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Eindimensionale Gravitationsfelder.

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Eindimensionaf e Gravitationsfelder
Von G. D a u t c o u r t , A. Papapetro,u und H. T r e d e r
Inhaltsiibersieht
Es wird die allgemeinste nur von einer (Nichtnull-)Koordinate abhangende
Vakuummetrik angegeben.
1. Einleitung
Unter einem eindimensionalen Gravitationsfeld verstehen wir ein metrisches
Feld g,,, das in einem geeigneten Koordinatensystem nur von einer Koordinate, etwa d,abhangt :
9,Y = v P " ( 4
(1)
-
und - auBerhalb moglicherweise vorhandener Feldquellen - den E i n s t e i n
schen Vakuumfeldgleichungen
R,, = 0
(2)
genugt. I n einer fruheren Arbeitl) wurden die Gleichungen fur eindimensionale
Felder zur Diskussion des Sprungproblems nullter Ordnung benutzt, d. h. zur
Diskussion der Frage, ob wesentliche (nicht forttransformierbare) Spriinge des
metrischen Tensors auf einer Hyperflache x4 = const mit den Feldgleichungen
(2) vertraglich sind. Es waren dabei je nach dem Charakter der Flachen
x4 = const zwei wesentlich verschiedene Falle zu betrachten. Fur den Fall,
daB die Flachen fi = const Nullfliichen darstellten ($4 = 0), wurde in I
gezeigt, daB das allgemeinste (1)und (2) erfullende Feld (d. h. das allgemeinste
nur voii einer Nullkoordinate abhangende Vakuumfeld) mit den ebenen
Wellen von B r i n k m a n n z ) , Bondi3) und Takeno4) identisch i s t b ) .
I m anderen Falle $4 0 wurde fur die Diskussion des Sprungproblems
die explizite Gestalt der eindimensionalen Felder nicht benotigt und daher
in I auoh nicht angegeben. Die allgemeine Losung fur diesen Fall sol1 in dieser
Arbeit behandelt werden6).
+
-
A. P a p a p e t r o u u. H. Treder, Mathematische Nachrichten 23, 371 (1961) (im
folgenden mit I bezeichnet).
2) H. Brinkmann, Math. Ann. 94, 119 (1925).
s, H. Bondi, Nature 179, 107%(1957).
4 ) H. Takeno, Tensor 8, 69 (1958).
5) Ein anderer Beweis findet sich bei Takono, The Mathematical Theory of Plane
Gravitational Waves in General Relativity. Hiroshima 1961. - Vgl. auch H. Treder,
Gravitative StoBwellen, Berlin 196'2.
6) Spezielle Metriken von der Form g,
= g, ,(z4)(mit g44$; 0) sind verschiedentlich
angegeben worden, so von E. Kasner, h e r . J. Math. 43, 219 (1921); V. V. N a r l i k a r
u. K. K. K a r m a r k a r , Current Sci. 16,69 (1946)und bei A. Z. Petrow, Einstein-Riiume,
Rloskau 1961, pp. lOGff., pp. 21Gff. und pp. 223ff.
1)
G . Duutcourt, A . Pupupetrou u. H . Treder: Eindimensionale Gruvitution$elder
3.31
2. Die Feldgleichuiigen
Wie in I gezeigt wurde, genugt es im vorliegenden Fall, von den 10 Gleichungen ( 2 ) nur die folgenden '7 zu berucksichtigen:
2 R ik
. 44
4a 48 .
= g gik,44 $.
gia,4 gk8,4 - g44g"'gii.4 gkA4
$g14 g"gik.4 9 3 & 4
+
- g4"g4' g i k , 4 ~ * 8 , 4= 0,
2R
(3a)
M gik~$ 7 ~ ~ . 4-/-4 g4*g4' .94&,4 94p,4 - g44g"' gl y.4 S1,9,4 $. & g44S" 914,4 gN8.4
- 9 .lag4 8 941,4 q a p . 4 - V ' @g4e,49*8.4
2~1"~'~grp,4go*,4
(3b)
+
- Bg"8
ge= gue,4 g
~= 0.
~ , ~
(Griechische Indizes laufen von 1 bis 4, lateinische von 1 bis 3.)
Die Kombination R i k gik - R44g44= 0 dieser Gleichungen enthalt keine
zweiten Ableitungen und nimmt, wenn wir die zu glk reziproke Matrix
$ k = $k - il k4 4 4 ,
= det g i k , 94 1 9--9
-9 9 Is
(4)
einfiihren, die in I angegebene Form
gzk i l l ' ' gi1,4 g k m , 4
(3)
an. I n I wurde weiter gezeigt, daB (3a) sich nach einer einfachen Umformung
einmal integrieren liiBt. Das Ergebnis dieser Integration lautet
(S.4/SI2=
T kgik,&(- g- g
44
112 -
8
- o(, , ai = const.
I)
(6)
Sotzen wir hier s = i, so folgt
g, 4/ij = &: (- ij g44)-1/2.
(7)
Mit (6) und (7) reduziert sich (3) auf eine Beziehung zwischen den Integrationskonstanten &;:
(&:)2 = a: m:,
(8)
&a,
so daB wir nur noch die Gln. (6) - mit Konstanten
die der Beziehung (8)
geniigen - zu betrachten haben.
Die Falle a: =# 0 und a: = 0 werden wir einzeln behandeln miissen. Im
ersten Fall nimmt die Differentialgleichung (6), wenn man sie mit gsl iiberschiebt und (7) beachtet, die Form
gik,4
= Ggk.dln
\.Gl),4
(9)
an, wobei
-I
OLi
8
= lx&ik
k
(10)
gesetzt wurde. Die neuen Konstanten a; genugen den beiden Bedingungen
8
-k
a:= 1. (Xko(,q = 1,
(11)
diirfen abcr sonst willkiirlich sein.
Den Weg zur Losung des Systems (9) wollen wir kurz beschreibcn. Wir
fiihren statt d die neue unabhangige Variable
c=lnlgl
(12)
ein und ctenken uns die Gln. (9) mit drei linear unabhangigen konstanten
Vektoren lk, mk,nk uberschoben. Es entstehen ctann ails der tensoriellen
-
22*
332
Annalen der PhyGk. 7. Folge. Band 9. 1962
G1. (9) drei aquivalente Vektorgleichungen von der Gestalt
mit z. B. di = g i k lk. Aus den Losungen dieser Gleichungen la13t aich dann die
allgemeine Losung von (9) aufbauen. Die Losungen von (13) hangen unmittelbar mit dem Eigenwertproblem der Matrix afzusammen7). Wir diskutieren
daher zunachst dieses Eigenwertproblem.
3. Das Eigenwertproblern
Die Sakulargleichung det (8: -Ad;.) = 0 besitzt wegen (11) die cinfache
Gestalt
A3 - A2 - det a; = 0
(14)
mit den daraus folgenden Beziehungen zwischen den Eigenwerten A,, &, 1,:
+
+
+
A1A2A3 = det &, A l l , A,&
&A3 = 0 , A, A,+ A, = 1 . (15)
Aus (15) laat sich entnehmen, da13 keine zweifache Entartung moglich ist.
Es gibt jedoch zwei Falle rnit einfacher Entartung. I m ersten gilt:
im zweiten
?.,=1, l = A , = & = O ,
A1-- - - ,31
l=A
2 -- 2 3-3,
dct&=O,
2
i
det&k=--
(1Ga)
4
27.
(1Cib)
Da die Matrix der & im allgemeinen nicht symmetrisch ist, konnen auch
komplexe Eigenwerte auftreten. Ob dies moglich ist, hangt vom Vorzeichen
der zur kubischen G1. (14) gehorigen Diskriminante
ab. I m Falle A < 0 sind die Wurzeln A,, A,, A, samtlich reell und voneinander
verschieden. A = 0 ergibt die beiden Entartungsfalle (lcia) und (1Gb) mit
ebenfalls reellen Wurzeln. Fur d = 0 ist nur eine Wurzel, etwa A,, reell; die
beiden anderen sind konjugiert-komplex.
