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Eine einfache Bestimmung der Fraunhoferschen Beugungserscheinungen.

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616
unter theilweiser Ausscheidung des J o d s und Entwickelung
von Jodwasserstoffgas. Iii einem Proberohrchen erhitzt, zersetzeii sich die Verbindungen init fixer ailialischer Basis vollstandig, indem Jodautimoii subliiiiirt und das betreffende positive Jodinetall zuruckbleibt. Oie aininoniumhaltige~iSalze
snbliiniren vollst~ndiguiiter partieller Zersetzung uiid Auftreten von Joddainpfen.
VI. Eine einfuche Bestirnrnung cler F r n u n h ofer’schen Beugungserschciriurtgen; con A. Wiil l n e I’.
1.
B e k a i i n t ~ i c ~gelaiigt
i
mail bei Bestimmung der Beogungserscheinuugen nach dein Vorgangc F r e s n e l ’ s dnrch Anwendung der Interferenzgesetzc auf das H u y g h e n s’ sche Priticip der Fortpflanzung dcs Lichtes auf zivei bestitninte Integrale, so d a b die Sumine jlirer Quadrate die 1iitensit;it
des Lichtes in irgcud eiiiein I’unkte des Scliirrnes giebt, auf
welchein die Beugungsbildcr betrachtet merden. Die gcsuchte Licbtiiiteasitat ist darnach
I
J = K Z (Jdr
cOsqr2)’
+ (Jdr
sin q r z ) ’ ~
Die Grznzen, zwischen dcnen intcgrirt wird, ricbten sich
iiach d e r Gestalt dcr Ocffitrrng, dnrch welclic das J k h t a n
deiii beugendcn Scliirtn vorubcrgebt. 1st es ein breiter Schirm
a n dessen einer Seite (Ins Licht vorbci streift, so ist die
eine Granze cndlich, die andcre unendlich; ist es eiii sclnnal e r Kiirper an d e s s ~ i ibeidcii Seitcii Licht voriibergcht, so
zerfAllt jcdes dcr beidcn Iotegrale i i i zwei, desseri Gr:iuzcn
den vorigen analog sind; uud strnhit endlicli das Liclit durch
cine rings bcgranzk Oeffiiung, so sintl beide G r ~ n z e i i
endlicli.
617
Die F r e s n el’schen Rechnungen sind jedoch nicht anwcndbar z u r Bcstimmung d e r Intensitat d e r gebeugten Strahlen, weiin die Erscheinungen nach d e r Fr a u n h o f er’schen
Metbode beobachtet werdeu. Denn da bei d e r F r e s n e 1’schen Bcobachtungsweise die Lichterscheinung in einer endlicheu Entfernung v o n der bengenden Oeffnung aufgefangen wird, so ist die in einem Yunkte beobachtete Lichtintensitat die resultirende oder von allen Punhten der Oeffnung uach diesem Punkte convergirenden Strahlen; bei d e r
F r a u n h o f e r ’ s c h e n Methode, bei der die gebeugten Strahlen von dein Objectiv eines Fernrohrs aufgenommen und
d a m im Focus vereinigt werden, iuterferiren die von allen
Punhten iiach ein und dcrselbrn Richtung ausgehenden
Strahlen, da n u r die unter sich parallelen Strahlcn in einein
uiid deinselben Punkte des Focus vereiiiigt werden. Deshalb andern sich die F r e s n e l’scheii Bcugungserschciuuiigen niit dein Abstaude des auffangenden Schiriiies von der
beugenden Oeffnung , die’ F r a u n h o fer’scheii sind davon
unabhangig, sic zeigen die Erscheinungen wie Hr. S c h w e r d
in dcr Vorrede seines hlassischen W e r k e s uber die Beugungserscheiiiuiigeii sagt, als wenn die Lichtersclieiiiuiigeii
nach F r e s n e 1’s Rlethode in unendliclier Entfernung von
dein heugenden Scliirnie aufgcfangen h e r d e n .
