close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ein Lsungsverfahren fr Potentialprobleme.

код для вставкиСкачать
153
2. E4m L6sungsverfahrem far Potentialproblerne;
vom H,J. 0. Strzctt
Zusammenfassung
An Stelle der in der Literatur l) erwahnten Integralgleichung zweiter Art zur Losung des D i r i c h l e t schen Problems
wird die Benutzung einer Integralgleichung erster Art vorgeschlagen. Die letztere Gleichung gibt sofort die wahre Ladung,
wiihrend man mit Hilfe einer Integralgleichung zweiter Art
zuniichst die Dichte einer fiktiven Doppelschicht erhiClt und
aus dieser erst nach Differentiation und Integration die wahre
Ladung. Das Verfahren wird angewandt auf einige zweidimensionale Probleme: 1. m Kreiszylinder in den Ecken eines regelmaBigen Polygons (Grenzfalle: zwei parallele Kreiszylinder und
unendlich viele parallele Kreiszylinder in einer Ebene); 2. Anordnung wie 1. mit einem Kreiszylinder im Polygonzentrum ;
3. Anordnung wie 1. mit einem das Polygon umhiillenden
Kreiszylinder ; 4. unendlioh viele Kreiszylinder in zwei parallelen
Ebenen.
Die Probleme 1, 2 und 4 besitzen auBer elektrostatisch
auch Bedeutung fur hochfrequente elektromagnetische Aufgabens); das Problem 4 tritt auf bei der hochfrequenten Stromverteilung in einer Spule3); das Problem 3 in Warmeleitungsund Potentialaufgaben der Kabeltheorie 9; eine Kombination
von 2 und 3 beim elektrischen Feld einer Gliihkathodenrohre.6)
1) Z. B. Riemann-Weber, 1. S. 493. 1925; H.P o i n c a r B ,
Legons de MBcanique celeste 3. S. 249. 1910.
2) Lord K e l v i n , Math. and Phys. Papers 5. S. 489. 1890; Verf.
Ann. d. Phys. 85. S. 787. 1928.
8) S. Butterworth, Phil. Trans. Roy. SOC.London, A. 222. S. 57.
1922; Proc. Roy. SOC. A. 107. S. 707. 1925; C. N. Hickman, Sc.Papers
Bureau Standards 17. S. 73. 1923.
4) G. Mie, E.T.Ztschr. S. 137. 1905; V.Fock, Archiv f. Elektrot.
16. S.331. 1926; 19,S. 469. 1928.
5) Riemann-Weber 2. S. 313. 1927.
154
M. J. 0. Strutt
zur L6sung
der Dirichletschen Aufgabe
1. Integralgleichung erster Art
Es sei u die Flachendichte der Ladung. Dann berechnet
sich das Potential P in einem willkurlichen Raumpunkte aus:
wo d der Abstand der zwei betrachteten Punkte, d f das Oberflachenelement ist. Dau Integral ist uber alle geladenen Flachen
zu erstrecken. 1st nun das Potential P auf gewissen Oberflachen vorgegeben und handelt es sicli darum, die Ladungsverteilung u zu ermitteln, welche dieses Potential im Qefolge
hat (Dirichletsche Aufgabe), so ist die Gleichung (1) eine
Integralgleichung erster Art fur u.l) Im zweidimensionalen Fall
lautet bekanntlich das Analogon zu (1)
(2)
P = l u l n d d S.
Der Zweck dieser Zeilen ist, als Ausarbeitung eines fruher
angedeuteten Gedankenganges 2, zu zeigen, da8 es mit Hilfe
dieser auherst einfachen (man konnte sagen trivialen) Gleichungen
gelingt, in einer ganzen Reihe von praktisch wichtigen und
sonst schwer angreifbaren Fallen das Dirichletsche Problem
mit jeder erwunschten Kaherung zu losen.
2. Ausfiihrung der Lijsung
Wir nehmen an, es lassen sich im ganzen Integrationsgebiet (also auf allen Leiteroberflachen) Systeme orthogonaler
Funktionen angeben. I n allen unten ausgefuhrten Beispielen
dienen hierzu trigonometrische Funktionen. Man kann nun
den Kern K der Integralgleichung (l/d bzw. lnd) in eine
Doppelreihe nach diesen Funktionen entwickeln:
1) Zur Theorie der Integralgleichung erster Art, vgl. Ch. H. Miintz,
Math. Ann. 87. S. 139. 1922; R. R a c l i s , Compt. rend. 186. S. 1345. 1928.
Die Singularitlit der Gleichung (1) und (2) ist von so niedriger Ordnung,
daS sie die AuflGsung nicht stort (z.B. C o a r a n t - H i l b e r t , Meth. der
math. Physik 1. S. 183).
2) Verf. Ztschr. f. Phys. 46. S. 625. 1927.
E n Jifsungsverfahren f u r Potentialprobleme
155
Die Ladungen selber denke man ebenfalls in eine Reihe nach
den Orthogonalfunktionen entwickelt:
u=
22i ai Yi (6)
mit noch unbekannten ai. Die htegralgleichung ist dam, da
die Koeffizienten samtlicher yi (x) nach der Integration verschwinden sollen, wahrend das konstante Glied gleich dem
vorgeschriebenen konstanten Potentialwert wird, aquivalent mit
1 7 ~Kreiszylinder
in den Ecken cines regelmaBigen Polygons
Fig. 1
unendlich vielen Gleichungen fur die noch unbekannten Koeffizienten ar Diese Gleichungen lassen sich naherungsweise dadurch losen, daB man sich mit einer gewissen Anzahl der ai
begniigt, die angenahert aus den so entstandenen endlich vielen
Gleichungen hervorgehen. Praktischerweise wird man die
Losung entwiclieln nach gewissen Psrnmetern die sich aus
der Natur des gerade vorliegenden Problems ergeben. Das
Verfahren sol1 an einigen praktischen Fallen erlautert und auf
seine Brauchbarkeit gepriift werden.
M. J.
156
0. Strutt
3. m Kreiszylinder in den Ecken eines regelmLBigen Polygons
Die Anordnung zweier dieser Kreiszylinder nebst im
folgenden benutzten L&ngen- und Winkelbezeichnungen ist in
der Fig. 1 gezeichnet worden. Die Zylinder sollen alle das
gleiche Potential besitzen. Die Ladungsverteilung auf jedem
der Zylinder sei gegeben qurch
A,
+ A, COS cp + d , C O s 2 9 + . , .
-
(Sinusglieder fallen wegen der Symmetrie
vgl. Fig. 1 fort). Es handelt sich zunachst darum, In d in eine F o u r i e r sche Reihe nach I,O und y zu expandieren. Diese Aufgabe
wurde gelijst von H. L. Curtis.') I m Anhang sind aber zur
Bequemlichkeit des Lesers die wichtigsten Formeln abgeleitet
worden.
Es ist:
n=l
m
(3)
'
rn
\
Weiter gilt:
(4)
Einsetzen der Werte (3) und (4) in (2) ergibt fur die Harmonische A, des Potentials unendlich viele Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, die dadurch erhalten werden, da6
1)
H. L. Curtie, Sc. Papers Bureau Standards 16. S. 121. 1920.
157
Ein L~sungsverfuhrenf u r Potentiulprobleme
man gleicbartige Glieder (z. B. mit cos n 9 multipliziert) zusammenfaBt und ihre Summe gleich Null setzt.
Man muJ3 noch beachten, daB die Laufzahl i im Ausdruck (3) von 1 bis m - 1 lauft. Es entstehen die Gleichungen
Wl-1
m
k=l
i=l
m
(IC
n
n
4-
la
- l)!
(k - l)! a!
I
k= 1
mit n = 1 , 2 , 3 . . ,
In den Qleichungen (5) und ( 6 ) bedeutet:
P das Potential der Zylinderoberflachen,
111-
2SU,
x2aa
1
xsa3
1+22U2
(8) g x s a 3
X3US
g + +x4a4
2x6a5
24a,
24
5x%,
4 = 2 x u1 - 2 x3 a, az + x5 (2 a1a,2
-A,
A, =-
(9)
A,
a5
gX6u6
++y x 6 a 6
2
Tu4
25
2x5a5
5
24
a4
5x7a7
1
35
4 +q"%s
1
i
- 2 a, a3)
+ x 7 ( 4 a l a s 2 - 2 a 3 a 4 - 2 a , a , S + 2 t x , 2 ~ 3 )...
+
2
a3 ~'(6tx, a4 - 4 a, U, v.J
4
+
+
+ X* (8 a3a6-4 a, as2- 12 a1a3ac4 +4 a, a3)+ .. .
-_
" -- 2 s 3 u 3 - 6 x5a1a , + x T ( 6 a, uz a , - l 2 ct2 a5)+ . . .
A,
l r ; = 2 x 4 a 4 - 82°c5 ua + x 8 ( S u l a2a5 - 20aa a,)+ . . .
M . J. 0.Strutt
158
Zur numerischen Auswertung der Gleichung (9) ist es notwendig, fur jeden einzelnen Fall aus (7) die a, zu berechnen.
Man erhalt (m = 2 bedeutet 2 Zylinder usw.):
3
1 - 2 1
1
2-
7
7
3
I s
I - r S I
32
F u r den Fall zweier Kreiszylinder (m = 2) wurde die
D i r i c h l e t s c h e Aufgabe gelBst von F. J. W. Whipple.') I n
der untenstehenden Tabelle sind die aus (9) erhaltenen Ladungswerte fur verschiedene x mit den von W h i p p l e exakt ermittelten verglichen worden. Hierbei bedeutet P die Ladung
der voneinander am entferntesten gelegenen, Q die Ladung
der einander am niichsten gelegenen Zylinderpunkte ; P, und Q,
sind die entsprechenden Werte W hipples. Die mittlere
Ladung der Zylinder ist hierbei als Einheit benutzt. Wie
man sieht, weicht die obige Naherung (9) im ungunstigsten
Fall der sich beruhrenden Zylinder (x = 1) urn etwa 6 Proz.
vom exakten Ladungswerte ab. Bei dem fur Wechselstromaufgaben wichtigen quadratischen Mittelwert der Ladung ist
die Abweichung vie1 geringer.
2
-__
/I I
,0437 ,0875
~
,320
,377
__ __
1,471 1,515 1,535
1,449 1,494 1,545
,233 ,019 -,005
,205 ,081
,002
~
P 1,084 1,160 1,229 1,295 1,358 1,414
P, 1,084 1,160 1,229 1,291 1,347 1,401
,909 ,810 ,703 ,593 ,472 ,354
Q
Qld ,909 ,810 ,703 ,585 ,466 ,336
1,499
n/2
-,063
,000
Die Xonvergenz der R
h t fu jedes x von vornherein feat, da j a die Ladung und also auch ihre harmonische
Komponenten stets (fur jedes x) endlich sind. Es zeigt sich
aber, daB bei steigendem m die x-Werte, fur die aus den an1) F. J.
W.W h i p p l e , Proc. Roy.
SOC. A. 96. S. 469. 1920.
Ein Losunysverfahren fiir PotentialproHeme
159
geschriebenen Gliedern von (9) die Ladung noch mit ausreichender Genauigkeit berechnet werden kann, immer kleiner werden.
So zwar, da6 z. B. fur m = 6 die angeschriebenen Glieder (9)
noch geniigen bis etwa x = 0,5 I,,, bei m = 4 noch bis x = 0,8 xo
mit xo der x-Wert bei beriihrenden Zylindern. Als zweiten
Grenzfall wollen wir unendlich viele Zylinder in einer Ebene
betrachten. Hier wird x unendlich klein, die a, dagegen unendlich gro8. I h r Produkt bleibt aber endlich, z. B.
00
lim .PU, =
ni+
00
2
a’’
(BRainxi
7c
71
- cosn-
)”
2
oder
wo
y = - ac
(c
Achsenabstand zweier Nachbarzylinder)
und
p2, = (- l)”B,--(2(2n12)) s!n
(7 a)
mit B,, die Bernoullischen Zahlen:
B 1 = & , B, = 2c USW.
Samtliche p mit ungeradem Index fallen also fort. Die
Formeln (9) sind auch im vorliegenden Fall zu benutzen
wenn man statt x liest y und statt ak jetzt Sk. Das Fortfallen der ungeraden /? bedeutet somit das Fortfallen aller
ungerader Harmonischen, wie ja auch aus der Symmetrie der
entstandenen Anordnung sofort einleuchtet. Die Gleichung (9)
ist aber im vorliegenden Fall nur bis etwa y=O,25 nutzlich.
Es zeigt sich, daB man eine fur vie1 groBere y (bis zur Beruhrung y = 0,5) ausreichende Naherung erhalt mit den Formeln:
die sofort aus der Matrix (8) hervorgehen. Ich mbchte erwiihnen, daB die im vorliegenden Fall entstehende Matrix (8)
mit derjenigen von S. B u t t e r w o r t h ’ ) identisch ist, sobald
man in der zuletzt genannten zum Fall sehr hoher Frequenz
iibergeht.
1) S. B u t t e r w o r t h , Proo. Roy. SOC. A. 107. S. 696. 1925.
160
M.J. 0.Strutt
4. rn Kreiezylinder in den Ecken &nee regelmZiBigen Polygonfl
und ein Kreiszylinder im Polygoneentrum
Wir werden bei der Behandlung dieser Aufgabe zwei
Voraussetzungen machen:
a) die m i t t h e Ladung aller Zylinder ist die gleiche,
b) der Durchmesser alter Zylinder ist gleich.
Sie sind nicht etwa notwendig, sondern nur einer Anwendung, die von der vorliegenden LBsung gemacht werden
wird,’ angepaBt. Wie die Formeln umzuBndern sind, wenn
m Kreiszylinder in den Ecken eines regelm23igen Polygons
und ein Kreiszylinder im Polygonzentrum
Fig. 2
keine der Voraussetzungen a , b erfullt ist, ergibt sich im
ubrigen in einfacher Weise aus der Betrachtung ihres Aufbaus.
Grundlegend ist wieder die Fourierexpansion des Ausdrucks lnd. Man hat hierbei den Fall, daB d sich auf zwei
auBere Zylinder (kurz: Umfangszylinder) bezieht, zu unterscheiden vom Fall, daB d zwischen einem Umfangszylinder
und dem Zentrumszylinder gemessen ist. Im ersteren Fall
erhiilt man fur l n d die Gleichung (3) im letzteren Fall
dagegen (Fig. 2; Anhang)
Ein LGsungsverfaAren f u r Potentialprobleme
I
161
n=l
I
F u r die Ladung setzen wir an:
auf den Umfangezylindern :
W
auf dem Zentrumszylinder :
m
A,
+ 1x=A1 l m c o s Z m y .
Es ist namlich aus der Symmetrie der Anordnung klar, daB
auf dem Zentrumszylinder nur Ladungsharmonische mit dem
Index Zm, (E = 1, 2, 3 . . .), wo m die Anzahl der Umfangszylinder bedeutet, auftreten werden.
Man mu6 im vorliegenden Fall, d a es sich um zwei verschieden gelagerte Zylinderarten (Umfangs- bzw. Zentrumszylinder) handelt, die Integralgleichung (2) zweimal anwenden.
Die Anwendung anf den Zentrumszylinder ergibt :
Hierbei bedeutet P das Potential des Zentrumszylinders.
Auf einen Umfangszylinder angewandt ergibt die Gleichung (2):
A4nnalender Physik. IV. Folge. 87.
11
M. J. 0. Strutt
162
mit n = 1, 2, 3 . .
.
Q das Potential des Umfangszylinders und
wahrend u,,sich $us Gleichung (7) ergibt.
Ein einfacher Weg zur Losung liegt hier darin, dab man
die GroSen 8, aus (11) und (12) eliminiert.. Es entstehen die
Qleichungen:
a,
I
!
m
n
(- 1)k+n
mit
IZ
-
(Zm+ k -1)- (Zm + n l ) !
