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Ein Paar Worte ber die bisherige Theorie des Krummzapfens.

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I v.
E i n P a n 7 Ilrorte
tibar d i e b i s h e r i g e T h e o r i e des Xrirmm.
ScipJens,
vom
C 0.rn ni i C f i o n s r a t h B u s s p.
in F r e i h e r g .
Z w e i kleige Scliriften : Tlieorie dcs K K Z L ~ U Z GapJeens, van I{. C 11. L a 11g s t l o r f , Erlangen
rgoz,
und : l'er-ich euier Tlworie des Schzvulrprades uqd der K i b r l s l , ,von H. Ch.. B r o d r e i c b ,
Frankfurt am Main 1805, wertlen, ob fie gleicli
vielleicht noch nirgends recenGrt Gncl I ' dennoch
v o m Public0 beachtet feyn, cta d e r er[te Verfah
feg L a n g s , d a r f heifst untl i l t , d e r antlere aber,
(fiirftlich folmfikher Regierungsrath<,) ebepfdlq
die hi5here Nathematik nicht gelcheut hat, und
dadurch ein gutes Vo.rqrthej1 for fich erregt, welches auch in m a n c h e r HinGcht bei genauer. Durchlefung des Ganaen fich b.eftatigt.
-
A b e r bei Behandlung dzs Iirurnrnzapfens geht
H e r r B r o d r e i c h van d e r Behauptung qus, dafs
r. fin. v d . a
C = C *
R . ~ L T Cg.
-
die Gefchwindi$teit tfer Laft a n
d e r W a n e fey, i n dem Augmblicke, da diefc uin
= .,&. 3e.j: 2: gelioben ift, und die Xiraft a m Rad e einen Bogeii
r\. n t ~a. durchlnufen hat. Die-
I:
139
3
feel offenbar unrichtige Satz fcheint dein H e w n Yerf.
ins Unfchickliche nur dann zu fallen, wenn 4
Itumpf, vnd tlaineutlich, w e m eq =i 180 Grad
wircl i wefshalb er die Schuld der Unkhickliohkeit
in dem vernekulten Ce/inus 2 u entdecken, uncl das
wehe4 duwh fdgende Regel gehohes glaubt.
,, , , W i d d k etnc oder die audeere Qrofse U Q K .
,,m i t i c guJe&;t, JQ muffin aWe ~ b ige
r
sugleich
,,uermeint getrommsn werdetr. W r d dieles O i c h t
, ,,in
Acht genommen, fa ift es keiu Wunder,
,,wenn aUed unter fich fchIecht zufammmen
,hiingt, u. f. w. Forkhell wi,r der Urfache
,, ,,diefer wenisftens fcheiubaren Abweichung der
,, ,,Catcub weiter nach, fa crhellt, dafs fie veil
, 7, cter Zweideutiglteit des Zeichens ( - ) herrahrt ;
21 s,de.nri baM ciruckt clieres Zeichen nur eine entge?
, , % ~ B gefetzte
D
Lnge iler G r d s e aus, bald bezeich,, ,net es die, der durch (+! ausgedruckten,
7, wtgegen gefetzte Bechqungwrt, u. f. w." "
Worte, die dem Horrn Staatsrath v a n Te,
t e n s , wia es der Verfaffer auch angezeigt bata
dfo einem unfrer ehrwiirdigften Rlathematiker, zugeharen, Urn fa rnerkwlirdiger find fie mir als ein
aberrnahliges Beifpiel I in \~;elcliefoonderbare Be,
hauptungen auch die beften Mathematilter zu veyfallen du&h die gewohnliche mangelhafte, auch
bier und dH geradezv falfche, Gch felbft widerfpree
chende Theorie des Bejaheten und Verneinteq veranlafst werdea! DaGiJolch eixz Mathomutiker Jolch
c
1-40
1
eine NothliiilJe etgreift ,* ) ift -ein neuer Beweis,
dsfs ich in meinen i l e u m Erorterungpn ubcr Plus
und Minus u. f. w. nicht za h x t . geurtheilt
babe !
sol1 die mittlere Gc fch wi nrligkei t in Rech nung
k o m i n e n , h h r t i n 0. 14 tier VerfaCCcr fort, To mufs
ihr. Werth durch die Integralrechnung sefunden
w e r d e n , niirnlich tler Coefficient von C
als =
Summe aller kl'erthe v o n Gn. v e r r . L
z z ; h l all& Werrhe von fin. verl'. u
:
arc. a
: src. 3'
Was nun du,rch'diefe Integrirung von dern Verfafler gefunden wircl, w i e loll m a n das n e n n e n ?