Die F r a u n h o fer’schen niffractioiicrscheiiiungen w u r deli zuerst analytisch behandelt und vollstandig aus den
Principien der Undulationstheorie entwichelt von S ch w e rtl.
Derselhe schlug ahcr eineii .andcrcn W c g ein a h F r e s n e 1
und suchte nicht das Problein allgemein zu liisen , ciiien
allgemeiiien Ausdruck fiir die Lie1itinteiisit;it d e r gebeugteu
Stralilcn fur einc irgendwie gcstaltete Oefftiung zu fiiiden,
und aus diesern daiin durch Specidlsircn die Erschcinung
fur bestiiiinite Oeffnungen zu crlialten, sondcrii c r behaudclte jcde Ocffnuiig gesondctt. Uer Grund war wohl dcr,
d a b er u i n die resultirende Intensitat cler gebcugtcii S h h leu zu erlialteii, anstatt wie F r c s n e l Intcgrationcu zu beautzan , Snininationeii anwandte, und uin dicse ausfuhrei~
zu hoiiiien, durch iur jcde Oeffnuog besondcrc Construc-
618
tionen die Phasen der gebeugten Stralilen in Form von
Rciheii darstellcn mufste.
Einige J a h r e spgter behandelte Hr. K u o c h e n h a u e r
in seiner Undiilationstheorie des Liclites (Berlin 1839)
die F r a u n h o f e r ’ s c l i e n Beugungserscheiiiuiigeii. Er uuiging
deli Suminationscalciil und waiidte mstatt Summationen Integrationen an. Dazu bestiinlnte cr die Phase eines beliebigen durch die Oeffiiung iretenden Strahls als Function
der Stelle, an wclcler e r durch die Oeffiiung getretcn ist,
u n d war dadurch in den Stand gcsetzt anstatt wie S c h w e r d
die cinzelnen Strahlen suiiimiren zu iniisseu diircli zwei iiber
die Oeffiiung ausgedehnte Integrale die resultirende Intensitat zu erhalten. Im Uebrigen sclilofs er sich genau an
S c h w e r d a n und wandte, uni zu deli Eleinentarfactoreii
seiner Tntegrale zu gelangen , geiiau dicsclben Constructionen an wie jener. Beshalb erliielt e r auch beiiien fur nlle
Oeffiiuiigen gcineinsainen Ausdruck.
Zugleicli init Hrn. K i i o c h e n h a u e r gnh L i t t r o w in
dem Artikcl Undiilation voii G e h 1 e r ’ s pliysikalischcui Wiirterbuch (2. Aufl. Bd. IX, 2. Abth., S. 1122) eine Ableitung
der I~euguiigserscheinuiigei~
, und es gclang ihm allgemeiu
das Problem zu liisen, die lnteiisitiit dcs durch eine Saminelliiise und durch eine kleine Oeffiiung gelendeli Lichtes
z u bestiinmen. Er dachtc sicli den die Erscheinung auffangenden Schirin iin Brennpunht der Linse, i n welclieiii
e r auch den Anfangspunkt der Coordiiiateii aniiiinint, senkrecht gegen die ungebeugten Strablen aufgestellt uiid erhielt
dann nls Ausdruck fur die Intensitiit irgend cines Punktes
des Scliirmes
J = Rz( P ‘ + Q ’ )
woriii
P
dx d y sin
(Ex+ u y )
31
((
2
Q =ff d x d y cos 2 (<z+
=Jf
UY)
worin x, y die Coordinaten cines Puiiktes der Oeffiiung,
6, w die Coordinaten cines Punktes M des Schirmes und b
die Breiinweite der Linse, also auch, (la dic Lime uninit-
619
telbar vor der heugeiiden Oeffnung augebraclit ist, der Abstand des Schirines von der beugenden Oeffnung bedeutet.
Die angedeuteteii Integrationen sind auszudehnen uber
die ganze Oeffiiung, dcren Gestalt also die Grlnzen d r r
Iiitegrale bestimmt.
Anweudungen giebt L i t t ro w fiir das Rechteck und
das gleichzeitige Dreieck.
I)ie L i t t r om’sche Ableitung dieser Beugungsersclicinungen scheiiit jedocb iiicht vie1 Anlrlang gefunden zu haben, denn trotz der grofseii Vorziige, welche die Differential- und Integralrechnuiig wegen ihrer grijfseren Einfachlicit vor dein Sumuiationscalciil voraus h a t , siiid steis zur
liestimmung der F r a u nli o fe r’schen Beuguiigscrscliei~iungeii die S c b w e r d’schen Kechnungen angewandt. J a noch
vor 10 Jahren hat W i l d e I ) dieselbeii i n abgehiirzter
Forin reproducirt.
Der Grund davon kaiiii wohl iiur darin liegen, dafs die
L i t t r o w’sche Ableitung jener allgemeineii Gleichulig und
ihr Gebrauch in der dort angegebenen Forin noch zienilich
unbequein ist,, sowie darin, dafs das Bedingelide der ganzen
Ersclieinung nicht so klar hervortritt, wie bei der S c h w e I-d’schen Behandlung.
Ich wurde nun kiirzlich auf eine andere aukerst einfachc Methode gefiibrt, urn die Beugungserscheiiiiiii~ennach
F r a u n l i o f e r ’ s Metbode durch dieselben zwei bestiininteli
Doppeliiitegrale allgemein fur alle Oeffriungen zu bcstimmen, bei der die physikalische Fiedcutung dieser Ausdrucke
zuglrich uiiinittelbar vorliegt. Es sey inir gestattct ebeii
ihrer grofsen Einfaclilieit wegen dieselbe rnitzutheilen.
2.
W i r nelimen a n , es falle eiu Biindel paralleler Lichtstralilen auf eineii Scliirin, in welchein sicli eine irgendwie
gestaltetc Oeffiiung befinde. Die Welleiiebcne der einfallendeii Strahlen bilde mit dcr Ebene des Schiriiies den Winkc1 v. Es wird gesucht die Iutensitat des Lichtes der gel ) Diese Aon. Bd. 79, S. 75 If.
620
beugteii Strahleii, dereii Wellenebene mit der des Schirines
den Winkel 20 bildct. Sey nun B B ’ ein Durchschnitt der
Oeffnung, I ein Piinkt derselben, in welcliem sich dns
0
Elemeiih d m der Oeffnuiig befinde. AB, AH sey das einfalleiide Biindel paralleler Lichtstrahlcn, B D, B D’ die Richtuiig der gebeugten Lichtstrablen. Um nun die Lichtintcnsitiit der iiacli B D gebeugten Strahlen zii erhalten, liaben
wir nur die resultirende Aetherbewegung iiach dem Interferenzgesetz in einer zu den gebeugteii Strahlen iiorinalen
Ebeiie DD’ zu bestiiniiieii, da die Liclitstrahlen voii da ail
sich mit coiistantcr Pliaseiidilfereiiz wciter bewegeii.
Nacli dein I l u y g b en’scheii Principe betrachtet man nun
jedes Element der Oeffmng als eineii iieuen Vibrationsmittelpunkt, welclier die erhaltcnen Oscillationen nacli allen
Richtungeii liiii weitcr verbreitet. Das in M befindliche
Element des die Oeffiiung erfullcndeii Aethers dna w i d null
in der Ebeiie D D’ eiiie Lichtbcwcgung veranlassen, welche
sich ausdriicheii l&t durch
11
= kdrn sin 2 n (;.- - A M- +AM x >
~
(1)
menn 77 den hbstnnd des in N befindlichen Aetherthcilchcns
voii der Gleichgewichtslnge zirr Zeit t , k die Amplitude
der Schwiiigiing , welche die v o n dcr Fliicheneiuheit ausgeliende Wirhung in N crzcugcn wiirdc, T die Oscilla-
62 1
tionsdauer uiid h die Wellenlangc des angewendeten Lichtes bedeutet.
Legen wir iiun durch B’ die Wellenebene der einfallenden Strahlen B’C durch B die der gebeugten Strahlen
BC’, so haben wir
All1 = A P - M P = AR’ - 111P
MN=NQ+QM=DB
+QM
und setzen wir das in (1) ein, so wird:
t
AB’+DR
- QW-MP
(2)
~ ~ = k d r n s i l 1 2 n ( 7 ;1
I
Uin nun die Gesamtntintensitiit der nach dcr Riclitung
B D gebeugten Strahlen zu erhalten, haben wir die Sumnie
der von allen ’Elementen der Oeffnung iiacli der gleiclien
Kiclitung ausgehenden Strahlen zu bilden, jeden init seiner
Phase genommen, niit welcher derselbe in die Ebene D ‘ D
eintrilt. Oder mit andereu Worten, wir habeii die rechte
Seite des Ausdrucks (2) nach rn zu iiitegriren iiber die ganze
Ocffnung bin, wobei d a m Q M und M P mit der Lage des
Punhtes 31 in der Oeffiiuug immer andere werden.
Bedenken wir nun, dafs M P die senkrecliteu Abstbde
der Punhte der Oeffnung voii der einfallenden Wellenebene, M Q dieselbeii von der gebeugten Wellenebene bedeutcn, so ist es leicht d m , Q M , J l P als Functionen derselben Vcr~nderlichen darzustellen.
Zu dein Elide legen wir irgendwo in der Ebene des
Schirmes deii Anfangspunkt eines rechtwinkligen Coordiiiatensystems, dessen z y Ebcne init der Ebcne des Scliirmes
zusammenfdlt. Die Winkel, welche die einfallenden Strahlen mit den Axcn bilden, seyen a,p, y, diejenigen, welchen
die gebeugten Strahlen bilden, scyen a’,p’, y’.
W i r liaben dann als Gleichung der einfallenden Vl‘ellenebene, wenn wir die Coordinaten cines Punktes dcrselben init 2, y, o bezeichnen
2 cosa
y cosp f % cosy = p ,
worin p deii senkrechten Abstand der in Rede stebenden
Ebene voin Coordinaten-Anfangspunkt bezeichnet. Nach
einem bekannten Satze der analytischen Geometrie irn Rauiiie,
+
622
hat nian nnn fiir den senkrechtcn Abstand D eines Punktes
mit Coordinate11 x', y', a' von jener Ebene
D = X'COSCC ~ ' c o s ~a'+COSY - p .
For den Punkt 111 der Oeffnung segen nun die Coordinaten x', y', die z Coordinate ist = 0 , da der Punkt iu
der x y Ebeiie licgt. Wir haben daher
M P = 5' COB (I -+ y' cos ,4 - p.
1st UUII die ('Jleichung dcr gcbeugten Wellenebene
x cosn' + y cosp' z cosy'= p',
so haben wir analog
M Q = x' cos a' y' c o s p p'.
Setzeu wir das in ( 2 ) ein, uiid zugleich
d m = d x dy,
so wird
71 = k d x dgsin2i c ( ?r
t
AR+DB
+
+
-
+
1
-
1.
(
- x'-
cos a'
- rosa) +
y' (50s p' - coq)I/
-
+p -p'
~
I
(3)
oder
11
7
= k d x d y cos 2[x'
1.
-cos CY)+y' (COS -
(COS CY'
.sin 2 n
COS~)]
( t - A B ' + U B + p --1p '
).
- k d x d y sin 2
[x' (cos a'- cos a)+y'(cosp - cos ,8)]
1.
. cos 2 n ( ?t ; - A B ' + D RI + p - p
1
Uud nehmen wir nun die Summe aller Strahlen, wobei wir
urn durch x und y alle l'iinkte der Oeffnung nach und
nach zii erhalten, fur x' wieder x, fur y' wieder y einsetzen,
so mird
H=kJfdx
dycos 2~ [ x ( c o s a ' - c o s a )
I
+y(cos(~-cosp>]. sin2n
-k fJdx
d y sin
( tr- All'+
-
D B + p -p'
i.
-1
[y(cosa'-cosa)
t
+y(COspl-cos/3)].Cos2il(
7-
AB'+D B + p - p '
).
1
633
woraus nacli bekannten Interferenzgesetzen fiir die resultirende Intcnsi~atder nach der gleichen Richtung gebeugten
Strahlen folgt:
J=k’
[ ( J J d m d y ~ ~ ~ ~1.[ ~ ( c o s n ’ - c o s c c )
+ y c o s ~ - c o s , ~ ) ~ ) *+(JJdmdysin
2 n- m(cosa’1
~
cosa)
wo die Intcgrationen uber alle m und y, welche der Ocffnung angchiiren, auszufiiliren sind I ) .
Dieser Ausdruck fiir J ist bisjerzt nur nuf rechtwinklige
Coordinaten bezogen. Uiii ihn zu verallgerneiiiern und fur
die Anwendung bequemer zu machen , wolleu wir nun annehmcn, dafs die yAxe nicht senkrecht auf der xAxe stehe,
sonderii init ihr den Winkel 9 einschliele. Die Axe der B
hleibe scnkreclit auf dcr my Ebene. Bezeichnen wir die
neuen Coordinaten zunschst init m’ und y’, so werden die
alten Coordinaten in diesen neuen ausgedruckt
a: =2’- y = y’ sin 19.
Dadrirch tritt dann auch an die Stelle des reclitwinkligen
Flachenelernents d x d y das uiiendlich kleiue Parallelograinln
1) Iclr mufs hier bemerken, dafs ich vor einigen Jnliren i n Berlin aus
eineni nach Vortr6gen dcs Hrn. N e i i m a n n iiber thcoretisclie Optik benrbeiteten I I e h erselren Iiabe, d a b Hr. N e u m a n n sich des glrielien allgcnreinen Ausdrucks bedient, urn die F r a II n I I O rer’sclien Dilfractionsersclreinungen zu erlialten. D e r W e g , auf welchem derselbe dazu gelangt,
ist aber ein ganz anderer. IIr. N e n r n a n n zictit den angesetienen Punkt,
auf den das Fernrohr eingestellt ist, i n die Betiandlung des Problems
hinein und gelangt dsdurch zu einem Ausdruck fiir die Pliasen drr gebeugren Stralilen, welchen e r dann nach Einfiilirung cines reclitwinkligen
Coordinaten Systemes durcli Umformungen, 3uf ohige F o r m bringt. Die
g d s e Einfaclilieit, mit der sich, wenn einmal iencr allgemeine Aiisdruck
festgestellt ist, die Beugungserscheinungen ergeben, lids es rnir wiinsclienswerth erscheinen denselben auf miiglichst einfaclie W e i s e zu erlrnlten.
Dos war die Veranlassung dieser Arbeit, und dn ich glaubte wirklich
den einfachsten W e g gefunden zu Iiaben, wollte ich es mir niclit versagen, ilin den Physikern vorzulegen,‘ in der Hoffnung, dafs er einem oder
dem andern vielleicht zurn Zwecke der Vorlesungen willhornmen scy.
-
,
624
d x’d y’ siu 9..
Fiihren wir diels iii uiiserii Ausdruch fur
J = k 2 (P’
Q’)
ciii, so wird
+
P =sin t9.ffd
x’d y‘ cos 2
Ex’(cos a’- cos a)
1.
+- y’ sin 19(cosp
Q -sin$YJdx’dg’sin
-cosp).
