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Ein Beispiel zur klassischen Feldmechanik.

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Ein Beispiel zur klassischen Feldmechanik
Von cr'. H o k l e r
Inhaltsiibersicht
F. Moglic h und R. R o m p e haben vorgeschlagen, die nichtrelativistische Bewegungsgleichung eines Elektrons durch eine Differenzengleichung zu ersetzen,
um das Vorhandensein eines kleinsten Zeitintervalls zu beriicksichtigen. Wir
zeigen, daB diese Bewegungsgleichung auch im Rahmen der Boppschen Peldinechanik auftreten kann und diskutieren den damit festgelegten Spezialfall.
1. Die Bewegungsgleichung von 31ii g 1 i c h und R o mp e
Es ist vor mehr als 10 Jahren klar geworden, daR in der Physik der Elementarteilchen eine neue Naturkonstante von der Dimension einer Lange eine entscheidende Rolle spielt l). Division durch die Lichtgeschwindigkeit fuhrt auf eine
,,Elementarzeit". Man hat des ofteren vermutet, daR die Bedeutung dieser Konstanten darin liegt, daR sie angeben, bei welchen Dimensionen von den gewohnten
Vorstellungen abweichende Eigenschaften der Raum-Zeit auftreten. Moglic h
und Rompe2) haben versucht, der Existenz einer Elementarzeit in der Bewegungsgleichung eines Elektrons dadurch Rechnung zu tragen, dalJ sie den zeitlichen
Differentialquotienten durch einen Differenzeiiquotienten mit der Elementarzeit
als Schrittweite ersetzen. Sie betrachten daher die (nichtrelativistische)Bewegungsgleichung :
m
9 = m .02r = [r(t) - 2 r ( t - t ) -t r(t-Zz)],
z> 0,
(1)
72
aeisen aber darauf hin, daR wegen der Auszeichnung der Zeit vor dem Raurn
ihre Untersuchungen nur einen vorlaufigen Cliarakter tragen. Es ist wesentlich,
daR das Vorzeichen von zin der angegebenen Weise gewahlt wird3). Der Differenzenquotient la& sich durch eine Reihe darstellen. indem man die Taylorentwicklung
von r (t - t) und ~t(t - 2 t) einsetzt bzw. don Verschiebungsoperator einfuhrt :
Moglich und R o m p e behalten von dieser Reihe zunachst nur die beiden ersten
Terme bei und vergleichen die so erhaltene Bewegungsgleichung mit der von
1)
2)
W. Heisenberg, Ann. Physik 32, 20 (1938).
F. Moglich u. R. Rompe, Z. Physik 113, 740 (1939).
3) Negatives t fiihrt zu einem falschen Vorzeichen fiir die Strahlungsdampfung. Da
ihr erstes Glied strukturunabhangig ist, kann eine solche Bewegungsgleichung in der
Boppschen Theorie nicht auftreten. Formal aunert sich das im Verhalten der rechten
Seite von (9) fiir grone s.
7*
92
Annalen o h Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
D i r a c 4) (nichtrelativistische Naherung). Es ist bemerkenswert und fur alles
Folgende entscheidend, da13 die Bewegungsgleichungen iibereinstimmen, wenn
man fur die Elementarzeit einen Wert einsetzt, der auch aus anderweitigen uberlegungen heraus als plausibel erscheint :
t=-
2 e2
w6
3 m c3
-
sec.
Aus der Tatsache, daB der Ubergang von der Differentialgleichung zur Differenzengleichung zu dem richtigen Dampfungsglied fuhrt, schlieden sie auf eine tiefere
Verkniipfung zwischen dem elektromagnetischen Feld und der Raum-Zeit-Eigenschaft, nicht vollstandig ausmeBbar zu sein.
I m folgenden sol1 zunachst gezeigt werden, daB man auch auf die Bewegungsgleichungen (1) gefiihrt wird, wenn man die ublichen Raum-Zeit-Vorstellungen
beibehalt und dafiir zu einer bestimmten Verallgemeinerung der Elektrodynamik
iibergeht, die in den Rahmen der Boppschen linearen Theorie des Elektrons gehort. Die: neue Naturkonstante ist dann ein MaB dafiir, in welchem raumzeitlichen
Abstand von dem punktformig gedachten Elektron die Abweichungen von der
M a x w e l l schen Theorie merklich werden.
2. Die B o p p sehe Theorie dcs Elektrons
Bopp6) ersetzt die Wellengleichung der Rlaxwellschen Theorie durch eine
lineare Integrodifferentialgleichung:
0 ( 8 , pp) = n,JE (z - 2') (pM (2')(dz') = - sg4 (4.
(4)
(z) charakterisiert die verallgerneinerte Theorie, z ist der Vierervektor
(zo,zl,z2, z3),
(dz) das Volumenelement im Minkowski-Raum dx,dz, p!z,dx8,
E
die Lichtgeschwindigkeit ist gleich Eins gesetzt. sp(z) ist die durch die Weltlinien der (punktformigen) Elektronen bestimmte Stromdichte. Mit Hilfe der
durch
0 ( E , Gret) = - 6 (xu)6 (XI) 6 ( 2 2 ) 6 (2,); aret(2) 0, z0< 0
(5)
definierten retardierten Greenschen Funktion 1aBt sich (4)umkehren:
(pp (XI = (Gret,Q.
(6)
Damit ist das Feld einer beliebigen Stromverteilung angegeben. Das andere
Problem einer klassischen Elektrodynamik ist die Frage nach der Bewegung einer
Ladung im vorgegebenen Feld. Sie l a B t sich in dieser Theorie nicht aus den Feldgleichungen heraus beantworten, so da13 die Einfiihrung eines ,,Bewegungsprinzips"
notwendig ist. Die Forderung, daB die Singularitaten nicht am Energieumsatz
beteiligt seien, fiihrt dazu, da13 die mittlere L o r e n t z kraftdichte in einem beliebig
kleinen Volumen um die Singularitat verschwinden muB. Manzerlegt die Lor e n t z Kraft additiv in eine auBere Kraft uiid die Riickwirkung des Eigenfeldes, geht bei
letzterer zur nichtrelativistischen Naherung uber und entwickelt nach der Retardierung. Dann folgt als Bewegungsgleichung (R = auBere Kraft) :
4,
6,
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. SOC.London A 167,148 (1938).
F. Bopp, Ann. Physik 42, 573 (1943); Z. Naturforschg. 1, 53 (1946).
G . Hohler: Ein Beispiel zur klassischen Feldmechani k
93
3. Untersuchong des Spezialfslles
Diese Bewegungsgleichung enthalt als Spezialfall auch unsere Differenzengleichung (1). Man braucht nur
M ( p ) = 242 e-=P Finh =--P
(8)
t P
a
zu wahlen. Aus X ( p ) kann man init (7) zunacltst die Laplacesche Unterfunktion
von Gret ausrechnen :
und schliefllich Gret (02)
Gret(02) = L nm
e2z
O ~ o < z
;:I[
7:<a<2z
(10)
0 2t<o;0”0.
Der SchluS von M ( y ) auf Gret ist nicht eindeutigs), jedoch ist unser Gret offensichtlich ausgezeichnet.
Um Naheres uber unsern Spezialfall zu erfahren, ermitteln wir nun ausgehend
von Gret die weiteren charakteristischen Funktionen (5 = c T )@, , k i > 0 )
F u r k i < 0 vgl. 6) Abschnitt lob. Die verallgemeinerte Wellengleichung ist nicht
mehr zeitsymmetrisch. Dementsprechend ist das Massenspektrum = z x , xz> 0)
(x
P(X2) =
2
(x)- 2 Jo (2 x) -1- x Jl(X)
Jo
- 2 x J l ( 2 x)l
(12)
nieht diskret. Die L a p l a c e s c h e Oberfunktion des statischen Potentials, aus der
man nach B o p p s, in einfacher Weise ablesen kann, ob die Photonenbedingung erfullt ist, erhalten wir aus P(x2) oder aus Gret
I n unserem Falle treten insbesondere auch keirie Quanten negativer Energie auf.
Die Funktion Gret war ursprunglich als Verallgemeinerung der im M a x w e l l schen Falle vorliegenden P t - F u n k t i o n eingefiihrt worden, so da13 es nahe liegt,
eine Normierung
IW
1
Gret ( 0 2 ) do2 =: -
0
27c
(14)
zu fordern, deren physikalische Bedeutung durch Betrachtung des statischen
Potentials einer Punktladung
6,
G . Hohler, Ann. Physik, 9, 77 (1951).
94
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 9. 1951
ersichtlich wird: Ubergang in das Coulombsche Potential fur groBe Abstande.
Die Erfiillung dieser fur eine verallgemeinerte Elektrodynamik notwendigen Bedingung fuhrt zu einer Festlegung des einzigen Parameters z. Der so erhaltene
Wert stimmt genau mit dem in (3)angegebenen iiberein. Also :wenn eine Differenzengleichung (1) Bewegungsgleichung im Rahmen der B o p p schen Theorie sein soll,
so ist das Interval1 n o t w e n d i g gleich der aus andern Uberlegungen als plausibel
erscheinenden Elementarzeit.
Das statische Potential einer Punktladung laBt sich explizit angeben: (p = r / z )
insbesondere ist vst(0) endlich und gleich 2 m/e. -1m Abstand von einigen Elementarlingen ist das Coulomb -Potential schon eine gute Naherung.
Die Erfullung der Endlichkeitsbedingung 5) haben wir bei unserm Ansatz vorausgesetzt. Die Energie des Feldes einer ruhenden Punktladung ist m c2. Hingegen
ist die Strahlungsbedingung 7, wie man aus (2) unmittelbar erkennt, nicht erfullt.
Da diese jedoch willkiirlich ist, ergeben sich keine Schwierigkeiten. Der erste
Term der Strahlungskraft stimmt wegen der Coulomb-Bedingung und (7) immer
mit dem L o r e n t z - D ir a c schen Wert iiberein.
4. Diskussiun dcr Bewcgungsgleiehung
In der B o p p schen Theorie sind die relativistische Bewegungsgleichung und
aucli ihre nichtrelativistische Naherung Integralgleichungen, die im kraftefreien
Fall als spezielle Losung die mit konstanter Geschwindigkeit haben. Jedoch gibt
es daneben im allgemeinen noch weitere Losungen, so daB die ublichen Anfangsbedingungen zur eindeutigen Festlegung nicht mehr ausreichen.
Bei Dirac4), dessen klassische Theorie des Elektrons als spezieller Fall der
B oppschen Theorie dargestellt werden kann, zeigen diese Losungen ein ,,nichtphysikalisches" Verhalten, indem sie zu einer exponentiellen Selbstbeschleunigung
des Teilchens fuhren. E r versuchte durch eine universelle Endbedingung fur die
Beschleunigung e h e Beschrankung auf verniinftige Losungen zu erreichen. Aber
sein Verfahren ist nicht befriedigend, wie Wessel'), Bopp6) und E l i e z e r 8 ) an
Beispielen mit auBeren Kraften zeigen konnten. Manchmal existieren nur Losungen mit nichtphysikalischen Eigenschaften.
Bopp6) behandelt das Problem von einer andern Seite, indem er die Frage aufwirft, wie man verallgemeinerte Theorien charakterisieren kann, bei denen im
kraftefreien Fall ein exponentielles Anwachsen der Beschleunigung g w nicht vorkommt. Einige Zeit nach Aufhoren einer Storung soll das Elektron in den Zustand
konstanter Geschwindigkeit zuruckkehren. Die Beantwortung gelingt nur fur
die nichtrelativistische Naherung der Bewegungsgleichung: M ( p ) darf in der
komplexen Ebene keine Nullstellen oder Verzweigungspunkte mit positivem
Realteil haben (Bedingung der Massenstabilitat). Die in der zitierten Arbeit an7)
8,
W. Wessel, Z. Physik 110, 625 (1938).
C. J. Eliezer, Rev. mod. Physics 19, 147 (194i).
cf.
Hohler: Ein Beispiel zur klassischen Feldmechanik
95
gegebenen Methoden zur Untersuchung der Bewegungsgleichung fuhren bei
unserem Beispiel zu mathematischen Schwierigkeiten, die daher ruhren, daB unser
Teilchen einer Kraft vom Typ einer Deltafunktion tragheitslos folgt. Wir konnen
aber die allgemeinste Losung der kraftefreien, nichtrelativistischen Bewegungsgleichung (1) leicht anschreiben und direkt diskutieren.
X J t ) = a&)
+ t - b,(t).
Dabei sind a+(t),b,(t) beliebige Funktionen mit der Periode t. Die Bewegungsgleichung verkniipft nicht mehr benachbarte Zeitpunkte, sondern vielmehr drei
der elementaren Intervalle. Daher kann die Bewegung fur zwei zusammenhangende
Intervalle beliebig vorgegeben werden. Zu jedem andern Zeitpunkt ist sie d a m
eindeutig bestimmt. Unser Beispiel zeigt besonders ubersichtlich die Feld-Fernwirkung in der Boppschen Theorie (vgl. aret);der allgemeine Fall der Integralgleichung liegt vie1 komplizierter. Man erkennt auch, daB die Bezeichnung der
Bewegungsgleichung als Differentialgleichung unendlich hoher Ordnung, die zu
der von H onla) diskutierten Schwierigkeit der unendlich vielen Anfangsbedingungen gefiihrt hat, nicht zweckmaBig ist. Die Verhaltnisse liegen bei Integralbzw. Differenzengleichungen in vieler Hinsicht, z. B. beziiglich des Bereiches der
betrachteten Funktionen, anders a h bei Differentialgleichungen endlicher Ordnung.
Die neuen Freiheitsgrade, die etwa in den F o u r i e r -Koeffizienten der beiden willkiirlichen periodischen Funktionen in (17) zum Ausdruck kommen, sind ein Ersatz
fur die Preiheitsgrade des Feldes, die wir eliminiert haben.
Wir entnehmen weiter aus (17), da13 keine exponentiellen Instabilitaten auftreten, aber die Schwingungen schaukeln sich linear mit t auf. Diese Tatsache
spricht noch nicht gegen die Brauchbarkeit unseres Ansatzes. Denn wenn die
Amplituden in die GroSenordnung des klassischen Elektronenradius kommen,
mird die r e l a t i v i s t i s c h e Bewegungsgleichung zustandig, deren Losungen nicht
bekannt sind. Honls) hat in dem verwandten Fall des kraftefreien Pol-DipolTeilchens bei Berucksichtigung der ublichen Strahlungskraft lo) ein instabiles Verhalten gefunden und versucht, hierin eine klassische Beschreibung des Mesonzerfalls zu sehen.
AbschlieBend wollen wir noch zwei Arbeiten von Eliezer") und B o h m und
Weinsteinl*) nennen, die sich mit der Bewegung eines raumlich ausgedehnten
Elektrons unter alleiniger Wirkung des retardierten Eigenfeldes beschaftigen.
Beide kommen zu dem Ergebnis, da13 das freie Elektron Schwingungen ausfuhren
kann, deren Frequenzen etwa mit der unseren ubereinstimmen. E liez e r findet
als nichtrelativistische Bewegungsgleichung eines Elektrons mit Oberflachenladung auch eine Differenzengleichung, jedoch tritt bei ihm der erste Differenzenquotient der Geschwindigkeit auf. Energie wird nicht abgestrahlt. Eine Verbindung zu unsern Untersuchungen kann hergestellt werden, indem man (4) auf
die Porm
0fpP= - (&--I, S P ) = - sP
(18)
H. Honl, Z. Naturforschg. 2a, 537 (1947).
Dies entapricht der Theorie von McManuslS). In der Boppschen Theorie ist
die Strahlungskraft im allgemeinen von der iiblichen verschieden und die Strahlungsbedingung ins) stellt eine Forderung an E dar.
11) C. J. Eliezer, Proc. Roy. SOC. London A 194, 543 (1948);
Proc.Camb.Phil.Soc.
46, 199 (1950).
12) D. Bohm u. M. Weinstein, Physic. Rev. 74, 1789 (1948).
s,
lo)
96
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 9. 1951
bringt. Bei geeignetem E wird dann aus dem singularen Strom sg des Punktelektrons eine kontinuierljche Ladungsverteilung Sg, die einem raumlich ausge.
man die Retardehnten Elektron entspricht [Bopp 5 ) , M c M a n ~ s ' ~ ) ] Wenn
dierung stat,t auf sg (Bopp) auf sg (McManus) bezieht14), entsprechen die Berechnungen des Eigenfeldes einander genau, jedoch sind die Bewegungsprinzipien
verschiedenl6).
Ich danke Herrn Professor Moglich fur freundliche Diskussionen und fur
sein Interesse a n der Arbeit.
H. McManus, Proc. Roy. SOC. London A195, 323 (1948).
H . Lehmann, Ann. Physik 8, 109 (1950).
15) I n der Boppschen Theorie gehort zu der genannten Bewegungsgleichung von
Eliezer die Greensche Funktion
13)
14)
GIet($) =
m
~
~
4ne2r
[I - log ( U / T ) ] fur 0 < u < T , sonst Null.
(Die Forderung nach dem Endlichbleiben von Gret ist hinreichend, aber nicht notwendig
fiir die Endlichkeit der Selbstenergie.)
B e r l i n , Institut fur theoretische Physik der Humboldt-Universitat.
(Bei der Redaktion eingegangen am 28. Miirz 1951.)
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