close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Eigenschwingungen endlicher Punktketten. (Mit 2 Abbildungen)

код для вставкиСкачать
Eigenschwingungen endlicher Punktketten
Von W e r n e r B r a u n b e k
(Mit 2 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
Fur die Eigenfrequenzen und zugehorigen Schwingungsformen eiiifacher homogener Ketten einer endlichen Anzahl voii Massenpunkten gibt es fur 4 verschiedene
spezielle Randbedingungen explizit ausdruckbare, uberraschend einfache Losungen. D a sonst meist, vor alleni z. B. von B o r n , bei der Betrachtuni ,,linearer
Gitter" sofort die unendlich ausgedehnte Kette ins Auge gefal3t wird, andererseits
in der ausgedehnteii Literatur uber die analogen elektrischen Ketten die ,Bere&nung fast immer auf durchlaufende Wellen zielt und die Eigenschwingungen hochstens ganz nebenbei Interesse finden, sind die genannten strengen Ergebnisse fur
endliche Ketten kaum bekannt uiid niogen daher korz dargestellt w-erden.
1. Allgcmeine Vorhenierkung
Eine beliebige endliche Zahl n von gleichartigen Xassenpunkteii der Masse M ,
dereii jeder fur sich, ungekoppelt (etwa durch -\ufhangung als Pendel), eine und
dieselbe Frequenz o,besitzt, und deren jrdrr nur ci 11 e n Freiheitsgrad (Bewegung
in der Kettenrichtung) haben mogc, sintl
quasielastisch gekoppelt, etwa durch niasselose Federn der Federkonstante k , wiihrend
die beiden Endglieder mit einer anderen
Federkonstante k, an feste Widerlager gebunden sind. (Abb. l . )
Das einfache mechanische Problem, die
1. Die endlicbe Punktkette
n Eigenfrequenzen dieser Anordnung, w-elche
z. B. in der Wellenmaschine, aber auch (rnit coo = 0; k , = 0 ) als ,,lineares
Gitter" endlicher Ausdehnung etwa fur innerc Schwingungen kcttenformiger
Molekule eine Rolle spielt, zu bevtiniineii und die zugehorigen Schmingungsformen
anzugeben, hat fur spezielle Werte von k , eine verbluffend einfache Losung, welche
k a u h bekannt ist uiid daher in1 folgenden in einer sehr einfacheii Ableituiig gegeben
werden soll.
M. B o r n 1) geht zwar zur Einleitung seiner Gittertheorie ausfuhrlich auf das
,,lineare Gitter" ein, verzichtet aber von Anfaiig a n auf die Hereinnahme von
Randbedingungen und betrachtet uur die u n e n d l i c h ausgedehnte Kette. I n den
Fallen, wo er zur Festlegung diskreter Eigenfrequenzen eine endliche Zahl von
Freiheitsgraden braucht, vernieidet er die Randbedingungen durch periodische
.
___-
I ) M. B o r n ~Th.v.
.
Harman, PhysikZ. 13,297 (1912); fcrncrHdb. d.PhysikXXIV/d
Artikcl von Born u. Goppert-Maycr, insb. S. 638ff.
170
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 4. 1948
Wiederholung des Bewegungszustandes. I n den ausfuhrlichen Lehrbuchern der
Theoretischen Physik ist das Problem entweder uberhaupt nicht oder iiur nach der
allgenieinen Methode der Nullsetzens der Determinante der Bewegungsgleichungen
behandelt, ohne die einfache explizite Losung fur den hochsymmetrischen Fall
anzugeben.
Selbst in der sehr reichhaltigen Literatur uber elektrische Kettenleiter endlichcr
Gliederzahl, wo das vollig aquivalente Problem auftritt, ist die Losung kaum irgcndwo explizit zu finden, wenn sie naturlich auch in den allgemeiiien Gleichungeii
steckt.
11. Die Eigenschwingmgen der endliehon Hctte
Der Syrnmetrie wegen indizieren wir die Massenpunkte in Abb. 1 (Index m)
7 1 - 3.
n-1
n-3
-.
...-I,
2 '
2
bei u n g e r a d e n n: --n-1
bei g e r a d e n n:
3
- n ---
"
0, l . . .
n-- 1
2 ' 2
1
1
n - ..3
n-1
-- 2 ' 2 .
2 ' 2"'
~
'."
Bei ungeraden n werden dabei die Indizes halbzahlig, sie bilden aber in beiden
Fallen eine Folge der Differenz 1, und alle Formeln werdeii in beiden Fallen gleichlautend, so da13 man nicht zwischen geradem und ungeradem n zu unterscheiden
braucht. Die Bewegungsgleichungen sind :
fur das erste und letzte Glied:
a
*
-
fur alle iibrigen:
+'M"> x m - m k (Xm+r +
Sm + (w;"
%-I)
= 0.
(2)
Oder mit dem harmonischen Ansatz x N eiuL:
wobei unter x,,,jetzt die Amplituden verstanden werden konnen.
B o r n (1. c.), der bei seinem ,,linearen Gitter" keinen Rand annimmt, erhalt
nur das Gleichungssystem (2') wobei m von -co bis 00 lauft, als unendliche
Zyklante. E r lost diese durch einen Ansatz der Form:
+
x,,,= x,,eiam,
der eine fortschreitende Welle mit der ,,Wellenlange"
A=-
2 X
a
S
(3)
(4)
darstellt, wenn s der Abstand zweier Massenpunkte ist. OL und daniit auch 1 kann
ini Fall der unendlichen Kette einen beliebigen Wert haben. Es geniigt jedoch, die
cr-Werte in einem Interval1 -z I n n zu bckrachten, d a der Bereich auDerhalb
dieses Intervalls fiir x,, nach (3) nichts Neues liefert.
171
W . Braunbek: Eigenachwingungen endlicbr Punktkdtm
Einsetzen von (3) in (2') zeigt, daB sich (I) unabhangig voni Index m (was den
Ansatz recht.fertigt)2) ergibt zu:
2k
4k. a
0 ~ =
2 wi
(5)
M (1 - cosa) = o', M sinzT .
+
+
Dies ist die Bornsche ,,Dispersionsgleichung" (bei B o r n immer mit wo = 0 ) ,
welche den Zusammenhang von Frequenz 0~ und Wellenlange I im unendlich ausgedehnten linearen Gitter darstellt.
In unserem Fall sollen jedoch die E i g e n f r e q u e n z e n einer e n d l i c h e n Kette
bestimmt werden. Wir fuhren daher st,att (3) den Ansatz einer s t e h e n d e n Welle
ein, wobei der cos die Schwingungsformen mit einem Bauch, der sin diejenigen
mit einem Knoten in der Mitte der Kette liefert. Auch (6) erfullt das System (2')
unabhangig von m und fuhrt (selbstverst,andlich, da die stehende Welle als ifberlagerung zweier entgegengesetzt laufender aufgefaBt werden kann) zur sel be n
Beziehung ( 5 ) fur w .
Man sieht zunachst also ohne weitere Rechung, daB die d i s k r e t e n @,a)Punkte, bzw. (0,I)-Punkte einer e n d l i c h e n Punktkette unabhangig von deren
Gliederzahl fur alle Eigenschwingungen s t r e n g auf der Bornschen Dispersionskurve liegen.
Die diskreten a-Werte der endlichen Kette - nach (6) genugt es, die a-Werte
im Interval1 0 l a r Sz zu betrachten, da (-a) dasselbe x,-Verhaltnis und nach
( 5 ) dasselbe w gibt wie (+a)- werden aber nun durch die Randbedingungen fest,gelegt, die darin ihren Ausdruck finden, daB die beiden GI. (1') zu d e m s e l b e n OJ
fuhren mussen wie (2') bzw. (5).
