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Ein Beitrag zur Theorie der Elektrizittsstrmung in anisotropen Krpern.

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201
2. E4nBeJtrag xwr Theorie der EZelctrl&tatsstr8mzmung
&nanbsotropm Eihpem;
vom E M r t Em42 RffHZer.
Fiir ruhende Kiirper, die sich elektrodynamisch~nach verschiedenen Richtungen des Raumes verschieden verhalten,
gelten nach H. Hertz1) noch heute zwei die elektrischen und
magnetischen Krafte verkniipfende Gleichungstripel, deren
zweites in der Vektorform lautet:
Hierin ist C$ der Vektor der elektrischen, @ der magnetischen
Kraft c ist die Lichtgeschwindigkeit, die Komponenten
Eik
(Eik
= Eki)
&K
(AiK
= &i)
i, k = 1,2,3
der zweistufigen Tensoren E und A Bind sechs Dielektrizitatskonstanten bzw. Leitfahigkeiten des Karpers. I m folgenden
sol1 die Stromung der Elektrizitiit in leitenden Korpern, in
welchen stet8 8ik = 0 sei, unteraucht werden. Wenden wir
auf den verbleibenden Rest der obigen Gleichung die Operation
div an und fiihren @ = grad cp ein, so entsteht die Kontinuitiitsbedingung :
div {(A) grad cp) = 0 .
(1)
EB 1a6t sich bekanntlich ein kartesisches Koordinatensystem
der zv stets so legen, daJ3 die Komponenten
Air(i*k)
=0,
Aik(i=k)
=
(Y =
1,2,3)
werden. Unter dieser Voraussetzung lautet (1) in Differentialform :
1) H. Hertz, Ober die Grundgleichungen der Elektrodynamik fur
ruhende Kiirper. Wied. Ann. 40. 5. 57’1, auch Ges. Abhandl. Bd. 11,
s. 220.
K. E. Muller.
202
I m folgenden sol1 (v, v + 1, v + 2) stets eine der zyklischen
Vertauschungen der Zahlen 1, 2, 3 sein.
1. ffber die Strcmung im Raume.
a) P u n k t f 6 r m i g e El e k t r o d en.
I n einem unbegrenzten Leiter sei zuniichst eine punktfijrmige, die Intensitiit J zufuhrende Elektrode, die durch die
Koordinaten ,& orientiert sein mag und in hinreichender Entfernung die abfuhrenden Elektrode. In der Umgebung der
ersten Elektrode ist dann das Potential sp darstellbar durch:
Die Punkte gleichen Potentials liegen also auf einem Ellipsoid
mit den drei Achsen 2alcp. fh,. Die QroBe a folgt aus der
Definition der Intensitat J:
- J = ,J'(h)gradcpdo.
(4)
Aus (3) folgt, wenn
(5)
?Iv= xv
- k'
bedeutet,
a /
](Ib)grady,I= - -w 3?
-
Y ~ ~ + Y ~' ~ + ~ ~ ~
Da (4) fir jede Niveauflache denselben Wert liefern mub, liegt
nichts im Wege, w = 1 zu setzen, wodurch die Halbachsen
werdeh.l) SchlieSlich
des entsprechenden Ellipsoides gleich
fuhren wir noch elliptische Koordinaten 8, ein durch die iibliche Definition
lc
'woraus folgt, da wegen w = 1 und (6) p3 = 0 wird,
1) Ein Dimeneionsfaktor braucht nicht beachtet werden, da dieeer
eum SchluS gegenetandslos wird.
Ein Beitrciy zur Tlkedeorie der Elektrizilatsstriimung usw.
203
Beachtet man noch, daS das Oberflachenelement I do I = d o
gegeben ist durch l):
8do=
2G ( 4 ,
V O(4~- el) (A,+,- el) ~k,+a
- el) el 40 d 4t
41) 4%
(A, - eY) tkv+1-42)
-
de2
(k,+a
- OA ’
so erhalt man ein Integral fiir (4), dessen Grenzen au8 der
Festsetzung w = 1 folgen und welches kUnftig mit 2 bezeichnet werden 8011:
Hierin ist J (ql) ein allgemeines hyperelliptisches Integral erster
Gattung von der Ordnungszahl 1, wie aus (8) folgt, nlimlich
-
~
_
_
1) D u r B g e - M
(Leipzig 1908) 5 76.
11,
=
tr u r e r
A,, (A,+, - &+a%$
,
- all.
Theorie der elliptischen Funktionen
K. E. Miller.
204
Bedeutet nun
so folgt aus (8), daB
~ ( A , , A ~ + ~ , L=
~ +~ ~C) P w , a ; + ~ , & + d .
Fiihren wir noch (9) in (8) ein, so folgt flir (3)unter Beachtung
von (8):
Damit ist in (10) die in J/L, multiplizierte GroSe eine reziproke Llnge geworden. Fiir den isotropen Fall (A, = A, = 1, = A)
muS sie bekanntlich gleich 1/47rr werden (r ist der Abstand
des Aufpunktes von der Elektrode).’) Die Durchfiihrung eines
entsprechenden Grenziiberganges verschafft uns eine Moglichkeit,
bequem die drei Zwischenfiille (11) zu bewlltigen.
Diese drei Falle werden realisiert bei sonst isotropen Leitungsmaterialien, die bei der Bearbeitung in einer Richtung einer
starken Pressung ausgesetzt waren. Hierher gehoren Walzfabrikate, vor allem die absichtlich gepreSte Kollektorenkohle
(fur Kohlebursten der Elektroindustrie). Wir kommen bei der
Behandlung der Strbmung in Platten noch einmal darauf
zuriick.
Zum AnschluB an (8) sei das Ziel des Grenziiberganges:
$(A, I., A) = 2 a vn”,
(12)
was dasselbe heiSt wie
2(1,1,1) = 27r.
Znnachst mogen die urspriinglichen A v t l und LV+a ersetzt
werden durch Variationen um 61, so daS
-
.
~
1) Biemann-Weber, Psrtielle Diff. (fleich. der math. Physik
(Braunschweig 1919) Q 177.
Bin Beitrag zur TheoTie der Elekfrizitatsstrh'mung
I
urn.
205
a,
=I ,
kVtl = A -
sa,
\avt2 = a,+, - ail = a - 2 a a .
(134
Die Koordinaten 9, und ps ersetzen wir durch die Mittelwerte qu
('3b)
83. unter Beachtung von (I,,+, +s pa L,,,) und
(a,,
g, 5 a,,) von den aritbmetischen Mittelwerten entfernt
sind. Nach Einfuhrung der GrOSen (13) in (8) erscheint der
sich losende Faktor [ l d q , dp,/6ila, der den Wert 1 annimmt,
mit einer Grog: multipliziert, die offenbar $2 rewbentiert und
lautet:
weiche um
tr)
1
-------=)1,1,1(a=n2
(+
-.
- m",j - oa
Damit wird
(14)
w
= 0,375.
Jetzt wenden wir uns wieder den Ftillen (11) m und setzen
gemaB
(15)
a,+,
I@,
=
=
A, - aa,
a, - (+
+ w)aa.
Nach Einfiihrung von (15) in (8) wird
Avt,
Die Substitutionen
geben dem vorigen Ausdrukke die Gestalt, die die Uberfiihmng
in die ersten beiden Gattungen der Legendreschen kanonischen Integrrtle ermiiglicht :
Aaoelen der Physik. IV. Folge. 67.
14
20%
K E. Miller.
worin
Durch fortschreitende Rekuraionen gelingt das Zuriickfiihren
des obigen Ausdruckes auf die beiden Formen, welche man
in der Theorie der elliptischen Integrale allgemein mit F und
E bezeichnet. I n dieser Schreibweise lautet dam endgiiltig:
,
Hierin ist
Ein Beitray zur Theorie det Elektrizitatsstrimung usw, 207
Sind im Raume mehrere Elektroden verteilt, so hat man wie
ublich die beziiglichen Potentiale vorzeichengerecht zu addieren.
b) Lineare Elektroden.
Eine linienfdrmige Elektrode, die nur in einer Dimension
ausgedehnt sein soll, also eine Lange I besitzen, ist wegen der
Superposition der Potentiale ersetzbar durch eine Kette punktfiirmiger Elektroden, die in den unbegrenzt nahen Abstanden
d s aufeinander folgen, aber alle auf der vorgelegten Kurve
liegen. 1st J die gesamte Intensitat, J = J/I die ,,TntensitLt
pro Langeneinheit", so ist 9-d s die jeder der gedachten punktf6rmigen Elektroden zukolumende Einzelintensitiit. 1st die
Linie vorgelegt durch die Funktion der drei Koordinaten &,
X(El9t2,EJ
= 0,
so wird
ds2 = C d & , 2
usd, wenn xv die drei Koordinaten eines Aufpunktes, so ist
dort dae Gesamtpotential @ gegeben durch:
I
0
Anm.: Um einen AnschluS herzustellen zwischen der StriSmung im Raume und der in ebenen Platten, nehmen wir eine
lineare Elektrode im unbegrenzten Raume an, die geradlinig
und die &-Achse sein soll. Damit wird d s = d&. Ferner
soll I durch die Ebene E3 = 0 halbert werden, so daS das
Integral iiber - 112 bis 112 zu erstrecken ist. Ersetzen wir
durch die frtiheren A , so wird
noch die
*1/2
5 CD = --
d 58
-_-
- 112
5V G
= ---2 (L& + , I A,+%)
14*
208
K. E. Miiller.
Fur hinreichend groBe Werte von 2 aird demnach
worin R die Wurzel hinter dem %rGin-Zeichen bedeutet.
(19) folgt aber, daB die Derivierte
in der Umgebung der Ebene r3 = 0 mit wachsendem I verschwindet. Also geniigt (19) in diesem Falle dem verbleibenden
Reste der Differentialgleichung (1 a):
Da aber au6erdem in diesem Falle in allen Ebenen
r3 = const
hinreichend nahe bei x3 = 0 der Grenzbedingung
geniigt wird, so ist man befugt, diese Ebenen zu Grenzflachen
zu machen. Der Zwischenraum zwischen zwei Ebenen ist dann
eine unbegrenzte Platte.
2. tfber die Str6mung
in Platten.
Die obigen Ergebnisse’ ermutigen dazu, fur die Strijmung
in Platten fur lineare Elektroden, welche bei planparallelen
FlBchen normal durchsetzen, einen Ansatz analog (19), welcher
jedoch naturgemaB die Koordinate x3 nicht mehr enthiilt, durchzufiihren. Wir setzen v = 1 , und legen A,, = 1, in die
Normalrichtung. 1st I die Dicke der Platte als einzige endliche Begrenzung, 80 wird f- J/l. Das Potential ist dann
bestimmt durch die Gleichung:
I = - blog BK.
Demnach ist 0 stark abhangig von As, dagegen aber
Ein Beitray zur Theorie der Elektrizitiitsstrbmung usw.
209
von lb3 unabhangig. Aus (21) folgt, da6 die Punkte gleichen
Potentials auf Mantelflacheu von der Hbhe I liegen, deren
Grundlinien Ellipsen mit den zwei Achsen
sind, Gleichung (4) lautet daun hier:
Wir setzen y, = xp - Ell und
woriu G2 = d x 1 2+ d x S 2 ist.
spannen in den Ebenen
- --1
x3
2
vereinfachte elliptische Koordinaten pl, pz auf:
__
.l/t1 -
@p
- eJ(Ap - eo)
A,,
-
Lp+1
Da wir das Integral (23) auf die Ellipse R = 1 mit den
erstrecken wollenl), bleibt stets ez = 0 und
Achsen
lq
2,
Y[t2 = i;;Ti;
(24)
60
(A,
da6 wegen (22)
I (A) grad
I = - ---
11
vms
~IJX,
- 01) ,
- 0,) - I,,. (a, .- pl) .
Beachtet man noch, da6 sich das Linienelement d ii schreiben
lZil3t
so wird endlich, da man von 0 bis A, integrieren mu6, um
einen Ellipsenquadranten zu bestreichen,
oder
1) Vgl. Note 1) S. 202.
K. E. Miiller.
210
Es sei tibrigens bemerkt, da6 dieses elliptische Integral l) fur
den speziellen Fall
1, = I,, (1
t fi)
elementar wird, da d a m
].,a f I
2
=
2.
2, I ,
Aus (25) folgt dann, wenn man noch aus (25a) die Gultigkeit
der Qleichung
(26)
2 (I.l, 1.J = A, 2 (1, I.2')
mit
erkennt und wieder J = JI setzt,
Hierans ist ersichtlich, daB
Q(1,1)
-
a
Sein mu6. Dies entspricht dem isotropen Fall, in dem
Ewl = A, = A, = 1 gilt, also A,' = 1. Die rechte Seite von (28)
geht dann folgerichtig in J/2n 1 I log r iiber; es ist dann t
der Elektrodenabstand vom Aufpunkt. Leitende Platten von
den oben vorausgesetzten Eigenechaften sind z. B. gewalzte
Blechtafeln. Sie haben in der Walzrichtung eine andere Leitfahigkeit, als quer dazu und abermals eine andere in der
Normalrichtung. Gleichung (28) ist wieder ohne weiteres der
Erweiterung analog der Qleichung (18) zuganglich.
-
3. SchluObemerkung.
Es ergibt sich demnach, da6 schon in den behandelten
FBllen, die doch zu den einfachsten zahlen, wenn schon unter
Voraussetzung der notigen Abstraktionen ihnen ein Hauptanwendungsgebiet zufallt, ganz erhebliche Schwierigkeiten
weniger in der Behandlung der Funktionen der Koordinaten
1) Die Reduktion des Integrals, die nach den iiblichen Methoden
jederzeit herstellbar ist, wird hier fibergangen.
Ein Beitrag
ZUT
Theorie der Elektrizitatsrrtriung usw. 21 1
als vielmehr der Funktionen der drei Leitfahigkeiten auftreten. Es ist wahrscheinlich, da6 unter den bei isotropen
Korpern klassisch gewordenen Problemen (vgl. das Lehrbuch
von Riemann-Weber, die Physik von Winkelmann sowie
das Handbuch von Graetz) die gro6te Mehrzahl unliisbar
sein wird. Was die prinzipielle Seite anbelangt, la6t sich
uber die Behandlung allgemeiner Aufgaben bei beliebigen Elektrodenformen und vorgelegten Korperbegrenzungen nur das
eine sagen, daS in den Bedingungsgleichungen, wie sie die
iibliche Potentialtheorie vorlegt, an Stelle der Skalare die
analogen Tensoren treten.
Bei der Behandlung der Striimungen in Plattsn ist die
Zuhilfenahme der komplexen Zahlentheorie nicht mehr mbglich.
Berlin, i m Februar 1922.
(Eingegangen 20. Februar 1922.)
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