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Eigenschwingungen einer Saite mit sinusfrmiger Massenverteilung.

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1928
&2
ANNALEN DER PHYSIK
VIERTE FOLGE. BAND 85
1. E~genschwLmgungene h e r Suite
rnit sImuufiamrnigerMaseenuerteilung;
uon x.J. 0. StPUtt
Zueammenfeeeung
I)as obige Problem wird mit Hilfe der Theorie der
Mat h i e u schen Differentialgleichung gelost. Einige von Lord
Rayleigh aufgefundecle Tatsachen werden durch die Theorie
muthematisch neu begriindet.
Die partielle Differeutialgleichung einer frei schwingenden
Saite:
sxQ . asx
-a=
(1)
ax=
P at”
wobei p die (konstante) Spannung, e die (veriinderliche) Masee
in der LBngeneinheit bedeuten, wird durch den Ansatz
z = y (x) sin A t
zurilckgefiihrt auf die horn 3gene gewohnlicho Gleichung:
-
Wir nehmen nun an, die Haasendichte e verlaufe sinusfdrmig :
- = R + 2hZ.co~2x.
(3)
P
Die Liingeneinheit der x- Achse wiihlen wir derart, da0
einer Periode der Maesenverteilung gerna5 (3) die Liinge a
entapricht (Fig. 1).
Setzen wir (3) in (2) ein, so entsteht die Mathieusche
Differentialgleichung l)
fly + A Z
(A+ 2 h 2 - C O ~ ~ Z ) - ? J= 0.
‘
(4)
d
2s
~
1) E. T.Whittaker u. Q. N. W a t s o n , Modern Analysis S. 404,
P. Humbert, Fonctions de Lamb et de Mathieu, 1926. GeuthiereVillars. Im Anhang ist das Notwendigste iiber die Llisungen von (4)
1920;
I usammengestellt.
Annulen dcr Phpilr. IV. Folge. 85,
9
130
M J. 0.Strutt
Der Natur der Sache entspricht es, das gilt:
R
> 2h2.
Die ganze Saite habe die Lange S e w , wobei S eine beliebige
ganze l) Zahl bedeutet, wahrend die Randbedingungen dahin
lauten sollen, daB die Punkte x = 0 und z = Sn sich dauernd
F i g 1. Massenverteilung und Grundechwingungsform
einer unhomogenen Saite
in Ruhe Cy = 0) befinden.
Unter diesen UmsVanden wird die
homogene Randaufgabe gelSst durch die Mat hieuschen Funktionen:
(5)
(a2:4,
y$)
mit
a2
= 2/12 1 2 ,
Pn =
1 , 2 , 3 , 4...
Zu jeder dieser Funktionen gehSrt eine Beziehung:
(6)
nwnmz=fmp
.ha.a,,,z),
&us der e b e ehzige reelle Furze1 h2 hervorgeht (vgl. Aahang).
1) Bei S nicht ganz ergeben sich keine Mathicuschen Futiktionen.
Eigenschwingungen einer Suits m. sinusform. Massenverteilung
131
Aus (6) beetimmt eich somit der zur Loeung (6) gehorige Eigenwert 1
, und es lautet die volletandige, den vorgegebenen Randbedingungen genilgende Liisung der Gleichung (1):
wobei die Konstanten Am und Bm aus den Anfangsbedingungen
fiir t = 0 hervorgehen.
Falls diem lauten:
z = P(z),
so ergeben sich die Konstanten A, und B, wegen der Orthogonalitatseigenschaft l) der Se(+) (amz,
x) zu:
SZ
(9)
wobei die Nennerintegrale der Ausdriicke (8) und (9) au8z) in der
geschrieben wurden, weil die Funktionen S "(+) (ama,
Form, wie sie vorliegen und von une benutzt werden, nicht
normiert sind.
Durch die Gleichungen (6), (i'),
(8) und (9) ist das aufgeatellte Problem vollstiindig gelost.
