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Eine exakte stationre Lsung der EINSTEIN-MAXWELL-Gleichungen.

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D. KRAYERu. G.NEUGEBAUER:
%sung der EINsTEIN-~XwELL-Gleichungen
59
Eine exakte stationare Losung der
ElNmrN-MAmnrr-Oleichungen
Von D. KRAMER
und G. NEUGEBAUER
Abstract
With the aid of invariance transformationsof the Lagrangian we have obtaineda new
exact stationary solution of the EINSTEIN-MAXWELL
equations referring to the exterior
field of a charged and rotating isolated source.
I n einer anderen Arbeit [l] untersuchten wir bereits die Forminvarianz der
LAGRANGE-Funktion, aus der sich die Feldgleichungen fiir stationtire Elektrovakuum-Felder ergeben. Wir wenden nun diese Invarianztransformation auf
die von BONNOR[2] angegebene statische Ltisung der EINSTEIN-MAXWELLGleichungen (mit rein elektrischem Feld) an, die sich ihrerseits durch einfache
Substitution aus der KEm-Metrik gewinnen Itil3t. Auf diese Weise gelangen
wir zu einer neuen Losung.
Das Linienelement kann auf die Normalform
ha= e-2u(gAB d x A d x B
Wa &pa) - e2u(dt a
(1)
y=S, tGX0,
A=l,2
gebracht werden. Es existieren die beiden KILtINa-Vektoren
(" = St
(Stationarittit)
7p = Sg (Axialsymmetrie), (p = 0 . . 3),
die eine ABELsche a, bilden. Die Anwendung der Invarianztransformation liiBt
den Unterraum p3mit der Metrik ( ~ A B P)
,
invariant, so daJ3 dieser Anted des
Linienelements unmittelbar von der BoNNoRschen Ltisung zu ubernehmen ist :
+
+
.
w a = (9- 1% - 2mr) sin%'.
Fur die restlichen metrischen Funktionen in (1)und fur die Potentiale
erhiilt man
f3ln& sina8
(1 - @*) r + Zmg/?*
a=
ra - 27nr
1)
J
G
xo
- 1'
cosa 8
(1 - Bb*)a
Emsmmsche Gravitationskonstante
9
+ i akomplexer Parameter, dimensionslos, b* = 8, - is,.
und
x
(3)
60
Annalen der Pbysik
*
7.Folge
Band 24, Heft 1/2
1969
mit
Fo=1@ 0-
4m(r - m)
- 1s COB41m COB 6
YZ
rP-PC0828.'
Aud Grund der Beziehungen
BMVP = y,p
&V.P
= X,r
1
-BJW
2
=~ , ~ y " "~
,~x""
( 7)
(m= 1, 2, 3)
(Brv Feldstiirketensor, BMydualer Feldstiirketensor) bezeichnen y und x das
skalare elektrische bzw. magnetische Potential.
Die Parameter in der allgemeinen Invarianztransformation in [l]sind hier so
gewiihlt worden, daS. die gewonnene LBsung folgende E i g e n s c h a f t e n anfweist :
1. Fur r -+00 entsteht die Metrik des flachen Raumes, und die Potentiale
und x verschwinden.
2. Gleichzeitig ist die Regularitiitsbedingung auf der Achse 6 = 0, n fur
geniigend groDe Abstiinde vom Zentrum erfiillt ( r > m
(ma la)').
3. Das skalare magnetische Potential x enthglt keinen Term mit r-l (Nichtexistenz magnetischer Einzelpole !).
4. I n die Metrik gehen 4 reelle Parameter (m, I , pl, pa)ein. Dabei ist pa sowohl
mit dem magnetischen Moment als auch mit der Rotation der Quelle um die
Achse 8 = 0, n verkniipft. Setzt man pa = 0, so erhiilt man eine statische Liisung
mit rein elektrischem Feld (a = x = 0), die wir schon in einer friiheren Arbeit [31
angegeben haben.
5. Die Liisung von BONNOR
ergibt sich als Spezialfall /?= 0.
Der Zusammenhang der Parameter mit Gesamtmasse und -ladung, magnetischem Moment und Drehimpuls des Systems ist &us der asymptotischen Entwicklung von (3)-( 6) nach Potenzen von r-l abzulesena) :
+
+
mit der Abkiirzung
Fur den Drehimpuls N berechnet man
Die Losung ist als AuSenfeld einer isolierten rotierenden und geladenen Quelle
zu interpretieren. Ob dabeiLadung oder (und)Masse rotiert, kann nur bei Kennta)
Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 1
D. KRAYER
u. G. NEUQEBAUER:
Usung der EINsTEIN-~wELL-Gleichungen
61
n i s einer zugehiirigen inneren Liisung entschieden werden. Mit dem Nullsetzen
.der elektrischen Ladung verschwinden sowohl Rotation als auch magnetisches
Moment. Eine Vorzeichenumkehr der Ladung oder des Drehimpulses iindert
jeweils auch die Richtung des magnetisohen Moments.
Wenn das elektromagnetische Feld abgeacheltet wird (p = 0, 1 = 0), geht
unsere Losung in die (statische) DmoIs-Metrik [4] iiber, im Unterschied zur
et al. [5] gefunden
Verellgemeinerung der KEaa-Losung, die von NEWMAN
wurde. Unsere Lijsung geh6rt auch nicht zu der allgemeineren Liisungsklasse
von CARTER[6].
Wir betrachten noch den Grenzfall pa = 0, rn --+ 0, +- 1, wobei 6i in (9)
endlich bleibt. Es resdtiert eke spezielle REIssNEE-NoRDsTEoM-Liisung; das
Linienelement wird gem60
r’=r+1cos8+Z,
sin@ = r + l o o e e sin8 91= y , t‘ = t
(11)
in die ubliche Form transformiert
Literaturverzeichnis
111 NEUQEBAUER,
G., und D. KRAMER, Ann.Php., Leipzig 24 (1969)62.
W.B.,Z. Ph .190 (1966)444.
[2] BONNOR,
[3] KRAMER,D.,und G. &uam~-, Commun. Math. Php. 10 (1968)132.
G., lK6morial des Sciences Math6matique. Faec. XXV.Park: Gauthier[4] DAEXOIS,
Villars 1927.
and R. TORE.T., E. COUOH, R. CEINXAPARIUD, A. EXTON,A. PRAKASH,
[6] NEWMAN,
RENCE,
J. math. Phys. 6 (1966)918.
[S] CARTER,B., Commun. Math. Php. 10 (1968)280.
J e n e , Friedrich-Schiller-Universitlit,Fachbereich Theoretische Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 26. M i 1969.
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