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Ein neuer Ansatz fr die Behandlung gasdynamischer Probleme bei starken Abweichungen vom Thermodynamischen Gleichgewicht.

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Ein neuer Ansatz
fur die Behandlung gasdynamischer Problerne
bei starken Abweichungen
vom Thermodynamischen Gleichgewichtl)
Von F r i t z W e i t z s c h
Mit 6 Abbildungen
Inhaltsubersicht
Es wird ein neuer Ansatz zur Gewinnung von Naherungslosungen der
B o l t z m a n n -Gleichung vorgeschlagen, der gegenuber den bisherigen Ansatzen
eine Reihe von Vorteilen bietet. Die im Ansatz verwendete Geschwindigkeitsverteilung ermoglicht in der Hauptsache eine bessere Anpassung an das jeweils vorliegende gasdynamische Problem, bzw. an die jeweils zu erwartenden
Abweichungen der Geschwindigkeitsverteilung von der Gleichgewichtsverteilung.
Die Brauchbarkeit des Ansatzes wird am Beispiel des stationaren VerdichtungsstoDes gepriift. Bei annehmbarem Aufwand werden modelltheoretisch beliebig starke StoDe untersucht. Die Losungen konnen als nachsthohere Naherung einer von M o t t - S m i t h angegebenen Behandlung betrachtet
werden.
A. Einleitung
Bei der Behandlung gasdynamischer Probleme mit Hilfe der B o 1t z m a n n schen Fundamentalgleichung2-s) e r g e b a sich Schwierigkeiten, wenn starke
Abweichungen der Geschwindigkeitsverteilung der Gase von der M a x well Boltzmannschen Gleichgewichtsverteilung zu erwarten sind. In diesen
1) Vorgetragen auf der Tagung des Verbandes Deutscher Physikalischer Gesellschaften 1959 in Berlin.
z, J. H. J e a n s , Dynamische Theorie der Gase. F. Vieweg Sohn, Braunschweig
1926.
3, A. Eucken u. K. L. Wolfs Hand- und Jahrbuoh der Chem. Physik, Bd. 111,
Abschn. IV, Freie Weglange und Transporterscheinungen i n Gasen von K. Herzfeld,
Leipzig 1939.
4 ) K . Oswatitsch, Gasdynamik. Springer, Berlin 1952.
5 ) A. Sommerfeld, Vorlesungen iiber Theoretische Physik, Bd. V, Thermodynamik
und Statistik. Dieterichsche Ver1.-Buchhandlg., Wiesbaden 1952.
E, S. Chapman u. T. E. Cowling, The Mathematical Theory of Non-uniform
Gases. A t The University Press, Cambridge, Repr. 1953.
7 ) H. G. Reik, Reibungstensor, Diffusions- und Warmestrom in stark inhomogenen
Gasen mit Max wellscher Wechselwirkung. Habilitationsschrift , Aachen 1957.
8 ) Handbuch der Physik. Bd. XII, Thermodynamik der Gase. Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg 1958.
27*
Annalen der Physik. Y. Folge. Band 7 . 1961
404
Fallen wurde bisher versucht, auf der Basis formaler Reihenansatze fur die
Geschwindigkeitsverteilung Naherungslosungen der B o l t z m a n n -Gleichung
zu gewinnen. Diese Ansatze sind Entwicklungen einer M a x well -Verteilung
nach den Komponenten der Teilchengeschwindigkeit, die der Form nach
Hermiteschen Polynomen in drei Veranderlichen ahnlich sind, z. B.
die Entwicklung von Burnett9)lO). Die Handhabung des B u r n e t t s c h e n
Ansatzes in Verbindung mit der B o 1t z m a n n - Gleichung und im Zusammenhang mit praktjschen Naherungsverfahren fur die Losung der Diff.-Gleichung
ist sehr aufwendig. Man ist dann gezwungen, sich auf wenige Naherungsschritte zu besehranken und man kann nur Gasbewegungen mit relativ kleinen
Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht behandeln. I n den
ersten Entwicklungsgliedern ist der B u r n e ttsche Ansatz zu wenig flexibel,
wenn starkere Abweichungen vorliegen. Es konnen im ubrigen auch negative,
unphysikalische Anteile der Verteilung vorkommen, wenn die Reihenentwicklung
vorzeitig abgebrochen wird.
Der stationare VerdiohtungsstoS
Die Problematik des B u r n e t tschen Ansatzes bei starkeren Abweichungen
vom thermodynamischen Gleichgewicht wurde deutlich am Schulbeispiel des
stationaren VerdichtungsstoRes 11)12), bei der Berechnung der StoRfrontstruktur
und bei der Ermittlung der sich in dieser Front einstellenden Geschwindigkeitsverteilung. Die ersten StoRfrontbehandlungen gehen auf L o r d R a y l e i g h
und T a y l o r (1910) zuruck. Sehr vie1 weiter gehende Untersuchungen sind
von Becker13) angestellt worden. Die aus den Navier-Stokes-Gleichungen
bei Verwendung konstanter Reibungs- und Warmeleitungskoeffizienten gewonnenen Ergebnisse wurden spater von T homasl4) verbessert. Diese Ergebnisse - unter Zugrundeleguag des B u r n e ttschen Ansatzes - bezeichnet
man mit Losungen zweiter Naherung. Losungen dritter Naherung sind 1951
von B ~ l l e r untersucht
~~)
worden. Fehlerabschatzungen zeigen dabei, daR die
Naherungen schon bei Stofistarken von etwa M
2,3 nicht mehr ausreichend
sind. Es wird auch erkennbar, daR ein nachster Naherungsschritt zu einem
kaum noch tragbaren Rechenaufwand fuhrt.
Ebenfalls i m Jahre 1951 wurde von M o t t - S m i t h l f i ) ein neuer Weg eingeschlagen dadurch, daR schon bei der Wahl des Ansatzes fur die Geschwindigkeitsverteilung apriori charakteristische Ziige des vorliegenden gasdynamischen
-
D: B u r n e t t , The Distribution of Velocities i n a slightly non-uniform Gas. Proc.
Math. Soc. London 39, 385-430 (1935).
l o ) D. B u r n e t t , The Distribution of Molecular Velocities and the Mean Motion in a
non-uniform Gas. Proc. Math. Scc. London (Sec. Series) 40, 382-435 (1936).
G. G. S t o k e s . On a Difficultv in the Theorv of Sound. Philis. Mae. 33. 349-356
(1848); Collected Papers, Band 1.
E. F. G r e e n e u. J. P. T o e n n i e s . Chemische Reaktionen in StoBwellen. Dr.
Dietrich Steinkopf, Darmstadt 1959 (Reihe: Fortschritte der physikalischen Chemie,
Bd. 3).
13) R. B e c k e r , StoIjwelle und Detonation. Z. Physik 8, 321-362
(1923).
la) L . H . T h o m a s , Note on Becker's Theory of the Shock Front. The Journ. of
Chem. Phys. 12, 449-453 (1944).
15) K. Z o l l e r , Zur Struktur des VerdichtungsstoOes. Z. Physik 130, 1-38 (1951).
16) H. M. M o t t - S m i t h , The Solution of the Boltzmann Equation for a Shock Wave.
Physic. Rev. 82, 885-892 (1951).
9,
<I
I
F . W’eitzsch: Behndlung gasdynamischer Probleme bei Abweichungen vom Gleichgezuicht 405
Problems beriicksichtigt werden. M o t t - S m i t h geht von der Vorstellung aus,
dafi die Geschwindigkeitsverteilungen der stationaren Punkte auf der Vorderseite und auf der Ruckseite der StoBfront in die Stofifront hineinreichen und
im StoSfrontbereich mjt verschieden grofier Teilchenzahl nebeneinander bestehen. Man kann vermuten, daB das erstere wenigstens etwa uber eine freie
Weglange von beiden Seiten aus der Fall ist. Als Ansatz fur die Geschwindigkeitsverteilung wird daher die Summe zweier M a x w e l l -Verteilungen gewahlt
- mit jeweils konstanten Werten der Stromungsgeschwindigkeit und der
Temperatur, d. h. mit den Werten, die das Gas vor und hinter der StoBfront besitzt. Variabel sind nur die beiden Teilchendichten. Die Losungen
lassen jedoch keine befriedigenden Fehlerabschatzungen zu. Der Ansatz ist
iiberdies auf das spezielle Problem des VerdichtungsstoBes zugeschnitten und
ist daher nicht an die Stelle allgemeiner Entwicklungen (z. B. B u r n e t t s c h e r
Ansatz) zu setzen.
B. Formulierung eines neuen Ansatzes fur die Gewinnung von Naherungslosungen der Boltzmann-Gleichung
Ein Ansatz, der gegenuber den Reihenansatzen wesentliche Vorteile bietet,
ist wie folgt aufgebaut. Wir denken uns zunachst eine beliebig kleine Gruppe
von Teilchen des Gases, die eine M a x w e l l - B o l t z m a n n s c h e Gleichgewichtsverteilung
hat. Diese Gruppe hat also eine lokale mittlere Stromungsgeschwindigkeit b
und eine mittlere Temperatur T. Wir summieren weiter iiber unendlich viele
solcher Gruppen mit verschiedenen Werten b und T rnit Hilfe einer ortlich
und zeitlich variablen Gewichtsfunktion g(b, T, t, t). Dabei ist zu beachten,
daB t~ und T fur die Gesamtheit ihre Bedeutung als physikalische StrGmungsgeschwindigkeit und Temperatur verlieren und daher lediglich Integrationsvariable darstellen. Damit entsteht der neue Ansatz fur die Verteilungsfunktion
F = / g ( b , T , t, t ) fo(c, b, T ) db dT
(1)
mit
T > 0; ~ = / = i Tj ;
+Z
Aus Normierungsgrunden verlangen wir
JFdc = 1
bzw., da g nicht von c abhangt
J g ( b , T,T, t ) do dT = 1.
Weiter ist die mittlere Stromungsgeschwindigkeit
5 = J CFdc
=
J cgfodD dT dc
und nach Integration iiber c
D =JbgdbdT.
(31
406
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 7 . 1961
SchlieBlich ist
Mit Verwendung von GI. (3) erhalt man
-
T
=J[ T +
(0
- b)2] g do dT.
(4)
Einige Eigenschaften des Ansatzes sind die folgenden :
a ) Es kann jede beliebige Verteilungsfunktion durch ihn dargestellt
werden. Die Gewichtsfunktion gestattet in einer Vielzahl von M6glichkeiten
eine rasche Anpassung der Verteilungsfunktion an eine gegebene Aufgabe.
b) Beim Obergang von g zu einer einzelnen Diracschen &Funktion an den
Stellen
b-tij;
T-tT
mit dem Inhalt 1erhalt man die M a x w e l l - B o l t z m a n n s c h e Gleichgewichtsverteilung.
c) Falls g im Raum
- c o < < < + c o ;O < T < C O
uberall positiv ist, ist auch P uberall positiv. Dies ist eine hinreichende, aber
nicht notwendige Bedingung. P kann auch dann noch uberall positiv sein,
wenn es Teilgebiete von u und T gibt, in denen g < 0 ist. I m letzteren Falle
mu13 die Prufung, ob F iiberall positiv ist, nach Losung der Bewegungsaufgabe
erfolgen.
d ) Durch eine Summe aus n &Funktionen fur g erhalt man eine Verteilung
aus n verschieden stark vertretenen gewohnlichen Gleichgewichtsverteilungen
mit voneinander verschiedenen Parametern b,, T,. I m Fall n = 2 und wenn
die bt, Ti konstante GroBen sind, liegt der Ansatz von M o t t - S m i t h vor.
C. Herleitung der gaskinetischen Differentialgleichungen
Der vorliegende Ansatz ermoglicht keine direkte Integration der B o l t z m a n n -Gleichung. Da es jedoch bei den meisten physikaliischen Problemen
nur auf die Berechnung der makrophysikalischen GroBen ankommt, geniigt
die sukzessive Berechnung der Momente der Verteilungsfunktion
worin Q ein Polynom in den Geschwindigkeitskomponenten 5%q ,5' vom Grade
n ist. Diese Momente geniigen den aus der Maxwellschen Transportgleichung gewonnenen Differentialgleichungen, die im Falle eindimensionaler
ebener Stromungsvorgange ohne auI3eres Kraftfeld, auf die wir uns hier
beschranken wollen, lauten
a
-&
mit den StoBintegralen
(4)
+ a bJtai = 1st
F . Weitzsch: Behandlung gasd ynamiseher Probleme bei Abweichungen *om Gleichgewicht 407
Bei einer BeschrLnkung auf e n d l i c h viele Momente ist das Verfahren
zur Berechnung der Verteilungsfunktion F, bqw. der Gewichtsfunktion g,
nicht eindeutig. Es gibt eine Mannigfaltigkeit von Gewichtsfunktionen, die
in begrenzter Naherung zu gleichen
Losungen
" fiihren. 1st die Zahl der noch
mit tragbarem Aufwand zu berechnenden Momente vorgegeben, z. B. die 6
nicht verschwindenden Momente, die
sich fur eindimensionale Gasstromungen
bei der Verwendung von (5) b'is zum
dritten Grade ergeben, dann konnen
ebensoviele Parameter der Gewichtsfunktion eingefuhrt werden. Dabei ist
wegen der Vieldeutigkeit der Integral- Abb. 1. Beispiel fur eine 6-parametrige
glejchungen die Gestalt der Gewichts- Gewichtsfunktion. Die Inhalte a,, a2
der Dirac-when S-Funktionen und
funktion nicht sehr kritisch. Abb. 1 deren Koordinaten v,, v2, T,,T,sind
zeigt ein Beispiel. Die Gewichtfunktion
Funktionen des Ortes und der Zeit.
besteht aus zwei Diracschen &Funktionen, deren Inhalte und Koordinaten in der b-T-Ebene die 6 Parameter
darstellen und Funktionen des Ortes und der Zeit sind.
Ein mit Verwendung der Verteilung (1)angelegtes Verfahren bjetet einige
wesentliche Vorteile. Die StoBintegrale konnen allgemein berechnet werden,
ohne daB die Gewichtsfunktion schon bestimrnt werden muBte. Als Beispiel
geben wir die zu einer 6-parametrigen Gewichtsfunktion geborigen Gleichungen
an. Das Gleichungssystem sollte Losungen ergeben, die ublicherweise mit
,,Losungen dritter Naherung" bezeichnet werden. Die angegebenen StoBintegrale gelten fur das StoBmodell mit ,,Maxwell-Molekulen". Der Rechnungsgang ist im Anhang 1. angedeutet.
Es gilt fur
408
Annalen der Phyaik. 7 . Folge. Band 7. 1961
~ ( 2 v ~ w ~ g d e ) + ~ ( 2 v ~ w Z ~ g k dT ~2 g+d e2 ) v= H~ 4( ~(13)
)
at
mit den ausgewerteten StoBintegralen
H 1 -- - H
-- ~ ~ s / ( v ~ - ~ ~ ) g d ~
2 -
H3 = - v z s s 3
(g+);
(w - V) g dp
1/2mG
Hierin ist gesetzt dv dT = de und 1,37
= J , 1/2 rn G = s [vgl. Gl. (37)
im Anhang]. G ist die Kraftkonstante der Maxwell-Molekule.
In den Gln. (8) bis (13) konnen die ersten drei der sechs Parameter der
Gewichtsfunktion mit Hilfe der Integrale ( 2 ) , (3) und (4)durch die physikalischen GroBen v , V und ersetzt werden
Fuhrt man fur die ubrigen in den Gln. (8) bis (13) vorkommenden Integrale
noch einige Ersetzungen ein
?JJ( V Z v/
Pl
(17)
wZ(v - V) g dp = - 4 V !PI- 5 Yz+ 5 P3
8 )g d e
v l mc (v - V ) g de
=-2
= - YJ3
dann lassen sich die Gleichungen (8) bis (13) in eine bekannte Gestalt bringen.
Die !Pi
verschwinden alle bei Vorhandensein einer M a x w e l l - B o l t z m a n n schen Gleichgewichtsverteilung und mussen in den Bewegungsgleichungen auch
als Ausdrucke fur die Beschreibung der Transportphanomene zu deuten sein.
Aus den Gln. (8) bis (13) erhalt man exakt
av
av
av
-at+ G - +ax
v - = O ax
F . Weitzsch: Behandlung gasdynamischer Probleme bei Abweichungen vom Gleichgewicht 409
Y, und Y2sind proportional den Burnett-Termen B20 und B,, (vgl. 9), lo)
und 16). Verfahrt man mit den ubrigen drei Diff.-Gln. so, wie bei dem iterativen Losungsverfahren mit dem B u r n e t t s c h e n Ansatz, in dem man annimmt, daB Y, und y, sich wie die Burnett-Koeffizienten B,,und Bll in
Reihen von wachsender Ordnung in den Ableitungen nach V und T schreiben
lassen, dann erhalt man
mit
Man erhalt mit den angeschriebenen ersten Gliedern von Ylund Y, die
N a v i e r - Stokes-Gleichungen. Die Koeffizienten p und 3, sind die gleichen,
wie man sje bei Verwendung des Burnettschen Ansatzes (fur M a x w e l l Molekule) gewinnt. Dies bedeutet hier, daB sich bei dem Grade der vorliegenden Naherung die Navier-Stokes-Gleichungen herleiten lassen, ohne die
Gewichtsfunktion g bestimmen zu mussen. Daraus folgt ferner, daS b e l i e b i g e
sechs-parametrige Verteilungen zu gleichen makrophysikalischen Losungen
fuhren, sofern - vorn Grade der Naherung festgelegt - die Abweichungen
der Verteilung vom Gleichgewichtstyp hinreichend klein sind.
Andererseits erkennt man, daS fur starkere Abweichungen die Glieder
hoherer Ordnung von Ylund Y2sicher nicht unberucksichtigt bleiben durfen,
d. h., die Integrale hoheren Grades in (17) miissen in der Rechnung mitgefuhrt werden. Fur das praktische Rechnen ist es bequemer, nicht von den
Diff.-Gln. (18) bis (21) auszugehen, sondern unmittelbar von dem Gleichungssystem (8) bis (13). Wahrend es beim Burnettschen Ansatz naheliegt, ein
durch die Reihenentwicklung bedingtes iteratives Losungsverfahren zu verwenden, liegt hier kein AnlaB vor, die Differentialgleichungen in ein iteratives
System naherungsweise zu verwandeln.
D. Anwendung des neuen Ansatzes am Beispiel des stationiiren VerdichtungsstoBes
Normierungen
Fur die Kennzeichnung der Starke eines VerdichtungsstoSes werden i m
allgemeinen die Mach zahl, das Druckverhaltnis oder das Dichteverhaltnis
verwendet. Besonders angenehm erweist sich im Zusammenhang mit zweckmaSigen Normierungen ein Faktor
worin M die Machzahl (fur y = c,ir,o = 5/3), ;X, das Druckverhaltnis und $
das Dichteverhaltnis bedeutet.
Der Wertebereich von q ist 0 < q < 3/5; fur 1 < M < 00.
410
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 7 . 1961
Fur die Stromungsgeschwindigkeit u und fur die Temperatur T fuhren wir
dimensionslose Koordinaten u und 6 ein
(Go,,
= GroRen vor der StoRfront)
An den stat,ionaren Punkten vor und hinter der StoBfront gilt dann
-
-
u=u=F1;
6=6=11.
Fur die Ortskoordinate x fuhren wir ein
-
z
&, = freie Weglange v o r
x =-;
der StoOfront.
J.0
(24)
Losung yon Mott-Smith
Wir gehen zunachst von dem Modell von M o t t - Smith16) aus, dessen Ansatz
im Bilde der Gewichtsfunktion die Gestalt hat
+
+ +
g ( u , 6,Z) = ao(Z) 6(u
1)d ( 6 1) ~ ~ (6(u
2) 1)d ( 6 - 1). ( 2 5 )
(Mit dein Index 0 ist der Zustand vor der StoBfront, mit dem Index 1 der
Zustand hinter der StODfront bezeichnet.) Es gibt zwei freie Parameter a, und
ul. Die Randbedingungen sind
al(-OO) = 0
ao(-m) = 1
t26)
ao(+m) = 0
a l ( + m ) = 1.
Mit Hilfe der Momente bis zum 2. Grade erhalt man die Losung von M o t t Smith
dB
u = tanh (xz).
-- x ( 1 - u2);
(27)
~~
Die a m der Wendetangente folgende StoBfrontbreite 1 ist
1 = 2L0/x
128)
31 hangt nur von der StoBstarke ab. Es gilt fur Maxwell-Molekule als Funktion
von q
oder als Funktion des Dichteverhaltnisses
=Y ~ / Y ~
Fur das Modell starr-elastischer Rugeln folgt (in einer Reihe geschrieben)
m
It =
=
“0
Rn
15
1) ( 2 n 1)( 2 n
1 R2 + -- 1 @ - .
126
1386
z’ (-l) n + l - n ! ( 2 n -
77, = 0
xoJ1+- 1 R -
1
7
+
~
..
+ 3) ( a n + 5 )
(30)
F . Weitzsch: Behandlung gasd ynamischer Probleme bei Abweichungen uom Oleichgewicht 411
mit
5(Y”- 1)2
2 [6 Y”- (Y” - l)’]
R = - -P2- - - 3
-- @
5
0
< R < ‘312.
Die reziproken StoBfrontbreiten (auf die freie Weglange 1, bezogen) sind in
Abb. 2 als Funktion des Dichteverhaltnisses Y dargestellt. Weiterhin sind die
mit Hilfe des B u r n e t t s c h e n
Ansatzes fur Maxwell-Mole- lo
kule sich ergebenden Losungen 7
zweiter Naherung ( B e c k e r 0.5
T h o m a s ) und die drei von
Z o l l e r berechneten Werte
0,k
dritter Naherung eingetragen.
Der letzte Wert von Z o l l e r
0.3
bei einem Druckverhaltnis
1.” = 6,5 bzw. Y = 2,571 ist,
wie wir bereits eingangs bemerkten, nicht mehr zuverlassig.
I
Liisung dritter Naherung
wir nehmen nun im nach-
Abb. 2. Reziproke, auf die freje Weglange des ungestorten Gases bezogene StoBfrontbreite als Funktion des Dichteverhaltnisses (fur c,/c, = 5/3). Es
sind die Losungen zweiter Naherung von B e c k e r T h o m a s und dritter Naherung von Zolle r (Maxwell-Molekule) sowie die Losungen yon M o t t S m i t h fur Maxwell-Molekiile und fur starrelastische Kugeln eingetragen.
sten Ngherungsschritt eine
Erweiterung des Ansatzes
M o t t - S m i t h vary indem wir
zu einer 6-parametrigen Gewichtsfunktion ubergehen. E s
bietet sich an, in der Gewichtsfunktion (25) aul3er ao(Z) und a,($) auch noch die Lagekoordinaten der 6Funktionen in der v--T-Ebene bzw. u - 6-Ebene als Parameter einzufuhren
g(u, 6, 2 ) = a o ( S )d(u - uo(5)) d ( 6 -60(5))
+a1(.)
(uo+%;
(31)
S ( u - - 1 ( ~ ) ) 6(6--6,(;))
6,$&;
u14U1;
6,+.9.1).
Die Randbedingungen sind
ao(-m) = 1; u o ( al(-m)
=
-
00)
= uo = -
-
1; 60(-m) = 6 0 = - l
0
(32)
ao(+m) = 0
n,(+m)
=
1; u l ( + m ) =
u1 = + 1; S,(+Oo)
=a1==
-f- 1
(vgl. Abb. I). Mit Hilfe der 6 freien Parameter lassen sich die Momente bis
zum dritten Grade, d. h. die Gln. (8) bis (13) erfullen.
Wir verzichten auf die Wiedergabe der Rechnung, in der keine prinzipiellen
Schwierigkeiten auftreten. Mit Hilfe der unmittelbar zu integrierenden Glei-
412
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 7. 1961
chungen wird man auf ein System von drei gewohnlichen, nichtlinearen Differentialgleichungen gefuhrt.
T
Da nicht nur die makrophysikalischen Groljen Y, V und berechnet werden
konnen, sondern auch die Geschwindigkeitsverteilung selbst (im Rahmen der
zugrunde liegenden Naherung), kann man durch Vegleich der Verteilungen
verschiedener Losungen die Gute der Losungen beurt,eilen.
Abb. 3. [-Komponente der Verteilungsfunktion verschiedener Losungen fur die Stonfrontmitte bei einem starken StoS. Die mit dem neuen Modell gewonnene Losung (Modell
mit Gew.-Fkt.) ergibt die glatteste Verteilung.
Bei dem Ansatz von M o t t - S m i t h sind die Orte der beiden S-Funktionen
in der v-T-Ebene bzw. u-G-Ebene per definitionem an den stationaren
Punkten unveranderlich. In unserer dritten Naherung mit variablen Koordinaten ergibt sich, daB sich
die &Funktionen bemerkenslo
wert wenig von den statioT
0.4
naren Punkten entfernen, so
dalj der bimodale Charakter
der Verteilung erhalten bleibt.
43
Aber auch schon bei Verwen0.2
I
dung des B u r n e t t s c h e n Ansatzes ist diese bimodale
Eigenschaft sehr deutlich er0.7
kennbar. In Abb. 3 haben wir
die 6-Komponente der Ver'7
z5
2.0
2,5
3.0
3.5 J 4 0
teilungsfunktion(Fg) verschieAbb. 4. Reziproke, auf die freie Wegliinge des undener Losungen fur die M i t t e
gestorten Gases bezogene StoUfrontbreite wie Abb. 2.
der Stoljfront konstruiert. Es
Die fur drei starke Sto8e init dein neuen Modell
ist
zu erkennen, da13 die mit
berechneten Werte liegen auf einem als Fortsetzung
unserem Ansatz erhaltene Verder Kurve durch die Zollerschen Werte dritter
Xiherung sich zu denkenden Kurvenstuckes.
teilungsfunktion (Modell mit
Gcw.-Fkt.) die glatteste Verteilung liefert, obwohl sie aus zwei Verteilungsfunktionen zusammengesetzt
ist, deren Maxima nur wenig von den stationaren Punkten entfernt sind. Die
eingangs erorterte Vorstellung von M o t t - S m i t h erhalt damit eine offensichtliche Rechtfertigung.
F . Weitzsch: Behandlung gasdynamischer Probleme bei Abweichungen vom Cleichgewicht 413
Der Verlauf der mittleren Stromungsgeschwindigkeit als Funktion des Ortes
ist bei den einzelnen Losungen nur wenig voneinander verschieden. Die reziproken StoBfrontbreiten sind in Abb. 4 aufgetragen (vgl. auch Abb. 2). Wir
haben - da sich verhaltnismiiBig leicht zeigen laBt, daB bei schwachen StoBen
nur kleine Abweichungen von der Losung (27) vorliegen - drei Falle starkerer
StoBe berechnet, und zwar f u r die StoBstarken.
Y=
v=
ij =
M=
0,691
3,67
41,OO
b,74
0,600
3,OO
11,oo
3,OO
0,600
4,OO
00
00
(Der letzte Wert ist nur theoretisch von Bedeutung.) Die drei von uns berechneten Werte liegen in der Nahe eines als Fortsetzung der Kurve durch die
Zollerschen Werte sich zu denkenden Kurvenstiickes.
M =
Q =
Abb. 5 . t-Komponente der mit Hilfe des neuen Modells berechneten Verteilungsfunktion
an verschiedenen Stellen der StoRfront. Die Verteilungsfunktion vor der StoBfront
(a = - 1) geht beim Durchtritt des Gases durch die StoRfront (C = 0 entspricht der Mitte
der StolJfront) iiber in dieVerteilungsfunlrtionauf der Ruckseite der StoBfront (C =
1).
+
Interessant ist noch das Verhalten der Verteilungsfunktion an verschiedenen
Stellen der StoBfront, d. h., die Art, und Weise, in der das Gas beim Durchtritt
des Gases durch die StoBfront seine Geschwindigkeitsverteilung andert (Abb. 5,
vgl. Abb. 3). Vor der StoBfront gilt die Kurve fur ?
=i- 1, auf der Ruckseite
der StoBfront die Kurve fur u =
1.
+
SehluBbemerkungen
Fur die Losung gasdynamischer Probleme bei starken Abweichungen vom
thermodynamischen Gleichgewicht haben wir einen Ansatz fur die Verteilungsfunktion vorgeschlagen, mit Hilfe dessen man schon in den ersten Naherungsschritten eine bessere Anpassung an das jeweils vorliegende physikalische
Problem erreichen kann als bei der Verwendung formaler Reihenansatze.
Am Beispiel des stationaren VerdichtungsstoBes haben wir den neuen Ansatz
erprobt. Die von uns ermittelte StoBfrontbreite eines theoretisch unendlich
starken StoBes betragt drei freie Weglangen des ungestorten Gases vor der
StoBfront oder (mit einem Dichteverhaltnis Y = 4,O) zwolf freie Weglangen des
Gases auf der Ruckseite der StoBfront.
414
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 7 . 1961
Wir denken, daB der sehr allgemeine Ansatz fur die Verteilung unter Verwendung einer Gewichtsfunktion sich auch auf andere Aufgaben der klassischen
kinetischen Gastheorie anvenden 1aBt.
Herrn Prof. Dr. G. B u r k h a r d t , in dessen Institut der vorliegende Beitrag entstand, sei an dieser Stelle fur die vielen Anregungen und fur das freundliche Lehrer-Schuler-Verhaltnis gedankt. Auch Herrn Dr. R. W. L a r e n z
gebuhrt ein besonderer Dank fur zahlreiche anregende Diskussionen.
Anhang
1. Auswertung der StoBintegrale
M a x w e l l - M o l ek u l e
Unter Maxwell-Molekulen versteht man Teilchen, die sich mit einer der
funfteri negativen Potenz der Entfernung proportionalen Kraft abstoBen
2 = ~ ( 0G) m2 r-5.
(33)
Mit Einfuhrung einer GroBe (vgl. 2 ) )
\
2 -
--p
2
2
1 / 2 a
(c, = Relativgeschwindigkeit)
4
Cr
x
ergibt sich fur den StoBwinkel
nach Abb. G ein elliptisches Integral
P
r
I
x=
t
q1-222
---
Abb. 6. Hilfsskizze zur Auswertung der
StoOintegrale.
mit
7
d8
l/-F--
__-
d
(34)
1 - I sin2@
Bei der Auswertung der StoBintegrale kommt bei den Momenten bis zum
dritten Grade der Winkel nur in einem einzigen abspaltbaren Integral vor 17)
x
m
J,
= TC
$
sin2x - a da = 1,37.
0
(35)
Das StoBintegral (7) lautet nach Einfuhrung von a und mit einigen bekannten
Umformungen (vgl. 6), S. 286)
. dcl dC2 dv 01 d a dbl dTl db2 d T r
Fuhrt man eine GroBe
~-
s = J,1/2rnG = 1,371/2mG
(37)
l?) Das Integral wurde schon von Maxwell, A i c h i u n d T a n a k a d a t e , sowie yon
C h a p m a n n berechnet und Ton uns, urn Irrtiimer durch Ersetzungen zu vermeiden,
verifiziert (vgl. auch 2), S. 305 und 15), S. 9).
F . Weitzsch: Behandlung gasdynamischer Probleme bei Abweichungen corn Gleichgewicht 415
sowie ein weiteres abspaltbares Integral
ein, dann lautet das StoBintegral ( 7 )
Is,
= v2
s
9, 92 f01 f02 I' dc, dc2 do, dT1 da2 dT2
Da die Gewichtsfunktion g nicht von c abhangt, sind nur Integrationen iiber
M a x w e l l -Verteilungen durchzufiihren, die keine Schwierigkeiten bereiten.
Z. B. erhalt man fur Q = bei eindimensionaler Gasstromung
1st =
- v2 ST
1
$ gl g2 (w,- w2)'
dv, d T , dv, dT,
f 39)
oder mit Verwendung von G1. (3)
Starrelastische Kugeln
Ini Modell starrelastischer Kugeln kann man mit Verwendung des StoOwinkels x schreiben
n
c , p d p d y = c -sinXdXdy.
(41)
436
Mit dem Wirkungsquerschnitt (T = 4 n ri (r,, = Molekiilradius). Die Rechnung
verlauft in gleicher Weise wie beim Modell mit Maxwell-Molekiilen. Man
erhalt z. B. fur Q = t2
mit
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer laBt sich iibersichtlicher in
einer Reihe schreiben
m
2
n=O
(-
l)n+l-
U"
n! (2 n - 1) (2 n
15
+ 1) ( 2 n + 3) (2 n + 5)
416
Annalen der Fhysik. 7 . Folge. Band 7 . 1961
oder ausgeschrieben
I 1 + - -1
- - C ' 2 + -1- u 3 - . . .
1
7
126
1
1386
Im Falle einer aus zwei Diracschen &Funktionen nach G1. (31) bzw. Abb. 1
bestehenden Verteilungsfunktion ist die Integration der Integrale (40) und
(42) besonders einfach. Es folgt fur Maxwell-Molekule
1st (& = i?) = - v 2 s a, a l ( W , - w1)2
worin jetzt die Indizes 0 und 1 die beiden &Funktionen bezeichnen.
Fur starrelastische Kugeln gilt
. { l + T 1R - - R 21+ - - R 3 -1
126
(43)
I
"I
1386
mit
I n gleicher Weise lassen sich die ubrigen StoBintegrale auswerten.
2. Modellvergleich
Beim Model1 starrelastischer Kugeln enthalten die S t o h t e g r a l e den verhaltnismal3ig leicht bestimmbaren Wirkungsquerschnitt CT,der im Falle des
StoBfrontproblems bei Wormierung der Ortskoordinate auf die freie Weglange uberdies herausfallt. Bei M a x w e l l -Molekiden ist die Definition eines
Wirkungsquerschnittes bei der Ablenkung der Teilchen im Kraftfeld mit der
Konstanten G nach G1. (33) bzw. mit dem Faktor s nach G1. (37) ohne Willkur
schwierig. Man ist auf abschatzende Vergleiche angewiesen.
Ein offenbar brauchbares Verfahren besteht darin, daB die StoBintegrale
miteinander verglichen werden, insbesondere in der Nahe der Gleichgewichtszustande. Dies ist in den Gln. (43) und (44) fur R
1 der Fall, so daB man unmittelbar als Vergleichsformel erhalt
<
To und T I sind beim Ansatz von M o t t - S m i t h die Temperaturen in den
stationaren Punkten, bei anderen Modellen wird man (To T1)/2als Mi$telwert der Temperatur ansehen konnen. Von J e a n s (vgl. 2), S. 358) wird auf
einem anderen - etwas schwierig zu iibersehendem - Wege ein Faktor gefiinden
+
Diesen Wert hat auch Z o l l e r von J e a n s ubernommen (vgl. 15), S. 31).
Fur den Fall T = (To T1)/2 erhalt man mit G1. (45) und (46)
+
(s/a) Jeans
15
(s/a) Vergl.
(47)
F . Weitzsch: Behaidlung gasdynaniischer Probleme bei Abweichungen vom Gleicihgewicht 41 7
und es ist zu sehen, daB beide Ergebnisse fur diesen Fall als praktisch gleich
angesehen werden konnen.
Als Probe haben wir auch noch das StoBintegral fur Q = t3 untersucht,
wobei sich ebenfalls die Verglcichsformel (45) ergibt. Verwendet man die Vergleichsformel (45) in der Losung von M o t t - S m i t h (27), damn ergibt sich fur
die StoBfrontbreiten
[vgl. die geschweifte Klammer in G1. (44)],
worin im Estremfall des unendlich starken StoBes - dort ist R = 312 - der
Wert in der geschweiften Klammer 1,20, die maximale Abweichung der rcziproken StoBfrontbreiten also 20.4 bctragt (vgl. auch Abb. 2). Bei Verwendung
des Momentes Q = t3an Stelle von Q = tz betriigt die maximale Abweichung
nur 8%. In unserer Losung mit variablen Noordinaten der &Funktionen
sind die Abweichungen noch geringer.
H a n n o v e r , Institut fur Theoret,ische Physik dcr Technischen Hochschule.
Bei der Redaktion eingegangen am 1. September 1960.
Ann. Physik. 7. Folgc, Bd. 7
28
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