close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Eine Bemerkung zu der Arbeit von Hrn. F. A. Schulze УEinige neue Methoden zur Bestimmung der Schwingungszahlen hchster hrbarer und unhrbarer Tne usw.Ф)

код для вставкиСкачать
819
11. Eine Benzerhmny
x u der Arbeit von Hrn. F. A. Sehulxe:
,,E.iltigc neue Hethoden xur Bestirnrnung der
8ehu~ingungsxalaZemhtiiehster hiirbarer
und unlttiirbnrer Tone usw.dC1);
von P . D e b y e .
In clef kurzlich erschienenen, oben zitierten Arbeit , teilt
Hr. F. A. S c h u l z e u. a. einige Beobachtungen mit uber eigenartige Klangfiguren bei eingeklemmten kreisrunden Papierscheibchen und verweist auf die ganz analogen von A. Elsas.2)
Er spricht die Meinung aus, daB die Berechnung dieser Figuren
groBe Schwierigkeiten bieten wurde. Wir mochten nun im
folgenden kurz zeigen, wie die Berechnung der errwungenen
Schwingungen einer solchen Platte dazu fuhrt, die betreffenden
Figuren durch Obereinanderlagerung freier Schwingungen entstanden zu denken. I n dieser Weise erhalt man qualitativ die
beobachteten Knotenkurven; eine quantitative Erklarung wurde
erst moglich sein, wenn iiber die Art der Anregung ganz bestimmte Angaben vorliegen.
Die Differentialgleichung fiir die zur Ebene der Platte
senkrechte Entfernung von der Gleichgewichtslage lautet 7 in
den Bezeichnungen von Hrn. S c h u l z e bei Anwesenheit auI3erer
Normalkrafte N = No e i q t :
Fur die Berechnung der Eigenschwingungen ist No = 0
zu setzen. Die in doppelt unendlicher Anzahl vorhandenen
1) F. A. Schulae, Ann. d. Phys. 24. p. 785. 1907.
2) A. Elsas, Wied. Ann. 19. p. 474. 1883.
3) Vgl. A. E. H. Love, Lehrbuch der Elastizitgt, Deutseh von
Timpe, p. 560 u. 564.
P.Bebye.
820
Losungen l) sind im vorliegenden Fall dargestellt durch die
Formel:
(2) w=lY n v k P a y t = ( J n ( i % ) J n
wobei x = xnv irgend eine Wurzel der Gleichung (n ganzzahlig):
iJn(x)Jn’(ix)
- Jn’(Z)J,(i%)
=0.
(3)
Die GroBen xn, und p,, hangen zusammen mittels der
Formel :
(4)
Es liegt nun nahe fur den Fall, dalS No von Null verschieden ist, die Losung der Gleichung (1) als eine nach den
,,Eigenfunktionen“ W,,, fortscbreitende Reihe anzusetzen. Entwickelt man in dieser Absicht zunachst die Funktion No in
der Form:
(5)
No = Z’C,, CV,,,
wobei die Summation iiber alle Werte von n und 1) zu erstrecken ist, so erhalt man fur die Koeffizienten cnr auf
Grund der fur die Eigenfunktionen geltenden Orthogonalitatsbedingung 7 :
wobei die Integration iiber die ganze Platte zu erstrecken ist.
Das Integral im Nenner kann nach dem Greenschen Satz durch
einen Grenzubergang ohne weiteres ausgefuhrt werden und liefert
1) F. A. S c h u l z e , 1. c. Die dortige Gleichung (1) sol1 offenbar
lauten :
{ ( ;t) + LJ, (.
w,,= P c o s ~ ~ S J,,
I
x-
2%-
31
cos(pt-
E).
Dae Resultat findet sich bei Lord R a y l e i g h , Theory of Sound, London
1. p. 366. 1894, wo aber nur die zwei ersten Wurzeln yon (3) fur den
Fall n = 0 angegeben werden.
2) Statt c o s n 9. kann naturlich in (2) aucb sinma gesetzt werden.
Der obersichtlichkeit halber wurde diesee im folgenden fortgelassen, obwohl bei ganz beliebiger Wahl von No auch die Laaungen mit s i n n 4
in Betracht xu ziehen waren.
3) Vgl. Lord R e y i e i g h , 1. c. 1. p. 358.
Uemerkuny zu der Ar6eit von Rrn. 3’. A. Schulze.
821.
unter P die geschweifte Klammer in (2) verstanden.
Setzt man nun auch fur w eine Reihe nach Eigenfunktionen,
aber mit unbestimmten Koeffizienten, so erhalt man aus (1)
als vollstandige LBsung des Problems fur den Fall, da8 au8ere
Krafte No e i p t die Bewegung erzwingen:
Abgesehen voxi ganz speziellen Fallen der Anregung ersieht man aus (8), daB die Bemegung der Platte sich immer
zusammensetzt aus allen maglichen Eigenschwingungen. Kommt
die Schwingungszahl der einwirkenden Kraft in die Nahe einer
Eigenschwingungszahl (q z ~ p , ~ , , ) so
, uberwiegt in bekannter
Weise das betreffende Glied der Reihe und wiirde nach (S),
wenn die Schwingungszahlen genau iibereinstimmen, sogar unendlich groB werden. In letzterer Aussage steckt aber eine
unberechtigte Extrapolation , da fur groBe
Ausbiegungen Gleichung (1) nur annahernde
Giiltigkeit beansprucht.
I m allgemeinen wird man eine gute
Annaherung fur w erhalten, indem man
2=O
nur einige Glieder der Reihe (8) berucksichtigt. I n der T a t . wollen wir zeigen,
daB sich samtliche von Hrn. S c h u l z e erFig. 1.
haltenen F’iguren (p. 795) durch Ubereinanderlagerung nur zweier Eigenschwingungen erhalten lassen.
Zu diesem Zweck wurde in Fig. 1 zunachst die theoretische
Form der ausgebogenen Platte gezeichnet langs des Halbstrahles 9 = 0 fur den Fall, daB diese nur eine Eigenschwingung
ausfiihrt und zwar stellt Kurve I Woo(0 Knotendurchmesser,
0 Knotenkreise), Kurve i I FV,, (2 Knotendurchmesser, 0 Knotenkreise) und Kurve I11 W,, (0 Knotendurchmesser, 1 Knotenkreis)
8
g..?
P. Debye.
822
dar. l) Von der unsymmetrischen Eigenschwingung Pi,, wurde
abgesehen, obwohl die zugehSrige Schwingungszahl in den untersuchten Bereich fallt, sie scheint sich in dem Fall von Hrn.
S c h u l z e nicht bemerkbar zu machen. Gehen wir nun aus von
einer Schwingungszahl, die nahezu der zu Jyo, gehorigen gleich
a
7
@
8
0
5'
@
3'
5
Fig. 2.
ist, so wird nach (8) das entsprechende Glied der Reihe stark
uberwiegen, die Knotenkurve ist also, wie Kurve I11 Fig. 1 zeigt,
nahezu ein Kreis (Fig. 2, Nr. 1'). Nimmt jetzt die Schwingungszahl der einwirkenden Kraft allmiihlich ab, so wird der zu Wlo
1) Die an sich willkiirlichen Maximalamplituden sind durch Multiplikation mit geeigneten Konstanten auf den gleichen Wert gebracht.
Bemerkung zu der rlrbeit von Hrn. F. A. Schulze.
823
gehorige Nenner der Reihe (8) fortwahrend grijBer werden, die
anderen Glieder der Reihe bekommen also Gelegenheit einen EinfluB auszuiiben; insbesondere wird sich das Glied W2, (Kurve 11,
Fig. 1)bernerkbar machen, das wir deshalb allein beriicksichtigen
wollen. So entstand Fig. 2 Nr. 2‘, indem wir zu 7V0, noch die
Eigenschwingung W2, mit einer funfmal kleineren Maximalamplitude hinzufiigten, Fig. 2, Nr. 3’ entspricht dem Fall, daB die
beiden Maximalamplituden gleich gro6 sind. Inzwischen ist die
Schwingungszahl der erregenden Kraft in die Nahe der zu W,,
gehorigen Eigenschwingungszahl gekommen ; infolgedessen geht
(q/p20)2bei weiterem Sinken dieser Frequenz von einem Werte > 1
zu einem Werte < 1 uber, so daB der zu %vz,
geharige Faktor
der Reihe (8) sein Zeichen wechselt. Diesem Umstande entspricht das scheinbare Umklappen der Knotenfigur (Fig.2, Nr. 4’).
Sinkt nun q noch weiter, so tritt die Grundschwingung W,,
(Kurve I, Fig. 1) allmSihlich in den Vordergrund und erzeugt
schlieBlich eine Schwingung ohne Knotenkurven (Fig. 2, Nr. 5’).
Neben diesen theoretischen E’igg. 1’ . . . 5 wurden in Fig. 2
die experimentell gefundenen nochmals abgedruckt, die, wie
man sieht, in allen Stucken mit ersteren ubereinstimmen.
Da6 sich der stetige Ubergang der Klangfiguren ineinander
nur bei Papier zeigte, hat offenbar seinen Grund in dem sehr
kleinen Elastizitatsmodul. Formel (8) zeigt ja, daR, wenn man
die zu einem bestimmten Gliede gehorigen Amplituden fur
zwei Plattchen aus verschiedenen Substanzen 1 und 2 mit
gleichen Dimensionen bei gleichen anregenden Kraften vergleicht, diese sich verhalten wie
.
wenn der Quotient q / p in beiden Fallen derselbe ist. F u r
Papier und Glas wird dieses Verhaltnis ungefahr 30.
Wenn die Plattchen sehr dunn sind, miissen sich nach (8),
wegen des Faktors D3 im Nenner, ahnliche Erscheinungen
zeigen, wie bei Papier. Die Beobachtungen bei Glimmerplattchen, wo auch Abweichungen von den regelmagigen Klangfiguren auftraten, konnten wohl in dieser Weise erklart werden.
Miinchen, Math.-phys. Sammlung, 20. Januar 1908.
(Eingegangen 23. Januar 1908.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
215 Кб
Теги
tne, arbeits, hrbarer, der, zur, methodes, уeinige, hchste, unhrbarer, eine, usw, schulzer, und, bestimmung, bemerkungen, hrn, schwingungszahlen, von, neues
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа