Zuni 60.Gehurtstage
gewidniet von Freundeii und Mitarheitern
16. Dexemhrr
1942
ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLBE
B A N D 42
H E F T 2 n. 3
+
1948
E6-e Ausgeetattumng der L o n d ortschtb l'borde
cter SupraZedtung
Von M. v. L a z c e
(Vorgetragen am 10. Juli 1942 vor der Physikalischen Gesellachaft zu Berlin)
Inhalt: Einleitung. - 5 1. Die Gruadgleichungen. - 5 2. Allgemeine
Folgerungen fur homogene Supraleiter. - 5 3. Isotherme Vorghge in homogenen
Supraleitern. - 5 4. Daa stationlire Feld. - 3 5. Gupraleitende Binge. 5 6. Wellen im homogenen Supraleiter. - Q 7. Der Energiesatz. 5 8. Thermodynamiscbes. - 9. Der Impulssatz fur homogene Supraleiter. - Zueammenfirasung.
-
s
Einleitung
F. L o n d o n s tfbertragung der Maxwellschen Elektrodynamik
auf die Supraleitung, dargestellt in seiner Broschiire , , b e conception
nouvelle de la supraconductibilit6" I), bewahrt sich, wie ich an anderer
Stelle zu zeigen suchtea), nicht nur in der Deutung des YeiBnereffektes und der Dauerstrijme in supraleitenden Ringen, sondern
auch an neueren Versuchen so gut, dab man sie ernsthaft als
Grundlage fur die weitere Forschung in Betracht ziehen mu6. Aber
sie ist nicht vollkommen. Eigentlich enthalt jene Schrift mehrere
Theorien, die zwar in wesentlichen Zugen ubereinstimmen und insbesondere, was die stationaren Vorgange anlangt, zu den gleichen
Krgebnissen ftihren. Aber wahrend nach der einen Fassung (8 5 )
die elektrische Ladungsdichte im Supraleiter ungedampfte Schwingungen von optischen Frequenzen ausfuhren kann, die zwar M C ~
au6en nicht wirken, solange der Supraleiter als solcher besteht,
die sich jedoch beim Phasenubergang zum Normalleiter hemerkbar
machen muBten, ist nach einer anderen Fassung (8 11) die Dichte
notwendig Null, obmohl man doch gewiB Elektronen in den Supraleiter schieBen kann, die dort stecken bleiben und so Ladnngen
erzeugen. Nit den optischen Eigenschaften der Supraleiter beschaftigt
sich die genannte Schrift iiberhaupt ni:ht, wohl deswegen, da6 zur
Zeit ihres Erscheinens Vereuche dariiber noch nicht bekanut waren.
Unser 4 6 sol1 zeigen, daB die letzte E'assung der Londonschen
~~~~
~~
.-
1) Paris 1937.
2) M. v. Laue, Phys. Ztachr. 43. S. 274. 1942.
Annnlen der Phyalk. 5 . Folpe. 42.
5
66
Aanalen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
Theorie (a a O., 0 ll), mit der unsere Ansgestaltung in diesem
Punkte iibereinstimmt, durchane die inzwischen feetgestellte Tatsache
erklirt, dab sich Reflexione- und Absorptionsvermogen fiir Lichtund Wiirmestrahlnng am Sprungpunkt nicht iindern l). SchlieBlich
bringt uneere Ausgestaltung auch die von L o n d o n angestrebte, aber
nicht erreichte relativiatische Formulierung der Theorie, welche ftir
den inneren Znsammenhang der beiden L o n don echen Gleichungen
von Bedeutung ist [vgl. nnten GL (7) und (15)l.
Wir behalten von der letzten Fassung der Londonechen
Theorie (8 11 der genannten Schrift) den Gedanken bei, da0 der
gewbhnliche, dem 0 hm schen Geeetz gehorchende Strommechanismue
auch im Snpraleiter besteht, daS sogar die Leitfithigkeit aich beim
ffbergang in diesen gro6enordnungsma6ig nicht iindert, daB aber
neben diesen ein neuer, von den Londonschen Gleichungen behemchter Snpraleitungsmechaniemus tritt. Diese beiden Mechanismen
d e n ganz unabhangig voneinander sein, jedem schreiben wir eine
eigene Kontinnitiitsgleichung zu. Auf dieser Grundlage entwickeln
wir eine Erweiternng der Maxwellschen Theorie, die in sich zu
keinen unglaubhaften Resultaten fiihrt, und die bisher bekannten Erfahrnngen alle zwangloe erkliirt.
Noch in anderer Richtung miichten wir iiber L o n d o n hinausgehen. Wie eine Reilie von Versuchen zeigt. ist die Eindringtiefe
des etationiiren magnetischen Feldes von der Temperatur des
Sppraleiters abhangigz); sie wachst, wenn sich diese von nnten her
der Sprungtemperatur nahert, und es hat sich bei den vorliegenden,
wohl noch nicht endgultigen Versuchen keine obere Grenze fUr
sie gezeigt. Es scheinen Zweifel erlaubt, ob der MeiBnereffekt, die
Verdriingung des Magnetfeldes aus dem Inneren, iiberhaupt sogleich
am Sprungpunkt einsetxt, oder ob er sich erst bei weiterer Abkiihlung (dann allerdings sofort) einstellt ?. Jedenfalls schreitet er bej
dieser Abkiihlung rapide fort. Wie dem auch sein mag, nnserc
Ausgestaltung der Supraleitungselektrodynamik sol1 die Temperatur
1) J . G . D a u n t , T . C . K e e l y u. K. M e n d e l e s o h n , Phil.Mag. 23. S.264
1937; E . H i r a c h l a f f , Proc. Cambridge Phil. SOC.33. S. 140. 1937; H. H i l e c h
Phya. Ztschr. 40. S. 592. 1939.
2) T. S. A p p l e y a r d , J. R. Rriaton u. 11. L o n d o n , Nature 143. S. 433
1933; D. S h o e n b e r g , Natnre 143. s. 434. 1939.
3) Geachieht der Phasenubergdng in einem Magnetfeld, also bei einei
Temperatur unterhalb dea Sprungpunktee, 80 aetit der Meihereffekt allerdioga
eofort ein.
M . c. Law. Eine Awrgsetaltung &r Lmdmschen TlceOrie w . 67
und damit die kennzeichnende Konatante I der Londonschen
Gleichungen als Funktion der Zeit betrachten, desgleichen die Leitfahigkeit 0. Mit wachsender Temperatur nimmt I zu, da c p die
Eindringtiefe ist. Um die Anwendung der Theorie auf inhomogene
Supraleiter, etwa solche mit raumlich veranderlicher Temperatur oder
auf Legierungen variabler Zusammensetzung, zu sichern , nehmen
wir c und i, als auch riiumlich veranderlich an, sofern wir nicht das
Gegenteil ausdriicklich betonen.
9 1.
Die Gmndgleichnngen
Die Grundlage bilden selbstverstiindlich die Maxwellschen
Gleichungen mit der Vereinfachung, da6 wir Dielektrizitiitskonstante
und magnetische Permeabilitat gleich 1 annehmen dtirfen. Sie
auten in dem Bezugssystem, in welchem der Supraleiter ruht, und
m Lorentzschen MaSsystem:
divQ = 0 ,
div (3 = p .
Nuu aber zerlegen w i r die Stromdichte
(5)
.s: = 3"+ 3
in den Ohmschen Strom 3' und den Londonstrom 3. Ollt fiir
jenen die Ohmsche Gleichung
(6)
3 0 = GE,
co fiir diesen die erste L o n d o n w h e Beziehungl)
c rot (i.3
11 = - .E) .
7)
Indem wir zwei unabhangige Leitungsmechanismen annehmen, zerlegen wir auch die elektnsche Dicbte
(8)
p = !'O +
in zwei Teile unc! nehmen die beiden Kontiuuitiltsgleichungen
1) Indem wir rtnnehmen ds6 die Dauerstromversuehe fur inhomogene
Supraleiter ebenso susfallen, wie f u r homogene, niisscn wir (vgl. 0 5) diese
Schreibweise der iilteren Formulierung
vorziehen.
A n n a h der Physik. 5. Folge. Band42. 1942
68
an, wiihrend an8 (2) nnd (4, wie bekannt, diese Gleichnng nnr
fur den Gesamtstrom 3 fol&
Wir wollen dieses System von Gleichnngen in eine relativistisch
invariante Form bringen l). D.azn fIlhrt man bekanntlich neben dem
..
1
Viereratrom P mit den Komponenten P, P (3,+ 0 ql), ., P4= ip
(bezogen auf ein Sptem, in welchem der Korper die Oeschwindigkeit q besitzt), den Sechservektor !Dl de8 elektromagnetiechen Feldes
mit den (ebenfalls fur jedes Bezngesystem gidtigen) Komponentenwerten ein:
&, = - iQl
?
I
l
l
,
,
-i$
I=
Dann lassen sich znsammenfassen
G1. (1) und (3) zn
= - i Q,,
Zm,
(31. (2) und (4) zu
Auch die Umschreibung der Ohmschen 01. (6) ist bekannt.
unterscheidet vom Viererstrom eine Viererleitung
Man
4
A- P+ YCYpPp,
1
deren 4. Komponente im Ruhsystem 0 ist, wahrend die anderen
Komponenten im gleichen System
1
(12)
Al = P,
- 3,
USW.
Bind. (Y ist hier die Vierergeschwindigkeit mit den Komponenten
y =.!q?
VC'
- q'
-
, . . ., y
4
~
JY&)
Q
) *).
Die invariante Schreibart
von (6) lautet dann
4
-.
p=l
-.
1) Vgl. hierzu etwa M. v. L a u e , Das Relativittibprinzip I , 4. Aufl.,
Braunechweig 1921, Kap. VI (Min k o w s k i e c h e Elektrodynamik).
2) Man beetiitigt leicht, dafl
A
ist, dab folglich im Ruheystem d, = 0 gilt, wie der Text angibt.
M . v. Law. E k e AusgeshUung der Londonschen Thsmie usw.
69
Neu aufzustellen isb aber die invariante Gestalt der Londonschen
Q1. (7); sie ist enthalten in den 6 Beziehungen
wenn man in diesen die Indizes p und q als 1, 2, 3 wahlt. Dies
sieht man an (12) und (10). Aber in (14) sind noch 3 weitere Beziehungen enthalten; ,setzt man p = 1, 2, 3 und q = 4, so h d e t
man, da im Ruhsystem A,'= 0 ist, die zweite Londonsche Gleichnng
(15)
Auch diese Gleichung wollen wir als giiltig annehmen. Diese
neue Voraussetzung stiitzen wir erstens auf dqn dargelegten relativistiwhen Zusammenhang mit (7), zweitens auf die Tatsache, did3 man
aus (7) durch Differentiation nach 1 und durch Vergleich mit (1)
folgert :
rot
- 6)= 0.
(w
Sber keine dieser Stiitzen la& sich zum zwingenden SchluS ausgestalten. Ware (15)unrichtig, so muBte man statt (14) eine andere
relativistische Form fur (7) suchen, was zweifellos moglich, nur
nicht so einfach ware. tibrigens konnen wir uns auch so ausdriicken,
daS wir statt (7) sogleich die Formel (14) i n unsere Grundlagen
aufnehmen I).
Die Grenzbedingungen fur das Ruhsystem lauten wie in der
Maxw ellschen Theorie: Stetigkeit der Tangentialkomponenten von (3,
wahrend ein Sprung beim Q, gleich der Flachendichte ist; Stetigkeit
aller Komponenten von @, auch von @, da wir den Snpraleiter
als unmagnetisierbar betrachten ; schlieSlich Stetigkeit der Normalkomponente 3, + al des Gesamtstroms. F u r die Grenze zwischen
zwei Supraleitern aber folgt noch aus (7) das Verschwinden der
Flachenrotation, d. h. die Stetigkeit der Tangentialkomponenten des
Vektors %3C. Dies pa& zu (15) und der Stetigkeit der Tangentialkomponenten von 6. Wo der Londonstrom einer Grenzflache parallel
flieSt, hat er demzufolge im besseren Supraleiter, d. h. dem mit der
kleineren Eindringtiefe und kleinerem A, die groSere Dichte.
Damit haben wir unsere Voraussetzungen vollstiindig aufgezilhlt.
1) Auch F . L o n d o n hat, wenngleich mit konstantem 1, GL(15)angenommen,
aber ihre Verkniipfung mit (7) durch die relativistische G1. (14) nicht bemerkt,
schon weil ihm der Begriff der Viererleitung im Gegensatz zum Viererstrom fehlt.
70
A m a h &r Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
5 2. AUgerneine Folirerungm fiir homogene Supraleiter
Wir eetaen hier n. nod I als raumlich konstant voraus.
An
(31. (2) bilden wir die Rotation:
rotrot@ =-[-rot&
I la
c
,at
-1- r o t a 0 + r o t a 1
= - (i - - rao t & + o r o t ~ + r o t 3 ' )
c
at
Indem wir d a m von (1)und ( 7 ) Qebrauch machen, Uberdies die von
L o n d o n eingeftihrte Beziehung
bertioksichtigen, finden wir :
Nach (3) kann man dafiir auch whreiben:
P-l
= c I/j: ist danach die Eindringtiefe eines stationaren Feldes
(vgl. auch 9 4).
Bei verilnderlicher Teinperatiir wird /3 als Funktion der Temperatnr auch Funktion der :Zeit t. G1. (18)muS, wenn man p wachsen
lafit, das Fortschreiten des MeiBnereffekts mit sinkender Temperatur
beschreiben, vielleicht sogar, wenn. wirklich unmittelbar am Sprungpunkt die Eindringtiefe unendlic), also 13 = 0 sein sollte, dessen
Entstehung. Doch gehen wir auf tfiesen Punkt hier nicht naher ein.
Xhnlich schlieBen wir aus (l),(2), (5) und (15):
An die Seite der f u r die magnetisc.be Feldstiirke geltenden Differentialgleichung (17 ) tritt somit fur die elektrische Feldstarke:
die sich fur 'Forgange bei konstauter Temperatur, fiir welche
ist, von jener nicht unterscheidet.
538
M. C. Law. Einc Awgeskrltung
der Londonschen T L m k w w .
71
Bilden w i r weiter an (17) die Rotation, so fo& in Hinblick anf (2):
Far die Klamrner eetzen wir nun ihren Wert an8 (19) ein und erhalten so a l e Differentialgleichung ftlr den Gesamtetrom 3:
Auch in ihr fallen fiir isotherme Vorgiinge die Summanden der
rechten Seite, durch welche sie sich znnHchst von (17) unterscheidet, fort.
An8 (S), (4) und (8)folgt:
div
so= n div Q = n(p6 + 63,
und weiter aue der Kontinnitktegleichnng (9) f a r
-CC
+ a(eO+
at
(21)
pq
I=
3O:
0.
Andererseite geht aus (15) durch Divergenzbildung unter Beracksichtigung von (4) und (8) hervor:
Dies sind zwei Differentialgleichungen zur B e e h m u n g der Eineeldichten co und 0 1 a l s Punktionen der Zeit t.
Q 3. Lotherme Vorgiinge in homogenan 8upraleit.m
Im Falle konstanter Temperatur sind die Differentialquotienten
(r nach t gleich Null.
Die8 vereinfacht die Diffmntialgleichungen des vorigen Abschnitta erheblich.
Die Differentialgleichungen (21) und (22) lsssen dann zur Msung
den Ansatz zu:
von i. und
(23)
!lo=
P o ( z , ,z2, zS)e-"',
pl
P*(zl,zI,Z J C - ~ '
und gehen dadurch in die algebraischen Gleichnngen uber:
(f7-
IY)PO+fTP'PO,
P + ( 1 +Id)P'==O.
A n d m der Physik. 5.Folge. Band42. 1942
?Z
Nullsetzen der Determinante ergibt a l s Bestimmungsgleichung fiir u:
auS-ailaa+
a=o
deren Wurzeln sind :
Dazu gehoren die Verhdtnisse P l / P o :
1
Pl = - j-(1
1
(25) P f = - T(l
- w), 2
P I
PP"
Die allgemeine Losung lautet daher :
+
+ w),
PI
3= -
p*u
1.
wobei die Ortsfunktionen A , , A , , A, den Arifangsbedingungen anzupsssen sind. Man kann z. B. fiir t = 0 die Einzeldichten Po und $,
dazu a g z / d t als Funktionen des Ortes vorschreiben; fur alle spateren
Zeiten sind dann Po und
eindeutig festgelegt.
Selbst wenn w imaginilr sein sollte, haben a, und ag positive
reelle Teile, so dal3 p o ;nd el, damit auch die Gesamtdichte p
abklingen, die Gesamtdichte bis zum Wert 0. Damit sind die ungedampften Eigenschwingungen der friiheren Theorie beseitigt.
Ladungen, welche einmal im Inneren lagen, wandern somit, soweit sie
sich nicht gegenseitig ausgleichen, in kurzer Zeit an die Oberfliiche.
Die Losungen unserer Grundgleichungen, welche diesem Vorgang
entsprechen, uberlagern sich additiv den andere Vorgange beschreibenden Losungen. Sofern wir uns nur fiir solche interessieren,
diirfen wir also stets Q = 0 voraussetzen, wie man es j a auch in der
Maxwellschen Theorie stets tut. Dann aber folgt aus (4) und aus
der Kontinuitatsgleichung fur den Gesamtstrom:
427)
divB = 0 ,
div3 = 0 ;
und dies wieder hat zur Folge, dal3 wir die GL (19) und (20) far
isotherme Vorgange umformen konnen zu
Die Einzelhchten
und po sind jedoch im allgemeinen, auch
nachdem e gleich Null geworden ist, nicht Null. Da sie dann als
zeitlich konstant anzusehen sind und sich kompensieren, iiben sie
aber keinen EinfluE auf das elektromagnetische Feld aus, bleiben
M. V . Law. Eine Ausgestoltung
der Londonshn Theor&
WM.
73
vielmehr von selbst auSer Betracht. Denn in den Grundgleichungen
treten auBer der Summe Po + Q' nur die DiffereDtidquotienhn ap"/dt
rind a$/at auf. Dmgekehrt kann man nicht aus den Grundgleichdngen,
sondern erst aus geeigneten Anfangsbedinengen eindentig auf die
Teildichten Po und $ schlieSen.
Die Formeln (17), (19) und (20) finden sich abgesehen von den
Summanden, welche Differentialquotienten von 1 oder 6 enthalten,
auch bei L o n d o n in 8 11, jedoch mit den CrUgemRingGltigSn Zusatzen = 0 und d i v g = 0. Diese Zusatze sind aber, wenn sie
allgemeingiiltig sein sollen, physikalisch bedenklich ; man kann doch
eben Ladungen ins Innere bringen, z. B. durch EinechieSen von
Elektronen, welche dort stecken bleiben. Dab wir hier in den
G1. (26) das Wegstrtimen solcher Ladungen beschreiben kilnnen,
diirfen wir wohl als Vorzug buchen, obwohl dieses Wegstrbmen fiir
die Anwendungen der Theorie aus den dargelegten Grtinden nur
selten eine Rolle spielt. Bei uns gelten die Zusiltze (27) eben nnr
bedingt.
$ 4. Daa ststionare Feld
Im stationaren und isothermen Fall folgt aus (15) und aus (6):
(30)
E=O,
3"O.
I m stutwnaren Zustand fliept kezn Ohmscher, sondern nur Londonscher Strom, und der Supraleiter ist ein Gebiet konstanden elektro-
statischen Potentials. I n Dauerstromversnchen einen ,,Restwiderstandu
zu finden, ist aussichtdos, weil der Ohmsche Strom durch den
L o n d o n schen Leitungsmechanismus ,,knrzgeschlossen", ist. Da wegen
der Kontinuitiltsgleichung (9) dann div 3' = 0 ist, geht die Differentialgleichung (29) iiber in
(31)
A3L- 3231 = 0
und nimmt damit die gleiche Form an, wie die Differentialgleichnng(18)
fur das Magnetfdd:
A Q - ( 3 S Q = 0.
(314
Diese beiden, den MeiBnereffekt mathematiech formulierenden Qleichungen liegen allen bisherigen Anwendungen der Londonschen
Theorie auf stationare Vorgiinge zugrunde, so daS alle diese echon
dnrch manche Versuche bestatigten Ergebnisse hier erhalten bleiben.
5 5.
Supnleitende Binge
Den tiefen inneren Zusammenhmg der fiir den Londonedhen
Strom 3' kennzeichnenden Grundgleichungen (7) und (16) zeigt anSer
ihrer Znsammenfassnng m relativistischen G1. (14) such die folgende,
Annalen der Physik. 5.Folge. B d 4 2 . 1942
74
schon bei London (9 3 a a 0.) zn findende Betrachtnng eines supraleitenden Ringes; nur dehnen wir diese auf inhomogene Supraleiter
aus, etwa auf Ringe, die ans verschiedenen Stacken oder aus einer
Legierung veranderlicher Znsammensetzung bestehen. Die Grenzbedingang der Stetigkeit fur die Tangentialkomponentan des Vektors 131 bewirkt, daB wir Grenzflachen nicht explizite zn betrachten
branchen.
Wir wiihlen nns eine beliebige, ganz in seinem Inneren verlaufende Knrve C und eine von ihr berandete Flache, die wir mit
demselben Bnchstaben benennen; das Linienelement heiBe d s , das
Fllichenelement do. Umschlingt die Kurve C die Bohrung des
Ringes, so liegt die Fliiche C notwendig znm Teil aderhalb des
Snpraleiters; sonst kann man sie so legen, daB sie nirgends ans
ihm heranstritt. Wie dem auch sein mag, jedenfalls ist nach (15)
das Linienintegral
eine Gleichung, welche man nach dem Stokesschen Satze nnd der
innerhalb wie an6erhalb des Snpraleiters gilltigen Maxw ellschen
01. (1) umformen kann in
Die in (32) auftretende Intcgrolsumme ist also zeitlich konsfant. Sic
hat aber auch denselben Wed fiir cine me& Kutoe C' im Inneren
des Suprakiterr, s o j m man C in C' durch rtetige Veriinderungen
ohne Jlerawtrden aus dem Supraleiter Bberfiihrm kann. Umschlingt C die Bohmng, so mnl3 es nwh dieser Voranssetzung anch C'
tun; Bonst aber darf such C' sie nicht nmschlingen. Die Voranssetzung hat znr Folge, dal3 sich von C und C' berandeta Fliichen
angeben laasen, welche nirgends an8 dem Snpraleiter herausragen.
Nor anf einer solchen FlPche gilt die erste Londonsche G1. (7).
Sie lehrt:
0
-
J-(crotJW
+ @Ja n
was zu beweisen war. Ftk zwei Eurven C und C' jedoch, welche
sich nicht a d die genannte Art ineinander tiberfiihren laseen, hat
die Integralsumme von (32) im allgemeinen verschiedene W e d .
Umschlingt die Kurve C die Bohrung nicht, so ist die Integralsumme
M. v. Law. Earn Ausgestallung der Looldonschsn Them+
usw.
75
gleich Null; denn man kann d a m C’ anf einen Pnnkt zusammenziehen. Dies eind vollig strenge Folgerungen aus denQrundgleichungen.
1st der Ring Qbarall dick gegen die Eindringtiefe /?-I, so ist
nach (31) nnd (31a) bei qnasietationiiren, isothermen Vorghgen hinge
einer tiefer i m Inneren verlaufenden Knrve C mit sehr gnter Annahernng 3‘ = 0. Dann ist der Induktwmflu/? durch C , der sehr
anduynd iibereinstimmt mat dem Induktionsflup dureh die Bohrung
des Ranges, zeitlich +tad.
Dies demonstrieren die Dauerstromversnche. Aber ee gilt n u r ale Naherung.
Die Verallgemeinerung dieser Satze anf einen Snpraleiter , der
einen nicht nnr zweifach , sondern mehrfach zneammenhhgenden
Raum einnimmt, versteht sich von selbet.
5 6. Wellen im homogenen Su raleitar
P
Wir setzen wieder die Temperatnr als konstant nnd den L e i t p
ale homogen vorane, so da6 alle Differentialquotienten von Q nnd 1
fortfallen. Eine in der positiven x3- Richtnng fortschreibnde ebene
Welle beechreibt d m n der Ansatz:
Qz = TV! E, ei ( v f - k r , )
Q, = E, ei ( v - kr.1 ,
(33)
(alle anderen Romponenten von Q nnd Q gleich Null), welcher (31. (l), (3)
und (4) (mit p = 0) befriedigt. Um auch (31. (2) zn erfllllen, mtisseQ
wir @ der 01. (28) oder Q der GL 118) nnterwerfen. Anf beiden
Wegen kolnmen wir zu der Beziehung:
k2 =
(7‘
..
92 -
-
-.i o v
(34)
c9
Dafur konnen wir nach (16) auch schreiben:
1
k iet aleo stete komplex, die Wellen sind immer gedampft. 1st Y < I - 5 ,
80 iet k, < lkil, daher die Wellenlange 2n/k, griihr als die Abklingstrecke 2 n / l k i l , a d welcher die Amplitude bis znm e - en-fachen abnimmt (,-an ungefahr gleich 0,02); es kommt eigentlich gar keine
Welle znetande.
1st nmgekehrt
21
> A-
Wellenlknge kleiner als die Abklingstrecke.
1
7 , 80 ist k,
Fth v<i.
> lkil
_ -1
2
und
nnd die
riv<<A--’
76
A n n a b der Physik. 5.Folgc. Band42. 1942
Die Leitfahigkeit u ist ftir Qnecksilber bei Zimmertemperatur
etwa 10" sec-I (im Lorentzschen Mdsyetem!), dicht oberhalb des
Sprungpunktes aber etwa 500 mal g5Ser1), also etwa 10le 8ec-l.
Wir nehmen an, d d sich beim Ubergang zur Snpraleitnng ihre
Gr6Benordnung nicht hdert. /3 ist ein paar Grad unter dem Sprungpunkt von der GriiSenordnnng 10' cm-', also paetwa gleich 1O'O ern+
am Sprungpunkt aber kleiner. Damit vergleichen wir die in (34)
OW
neben pa auftretendh (3r66en
und ^.l
Ftir Y = 1Olo sec-'
( h
(+)*
e Hertzsche Wellen) ist (:-)' = 10-l
hingegen fiir
Y
=
1014
ov
cm-a, -- = 108 cm-2;
sec-1 (ultrarote WeUen)t)
C'
(+)a
-
107 cm-8
OW
und = 1012cm-a. Fiir Y = 1Olo sec-l iiberwiegt noch das Glied p2
C=
in (34), ftir v = l O I 4 aec-l hingegen ist cv/ca der ansschlaggebende
Summand Man verdteht so die oben genannten Vewnche, welchr
hdernngen der optischen Eigenschaften beim ubergang zur Supra
leitung nicht nachweisen konnten.
Nach den GL (6) und (16) (mit konstantem A) sind fih jede Richtung i, Londonstrom 3,' nnd Ohmscher Strom 3," bei periodischen
Schwingungen nm
Periode in der Phase gegeneinlrnder verschoben.
Ihre Amplitnden aber verhdten sich wie
Bei d e n elektrisch erreichbaren Schwingnngen iiberwiegt also in
der Regel der Londonstrom in der Starke; doch gilt dies vielleicht
nicht mehr in der Niihe des Sprungpunktes, wo il grof3er ist.
Fur energetische Berechnungen in 8 7 wollen wir hier die
Reflexion einer ebenen, senkrecht auf die ebene Grenzfliiche eines
Snpraleiters auffallenden Welle behandeln. Der Snpraleiter erfiille
den Halbraum der positiven xs.
. Dann ist der Schwingungsznstand dargestellt dnrch die folgenden
Gleichnngen, in welchen r nnd d noch zu berechnende Konstanten
bedenten :
1) Vgl. K. S t e i n e r u. P. GraSmann, Supraleittpg, Brauneehweig 1937,
Abb. 4 in 5 3. Im Lorentrechen Mdsyrtem int o nm den F a t o r 4% gr6Eer
als im elektroststischen.
2) Flir 4pWellen laaeen eich nach E H a g e n u. H.Rubens, Ann. d.
Phye. 11. S. 873. 1903, die optischen Eigeneehaften vieler Metalle noch aua
der elektriach gemwenen Leitftihigkeit berechnen.
Fur k ist hier der Wert aus G1. (35) einzusetzen, fur sehr kleine
also k = - i,3.
8 7 . Der Energiesatz
Den Energiesatz erhalt man wie in der Maxwellschen Theorie
durch skalare Multiplikation von (I) mit Q, von (2) mit - 0: und
Addition ; dies liefert
11
Die Anderung tritt erfit bei Umformung des Produktes
Es ist namlich nach (5), (6) und (15)
(SG)z u e e .
( ~ F ) = ( Q O Q ) + ( ~ ‘ @a) =1 ~. & ~j +!
+ (1 ~(dT ~ii. 3 ~i 2 /) - ~ ”
Also lautet der Energiesatz:
Den Zusatz
1
2)b$i2
zu- freien Energie kennt auch die bisherige
E’assung der Londonschen Theorie; wie fruher gezeigtl), triigt er
im stationaren Fall zur Gesamtenergie wegen der geringen Dicke
der stromfiihrenden Schicht nichts Merkliches bei. Neu ist der
letzte Summand, der aber nur bei -Temperaturanderungen ins Spiel
tritt; und zwar ist er, da I mit wachsender Temperatur zunimmt, in
_
_
~
1) M. v. L a n e , Phye. Ztschr. 43. S. 274. 1942.
78
Arrnalen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
diesem F d l e positiv, bei sinkender Temperatur negatm. Bei wschsender Temperatur tritt also eine Wiirmezufuhr ein. Die Jonlesche
W h e 065' fallt fur stationiire Zustbde fort, wbil, wie wir oben
zeigten, in ihnen Q = 0 istl).
Bei der in $j6 behandelten Spiegelung ebener Wellen fiillt in
der Zeiteinheit auf die Fliicheneinheit der Grenze die Energie
S = c-E,'.
Die pro Flachen- und Zeiteinheit entwickelte Joulesche Wtirme
aber betriigt, wenn wir geringe Frequenz, also nach (36) k = - i/?
2v
und nach (36) d = annehmen:
ck
m
m
Q = 0 J ' ~ 6 5 ~ ~ d~ zl d~ ~= ' E o ' J ' e - ~ P ~=d xZ ,2g.
' c E *a
0
U
Folglich ist der Bruchteil der Energie, welcher absorbiert wird
(= 10-e7va, wenn man, wie oben
O=
l O l e sec-l
1 = 10-31 seca setzt).
FlieSt kings der ebenen Obedache eines homogenen Supraleiters
ein Wechselstrom von der im obigen Sinne geringen Frequenz v,
ti0 ist die Joulesche Wiirme pro Fllchen- und Zeiteinheita)
Andererdenn es gehorcht die Stromdichte dem Gesetz 3 = 3,'eseits bestehtg) gwischen 3,' und der magnetischen E'eldstiirke Ha unmittelbar ad3erhalb des Leiters die Beziehnng i3012= Hal. F&lich wird
(39)9
Q =*a
c 0 j:/n
y2
~ 2 .
1) G1. (37) findet sicb abgeseben von dem Term mit d l / d t auch bei
F. London in 5 11,
2) Der Strich tiber &' usw. bedeutet den zeitlicben Mittelwert.
3) Vgl. M. v. L a u e , Ann. d. Phye. [5] 32. S. 71. 1938, bee. 6. 80.
4) Diese Angabe findet sich ohne Ablaitung auch bei F. L o n d o n ,
a a 0.5 11.
M. v. Law. Eine Auqestaltung
der
L o n d o n s c h Theorie
usto.
79
Weiter ist die Fliichendichte des Stroms
J
a
1
s:[e
-82.
d s 3 = $&A
U
daher
(40) Q =
(r
~
p t "9
2C
-
J 2 (= 1 0 - S s ~ P Jmit
P denselben Zahlen, wie in (38)).
Fur einen Draht der Lange I und vom Radius R ist also die gesamte
Wiirme
n u k11¶ u9
9 = Q . 2 n R1= ----RlJ3
c
oder, da 2%R J = I die Stromstgrke ist,
Bei einer der Spulen, welche J u s t i und Zickner'') fur ibre Stromteilnngsmessungen benutzten, war R = 2.1O-%m, 1 etwa gleich 2. lo5cm,
daher dann Q = 1O-S4 v8 I z. Dieselbe Spule hatte einen Selbstindnkcm-'sec-*
Henry, d. h. 3 .
tionskoeffizienten L von runt1 3
-
3
4n
im elektrostatischen und
cm-l sec-a
im Lorentzschen
Ma13systema). Far diese Spule ist also die mittlere magnetischg
Energie 2 L IT= 10-1' 19 Fiir v = 10' sec-1 ist somit das Verhilltnis
Q
- 10-3. ES
der pro Sekunde entwickelten Warme zur Energie
,LF
-
L
scheint danach, als ware die durch den Ohmschen Strom bewirkte
Dampfung der Schwingungen unter Umstanden meSbar.
8 8.
Thermodynamieches
Nach (36) ist
(41)
F
=
1
p(&'+ Q'+
J*s[2\
die freie Energie pro Volumeneinheit, soweit sie vom elektromagnetischen Felde herriihrt. Den entsprechenden elektromagnetischen
Anteil S an der Entropie pro Volumeneinheit iindet man durch
1) E. J u s t i u. G. Z i c k n e r , Phys. Ztschr. 4'2. S. 258. 1941, Tsb..l. Es
hsndelt sich urn die ,,Au5enspuleLL.
2) Im L o r e n tzschen MsBsystem sind die Induktionskoeffizienten um den
Faktor 471 kleiner als im elektrostatischen.
80
A m l e n der Physik. 5.Folge. Band42. 1942
Differentiation nach der absolnten Temperatur T bei konstanten
FeldgroSen; sie trifft also nnr den Faktor 1" D. h.:
Andern wir die Temperatur von TI bis T , , so haben wir anSer der
durch die spezifische Wiirme des Korpers an sich bedingten W b e zufuhr noch einen Warmebetrag
zuzufiihren.
Der Strom selbst fahrt aber nach (37)die W'iirme zu
(44)
so da6 noch der Betrag
(45)
pro Volumeneinheit anderweitig heranzubringen ist. Dabei ist zu
bedenken, daS sich mit 1 anch die Stromverteilnng andert, so daS
such bei konstanter Stromstdirke fiir die Stromdichten
und $,,,verschiedene Werte einznsetzen sind.
1st freilich der Radius R klein gegen die Eindringtiefe (pR l),
so spielt dies keine Rolle. Vielmehr ist der Strom gleichformig Uber
den Querschnitt verteilt, so daS sich 3' aus der Stromstiirke I
a,;
<
18'1
nach der Gleichuog
-
nRi-
I berechnet.
Dann folgt fttr die
pro Ldngeneinheit zugefahrte WBrme
R
.
>
I n dem wichtigeren Grenzfall gro6er Dicke (PR I) dfirfen wir so
rechnen, als verteilte sich die Stromdichte nach dem Qesetz
13(1)1= &e-B(R-r)
2n B
tiber .die stromfiihrende Oberfllichenschicht. I n der Tat ist dann
R
M. v. Law. E k e Ausgedalung der Londonsch Theorde
ww.
