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Eigenschwingungen einer Kegelschale.

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ANNALEN D E R PHYSIK
~
5.FOLGE, B A N D 1 7 , R E F T 7 , AUGUST 1 9 3 3
Eigenschwhgunqem einer Eegelschale
Porn H.J. 0.S t r w t t
(Natuurkundig Laboratorium der X. V. Philips’ Gloeilampenfabrieken,
Eindlioven/Holland)
Zuaammenfassung
Die Eigenfrequenzen einer diinnen Kegelmantelschale
werden berechnet unter der Voraussetzung, daB nur solche
Schwingungen auftreten, die keine Dehnung des Mantels zur
Folge haben. DieRechenmethode stammt von Lord Rayleighl).
Um den praktisch bei Lautsprecherkegeln auftretenden Verhaltnissen nahe zu kommen, wird angenommen, der Kegelmantel sei einerseits von einer dehnungsunfahigen Scheibe
abgeschlossen, andrerseits frei. Der Grenzubergang vom Kegel
zu den bekannten Formeln fur den Zylinder wird durchgefuhrt.
Asymptotisch ergibt sich ein einfacher Ausdruck f iir die
Eigenfrequenzen.
I. Einleitung
Der bewegende Teil (Membran) von Lautsprechern wird
haufig aus Steifigkeitsrucksichten in der Form eines Kegels
ausgef iihrt.
Die Differentialgleichungen fur die Verformung einer
K e g e l s c h a l e 2 ) sind so komplizierter Art, daB eine Berechnung
der Eigenfrequenzen auf Grund dieser Gleichungen nicht versucht wurde. Dagegen gelingt die Berechnung nach R a y l e i g h s
Methodel) fur eine diinne Schale (was bei Lautsprechern zutrifft) in einfacher Weise.
Fuhrt man Koordinaten auf dem Mantel ein (x in der
Erzeugenden-Richtung zur Spitze hin), y in der TangentenRichtung senkrecht zur Achse, w in der Richtung senkrecht
zur Erzeugenden und zu y nach innen), so gilt vor der Deformation :
z=-
;:(- + - I)
1) Lord R a y l e i g h , Theory of Sound 1. S. 409. 1926; Sc. Papers 1.
S. 551.
2) A. E. H. L o v e , Elasticity 4. Aufl. S. 603.
Annalen der Phyrik. 6. Folge. 17.
48
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 17. 1933
730
mit p1 und g, als Hauptkriimmungsradien
der Deformation dagegen :
(el = 00).
Nach
Sind nun 8(l/pl),. 6 ( 1 / p n )und z bekannt, so schreibt sich die
potentielle Energie pro Flaccheneinheit des Mantels:
3
wo 2d die Schalendicke E = - 3 n / m m - ~- , E den Elastizitktsmodul, B = (m - n)/2m und B die Poissonlronstante bezeichnen. Integration iiber die Schalenflache ergibt die ganze
potentielle Energie. 1st dazu noch die kinetische Energie bekannt, so konnen die Eigenfrequenzen berechnet werden.
(
11. Berechnung der potentiellen Energie
Der erste Schritt ist Aer, dai3 man die obengenannten
Fl&chenkoordinaten in Zylinderkoordinaten gemessen von der
Kegelspitze, r und 5p gemessen vom betrachteten Mantelpunkt
(ro, zo, 0) ausdruckt.
Die Forineln lauten: (p = Winkel Achse-Erzeugende):
I
z = zsinj - rcosycos/?.
In der Umgebung des Punktes ( r o , x o , 0) erhalt man also
(bis auf Glieder zweiter Ordnung in sp und x -- 2,)
5=0.
V e n n r , x und y je einen kleinen Zuwachs u, v, w erhalten,
entstehen die Gleichungen:
I x=si"- cos B, YO
\
zo
yo
sin p
- [uosin PI- (-)au.
dz 0
uowo= (r - T O ) W O= (2 - xo)tgpwo;
iM. J . 0. Strutt. Eigenschwingungen einer Kegelschale 731
Hierbei sind Glieder zweiter und hoherer Ordnung in cp
und x - zo vernachlassigt worden. Der Index 0 so11 andeuten,
daB die betr. GroBen an der Stelle r = r,, z = xo, 'p = 0 gebildet sind. Man kann nun die Flache durch eine infinitesimale
Translation und Rotation wieder (bis auf GroBen zweiter nnd
hoherer Ordnung) in die ursprungliche Lage zuriickbringen.
Die Translation ist entgegengesetzt gleich den eckig eingeklammerten Gliedern in (3). Die rotatorischen Zusatzglieder
Z lauten bzw.:
zu x, ZJ,
Damit die oben beschriebene Nullage wieder erreicht wird,
muS gelten:
(4) '
b)
dqn
du
--tg
dz
c)
U
91
P
+=
=
dw
STd'P
= 0;
dv
= 0;
w t g p + r- d z + 3d)
cosg
e) r w c o s p + ; Ed-vs i n p - - c odsup - r w , =
dw
cp
f)
dzc
-sin P + >;cos
dz
0;
0
0;
dqn
p+
0
= 0.
+
@
(Index 0 fortgelassen)
Eliminieren von o3 aus ( 4 4 und (4a) ergibt:
Man uberzeugt sich leicht davon, daB die Gleichungen (4b),
(4c) und (4ad) identisch sind mit denjenigen, die Lord R a y l e i g h
(Sound I, S. 399, GI. 14) in anderer Weise erhielt. Ihre Losung
lautet unter der Bedingung, daB der Kegelmantel fur z = I, ,
von einer dehnungsunfahigen Scheibe abgeschlossen ist, d. h. daB
fur z = 1, gilt u = 0 ; w = 0:
4s *
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 17. 1933
732
i
zu =
2 (1 - a) A,cos
igi.
i
ti = 2, 3 , 4 , 5
. . .).
Zur Berechnung der potentiellen Energie nach G1. (1) ist
es notwendig, in der letzten GI. (3) alle Qlieder zweiter Ordnung in cp und x - z0 zu beriicksichtigen (nach Ausfiihrung
der oben beschriebenen infinitesimalen Rotation).
Man erhslt, indem w1 und o2 den GI. (4e) und (4f) entnommen werden
2z =
{=(x d2v
xo)2
d2v
_ (z - zo)93) sin
+ d2v + 2 _
d q dz
Sp2
- ( - uy2 - 9 D 2
+ d2u
- zo)2+ 2-(2-
d2 U
m ( Z
?Jcp
+-cpz - x0)y - 2r6cp2) c o s p
dv
+ 2y 2sin2pcosp - 2 dd uz Sp2sin cos2p .
z
d2u
d tu
2rd z (z
d zu
--
tl
Unter Benutzung Ton:
2
=?
0
p2 ; Y = ,rYj
ergib t sich hieraus :
22 =
- 2 x y -cos 6 { &v
sin p
a
-d q cosp + r li7cosp)
dBU
1c
dz
a=u
+ -p{ s i n p + u cosp + r cosp + 2 r -ddc'wpo s / ? - r r s dianzu~ c o s 2 ~ + r - -d z
ya
d2
dV
u
cosp
'p
1
s in 2 p c o s P
+ s 2 c o s ~ pd2( ~sinp--?
:
d ? 1L c o s p ) .
rl z
Beriicksichtigt man die GI. (4b), (4c) und (4ad), so ksnn man
vereinfachen :
X.J . 0. Xirutt. Eigenschwingungen einer Iiegelschale 733
Der fjbergang zum Zylinder @ = 0 fiihrt auf L o r d R a g l e i g h s
Fornieln (Sound I! S. 414, G1. 6).
Vor der Deformation lautete (6):
22 =
1
1
Qi
Qa
Die GriiBen 6--, 6-
und
T
y2
cos 6
----
der G1. (1) ergeben sich also zu:
i
i3-
CC; = - *
i
sin $
’
Hieraus wird die gesanlte potentielle Energie erhalten durch
Integration iiber 2:
Dieser busdruck ist fur statische Probleme verwendbar.
Annalen der Physik. 5. Fotge. Band 17. 1933
734
111. Die Eigenfrequensen
Die kinetische Energie T des Kegelmantels mird erhalten aus:
mit Q die Dichte.
enthalten, wird:
-T
T e n n u , v und w die Zeit vie cos w t
+
= w 2 ~ , , Z l , n t g 3 , ~ . ~ ~ A i 2 [ ( ;1)
e
+ -(1
2
i
e
1 %-1) - 2 ( 1L
3 - 1 ) ) + tg2p
3
1,2
-
-$ -
{1 ($ - 1 )
2i9
4 3
1
Bus den Formeln (9) und (10) ergeben sich sofort die gesuchten Eigenfrequenzen (w = Kreisfrequenz = 2 ‘id ma1 Hz):
4nd2
m,= = ___3 g 4 4 tg2p
(11)
F,.
*
3, *
m
1
Pi= ___
{ InT1 + 2 (x - 1)- -(x2
2
m+n
CX,~
(12)
cos1 p
- -(x2
2
I Gi=((iz+
is-
- 1))
1
- 1) + 2 i 2 c o s 2 @ ( za 1) -i-iSIn-;X
1
6
1
x
1
1
1
1) + T ( 2 f - 1
i
wobei cci aus (8) folgt und x gleich 1 1 / 1 2 ist,
wahrend i = 2,3,4, . . . .
Um den Grenziibergang zum Falle eines Zylinders durchzufuhren, bedenke man, daB dann gilt:
ui=
~
sinp
’
1, t g p
-
1, sin? = R
( R Zylinderhalbmesser).
M . J. 0. Strutt. Eigenschwingungen einer Xegelschnle 735
Es entsteht also:
GJ.2
1
=
4mnd2
3qR4(m+n)
eine bekannte Formel (Lord R a y l e i g h , Sound I, S. 417,
01. (18). Es ist oft niitzlich, fur hohe Frequenzen eine einfache Formel zur Hand zu haben. Man erhalt aus (ll),(12),
(13) und (S) fur i--tm:
I
1
In - + 2 (z- 1) - - (x2- 1)
2
Ich mochte bemerken, daB es mit der verwendeten Rechenweise nicht gelingt, den Fall eines bis zur Spitze durchlaufenden Kegelmantels zu behandeln.
Im Falle, daB der Kegel bei Z2 statt bei I, durch eine
dehnungsunfahige Scheibe gehalten wird, mussen die G1. (5)
in einfacher Weise abgeandert werden, wodurch auch (12) und
(13) einigermaWen anders werden. Es sol1 dem Leser uberlassen bleiben, diesen und evtl. andere Spezialfalle mit Hilfe
der obigen Formeln zu behandeln.
E i n d h o v e n , den 18. Mai 1933.
(Eingegangen 14. Jnni 19333
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