Wir haben offensichtlich zwei Arten von Losungen der Gln. (9) zu unterscheiden: je nachdem die Flachen a+ = const raumartige oder zeitartige
Flachcn sind. I m ersten Fall ist der Flachennormalenvektor p p = S i ein zeitartiger Vektor, d. h. es gilt 944 > 0 und, wie ails (4) folgt, < 0. Die drcidimensionale Metrik g i B ist, negativ-definit (Signatur -1-1-1).
2 4 kann als
Zeitkoordinate gcdeutet werden, d. h. man erhalt zeitabhangige Felder.
Durch eine lineare Transformation der xi la& sich dann auf einer der raumartigen Flachen JY = eonst fur die dreidimensionale Metrik qik die Form
g;k = - S ; k erreichen. Aus (9)folgt, da13 die Matrix i
& dann (in dieaem speziellen
Koordinatensystem) symmetrisch ist und somit nur reelle Eigenwerte besitzt.
Sind die Flachen
= const dagegen zeitartig, so vertauschen sich die
Vorzeichen : fl4 < 0, > 0. Die dreidimcnsionale Metrik g t a ist indefinit uncl
~
7)
$ 211.
Si,y!i3 z. B. E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Punktionen, Leipzig 1956.
G . Dautcourt. A . Puplietrou u. I€. Tredef: Ei,irliriieiisioiiu!e CJracitztioitsj’elder 35.3
besitzt die Signatur (1, -1, -1). Es ergeben sich zeitunabhangige Felder. Da
fiir g i k nicht mehr die Form gi, = - d,, erreichbar ist, tritt jetzt im allgemeinen
die nichtsymmetrische Matrix a: mit everituell komplcxen Eigenwerten auf.
4. Die allgemehic Losung
I n den Fallen A $: 0 lautet die allgemeine Losung von (9)
g,, = a a, a,
b b, b, e2aE c c, c, e)*$.
(18)
Hier sind a,, b,, ci die drei zu den Eigenwerten I,, A,, A, gehorenden Eigenvektoren; fur den Fall reeller verschiedener Wurzeln (A < 0) sind mit ai,b,, ci
auch a,b, c reelle Konstanten. Im Fall A > 0 ist a und der zum reellen Eigenwert 1, gehorige Eigenvektor aireell, dagegen c, c,, & zu b, b,, & konjugiertkomplex.
Die in (18) auftretenden drei Konstanten a, b, c sind nicht voneinander
unabhlngig, da nach (12) noch die Bedingung det g i k = j = 5 eE zu erfullen
ist. Mit der dritten der Gln. (1 5 ) ergibt sich daraus
+
+
a1 a2 a,
= & - -1~ -
eA1l
l:c;
b b b
(19)
abc’
Ferner sind die Konstanten noch so zu wahlen, daD nach der Wahl des Vorzeichens von g44die Matrix der gpy insgeeamt die Minkowskische Signatur
besitzt.
I n den Entartungsfiillen (lFa), (1Gb) ist zu unterscheiden, ob der Rang
der Matrix &- & A 1 oder 2 ist. Im ersten. Falle gibt es zum entarteten
Eigenwert il zwei linear-unabhlngige Eigenvektoren b,, ci und die Losung
lautet :
g,, = a aia, etal
(b bi bk c ci c,
d [bi c,
bk c , ] ) eta,
(20)
aiist der Eigenvektor zum nichtentarteten Eigenwert 1,; a, b, c und d sind
Konstanten. Durch Orthogonalisierung kann wieder die Form (18) erreicht
werdens). 1st 01; symmetrisch, so kann nur dieser Fall auftreten. 1st der Rang
der Matrix dagegen 2, d. h. besitzt der entartete Eigenwert nur einen Eigenvektor bi, so lautet, wie eine eingehendere Untersuchung zeigt, die allgemeine
Lijsung
g i k = a a,ak ela, b b, b, eta E
B,, eat;
(21)
a, hat seine friihere Bedeutung. Die GroDen a, Bi,sind durch b und b, eindeutig so festlegbare Konstanten, dal3 aurh hier die zu fordernde Bedingung
det g i k = & et erfullt ist.
SchlieDlich ist noch der Sonderfall LY: = 0 zu diskutieren. Nach (8) wird
dann auch
i k
dlk dli = 0
(22)
und aus (6), (7)folgt
+
+
+
s,4
+
+
. +
= 0,
*) Mit A1 = - 1/3, A = z//3 ist (20) iiquivalent der Liisung von Kasner und von
Narlikar und Karmarkar.
334
Aniialeii, der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962
Die Sakulargleichung lautet jet.zt,
Die Eigenwcrt,e sind im allgemeinen komples :
Nur im Fall det' mi. = 0 tritt der zweifach entartet'e reelle Eigenwert il= 0
auf. - Bei den durch (24a) gegebenen koniplexen Eigenwert,en stellt wieder
(18) die allgemeine Losung dar. I m Entartungsfall det a; = 0 erha,lt man als
allgemeine Losung einen Ausdruck der Form
+
! l i k = ail, 6
' -k b i , 6 cil,E,
(24b)
wobei aik, b i k und cjk geeignete, durch die 01;. festgelegte Konstanten sind,
welche noch die Bedingungen det' g i k = const =+ 0 und Minkowskische
Signatur der g,, zu befriedigen haben. - Insbesondere ist in dieser Losung
der ebene Raum (mit, a$= 0) enthalten.
5. Remerkungen zu d m Liisungon
Die z4-Abhangigkeit der g;k ist (wenn & =+ 0) durch diejenige von ij
bestimmt. 5 erhiilt man nach (7) als Funktion von d bei Vorgabe der dAbhangigkeit von g44. g44 und gli sind frei wahlbare, durch keine Feldgleichungen eingeschrankte Funktionen von d.Dies entspricht der Freiheit
in der Wahl des Koordinatensystems. Wenn wir von linearen Transformationen
absehen, bleibt die Bedingung (1)gegeniiber den Transformationen
2 4 = f4(x4)
,jy =
+ f'(.4)
invariant,. Hierbei transformieren sich die einzelnen Komponenten des kontra-
-)
varianten metrischen Tensors gemaB mit f'= df
Q44 -
44
-9
(
4 2
(f
')
d~
g4; = g 4 i
p*+ g14 f4* f "
gik - g;.k
+ g44
f" fk'
+ g4k
(27)
(28)
f7
+ g4i
fk'.
(29)
Die zu den g i k reziproke Matrix ,ir (und damit gik eelbst) bleibt jedoch
ungeandert. Durch geeignete Koordinatentransformationen (25), (26) ist es
dann wegen 944
0 st,et,smoglich, im betrachtet,en Bereich der Losung
+
944 = & 1
g4i = 0
erhalt man mit, (30) aus (7) die explizit'e Gest,alt,
~
zu erreichen. Fiir
(30)
wobei k eine willkiirliche Konstante ist. Sehen wir von dem Sonderfall 01: = 0
ab, so verschwindet j und damit [siehe (rl)] auch die Determinante der qrv
an der Stelle x4 = - 2k/a,'. Diese Singularitat ist, wie man leicht sieht, durch
die zulassigen Transformationen ( 2 5 ) , (26) nicht eliminierbar. Eine regulare
G . Dauteourt, A . Pappetrou u. H . Treder: ~ i ~ ~ d i i i ~ e i ~Grauitatioiisfelrler
~ioi~ii~e
335
Losung der Feldgleichungcn, bei der uberall g < 0 ist, konnen wir also, wenn
=+ 0 gilt, nur fur einen Halbraum des V4 erhalten.
Sind die Flachen d = const raumartig, kann somit d als Zeitkoordinate
betrachtet werden, so hat man damit ein einfaches Beispiel fur eine strenge
zeitabhangige Losung der Feldgleichungen mit folgender Eigenschaft gefunden :
Sie besitzt zwar auf einer Anfangsflache 5 4 = const regulare Anfangswerte,
wird aber in endlichem Abstand von dieser Flache singulars). RegulareAnfangswerte sichern also keinesfalls die Regularitat der Losung in einem vorgegebenen
Bereich.