2-7 [ x ’ ( c o s ~ ’ - c o s ~ ~ )
1
+y’sillo.(cosp‘-
COSP)]
uiid p’ waren die Winhel, wclche die einfallendeii und
gcbeugten Strahlcn init der friilicren y Axe bildrteii, und
da 9. der Winbcl ist, wclclicr die ncue Axe der y init der
Axe dcr 5 bildet, so ist 9. das Complement des Winkels 8,
ivelcheii die lime Axe der g init der fruhern Axe der ?/
bildet. Deshalb sind die l’roducte
sin 8 cosp’ = cosq , cosp’
sin 17cosp = cos 11. cosp
gleiclr dell Cosinus dcs WinLeIs, welcheii die gebcugten
respective die cinfallenclen Strahlen iiiit der iieueii Axe der
y bilden. Bezeichnen wir dicse v\ iiikel wiedcr wit p’ und
p, und lasseii wir bei x’ und y’ die Acceiite weg, so
wird
P = s i n 9 . ffdxdycos
2T [x(~~~n‘-cosn)
\
A
4- y (cospl-cosp)]
Q=siii9.
ff d x d y sin 2A [x(cosa’2
coscc)
Unsere fruhereii Ausdriicke gelteii also auch, weiiii die
Axe der y niclit seiil\recht arif der Axe der x steht, wenn
wir sic init dem Sinus des Winkels, welchen die beideii
Axen eiiischlichen, inultipliciren. Letztere Ausdriicke als
die allgeineinern, aus denell durch 9.= 90” die crstereii
her\-orgcbcn, siiid in der hiiwendung die bequeinsten.
625
3.
Es sey gestattet an eineni speciellen Falle zu zeigen,
mit mie geringer Miihe man init Zugrundelegung dieser Ausdrucke zu den Resultaten gelangt, welclie iiach der S c h w e r d’schen nleihode sehr weitlririfige Rechnuageo erfordeni. Es
merde die Intensitat der durch eine trapezformige Oeffiiung
gebeugter Strahlen bestimmt.
c,
Seyen die vier Seiten des Trape-
zes’ A B D C
ACE b
AB= a
BD=c
CD=d
I)
A
3
Die Seiten a und b bilden mit einander den Winkel 9..
Da wir den Anfangspunkt der Coordinaten und die Richtung der x und y beliebig wahlen konnen, so sey A der
Anfangspunkt der Coordinaten, die Axe der x f d l e init
a , die dcr y mit b zusammen.
Wir haben d a m die beiden lntegrale zu nehmen
iiach y von y = O bis y = y ,
wo y cine Function von x die Ordinaten von CD darstellt,
uach 5 von cr = 0 bis x= a.
W u r d e die Lillie CD die Axe der x in einein Abstande
__
- a! schneiden, so ist
y
= b ( 1 - ”)
a
N u n ist aber
a!:a=,b:b-c
a b.
a=-b-C
also
y = b(1
- (---).
b-c)x
lab
Bezeichnen wir nun in unsern beiden Integralen (4 a)
PoggendorfPs A n d . Bd. CIX.
40
626
-
2%
- (cos a
' cos E ) = m
A
2%
(cospl - cos(7) = n
A
~
so haben wir fur das Trapez
0 0
I1
0
worin i= V - i .
Fiihreii wir die beidcn aiigedeuteteu Iiitegratioiieii aiis,
so wird
-((mn--n+nc)(e
. rnui - I ) !
oder we1111 wir wieder trigonometrische Fuiictione~ieiiifiilireii und reelles uiid imagiusrcs treniieu.