Dies gibt, wenn man den Ansatz (6) in (1') einfiihrt, den sin
cos
Winkelfunktionen von
7
-
(,,l)
("
a ) in den
und
~ ausdriickt und ( 5 )beachtet, die transzendeiite
Bestimmungsgleichung fur a :
die auch auf die Form gebracht werden kann:
(7')
oder auch:
Nun zeigt es sich, daB diese Gleichuhgen fur 4 bestiimnte Werte von k,/k,
und zwar fur k , = 0, k, 2 k , oder 00, sehr einfache, explizit angebbare Losungssysteme von je n verschiedenen Werten ix haben, wahrend sie fur andere Werte
von k,/k graphisch (oder numerisch) gelost werden konnen. Die n verschiedenen
2, Dies liegt daran, dal3 sich die e-Funktion, wie iluch COB und sin nicht nur in ihrern
Differentialquotienten, sondern auch in ihrem Differemenquotienten, der in (2') auftritt, reproduziert.
172
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 4. 1948
a-Werte ergebeii dann nach ( 5 ) die n verschiedenen Eigenfrequenzen und nach (6)
die zugehorigen Schwingungsformen, d. h. die .4mplitudenverhiiltnisse der einzelnen
Massenpunk te.
HI. nio Abhangigkrit von den Randbediiigungen
1. F a l l : k - 0
(,
‘<n
(7”) liefert :
n.x
T)= 0
I
r A =
Die Losung r = (n
(7) zeigt.
2. F a l l : k, = k.
Hier ergibt (7’) :
( r = 1, 2 , . . . n)
7c
(8)
+ I), n = z ist. nirht brauchbsr, wie direktes Einsetzen in
cos n i 1
(
.-,
B)
A==
=0
(r = I , ? , . . .n)
I.lt
,~
(9)
Hie, ist. r = 0,fi = 0 nach (7) nicht brauchbar. Die laufende ganze Zahl wurde
jetzt r gcnannt, gegeniiber ( r - 1) i n (tl), damit, beidenid r = 1 die e r s t e Eigenschwingung bedeutet.
3. F a l l : k, = 2 k.
GI. (7) zeigt,, daB sie in sich selbst. iibergeht, wcnii inan a durch (n-A) und k,
durch (2 k- k,) ersetzt. Ihr gesanites Losungssystem ist also Zuni Punkt,
(a
.7
= ?; k, = k)
zentrisch symmetrisch. Fall 3liegt damit symmetrisch zum Fall 1,
wobei dein Fehlen r o n n = 0 jetzt das Fehlen ron A = 7c entspricht. Bezifferung
der r iii cler Weisr, dal3 Zuni kIeinst.cn A-Wert r == 1 gehiirt, gibt daher:
,\
=1
,
( r = 1, 2 . . . ? t )
(10)
4. F a l l : k, = 0 0
Hier koninit ails ( 7 ) :
(‘04
fl
(
3 = It, --
1
-~
~
1z
.)
=0
(r=
1 , 2 . . . (n - 2 ) ) .
(11)
Sowohl r = 0 \vie r = (72- 1) ist auszuschlicl3en. da hierbei auch der Ziihler
in (7) Null wird untl drr Bruch cinen riidlirhen Cfrrnzwert hat.
Der Fall 4 ergibt also ini Gegeiisatz zu den Fiillcw 1 - 3 nur (n- 2) verschicdene
Loaungeii. Dies riihrt tlaher. daB k, = 00 vollige Fest.legung der beiden Randpuiikte Iwtleiitet. wonach div Kette niir noch (n- 2) Freiheitsgrade besitzt und
ini iibrigen tlcn Fiill 2 dnrstcllt. Tataiirhlich geht’(l1) ;HIS (9) hervor, wenn nian
dort n durch ( N - 2) ersetzt. I h r F A 2 und 4 entspricht iibrigens rollig den1 voii
Lord R a p l e i g h 3 ) 1wliantloltt.n Fall der (lurch iiquidistante Massenpunkte belastcten Seit,e.
Dns einfachc Gcsniiitergebnis liiBt sich so anstlrucken : Fur die 4 speziellen
Wertek,= 0, k, 2 k , odrrcoergeben sich jeiiquidistiiiiten-Werte, d. h. nach (4)
1
H q u i d i s t a i i t e --Werte fur die 71., bzw. (n- 2) Eigeiischwinguiigeii der Kette.