Saiten mit sinusfdrmiger Massenverteilung wnrden unter
der Bedingung:
2 h 2 < Ii
bereits von Lord R a y l e i g h hetrachtet.2) Er gins dabei
1) P. Humbert, a. a. 0. S. 3411.35.
2) Theory of Sound I. 8. 218. 1926.
9'
M.J. 0.Xtrutt
132
aus von der ,,Storungsrechnung der homogenen Randaufgaben".
1st in der Gleichung (2) der Quotient g/Pgegeben durch
Q
P=a.
(1
+
*
+I),
wobei a eine Konstante, a eine Konstante klein gegeniiber der
Einheit und c (2) eine willkurliche Funktion von z bedeuten,
so werden die ,,gestorten" Eigenwerte in erster Niiherung gegeben durch l)
Man kann nun (mit Rayleigh) folgendes uberlegen. Wenn
Gestalt:
@I.=
) cos-S5
~ ( zdie
)
hat, so bleiben samtliche Eigenwerte gema8 (10) in erster
) Form:
Naherung ungeandert. Hat ~ ( xdie
22:
o(.) = cos-, s
so bleiben samtliche Eigenwerte bis auf den ersten
geandert und allgemein bleiben bei:
0-
4
un-
2m
(x)= COS *z
S
alle Eigenwerte bis auf den m-ten 2, in erster NSiherung ungeandert.
Mit Hilfe der vorstehenden Losung und der bekannten
@lieder der Reihenentwicklung fur die Mathieuschen Funktionen gelingt es nun leicht, diese Verhaltnisse nnmerisch
naher zu verfolgen und zu uberblicken. Wir setzen hierzu S
gleich der Einheit (die Saitenlange also gleich z), so da8 die
Losungen (5) sich schreiben:
8%
4,
mit m = 1 , 2 , 3 , 4 . .
.
Die zu dieseu Losungen gehorigen Beziehungen (6) haben fiir
jede Mathieusche Funktion eine andere Form.
1) Courant-Hilbert, Meth. d. math. Phys. 1. S. 242.
Eigenschzcingungen einer Suite m. simusfiirm. Jlassenverteilung
Zu S e,
(ctlz, a!)
133
gehijrt)':
zu Se, (ct2z,x):
(12)
R=4--
54
12
+ - 15
p
13824
- ____
289
&'2+
...,
79 626 240
zu S e3 (a3,,x) :
usw., wobei der Kiirze halber gesetzt worden ist:
a = R 2 ' ; &,'
= h2.12 = a'.
(14)
Die Kurven ( l l ) , (12) und (13) sind in Fig. 2 gezeichnet
worden und bzw. mit S e l , S e , nnd Se, bezeichnet. F u r jeden
Fig. 2. Bestimmung der Eigenwerte
bestimmten Fall ist ein bestimmtes Verhatnis der QroBen 2h2
und 3,also auch der GrbBen 2A2 und R der Fig. 2 gegeben.
.Ein solches Verhaltnis wird in der Fig. 2 als eine Gerade von
bestimmter Neiguiig stets t g p = 2 L a < 1) dargestellt. Die
Eigenwerte des Problems gehen hervor aus den Schnittpunkten
(
1) E. Mathieu, Cours de Mathematique physique S. 135. 1873.
M ; J. 0. Strutt
134
d i e m Geraden mit den Kurven (ll), (12), (13) usw. Man
braucht nur zu beachten, da6 die Abszissen dieser Schnittpunkte (nennen wir sie R, , B2,Z3,...) gemiiB (14) ergeben:
usw. In der Fig. 2 ist diese Konstruktion durchgefdhrt
worden fur
R = 2.
~
2hP
Es ergeben sich die Eigenwerte:
A,
=
0,890 .
, A,=-
1,980
.
4,06
VR
usw. Whre die ,,Storung" 2 h2 cos 2 x gleich Null (also bei einer
Saite mit gleicher mittlerer Masse), so wurden die Eigenwerte
lauten
n
A* = rnit n = 1,2,3, ...
1/B '
Der erste Eigenwert ist im vorliegenden Fall am meisten
geetiirt worden.
Diese Tatsache hZingt eng zusammen mit dem Verlauf
der Kurven ( l l ) , (12), (18) usw. Die Kurve (11) entfernt sich
fur nicht zu groBe 2 5s mehr von der Vertikalen als alle
anderen, wie man leicht zeigen kann. Hieraus geht unmittelbar hervor, daB fur
a
s=1
der erste Eigenwert am meisten gestiirt wird. Fur
s=2
der zweite Eigenwert, fur
S=n
d.er n-te Eigenwert.
Eiermit ist die von Rayleigh gefundene Tatsache rnit
Hilfe der Theorie von Mathieus Funktionen mathematisch
neu begriindet worden.
Es ergibt sich aus vorstehender Theorie die Moglichkeit,
mit Bilfe der Eigenschwingungen von Saiten rnit sinusfiirmiger
Massenverteilung die Grenzkurven zwischen stabilen und labilen
~ g e n s c ~ w i n g einer
~ ~ gSuite
e ~ m. sinusfirm. Illassen~erteilung 135
Losungsgebieten l) der M a t h i e u schen Differentialgleichung
experimentell zu bestimmen, doch mochten wir an dieser Stelle
nicht naher hierauf eingehen.
Anhang
Schreiben wir , unter Beibehaltung der friiheren Bezeichnungen die Nathieusche Differentialgleichung:
dPY + ( R + 2 l i 2 cos 22) .y = 0 ,
d sB
so werden pei-iodische Losungen (und nur urn solche kann es
sich, solange 8 eine game Zahl ist, handeln) gegeben durch
die Mathieuschen Funktionen:
S eg (h2,3) und C eg (h2,z) .
Diese Funktionen sind so definiert, da3 gilt:
lim Seg(Aa, z) = sin 9 z
-
he+O
und
lim Ceg(g2,z) = cos g I.
-
hP+O
Im vorliegenden Fall (da y = 0 fur x = 0) geniigen nur Funktionen S eg (P,X) den Randbedingungen und zwar wenn:
m
m = 1 , 2 , 3 , 4 ...
.4 = --S '
Die Funktionen werden nach dem Vorgange Math i eus
etwa erhalten durch Reihenentwicklung nach Potenzen yon 73.
Neben der Reihenentwicklung jeder Mathieuschen Funktion
lauft eine Reihenentwicklung der zugehorigen Konstanten R
nach Potenzen von h2 her.
So erhalt man z. B. (Fig. 1):
'
sin 5 5
Lt
S el (ha)z) = sin I
sin 3s
+8 sin 3 2 + li4 (w
+ -64)
sin92
sin '7x
sin52
-+ lis (1312so + 49152 + 24576 - - 3 w
1) Ann. d. Phys. 84. 5.489. 1927.
2) E. Mathieu, Cours de Mathematique physique S. l26ff, 1873.
136
M. J. 0. Strutt. l%genschwingungen einer Saite
mit
(11) j j = 1
- - -&4
1
- h2
+ -&TLfi641
8
- -&?I
1536
usw.
11
-hlO+ ...
36 864
Da6 jede der Kurven
R =f(P)
von einer geneigten Gerrtden durch den Nullpunkt nur in
einem einzigen reellen Punkte geschnitten w i d , geht fur die
Mathieuschen Funktionen niedriger Ordnung bereits aus den
bekannten Gliedern der Beihen hervor. F u r die M a t h i e u schen Funktionen hoher Ordnung laBt sich dies (fiir den Fall,
daB R > 2Iia ist, der uns ausschlieBlich interessiert) zeigen
mit Hilfe von Uberlegungen, die J e f f r e y 5 3 angestellt hat.
Einclhoven, Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips
Gloeilampenfabrieken, den 30. Oktober 1927.
1) H. J e f f r e y s , Proc. London Math. SOC. 23. S. 440. 1925.
(Eingegangen 19. Dezember 1927)
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