus
resultierende PhasenentmischungsprozeB im Zeitabschnitt t 2 z dagegen sind
typische Elemente der Spinechos [4].
Die Unterschiede und Gemeinsamkeiten im Mechanismus der Echotypen
(E-E, E-H-Zyklotronechos, Spinechos) lessen sich sehr leicht an den entsprechenden Bewegungsgleichungen erliiutert. Beide Typen von Zyklotronechos konnen mit der Gleichung fur die Stromdichte i(der Elektronen) beschrieben werden in der Form
I
-
v
-
ailat (o347c)(3 (ejmc)i x Q = -vi,
= StoBfrequenz (proportional zum elektrischen Widerstand),
cop = Plasmafrequenz.
Fur Spinechos wird die BLocx-Gleichung verwendet :
Yh - ~ % X X Q= -(lm - xQ)/T
mit T = T, = T z fur die longitudinale und transversale Relaxationszeit.
Voraussetzung fur die Entstehung von Echos ist aul3er der inhomogenen
Relaxation eine nichtlineare Reaktion des vorliegenden Systems auf eine iiul3ere
Storung. Werden in die erste Gleichung als Storung zwei elektrische Impulse
eingesetzt (ein konstantes Magnetfeld Q,, im Gesamtfeld Q wird in beiden
Gleichungen angenommen), so kann ein nichtlinearer Zusammenhang i = i(@)
nur uber einen stromabhiingigen Widerstand v = v ( j ) entstehen. Dieser Mechanismus liefert tatsiichlich die beobachteten E-E-Zyklotronechos.
Mit cinem konstanten v (gleichbedeutend mit einer geschwindigkeitsunabhangigen StoBfrequenz) kann eine nichtheare Reaktion in dem erliiuterten
Sinne nur uber den LORENTZ-Term ix 8 entstehen : Bei den oben modellmiiDig
beschriebenen E-H-Zyklotronechos wirkt der zweite magnetische Impuls auf
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7. Folge
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Band 26, Heft 1
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den durch den elektrischen Impuls erzeugten Zustand, und es kommt zu einer
nichtlinearen Reaktion.
I n Spinsystemen gibt es nur die Wirkung magnetischer Impulse. Wegen der
Ausrichtung der magnetischen Momente im konstanten Magnetfeld Qo existiert
jedoch ein Anfangszustand ‘B0= xQ0, auf den die magnetischen Zusatzimpulse
einwirken konnen.
Ein analoger Echotyp im Plasma (H-H-Zyklotronechos) folgt aus diesen
uberlegungen. Dazu ist eine Elektronendrift in Richtung des konstanten liuDeren
Magnetfeldes erforderlich. I n diesem Fall ist die Gleichung fiir die Stromdichte
vollig identisch mit der BLocH-Gleichung fur das magnetische Moment.
Losung der Bewegungsgleichung fur E-H-Echos
I n diesem Abschnitt wird die Bewegungsgleichung (i
= neb)
b y @ x a = -vD
(1)
gelost. Dabei ist y = elrnc, Q = Qo Q1, Q,,= Hoe, das konstante auDere
Magnetfeld, Q1 = f H , (cos wt e, - sin ot e,) das wahrend der Zeitdauer t,
eingeschaltete rotierende magnetische Storfeld ( f ( t ) = 1 fiir t, 2 t 2 tl
t,
und 0 sonst); die Anfangsgeschwindigkeit bo = voe, wird durch einen elektrischen S-Impuls zur Zeit t = 0 realisiert.
Zur Losung von G1. (1) wird diese in ein um die e,-Richtung mit der Frequenz o rotierendes Koordinatensystem nach
+
+
+
b’(t) = D(wt)b(t), D(v) =
transformiert :
+
b’ (fa1
- do) X b’ = -vb’
mit o1= y H , e,, d o = (cu - coo) e,,
(3)
= o1- do.
oo= yHo; oeff
Diese transformierte Bewegungsgleichung wird, entsprechend dem Echozeitplan (Abb. l),in drei Schritten gelost, wobei jeweils die Gleichung
b’
(Vi V I ) b’ = 0
( 4)
zu losen ist; q1 = q3 = - d o x , r1, = o,ffx , I = Einheitsmatrix. Aus der
Losung der Form
e - 11x1
00
O<t<t,
b ’ ( t ) = ee-Yt
-Y(t-tl)
e-qz(t-ti)
~ ’ ( t , ) t, 5 t 5 t ,
t,
(5)
+ +
I
le-v(t-ti-ts)
e-qs(t-ti-
3)
b‘(t,
+ t,) t, + t, < t
+
ergibt sich sukzessive mit &(ti) = e-@i die gesuchte Losung in der Form
~ ’ ( t , t,
t3) = e-”(tl+t9+t3)A3(t3) A,(t,) Al(t,) b0.
( 6)
Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung fur die Matrix qi = bi x :q3
bf qi = 0 folgt
l . = I sin
- Lb .t . ljri 1 - cos bit6-
+ +
+
+
b$
bi
1
- -bi
b:
b,.+ %sin bit, bix + cos biti I
1
0
(
-
1
bi
(7)
‘bi o b,).
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P.BACHMANN,
K. SAUER11. G .WALLIS:E-H-Zyklotronechos in Plasmen
Hieraus ist nun leicht zu erkennen, daB A,,, = D(Aot,,,) gilt. Wir wollen
nun die Losung (6) mit Hilfe des komplexen Projektionsvektors e = ex ie,
auf die komplexe Ebene projizieren, d.h. v; = ED’ berechnen. Wegen eo”(y)=
e-% und &)I
ex = cos y e , - sin pe, ergibt sich
v; = wo e--v(tl-rtr+tr)e - - i 4 4 ei12(t2)(cos dwt,e, - sin dotlev),
(8)
bzw. nach Ausmultiplikation unter Beachtung von (7)
+
v‘+
= v,e-Y(ti+tz+td [n2e-id4ti+ta)
2
n2
= cos wefft2/2- i cos
- &-i
I,
l~~(ta-ti)
0 sin o , f r t 2 / 2 ,
’
(9)
8 2 = - i sin 0 sin wefft2/2,
tan 0 = o l / A w .