2
Daniit erfiillt nach ( 5 ) in tlicsrn Flllen such die Folae der Eigenfrequcnzen w cine
aul3erordentlich einfache Beziehuiig. Besonders tleutlich wird dies fiir w,, = 0;
3,
J. I\’.
S t r u t t , 13arim Itaylcigli; The Thcory of Sound.
W.Braunbek: Eigenachwingungen endlicher Punktketten
173
k, = 0, also fur das eigentliche ,,lineare Git,ter" eiidlicher Lange. Hier wird:
Die n Eigenfrequenzen ergeben sich als die Sinusse der n aquidistanten Tein-1
n
lungswerte des M'inkels 90°, beginnend niit Null, eiidigeiid mit
Mit
n
n --too (r endlich) werdeii die Sinusse s e l b s t aquidistant; man hat den Ubergang
zu den harmonischen Obertonen des k o n t i n u i e r 1i c h e n homogenen lineareii
Ge bildes.
F u r andere als die 4 speziellen k,-M'erte sind die durch graphische Losung von
(7) bestimmbaren a zwar noch naherungsweise, aber nicht mehr exakt aquidistant.
Ihren Verlauf bei kontinuierlicher Variation desk, von 0 bis 00 zeigt fur n = 7 die
Abbildung 2, wobei die aquidistanten Reihen bei k, = 0, k,
O0
2 k und 00 besonders hervorgehoben sind.
Die Darstellung zeigt,, daB
fur k , > 2 k nur noch ( n - l ) ,
e T .
fur k,
> n-2 n
k nur (n-2)
Lo-
sungen erscheinen. Wo sind die
beiden hochsten Eigenschwingungen geblieben ?
Eine genauereDiskussioii der
beiden in (7) vereinigten Gleichungeii ergibt, daB die eine fur
ki > 2 k , die andere f u r
2 It
k je eine k o n i p l e x e
k, > )1
+
Zk
k
o
42
Ahb. 2 . Die Abhiingigkeit des x
dT
voii
k, fur n
=7
Losung der Form cx = A
i y besitzt. Dicse koniplexen Losuiigeit entsprechen
a u c h physikalisch realen Vorgangcn und stellen die fraglicheii beiden obereii Eigcnschwinguiigen dar. Sie ergeben nach (5) je eine reclle Frequenz, die auflerhalb der
,,normalen" Reihe (fiir grog, k, schr hoch) fallt., und nach (6) werden auch die
Amplitudenverhiiltnisse reell. Das Schwinguiigsbild der Kette ist nun aber nicht
niehr das einer cos- oder sin-Kurve, sondrrii das einer Go/- oder Zin-Fuiiktion mit
alternierenden Ausschlagen. I m Extrcnifnll sehr hoheii k, schwiiigen nur die beiden
Randpunkte mit betracht,licher Aniplitutle, und die Schwingung f d l t in das Innere
tier Kette hinein niit alterniercndeii Richtungen dein Bctrag nach exponcntiell ab.
Die ganzen hier dargestellten ~berlegungenlassrii sich ubrigeiis leicht auf allgenieinere Ketten, die nicht reine Kraft-, sondern gcmischte Kraft- und Triiigheitskopplung aufweisen, deren Be~eguiigPgleichuiigeiialso auch in den 2-Terinen
Kopplungsglieder haben, ausdehnen. Selbst danti gibt es bei bestiiiimten Beziehungen der Koeffizienten (jedoch nicht niehr allpemein) Fiille, welche a19 Losung
eine aquidistante a-Folge haben. In jedcwi Fall ~tberlassen sich die Eigriifrequenzeii
uber die graphische Losung einer (7) aiialogcn Gleichung sehr vie1 einfacher erhalten als mittels der immer sehr miihsanicn Rcrechnung iiber die Dvterniiiiante
der Bewegungsgleichungen.
Tii bingeii, Lehrstuhl fur Theoretischc Yliysik tler Uniwrsitiit.
(Rvi tler liedaktion ringrgangen a m 5 . Juli 1948.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
270 Кб
Теги
punktketten, mit, endliche, eigenschwingungen, abbildungen
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа