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Ein zweidimensionales Dispersionsproblem.

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199
3. E6n xwedd6rnensionales Dispemionsproblem I);
von Clernens Schaefer u n d H e l e n e StaZZw4tw.
§ 1.
Die Beugung elektromagnetischer Wellen an einem
Zylinder aus beliebigem Material ist bereits fruher z, streng
behandelt worden. Dagegen sind zahlreiche a n ebenen Gittern aus Zylindern beobachte te Erscheinungen noch ungeklart. Dahin gehoren z. B. die von F. B r a u n s ) beobachteten Polarisationserscheinungen an auf Glasplatten niedergeschlagenen, zerstaubten Metallen, die er unter Annahme
einer submikroskopischen Gitterstruktur durch H e r t zsche
Gitterwirkung erklart. Dieser SchluB ist jedooh nicht biindig,
worauf der eine von uns in Verbindung mit F. Reiche4)
hingewiesen hat. Allerdings macht eine theoretische Untersnchung dieser Autoren uber die Beugung von Lichtwellen
an eilzem Zylinder es wahrscheinlich, da13 F. B r a u n mit seiner
Erklarung recht hat; doch kann man aus der Erscheinung
an einem Draht nicht mit Sicherheit auf diejenige an einem
engen Gitter schlieBen, weshalb eine Erweiterung der Theorie
in dieser Richtung notwendig ist.
Wir haben uns daher die folgende, in nahem Zusammenhange mit all diesen Gitterproblemen stehende Aufgabe gestellt : Aus der bekannten Losung des Beugungsproblemes fiir
einen Zylinder sollen die elektromagnetischen und optischen
1) Eine kurze Mitteilung der in vorliegendem Aufsatze enthaltenen
Resultate ist in den Sitzungsberichten der Berliner Akademie der Wissenschaften, p. 674, 1913, erschienen. Ausfiihrlich in der Breslauer Diss.
von H. Stallwitz.
2) W. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 18. p. 495. 1905. - W. S e i t z ,
Ann. d. Phys. 16. p. 746. 1905. - C. Schaefer, Sitzungsber. d. Berl.
Akad. d. Wiss. p. 326. 1909. - C. Schaefer u. Fr. Grossmenn, Ann.
d. Phys. 81. p. 455. 1910.
3) F. Braun, Ann. d. Phya. 16. p. 1. 1905.
4) C. Schaefer u. F. Reiche, Ann. d. Phys. 32. p. 577. 1910.
2CO
C. Schaefer u. H . Stallwitx.
Konstanten eines Medium hergestellt werden, das dadurch
entsteht, daB ins Vakuum in gegen die Wellenliinge der auffallenden Strahlung kleinen AbstBnden parallele Zylinder aus
beliebigem Material eingebettet werden. Eine sehr diinne
Schicht eines solchen Medium darf wohl mit einem H e r t z schen (und Braunschen) Gitter identifiziert werden. 1st diese
Aufgabe gelost, so haben wir also die Moglichkeit, die erhaltenen
Formeln auf die von B r a u n entdeckten Erscheinungen anzuwenden. Das war wenigstens der Ausgangspunkt der folgenden
Untersuchung. Aber auch unabhtingig davon diirften die
Resultate derselben ein selbstiindiges Interesse besitzen.
Unsere Untersuchung steht am nachsten einer Arbeit von
R. Gans und H. H a p p e l l ) , die das analoge Problem fiir
ein Medium h e n , in das -Kugeln eingelagert sind; diese Autoren benutzen in derselben Weise die Untersuchung von
G. Mie2) uber die Beugung an einer Kugel, wie wir im folgenden die zitierten Arbeiten uber Beugung an einem Zylinder
verwerten. Insofern wir im folgenden zeigen werden, da13 das
von uns betrachtete Medium Dispersion und Absorption besitzt, steht unsere Arbeit in Beziehung zu allen Dispersionstheorien, insbesondere der yon M. P l a n c kS) entwickelten.
Sie geht insofern uber die Gans-Happelsche und P l a n c k sche Untersuchung hinaus, als Unser zugrunde gelegtes Medium
auch die Eigenschaft der Doppelbrechung besitzt .
2.
Zwei FBlle sind zu unterseheiden, je nachdem die elektrische Kraft der einfallenden Welle parallel oder senkrecht
zur Zylinderachse gerichtet ist, die wir im folgenden kurz als
,,parallelen Fall" und ,,senkrechten Fall" bezeichnen werden.
Wir behandeln zunachst den parallelen Fall; wenn notwendig,
unterscheiden wir die entsprechenden GroBen durch Indizes 11
oder 1 voneinander.
Wenn eine ebene Welle (Fig. 1) ein@tzlc),parallel zur
negativen x-Richtung fortschreitend , auf einen Zylinder
1) R. Gans u. H. R a p p e l , Ann. d. Phys. 29. p. 277. 1909.
2) G. Mie, Ann. d. Phys. 26. p. 377. 1908.
3) Id. Planck, Sitzungsber. d. Berl. Akad. d. Wiss. p. 470. 1902;
p. 480. 1.903; p. 740. 1904.
Ein xweidimensionales Dispersionsproblem.
$01
(Radius e, Dielektrizitiitskonstante c2, Leitfahigkeit u, Permeabilitiit ,uz= l), d e s s p Achse parallel der z-Achse ist und
dessen Mittelpunktskoordinaten (6, 9 ) sind, auffiillt, so ergibt
4
"
Fig. 1.
sichl) fiir die elektrische und magnetische Kraft der von ihm
ausgehenden Storung im Punkte (2,y) oder (r, y ) :
{b
(1)
O,m
Cam&,(PI) cos m
I, = - i & ( f + h / c )
z'an QI(PI) 00s m ~ p .
e ,I = ,is(t+C,'c)
9
n
Die Koeffizienten a, sind definiert durch die Gleichung
wobei fiir m = 0 der Faktor 2 auf der linken Seite m streichcn
ist. Dabei bedeuten :
7 %=
- + (y - q)2; I
(z
&2
die Wellenliinge im Vaknum;
wo bei :
1) Vgl. z. B. C. Schaefer
II.
F. Grossmann, Ann. d. Phys. 81.
p. 469ff. 1910.
Annalen der Phpik. IV.Folge. 50.
14
C . Schaefer u. H. Stallwitz.
202
1st @ / A hinreichend klein, so reduzieren sich die Gleichungen (1)
nuf die folgenden einfacheren:
e = ein(t t e l 4 [ao &o (PI)
~i Qi (PI) COB YJI9
(7)
5 = iein(t+hle) [ao&,,‘(pi) a, Q,’(pl)COB 971.
{
+
-
-
Man kann also setzen:
.
+
”
+
+
e e,
e , ; fj = 5 0 5,’
Die Glieder mit dem Index 0 bezeichnen wir als die erste,
entsprechend die mit dem Index 1 als die zweite ,,Partialwelle“.
Es ist also:
Gin(:+ e l~ ) ~ , & , ( P ~ ) ; ,
j e~
i *~
(t+
=t-/ c ) n 0 &0’ ( P,’
(9)
eo
el = ein(t+€/c)
qQ1(p1)cos ‘p; tjl = i e ‘ * ( t + W z , Ql’(pl) cos ‘p .
(8)
-
{
5
) a
-
Fur kleine Argumente pl, d. h. fur kleine Werte von r, lassen
sich die magnetischen Kriifte Ijo und ljl schreiben:
ljo kann also als das Magnetfeld eines geradlinigen Wechselstromes von der Starke
a,inein(t tt/c)
2 k,’
betrachtet werden; ljl, wie der Fakt,or
anzeigt, als dasjenige zweier um ein unendlich kleines Stuck
langs der x-Achse verscho bener, entgegengesetzt gerichteter
Wechselstrome. Das Produkt aus der Verschiebung der Mittelpunkte und der Stromstiirke ist hier:
ein(t
2 k,
1)
Log y
+
= 0,5772, die Bog. Maecheronische Konstante.
Ein zweidiwnsiona1e.s Dispersionsproblem.
203
Ahnlich lassen sich die hoheren Glieder deuten; dies entspricht dem halogen fiir die Kugel, bei der an Stelle der
geradlinigen Strome ,,Dipole" auftreten.1) Fiir das Moment
des ljo liquidenten Stromes ergibt sich:
analog fiir die zweite Partialwelle:
und daraus, wenn die Anzahl der die FlBcheneinheit durchsetzenden Zylinder N ist, fiir die den beiden Partialwellen
entsprechenden Polarisationen pro Volumeinheit :
Die Polarisationen sind also proportional der erregenden Welle ;
ist diese n k h t e i " ( t + t l c ) ,sondern (3' (oder @'), so wird aus (12):
Im folgenden entsprechen sich ubrigens nicht Sp0 und rP,,
sondern Po und
--8%
as
7
welche auch von gleicher Dimension sind.2)
Die elektrischen und magnetisahen Kriifte lassen sich
leicht auf Vektorpotentiale (h, ul) zuruckfiihren - die s h laren Potentiale sind bei unserem Problem gleich Null -,
und zwar in folgender Weise:
Nennen wir das Vektorpotential und das Skalarpotential
zuniichst allgemein 8 und y, so ist nach der Elektronentheorie :
1) Vgl. die genwmte Arbeit,von Gans md Eeppel.
2) Vgl. dazuetwa H. A. Lorentz, Theoryof Electrons, p.. 16. Art. 11.
14.
2Q.1
C. Schaefer u. H. Stallwitz.
nnd die rechte Seite der ersten Gleichung (13) verschwindet
bei uns, weil hier offenbar div = 0 ist. Da die Losungen
der homogenen Gleichung (lS), der Wellengleichung, in der
Elektronentheorie im allgemeinen nicht in Betraoht kommen l),
so diirfen wir also zunBchst y = 0 setzen. Dann ist weiter
allgemein :
(14)
wenn mit 6 und $.jallgemein elektrischer und magnetischer
Vektor bezeichnet werden. Also ist speziell bei uns:
e,=---
(15)
I
I el=---
1 8%
at
so = rot a,
1 aa,
5, = rot a,
at
,
und durch Vergleich mit (9), (10) und (11)'folgt daraus sofort:
Fur den senkrechten Fall ergibt sich analog (1):
wobei wieder der Faktor 2 fiir m = 0 zu streichen ist. Daraus
lassen sich alle analogen Bildungen fiir den senkrechten Fall
leicht ableiten.
9
3. .
Die von den einzelnen Zylindem erzeugten Felder e, 9
setzen sich im Mittel zu dem Felde 6,@ der ,,Maxwellschelz
Krtifte" zusammen. Diese sind es jedoch nicht, die einen
1) Vgl, z. €3. H. A. Lorentz, Theory of Electrons p. 19 und
Note 6 p..240ff.
Ein xweidimenswnales Dispersionsproblem.
205
einzelnen Zylinder zu Schwingungen anregen. Denn zu G, 6
tragen alle Zylinder bei, zu den ,,erregenden Kriiften" Q', 8'
alk, mit Ausnahme des errsgten selbst. Die Wichtigkeit dieser
Unterscheidung ist namentlich von P l a n c k l ) betont worden.
Die wichtigste Aufgabe ist also fiir uns die, den Zusammenhang zwischen Q', und Q, zwischen 8' und 8 featzustellen.
Dies kommt, wenn man B', 8' einerseits und G, 6 anderseits
wieder von Vektorpotentialen ableitet, die wir $' bzw. 8
nennen wollen, darauf hinaus, W zu 8 in Bedehung zu setzen.
Dann folgen ohne weiteres daraus durch Differentiationen die
erregenden KrHfte als hnktionen der Maxwellschen.
Die Potentiale W findet man auf folgende Weise duroh
eine Mittelwertsbetrachtug, die mutatis mutandis der sohon
genannten Arbeit von Gans und H a p p e l entnommen werden
kann: Wir legen senkrecht zu der Achse der Zylinder eine
Ebene durch das Medi'um und haben nun in dieser Ebene sehr
viele stromdurchflossene Kreisfliichen (Zylinderquerschnitte).
Um das Zentrum (5, q) einer dieser Kreisfliichen, fiir die wir
die erregende Kraft bzw. deren Vektorpotential feststellen
wollen und die deshalb als entfernt zu denken ist, schlagen
wir einen Kreis vom Radius I, der groB gegen den mittleren
Abstand zweier Zylinder, aber kleb gegen die Wellenllinge
ist. Der Raum auBerhalb dieses Qeises kann als gleichlsaBig
polarisiert angesehen werden. Die (mittlere) Einwirkung der
innerhalb dieses Kreides liegenden Stromfliichen stellen wir
in folgender Weise fest: Wir schlagen um jeden im Innern
des gedachten Kreises vom Radius I liegenden Zylinder (,,Resonator") ebenfalls einen Kreis vom Radius I , denkerl den
Resonator dann entfernt und bringen diese verschiedenen
Kreisfliichen aur Deckung. Dann entsteht ein Kreisring, dessen
innerer Radius R gleich dem kleinsten Abstande zweier Zylinderresonatoren ist, und dessen &uBerer Radius 1 ist. Der Kreisring wird wegen der vielfachen fibereinanderlagerung, wodurch sich alle etwa vorhandenen Individualitliten ausgleichen,
ebenfalls gleichmliBig .polarisiert sein, und m a r wird seine
Polarisation gleich m $
! sein, wenn m Kreise ubereinander
gelagert wurden. Die (mittlere) Polarisation eines einfachen
Kreises vom Radius I, die wir ja kennen wollen, erhalten wir
also durch Division mit m ; es ergibt sich also der Wert '$.
1) M. Planck, Sitzungsber. d. Berl. A k d . d. Wiss. p. 470. 1902.
206
C. Schaefer u. H. Stallwitz.
Nun ist das Vektorpotential a, eines Zylinders nach (16):
(natiirlich nur fiir die erste Partialwelle) und, da der Raum
auSerhalb eines Zylinders im Mittel als gleichmaBig polarisiert
angesehen werden darf, seine Polarisation pro Volumeinheit Ip,,
also das Vektorpotential pro Volumeinheit unter Berucksichtigung der letsten Gleichung
Betrachten wir ein Volumelement von der Grundfliiche d F
und der Hohe 1, so ist das Vektorpotential a&,' pro Volumelement :
dgo'= - a'o Qo (A, T ) d P ;
'
ai
also folgt durch Integration uber den ganzen AuBenraum,
was wir kurz durch die Grenzen R und 00 andeuten, fur a,,'
der Wert :
Ebenao folgt fiir das aus a, abgeleitete Potential
Partialwelle :
der zweiten
Aus '$und
I,,'
leitet sich durch Differentiation das Feld
der erregenden Krfifte Q', @' ab.
