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Ein elementarer Beweis des Green'schen Satzes.

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XIV.
Ei7a
elernentarer Beweis des Greern’sche!tL
P. M o l e n b r o e k .
Satxes; von
Seit einiger Zeit: macht sich das Bestreben offenbar, die
Hauptsatze der Mechanik, deren streng mathematische Formulirung nur mit Hulfe der Analysis moglich ist, auf elementare Weise herzuleiten, obgleich man dabei allerdings die
Principien der Differentialrechnung in Anwendung bringt.
Auch die SBtze der Potentialtheorie werden gegenwartig in
vielen Lehrbuchern auf dieser Weise behandelt’), und es gelingt dadurch, die beruhmten Satze, denen jene Theorie ihren
Werth verdankt, einem grosseren Kreise zuganglich zu machen.
Schon ist der G a u s s’sche Satz, auf dieser Weise dargestellt,
ziemlich weit verbreitet. I m Folgenden beabsichtige ich eine
elementare Herleitung des Green’schen Satzes zu geben; ob
dieselbe schon irgendwo veroffentlicht ist, bin ich nicht im.
Stande gewesen zu finden.
Es sei eine geschlossene Oberflache in Betracht gezogen;
innerhalb des dadurch begrenzten Raumes denken wir electrische Kraftlinien gezeichnet und zwar so, dass der ganze
Raum in sehr dilnne Kraftrohren getheilt wird, deren jede
einen Theil der Oberflache mit einem anderen Theile in Verbindung setzt. Vor der Hand wollen wir nur eine einzige
dieser Rohren ins Auge fassen, welche von einem Oberflachentheile dOi nach einem anderen dO, geht. Die ganze
Rohre denken wir durch Ebenen, die normal zu den dortigen
Kraftlinien stehen, in kleine Theile zerlegt. Wahlen wir irgend
einen durch diese
Ebenen bei P entstandenen Schnitt.
Die Grosse der
Oberflache eines
Schnit,tes sei w, das Potential in einem Punkte desselben
sei rp, die (in der Richtung der Kraftlinie) wirksame Kraft
1)
Man sehe z. B. G u m m i n g , Theory of electricity.
P. i%!olenbroek.
158
.
sei K. Ein diesen Zeichen hinzugefiigter Index A , B , . .
beziehe sich im Folgenden uberall auf den Punkt, wo die
betreff’ende Grosse genommen gedacht wird, sodass z. B. KQ
die im Punkte Q wirksame Kraft, O A die Grosse des Schnittes beim Punkte A bedeutet. Auf die beiden von der Rohre
aus der Oberflache geschnittenen Theile beziehen sich die
Indices i resp. u ; die am nachsten bei i und u gelegenen
Schnitte seien durch A resp. Z angedeutet. Nach dem Begriffe des Potentials ist sodann:
$DQ - Qp.
-Kp.PT=
Indem man diese Gleichung mit
-Kp2.~p.P&=
lip.wp
multiplicirt, entsteht:
K p ~ p ( y ~yp).
-
Hierin stellt up.PQ die Grosse des zwischen P und Q
liegenden Volumtheiles vor; bezeichnen wir dasselbe mit d t p ,
so wird die vorige Gleichung:
-KpBdZtp=
Kpwp(yQ-
Up).
Diese Beziehung findet in jedem Punkt der Rohre statt.
W i r konnen deshalb nacheinander schreiben:
In der ersten dieser Gleichungen bedeutet mi die Grosse
des Schnittes der Rohre, senkrecht zu der Richtung der
Kraftlinien bei i genommen. Dieselbe Bedeutung hat w, im
Punkte u. Es sind diese Grossen nicht mit den vorher eingefuhrten dOi und do, identisch; vielmehr ist nach einem
bekannten Satze, wenn mit (Kin:) und (K,n,)die Winkel
bezeichnet werden, welche die Richtungen der Kraft in i,
resp. u mit den in diesen Punkten in Hinsicht auf den von
der Oberfiache umschlossenen llaum nach aussen gezogenen
Norinaleri zur Oberflache hilden :
(2)
w.- - 0.cos (Kini), w, = 0,cos (KUn,).
1 -
Indem man alle Gleichungen (1) addirt, erhalt man:
159
Green’scher Satz.
- S K 2 d t = -Ki wiq.ji-rpa(KA~A-Kiw$-q.jB (KBwB-KA ma)-* *
...
.-r/z(Kzcuz-Kywy)+ K z ~ z y u ,
wo clas Summenzeichen sich auf alle Volumtheile der Rohre
bezieht. Nach dem Qauss’schen Satze, auf den zwischen P
und Q gelegenen Raumtheil angewandt, ist jedoch:
(4)
KQLLIQ - K p w p = 4 n p p d t p ,
wenn mit p p die in dem Theile d t p vorhandene Electricitatsmenge pro Volumeneinheit bezeichnet wird. Dieselbe Qleichung mit veranderten Indices ist fur jeden zwischen A und
Z liegenden Raumtheil gultig. W enn man den Gauss’schen
Satz auf die beiden a n den Enden der Rohre liegenden Volunientheile anwendet, so findet man:
+
K A W A Ki cos (Kini).dOi = 4agi (Iti,
(5)
bei i:
(6)
bei n : Xucos (K,,n,).do, - K Z W =
Z 4npzdtz.
Aus der letzten Gleichung kann man Kzwz entwickeln;
den erhaltenen W e r t h und die Werthe, welche BUS der Gleichung (4) durch Aenderung der Indices hervorgehen , kann
man in (3) einfuhren. Das Resultat lantet sodann:
+
+
{ X+K ~2 d~ tp p k:wiyi
d r p...-.
+ + yupzdzz)- K, cos(KtLnIc)
yuclOu.
=
(7)
4n(?.4pidti
f$lBQAdtAf
a * * . *
I n jedem Gliede des in Klammern stehenden Ausdruckes, z. B. in
Q p d r p , kann man y Q , d. h. das Potential
in einem Punkte des Durchschnittes bei Q, ersetzen durch
das Potential in einem Punkte des Volurnentheiles d t p ; dieses
Potential sei im Folgenden mit y P bezeichnet; es wird sodann der ganze zwischen den Klamrnern stehende Ausdruck
= 2 ’ y g d t . Beachtet man noch die Gleichung (a),so gtht
(7) uber in:
2K2dt=
- K i c o s ( K i n i ) g i d O i - K uc o ~ ( K ~ n ~ ) r p , ~ d O ~
+ 4nZ’cp q d t .
Die Summenzeichen beziehen sich hier auf alle Volumentheile der einzigen in Betracht gekommenen Rohre. Es erscheinen in dieser Gleichung die beiden von dieser Rohre aus
cler Oberflache geschnittenen Theile. Wendet man dasselbe
Verfahren auf jede der Kraftrohren a n und addirt schliess-
160
Y. Molenbroek. Green'scher
Sutz.
lich die erhaltenen Resultate, so findet man, dass alle Theile
der Oberflache in der Endgleichung auftreten. Dieselbe
lautet:
, P K 2 d t = - S.Kcos(Kn)rp d 0 + 4 7 ~ 2 y p d t ,
und wenn man statt Kcos(Kn) das Zeichen K,, einfuhrt,
welches die zur Oberflache normalen Kraftcomponenten bedeutet (in der Richtung nach Aussen positiv gerechnet), so
vereinfacht die Gleichung sich zu:
Z'K'dt = - S.K, dO 3. ~ T c C Y P SQ~ d r ,
wo die beiden 2 uber alle von der Oberflache umschlossenen
Raumtheile sich erstrecken, S dagegen auf alle Theile der
Oberflache sich bezieht. Die erhaltene Gleichung spricht
den Green'schen Satz aus.
A m e r s f o r t , i m Marz 1890.
Druck von M e t z g e r & W i t t i g in Leipzig.
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greek, elementary, beweis, des, ein, schet, satzes
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