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Eine Bemerkung zur Theorie des Mesonfeldes.

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I
S . FEiigge. Eine Bemtrkung zur Theorie des A?llesonfekles
573
Eine Bernerkmg zur Theorie des MesonfeEdes.*)
1 7 0 1 ~S.
Fliigge.
Zwischen den verschiedenen -4naatzen ziir theoretischen Behandlung des Mrsonfeldes e.inerseits und der Maxwellscli~iiElekt.rodynarnik
anderseits bcsteht bekarintlich eine weitreichende Analogic. Wahrentl
diese hinsichtlich der Feklbqriffe auch stet,s voll ausgeschopft wird, ist.
es iiblich, i i i i Hinblirk auf die Einfuhrung der schweren Teilchen (Neutron, Proton) bei den Quellen des E'eldes sich sehr bald auf Punktquellen
zu spezialisieren. Es scheint, sowohl begrifflich als in der prakt,ischen
kernphysikalischen Anwendung nicht iiberfliissig zu sein, diese ICinschrankung fallen zu lassen und einen Regriff \vie den der Raumladungsdichte
nus der Maxwellwhen Theorie aiich in diejenige des Mesonfeldes ZII
verpflanzen. Was damit gemeint ist und vielleicht erreicht werden kann,
sol1 im folgenden an eineni einfachen Beispiel kurz dargelegt werden.
Wir behandelii ein Mesonfeld ohne elektrische Ladung und ohne
S p 5 , d . h. ein Feld, das durch eine reelle skalare Wellenfunktion v (t)
bevchrieben wird. Als Handtonfunktion wahlen wir
Hierin sind v ( r ) uiid d a s kanonisch konjugierte Feld .'I ( u ) Operatoren,
zwischen denen die iibliche Vertauschnngsrelittion besteht
h
7~ ( r ) yt (r') -- v (r') n (-r 1 =- - S
( r - r').
(3
Die Zahlenfaktoren in G1. (1) siiid so geNiihlt, t l d durch Rildung rlcr
kanonischen Gleichungen und Elimination r o n A RUR ihnen die Wellengleichung in der Form entsteht')
Der Fourieransatz
fiilirt danii iluf Grunt1 von G1. (2) in dievrr Norniierung zii deli kiiiioiiiwhen \~ertauschunt.sregelnder p f , qr und ergibt beim Eiiivetzen in GI. ( 1 )
* ) H e n n Geheimrat A . S o m m e r f e l d zurn 75. Geburtrtage gewidnlet.
1 ) Statt h/2n ateht in dieser Arbeit durchweg h. Die Herleitung der Forrneln
( 1 ) bi* ( 8 ) bietet naturlich nichts Neuee und ist nur wegeri der etwas anderen Nortnierung hier ganz kurz wiederholt. Vgl. etwa die awfiihrliche Darstellung bei G .
\Ventzel. Einfiihrilng in die Qitnntentheorie der \Vellenfelder, \I'i(-n 1943, I h p . 11.
674
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943
neue Operatoren bt, b; durch
Substituiert man anstelle der p f ,
so konnen die br, b; belmniitlicli aufgefa W t werclen als solche Operatoren,
die auf eia System ganzer Zahlen N f wirken. Sie geniigen den Vertauschungsrelationen
h, hi-bb; 6,= 1.
(8)
Jedes A't wird in1 quellenfreten Felde gedeutet als Besetzungszahl cles
Quantenzustandes f mit Mesonen. Die Gesamtenergie des Feldes r r d
Quellel; ergibt sich dagegen beim Einsetzen yon GI. (7) in ( F ) zu
wobei
ist. Man pflegt in dieser Gleichung meist die I-Terme als Storung aufzufassen. Dies ist keineswegs notwendig, solange e ( r ) kein Operator ist
und damit auch die I t gewohnliche Zahlen sind, d. h. im Rahmen der
neutralen Mesontheorie, bei der keine elektrische Ladung ausgetauscht
wird. Der Ausdruck (9) liiBt sich dann in Strenge auf Diagonalform
bringen; man kann niimlich schreiben
und aus G1. (8) die erweiterte Vertauschungsrelation ableiten:
( 4 + At)
(b;
+ 2;) - (b; + 2;) ( b , 4-A,) = 1 .
(12)
Das Problem der Hauptachsentransformation ist dann bis auf das Glied
in GI. (11) formal identisch mit derjenigen im quellenfreien
Felde; jenes Qlied aber befindet sich bereits in diagonaler Form. Man
kann also schreiben
- 2 1, 1;
+ 1,)x ( N , ) V N , + 1 x ( N , 4-1)
VN,X (Nr- 1) ,
(b; + I;)X (N,)=
(bt
=
und erhalt
H =
z]*
r
(2 N,+ 1 - 2 I,A;).
2
S. Fliigge. Eine Bemerkung zur P'heorie des Nemnfeldes
575
+
Dann bedeuten die Terme mit 2 A'!
1 die Energie der Mesonen unter
EinschluD der Nullpunktsenergie Und der Ausdruck
die Wechselnirkungseiiergie. Setzen wjr hierin 21 aus GI. (10) ein uiid
gehen mit dem Normierungsvolumen V -+ x , ersetzen also
- 1Z + - - J d f 1
I' ,
$2 72)"
so entsteht
Diese Gleichung kann natiirlich auch geschrieben werden
I n dieaer Form zeigt sie ihre vollige Analogie zum Wechselwirkungsausdruck der Elektrostatik; das f-Integral tritt anstelle des Ausdruckes
1
. in den es fur 11 = 0 auch tatsachlich iibergeht; andernfalls
lr-t'l
tritt der fur die Yu kawasche Theorie charakteristische Faktor e-Pl r-r'l
hinzu. Diese Herleitung des statischen Elementargesetzes macht keinen
Gebrauch von der Abstraktion der Punktquelle.
Wir geben nun eine Anwendung von GI. (14) auf die Theorie des
U n d e f e k t e s schwerer Atomkerne. Hierbei wird sich zwar nicht die
empirisch bekannte 8attigung ergeben, wie die zur Elektrostatili analoge
Gestalt (15)schon zeigt. Das ist von der benutzten skahren, neutralen
Theorie auch nicht zu erwarten, die wir hier nur als Modell gewahlt
hrtben, um den Gedankengang klar hervortreten zu lassen.
Wir setzen fur die Dichte an:
p =e,furr<R;
p = Ofiirr > R .
(16)
Denn bedeutet R den Kernredius. Die Dichte eo i m Kerninnern ist
gegeben durch
4n
R9@o=g A ,
(17)
wenn A die Gesemtzahl der Keutronen und Protonen im Kerne ist.
Ferner bedeutet g die fur die Intensitiit der Kernkriifte maagebende
Konstente von der Dimension einer elektrischen Ladung, die den ZUsammenhang von Teilchendichte und Quellendichte vermittelt.
Setzt man (16)in (14)ein, so liiBt sich die Integration uber den
r - h u m elementar ausfiihren:
Annnbn cler Ph ysik. 5. Folge. Band 43. 1Yd.T
576
Die Bindungsenergie des Atomkerns wird dither
VtlC!l
w
= - 16
7Ceo2
1
dk
(sirik~--k~cosk~)2.
k4 (k2 p 2 )
+
Fiihren wir hierin die Hilfsvariable z = k R ein und setzen p R = a , SO
bedeutet a das \-erhalt,nis von Kernradius R zu Kraftreichweite
1 - h
( m = Mesontnasse). und es wird
,u
711 c
-dz
I,
f
( u ) =-
(sin z - z
1 4 (22
COH
z ) ~
( 19)
+ (3)
U
Die Auswertung des 1nt.egritIs f (u) gelingt auf komplcxeiii Wege
folgendermaBen : Es ist,
m
= - 1I d 2
4
(,
ez'Z
(z + i)2
z4(z
+ + 1 + konj. komplex.
a)
22
+ i n ) ( z-i
Da das Integral reell ist, rnuB der ausgeschriebene Teil mit dem konjugiert komplexen iibereinstimmen:
+
Dies liituyrltl hat zwei Pole beiz = i a und z = --i a. Rei Ariiiiiliuruny
un den unendlich fornen Punkt konvergiert es fur positiv imaginiire t,
also in der oberen Halbebene. Ferner besteht eine Singularitat bei
z = 0; Reihenentwicklung des Integrctnden ergibt dort:
lim e*i* ( z
-+0 2z4 (Z
+ i)2 + 9 + 1
+ i a ) (Z - i a )
=--
i
3n2 2 .
Wir verfahren nun so, da13 wir das Integral ausrechnen, das wir erhalten,
wenn wir von - m liings der reellen Achse bis - 6 gehen, von dort auf
einem Halbkreise in der oberen Halbebene urn den Punkt z = 0 herum
bis z =
6 weitergehen, dann wieder von
13 bis
0~ der reellen
Bchse folgen. Dies Integral kann namlich in ein Schleifenintegral im
positiven Sinne urn die SteUe z = i a iiberfiihrt werden; es ergibt
sich dafiir
+
+
+
+
S. Flugge. Bine Bemerkung tur l’heorie des Jfrlesonfeldes
577
Ziehen wir von diesem Schleifenintegral dasjenige iiber den Halbkrcis
6 , d. h. also im Limes fur ?I 0
von - 6 nach
+
i
j” _ - _ -
3a2 -d
dz
z
__
+
7l
3 a2
ab, so bleibt das Integral von - 00 bis - b und von + 6 bis + 00
zuriick. Da hierin -6 nicht mehr vorkommt, ist diese Differenz einfach
das Doppelte dea gesuchten Integrals f ( a ) . Es wird daher
2
1 - a2 + - a3(1
a)2 .
3
+
1
Setzt man dies in GI. (18) ein und beseitigb Po nach GI. (19), so erhalt
man fur die Bindungsenergie
2 a3 - +a
1 - a2 + (1
a)*
9
g2
3
= ---42(no)
4
R
(15
Diese Formel ist ganz analog gebaut zu derjenigen, die sich fur die
Coulombsche Energie einer honiogen geladenen Kugel ergibt. Man muB
nur p und damit u -+ 0 gehen lassen, dann folgt auch aus GI. (20)
+
w
Eine unmittelbare praktische Anwendung von GI. (20) auf die Bindungsenergie der At,onikerne ist, aus den oben ausgefiihrten Griinden
nicht moglich. Im Grenzfall u -+ 0 0 , d. h. sobald die Reichweite der
Kernkrafte klein wird gegen den KernrGius, erhalt man
w = -2.7
eo2 v ,
P2
wenn V tlas Kernvolumeri bedeutet. Die Energiedichte wird dann zwar
unabhingig von der GroBe des Kerns, sie wird aber nicht proportional
der Materiedichte selbst, sondern ihreni Quadrat. Etwas anderes ist aber
nur beim Ubergang zu vektoriellen Mesonfeldern zu eraarten, welche
die richtigen Sattigungseigenschaften ergeben.
Herrn Dr. D. L y o n 8 habe ich fur einige anregende Cesprache iiber
diesen Gegenstand herzlich zu danken.
B e r l i n , den 19. Oktober 1943.
(Eingegangen 22. Oktober 1943.)
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h W R , MICHICA
USA
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