Jetet haben wir 9l0 und illl zu berechnen, aus denen sich
das Feld 6,$jder Maxwellschen Kriifte ergibt. Dazu haben
wir die partiellen Differentialgleichungen (13) zu integrieren,
was mittels des zweidimensionalen Greenschen Satzes leicht
geschieht. Streichen wir auch hier wieder die Glieder, die
der Losung der homogenen Gleichungen (13) entsprechen, so
folgt BUS (13) allgemein:
Ein zweidimenswnales Dispersimsproblem.
207
v=o,
m
Also folgt fiir $!I
jedenfalls,
o
indem man einfach @! durch
nach (12) ersetzt:
Po
m
und ebenso, nach einer in
0
2 gemachten Bemerkung:
womit der sciiwierigste Teil der Betrachtung erledigt ist.
Um nun den Zusammenhang zwischen &', 8' und 6,8
zu finden, haben wir nur W mit 9.l in Beziehung zu setzen.
Nehmen wir zun8chst
und go,SO ist nach (19a) und
(20a) :
also :
Wegen der Kleinheit von R im Vergleich zur Wellenlilnge
konnen wir ein!t++Blc) aus dem Integralzeichen heraussetzen,
und durch seinen Wert im Mittelpunkte ein('
ersetzen;
gleichfalls diirfen wir fiir Q0 (k,r) die Annilherung fiir kleine
Argumente benutzen. So folgt :
R
Das Integral
C. Schaefer u. H. Stallwifz.
208
stellt das innere Potential einer homogenen Kreisflache dar ;1)
es ist also:
Schlieljlich folgt, wenn wir allgemeiner e i n ( t + = I c ) durch
rrsetzen :
$'= 910
a'
-
Ebenso, nur in der Rechnung etwas komplizierter, folgt fur
die zweite Partialwelle:
ocler, wenn die einfallende Welle nicht e i n ( t + z / c ) , sondern 0.'
ist,, unter Rucksicht auf (12):
Durch Ausfiihrung der in (14) geforderten Differentiationen
folgt dann sofort :
I@'=@,
(5 4.
Die hier auftretende Versohiedenheit von @' und Sj beweist, daB
--aaBx1
einer magnetischen Polarisation $3', gleichwertig2) ist. Urn dies
einzusehen, erortern wir folgendes Problem :
In einem Medium von der Permeabilittit p bestehe ein
homogenes magnetisches Feld; der Vektor Sj sei parallel der
1) Vgl. z. B. A. Wangerin, Theorie des Potentials und der Kugelfrinktionen Bd. L p. 142. 1909.
2) Vgl. hierzu auch: Minkowski-Born, Math. Ann. 68.526ff. 1910.
Ein xweidimemwnales Dispersionsproblem.
209
y-Achse orientiert. Wir nehmen aus diesem Medium einen
Zylinder vom Radius e, dessen Achse parallel der z-Achse
gerichtet ist, heraus. Das urspriingliche Feld erfiihrt eine
h d e r u n g ; wir wollen den neuen Tdektor mit
bezeichnen
Dieser liil3t sich aus einem skalaren Potentiale @ ableiten,
das folgenden Bedingungen zu geniigen hat :
In der ganzen 2 y-Ebene - auf diese kann man sich offenbar beschrgnken - gilt die zweidimensionale La pla cesche
Gleichung :
(4
d@=O.
a’
Versehen wir ferner das Potential fiir den AuBenraum mit
dem Index a, fiir den Innenraum des Zylinders mit dem Index i,
so gilt im Unendlichen der 5 y-Ebene:
welohe Gleichung zum Ausdruck bringt, daB in unendlicher
Entfernung vom Zylinder die durch ihn verursachte Storung
verschwindet. Ferner muB im Innern des Zylinders sein:
(Y)
Oi = endlich ?
und an seiner Grenzflache (r = e) gelten die bekannten Grenzbedingungen der MagnetGstatik:
I--
@i
(s)
aa
=a,,
a ai ,
an
Setzen wir d, = Y ( T ) . cas y, wo ‘p der Winkel ist, den der
Radiusvektor r mit der y-Achse bildet, so lautet die Laplacesche Gleichung (a)in ebenen Polarkoordinaten :
W”(r)+
1
- 1 V ( r )= 0,
W(r)
deren allgemeine Losung ist :
B
Vr(r)=Ar+--.
Mit Riicksicht auf die Bedingung (7) fur CDi ergibt sich:
210
C. Schaefer u. H . Stallwitz.
Fiir die iibrigen Konstanten folgt &us den Grenzbedingungen :
(4
Daher ist:
und fiir den neuen Feldvektor @' im Innern des Zylinders
folgt durch Differentiation :
Dieser neue Wert @' ist offenbar das Analoge, wie bei unserem
eigentlichen Problem die ,,erregende Kraft", wiihrend das urspriingliche Feld @ mit der sogenannten ,,Maxwellschen
Kraft" zu identifizieren ist. Denn um die erregenden Kriifte
au berechnen, mugten wir ja auch den ,,erregten" Zylinder
&us dem Medium entfernen, wodurch eben die Maxwellschen Kriifte in die erregenden ubergehen.
Jedenfalls sieht man aus ( x ) , daB @' von @ nur dann
verschieden ist, wenn p 1, d. h. wenn eine magnetische
Polarisation p,,,existiert. Wir konnen also die letzte Gleichung
in der Form schreiben, wenn die ubliche Definition der magnetischen Polarisation benutzt wird :
(4
@'-$j=2zn!43Pm.
Vergleichen wir dies mit (25), so sieht man in der Tat, daB,
wie behauptet,
einer magnetischen Polarisation entspricht.
§ 5.
Nach dieser Einschaltung ziehen wir die Gleichungen
der Elektronentheorie fiir die dielektrische Verschiebung 5D
und die magnetische Induktion B heran:
SD = Q 4 n p e
(26)
b = @ = 4npm '
+
Ein zweddimensionales Dispwsionsproblem.
911
wo ?&und rP, elektrische und magnetische Polarisation bedeuten; dann wird also nach (25) and (A):
(27)
Nennen wir nun Ell und G, u die mittlereEelektrizitiitskonstante
und Permeabilitiit unseres Mediums, so sind nach (27), (25) und
Benutat man noch einmal (25), so werden diese Gleiohungen zu:
1
(28)
i n Na,
- 7
4
Daraus folgen sofort fiir den pardelen Fall Dielektriaitiitskonstante und Permeabilitiit Wseres Mediums:
und da Ell ,GI, =(vII - ~ x I I )ist,
~ wenn vlI und
exponent und Extinktionskoeffizient bedeuten:
Xn
Brechungs-
sich sofort ergeben.
woraus vII und
Ganz analog verliiuft die Untersuohung fiir den senkrechten Fall, fiir den wir deshalb hier nur das Resultat an-
I
1
+--2 ik,'N & '
212
C. Schaefer u. H . Stallwitz.
Lj 6.
Die Formeln (29) bis (32) enthalten des gewiinschte
Resultat. Man kann aus ihnen sofort folgende allgemeine
Schlusse ziehen :
1. Da Dielektrizitatskonstante und Permeabilitat, also
auch der Brechungsexponent, im parallelen und senkrechten
Falle versshjedene Werte haben, so ist dus Medium doppeltbrechend.
2. Da die Eigenschwingungen cier Zylinder dadurch definiert sind l), daB.die reellen Teile der Nenner von a, und d,
verschwinden, und diese in beiden Fallen an verschiedenen
Stellen des Spektrums liegen, so ist das M e d i u m dichroitisch.
3. Brechungsexponent und Extinktionskoeffizient sind im
allgemeinen nicht konstant, sondern Funktionen der Wellenliinge. Das M e d i u m ist also dispergierend und selektiv absorbierend. Man kann dasselbe also in gewissem Sinne als einfaches Model1 eines einachsigen dichroitischen Kristalls betrachten. Allerdings besteht' insofern ein Unterschied, als wir
hier kein Raumgitter irn eigentlichen Sinne des Wortes haben,
da die Zylinder ja unregelmaSig angedrdnet sind und lediglich parallele Achsen haben. Besser ist daher der Vergleich
mit einem sogenannten flussigen Kristall oder einer anisotropen Flussigkeit , bei denen nach einem Versuche von
v a n d e r L i n g e n z ) ebenfalls kein Raumgitter vorhanclen
zu sein scheint. Nach den untersuchungen V o r l a n d e r s
scheint bei den nicht drehenden anisotropen Fliissigkeiten die
Anisotropie durch die langgestreckte Gestalt der Molekule
hervorgerufen zu werden, was durchaus dem Sinne unserer
Analogie gemiil3 ist.S) Auf einen weiteren Grund, der diese
1) C. Schaefer u. F. Grossmann, Ann. d. Phys. 31.p. 473ff. 1910.
2) St. v. d. Lingen, Verhdl. d. Deutsch. Phys. Ges. 16. p. 913. 1913.
3) Auch die kiirzlich von Diesselhorst u. Freundlich (Physik.
Zeitschr. 16. p. 419. 1915) beschriebene Doppelbrechung des Vanadinpentoxydsols usw. diirfte dsniit in Zusammenhang stehen und sich theoretisch verstehen lassen. (Anna. bei der Korr.)
Ein xweidinoensionnles Dispersioizsproblena.
21 3
Parallele xu stutaen scheint, werden wir gleich zu sprechen
kommen.
4. Von Interesse scheint uns ferner der Umstand zu sein,
daB die mittlere Permeabilitat von 1 verschieden ist, obwohl
die Zylinder aus unmagnetischem Material vorausgesetxt sind.
Fiir unendlich groBe Wellenlangen, d. h. fiir statische Zustande, geht natiirlich ji in den Wert 1 uber, wie es sein muB.
Es liegt nahe, zu fragen, worin dieser Unterschied gegenuber den gewohnlichen Dispersionstheorien, bei denen die
Permeabilitat 1 sich ergibt, begriindet liegt. Wenn man die
zweite Gleichung (29) betrachtet, so erkennt man, daB die
Abweichung der inittleren Permeabilitat von 1 von dem Koeffixienten a,, d. h. von dern Mitwirken der zweiten Partialwelle, abhangt. Wiirden wir das Verhaltnis @/A so klein
wahlen, daB der Koeffizient a, gegen a, verschwindet, so wiirde,
mie in der gewohnlichen Theorie, ji = 1 folgen. In der gewohnlichen Theorie berucksichtigt man eben nur die erste
Niiherung, die erste Partialwelle, um in unserer Ausdrucksweise zu bleiben.
7.
Die Formeln (29) bis (32) sind zu kompliziert, urn eine
weit ere allgemeine Diskussion zuzulassen. Wir wenden sie
daher auf einige Spezialfalle an, und zwar betrachten wir
in diesem Paragraphen dielektrische Zylinder, bei denen @/A
so klein ist, dal3 in a, und d, bereits die vierten Potenzen
von @/A vernachlassigt werden konnen.
Eine leichte Rechnung ergibt dann I) fur die Koeffizienten
innerhalb der obigen Genauigkeit die Wert.e:
Sind die Zylinder nicht ins Vakuum eingebettet, wie bisher
angenommen wurde, sondern in ein Medium von der Dielektrizitatskonstante el, so hat man ahnlich:
1) Vgl. z. B. C. Schaefer u. F. Reiche, Ann. d. Phys. 35. p. 828.
1911.
21 4
C. Schaefer u. H. Stallwitz.
Man erhiilt daher aus (29) bis (32):
81, = &*
+ Nwg'(E2 -
El);
PI, = 1.
Nun ist N n e2 = F derjenige Bruchteil der Flacheneinheit, der von den Zylinderquerschnitten eingenommen wird ;
(1 - B') also der ,,freie" Bruchteil. Setzt man F = 6,; 1 -F = 6,,
so kann man die Gleichungen (35) schreiben:
Dies sind die von 0. Wiener1) angegebenen, durch elelitrostatische Betrachtungen abgeleiteten sogenannten ,,FomneZn der
Sttibchendo~pelbrechu~g",
die sich hier als Spezialfalle ergeben.
Unsere Ableitung hat den Vorzug, da13 sich der Giiltigkeitsbereich dieser Formeln genau angeben laBt, was bei der Wienerschen Herleitung naturgemii13 nicht der Fall ist. Die durch
Gleichungen (36) bestimmte ,,St&bchendoppelbrechung" ist,
wie schon Wiener betont, stets positiv. Dies ist ein weiteres
Argument dafur, unser Medium mit der Konstitution der
anisotropen Fliissigkeiten in Beziehung zu setzen; denn die
Doppelbrechung aller nicht optisch aktiver anisotroper Fliissigkeiten ist nach den Untersuchungen von D o r n und Vorl a n d e r stets positiv. 2,
Man kann die letzten Formeln in Zusammenhang mit
der Mosotti-Clausiusschen Theorie der Dielektrika bringen.
= 1,
Setzen wir namlich in der zweiten Gleichung (36)
d. h. betrachten wir wieder ins Vakuum eingebettete Zylinder,
so geht diese ForEel uber in:
"-
-a,*const.
61fl-
Da 6, = N n e2, also proportional der ,,Dichte" d des Mediums
ist, kann man aucb schreiben:
181-1
(37)
dsi+1
- const.
1) 0. Wiener, Ber. d. Kgl. Sachs. Akad. d. Wiss., Math.-phya.
Klasse. 61. p. 113. 1909; 62. p. 263. 1910.
2) Darauf weist ebenfalls schon Wiener hm; 1. c. 61. p. 115 u. 116.
Ein zweidimensimtales Dispersionsproblem.
215
Das aber ist das Analogon zu der Clausius-Mosottischen Formell) fiir einen aus Vakuum und eingebetteten Kugeln
bestehenden Mischkorper.
Etwas xhnliches erhalten wir, wenn wir in der ersten
Gleichung (36) el = 1 setzen; dann folgt niimlich:
1
(38)
(sll
- 1) = conet.,
und dies ist das zweidimensionale Analogon zur sogenannten
L a plac e schen Formel. 2,
0
8.
Als zweites Beispiel wiihlen wir die Untersuchung der
Extinktion fiir Wellenlangen, die weit ab von jeder Eigenschwingung unseres Mediums liegen. Diese Extinktion zeigt
in ihren Gesetzen eine bemerkenswerte Verwandtschaft mit
der Rayleighschen Theorie des Himmelblaus, als deren mbidimensionales Analogon sie direkt bezeichnet werden kann.
Betrachten wir zunlichst dielektrische Zylinder, so erhiilt
man fiir die Koeffizienten a, und al im parallelen Falle:
(39)
2 n9 43
a, = 1o
(E2
- 1) - i 2 S 7 e'( E a - 1)s;
n4
u1 = 0;
Also gemaB (30), nach Trennung des Reellen vom Imagin&ren, mit derselben Genauigkeit wie (39):
und daraus endlich:
XI1
=
n4
-
(vl*
- 1)s
0
2 NAP
VU
Ebenso ist fur den senkrechten Fall:
{42)
dl = 4 °d F
e 4 (8, a,+
1
- .
i(T)2
89
1
S , + l '
do = 0,
und daraus mit demselben Grade von Genauigkeit wie (42)
nach (32):
1) Vgl. z. B. A. H.Lorentz, Theory of Electrons, p. 145.
2) A. H. Lorentz, Theory of Electrons, p. 144.
21 6
C. .Schaefer u. H. Stallwitz.
V12
1
=
1-
6
2n~e9'-
6,
-1'
+1
(43)
daraus endlich fur xL:
(44)
Es ist nach Definition des Extinktionskoeffizienten x,
wenn Go die in das Medium eindringende elektrische Feldstarke ist:
wenn 6 die elektrische Kraft nach Durcheilen der Strecke d
ist; also ist fiir die mittlere Energie:
woraus :
h = -4 n x
I
folgt. Aus (41) und (44) folgt demnach fiir den parallelen
und senkrechten Fall :
(45)
I
-.2 , 3
h,, = N13
h , = y .
NI
wahrend nach Rayleigh ist:
k = - s / s n3
0
NA4
(ynP
- 1y
I
II
(YL*-l)*
vL3
(v'
'
- 1)'
V
Die Analogie der Formeln (45).mit (46) springt in die
Augen; nur ist bei uns die Extinktion proportional l / L 3 , bei
Rayleigh l/A4. Das durch die Beugung an Kugeln hervorgerufene Blau ist daher intensiver als das durch Beugung
an Zylindern entstandene.
Sehr iihnliche Formeln erhHlt man auch, wenn man die
dielektrischen Zylinder durch unendlich gut leitende ersetzt.
21 7
Ein zweidimensionales Dispersionsproblem.
§ 9.
Als drittes Beispiel wiihlen wir folgendes: I n das Vakuum
seien Wasserzylinder vom Radius e = 0,2 cm eingelagert;
ihre mittlere Entfernung voneinander l/v%sei gleioh 1, also
N = 1. Fiir den parallelen und senkrechten Fall sind nach
den allgemeinen Formeln (30) und (32) Brechungsexponent
und Extinktionskoeffizient zwischen 1 = 5 em und I = 00
berechnet worden ; fur kleinere Wellenliingen gelten die Formeln nicht mehr, da dann die Bedingung 1
I.,
d. h. daB die Abstiinde der Zylinder klein gegen die Wellenliinge sein sollen, verletzt werden wiirde. Die numerische
Berechnung ergibt folgende Tabelle fiir den parallelen und
senkrechten Fall, die in den Figg. 2, 3, 4 dargestellt ist.
Jm<
II
5
7
10
12
13
14
15
18
20
25
30
40
m
0,752
0,803
1,699
2,516
3,006
3,463
3,942
4,215
4,132
3,918
3,688
3,475
3,325
1,302
2,363
2,800
2,848
2,759
2,243
1,413.
0,861
0,426
0,239
0,109
1,174
1,151
1,133
0
1,131
-
1,131
-
-
-
-
-
-
1
+ 0,548
+ 1,383
-
-
+ 3,001
2,787
2,557
2,344
-
Fig. 2 stellt vI, und xII , Fig. 3 stellt vL und xL, Fig. 4
endlich vII - vI, das die Starke der Doppelbrechung mifit,
als Funktion der Wellenlitnge dar. Es sei bemerkt, dab fiir
den parallelen Fall zwei Eigenschwingungen bei Wellenliingen
v p 4,778 und 13,158 cm liegen, die sich beide durch starke
Extinktion und anomale Dispersion bemerkbar machen. In
dem senkrechten Falle liegen zwei Eigenschwingungen bei
2,922 und 4,778 cm, von denen nur die letztere in ihrer Wirbung noch bemerkbar ist. Man sieht, del3 sehr grol3e Unterschiede im Brechungsexponenten in verhiiltnismiiBig kleinem
Wellenliingenintervall auftreten konnen ; a. B. variiert Y I, von
0,75 bei 7 cm Wellenliinge bis 4,2 bei 18 cm Wellenliinge.
.&hnlich verhiilt es sich mit der Extinktion. Auch dax ReAnnalen der Phyyeik. 1V. Folge. 60;'
15
21 8
C. Schaefer u. H. Stallwitz.
flexionsvermogen, das experimentell am leichtesten zu bestimmen ist, z. B. mit elektrischen Wellen, weist erhebliche
Schwankungen auf.
In dem ganzen hier berechneten Bereich ist R,, groBer
als R,, und x , , grol3er als x l . Stellt man sich daher ein
-1,131
Fig. 3.
1 in cm
,,Gitter", nach Analogie des Hertzschen Gitters, aus dielektrischen Wassereylindern her, und untersucht seine Durchlgssigkeit gegen elektrische Wellen, so findet man, dal3 ein
Ein zweidimensionales Dispersionsprobbm.
219
aolches Gitter Segr wenig Energie hindurchlltBt, wenn der
elektrische Vektor den Zylinderachsen parallel ist, dagegen
verhiiltnismiiBig mehr, wem beide gekreuzt sind. Dieses Verhalten ist analog demjenigen von H e r t zsohen Metallgiftern
Fig. 4.
1 in cm
und ist von L au g w i t z und Schaeferl) zum ersten Male mit
dem geschilderten Erfolge realisiert worden. Diese Schirmwirkung eines dielektrischen Gitters ist ebenso eine Folge
des Verschiebungsstromes, der in den Zylindern auftritt, wie
die Schirmwirkung des H e r t zschen Metallgitters eine Folge
der in den Gitterelementen induzierten Leitungsstrome ist .
Der Versuch mit dem dielektrischen Gitter ist also ein einfacher Vorlesungsversuch fiir die Existenz der Verschiebungsstrome.
8
10.
Ein weiteres Beispiel, das wir mitteilen, bezieht sich auf
metallische Gitter. Die Dimensionen sind dabei so gewiihlt,
1) M. Lrtugwitz, Ann. d. Phys. 23. p. 148. 1907. - C1. Schaefer,
Ann. d. Phys. 23. p. 163. 1907.
15*
C. Schaefer
220
u.
H. Stallwitz.
daB der Versuch mit elektrischen Wellen ohne weiteres realisierbar ist.
Silberdrahte oder KupferdrPhte von 0,l em Radius shd
in Abstiinden von 1 em ins Vakuum eingelagert. Brechungsb
exponent, Extinktionskoeffizient und Reflexionsvermogen sind
fur den senkrechten und parallelen Fall fiir Wellenlangen
von 5-100 ern berechnet worden. Bei der obigen Wahl der
Drahtstarke und der WellenlPngen ist das Resultat praktisch
unabhangig von dem Leitvermogen des gewahlten Materials :
das Medium verhiilt sich, als ob die Leitfahigkeit der Zylinder
unendlich groS ware. In der folgenden Tabelle sind die Werte
von v I I , x I I und R,, eingetragen; fiir den senkrechten Fall
liegt die Sache sehr einfach, indem praktisch der Brechungsindex vI = 1, der Extinktionskoeffizient xI = 0, das Reflexionsvermogen R, also = 0 ist.
1
I”
vII
1
XI1
I
Rl,
0,732
60
,,
1,342
1,680
2,340
,,
7,20
,,
18,OO
Fig. 5.
97
,,
1. lo cm
In Fig. 5 stellt die unterste Kurve das Reflexionsvermogen
unseres Mediums als Funktion der Wellenliinge dar, und man
erkennt, daJ3 eine sehr diinne Schicht desselben die bekannte
H e r t zsche Gitterwirkung ausubt.
Ein aweidirnenswnales Dispersionsproblem.
221
Ganz iihnlich liegt die Sache, wenn wir Silberdriihte von
0,001 ern Radius benutzen, und auf der Flacheneinheit der
Reihe nach 10 oder 50 oder 100 anordnen. Im senkrechten
Falle ist das Reflexionsvermogen wieder praktisch gleich Null ;
den parallelen Fall erliiutern die folgende Tabelle und die drei
oberen Kurven der Fig. 5, aus denen man erkennt, daB die
starke Steigerung der ,,Dichte" des Gitters bei Wellen groBer
als 10 em h u m noch einen EinfluB ausubt.
, a
I
1 em1 0,835
0,371
0,472
0,800
0,810
0.059
1,746
4,450
6,662
8,758
T1%
,,
,,
,,
96 ,,
70
91
93
,
i
0,261 0,774 52 o/o 0,326 1,080 54%
1,034 6,260 99 ,,
0,740 4,371 86
1,491 14,071 99 ,,
1,061 9,900 96
1,935 21,178 99 ,,
1,435 14,992 97,5
2,646 27,855 99 ,,
2,322 19,758 98
,,
,,
,,
,,
Breslau, Physik. Institut d. Univ., im Dezember 1916.
(Eingegengen 20. Miln 1916.)
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