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Ein analytischer Ausdruck fr die Bestimmung der Phasenverschiebungen in der statistischen Theorie des Atoms.

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Ein anarytischer Ausdruck
fur die Bestimmung der Phasenverschiebungen
in der statistischen Theorie des Atoms
Von T.T i e t z
Inhaltsiibersicbt
I m folgenden wird mit Hilfe der asymptotischen W e n z e l - K r a m e r s Brillouinschen sowie auch der asymptotischen Paischen Niiherung eine geschlossene Formel fur die Phasen der koharenten Streuung von Elektronen am
T h o m a s - F e r m i s c h e n und Hartreeschen Atom abgeleitet und die Resultate
tabellarisch dargestellt. Fur die reduzierte effektive Kernladung ZD/Zwerden
Naherungslosungen von B y a t t und anderen Autoren verwendet. Die T h o m a s Fermische Funktion des freien neutralen Atoms wird in dieser Arbeit durch
die Naherungslosung von Molibre und R o z e n t a 1 approximiert. Die erhaltenen
numerischen Resultate zeigen, daB man fur kleine Streuphasen rnit Hilfe der
P a ischen Naherung die W e n z e l - Kr a m e r s - B r i l l o u i n sche Methode verbessern kann. Die erhaltene P aische Korrektur wird hier analytisch dargestellt. Unsere geschlossene Formel fur kleine Streuphasen stimmt rnit den
numerischen Werten gut uberein.
Zur exakten Bestimmung der Streuamplitude der Wirkungsquerschnitte
braucht man die exakten Streuphasen. Die Schwierigkeit besteht darin, d a 8
mit wachsenden Anforderungen a n die Genauigkeit der Rechenaufwand sich
sehr vergroBert. Allerdings 1aBt sich mit modernen Rechenmaschinen das
fioblem stets mit einer genugenden Rechenarbeit praktisch exakt bewaltigen.
Trotzdem spielt das analytische Verfahren als eine Naherung der numerischen
Methoden eine wichtige Rolle, denn rnit Hilfe dieser Naherungen wares moglich,
mehrere wichtige Eigenschaften der Streuprobleme von Elektronen a n Atomen
einfach zu erklaren. Wie bekannt'), zeigt die elastieche Streuung von langsamen Elektronen a n Atomen ein giinzlich anderes Bild als die von schnellen
Elektronen. Wahrend namlich die Streuintensitat schneller Elektronen m i t
wachsendem Streuwinkel monoton gegen Null geht, weist die Winkelverteilung
der Intensitat der an Atomen gestreuten langsamen ElektronenstrahlenMaxima
und Minima auf . H e n n e b e r g2)gab eine befriedigende theoretische Erkltirung
dieser Erscheinung, indem er das streuende Atom statistisch behandelt. In
einer friiheren Arbeit hat der Autor3) fur die Phasenverschiebungen der kol ) P. GombBs, Die statistische Theorie des iltorns und ihre Anwendungen, Wien,
Springer-Verlag, 1949, wie auch Handbuch der Physik, Berlin, Gottingen, Heidelberg,
Vol. 37 (1956).
*) W. Henneberg, Z. Physik 83, 555 (1932).
s, T. T i e t z , Ann. Phys. 3, 105 (1959).
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962
296
harenten Streuung von Elektronen am Thomas-Fermischen und H a r t r e e schen Atom mit Hilfe der Bornschen sowie der W e n z e l - K r a m e r s - B r i l 1o u i n schen Naherung geschlossene Formeln abgeleitet. I m folgenden wird das
Naherungsverfahren des Autors mit Hilfe der Paischen Naherung weiter entwickelt und verfeinert.
Die radiale S c h r o d i n g e r -Gleichung unseres Problems laut,et
%
' Ldr2
+ [k2- V ( T ) Z(1 + l)/r2] R, = 0
(1)
mit
U ( r )= (2m/tiz)V ( T ) und k
= (SmE/ti2)ll2= m v/h,
(2)
wo E die Energie des einfallenden Elektrons in grol3er Entfernung vom Kern
bezeichnet. Fur das Potential V ( r )ist in der statistischen Theorie des Atoms
folgender Ausdruck zu setzen
Dabei bedeutet Z die Kernladung und ZJZ, die reduzierte effektive Kernladung der neutralen Atome, ist durch folgenden Ausdruck darstellbar :
(ZJZ) = 3 a,
e-*nr/p.
(4)
n
Tabelle 1
A n a l y t i s c h e Niiherungen f u r Z,/Z und f u r d i e Thomas-Fermische F u n k t i o n
@
(4
~
Atom
[liedrig)
a1
1,25
1800
1,26
1,20
1,26
-
a)
%P
-0,26
-0,48
-0,44
-0,32
-0,36
-
nehrgliedrig)
aa
4
-
1,76
0,48
0,19
0,12
0,lO
0,674
0,828
0,904
0,991
-
-
-
0,84
0,669
0,124
0,20
1900
0,26
0,22
0,22
0,296
0,360
0,336
0,416
0,19
0,19
0,266
-0,24
0,341
0,68
0,56
-0,20
0,66
0,78
0,78
0,706
0,640
0,60
0,61
0,72
0,66
0,681
0,40
0,35
0,56
-
0,066
0,076
0,09
0,25
0,164
0,666
0,674
0,0614
0,196
0,731
0,336
0,319
0,263
0,387
0,366
0,290
0,378
0,216
0,267
0,246
0,166
2,77
0,766
0,770
1,26
0,828
1,081
1,166
1,296
1.486
1;33
1948
0,970
0,779
0,947
0s
03
192
-
0,196
0,24
0,20
0,19
-
Diese Approximationen enthalten Polarisationkorrektur.