p + Qi=-
-
- n b +n c ) 1 rna(cos (rn a+n c>- cosn a)
(cosma - 1) +i[ma(siii(rna+nc) -- sinnb)
sin
@
ni n ( m a
-(rnu-nb+nc)
-((ma-nbtnc)sinrna]
1
G 27
Woraus man unmittelbar erhalt
P=--
m n (nc a -n b + t i c )
[nb(cosma-1)-nc(cosma-I)
- m a (cosnb - 1) +ma (cos [ m a t nc)
Q=-
sin 0
in n ( m n
nb
- +n c )
~
1 n b sin m a -n csin ma
-cosma] I
- m a sin n b
- on a [sin na a -sin ( m a t n c) 11
oder
P=
ahsin0
(tit n -n 6
nc)
+
in a
2
ni
a
__
2
sina-
sin'
n6
3-
nb
2
2
+nsill (ma+:)
b
Q=-
a bs i_
n8 _
__
( m a- n h + n c )
sinma
ni a
sin
sinnb
nb
Quadriren wir beide Ausdriicke, addiren wir sie und
niultipliciren wir sie niit k a , so wird nach einigen leicbt
zu iiberseliendeii Reductionen
J = k z (P'
Q')
+
628
Dieser durch seine Symmetrie zieinlich ubersicbtliche
Ausdruck zeichiiet sicli dadurch aus, d a b a m ihin sich unmittelbar uiid auf die einfachste Weise die Iiitensitiit der
durch eiri Dwieck oder ein l'arallelograinin gebeugten Strahlen ergiebt. Dadurch wird auch seine Kichtigkeit brstaligt,
indein wir die bekanntcn durch den Versuch gepruften
Aiisdrucke erhalten.
F u r das Dreieck wird
C=O
. ma . n b
- 2 -itra
-
2
n_
b ._
2
ein Ausdruck, der n i t deui S c h w erd'schen ( v i d e S. (il
dessen Schrift) zusammeufiilll.
Fur das I'arallelogramm wird
c=b
der bekannte Ausdruck fiir die durch ein Parallelograinrn
gebeugten Strahlen.
Beide Ausdrucke waren iibrigens auch leicht durch directe Integration erhalten, wenii wir in die obere Griinze
der Integration iiach y entweder c= 0 oder c = b eingesetzt hiitten.
Wie durch Zerleguiig der beugenden Oeffnung, bei geradliuiger Begriiuzung derselben, auch die Ceugungserschei nungen anderer Oeffnungen erhalten werden kirnnen, sieht
629
nian sofort. Die Rechnungen sind niclit schwieriger wenn
such weitlaufiger.
Sind die Oeffnuugen jedoch uicht geradlinig begranzt,
so lassen sich die Integrale nichf in geschlossener Form darstellen, sie fiihreu auf Integrale, wclche bislier iioch nicht
hestinlint sind. Mali muCs daun zu Keihenentwicklungen
seine Zuflucht iiehmen wie cs Hr. K n o c h e u h a u e r bereits
getlian hat ').
Marburg d. 15. Februar 1860.
V11. Geornetrische Methode, urn iEus Potential der,
oon einer Kugel nuf innere oder &.$sere
P%nkte
nusgeiihten , W i r k u n g zu bestimmen;
oon C. N e u m u n n in Hulle.
F i i r den Satz, d a k cine unendlich dunne, von zwei ahnlichen Ellipsoiden begranzte, Schaale nuf cinelt auheren
Puuht eiue Kraft ausiibe, deren Richtuug durch die Axe
des von diesem I'unkte a n die Schaale gelegten TangentenKegels dargestellt wird, hat S t e i n e r einen aufserst einfaclicn, auf rein geoinetrischeu Betrachtungen beruhenden,
Bcweis gcgeben '). Je ue geometrischen Betrachtuugen vou
S t e i n c r fuhrteii mich zii eiiier neuen uud einfachen Methode, urn das Potential einer Kugel auf innere oder aufsere Punkte zu bestimmen. Ich werde inich hier bei AUSeinaii~eIsetzuiigdieser Methode auf die Feststellung folgenden Satzes beschr~nkcn.
Bezcichnet
die Masse einer unendlich dunneu, VOII
zivei concentrisclicn I<ugelflaclien begranzteii Schaale : bezeichnet ferner a den Kadius der Schaale, und e die Ent'1
I ) K n o c b e n h a u c r , Undolationsttieorie
3) C r e l i e ' s Journal, Bd. 12, S.541.
etc.
S. 22.
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