Bei zeitartigen Flachen d = const, d. 11. bei $4 < 0,laBt sich diese Singularitiit durch die Einfuhrung einer flachenhaften Materieverteilung vermeiden,
die dann die Quelle dieses Feldes darstellen sollte. Wir konnen dazu etwa
folgendermaaen vorgehen: Indem wir a: < 0 und k < 0 annehmen, lassen
wir die durch (30), (31) und (18) bzw. (20) oder (21) gegebene Losung in
dem durch d 2 0 bestimmten Halbraum V f gelten. I m anderen Halbraum
V- schreiben wir dagegen den gPv konstante Werte so zu, daB die Kontinuitat
der g,, auf der Flache d = 0 gesichert ist :
(32)
9;" = (9;V)P = 0 .
Auf der AnschluBflache d = 0 treten dann notwendig Sprunge der g i k , l auf,
die nicht forttransformierbar sind. Da diese Flache keine charakteristische
Flache ist, mu13 es dann auf ihr eine von den xi unabhangige, also homogene
flachenhaft verteilte Materie
T,, = t p v
6 (d)
mit konstanten
lautet :
tClv
geben.
(33)
Die Definitionsgleichung der Flachenbelegung
1
qpv R) d4x.
2
(34)
Indem wir in diese Gleichung mit (18) uiid (31) fur x4 2 0 und g,,, = const
fur 2 4 < 0 eingehen, bekommen wir
t,l = 0
(35)
' Die physikalische Bedeutung des bei der Losung der Feldgleichungen aufgetretenen Eigenwertproblems ist also klar: Es handelt sich, wie man aus
(35), (36) ersieht, um das Problem der Hauptachsentransformation des felderzeugenden Materietensors.
Fur die physikalische Deutung dieser Materieverteilung hat man zu
beachten, daB x4 eine raumartige Koordinate, dagegen eine der xi die Zeit9, Singularitiitender obigen Art wurden von E. M. Lif schitz u. I. M. Khalatnikow,
Soviet Phys., JETP 12 (39), 108 (1961) im Zusammenhang mit kosmologischen Modellen
bestimmt. Sie fanden fur die Umgebung der singuliiren Fliiche = 0 Niiherungslosungen,
die in erster Naherung mit den hier gegebenen Losungen identisch sind. - Uber die
Bedeutung der Nullstellen von g vgl. auch H. T r e d e r , ,,Gravitationsfeldermit Nullstellen der Determinante der gs,,", Ann. Physik 9, 283 (1969).
336
Annalen &r PAY&. 7. Folge. Band 9. 1962
koordinate t sein muB. Nehmen wir z. B. die Zuordnung x1 -+ t , xa -+ y,
9+z , fi4-t x an, so sehen wir unmittelbar, daD es sich um eine zeitunabhangige, homogene Materieverteilung auf der Flache (des dreidimensionalen
Raums) x = 0 handelt. Es sei noch bemerkt, daB keine Belegung moglich ist,
bei der nur die zeitartig-zeitartige Komponente des Materietensors von Null
verschieden ist ; zur Aufrechterhaltung des eindimensionalen Feldes mit homogener Bele,wng sind in der allgemeinen Relativitiitstheorie, im Gegensatz zur
N e w t onschen Gravitationstheorie, stet,s starke Spannungen notig.
P a r i s , Institut Henri Poincarb.
B e r l i n , Institut fiir Reine Mat,hematik der D. A. W.
Bei der Redektion eingegengen am 4. April 1962.
Verantwortlich
flir die Schriftleitung: Prof. Dr. G. B i c h t er. Zeuthen-Miersdorf. Platanenallee 6; fiir den Anzeigeiiteil:
DEWAG-Werbung Leipzig, Leipzig C 1, Friedrich-Ebert-Str. 110, Ruf 7851. Z.Z.gilt Anzeigenpreisliste 4.
Verlsg: Johann Ambrosius Barth, Leipzig C 1, Salomonstr. 18 B, Fernruf : 27 e81, 27 1382. Z1.N 5066
Printed in Germany
D Druck: Pail1 Diinnhaupt, Kathen (IV/5/1) L 143/62
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gravitationsfeldes, eindimensional
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