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Ein Beitrag zur Theorie der Gitterinversion.

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5. Ein BeCtrag
Theorie der Gitterinaersion;
von Clewzens S a h a e f e r m i d P r i t s R e i c h e .
stir
I m Jahre 1888 fand H e i n r i c h H e r t z , daB ein Gitter,
das aus zylindrischen Metallstaben besteht , eine auffallende
elektrische Welle in verschiedener Weise beeinflufit , j e nachdem die elektrische Kraft Q der einfallenden Welle den Staben
parallel oder senkrecht zu ihnen gerichtet war. Bezeichnet
man das ,,Durchlassigkeitsvermiigen" des Gitters, d. h. den
durchgelassene Energie
mit
einfallende Energie
B, so ist
D ,=
, 0 (wenn @ den Staben parallel ist),
D,= 1 (wenn (3 auf den StBben senkrecht steht).
Sind diese beiden Idealfalle auch nicht immer streng erfiillt,
so ist doch jedenfalls bei den genannten versuchen slets der
Quotient
Wir wollen diesen Effekt den Hertzefekt nennen.
I m Gegensatz hierzu stehen die.'Ergebnisse, die d u B o is
ZULU Teil allein, zum Teil mit R u b e n s in seinen Arbeiten
iiber die metallische Gitterpolarisation fand. D u Bois') untersuchte den EinfluB metallischer Gitter auf Wellen von verschiedener Polarisationsrichtung im Gebiete der sichtbaren Strahluny und gelangte zu dem merkwiirdigen Resultat, dab im
Gebiete dieser N'ellenlangen dey Quotient
da6 also im Gebiete der kleinen Wellen die Durchlassigkeit
1) H. d u Bois, Wied. Ann. 46. p. 542. 1892; 48. p. 546. 1593.
37
Annalen der Physik. IV.Folge. 32.
578
des
ist.
wir
den
C1. Schaefer u. 3
'. Reiche.
Gitters groBer ist, wenn @ den Staben parallel gerichtet
Dieses dem Hertzeffekt entgegengesetzte Phanomen wollen
kurz den Duboiseffekt nennen. Es ergab sich ferner aus
Untersuchungen von d u Bois und R u b e n s l ) , dap der
Uuboiseffekt sich allmahlich in den Hertzeffekt umwandelt, wenn
man zu immer groperen TellenZan+qenubergeht.
Der Punkt, an dem der oijbergang des Duboiseffektes
in den Hertzeffekt stattfindet, an dem q also den Wert 1 besitzt, heiBt der Inversionspunkt. I)u Bois und R u b e n s fanden
die Lage des Inversionspunktes nur von dem Material des
Gitters abhangig, dagegen innerhalb der Grenten ihrer Unfersuchung wesentlich unalhangig vom Radius der zylindrischen
Gitterstabe.
I m Widerspruch zu diesem Ergebnisse schienen die Resultate F. B r a u n s 2 ) zu stehen. B r n u n benutzte Gitter, die er
durch Zerstaubung von Metalldrlhten auf Glasplatten gewann,
und deren Strulrtur so fein war, daB sie der Auflosungskraft
der besten Mikroskope widerstand. Er fand bei diesen f'einen
Gittern im Gebiete der sichtbaren Strahlung deutliche Polarisntionsiuirkun.q und schloB, obwohl die Orientierung der Gitterslabe nicht zu erkennen war, aus der Lage des zerstaubten
Drahtes auf den Hertzeffekt. Nach d u B o i s - R u b e n s , die j a
die Lage des Inversionspunktes als unabhangig von Q (dem
Radius der Gitterstabe) feststellten, hatte man dagegen auch
bei den Braunschen Gittern im ganzen Gebiete der sichtbaren Strahlung den Duboiseffekt erwarten mussen.
Wir wollen im folgenden zuerst zeigen, daB die Theorie
den SchluB B r a u n s bestatigt, wenn man die zweifellos berechtigte Annahme macht, da0 bei den von ihm benutzten
Gittern das Verhaltnis e/A, d. 11.
~~
Radius der Gitteratiibe
Wellenliinge des einfallenden Lichtes
eine sehr kleine GroBe war.
Sodann wollen wir auch uber den Duboiseffekt und
den Inversionspunkt einige zusammenfassende Betrachtungen
machen.
1).II. d u B o i s u. H. R u b e n s , Wied. Ann. 49. p. 593. 1893.
2) F. B r a u n , Ann. d. Phys. 16. p. 1. 1905.
579
Theorie der Gitterinversion.
3 1 . Der Hertzeffekt im Gebiete der eichtbaren Wellen.
(Versuche von F. B r au n . )
Wir setzen im folgenden voraus, dab Q / L klein sei.
Machen wir ferner, zur Vereinfachung, die Hypothese, daS der Abstand der einzelnen Gitterstabe voneinander so gro5 ist, daB eine
merkliche gegenseitige Beeinflussung nicht stattfindet, so konnen
wir, bis auf einen konstanten Faktor, die Wirkung des ganzen
Gitters durch die Wirkung eines einzigen Gitterstabes ersetzen.
Wir sind damit auf das folgende bekannte Beugungsproblem l)
zuriickgefuhrt: Eine ebene Welle fallt auf einen gegen die
Wellenlange dunnen, metallischen Zylinder von endlicher Leitfiihigkeit. Es handelt sich darum, die Intensitat hinter dem
Zylinder in groBer Entfernung zu berechnen, wenn 1 . die
elektrische Kraft der einfallenden Welle der Zylinderachse
parallel ist, 2. die elektrische Kraft der einfallenden Welle
senkrecht zur Zylinderachse steht.
Wir wahlen die Zylinderachse zur z-Achse eines rechtwinkeligen Koordinatensystems, und fuhren in der x y-Ebene
Polarkoordinaten ein.
A X
-
1:ictttung der einfallenden F e l l e
,---.
> X
Die durch den gefiederten Pfeil angedeutete Richtung der
negativen x-Achse sei die Richtung der einfallenden ebenen
Welle. Wir betrachten nur zeitlich rein periodische Vorgange
von der Schwingungszahl n = 2mG/T.
1. Q in der einfallenden U'elle parallel der 2-Achse.
Es ist daun irn ganzen AnBenraum des Zylinders die
Losung des obigen Beugungsproblems gegeben durch:
(1)
EZ=
[z
0,
ei1lt
1.
a m Q m ( p l ) c o s m y+ e t 2 J 1 e o s p
1) W. v . I g n a t o w s k y , Ann. d. Phys. 16. p. 495. 1905; W. S e i t z ,
Ann. d. Phys. 16. p. 764. 1905; 19. p. 54. 1906.
37 *
5ao
CI. Schaefer u. l? Keiche.
Dabei ist
p,
(2)
=
k, r
2n
= --r*
h
’
(3)
ist bis auf einen konstanten Faktor die sogenannte zweite
Hankelsche Zylinderfunktion mter Ordnung, Jmund Kmsincl
die erste und zweite Besselsche Funktion mter Ordnung, und
durch folgende Reihen definiert :
Dabei ist logy = 0,5772 die sogenannte Mascheronische
Konstante. Alle drei Funktionen J,, Km, Q, sind Losungen
der B e s s e l schen Differentialgleichung:
Die im Ausdruck von C5% auftretenden Koeffizienten am be.
stimmen sich aus den Grenzbedingungen an der Zylinderoberflache und sind allgeruein gegeben durch:
am == 2
(7)
Dabei ist
(8)
Jm’(4
- x., J,,
2“
J,,(mJ __
Jm _
InA_ kit
k, Qn,’(Z1) - __
I(,
J , (na)
Jm’
k, = ~- 2 n p’.
I;
(%l
(ni)
Qni
’
WO
(9)
E
= (11 - i x ) 2
die hier komplexe Dielektrizitatskonstante , v den Brechungs-
Theorie der Giiterinuersion.
581
exponenten, x den Extinktionskoeffizienten des metallischen
Zjlindermaterials bedeuten. Ferner sind :
Die Striche an den Funktionen J, und Qm bedeuten Ableitungen nach dem Argument. F u r m - 0 ist der Faktor 2
auf der rechten Seite von Gleichung (7) zu streichen.
Nun sind in diesem Problem nl und nz als klein gegen 1
vorausgesetzt. Es vereinfachen sich in diesem Falle die Koeffizieiiten am erheblich und zwar wird
wahrend schon a, als von der Ondnung (nI4 zu vernachlassigen ist.
Setzt man diese Werte in (1) ein und beschrankt sich
auf Punkte in groBer Entfernung hinter dem Zylinder ( y = n ,
p1 groB gegen l), so folgt nnter Benutzung des Hankelschen
asymptotischen Wertes von Q, ( p J :
(11)
Q,
(p,) = - im+ 1
ei (ni4 - PI)
fur Gs der Wert:
ao Q o
(~1)1,
wobei
Bilden wir nun den Ausdruck fur die Intensitat, p,indem
wir den reellen Teil von Gz auf die Form M c o s n t + i V s i n n t
bringen und (Ma+N2)bilden, so erhalten wir, wenn man die
mit 8 2 multiplizierten Glieder als von hiiherer Ordnung vernachlassigt :
(14)
2Tp = 1
+ A1/2(v2-2-
1-2 v 4 ,
Cl. Schaefer u. F. Reiche.
582
2. C? in der einfallenden Welle senkrecht zur 2-Achse.
I n diesem Falle ist im ganzen AuBenraum des Zylinders
die elektrische Kraft gP gegeben durch:
(15)
c:'
LET = i d J L t~ b , Q m ' ( p l ) c o s m +
~ i
c
o
s
~
I
.e
~
Dabei sind die oben angefuhrten Bezeichnungen beibehalten
und die Koeffizienten bm gegeben durch:
-k1 ~
Jm'
(16)
bllE= 2 i 7 l Z k,
(ne'
_ J,_
(n,)
- Jw;(n,)
Jm ( n a )
Ir, J '(4
Q,r; (TI)- --
z!!
k.2 J,,, ( n 2 )
Qm
-
.
ni)
Fur m = O ist wieder der Faktor 2 auf der rechten Seite zu
streichen. Die Koeffizienten 6 , nehmen im vorliegenden Falle,
da zlund zzzklein gegen 1 sind, einfache Werte an. Es wird:
wahrend b, und alle anderen bm zu vernachlassigen sind.
Setzt man diese Werte in (15) ein und beschrankt sich wieder
auf Punkte in groBer Entfernung hinter dem Zylinder (sp=m,
p 1 groB gegen I), so folgt unter Benutzung von (11) und (13):
Bilden wir wieder den Ausdruck fur die Intensitat El 80 ermit &'iernach-
sind. 2@ bzw. 2 q in (14) bzw. (18) sind die Intensicaten
in groBer Entfernung hinter dem Zylinder fur die beiden bier
in Betracht kommenden Falle (LE 11 -oder
I zur Zylinder-achse), und folglich ist der Quotient O-:/Ei nichts anderes als
das Durchlassigkeitsverhahis p = U /Dl.Gelingt es also zu
zeigen, da6
,
Gj< q,
~
~
~
583
l'heorie der Gitterincersion.
so ist damit fur unseren (bzw. clen Braunschen) Fall bewiesen,
daB Hertzeffekt und nicht Duboiseffekt eintritt.
Setzt man in die obige Ungleichung die Werte aus (14)
und (18) ein, so wird die zu beweisende Beziehung
v2-xz1 -2vx<-2(a--,A),
Metal1
Y
Stahl
Kobalt
Kupfer
Silber
Gold
Platin
Natrium
2,485
2,120
0,6 17
0,177
0,37
2,06
0,005
1
x
3,433
4,040
2,630
3,638
2,52
4,26
2,61
Beobacbter
R.S.
Minor')
71
,l
77
P. Drudee)
1,
,l
I
erfullt ist,.
Beim Ubergang zu kiirzeren Wellenlangen andern sich
die optischen Konstanten in der Weise, die aus den folgenden
Tabb. I1a-d ersichtlich ist.
I in
T a b e l l e IIa.
T a b e l l e IIb.
Stab1 (Minor).
Kobalt (Minor).
!I,U
400,O
450,O
500,O
550,O
589,3
Y
~
'
1,651
1,885
2,092
2,309
2,485
x
i in p,u
2,725
2,934
3,145
3,303
3,433
395,O
450,o
500,O
550,O
589,3
Y
1,627
1,792
1,930
2,048
2,120
H
2,912
3,421
3,711
3,904
4.010
CI.Schaefer
5s-1
i. in p p
396,O
450,O
500,o
535,O
550,O
575,O
589,3
I'
1,173
1,131
1,098
1,004
0,892
0,651
0,617
u. E! Reiche.
i. in ,up
1
1,763
2,149
2,341
2,276
2,133
2,428
2,630
395,5
V
450,O
0,155
0,164
500,o
550,O
589,3
0,169
0,176
0,177
x
1,912
2,386
2,941
3,305
3,638
Fur alle diess Flferte ist immer noch die Beziehung (19)
erfiillt, so daB man schlieBen muB:
Hut g l h , wie bei den Versucheii von l? B r a u n , einen selw
kleinen Wert, so ist im ganzen Gebiet der siclitbaren Stralilung
de r Her tzef f e k t vo rhan de n.
DieserSchluB wird noch durch folgendes verstarkt: F. B r a u n
fand, daB die polarisierende Rirkung seiner Praparate mit
nhnehmender Wellenlange abnimmt. Genuu dassellre Resultat
ergibt die Ungleichuirg (13), wenn man in sie die Werte von v
uiid x aus den Tabb. IIa-d
einsetzt: sie ist urn so besser
erfullt, je gr6Ber die Wellenlange ist. Nimmt man endlich
noch hinzu,') daB von allen Metallen die Ungleichung fur Platin
am besten stimmt, und daD dieses Metal1 in der Tat nach
B r a u u die starkste polarisierende Wirkung ausubt, so Rann
u.o?il kein Ziueifel mehr bestehen, dap uiir in Braiins Versuchen
derb Ilertzeffekt vor uns haben.
Basselbe lapt sich auch f u r dus langwellige ultrarote Spektrum
erweisen.
I n diesem Gebiete sind, mie aus den Versuchen von
H a g e n und R u b e n s folgt, die optischen Konstanten, gemaB
der Maxwellschen Theorie, aus der Leitfahigkeit B allein zu
berechnen. Es wird dann
1'
wo
T =
= x = ,.I/
h / t die Periode der einfallenden Welle ist.
I) Darauf hat uns auch Hr. B r a u n aufmerksam gemacht, dem wir
unser Resultat mitgeteilt hatten.
Ttceorie der Gitterinversion,
585
Es ist nun leicht zu zeigen, daB auch im Gebiete dieser
langen Wellen fur kleines c / h stets der liertzefckf sich ergcben mu6.
Die zu beweisende Ungleichung (19) wird namlich hier:
4v4
1+292>2--
oder
3
-4 9 -1
1 + 4 v 4
--’
+ 10ua - 4 v 4 + 8-VG > 0 .
Set& man v 2 = x, so ist zu zeigen, dai3 die Funktion
f(x)= 3
l o x - 422 + s x 3 ,
+
fur alle positiven reellen x groBer als Null ist. Nun ist zunachst
f ( 0 ) = 3 > 0 . Ferner ist
f ‘ ( 2 ) = 10
24x2 - 8.z
+
stets gro6er als Null, da die Gleichung f ’ (x)= 0 keine reellen
Ifurreln besitzt. Daher ist also f (x)ftir alle reellen positiven x
seltrst positiv, und die Ungleichung (19) ist bewiesen.
I n dem Gebiete endlich zwischen 0,7 p und 8 p weichen
die optischen Konstanten mit abnehmender Wellenlange mehr
wid mehr von ihren nach der Maxwellschen Theorie sich
ergebenden Werten ab. Da dieser Ubergang, wie die H a g e n R u b e n s schen Versuche zeigen, stets im gleichen Sinne erfolgt,
so darf aus der Tatsache, daB fur kleines Q / A zu beiden Seiten
dieses Ubergangsgebietes der Hertzefekt auftritt, geschlossen
werden, daB auch in diesem Spektralbereich dasselbe gilt.
Zusammenftlssend konnen wir also sagen: Ist p/?, hinreichend klein, so isf sowohl im sicJctbaren, als auch im ullruroten Spektrum fur alle Metalle der Hertzcffckt vorhandetc.
S
2. Der Inversionspunkt und der Duboiseffekt.
Die Versuche von d u Bois und Rubens’), ebenso wie
diejenigen von R u b e n s und Nichols2) haben gezeigt, daB im
Gebiete der ultraroten Wellen (I, zwischen 2 p und 50 p) stets
d m n der Hertzeffekt eintrat, wenn g / h einen nicht zu groBen
1) H. d u Bois u. H. Rubens, 1. c.; Verhsndl. d. Deutsch. Physik.
Gesellsch. 1904. p. 77.
2) I i . R u b e n s u. F. N i c h o l s , Wied Ann. 60. p. 418. 1897.
Cl. Schaef’er u . 3’. Reiche.
586
Wert besag. Selbst noch fur pjA = 2 fanden sie in diesem
langwelligen Bereiche den Hertzeffekt bei allen untersuchten
Metallen. Erst f‘Gr gn$ere Werte von p l A , etwa ? / A > 4, trat
So lag bei einem Gitter, dessen
der Buboiseffekt a$’)
0 = 12,5 p war, fur verschiedene Metalle der Inversionspunkt
an den aus der Tab. I11 ersichtlichen Stellen.
T a b e l l e 111.
Metall
Platin.
Silber .
Gold .
Eisen .
ICupfer
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Die Lage des Inversionspunktes im Spektrum ergab sich,
wie schon oben gesagt, nach d u B o i s - R u b e n s als unabhangig
von 0.
Die Berechnung stoflt in diesem Falle, da
und damit
die Argumente der Besselschen Funktionen, die in den Koeffizienten a,,, und b, auftreten, pop sind, auf Schwierigkeiten.
Denn da diese Koeffizienten am und hm hier vou einem bestimmten rn an nur langsam abnehmen, so ist die Zahl der
zu berechnenden Koeffizienten groI3. Auch laBt sich wohl
kaum die Rechnung auf diesam Wege hier so allgemein (a. h.
ohne numerische Wertangaben) durchfiihren, wie oben. Immerhin
lassen sich folgende allgemeine Bemerkungen machen :
Waren v und x Konstante, von il unabhangige GroBen, so
miifite nach der Theorie, d a ja dann in den Koeffizienten am
1) Die Wall1 eines zu kleinen ? / a ( = +) ist wohl auch der Gruud,
da6 der Versuch von W. S e i t z (Ann. d. Phys. 21. p. 1013. 1906), den
Duboiseffekt in einem speziellen Falle theorctisch abzuleiten , zu einem
neyatirela Ergebnis fuhrte. Sein Erkliirungsversuch fur dieses negative
Resultat, - dafl man namlich die an einem einzelnen Drahte gefundenen
Resultate nicht ohne weiteres auf den Fall eines engen Gitters iibertragen
diirfr, - erscheint uns nicht stichhaltig, da die von d u B o i s u. R u b e n s
benutzten Gittcr zwejfellos sls ,,mite“ Gitter bezeichnet werden miissen
(Gitterkonstante a = 2 g > 8 I im Gebiete des Duboiseffektes) und daher
eine gegenscitige Beeinflussung der Gitterstiibe kaum stattfinden konnte.
587
Theorie der Gitterinuetsion.
und bm nur e l i l als
versionspunktes fur
haltnis p/2. abhangig
Die GroBen
Gestalt bringen :l)
3
=1
Variable auftritt, auch die Lage des I n ein bestimmtes Metal1 von diesem Versein. Dies lafit sich folgendermafien zeigen:
und
lassen sich stets auf folgende
+ 4ir(AZ+ B2)+ l/i( A + B)
I’
und
~-
2 q = 1 + - Ii - ; - ( ~ , ’ + B ’ a ) + ~ ~ ( ~ ~ + U . ) ,
Lr
wo A , B ,
A’,R’ Sggregate aus den Koeffizienten
a, und bm,
also Funktionen von g / l , sind.
Fur den Inversionspunkt gilt nun die Bedingung:
Ez5=
q;
also folgt hier :
-(A2
i
4r
+ 9)+ i 2 7 ( A + B)
h
= -4- - r( d ’ 2
+ B‘2)+ d 7 5 ( A ’ + B‘),
oder
lj81,:d2
+ P)+ A + B --
]/&(A12
+ 3 2 ) + A’ + U‘.
In hinreichend groBer Entfernung T (diese ist in den
optischen Versuchen stets realisiert) ist das mit 1/fimultipiizierte Glied auf beiden Seiten beliebig klein, s o daB die
Bedingung fur den Inversionspunkt einfach lautet :
B + B - (A’ + B’)=z 0 .
(20)
Diese Grogen aber hangen nuT ab von @ / A , vorausgesetzt,
daB u und x Konstanten sind. In Wirklichkeit sind aber v und x
Funktionen von il, sodaB man (20) in der Form schreiben kann:
P 1, 2
(
(30a)
11
=o.
Man erkennt aus (20a), da8 zzuei Faktoren die Lage des
Inversionspunktes bestimmen: erstens die Ferte von g l k und
zweitens diejenigen von
Y
und x.
Auch die experimentell gefundene Konstanz des Inversionspunktes erklart sich nach (20a) leicht durch folgende Annahme:
1) Vgl. z. B. C1. Schaefer, Berliner Bcr. 1909. p. 335, Formel (19a).
588 Cl. Schaefer
u. .E Reiche.
TJieorie der Gitterinversion.
Man m u 8 nur annehmen, daB die Funktion P in dem betreffenden Bereiche sehr unempfindlich gegen Schwankungen
des Arguments @ / A ist.')
Von diesem Standpunkt kann also kein Zweifel daruber
bestehen, da8 die ,,Konstanz'* des Inversionspunktes nur innerhalb eines beschrankten Bereiches existiert. Sehr wunschenswert - freilich auch nicht ganz leicht - sind daher Versuche, die das in den Untersuchungen von d u B o i s und
R u b e n s vorliegende Material ergknzen.
Man erkennt iibrigens auch leicht durch Betrachtung der
Gleichungen (14), (18), (19), weshalb die Herren d u B o i s und
R u b e n s keine einfache Beziehung der Lage des Inversionspunktes der verschiedenen Metalle zu ihren optischen Konstanten finden konnten : Diese zwar sicher vorhandene Relation
ist selbst in dem einfachsten, in 0 1 untersuchten Falle 80
kompliziert, da8 ohne die Fuhrung durch eine Theorie dieser
Versuch schwerlich erfolgreich sein konnte.
B r e s l a u , Physik. Inst. d. Universitat, im E'ebruar 1910.
1) Darauf hat uns auch Hr. Prof. P r i n g s h e i m aufmerksam gemacht.
(Eingegaagen 9. Miirz 1910.)
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