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Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten und der spezifischen Wrme bei festen Krpern mit einatomigem Molekl.

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9. m e BexJehunny xw6schea &em eZaet48chm
Verhalten. wnd der spex4fiechen W U r m e bed festen
E6rpern m/t einatorn$gem MoZekW;
von A. E&n8te$n..
Mein Kollege, Hr. Prof. Z a n g g e r , machte mich auf eine
wichtige Bemerkung aufmerksam, die S u t h e r l a n d l) neulich
publizierte. Dieser stellte sich die Frage, ob die elastischen
Kriifte fester Korper Krafte derselben Art seien wie diejenigen
Krilfte, welche die Wager der ultraroten Eigenschwingungen
in ihre Ruhelage zuriicktreiben , also deren Eigenfrequenzen
bedingen. Er fand, da0 diese Frage mit gro0er Wahrscheinlichkeit zu bejahen sei auf Grund folgender Tatsache : die
ultraroten Eigenfrequenzen sind von derselben GrOBenordnung
wie diejenigen Frequenzen, welche man anwenden muSte, um
elastische Transversalschwingungen durch den Korper zu senden,
deren halbe Wellenlange gleich ist dem Abstand benachbarter
Molekule des Kiirpers.
Bei aller Wichtigkeit der Sutherlandschen Betrachtung
ist es aber klar, da6 man auf diesem Wege nicht mebr erlangen kann als eine rohe GroBenordnungsbeziehung, und zwar
insbesondere aus dem Grunde, weil anzunehmen ist, daS die
bekannten ultraroten Eigenschwingungen in der Hauptsache
als Schwingungen der verschieden geladenen Ionen eines Molekiils
gegeneinander, die elastischen Schwingungen aber als Schwingungen der ganzen Molektile gegeneinander aufzufassen sind.
Es scheint mir deshalb, da6 eine genauere Priifung der S u t h e r landschen Idee nur bei Stoffen mit einatomigem Molekul
mbglich sei, denen nach der Erfahrung und nach dem theoretischen Bilde optisch nachweisbare Eigenschwingungen von der
bekannten Art nicht zukommenen. Nach der von mir auf die
1)
W.Sntherland, Phil. Mag.
(6) ‘20. p. 657. 1910.
Bczzkhung zzdPchen dem clastischen Perhaiten usw.
171
Planksche Theorie der Strahlung gegriindete Theorie der
spezifischen Wiirme fester Korperl) ist e0 aber miiglich, die
Eigenfrequenzen der einatomigen Korper, welche Trager der
\Q&rme sind, aus der Abhiingigkeit der epezifischen Wiirme
yon der Temperatur zu ermitteln. Diese Eigenfrequenzen
kann man benutzen, um die S u t h e r l a n d s c h e Auffassung zu
priifen, indem man diese Eigenfrequenzen mit jenen vergleicht,
die sich aus der Elastizitat ergeben. Eine Art, wie dies geschehen kann, iet im folgenden gegeben, und es sei gleich
hier bemerkt, dab sich beim Silber auf dem angedeuteten
Wege S u t h e r l a n d s Auffassung von der Wesensgleichheit der
elaatischen und der die Eigenfrequenz bestimmenden Krafte
befriedigend bestiltigte.
An eine cxakte Berechnung der Eigenschwingungsfrequenzen
aus den elastischen Konstanten ist vorlaufig nicht ZP denken.
Wir bedienen M S vielmehr hier einer rohen, der in der vorangehenden Arbeit benutzten ahnlichen Rechenmethode, die aber
wohl im Wesentlichen das Richtige treffen diirfte.
Wir denken uns zunachst die Molekule der Substanz nach
einem quadratischen Raumgitter angeordnet. Es hat dann
jedes Molekiil 26 Nachbarmolektile, die allerdings nicht gleich
weit von demselben entfernt sind. Wir werden aber so rechnen,
wie wenn diese 26 Nachbarmolekiile im Ruhestande alle gleich
weit vom betrachteten Molekiil entfernt waren.
Wir haben nun irgend eine plausible, maglichst einfache
Parstellung der Molekularkrafte zu wahlen. Da fiihren wir
zuerst die fur das folgende fundamentale, in der vorangehenden
Mitteilung fiir Fltissigkeiten erwiesene Voraussetzung ein, daS
jedes Molekiil nur mit seiuen Nachbarmolektilen, nicht aber
mit entfernteren Molekiilen in Wechselwirkung stehe. Zwei
Nachbarmolektile miigen eine Zentralkraft aufeinander austiben,
weiche verschwindet, wenn der Abstand der Molekiile gleich d
ist. 1st ihr Abstand gleich d - A, 80 wirke eine AbstoBungsh a f t von der Gr8Be a A.
Nun berechnen wir die graft, welche die 26 Nachbarrnolekiile der Verrtickung eines Molekiils entgegensetzen. Dabei
denken wir uns die 26 Nachbarmolekule, statt auf einer Wiirfel1)
A. Einstein, Ann. d. Phys. 22. p. 180. 1907.
172
A. Einstein.
oberflache, auf einer Kugelflache von gleich groBem riiumlichem
Inhalt verteilt, deren Radius gleich d zu wahlen ist, so daS
wir haben
wenn v das Molekularvolumen der Substanz und N die Zahl
der Molekiile in einem Grammolekiil bedeutet. Wir denkeu
uns das irn Mittelpunkt der Kugel liegende Molekiil in beliebiger Riclitung um die gegen d kleine Lange x verschobeh
und berechnen die der Verschiebung entgegenwirkende Kraft
so, wie wenn die Masse der 26 Molekule gleichformig iiber
die Kugeloberflache verteilt ware. (Auf dem vom Molekiil aus
gezogenen elementar kleinen korperlichen Winkel d x , dessen
A c h e mit der Richtung der Verschiebung x den Winkel 9
bilde, liegen dann 2 6 . ( d x / 4 n) Molekiile, welche in Richtung
der Verschiebung x die Kraft
26
- -dx.a.xcos9..cosi7
4n
liefern. Durch Integration bekommen wir fiir die auf das
verschobene Molekiil wirkende Kraft den Wert
--
ax.
Hieraus ergibt sich, wenn man hinzunimmt, da6 M l N
gleich ist der Masse eines Molekuls (M = Molekulargewicht der
Substanz), die Eigenfrequenz v und die dieser entsprechende
Vakuumwellenlange il des Molekiils. Es ist
il=2 n e l / - -
3
26
M
a"
berechnen nun auf Qrund derselben Naherungsden Kompressibilitatskoeffizienten der Substanz. Zu
diesem Zwecke drucken wir die bei einer gleichrnaSigen Kompression aufzuwendende Arbeit A auf zwei verschiedene Arten
aus und setzen beide Ausdriicke einander gleich.
Es ist (u/2) A2 die fur die Verkleinerung des Abstandes
zweier benachbaxter Molekiile um , A aufzuwendende Arheit.
Beziehung rwischen dem eladkchen Pmhalten usw.
173
Da jedes Molekul 26 benachbarte Molekiile hat, so ist die
zur Verkleinerung seines Abstandes von den Nachbarmolekiilen
aufzuwendende Arbeit 26 . ( a / 2 )As. Da es in der Volumeneinheit N / v Molekiile gibt und jeder Term ( a / 2 ) d s zu zwei
Molekulen gehort, erhalt man
1st x andererseits die Kompressibilitat, 0 die Kontraktion
der Volumeneinheit, so ist A = 112 x as,oder, da 0 = 3 A/d ist:
.
Durch gleichsetzen dieser beiden Werte fur A erhiilt man
18
a
x = -~
26 a . d 2 . A '
(3)
Durch Eliminieren von a und d aus den Gleichungen (l),
2a) und (3) erhalt man
Die Formel setzt natiirlich voraus, da6 Polymerisation
nicht stattfindet. Im folgenden Bind die Eigenwellenlilngen
(a18 MaB fur die Eigenfreqnenzen) dejenigen Metalle nach
dieser Formel berechnet, fur welche Griineisen l) die kubische
Kompressibilitat angegeben hat. Es ergibt sich8):
Stoff
I
7
Aluminium
1
. * . I
Kupfer
. .
Silber . . . . .' I
Gold. . . . . .
Nickel . . . . .
Eieen . . . . . '
..
I
1.104
1
I
Stoff
-~
.
45
53
73
79
45
46
Palladium
Platin .
Kadmium
Zinn..
Blei . .
Wiemut.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
58
66
.
.
.
. . .
1.104
____-
115
102
135
I
168
Nach der aus der Planckschen Strahlungstheorie abgeleiteten Theorie der spezifischen W iirme sol1 letztere gegen
1) E. Griiueieen, Ann. d. Phys. 26. p. 848. 1908.
2) Die Temperaturabbaugigkeit der kubiechen'Kompressibilitiit ist
hierbei vernachlieigt.
174
A. Einstein. Beziehung usw.
den Nullwert der absoluten Temperatur abfallen nach folgendem Qesetz:
wobei C die auf das Grammolekel bezogene spezifische Wiirme
bedeutet, und
hv _
-a=---h . c
k
k.1
gesetzt ist. Hierbei sind h und x die Konstanten der P l a n c k schen Strahlungsformel. Man kann daher aus dem Verlauf
der spezifischen Warme 2, ein zweites Mal bestimmen. Der
einzige, der oben angefuhrten Stoffe, dessen spezifische Warme
bei tiefen Temperaturen hinreichend genau bestimmt ist, ist
dss Silber. Far dieses fand Nernst’) a = 162, woraus sich
1. lo4 = 90 ergibt, wahrend wir aus den elastischen Konstanten 2,. lo4 = 73 berechnet haben. Diese nahe Ubereinstimmung ist wahrhaft uberraschend. Eine noch exaktere
Prufung der Sutherlandschen Auffassung wird sich wohl
nur dadurch erzielen lassen, dab man die molekulare Theorie
der festen Korper vorvollkommnet.
1) Val. W. Nernet, Bulletin des Seances de la Socibte franc. de
Phye. 1910. 1 faac.
(Eingegangen 30. November 1910.)
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