I m Exponenten des Dampfungsterms kann der zweite Term weggelassen
werden, wenn Relaxationseffekte wiihrend der Wirkungsdauer des magnet,ischen Storfeldes vernachlassigbar sind, d.h. t2 < 1/v gilt. Gl. (9) entspricht dem
bei Spinechos erhaltenen Ergebnis (s. z.B. ALEXANDROW
[5]). Man kann sie
in einer formal durchsichtigeren Weise erhalten, indem man Spinoren verwendet
[5] : Der resultierenden Drehung il = I? A22, in (6) entspricht die Transformation Q = Q3 Q2 Q1 im Spinorenraum mit
wobei ni, Pi die CAYLEY-KLEINschen Parameter sind :
a,,, = eidoh,s/2, pl,, = 0 entsprechen der freien Prazession, a2 und p2 sind die
in (9) angegebenen GroBen. Fur die zu Q gehorenden Parameter folgt dann
=
2
eid4ti+t1)/2, /j=
p2 f p d t . - - 1 , ) / 2 .
(11)
Entsprechend dem Zusammenhang (vi = E*D‘)
a*2
-
B*2
(1.2)
n*p
(&a* -&?*)
a@*
ergibt sich
w; = vo (n*2 - j3*2),
(13)
was mit (9) bis auf den Relaxationsterm identisch ist.
Es wird nun die Losung (9) diskutiert. Nehmen wir eine schwache Magnet,feldinhomogenitiit etwa in Form einer Gauss-Vertedung
an, wobei T die inhomogene Relaxationszeit ist, so ergibt der zweite Term in
(9) nach Integration uber A o mit (14) den Echoterm
jiech0
% --newo e - v ( t i + t s ) J2
/ e-[(tr-td/2Tl1.
(15)
E r liefert ein Echo bei t, = t,. Betrachten wir weiterhin den Fall der Resonanz
o w mo (0 w n/2),so ergibt sich endgiikig wegen 16”
-sin2 wlt2/2
j;ccho
newo e--Y(ti+ts) sin2 Wit, e-1(ta-t1)/7~11.
2
(16)
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Typisch ist die nichtlineare Abhiingigkeit des Echoimpulses vom magnetischen Storfeld -sin2 coIt2/2. Entsprechend diesem Term wird der Echoimpuls
maximal fur colt, = z, d.h. wenn der zweite Impuls ein 180"-Impuls ist. Diese
Abhangigkeit sollte auch bei E-H-Echos zu beobachten sein.
Da die Abhangigkeit des Echoterms analog zu der bei Spinechos gefundenen
ist, konnen die bekannten Spinechomethoden zur Bestimmung von Relaxations- und Diffusionseffekten a d Plasmen ubertragen werden. Entsprechend
den Exponenten,in (16) richtet sich der ZeitmaBstab einerseits nach der inhomogenen Relaxationszeit, andererseits nach der StoBfrequenz. Insbesondere
fur Elektronen konnen sehr vie1 kurzere Impuledauern bzw. -abstande erforderlich werden als bei Spinechos. Sie kommen wie bei E-E-Zyklotronechos in
die Or oBenordnung von nsec bzw. ,ucec. Als zusiitzliche Randbedingung miissen
alle vorkommecden Zeiten klein sein gegen die Vermeilzeit der Teilchen im
Homogenitatsbereich. Bei Ionen-Zyklotronechos sicd bei beiden Echotypen
die moglichen Zeiten entsprechend grol3er.
Zur Realisieiung der hier vorgeschlagenen Echos konnen auch andere Ladungstragersorten verwendet werden. Dieser neue Echotyp sollte auch in Festkorperplasmen realisierbar sein, wobei genaue Untersuchungen bezuglich der
Relaxationseffekte und nicht geschlossener Elektronenbahnen noch ausstehen.
SehluB
Die mit diesen Echotypen meabaren Relaxationseffekte betreffen die a m
Echo beteiligten freien Ladungstrager. Sie sind daher besonders intereseant f u r
einjge Probleme der Ladungstragersteuerung. Relaxat,ionseffekte, die mit
Photonenechos erfaBt werden, hangen dagegen mit optisch angeregten Zustanden zusammen. Die Untersuchungen beider Echoarten konnen sich daher
in geeigneter Weise erganzen.
Literaturverzeichnis
[11 WALLIS,
G., Hauptjahrestagung der Physikalischen Gesellschaft, Leipzig, April 1968.
[t'] SAUER,K.,
P. BACHYABN
u. G .WALLIS,
Phys. Letters.
[3] GouLD,R.W., Phys. Letters 19 (1965) 477.
r4] CARR,H.Y.,
U. E.M.PURCELL,
Phys. Rev. 94 (1951) 630.
[i] ALEXANDROW.
J . W.,Theorie der kernmagnetischen Resonanz, Leipzig 1966.
Bei der Redaktion eingegangen am 10. Juli 19iO.
Anschr. d. Verf.: Dr. P.BACHMANN,
Dr. K.SAUER
u. Dr. G.WALLIS
Zentralinstitut fur Elektronenphysik der DAW zu Berlin, Abt. Theoreti-.
sche u. Mikrowellenplasmaphysik. Institutsteil I\'
1199 Berlin-Adlershof, Rudower Cliaussee 5
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