Einige
. .
neuere Naturphi1,ofophen d.iirften Rat11 dazu
wiffen. Sie wiirden es etwa eine neue Poteriz d e r
mittlern Gefchwinctigl<eit,
.
.
otler einen neuen Pol
derfelben heifsen. Eben fo treffend w i r e auch poInrijirte. PocerL; , ocl e r pocen:iiFter Polarjern. Es
ift gewifs fehq gleichgilltig, welchen von folchen
Ausdri1,cken ma-n.wahlen will : denn alle CoIche Ausdruclie Gnd bereits i n Clem Belitze einer 5ulserlt vie1
b,mfaflenden Bedeutung, namentlich, auch in d e m
Befitze der Kraft, urn lo etwas zu, farfen, als es h i e i
f u faffen giebt, ein Etwas, <Ids fich MbCt widerfpricht: Mein Scherz foll unct kann deu HerrnVerf.
bicht treffen. d e r , bei nianchen fchiitzbaren Talen,
_
I
") Wenn die Scha,i_erigkeitder Aufgabe i n K r a f t ' s
Dlechanik, welche d i d e Ndthhu!le reranlacst hat,
wirklich v o m
herruiirt, To verrpreche ich, lie
pfjndlich'zu heben, To bald ich ihr
ernRlich anfe!le,
welches nichftens gercbehen foll.
P.
ten, .welche aus feiner Schrift d e m X e n n e r e i n a
ieichten Ideenganges einleuchten werden, doch keinen Hang zu folcher neuen Naturphilofophie geauEsert hat. l m Ernfte alfo :
D a s obige c i/t felbfc fchon die mitclere Gefchwindigkeit der LNJt U N der 8Varse. Alles, was
fiber die feyn Eollende Unrichtigkeit i n der bisher
gewiihnlichen BeCtimmung clerfelben hier geaufsert,
uncI ganz belonders auch dasjcnige, was Seite 79
mitgetheilt ilt, wird Clem Verfafrer M h f r durchaus
mifsfdlen 11Mfen, wenn er (lurch fortgefetztes Studium der liohern Mattieniatik die rlahin gehijrigen
Begriffe fcllirfer und riclrtiser gefafqt hat, urid nicht
rnehr in GetJhr ift, von einern L'ffprentinl
,fes
fzdz
rzdz
SchrvcrpanAtt.s zu reden, otler 7und fd;
i n irgend einer HinGcht filr einerlei zv halten, ulrcl
dergl. rne!ir:
Darin aber, dieles darf man VOII dern
Verfdfer erwdrten, wird es ihni auch lieb f e y ,
dafs ich alle weitere Folgerungen feines jetzigen
Verfuches auf jenen ihren Grdnden beruhen la&.
Auch irt es ein Eeweis, dafs man Clem Schriftfteller
eine geharige Confequenz i m Denken zugeftehen
will, wenn man von feiner Th eo rie zu fprechen
aufhort , fo bald man ihren Hauptfatz urngeltofsen hat.
Aus des Herrn Hofraths L a n g s d o r f Theoria werden hier mehrere Satze als unrichtig getar
delt, die es nicht find ; zugleich ' werden freilich
auch oiniga unrichtiye Behauptungen jenes beriihm-
ten h h e m a t i k e r s ftir folche erkl;rt, abcr irgend
eine vdlig treffende Darftellung rein& Webereliu3g
tvjrd man doch hier nicht vorfihden.
La n g s d o r f ,
d e r vetdienftvolle Mann V t r e
gonne mir, h e r i n eller Korze meine hleinung
zu &&ern,hat einen zu einfcitigen Blick auf
die Bewegung cles Krurnmzapfens geworfen 3 und
diefern Bliclie gem& einen Satz aufgeftellt , den
-
ich ohne Figur fo ausdrucken kann :
Sol1 die Umiaufszeit bebarrlich, (man kanii
hier auch geradezu fagen, conftant ,) feyn, fo moCs
die W a n e von dein Prmkte a n , wo fie zu heben
anfangt, durch einen Bogen von 45 Grad hfihlerrz i g t , durch die nacbftfolgenden go Grad vcrzogerr,
und durch die dann noch dbrigen 45 Grad des (inhebenden Halbkreifes, (ich fc1irinl;e mich m i t i h m
auf diefin @in,) wiederuiit beJlLIeiriiigt wcrden.
Auf diefed Sat2 ift Eeine T h e o r i e gegriindet;
Und e r ift unrichtig! Es lafst licli gerrtdezu erwci-fen, d a b unter filerra L a n g s d o r f ' s Vorsusret.
zungen die Warte i n dern Endpunkte ilires anzuhebenden Halbkreifes eine grofiere GeEchwindigkcit
haben wiirde, als fie i m A n f a n g y u n k t e deffeelben
katte. lAber die folgende indirecte WiderlegLng
jeneq Satzes wird dem griilsten T h e i l e des publiturns erwilnfchter ieyn.
1. Nehihe fch mit Herrxi L. eirleh h m e r f o r t fich
paralleleh Zug der Laft an d e r LVarte, such mit ihni
eine mfifiat~rteKr-dft a m Rade an ; To finde ich dynam i k h dafs die beharrliche Um1;lufszeit nur eintre.
f
ten
I
143
l;ann, wenn-, I . die K r a f t a m Rade gcrade grofs
g e n u g i f t , urn diepWnrze voin erften P u n k t e i h r e r
Anhebung a n , d u r c h e i n e n ,LJ-inkel @ z u belchleu.
n i g e n , defrcn Sinos
=5 =
gefahr$=3g032'giebt;
3Il-i
iCt, ivelclies un.
a b e r 2 . a l l e b h h l unterder'
Bedingung, clnl's d i e LL-arze in jci:ern erften PLinkte
fchon elne RorrengeTchwindigltejr k h a b e , die nichr
kleiirer als ,,*[<;r
f e y , wo
.
A. (:
arc. F-fin.
vsrf.
>I
<
L die Laft an tier FYarze und M die auf
den
L\-arzenl;reis reilucirte t r i g e AIaCTe bedcutet, deren
niittleres fpec. Gcwicht ich diircli 7 bezeichne.
= C'
Sei f e r n e r
J a s Druclitnads * ) d e r &aft
auf den Warzeiikireis reducirt, untI =
I,', was Ge a u f den Widcrftancl tier Friction z u v e t -
am R a d e ,
dals alro Y u n d F tzngentiale Dri1fo ergiebt fich inir, (nictit, \vie
H e r r L. beliauptet, dnrs Y = F
0,707 t l e y n
wenden h a t ,
ckungen find
j
miITCe, f o n d e r n ) dafs Y=F
+
+ 5 L=F+
0,6571
fevn m d s , beim behairlichen Unllaufe d e r L\-arze,
wi!irend fie durch den anhehenclen Halbkreis fteigt,
D i e am Anfange dieres Halbkreiies erforderliclie
Gefchwiniligkeit k aber mul's, wihrentl diere W a r z e
durch d e n anciern, ( t i e n bpi t l n q To genarinten otter
z u iiennenden niederj'etzeuden ,) Halblireiq geht, fiit
erzeugt werrlen. ITt Ge kleitler, als i c t ~vorhin
lleftiinmt habe, 10 wird die Warze ruckgzngig, ehe
Ge
*) Vergleiche meine Betrachtungen per
innjit'iine, S, 5 h , $. 6 2 .
Wa//erpulen*
EL
fie bis a.uP ( 180°-3g052') angelioben hat, u. t W.
Es ift fehr angenetiin, alles, was hier erfolgen
milfste, durch die Methocle des Grijfsten iind lileinften fehr leltirnrnt uncl fchicklich entlchieden z u
fehen , frills nzun inic dein T des G,.ii/'cen un'd
KLeinJ2en aufs Reine gekoirinien i/t. Wcr das nicbt
ilt , diirfte auch hier Seiner Noth durch ein Palliativ , dem oben angefahrten ahnlicli, abzulielfen
fuchen wollen.
Icli fagte: erfolgen mufiste!
In cler Wirklichkeit, falls man die E i d e r niinrnt
wie fie find, wi)rde die Warze Celbft bei &nem k
o nicht alle 3Iah1 riickgingig werden, ocler auch,
--
-
gegen den obigen Ausfpruch des Grofsten und
Kleinlten, wiederum vorgiingig werden. Diefes
rilhrt abe; lerliglich claher , weil die Vorausletzung
in I, ,dafs der Tangentialcfruck Y conftant fey, an
den gewbhnlichen Riklern nicht Statt finden kann.
Ein Rad, welches man diefer Fortlerting ziemlich
gemiifs zu bauen &hen wollte, wiirde n u r den eingefchrinkten Nutzen haben, daCs man die hier unter I , gefundene T h e o r i e a n ihm aucb durch Erfahrung ziemlich genau ltijiinte beltiitigt lehen.
Ungleich fchwieriger w i d die UnterCuchung,
wenn ich
11. den von cler ]<raft am Plade herr2hrenden tangentialen D r u c k Y fo ,veranderlich aiinehine, als e r
bei den gewahnlichen Ritlern es wirlclich ilt. Indeffeo hab,e ich fiir dergleichen oberfchligige Ilader
fo eben gefunden dafs
der
dek Kiaft mechanikhes Moment t'ck
+ $. .k
0
I:
~j
fi\r den adhebenden Haibkreis fcyn m u f s ,
\vend
die Warzc! tlas Entla tliefes Halbltreifes mit ellei &
Oel'chwindigkeft k verlaCren foll, init *;velclie~lie it1
d e n Anfang deKe!bCn eintritt. Es k a n n aber diefes
k hier weit geringer als unter I feynj ohne dab die
IVarZe ruckgiingig w i i c l . Ja, da die oherrc1~I;igigeri
Ratjer, nach einer in mancher Hinficht fr'eilich 'ctuqs
f e h lei h a tte 11 Eiii rid h t u ng ; ge tv d ti ti I i'dh To gefcha Ufelt ...crdcn, dafs Le h m eln g a t bettiichtlich-es melip
AuffchIage\@aCferaufnehrnen k i i n n e d , als i n dei- re-
gelmiikslg ihdon zugedachten U m h u f s i e i t
2
=7 r i
ihnefi @igentiichtiikrmmt; fo wlrd fi ;iufserTt-I,lejn
r e p h n n e n , urid die IVarze dennoch Lis 211 t i e m
letitijn Pdakte Ibres anh&b&ndenEidbki'eiTds geirie;
ben wei-ded;
.Die S c h d f e ; vielchc
~tddiefe hier rait;
getlieilteri ReCdtate udcl mehrere antlere gebracht
hoben) fcheioen, fo t b b n wenigftensj injr fehr befrie:
digend und unterhdtencl 2 0 feyn. Gleichwohl wiirde j c h i eben defshalb j weil Be neu b i d biijg mi?
entrtanden find; ndch davon fchweigen, wenn ich
&ht vorher fahe, dais wenigftens ein Jahr verge=
hen wjrrlj ehe ich mit ntchrerer Mufsse fie priiteq
hua,c' &ter verfoliren itinn. Ich wurde gegeli\tlariig vocl Si. E x c t d h z dein Hmrn iWitrifcer; G7aJelj:
i o n ' E i n l i e it e 1 3 del'fen t i d e Ei'nGchten fo vieles
2u umfdfen \*inen, hrn h e i h k &leinurig iiher di&
beden Theorieeri des K r u m m i a p f m s bekagtj. mnd,
es fchien. mlr iriltzlich un3 iathi'ani, feibige h e ?
&nd. d.Pby6k. B.22, St. 2. J.1 8 6 . St.3:
K
aff'entlich mitzutheilen, denn es bringt die Mathematiker in gar z u ubeln RuF, wenn (lie *Praktiker
iolche Theorieen ankaufen, und iich dadurch fehl
gefii h r t feh e n .
Eben d e l h a l b mufs ich auch anfilhren, dafs des
H e r r n- R. R. B r o d r e i c h T h e o r i e des Schwungrailes ebenfalls inich durchaus nicht befrietligt hat.
Auch in ihr kommt gar z u vieles vor, was jedem', tler
an etwas fcharfe und treffencle Anwenrlung der hoh e r n Mathematik gewohnt ift, anltijfsig feyn mds.
Urn der Ueberfchrift diefes Auffatzes Geniige zu
thun, mufs ich auch der alter1 T h e o r i e des Krummzapfens noch kurz erwihnen. Alles, w a s lie,
bei manchem Schriftfteller fehr undeutlich,
zu
erweifeen fuchte, ltann durch den Satz auqgeclruckt
-
-
werclen, pars = F $L die mittlere Grcike cles
tangentialen Widerftandes ift , welchem im anhebenden Warzenkreife die &aft das Gfeichgewicht
halten mu@. Sol1 diefer Satz bloL filr feitien ftatie
und mir irt nicht
fchen Sinn bewielen werden,
bekannt , d a k vor L a n g s d o r f ein hlehreres verlo Cc!ieint mir hierzu vollkomrnen
Eucht ware,
hinreichend, zu bedenken, dais die W a n e Lings unendlich vielen fchiefen Ebenen von eincr I. ftetig
wadhfenden und ahnehmenclen Neigung fteigt, und
dafs 2. die Kraft , als Tungentialkraft , jeder von
jenen fchiefen Ebenen alle l h h l parallel wirkt.
D u r c h 2 ift es gewifs, daCs iinmerfort die Kraft
zur Laft lich verhtilt, wie die H8he der khiefen
Ebene zu ihrei Lange. Durch I irt es gewifs, dafs
-
-
c
147
1
cfurch den Uebergang a u s e i n e r fchiefen Ebene?;l
d i e a n cl e r e k ein G e Cch w i nd i gk tti t sver 1u ft en t Tt e h t,
w e f s h a h tnati uu.3 J u n i r n i r ~ki a~n n , welches denii fogleich Y
F : L = 2 r : 7rr giebt. U n t e r f d c h e n
-
fichern und deutlichen Bediilgungen, wir hier (lie
I utid 2 ausmachen, ilt mir nlmlich die cartefianifche Beweisart bei d e n Anw.enJungen cler &lathematik auf tlas M a k h i n e n w e f e n , falt iioch.lieber als
die IetIiglich ftatifche, die man incleffen fiir den obigen Satz auch leicht untl deutlicli (larlegen kann.
In meinen beitlen ohigen Formeln konirnt .jene
Griifse F
+
2 L ebenfalls vor.
W e r aber delshalb
behaupten wollte, clarc wir n u n gerade wieilrr auf
die alte T h e o r i e zuriick gekominen w k e n , rler wiird e eben dadurch beweifen, clafs e r den grofsen Unterfchiecl zwil'chen Jynamifcher und l'tatiicher An:
ficht einer Mafcchine noch nicht gehijrig gefafst habe,
und claher folche Ziveifel, als u n f e r n La n gs d o r f
zu neucr Unterfuchung J e r Sache verarllaf.st Itaben,
nicht gehijrig zu wfirtligen wiffe.
Urn fie recht
vollltindig zu beantworten, rniilste a u c h @ieZeitdauer des Uiitlaufes noch beftiinmt werden. ,
D i e Anwendung rneiner Formeln I vnd.11 fallt
bei gut vorgerichteten Krurnrnzapfen zieinlich in
ein's zufammen , untl w i r i dadurch fehr l e i c h t , fo
h n g e von clem Kraftverlufte d u r c h den confinuir:
ten Zug d e r KorbCtangen u n d vot: einem gewiffin
Ausfalle des mechanifchen Krafttnonientes abftrah i r t wird, wie es filr hieGge vorlauiige Nittheilung
fc h i c kli c h w a r .
1.r
~
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