(k - l ) ! ( l m- I)! (n- 1)!(2m) ;
= 1, 2 , 3
.
J
...
Aus den Gleichungen (13) lassen sich wieder, genau wie
im Abschnitt (111), die Verhiiltnisse BJA, BJA, usw. bestimmen, worauf A,/A, usw. aus der Gleichung (11) folgen.
Man kann die erwilhnten Verhaltnisse wieder in Reihen nach
Potenzen von x entwickeln. Begniigt man sich hierbei etwa
mit der pten Potenz von x und ist
2mZp,
so ergibt sich aus (13), daS nur die Koeffizienten von A,
gegeniiber denen der Matrix (8) abgeandert sind. Die der
Matrix (8) entsprechende Matrix lautet daher in dieser
Niiherung :
Ein L3sungsverfahren f u r Potentialprobleme
A o : ( - B l ) : B z : ( - B 3 ) : B=4
1 x2a2
x3 a3
2 4 a4
5 3 a3
4 + #x4cc4 2x6u5
+
2 4 Ct4
2 5 Q5
2x5e5
+ + 12
5
- x6 Ct6
2
1 6 Ct5
+X6U6
527a,
Xea6
5 x , a,
163
1
4
35
+'
4 a*
x8
mit 18, = an+ (- 1)" und a,,gegeben durch (7).
Man erhalt aus (14):
4 = 2 2 p , - 2x3uZp1+x 6 ( 2 a 2 2 p 1 - 2u3ts,)
I --
I
(15)
3
{ -3
I
+ 2 a2 Pz - 2
= - 2 x2 @, + 4 x4 a3PI+ X* ( 6 ~ pa
4 - 4~4,
+ ~''(4
- 2 p3 a4
+ -.
&) +
013~Pi)
a3
+ ...
= 2 x 3 P 3 - 6x5/4ccae
Die Ausrechnung ergibt, da8 man etwa bei m = 6 aus
(15) die ersten vier Harmonische in geniigender Naherung erhalt bis etwa x = 0,25, d. h. also, wenn der Achsenabstand
zweier Nachbarzglinder gleich dem doppelten Zylinderdurchmesser ist.
5. m Kreiszylinder in den Ecken eines regelmaBigen Polygons
und ein Kreiszylinder, der das Polygon zentrisch umhu1lL1)
Der Ausdruck fur l n d fallt im vorliegenden Fall vcrschieden aus, je nachdem man den umhullenden Zylinder und
einen Polygonzylinder oder aber zwei Polygonzylinder ins
Auge fafit. Fur den zuletzt genannten Fall gilt wieder der
Ausdruck (3). Im ersteren Fall dagegen erhalt man (Fig. 3,
Anhang):
~1) Diese Aufgabe wurde ~ O V.
R Fock (a. a. 0.) in hoher Naherung
geliist fiir den Fall beriihrmder Polygonzylinder.
11*
M. J. 0.S h t t
164
Wir setzen fiir die Ladung an:
Auf dem umhullenden Zylinder:
2=1
auf einem Polygonzylinder:
n=: 1
m Kreiszylinder in den Ecken eines regelmlEigen Polygons
und ein Kreiszylinder, der dae Polygon zentrisch umhullt
Fig. 3
denn es ist wieder aus der Symmetrie der Fig. 3 ersichtlich,
daS auf dem aulleren Zylinder nur die Harmonische B,'cos m qp,
B,, cos 2 m usw. auftreten kbnnen.
Die Anwendung der Integralgleichuag (2) auf den umhiillenden Zylinder ergibt:
P
- = m a A,
27Z
In h (3'= Potential des auI3eren Zylinders).
Ein Losuiigsverfahren fiir Potentialprobleme
165
Durch Anwendung der Gleichung (2) auf einen Polygonzylinder erhalt man:
k=l
m
A
-n
R
zm Btn
(lrn)!
- bz=12 (7) cm (Irn - n ) ! n !