43
3,846
1,081
1,41
1,43
1.63
3,06
4,29
9,66
18,3
-
-
3,26
2,80
3,08
3,70
3,76
-
7,OO
7,OO
16,OO
3,16
4,366
6,OO
T.Tietz: Ein Awrdruck fur die Phasenverschiebungen in der Thwrie des Atoms
297
Die wohlbekannte GroSe ,u der st,atistischenTheorie des Atoms ergibt sic4
zu
,u = 0,88534a0Z-1/3.
(5)
a. ist der kleinste Bohrsche Wasserstoffradius. Die Konstanten an und
b, sind fur das Thomas-Fermigche und Hartreesche Atom in Tab. 1
zu finden 4)6)6).
Fur die 'Berechnung der kleinen Streuphasen ql kann die Bornsche Niiherung, q z (Born), verwendet werden.
7cm
ql(Born)= - P 0
(6)
2
Die Wenzel-Kramers-Brillouinsche Naherung (W. K. B.) liefert dagegen
fur ql (W. K. B.) die Formel
( + ->"I ra]"'
ql(W. K. B.) =
ka - U ( r )- I
dr
r,
wo rl die Nullstelle des ersten und r2 die des zweiten Integranden bezeichnet.
Fur groBere 1 werden die Phasen klein und man kann in diesem Falle die beiden
Nullstellen einander gleich setzen. Die Entwicklung der Quadratwurzel in
G1. (7) ergibt fur die Streuphasen
Die Beriicksichtigung des ersten Gliedes auf der rechten Seite von (8) liefert
uns die W. K. B.-Niiherung:
m
1
qa,l(W.K.B.) = - 2
~
[k2
(1 + l ) / k
U ( r )dr
- (1 &)z/r2]"2
+
*
(9)
Wenn man die Ausdrucke (2), (3) und (4)in die Bornsche Naherung qz(Born),
G1. (6) bzw. in die W. K. B.-Naherung qa,z(W. K. B.), G1. (9), einsetzt, so
folgt
und
wo ql (Born) und qa,,(W. K. B.) in atomaren Einheiten angegeben wurden.
Die Energie E rechnen wir in Einheiten ea/ao. Die QZsind die Legendreschen
Funktionen zweiter Art, und KOist die bekannte modifizierte Bessel-Funktion
-___
4,
6,
O)
20
Insbesondere W. J. B y a t t , Physic. Rev. 104, 1298 (1956).
S. Ro z e nt a l , Z. Physik 98, 42 (1935).
G. MoliBre, Z. Naturforsch. 2a, 133 (1947).
Ann. Physik. 7. Folge. Bd. 9
298
Annabn der Phyeik. 7. Folge. Band 9. 1962
gweiter Art mit Index Null. Tab. 2 zeigt, daB ql(Born) und qa,l (W. K. B.)
fast dieselben Resultate liefern.
Fiir kleine Quantenzahlen 1 geben sowohl (Born) als auch qa,l (W. K. B.) im
allgemeinen schlechte Werte fur die Streuphasen. Wir werden zeigen, daB man
mit Hilfe der Paischen Naherung eine bessere analytische Formel als
qa,l (W. K. B.) erhalten kann.
Dazu betrachten wir die Paissche') Naherung in der Form:
Fur groBe Quantenzahlen 1 geht dies in die Bornsche Naherung (10) uber, fur
kleineQuantenzahlen 1 hingegen ergeben sich bessere Werte fur 17, als nach dem
B o r n schen Naherungsverfahren.
Tabelle 2
I n den meisten Fdlen ist es
Der Vergleich der Phasen q (Born)
nachteilig, daB man aus (12) fur
K. B.) G1. (11)f u r
G1. (10) m i t va,z (W.
die Streuphasen komplizierte
2E = 22 und Z = 80
transcendente Gleichung bekommt, welche nur numerisch
Molibre Approximation fiir @(z)
qg (Born) GI.(10) 1qa,*(W.
K.B.)Gl.(ll) gelost werden konnen. Wir wollen
daher (12) fur praktische Zwecke
so umformen, daB man ohne
0
208"20'
214" 49'
1
152'
153" 03'
groBe Miihe die Streuphasen be2
124"38'
125" 18'
rechnen kann.
3
106"57'
107" 09'
Zuerst schreiben wir ql in
4
94"07'
94" 14'
der Form
5
84"11'
84" 15'
6
76" 10'
76" 14'
69" 34'
7
69'36'
ql = ql (Born) SI". (13)
'
1
I
I
'
~
I
+
I n dieser Entwicklung ist qf" eine Korrektur zur Bornschen Streuphase
q(Born), G1. (lo), und ist klein im Vergleich zur Streuphase ql(Born) =
Daher kann qil) mit Hilfe von q:') wie folgt dargestellt werden8) :
rl".
Das Differenzieren der Bessel-Funktion ist erlaubt, da J;++(k r ) eine
analytische Funktion des Index' ist. Eine sehr einfache Formel fur a, bekommt
man, wenn fur qio)nicht ql(Born) sondern qa,l(W. K. B.), G1. (ll),gesetzt
wird. Tab. 2 und auch die Resultate der fruheren Arbeit des Autors 9) zeigen,
daB qa,l(W. K. B.) = ql(Born) fiir alle Quantenzahlen I und verschiedene
Energien E gilt. I n diesem Falle erhalten wir mit Hilfe der G1. (11) fur a ,
7)
8,
O)
A. P a i s , Camb. Phil. SOC. 42, 45 (1945).
T. Tietz, Ann. Physik im Druck.
Man vergleiche hierzu s).
T.Tietz: Ein Ausdruck fur die Pltaaenverschiebungen in der Theorie dea A t o m
299
wo Kl die modifizierte Besscl-Funktion zweiter A r t mit Index Eins bedeutet.
Schlieljlich ergeben sich fur die Streuphasen qt
2
q 1 = q a , Z ( w . ~ . ~ +. )- - ( a l - - a z
wobei
'
(W'K*
21
+1
qa,l (W. K. B.),
(16)
I n G1. (16) ist a, durch (15) gegeben. Die Gln. (15), (16) und (17) erlauben es
uns, in einfacher Weise die Streuphasen mit Hilfe der tabellierten Funktionen
KOund Kl zu berechnen. Die Werte der Konstanten a,, und b, sind in Tab. 1
gegeben. I n Tab. 3 haben wir einige Zahlenwerte der Streuphasen ql, G1. (16),
nach ByattlO) fiirHelium mit den numerischenResultaten von M c D o u g a l l l l )
und qa,l (W. K. B.) G1. (17) verglichen.
Tabelle 3
Vergleich von qa,l(W. K. B.) G1. (11)und 7' G1. (16) mit den exakten Werten
von McDougall im Falle des He f u r einige Nebenquantenzahlen 1
sP-w3
in Volt
16
49
121
Phaaen
rll
rln
rla
rll
0,070
0,0065
1a
fa
-
rll
9s
rl,
70
340
Exekte Werta von
McDougall in
Radian
rll
rla
rla
-
0,186
0,411
0,272
0,0946
-
0,308
0,1524
-
1(W.
K.B)GL(11)
0,05395
0,005178
0,0005419
0,1541
0,03673
0,009458
0,2299
0,08520
0,03397
0,6512
0,2715
0,1387
0,07576
0,05780
0,006'213
0,0005423
0,1718
0,03730
0,009771
0,2639
0,08863
0,03452
0,6977
0,2930
0,1448
0,07737
Wie zu ersehen ist, stimmt ql, G1. (16), besser als qa,l (W. K. B.), G1. (17),
mit den numerischen Werten uberein.
Tab. 4 gibt einen Vergleich von 71, G1. (16),und qa,l,G1. (17), fur 2E = Z2
und Z = 80 mit den numerischen Werten von Henneberg12).
Ersichtlich ist die ubereinstimmung von q l , Gl. (16), mit den numerischen
Werten fur groljere Quantenzahlen 1 recht gut. Tabellen 3 und 4 zeigen, da13
unsere analytische Formel fur ql, G1. (16), fur kleine Streuphasen bessere Resultate als qa,l (W. K. B.) liefert. Sie ist zudem einfach und erfordert mit den
genau tabellierten Funktionen KOund Kl nur geringe numerische Rechenarbeit.
lo)
11)
12)
20*
Man vergleiche hierzu 4).
I. McDougall, Proc. Roy. SOC.London A 136, 549 (1932).
Man vergleiche hierzu 2).
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962
300
Tabelle 4
Der Vergleich der P h a s en q,,.l(W.K. B.) G1. (11) und qr (Gl. 16)
m i t de n numerischen' Werten v o n Henneberg f u r 2 E = Z *
und 2 = 80
'b
Moli re Approximation der Thomas-FermiNumerische
Henneberg
0
1
2
3
4
6
6
7
203"
167"
129" 60'
111"30'
98"
87" 60'
79" 40'
73
Funktion
Theoretisohe We*
Theoretische Werte
nach qa, (W. K. B)
nach r ] , (GI. (16)
Gl. (11)
214" 49'
163" 03'
126' 18'
107" 09'
94" 14'
84" 15'
76" 14'
69' 34'
-
96" 08'
86" 26'
77" 26'
70" 42'
L c j d i , Polen, Institut fur Theoretische Physik der Universitiit G d i .
Bei der Redaktion eingegangen am 12. Februar 1962.
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