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Ein einfaches Modell fr ein an einer isoelektronischen Strstelle schwach gebundenes Exziton.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 38, Heft 4/5, 1981, S. 375-380
J. A. Barth, Leipzia
Ein einfaches Modell fur ein an einer isoelektronischen
Storstelle schwach gebundenes Exziton
Von H. GEISTLINGERund W. WELLER
Sektion Physik der Karl-Ma=-Universitiit Leipzig
Herrn Prof. Dr. A . L6sche zum 60. Geeburtetag gewidmet
Inhaltsiibersicht. Es wird ein Variationsverfahren angegeben, das die Bindung eines Exzitons
an einer isoelektronischen Storstelle far den gesamten Bereich von starker Bindung bis zum freien
Exziton beschreibt. Betrachtet wird ein direkter oder indirekter Halbleiter mit einem Leitungs- und
einem Valenzband, f i i r die Storstelle wird Einzentrenniiherung verwendet. Der zentrale Teil der
Elektronwellenfunktion wird ohne Effektive-Masse-Niiherungbehandelt. Der Bereich schwacher
Bindung wird durch Entwicklung um den Grenzfall des freien Exzitons ausfiihrlich diskutiert, dabei
ergibt sich auch noch Bindung des Exzitons in einem kleinen Gebiet oberhdb der Potentialschwellefur
Bindung des Elektrons.
A Simple Model for an Exciton Weakly Bound to an Isoeleetronie Impurity
Abstract. A variational calculation is given describing the binding of an exciton to an isoelectronic impurity for the whole region from strong binding to the free exciton. A direct or indirect
semiconductor with one conduction and one valence band is considered, for the impurity the singlesite-approximation is used. The central part of the electron wave function is treated without effectivemass-approximation. The region of weak binding is discussed in detail using an expansion about the
free exciton limit; binding of the exciton is found there also in a small region above the potential
threshold for binding of an electron.
1. Einleitung
Exzitonen konnen sowohl an geladenen Stowtellen (Donatoren, Akzeptoren) als
auch an ungeladenen Storstellen (isoelektronischen Storstellen) gebunden sein. Charakteristisch fur die isoelektronische Storstelle ist die Kurzreichweitigkeit des Potentials.
Am einfachsten ist der Fall starker Bindung. Das primare Teilchen (Elektron bzw.
Loch) ist an die isoelektronische Storstelle in einem stark lokalisierten Zustand gebunden
(Ausdehnung Q gegen Bohrschen Radius des freien Exzitons) ; das sekundare Teilchen
(Loch bzw. Elektron) ist dann wasserstoffahnlich wie bei einem Akzeptor bzw. Donator
gebunden (HTL-Modell[l]).
I m Fall schwacher Bindung ist das einfache HTL-Model1 nicht mehr anwendbar,
die Korrelation zwischen primarem und sekundarem Teilchen ist wesentlich. Insbesondere
braucht das primiire Teilchen nicht fur sich allein gebunden zu sein, mit anderen Worten,
die Potentialsohwelle fur die Bindung des Exzitons liegt oberhalb der fur die Bindung des
primaren Teilchens. Die Theorie mull den Ubergang zum freien Exziton liefern, z.B.
das Anwachsen des Bohrschen Radius des Exzitons von aB(mz)zu a B ( p )(m, effektive
Masse des sekundaren Teilchens, ,u reduzierte Masse). Der Fall schwacher Bindung
H. GEISTIJXQER
u. W. WELLER
376
liegt z.B. in GaP:N vor. Die fur Elektronen attraktive isoelektronische Storstelle N
allein scheint ein Elektron noch nicht zu binden (vgl. die Analyse der experimentellen
Daten uber angeregte Exzitonenzustlinde an NNd-Komplexen [21).
In der vorliegenden Arbeit wird der Grundzustand eines in einem kurzreichweitigen
Potential gebundenen Exzitons mit einem Variationsverfahren bestimmt. Das entstehende Variationsgleichungssystem wird durch Entwicklung nahe der exzitonischen
Potentialschwelle geloat. Fur den Wirtskristall wird ein einfaches Modell benutzt :
Direkter oder indirekter Halbleiter mit einem Leitungs- und einem Valenzband in tightbinding-Naherung, Einzentrenniiherung fur das kurzreichweitige Potential.
Die Kurzreichweitigkeit des Potentials erfordert fur das primare Teilchen eine Versuchsfunktion, die stiirker um das Zentrum lokalisiert ist als eine 1s-Wasserstoffunktion ; die Effektive-Masse-Niiherung ist dann nur im iiul3eren Bereich anwendbar. Die
fur schwache Bindung wesentliche Korrelation verbietet die bei dem Variationsverfah[31 benutzte Separation von Elektron- und Lochkoordinaten. Der
ren von FAULKNER
hier verwendete Separationsansatz in Elektron- und Relativkoordinaten liefert richtig
den ubergang zum freien Exziton; die Berechnung der kinetischen Energie des primiiren Teilchens wird komplizierter, die der Coulombenergie einfacher im Vergleich mit [31.
2. Versuchsfunktion, Energiefunktional
Fur den Wirtskristall nehmen wir ein primitives kubisches Gitter anl) mit einem
Leitungs- und einem Valenzband in tight-binding-Naherung:
P?'(k) = tC'"(0)
+ 2tc3y(1)
(COS
(k@)
+ cos (@) + cos ($a)),
(1)
a Gitterkonstante. t'(1) > 0, t'(0) = -6tV(1) - Eg (E, Gapenergie), 2rntff= (tV(l)u2)-l;
tC(0)= 6 I t C ( l )I (Energienullpunkt am unteren Rand des Leitungsbandes), an&, 7
t(l)ca21-l. Ein direkter Halbleiter liegt bei t C ( l )< 0 vor, ein indirekter bei tC(l) > 0
mit 4 Talern bei k = Q,= n/a ( f l , f l , f l ) .
Die Wellenfunktion ) des Exzitons entwickeln wir nach den Wannierfunktionen
wcPv(r - Ri):
I
I
1 ) =7
p(R+ Rj) wc(re - Ri) wV(r, - Rj).
~ $ 3
(2)
Die am Gitterplatz R = 0 lokalisierte isoelektronische Storstelle wirke attraktiv auf
das Elektron, wir beriicksichtigen nur das Matrixelement des Storstellenpotentials
v ( r )mit der zum Gitterpunkt R = 0 gehtirenden Wannierfunktion:
J d3r v ( r ) / w C ( r12) = - 7 .
(3)
Da sich das Loch weiter aufien befinden wird, vernachllssigen wir die abstooende Wirkung der Storstelle auf das Loch. Damit lautet das Energiefunktional fiir das gebundene
Exziton
& = ( I H I ) = Eg 6 It"(l)[
6tV(1)
tc(l) C Y * ( R ~Rj)y(Ri#,
,
Rj) - t'(1) 2' v*(Ri, Rj) p(Ri, Rjr)
+
+
(i,i').i
+
(f,i'),i
<i, i') bedeutet, daS i, i' niichste Nachbarn sein mussen.
Um die fur schwache Bindung wesentliche Korrelation zwischen Loch und Elektron
zu beriicksichtigen und den ubergang zum freien Exziton zu erhalten, benutzen wir
fur die Wellenfunktion p(R+ Rj) einen Separationsansatz in Elektron- und Relativ1)
Die Verwendung anderer einfacher Gitter iat ohne Schwierigkeit moglich.
Model1 fur ein schwach gebundenes Exziton
377
koordinaten :
y(Ri, Rj) = ye(Ri)yrel(Rj - Ri) *
(5)
Fur ye verwenden wir als Versuchsfunktion im Falle des direkten Halbleiters
ye(0) (reell) fur Ri = 0
ye(Ri) =
e-YcRi
(6)
fiir R i + 0
(“.T
mit ye(0) und ye als Variationsparameter. Die Funktionen (6) enthalten die exakte
Wellenfunktion eines einzelnen gebundenen Elektrons im Einzentrenpotential [31. Die
Kurzreichweitigkeit des Potentials erfordert die stiirkere Betonung des Zentrums durch
den gegenuber einer Wasserstoffunktion zusiitzlichen Faktor 1/Ri.
Eine Wasserstoffunktion ist bei schwacher Bindung fiir das kurzreichweitige Potential nicht
geeignet. Rechnet man z.B. fiir ein freies Teilchen im Potentialtopf der Tiefe V und Breite a mit der
Wellenfunktion const e-w, so ergibt die Variation nach y
2a%V = e-Ya/2ya.
(7)
(7) ist losbar fiir 2 a h V 2 e, von den beiden Liisungen liefert nur die fiir 2ya > 1ein Minimum der
Energie. Beim Grenzwert 2a2mV = e ergibt sich noch eine positive Energie, aber schon eine starke
Lokalimtion (2ya = 1).Mit anderen Worten die Wasserstoffunktion lokalisiert das Teilchen zu stark
und beschreibt insbesondere nicht die Delokalieation beim Verschwinden der Bindung (vgl. auch
~41).
Beim indirekten Halbleiter ist der Ansatz (6) mit exp {iQ,Ri}zu multiplizieren und iiber alle
TLiler Y zu summieren.
Als Versuchsfunktion fur die Relativbewegung benutzen wir eine Wasserstoffunktion
yrel(Rj- Ri) = ore-YIRy-Rd.
(8)
Wir gehen nun soweit wie moglich zur Kontinuumsnaherung (Effektive-MasseNiiherung) uber. Im Falle der Relativbewegung konnen wir diese Naherung wegen
aB > a ohne Einschriinkung in (8), bei der Normierung, sowie in (4) bei der Berechnung
der kinetischen Energie des Valenzbandes und der Coulombenegie anwenden. I n Bezug
auf die Koordinate des Elektrons miissen bei der Kontinuumsniiherung zentrale Punkte
herausgenommen werden. Der in (6) herausgenommene Punkt Ri = 0 wird auch bei
der Normierung gesondert behandelt :
Beim Volumenintegral ist die mit der Einheitszelle volumengleiche zentrale Kugel
vom Radius el = a(3/4n)lI3ausgeschlossen. Da der zum A-Operator fuhrende Differenzenquotient uberniichste Nachbarn verbindet, liiBt sich wegen des herausgenommenen ye(0)der A-Operator bei der Berechnung der kinetisohen Energie des Leitungsbandes erst ab den iiberniichsten Nachbarn von Ri = 0 verwenden. Damit ergibt sich
fur die kinetische Energie
H.GEISTLINGER11. W. W E L ~ R
378
( i 2 2 bedeutet Gitterpunkte ah iibernlichsten Pu’achbarn des Nullpunktes). Die Werte
fur y,(a), yc(l/’Fa) und ye(2a)entnehinen wir ails dem kontinuierlichen Anteil von (6)
gemall
und analog fur die Werte fur weiter entfernte Kachbarn (e2, . . ., p5 sind die Radien von
zu 7 , 19, 27, 33 Elementarzellen volumengleichen Kugeln).
Wir erhalten nun endgiiltig fur das Energiefunktional (4) ohne Unterschied fiir den
direkten und den indirekten Halbleitcr
6 = EB 6 tC(l)I
+ I
Dieses Funktional ist fur den gesamten Bereich von starker Bindung des Elektrons bis
zum freien Exziton anwendbar. Im Grenzfall starker Bindung (V + 00) ergibt die Variation nach y,(O),ye,y die dem HTL-Model1entsprechenden Werte g ( 0 ) = l,ye = 00,
y = e2rn&/E, = aB1/(mtff).Wir beschranken uns im folgenden auf den Fall schwacher
Bindung.
3. Schwache Bindung
I m Grenzfall verschwindender Bindung ( V -+ PXc)
erhiilt man aus der Variation
des Funktionals (12)
p m = 0,
ye = 0 ,
sowie den Schwellenwert des Potentials Vexc,bei dem keine Bindung des Exzitons mehr
erfolgt.
Wir entwickeln das Energiefunktional ( 1 2 ) uin den Grenzfall (14), d.h. nach ye(0),
ye,d y --r y - a i l @ ) , d V = V - VexC.Zur Vereinfachung fiihren wir das Ergebnis nicht
allgeinein an, sondern fur die folgenden speziellen Werte:
I
12 Itc(l) = 4 eV (Bandhreite des Leitungsbandes),
ItC(1)J/tv(t)= 2,
(1
=
(i
-4,
E,.
n2Zff = 0 3 2 mo,
15.
1
miIf = O,G4 m,;
Model1 fur ein sohwach gebundenes Exziton
379
Weiter benutzen wir Einheiten, fiir die neben f = 1, A = 1 auch (tC(l)!= 1 gilt. Damit
lautet die Entwicklung des Funktionals
A8
+
Vex’ - dV) yE(0) 19,9y, - 12,75 ~ ~ (~0 i) ”
- 2 8 , x 64,O dy2 G,4~!(0)y:” - 10,9~:(0)ye 21,9ye(0)~t’”
= (5,97 -
+
+
+
+
-1,92&0) A y - G,4Gyedy
4,0Gve(0)yi’’dy.
(16)
Der Koeffizient von d y verschwindet in dieser Entwioklung wegen (14).
Die Variation von A& nach ye(0),ye, Ay ergibt in niedrigster Ordnung (Beriicksichtigung der ersten drei Terme mit A V = 0) den Schwellenwert Vexc und das Verhliltnis
ye(O)/yifiim Grenzfall verschwindender Bindung :
Vexc - 3,93 (1,31 eV),
-
( ~ ~ ( O ) / y i ’ ~ ) p x=e 3,12.
(17)
Die Terme hoherer Ordnung liefern den Zusammenhang der Variationsparameter mit
AV:
~ z ( 0=
) 1,23dV,
ye = 0,13 A V ,
dy = (l/aB- 1 / U B ( / 4 ) ) = 0,015 d V ,
uB Bohrscher Radius des Exzitons.
a-
-200
37
-
35 - L O
0
*
H. GEISTLINQERu. W.WELLER
380
Von Interesse ist der Vergleich mit dem Problem eines einzelnengebundenenElektrons.
Bei zum exzitonischen Problem analogem Vorgehen ergibt sich fur das elektronische
Problem
V8 = 3,95,
(19)
pf(0)= 1,19dV,
o f = V - Ve.
Der Schwellenwert V Ereproduziert recht gut den exakten Wert (a/2n)3J 8 k 1/8(k)]
[
Bz
von FAULKNER
[3], fur den in unserem Falle eine einfachere numerische Rechnung 4,05
ergibt. Die elektronische Schwelle (19) liegt etwas tiefer als die exzitonische (17), so daB
es in der Tat einen Potentialbereich gibt, in dem das Exziton gebunden ist, das Elektron
allein aber nicht mehr. Die unterschiedlichen Proportionalitktsfaktoren zwischen yf(0)
und d V bzw. d f in (18, 19) weisen auch auf die Mitwirkung des Loches bei der Lokalisierung des Elektrons hin.
Die Beziehungen (18) zeigen die zunehmende Delokalisation des Exzitons und das
Anwachsen des Bohrschen Radius aB zu aB(p) beim Ubergang zum freien Exziton.
Diese Beziehungen sind einschlieBlich der Energie in Abb. 1dargestellt.
Der Vergleich mit Gap: N ist wegen des einfachenModells und insbesondere wegen der
anderen Gitterstruktur (Gap ist kubisch flachenzentriert) nur qualitativ moglich. Im
GaP ist die Energie des freien Exzitons -22 meV [ 5 ] , die des am N gebundenen Exzitons -33 meV [6]. Eine Bnderung der Bindungsenergie um etwa 50% ergibt sich aus
Abb. 1fur V rn Vexc 6 ( V e - Vex’), wahrend man fur GaP V m Ve vermutet.
+
Herrn Dr. R. BINDEMA”und Herrn Dr. F. THUSELT
danken wir fur Diskussionen,
Herrn Dip1.-Phys. A. DITTRICHfur die Priifung einiger Rechnungen.
Literaturverzeichnis
[l]J. J. HOPFIELD,
D. G. THOMAS
u. R. T. LYNCH,
Phys. Rev. Lett. 17, 312 (1966).
[2] E. COHEN u. M. D. STURGE,
Phys. Rev. B 15,1039 (1977).
[3] R. A. FSULKNER, Phys. Rev. 175, 991 (1968).
[4] F. THUSELT,
K. KREHER
u. H.-J. WUNSCHE,Solid State Commun. 6, 563 (1980).
[5] R. SCHWABE
e t al., Phys. Status Solidi 89, 561 (1978).
[6] D. J. THOMAS
u. J. J. HOPFIELD,
Phys. Rev. 181, 2405 (1963).
Bei der Redaktion eingegangen am 5. November 1980.
..4nschr. d. Verf.: Dip1.-Phys. H. GEISTLINQERu. Prof. Dr. W. WELLER
Sektion Physik der Karl-Marx-Universitit
DDR-7010 Leipzig
Karl-Marx-Platz
a
Chefredakteur: Professor Dr. G. Richter, DDR-1199 Berlin-Adledof, Rudower Chauseee 5
h i g e n Inland: DEWAG LEIPZIG, 7050 Leipzig, OststraDe 106, Ruf 7974303. Aneland: Interwerbung GmbH. - Cesellsohaft fiir Werbung und Auslandsmessen der DDR, DDR-1157 BerlinKarlshorst, Hermann-Duncker-Str.89, Ruf 509 0981. Fiir die Anzeigenpreise gelten die Festl-n
gem&BPreisbhlog Nr. 286/1 vom 1.7.1975. Verlag Johann Ambrosius Barth, DDR-7010 Leipzig,
SalomcnstraBe 18b, Ruf 7611. Ver6ffentlicht unter der Lizenz-Nr. 1396 des Presseclmtes beim
Vorsitzenden des Minieterrates der DDR
SBte und Druck: VEB Druckhrtus Kothen, DDR-4370 Kothen
printed in the German Demoaratic Republio
AN (EDV) 61216
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