(n
-k
n = 1, 2, 3 .
mit
e k - l)! .
(k
- l)!rc! '
..,
8 das Potential eines Polygonzylinders und
i=l
wiihrend a, aus Gleichung (7) folgt.
Durch Eliminieren von B,, aus (17) und (19) entstehen
die Qleichungen:
i
I
!I
12
= 1, 2, 3
...,
M . J. 0. Strutt
166
aus denen man wieder sofort die Verhaltnisse A,/A,, AJA, usw.
berechnen kann. Die Verhaltnisse Bm/Bo,B2m/Bousw. orhalt
man darauf aus (17) in Verbindung mit (18).
1st etwa,
R
a
- S - = x ,
b -R
und bricht man bei der Potenzreihenentwicklung der GroBen
AJB, nach x mit der pten Potenz ab, wahrend weiterhin
2 m z p
ist, so ist die aus (20) entstehcnde Matrix mit (8) in dieser
Naherung gleichlautend und die Verhaltnisse gehen aus (9)
hervor. In dieser Naherung hat der umhiillende Zylinder auf
die Ladungsverteilung der Polygonzylinder gemessen an ihrer
mittleren Ladung iiberhaupt heinen E’influp. Wegen der numerischen Brauchbarkeit der Gleichung (9) gilt auch in diesem
Falle das bereits fruher Gesagte.
6. Unendlich viele Kreizylinder in zwei parallelen Ebenen
Auch in diesem Fall mu6 man den Ausdruck In d einmal
fur zwei Zylinder derselben Ebene, das andere Ma1 fur zwei
zu verschiedenen Ebenen gehiirigen Zplinder bilden. Im
ersteren Fall ist der Ausdruck bereits aus Abschnitt ILI l e kannt (zweiter Grenzfall). Im letzteren Fall ergibt sich (Fig. 4,
Anhang):
m
l n d = lnR,
1
- 2 k-v (g)cos 74 yi co8 n y
n=l
{
+2
{I -z_k_(R,)
m
m
1
1
a
k
cos
ky
coskyi
k = l
*
(&
IL=
l)”cos(k
1
(kfn-l)!
(k l)! n!
-
+ n)yicosny].
Wir setzen voraus, daB die Ladungen der Zylinder in
den beiden Ebenen entgegengesetzt gleich sind. Dann erhalt
man durch Anwendung der Gleichung (2) auf einen der Zylinder:
Zin Liisungsverfahren f u r Potentia$)rohlemc
I\
167
+
*&-n
(k r. - l)!
(k - i ) ! m ! rnit n = 1, 2, 3 . . .
(c
= Achenabstand zweier Nachbarzylinder).
Uneudlich viele Kreiszylinder in zwei parallelen Ebenen
Fig. 4
Hierbei ist P das Potential des betreffenden Leiters, p,, gegeben durch Gleichung (7a), PI durch G1. (51, wahrend nachtraglich noch uber den Index i summiert werden muB. Urn
siimtliche Leiter der zweiten Ebene in ,Betracht zu ziehen, ist
diese Summe zu erstrecken von 1 bis 00, das Ergebnis zu verdoppeln und hierzu noch das Resultat fur i = 0 zu addieren.
M. J. 0. Strzitt
168
Hat man dies ausgefiihrt, so lassen sich die Verhaltnisse aus (22)
wieder genahert berechnen. Man erhalt eine Matrix:
A o : ( - A1):A2:(- 8,):8,=
~ZCL,,
1
+x2el1
2X5Ug2
x5a41
5 6
2 x aq2
;+ 1 2 x 6 f t 3 3
5x7up3
x3 a21
I+].