81
Unter diesen Umstbden gilt fiir die pro Langeneinheit zuzufiihrende
Warme
Nach den schon angefuhrten Beobachtungen von Appleyard') und
anderen steigt die zur Eindringtiefe proportionale GroSe fl 80 steil
an, daB sowohl
als auch
ist. Folglich ist in beideu Fallen die fur eine Temperatursteigerung
zuzufiihrende Warme negativ.
Eine rohe Abschatzung anHand der von A p p l e y a r d und seinv
Nitarbeitern gegebenen Kurve fur die Eindringtiefe ergibt, daB dieaer
Warmebetrag fur ein Ampere Stromstarke urn einige Zehnerpotenzen
kleiner ist als der von der spezifischen Warme herriihrende.
4. Der Impulssats fur homogene Supraleiter
Wie in der Maxwellschen Theorie gehen wir von dem Maxwe llschen Spannungstensor T (@) + T (@) aus, in welchem
Tp, (a)=
(46)
1
Jpq
MZ - ;j- M,
a,,
sein soll. Wir erganzen ihn aber in nbereinstimmung mit London
durch den Zusatz - A T ($3 Aus der Rechenregel
(47) 9
-Air
T(M) ='%ddivM - [YlrotMj
folgt d a m :
- A i o (TtQ)+ T(Q)i = Q div @+
$-, div@- [@rot QJ+ {rot $,@I,
i.AiuT'(3L) = - /.SIdic~1$-i.[$'rot$1.
In der ersten dieser Gleichungen formen wir den ersten Summanden
rechts nach (4) um, der zweite verschwindet wegen (3), fur den
1) T. S. A p p l e y a r d , Anm. 2 auf S. 66.
3) A i a T ist der Vektor mit den Komponenten
dllnaleo der Physik. 5. Folge. 42.
82
A7tlzah
der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
dritten benutzen wir (1) snd ftir den vierten (2). In der zweiten
Gleichung formen wir den ersten Summanden rechts nach (9) um den
zweiten nach (7). So finden wir:
Weiter aber ist [vgl. (1511:
Zur wohlbekannten Dichte des elektromagnetischen Impulses,
A[@@],tritt hier also noch ein fiir den Londonschen Strom kennC
zeichnender Impuls jlet3L,den London selbst iibrigens nicht geEnnden hat, weil' er in seinem 8 6, in welchem er den Impulssatz
behandelt, pt = 0 setzt. Auffallen mu6 zunlchst, daS der L o r e n t z sche Kraftansatz nach (40) nur den Ohmschen Strom
und die
zugehorige Dichte Po betrifft, wahrend J l und in ihm fehlen. Die
Ursache l i t (48) erkennen; die Lorentzkraft, die ihm entsprache, ist
durch den Zusatztensor ii T (31)aufgehoben.
I m stationaren Falle, in welchem nach dem Obigen Q = 0 ist,
ist nach (39)
ao
1
-[3tQ]
= --l d i v
T@?.
Man kann also. die Kraftwirkungen auf einen Supraleiter , solaiige
man diesen als starren Korper betrachten darf, nach Belieben aus
einer Volumenkraft f [a1Q] oder aus den Ober5achenkraften berechnen, welche aus der an der Oberflache liegenden Flachendivergenz
des Tensors - I T (31) folgen. Das letztere Verfahren habe ich
seinerzeit l) zu thermodynamischen Betrachtungen benutzt.
1) M. v. Laue, Ann. d. Phys. 32. S. 71. 1938.
M . v. Laue. Eine Ausqestaltung der Londonschn Theorie usw.
83
Zueammenfaeeung
Unsere Ausfiihrungen suchen Ideen konsequent durchzubilden,
welche schon F. L o n don eingefiihrt, aber nie vollig gegeneinander
abgeglichen hat. Sie nehmen im Supraleiter zwei unabhilngige
Stromungsmechanismen an, den gewohnlichen, dem 0 h m schen Gesetz
geniigenden, und einen neuen, fur welchen die Londonschen G1. (7)
und (15) gelten. Diese beiden Formeln fa& die neu aufgestellte
G1. (1 4) relativistisch einheitlich zusammen. Alle Folgerungen der
friiheren Theorie, welche stationare Zustande und Dauerstrome betreffen, hleiben erhalten , insbesondere auch die Erklarung des
Meihereffektes (Verdranguug des Magnetfeldes aus dem Inneren).
Es finden aber auch die optischen Beobachtungen an Supraleitern
ihre Deutung; auBerdem fallen die Schwierigkeiten fort, welche die
bisherige Theorie in der Frage der raumlichen Ladungen mit sich
brachte.
Das Ziel der Theorie der Supraleitung ist selbstverstandlich die
wellenmechanische Erklarung dieser Erscheinung. Es schwebt wohl
noch in der Ferne. Immerhin weisen diese Darlegungen vielleicht
einen Weg zu ihm, nilmlich den, daB man neben dem bekannten
Leitungsvorgang einen neuen ausfindig macht. Das Vorliegende
spielt, falls es sich hewahrheitet, fur die Supraleiter dieselbe Rolle,
wie die hergebrachte Maxwellsche Theorie fur die Normdleiter.
B e r l i n - D a h l e m , Max Planck-Institut, im Juli 1942.
(Eingegangen 12. Juli 1942)
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