x4U31
4
2 0122
2x5a23
6
I
~
li
1
6
‘ Z x %4
aus der man berechnet:
Es handelt sich jetzt nur noch darum, die uik zu berechnen. Hierzu fiihren wir zunachst die oben angedeutete
Summierung uber den Index i der Gleichung (22) aus. Wir
nennen :
wobei die zuletzt angeschriebene Summe bei geradem k zu
nehmen ist von 0 bis k / 2 und bei ungeradem k von 0 bis 2 m
= k - 1. Aus der Fig. 4 ergibt sich:
();”=
(:)k
(tik
sink yi ;
(
sin2kyj=(1+cot2yi)-k= 1 +
T-
,
Ein Liisungsverfahren f i r Potentialprobleme
169
Wenn man noch beachtet, da8 es zuliissig ist, in (25) die
Summierungsfolge uber m und i zu vertauschen, und sodann
fur cot yi seinen aus Fig. 4 folgenden Wert h l i c einsetzt,
entsteht :
wobei die obere Summengrenze fur na die fruher angegebene
ist. Es handelt sich also zunachst darum, unendliche Reihen
der Form:
m
zu summieren. Diese Summen lassen sich in der Tat geschlossen berechnen mit Hilfe der bekannten Formell):
i=l
die man nur genugend oft nach 0 und nach d zu differenzieren braucht (vgl. Anhang). Hierdurch kann man also einfach die 8, nach (26) berechnen und erhalt z. €3.:
Es ergibt sich, da8 fur c/b -tO (unendlicher Abstand
der parallelen Ebenen) alle 6 verschwinden. Die Koeffizienten
der Matrix (23) folgen nun aus folgendem Schema:
“01
a2 1
a31
a41
a02
“1
a
a22
a32
U4z
OCO 3
a12
a2 3
a33
a43
4
a24
a34
a44
OC04
1)
a11
T. J. I’A. Bromwich, Infinite Series, S. 257.
M.J. 0.strutt
170
ist gleichbedeutend mit :
+
- 47
3- 85
4
62
'2
4
84
a4
-4
P4 - 4
F2
4
F4-
P4
+ 84
-'5
84
4
@6 - '6
p6
+ 6'
- 87
85
80
-
6'
4
P8 - 4
.
wobei die /3 durch (7a), die 6 durch (26) und (27) gegeben
sind. Mit Hilfe der Formel (24) kann man nun fur kleine z.
(brauchbar bis etwa x = f, d. h. Achsenabstand zweier Nachbarzylinder gleich doppeltem Zylinderdurchmesser) die Ladungsharmonische ausrechnen fur beliebigen Abstand der Parallelebenen. F u r unendlich grogen Abstand dieser Ebenen bleiben,
nach dem, was oben iiber die Sk gesagt wurde, nur die geraden Ladnngsharmonische ubrig, wie in diesem Fall aus der
Symmetrie hervorgeht.
Nach AbschluB dieser Note wurde gefunden, da6 man
die behandelten Probleme durch eine kleine Anderung des
oben angegebenen Verfahrens mit Hilfe der Integralgleichung
erster Art ezalit lasen kann. Die diesbezaglichen Rechnungen
werde ich an anderer Stelle mitteilen.
Anhang
Die Ableitung der Formel (3) lautet kurz folgenderma6en:
Es ist
d a = q 2 + a2- 2 a q cos (q,-a)
= q2 ( 1 f
(+)'-
2a/g
COS
(qi
-
4
.
Indem man links und rechts logarithmiert und den Logarithmus rechts expandiert, entsteht:
m
Aus der Fig. 1 ergibt sich aber:
n
yi= 7
,p - -((m
2m
+ 24.
Wir werden alle Glieder, die sin iiy enthalten, weglassen
diirfen, da diese spater bei der Integration herausfallen.
Ein Aiisungsverfahren f iir .PotentialprobZeme
171
Dann ist:
m
Ind = l n y
+ 2i)
- E T ( + ) l i { c o s k a c o s G kn
(m
k= 1
- sin h cc sin
(rn
+ 2 fj} + Sinusglieder
in
T/J.
Nun gilt (Fig. 1):
q cos a = Ri- a cos yi,
q sin a = a sin cpi.
Somit :
1
1
Y
4
+ j a sin cpj-
(cos a + j h a ) - = ?(Xi
(
a cos yi)
=1
R~- a e -jvi) ; ( j = f r i )
q2
u.nd
qz = Biz+ a2- 2 R i a cos rpi =Biz 1 +
{
(y-;
p+pi)),
Ri
woraus mit Hilfe des Moivreschen Satzes folgt:
coeka + j s i n b a = Pk
' ( 1 - - eRi
Rik
j q . -7;
a
Durch Expaneion nach dem Binonium entstehen die
Formeln :
m
Aus Fig. 1 folgt:
n
rpi = - ( m + 2 4
2m
-y.
Man erhhlt also schlie6lich:
m
+
n=l
(a k - I)! ( c o s g ( m
(k - l)! n!
+ 2 4 cosT&(m
nn
+ 2i)
172
M. J. 0.Strutt
Setzt man noch fiir Inp seine Entwicklung:
ein, so entsteht die Pormel (3) und liest man aus der
Fig. 1 ab:
Ri = 2 R sin ni
-,
rn
so erhalt man auch noch die Ausdriicke (7) fur ak. Die
Qleichung (10) kann folgendermaBen abgeleitet werden (Fig. 2).
Aus der Symmetrie der Anordnung geht hervor, daB die
Ladung auf allen Leitern nur Kosinusharmonische enthalten
kann. Dementsprechend werden wir auch im Ausdruck fur
l n d nur Kosinusglieder in den Winkeln anschreiben und die
Sinusglieder, da sie belanglos eind, fortlassen.
Es ist:
yi= yJ - m;
yi=
2ni
__
m
- ‘ps
n i l
worms die Gleichung (10) folgt.
Die Qleichung 16 erhalt man etwa auf folgendem Wege
(Fig. 3).
Ein Losungsverfahren f i b Potentialprobleme
Es ist:
d'
s
pa
173
+ 6' - 2 q b cos (y;- a),
also:
M
Weiterhin gilt:
+
p cos u 5: R
a cos y ,
q sin u = a sin rp,
also:
4 (cos at
+j
sin a>= R (I
+ ~ e " )-
Nach Moivre entsteht:
q k ( c o s ~+! j sinu)k==qk(cos ka + j sin ku) = Rk
woraus durch Expansion nach dem Binomialsatz folgt :
n=l
also :
m
k
n r l
oder bei Beschrankung auf Glieder mit .cos n rp die Gleichung (16)
im Text.
Die Ableitung der Gleichung (21) verrauft in AnschluE an
Fig. 4 folgenderma6en :
Es ist:
yi= 72 - y i - y >
q<= v + Y i .
Hierdurch erhalt die in yi und cpi ausgedriickte Formel:
m
l n d = lnBi - ~ z ( z )l ' c ao s
ca
nrpi - - ~ - f -k ( ~Ri) ' c o s A ( yi u),
k=l
n=l
im vorliegenden Fall die Form der Qleichung (21), wobei nur
Kosinusglieder in y und q angeschrieben wurden, weil die
Sinusglieder doch bei der Integration fortfallen (die Ladung
hat nur Kosinusharmonische).
Die im Text erwiihnte Summierung der Reihen
verlauft in der nachfolgenden Weise. Es ist nach Bromwich:
Nun ist aber:
m
2& = P(0,d ) ;
i=l
m
m
usw.
Hierdurch entstehen die Formeln:
i=l
Ein Losungsverfahren f iir Poterrtialprobleme
175
m
woraus die drei im Text genannten 6-Werte hervorgehen.
In ahnlicher Weise erhalt man die weiteren Ausdriicke.
Eindhoven, Juli 1928. Natuurk. Lab. der N. V. Philips
Qloeilampenfabrieken.
Anmerkzclzg bei der R E V ~ S ~ O H
E. P i c a r d (Rend. Circ. math. Palermo Bd. 29, S.93, 1910; Comptea
rendue Bd. 148, S. 1563, S. 1707, 1909) hat zuerst auf die MBglichkeit
hingewiesen, die D i r i c h l e tsche Aufgabe mittels einer Integralgleichung
erster Art zu h e n .
(Eingegangen am 7. August 1928.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
698 Кб
Теги
lsungsverfahren, ein, potentialprobleme
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа