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Eine moderne Darstellung der Gullstrandschen Arbeiten zur Strahlenoptik.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLGE
B A N D 38
HEFT 7
U.
S
1940
E,ine m o derne Darstellung
deli Gullstrandscken Arbedten x u r Strahlenoptdlc
Von Helmut Epheser
(Aus dem mathematischen Institut der Technischen Hochschule Hannover,
Abt. Prof, P r a n g e )
A l l v a r G u l l s t r a u d hat in den ,,Kungl. Svenska Vetenskaps. Akademiens HandlingaP einige Arbeiten veroffentlicht, die Ergebnieee enthalten,
welche fur die Strahlenoptik ron grof3er Bedeutung sind. Leider ist aber die
Darstellung ziemlich echwer lesbar, so daf3 G u l l s t r a n d s Arbeiten wohl kaum
von einem weiteren Kreise im Original gelesen worden sind.
Es SOU hier eine Darstellung gegeben werden, die die Hauptergebnisse
der beiden Arbeiten von 1906 und 1908 mit den heutigen Mitteln der Differentialgeometrie und Variationsrechnung ableitet.
In ha1 t: Einleitung: Die Strahlenoptik und das Variationeprinzili Eon
F e r m a t : 8 1. 1. Die Lichtstrahlen a l s Extrernalen und ihre Differentialgleichungen; § 2. 2. Scharen von Lichtatrahlen; § 3. 3. Die Methoden zur Untersuchung der optischen Abbildung. - I. Kapitel: Feldartige Stmhlenmannigfaltigkeiten in homogenen und isotropen Medien: § 4 . 1. Eigenschaften einer feldartigen Mannigfaltigkeit; 5 5. 2. Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen ;
3 6. 3. Das Brechungsgesetz; 9: 7. 4. Formeln fur den tfberganf: der ersten
Fundamentalform ; 5 8. 5. Die Gesetze der Strahlenvereinigung, Ubergang der
zweiten Fund.form;
9. 6. Einfiihrung angepafiter Koordinateq; § 10. 7. Einige
Sonderfiille. - II. Kapitel: Feldartige Mannigfaltigkeiten in inhomogenen und
iaotropen Medien: 3 11. Einfiihrung; 8 12. 1. Untersuchung einer feldartigeu
Strahlenmannigfaltigkeit im inhomogenen isotropen Medium; 9: 13. 2. Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen; $j14. 3. Das Brechungsgesetz; 3 15. 4. Formeln fur den Ubergang der ersten Fundamentalform; § 16. 5. cbergang der
zweiten Fundamentalform; § 17. 6. Schluflbemerkungen. - 111.Kapitel: Zmi
feldartige Mannigfaltigkeitnt mit gemeinsanzm Grundslrahl: § 18. 1. Vorbereitende
Betrachtungen; § 19. 2. Aufstellung eines Groflensystems, dae liings des gesamten Strahls ungelindert bleibt; 5 20. 3. Eine andere Ableitung des Groflensystems; 8 21. 4. Geometrische Anwendung der gewonnenen Ergebnisse. G u l l s t r s n d s Fundamentalgleichung. - IV. Xapitel: § 22. Die abbildbaren Linien.
Die wesentlichsten, in dieser Arbeit zur Anwendung kommenden mathematischen Hilfsmittel sind die Elemente der Differentialgeometrie und der
Variationsrechuung, wobei die Tensorschreibweiee benutzt ist.
Literaturangabe
1. A l l v a r G u l l e t r a n d , Die reelle optische Abbildung. Kungl. Svenska
Vetenskaps Akademiens Handlingar 41. Nr. 3. 1906.
3. A l l v a r G u l l s t r a n d , Die optische Abbildung in heterogenen Medien
und die Dioptrik der Kristallinse des Menschen. Kungl. Svenska Vetenskaps
Akademiens Handlingar 43. Nr. 2. 1908.
Weiteree Schrifttum, das mit der Arbeit in Zusammenhang steht, wird
im Text zitiert.
Annnlrn dcr Thvsik. 5. Folge. 3H.
33
~
502
Annalen der
I'hysik.
5. E'olye. Band 38. 1940
Elnleitnng: Dle Strahlenoptlk and das Varlstlonsprlndp von Perm a t
§ 1. 1. Die Liohtstrahlen ale Extremalen
und ihre Differentislgleiohungen
Die reine geometrische Optik oder Strahlenoptik geht wie
schon der Name sagt, von den Lichtstrahlen aus. Daher erscheint
es zweckmaBig, das Fermatsche Prinzip an die Spitze zu stellen;
denn dieses gestattet, den Lichtstrahl als einzelne Kurve zu charakterisieren. 1st n der Brechungsindex und d s des Bogenelement des
euklidischen ICaumes, Bind ferner P' und P" zwei beliebige feste
Punkte, so sind die Lichtstrahlen auf Grund des Fermatschen
Prinzips Extremalen des Variationsproblems:
P
(191)
.
I n a s = Extr.
P'
Wenn n eine Konstante ist, wenn es sich also um ein homogenes und isotropes Medium handelt, entartet (1,l) in ds = Extr.,
die Lichtstrahlen sind dann einfach Geraden. Im allgemeinen Falle
des inhomogenen und anisotropen Mediums hlngt nun n von Ort
und Richtung ab. Dann liegt es nahe, die euklidische Langenmessung aufzugeben und n . d s ale Bogenelement einer neuen optischen MaBbestimmung einzufiibren. Das fiihrt im allgemeinen auf
einen Finslerschen Raum l).
Es seien z', z2 und 3 9 irgendwelche krummlinige Koordinaten
des Raumes. * Ferner sol1 ein kontravarianter Vektor (ql, q8, ?is) zur
Richtungsbestimmung dienen. Es mni3 dann offenbar n nnr von
2 Verhaltnissen der 11'. abhangig sein:
s
0
n (d,
c, q l ) = n (5: q L ) ,
ist also eine homogene Funktion Oter Ordnung der qz. Man kann
die q1 anch durch Uifferentiale d s i ersetzen. Dann ist
n
.
n as =F
(51,
aq
eine homogene Funktion erster Ordnung der
dzl,
und damit bekommt
1) In den meiaten Fiillen treten in der Physik ,,Riemanneche Rliume"
auf, d. h. solche, in denen sich das Bogenelement d s in der Form darstellen liillt:
as' = gij (d')d.ri d . r j .
Hat man allgemeiner:
d S = $7(Z", d . T " ) ,
wobei F eine homogene Funktion erster Ordnung der d.r" ist, so spricht man
von einem ,,Fin s 1e r schen Raum".
Vgl. dam: P. F i n s l e r , ifber Kurven und FlBchen in allgemeinen Rlirrmen.
Gottinger Diseertation 191s.
Epheser. Modeme Darsbllung der Gullsltandschen Arbeiten usw.
503
das F e r m a t s c h e Prinzip die Form des Parameterproblems der
Variationsrechnung :
P 11
(192)
J'F (zi, dz') = Blxtr.
P'
Die Funktion F erfiillt dabei auf Grond der Homogenitat die
Identitat:
a x k .F,zJL3F 1).
(43)
Der hierbei auftretende kovariante Vektor:
ist ein System von homogenen Funktionen 0 ter Ordnung der d z ' ;
er kann zur Richtungsbestimmung dienen und spielt eine wichtige
Rolleq. Zu beachten ist dabei aber, da6 j a die Richtung an sich
nur durch zwei GroSen bestimmt ist, da6 also zwischen den drei
Komponenten yk eine Bedingung bestehen muB. Diese kann man
nun in der Tat aus (1,4) erhalten; denn die yi hangen j a als homogene Funktionen 0 ter Ordnung nur von zwei Verhaltnissen der dz'
ab, und durch deren Elimination bekommt man eine Bedingung von
der Art:
H (29,yJ = 0 .
U,5)
H nennt man eine Hamiltonsche Funktion, wobei aber die Funktion F die Hamiltonsche Funktion nicht eindeutig bestimmt. Die
durch (1,5) im dreidimensionalen Raume der yl dargestellte Flliche
wird in der Kristalloptik ,,Norrnalenflache" genannt
Neben diese
stellt man dort noch eine Fliiche im Raume der d z ' , die gegeben,
ist durch:
F(+, d21) = 1 .
(1,6)
Diese letztere ist die ,,Eichfliiche" der optischen Metrik, sie entspricht in diesem Sinne der Einheitskugel des enklidischen Raumes.
I n der Optik fiihrt sie die Bezeichnung ,,Strahlenflache" 4).
1) Partielle Ableitungen werden durch untere Indizierung wiedergegeben,
sofern dae nicht zu Verwechslungen AnlaE geben kann. Daa Summenzeichen
wird in der iiblichen Weiee weggelaseen, wenn der Summationsindex in
2 Faktoren einee Produktee auftritt.
,
2) Diesen Vektor nennt M. H e r z b e r g e r ,,Normalenvektor" und bezeichnet
ihn mit n. (Vgl. M.H e r z b e r g e r , Strshlenoptik, Berlin 1931, S. 9.)
3) In der Variationsrechnung heiJ3t Bie die ,,Figuratrix", vgl. C.C a r a t h 6 o d o r y , Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen ereter Ordnung,
Leipzig und Berlin 1935, § 294, 6. 247.
4) In der Variationarechnung ,,Indikatrix" genannt, vgl. C. C a r a t h d o d o r y , Vsriationsrechnung 5 259, S.214.
33 *
504
Annalen der Pllysik. 5. Folge. Band 38. 1940
Die Differentialgleichungen der Liclitstralilen erhalt man unmittelbar als E u l e r sche Gleichungen cles Variationsproblems (1,2):
(47)
d(F,,=i1= F z i .
Wichtig ist schliel3lich noch der Verlauf der Lichtstrahlen bei einer
unstetigen h d e r u n g der Brechungszahl. Die Fliiche, langs deren
diese Unstetigkeit auftritt. sei gegeben durch:
zi = A’ (u1,242).
(1,s)
Das Brechungsgesetz gewinnen wir wieder aus dem F e r m a t s c h e u
Prinzip: P und P” seien zwei Ponkte, zwischen denen die brechende
Flache liegt, A sei ein Punkt der brechenden Flache. Jetzt denke
man sich P’ mit A und A n i t P” durch Extremalenbogen verbunden; der Lichtweg von P bis P” ist dann nur noch eine Funktion der Koordinaten von A , und A muB jetzt auf Grund des
F e r m a t s c h e n Prinzips eine solche Lage haben, dal3 die ersten Ableitungen dieser Funktion verschwinden. Mit Hilfe cler Randformel
der Variationsrechnung l) ergibt sich:
(1 791
(G-
ail‘
%i
) alL” =
()
(u = 1?2).
F i z i bezeichnet dabei den Wert von FClzifur den betrachteten
Strahl an der brechenden Flache auf der Seite von P’, und ganz
entsprechendes gilt fur F:;xi. (1,9) stellt date Brechungsgesetz i n
seiner allgemeinen Form clar.
j
k 2. 2. Scharen von Lichtstrahlen
Das vollstandige Integral der Eulerschen GI. (1,7) enthiZlt
vier Integationskonstanten! so datl man durch ein Gleichungssystem
-ion der -4rt:
5i = @ ( t ,c’, CB) c3, C4),
(2,1)
innerhalb eines gewissen Bereiches den gesamten Strahlenraum erfassen kann. t sol1 dabei nattirlich der Xurvenparameter sein. Man
k a m also ein-, zwei-, drei- und vierparametrige Lichtstrahlenscharen
betrachten. Von besonderer Bedeutung sind die zweiparametrigen,
weil die Gesamtheit alley yon einem Punkte ausgehenden Strahlen
zu ihnen gehort. Eine zweiparametr ige Lichtstrahlenschar sei gegeben durch:
zi = $ I t , u1, u2):
(292)
das zugeliorige System der yj laBt sich tlann in der Form schreiben:
(293)
y, = p i (t, u’, UZ).
1) Hierzu vgl. G. P r a n g e , Die allgenieinen Integrationsmethoden der
analytischen Mechanik. Enzykloptidie d. math.Wissenschaften Bd. 4 (illechnnik),
Artikel 12/13, 5 Ifid, zweiter Tcilband, 8. Gl9ff.
Eplieser. Moderne Darsfellung
de7
Gullstrandsclicn Arbeiten usw.
505
Jede zweiparametrige Strahlenschar hat nun eine fundamentale
Eigenschaft, die zuriachst abgeleitet werden soll. Es sei C' eine
beliebige geschlossene Kurve, in die eine Flache eingespannt werden
k a n a D a m bildet die Gesamtheit aller von C' geschnittenen
Strahlen eine Rohre. Auf dieser Rohre denke man sich nun eine
Kurve C", die ebenso wie C' die Rohre einmal umlauft. Dann
sind C' und c" mittels der einzelnen Strahleu punktweise aufeinander bezogen. Nun ist der optische Abstand zweier entsprechender Punkte von C' und C" eindeutig bestimmt, und claraus schlieBt
man leiclit in Verbindung mit der Randforniel:
$pi dq' = $pi d q'
(2,4)
c'
C"
(relative lntegralinvariante erster Ordnung) .
Man kann das auch so ausdriicken: Das Integral
iindert sich nicht, wenn man die Punkte der Kurve C auf einer Rohre
von Lichtstrahlen verschiebt. Es sei jetzt die Kurve C so gelegt bzw. t
so eingefiihrt, daB langs C der Parameter t = const ist. Dann aird:
Uieses 1iiBt sich nun in ein Doppelintegral umsetzen, das iiber das
Innere von C zu erstrecken ist. Damit erhalt man folgenden Satz:
Das iiber den beliebig wihlbaren Rijhrenquerschnitt erstreckte Doppelintegral
ist YOU t unabhangig, es hiingt also nur davon ab, welche Lichtstrahlen G enthalt (absolute Integralinvariante zweiter Ordnung) ').
Dann muS aber die GroBe
die man ,,Lagran gesche Klammer" nennt, oon t unabhangig sein.
Dieser Satz muB natiirlich f u r jede beliebige zweiparametrige
Schar gelten, die man aus der Gesamtheit der m'-Strahlen herausgreifen kann. Wenn man also von der Darstellung (2,l) ausgeht,
iniissen alle sechs GroBen [Cl,C!l] ( I , p = 1,2,3,4)von t unabhzngig
sein. Diese Bedingung ist auch uber Brechungen hinweg giiltig;
_ _ _ ~ _ .
1) Vgl. die auf S. 504 nnter 1) zitierte Literaturstelle.
5OG
A W Z U dcr
~ ~Physik. 5. F d p . B u d 38. 1944
denn sie beruht lediglich auf der Randformel, und diese bleibt vollig
ungeandert, weil an den brechenden Fliichen wegen des Brechungsgesetzes (1,9) beim ubergang zu einem benachbarten Strahl keine
Glieder auftreten konnen. Die L a g r a n g eschen Klammern sind daher
das geeignete Mittel, innerhalb der zweiparametrigen Strahlenscharen
eine Kategorie besonders auszuzeichnen. Hierzu znn&chst eine Vorbereitung.
Wenn man mit der optischen Langenmessung arbeitet, muS
man much den Begriff des Senkrechtstehens auf diese Metrik griinden.
I n diesem Sinne steht ein beliebiges Linienelement 6si auf dem
Linienelement d 5' einer Extremalen senkrecht l), wenn gilt:
(2,8)
F ~ ~ a~ q~ ( ~= 0.
L ,
Dieses Senkrechtstehen fallt nur dann mit dem Senkrechtsteheii in1
euklidischen Raume zusammen, wenn die optische Metrik der euklidischen proportional ist, also fur isotrope Medien. .
Die ausgezeichnete Kategorie ist nun die der sogenannten
,,feldartigen Manuigfaltigkeiten". Man nennt eine zweiparaluetrige
Lichtstrahlenschar feldartig, wenn eine Flache existiert, die alle
Strahlen der Schar senkrecht schneidet. Tragt man von dieser
Flache aus auf allen Strahlen die gleiche optische Lange ab, so
gelangt man zu einer neuen Flache, uiid die Randformel zeigt, daS
diese wiederum alle Strahlen senkrecht schneiden muB. Wenn es
also eine solche Flache gibt, so existiert damit auch eine ganze
einfach unendliche Schar. I n der Optik werden diese Flachen
,,WellenflOchen" gennnut. Aus der Definition sieht man, da8 insbesondere alle von einem Punkte ausgehenden Lichtstrahlen eine
feldartige Mannigfaltigkeit bilden und in dieser Tatsache liegt die
besondere Rolle begriindet , die die feldartigen Strahlenscharen fur
die Optik spielen. M'ichtig ist es jetzt noch, ein einfaches Kriterium
fiir die Feldartigkeit einer zweiparametrigen Strahlenschsr anfzufinden. Das la& sich durch folgende Uberlegung erreichen: Es
sei Po ein beliebiger Punkt. Die von der durch Po gehenden Wellenflache aus auf den Strahlen gemessene optische L&nge laBt sich
nach der Bandformel in der Form darstellen:
1) In der Variationsrechnung ah ,,transversalii bezeichnet. Vgl. C. C a r a thGodory, Variationerechnung 5 297, S. 248.
E'pheser. Moderne Darstelluq der Gd2strand s c h a Arbeilen usw. 507
wobei dieses Integral vom Wege unabhangig ist l), und dia Bedingung
daftir ist:
(2110)
[u', u? E 0 .
Eine xweiparametrige Lichtstrahlenschar ist feldartig, wenn ihre
Lagrangesche Klammer identisch verschwindet2). Aus dem bisher
Gesagten la8t sich unmittelbar schlieSen, da8 die Feldartigkeit einer
Lichtstrahlenschsr auch iiber Brechungen hinweg erhalten bleibt
(Satz von Malus). Dieser Satz gibt die Moglichkeit, die feldwtigen
Mannigfaltigkeiten in den Mittelpunkt der Betrachtungen zu rticken
und aus ihnen die Abbildung aufzubauen.
3. 3. Die Methoden Eur Untemuahung der optiaahen Abbildung
Beim Studium einer optischen Abbildung handelt es sich darum,
die gesamte vierdimensionale Strahlenmannigfaltigkeit durch das
optische Instrument hindurch zu verfolgen. Wenn man nun von
einer Objektflache ausgeht, kann man leicht in diese Strahlengesamtheit eine gewisse Ordnung hineinbringen, indem man zunachst einma1 alle von einem Punkte der Objektflache ausgehenden Strahlen
zusammenfaf3t. Jedes dieser Strahlenbtindel bleibt tiber alle Brechungen hinweg feldartig, so dal3 man insgesamt eine zweifach unendliche Schar von feldartigen Strahlenmannigfaltigkeiten vor sich
hat. So vorzugehen, liegt sehr nahe und es ist besonders die ganz
natiirliche Art, wenn man, wie das zunlichst sicher der Fall war,
eine punktweise Abbildung anstrebt. Auch H a m i l t o n Y )begann auf
diese Weise den Aufbau der Theorie, seine Untersuchungen fiihrten
ihn aber bald dahin, da8 er in der Prinzipalfunktion ein Mittel in
die Hand bekam, das ihm tiefer liegende allgemeine Satze lieferte.
A. G u l l s t r a n d ist nun einen Weg gegangen, dessen Grundgedanke
dem H a m i l t o n schen zwar sehr verwandt ist, dessen weitere
Ausgestaltung sich aber dann von der Hamiltonschen Theorie erlieblich entfernt. Wenn die H a m i l t o n ache Theorie einen tiefen
Einblick in die Zusammenhllnge zwischen den optischen Riiumen
i m gropen eroffnet, so werden diese Zusammenhange bei G u l l s t r a n d
mehr im kleinen aus den Elementen heraus aufgebaut.
An der Spitze der Betrachtungen stehen, wie schon gesagt, die
einzelnen von den Objektpunkten ausgesandten feldartigen Strahlen1) Dieser Satz iet auch ale Hilbertecher Unabhflngigkeibsatz bekaont.
2) Dieees Kriterium kann man auch ohne jede Ilechnung BUE der relativen
Integralinvsriante ereter Ordnung herausholen. Vgl. dazu den auf 6. 504
Anm. 1 zitierten Aufsatz irn unmittelbaren Anschlufl an die dort angegebene Stelle.
3) Zu Hamiltons Untereuchungen vgl. W. R. Hamilton, Abhandlungen
zur Strahlenoptik, deutsch herausgcgeben von G. Pr an g e , Leipzig 1933.
508
Aiinalen der Pliysil;. 5 . Folge. Bmtd 38. 1940
mannigfaltigkeiten. Nun zeichnen sich feldartige Mannigfaltigkeiten
vor anderen dadurch aus, daB in ihnen die Orientierung besonders
leicht moglich ist, denn man ubersieht das Strahlensystem vollstandig, wenn man seine Wellenfiachen kennt. Die flbersicht uber
die Wellenflachen verschafft sich H a m i l t o n durch eine Funktion
von der Art der Funktion S in (2,9). G u l l s t r a n d dagegen untersucht die differentialgeometrischen Eigenschaften der Wellenflachen
und verfolgt deren Xnderung liings eines Strahles. In jedem Falle
bekommt man damit einen h e r b l i c k uber die VerhHltnisse innerhalb dieser einzelnen Strahlenscharen. Es handelt sich qun darum,
noch die Verkniipfung dieser feldartigeii Mannigfaltigkeiten untereinander moglichst ubersichtlich aufxubauen. Das ware sicherlich
erreicht, wenn man den Ebergang wieder innerhalb von feldartigen
Strahlenmannigfaltigkeiten vollziehen konnte; man miiBte also solche
Strahlenscharen als Verbindungsglieder einbauen. Es wiirde sich
darum handeln, eine zweite, vou der ersten nnabhangige Schar feldartiger Strahlenmannigfaltigkeiten zur Verfugung zu haben. Dann
ist jeder Strahl durch die beiden Felder vollstandig bestimmt, denen
er gleichzeitig angehBrt. Es ist nun interessant, da8 beide Theorien,
wenn auch auf verschiedene Weise, diesen Schritt tun. H a m i l t on
stellt den von einem Objektpunkt ausgehenden Strahlensystemen
diejenigen a n die Seite, die von allen durch einen Bildpnnkt laufenden
Strahlen gebildet werden, und er kommt auf diesem Wege zur Prinzipalfunktion.
G u l l s t r a n d macht an dieser Stelle, wenigstens im Prinzip,
folgendes: Er nimmt auBer der Objektflache eine zweite Flache, die
ich ,,Hilfsflache" nennen will, hinzu uud ordnet mit ihrer Hilfe die
Gesamtheit aller Stralilen noch einmal in der gleichen Weise wie
mit der Objektflache. Es sei etwa:
xi = Gi (?-,,I, a2)
(3J)
die Objektflache und
Z' = HI (u1,u?)
(3,2)
die Hilfsflache.
Dann wird ein einzelner Strahl durcli u l , u2, a', ii2 festgelegt.
R e n n man dabei iil und i z 2 festhilt, hat man nattirlich die feldartige Mannigi'altigkeit der Strahlen vor sich, die durch einen festen
Punkt der Objektflache laufen, uud ebenso liefert das Konstantsetzen von u1 und u 2 die feldartigen Strahlenscharen der zweiten
Art. Nun kommt es bei G u l l s t r a n d s Untersuchungen darauf
an? den Strahlenverlauf in der engen Nachbarschaft eines Grwzds l rahls differentialgeomctriscli zu verfolgen. Aus diesem Grunde
fuhrt er die Hilfsfliiche als solche auch gar nicht ein, sondern nur
Epileser . Moderne Darstellung dcr Gullstrand schn Arbeiten usw. Sot)
den DurchstoBpunkt des Grundstrahls. Die Iioordinaten seien so
gewiihlt, daS der Grundstrahl bestimmt ist durch u1=u2=al=02= 0.
Rei diesem Aufbau der Theorie spielt die Untersuchung zweier feldartiger Strahlenscharen mit gemeinsamem Grundstrahl dann natiirlich
eine fundamentale Rolle.
G u l l s t r a n d , dem diese Konstruktion gewiB vorgeschwebt hat,
beschreibt sie mehr in der Sprache des Optikers. Daher denkt er
die Hilfsflache als Blendenebene und seinen Hilfspunkt als Blendenmittelpunkt, auf den er die Blende immer mehr schrumpfen lafit, so
daB sie schlieBlich punktfijrmig wird. Dann siud nur noch die durch
den Blendenmittelpunkt laufenden Strahlen vorhanden, d. h. nur noch
dasjenige zweite Strahlensystem, dem der Grundstrahl angehort.
Wenn man in den Strahlengang eine als Auffangschirm zu denkende
E'lache stellt, so verrnittelt dieses Strahlensystem eine, von Singularitaten abgesehen, eineindeutige Punktzuordnung von Objekt- und
Schirmfliiche, die G u l l s t r a n d ,,optische Projektion" nennt. Die'
durch das Projektionszentrum gehenden Strahlen nennt er ,,Hauptstrahlen" und ihre Gesamtheit ,,Hauptstrahlenbiindel"; ich werde es
als projizierendes Bundel bezeichnen. Demgegeniiber fiihren die
von einem Objektpunkt ausgehenden Strahlensysteme bei G u l l s t r a n d die Bezeichnung ,,Objektstrahlenblindel"; da sie die Abbildung der einzelnen Objektpunkte vermitteln, will icli sie aurh ,,ahbildende Bundel" nennen.
Die optische Projektion ist diejenige Erscheinung, die, a e n n
auch i n sehr einfacher Form, in der Lochkamera Anwendung findet.
Sie hat mit dem eigentlichen durch Strahlenvereinigiing zustandekommenden Vorgang der optischen Abbildung nichts zu tun, und
G u l l s t r a n d hat diesen Begriff offenbar nur eingefiihrt, um seinem
Hilfspunkt und seinem Hauptstrahlenbundel eine naherliegende anschauliche Bedeutung zu geben.
Mit den Ausfuhrungen dieser Einleitung habe ich in aller Kiirze
die Grundlage dargestellt, auf der meine weiteren uberlegungen sich
,zuf bauen sollen. Diese Grundlage ist sehr allgemein gewahlt, damit
man den Zusammenhang der G u l l s t r a n d s c h e n 1Jntersuchungen mit
anderen Forschungen auf diesem Gebiet, insbesondere mit der
H a m i l t o n s c h e n Theorie klar ubersehen kann. Die G u l l s t r a n d schen Betraclitungen beschranlten sich auf isotrope Medien, und er
nimmt dabei zuniichst den Fall der homogenen Medien vorweg i u
der Arbeit von 1906, an die er dann in der zweiten Arbeit von
1908 die Untersuchung inhomogener Medien angeschlossen hat. Die
grnndlegendsten Ergebnisse dieser beiden Arbeiten in moderner Form
zu gewinnen, ist die Aufgabe der folgenden Abschnitte.
510
Annalen der Plysik. 5. Folp. Band 38. 1940
I. Iirpltel: Feldartlge Streblenmannigfeltlgkeiten in homogenen und
isotropen Hedien
$ 4. 1. Eigenschaften eider feldartigen Mannigfaltigkeit
Ich wende mich jetzt der Untersuchung einer feldartigen Mannigfaltigkeit von Lichtstrahlen im homogenen und isotropen Medium
zu. Die Untersuchung wird dadurch sehr vereinfacht, dal3 far diesen
Fall die Integralkurven der Differentialgleichungen unmittelbar als
Geraden bekannt sind. Aus diesem Grunde genligt zur Kenntnis
des gesamten Strahlensystems, dal3 eine einzige Wellenflache bekannt
ist, und man kann von dieser aus die Strahlen, also ihre Normalen
unmittelbar und ohne schwer ubersehbare Integrationsprozesse in
ihrem Gesamtverlauf verfolgen. Die Eigenschaften im Differentiellen
konnen dann aus den so gewonnenen Resultaten durch einfache
Differentiationen erhalten werden.
zl,za und zs seien rechtwinklige kartesische Koordinaten. D a m
sei eine Wellenflache etwa in der Darstellung gegeben:
Zi= W i(U', U2J
(i = 1, 2, 3).
(41)
Ci sei der Normaleneinheitsvektor der Fllche (4,1),so daB ist:
CjCj = 1,
(492)
(493)
G
awj
=
0.
(a= 1, 2)')
Damit la& sich das ganze System in folgender Weise darstellen:
- zi
zi= 6;(P, u1,Ua) = wi(U") + 2, (U") .
(494)
Der Einheitsvektor Ci sol1 stets den Richtungssinn der Lichtfortpflanzung haben.
Fur die Optik ist insbesondere das HUllgebilde einer zweiparainetrigen Lichtstrahlenschar von Interesse, denn dieses geometrische
Gebilde ist das optische ,,Bild" des Punktes, von dem das Biindel ausgegangen ist. Es handelt sich dabei im allgemeinen um eine Flache,
die man ,,kaustische Flache" nennt. Sie ist natiirlich nichts anderes
als die Kriimmungsmittelpunktsflache der WeLlenflachen. Sie besteht
aus zwei M'iinteln und jeder Strahl beriihrt jeden Mantel einmal, so daB
auf jedem Strahl zwei singulilre Punkte liegen, die man ,,halbstigmatische Punkte" nennt (Gull s t r a n d spricht statt dessen yon Fokalpunkten). Sie fallen nur zusammen, wenn der Strahl die Wellenflachen
in Nabelpunkten schneidet. Sind R, und Ra die Hauptkrtimmungsradien der Ausgangswellenflache (4,1), so stellen sich die beiden
Mantel der kaustischen Flache wie folgt dar:
1) Im folgenden bezeichne ich von 1-3 laufende Indizes mit lateinischen, von 1-2 laufende mit griechischen Buchstaben.
Ephescr. Moderiie Durstellung der G ~ l l s l ~ ~ Arbeiten
n d ~ ~ usw.
l ~ 51 1
(495)
5 p = Wi(UQ)+ R, (U") ' Ci(U"),
+
.
= wi (u") R, (UU) I;I (UQ)
Die von G u l l s t r a n d an anderer Stelle gegebene ausfuhrliche
Darstellung der weiteren geometrischen Verhilltnisse, insbesondere
hinsichtlich der Hanptschnittorsen und ihrer Beziehung zur kaustischen Flache, kann ich hier iibergehen, weil es sich dabei um allgemein bekannte Dinge handelt.
Zwischen den Grundformen der verschiedenen Wellenflachen
eines Normalensystems bestehen einige bemerkenswerte Beziehungen.
Wenn man zuniichst bedenkt, daf3 in der Darstellnng (4,4) die Wellenflilchen durch v = const. .gegeben sind, erhillt man fur die drei Fundamentaltensoren die Gleichungen:
2;')
Die GroSen map sind von v nicht abhilngig, sie sind also auf
einem einzelnen Strahl in seiner ganzen Lllnge konstant. Das gleiche
gilt naturlich auch f t h ihre Ableitungen nach den U Y . Wenn jetzt
und 20 die ersten beiden Fundamentaltensoren der Wellenas
flache wi sind, folgt aus (4,4), (4,6) und (4,7):
2,
(499)
- 2 2 ' . l(O)
+v2.
gab =
afl
0)
1 = I ' - v . m afl
Who,,
(4,101
aS
ab
Wenn die Fundamentalformen fiir eine bestimmte Wellenflache
bekannt sind, kann man sie mit Hilfe von (4,9) und (4,lO) fiir jede
Wellediiche leicht ausrechnen. Die d a m notwendigen Koeffizienten
der dritten Qrundform sind ja aus der ersten und zweiten leicht
zu bestimmen, etwa durch:
2'0)
1'0: d
(4,111
ma@
a d fl
'
Aus (4,9) nnd (4,lO) konnen auch Differentialgleichungen erster
Ordnung gewonnen werden:
Diese beiden Differentialgleichungen hatte man auch rein differentiell gewinnen konnen, ohne daf3 man von der Geradlinigkeit der
Lichtstrahlen ausgegangen wire. Dieses Verfahren wird spater (0 12)
51 2
Annalen der Physik. 5. Folye. Band 38. 1940
bei der Untersuchung inhomogener Medieii zur Anwendung kommen
miissen, und die dort gegebene Ableitung der entsprechenden Gleichungen kann naturlich leicht auf den hier vorliegenden Fall spexialisiert werden.
5 5. 2. Auegangspunkt der weiteren Betrachtungen
I m AnschluB an G u l l s t r a n d wird jetzt die Untersuchung der
Brechung nach dem folgenden Verfahren vorgenommen: I n zwei
unmittelbar meinanderstoflenden Medien wird je eine Wellenflache
angenommen. D a m miissen diese beiclen Wellenfliichen auf allen
Strahlen die gleiche optische Lange ausschneiden. Es seien n'
und n" die beiden Brechungszahlen. Die brechende Flache sei
(5,l)
5, = Ai(u',u')
und schliefllich sollen zui (u") und Z U / ' ( U Q ) die beiden Wellenfllchen sein.
Dann ergibt sicli:
c
n' . (Ai - w;) g;
n". pi'- A;I ci
- n". (wt"- Ai)
=
n' (20; - A,.) &: = const.
Fiir Ausdrucke von dieser Art verwende ich nach G u l l s t r a n d die
leicht verstandliche Abkurzungsmethode I)
d [n (ZUi - A ) g,] = const.
(572)
Dieses Gesetz ist der Ausgangspunkt und durch Differentiation
von (5,2) werden die weiteren GesetzmiiBigkeiten gewonnen.
Man kann schlie6lich noch setzen:
- +
-<;
-
I,
-
-
-
w i- ,4, = 2 . Ci
(593)
(somohl mit einem als auch rnit zwei Strjchen zu denken), und daniit
konnte man (5,2) auch schreiben:
A Ln . z) = const.
(594)
g ti. 3. Dae Brechungsgesetz
Es ist ohne weiteres einleuchtend. daB eine einmalige partielle
Ableitung von (5,2) nach einer der Koordinaten (ul, u2) zu dem
Brechungsgesetz filhren mu6. Dieses kann man einfach hinschreiben,
indem man das allgemeine Brechungsgesetz (1,9) auf den hier vorliegenden Fall spezialisiert :
.
A ( n <J.
=
0.
Das laBt sicli durch eine leichte Rechnung auch durch Differeiltiation von (5,2)bestatigen. Man kann diesem Gesetz auch noch
I) Ein Griille q, fur die dqJ = 0 gilt, nennt G u l l s t r a n d eine ,,optkche
Invariantel'.
Epheser. Moderne Dnrstellung der Gullstrad schen Arbeiten usw. 51:j
eine andere Form geben. 1st namlich 8,der Normaleneinheitsvektor
der brechenden Fliiclie, 60 kann man nach (6,l) schreiben:
d (12 <J = 4 L?',
und durch E'altung mit B, folgt wegen
akak= 1:
. 0 = A (n . tYk gk)E d (n . cos i),
wenn i den Winkel zwischen den Vektoren I?', und Ck bezeichnet,
also den Einfalls- bzw. Brechungswinkel. Damit wird:
'd(n
= 8, d ( n cos i) .
(612)
A , a.1, und
Den Vektor Ck kann nian a!s Linearlrombination am aaul
? a
B, darstellen:
Lk = v a -a A L + cos i * 8,.
@,3)
.
-
~
a ua
Das GroSensystem v l , v 2 verhalt sich dann gegen Transformationen
der u a als kontrararianter Vektor. Wir bilden mittels des Tensors
der ersten Fundamentalform der brechenden Elache d a m die kovarianten Komponenten
vs = pa, v a .
(675)
Wenn man (6,3) niit
r. 2'8
faltet, ergibt sich:
Damit liiiSt sich (6,l) auch kurz schreiben:
(%7)
A (71. * vu) = 0 .
#
5 7. 4. Formeln fur den tfbergang der ereten Fundamentalform
Nach 8 4 kann man ein Strahlensystcm, welches ein Normalensystem ist, durch irgendeine seiner Wellenflachen charakterisieren.
Das wird im weiteren Verlauf der oberlegungen in der Weise geschehen, daW d a m jeweils die durch den Einfalkpunkt des Grundstrahls gehende Wellenflache sowohl des einfallenden a15 auch des
gebrochenen Systems herangezogen wird. Far spatere Rechnungen
wird es dann von Vorteil sein, zu wissen, wie sich dio Koeffizienten
der ersten Fundamentalform bei der Brechung verhalten, oder mit
anderen Worten, wie die ersten Fundamentalformen der durch den
Einfallspunkt des Grundstrahls gehenden Wellenflachen des einfallenden und gebrochenen Systems miteinander zusammenhangen.
Zunlchst ist nach (5,3)
514
Annulen der Physik. 5. Polge. Band 38.
Nun ist ja:
2
1948
- Ai) * g,,
= (w;
and damit wird wegen (5,3):
-az- --
aa,
a ~n
ii__
atca
Da mit den durch den Einfallspnnkt gehenden Wellenflachen gearbeitet wird, ist in (7,l) noch z = 0 zu setzen, so daS entsteht:
E'altet man diese Gleichung mit derjenigen, die aus ihr entsteht,
wenn man u durch p ersetzt, und bezeichnet man dabei den ersten
Fundamentaltensor der Wellenflache durch:
so erhalt man:
(794)
gap = P u b
De nun die GroBen
n
-u ' 8'
- v y nach (6,7) optische Invarianten siud, ge'
langt man sofort zu den Gleichungen
(784
(sop - P,,j?)I =,0 9
denen man auch die Form geben kann:
q,/J = Pa,
(776)
(nZ)*
Damit ist es moglich, die erste Fundamentalform der Wellenflache l)
des gebrochenen Strahlensystems zu berechnen, wenn sie f iir die
des einfallenden Systems und die brechende Flache' bekannt ist.
5 8.
5. Die Geeetze der Btrahlenvereinigung,
abergang der zweiten Fundamentalform
Wir gehen jetzt einen Schritt weiter und benutzen die Tatsache, daS auch die xweiten Ableitungen der linken Seite von (5,2)
verschwinden. Wir differenzieren also (6,l) uach UP
Bevor diese Gleichung weiter behandelt wird, seien einige Bezeichnungen eingeftihrt. Es ist:
1) Wenn im folgenden kurz von ,,der Wellenflgche" gesprochen wird,
so ist damit etets diejenige gemeint, die durch den Einfallepunkt des Brundatrahls gebt, wobei einfsllendes und gebrochenee System nstiirlich vollkommen
gleich bebsndelt werden.
Epheser. Moderne Barstellung der Gullstrandschen Arbeiten usw.
der zweite Fundamentaltensor der brechenden Fliiche.
en tsprechenden GroSen der Wellenfliiche wird gesetzt :
515
Fiir die
Auf Grund von (7,2) wird nach der aus (4,2) folgenden Gleichung
Berucksichtigt man auSerdem (6,2) und (8,1), so nimmt die Ausgangsgleichung die Form an :
(894)
d p . l a S )= q a , - d j n m c o s i ) ,
die man auch schreiben kann:
d[n(Zap- qap COS 2 3 = 0 .
(S,5)
Dieses System von 3 Gleichnngen ist auSerordentlicli wichtig. Es
gestattet die Umrechnung der zweiten Fundamentalform, die j a dio
Kriimmungsverhaltnisse bestimmt. Hat man die erste und zweite
Fundamentalform vom einfallenden auf das gebrochene System umgerechnet, so kann man fur das gebrochene System die Hauptkrlimmungsradien und damit die Lage der halbstigmatischen Punkte
auf dem Grnndstrahl ausrechnen, man hat also die erste Aussage
iiber die Abbildung. Das Gleichungssystem (8,4) bzw. (8,5) ist,
allerdings nicht fur allgemeine Koordinaten, zuerst von J. C. St u r m l)
aufgestellt worden.
An dieser Stelle soll noch die Frage diskntiert werden, unter
welchen Bedingungen bei einer Brechung die Hauptrichtungen wieder
in Hauptrichtnngen iibergehen. Es seien (d,
ci2) und ( r l ,7 3 zwei
kontravariante Vektoren. Die Bedingung daf iir, da6 diese beiden
Vektoren die Hauptrichtungen angeben, lafit sich in den beiden
folgenden Gleichungen ausdrticken:
(896)
ga,OOd = 0,
(897)
l a g c a d = 0.
Wenn das sowohl im einfallenden als auch im gebrochenen System
der Fall sein soll, folgt daraus:
A (n2 gal) 6"I @ =z 0 ,
d(n2 l a p ) c a d= 0 .
Damit wird aber nach (7,6) und (8,4)
papca 7 P = 0 ,
(8,8)
qaB aa rP = 0 .
(8,9)
-
~-
1) J. C. Stlirrn, lldinoirc siir I'optiqur, Lioiivilles Jonm. 3. S. 357. 1838.
51G
Anmlen der l'hysik. 5 . E'oly. Band 38. 1940
Die Hauptrichtungen cles einfallenden Strahlensystems werden im
gebrochenen nur dann mieder zu Hauptrichtungen, wenn sie mit
den Hauptrichtungen der brechenden Fliiche zusninmenfallen.
$ 9 . 6. Einfuhrung angepanter Koordinaten
Bei den bisherigen Betrachtungen haben wir immer Koordinaten gewahlt, die einen Strahl gleicli in seinem ganzen Verlauf
auch uber Brechungen hinweg erfaBten. Das ist f u r die Gewinnung
allgemeiner Syitze sehr zweckniaBig und wird durchweg auch weiter
so geschehen. F u r gewisse Untersuchungen ist es jedoch gunstig,
einen Strahl durch Koordinaten anzugeben , die dem Normalensystem, insbesondere der Orientierung seiner Hauptrichtungen, angepaBt
sind. Diese Kigenschaft eines Koordinatensystems wiirde sich bei
Anwendung der bisherigen Methode aber iiber Brechungen hinweg
nicht erhalten, und daher ist es dann notwendig, Umrechnungsformeln zwischen solchen angepafiten Koordinaten des einfallenden
und gebrochenen Strahlensystems aufznstellen.
Da wir nur Strahlen in Betracht ziehen, die dem Grundstrahl
unmittelbar benaclibart sind, brauchen wir die angepaBten Koordinaten auch 'nur als infinitesimale GroBen einzufuhren. Dazu gelangen
wir durch folgende Betrachtung: Der Vektor dci lie$ in der Ebene
und tit2) Einheitsvektoren,
senkrecht zum Grundstrahl. Sind nun
die auf dem Grundstrahl senkrecht stehen und die Hauptrichtnngen
des Normalensystems angeben, so sind
die Projektionen von d ci auf die Hauptrichtungen. Diese GroBen
sind die geeigneten Koordinaten. G u l l s t r a n d hat sie folgendermaBen gedeutet: Projixiert man den Nachbarstrahl auf die beiden
Hauptschnitte, so sind dy' und dv2 die Winkel, die diese Projektionen mit dem Grundstrahl einschliegen. Sie heiflen bei G u l l s t r a n d
,,fokale ifffnungswinkel", ich werde sie kurz ,,Offnungswinkel" nennen.
D a ti(" und t / * ) aufeinander senkrecht stehen, folgt aus (9,l) auch:
(972)
aCi = p a y "
+
- tpaSP1 t ; ( w y 2 .
Jetzt sol1 eine Verkniipfung zwischen den Offnungswinkeln eines
Strahls im einfallenden und gebrochenen System hergestellt werden.
Dabei gehen wir von der durch den Einfallspunkt gehenden Wellenfliiche wi aus. Zuniichst ist bekanntlich:
Epheser. Moderne DarsteUung der GuUstrandschen Arbeiten usw. 517
und weiterhin kann man setzen (Tang.Eb. der Wellenflgche senkrecht
zum Grundstrahl):
Damit wird dann aus (9,2):
+
rlx,da"
1; dua = 0.
(975)
(Y = 1, 2).
Diese Beziehungen gelten sowohl f a r das einfallende als auch far
das gebrochene System. Aus beiden Systemen zusammen kann man
dann du' und dua eliminieren und bekommt zwischen den Offnungswinkeln im einfallenden und gebrochenen System Beziehungen von
der Form:
(996)
ayx"
= c , ~a+
Wenn man ein aus mehreren brecbenden Flachen zusammengesetztes optisches lnstrument hat, kann man durch Beziehungen
von der Form (9,6) zwei ganz beliebige Riiume koppeln, wobei
natiirlich die Bestimmung der Koeffizienten eine ziemlich umfangreiche Rechnung erfordert.
Unser Strahlensystem moge jetzt von einem Punkte herkommen
und d ~ ' ' und dy2' seien die Offnungswinkel in dem Raume, in
dem der Ausgangspunkt liegt. Uort gibt es nun aber gar keine
Hauptrichtungen mehr, und die Winkel konnen auf zwei ganz
beliebige nicht aufeinander senkrechte Ebenen bezogen werden.
t;b und t{a) seien zwei zunachst aufeinander senkrechte Einheitsvektoren und dq1' und d@' seien die auf sie bezogenen bffnungswinkel. Weiter seien q/l) und q / 2 ) zwei Einheitsvektoren, die mit
die Winkel n1 und ugeiuschliefien. V e n n man jetzt die Offnnngswinkel
im Sinne von (9,2) ah kontravariante Vektorkomponenten transformiert
q;z)) bezogenen d y l und d y a nennt, so wird:
und die auf
1'
cosul cosu,
d?p'
(9,7)
( i ~ z r )= sinn, sinn, * ( a J
Fubrt man (9,7) in (9,6) ein, so erhillt man wiederum einen Zusammenhang von der Art:
a y x # f = c , a~q.
(98)
Dabei sind die Koeffizienten von (9,6) und (9,8) durch die Matrizengleichung verkuiipft:
cos cc1 sin n1 . cll cl:)
cos 01, sin vz
cal c2
Nun kann man die Winkel u1 und u2 so wahlen, da0 entweder
Cllund C,? oder C,' und C12 gleichzeitig verschwinden. Das ergibt
zwei bestimmte Winkel nI und us und durch geeignete Bezeich-
(
.
1
)(
A d e n der Phynlt 6. Folge. 38.
34
518
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
nungen kann man es stets erreichen, daS der zweite der obigen
Falle eintritt, und das Gleichungssystem (9,8) die vereinfachte Form
annimmt :
(9,1O)
arpl"= c, av1, a e =~ c,a,p.
~ ~
Wir haben also zwei ausgezeichnete Richtungen gefunden, und aus
der Form der G1. (9,lO) geht hervor, daB es sich dabei uni diejenigen Richtungen handelt , die den Hauptrichtungen des anderen
betrachteten Raumes entsprechen. G u 11st r a n d , der diese Uberlegung zunachst fiir die optische Projektion instelk, aber spiiter
auch auf abbildende Bundel iibertragt, nennt die Richtungen
,,Richtungen der fokalen Projektion"; uin Benennungen zu haben,
die von der Art der Anwendung unabhangig sind, will ich si.e hier
,,Fokalrichtungen" nennen. Aus dem gleichen Grunde nenne ich
die GroBen C, und C,, die G u l l s t r a n d als ,,angulare Projektionskoeffizienten" bezeichnet, ,,Hauptoflnungskoeffizienten".
tj 10. 7. Einige Bonderfiille
a)
Reflexion
G u l l s t r a n d geht auf die Reflexion gar nicht ein, wenigstens
nicht in der hier zugrunde gelegten Arbeit von 1906. Ich mihhte
hier zeigen, wie sich dieser Fall miihelos in die bisherigen oberlegungen einordnen lafit.
Da bei der Reflexion kein nbergang in ein anderes Medium
stattfindet, kann in (5!2) das TZ gestrichen werden und damit wird:
d [pi- Ai) Ci]= const.,
(10,1)
wobei A i(ua)jetzt die spiegelnde an Stelle der brechenden Flache
ist. Bus (6,l) wird dann:
-
(109
Wenn man Einfalls- und Reflexionswinkel von, der gleichen Anfangsrichtung aus zahlt und den Einfallswinkel i nennt, betragt der
Reflexionswinkel m - i. Dementsprechend ist bei allen weiteren
Formeln auger der Streichung von n noch A cos i durch 2 . cos i zu
ersetzen. Es wird dann weiter aus (6,2):
(1073)
ACk = ~ ~ , - C O S ! .
Die Gleichung (7,6) geht einfach iiber in:
(1074)
4,
= 0,
die erste Fundamentalform der Wellenflache andert sich also bei
einer Reflexion iiberhaupt nicht, was man sich auch sofort durch
eine einfache geometrische Betrachtung klarmachen kann. Das Gesetz (8,4) nimmt die Gestalt an:
1145)
A l e , = 2qa,.c0si.
Epheser. Moderne Darstellung der Gullstrandschen Arbeiten usw.
Die weiteren uberlegungen des
88
519
und auch die Betrachtungen in
@ 9 bleiben vollig ungeandert.
b) S y m m e t r i e n im S t r a h l e n s y e t e m
E s gibt gewisse praktisch wichtige Sonderfalle, fur die sich die
bisher gefundenen OesetzmaSigkeiten wesentlich vereinfachen. Diese
sollen hier kurz zusammengestellt werden.
1. Der Fall einer Synmetrieebene
Wenn das optische Instrument zusammen mit dern Lichtstrahlensystem eine Symmetrieebene besitzt, ist schon die wesentlichste Vereinfachung gegeben. Die Symmetrieebene ist dann namlich in
allen Normalensystemen Hauptschnitt, und daher gehen, wenn man
als Grundstrahl einen in dieser Ebene verlaufenden Strahl nimmt,
Hauptrichtungen stets wieder in Hauptrichtungen iiber. Die Koordinaten seien so gewahlt, ds6 fiir die Symmetrieebene u2=0 ist, und
das Koordinatensystem sei mindestens liings des Grundstrahls orthogonal. Dann beriihrt fiir u1= u2 = 0 das Netz der Koordinatenlinien dasjenige der Krummungslinien, und zwar sowohl anf der
brechenden Flache a l s auch anf den Wellenflachen. Die Gleichungen (7,4)gehen dann iiber in:
-
.
-
(10,6)
911 = PI,
c0s2i, Sla = Pi, = 0 , ~ 2 , PZZ
rl und rz seieii die Hauptkriimmungsradien der brechenden Flache,
R , und R, diejenigen der Wellenflilche. Dann folgt aus dem oben
Gesagten:
(1097)
clll
Pas
= 7pi’ 9 qI2 = 0, q*, = 7 9
Damit nimmt nun das Gleichungssystem (8,4)die Gestalt der beiden
folgenden Gleichungen an:
Wenn man jetzt die erste Gleichung durch p,, , die zweite durch p,,
dividiert und dabei (10,6) bedenkt, erhalt man:
Das kann man auch anders schreiben:
2. Dw Fall zweier Synimetrieebenen
Noch einfacher werden die Verhaltnisse dann, wenn das ganze
System zu zwei Ebenen symmetrisch ist, die natiirlich aufeinander
34 *
520
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
senkrecht stehen miissen. Die Schnittgerade wird man dann als
Grundstrahl nehmen und damit ist in (10,9) bzw. (10,lO) i = 0 zu
setzen, so da0 entsteht:
[ (i,
[ *;(
I)*:
A n -- .;J]=O’
A n ---=On
Die beiden letzten Gleichungen sind in dieser Form nicht nach der
in a) gemachten Vorschrift auf den Fall der Reflexion iibertragbar.
Man mu6 vielmehr zuniichst (10,9) bzw. (10,lO) in der in a) angegebenen Weise umschreiben, und dann i = O setzen. Dann ergib t sich :
(10,12)
(10,13)
3. Der Fall der Rotation88ymmetrie
Wenn das System schlie0lich rotationssymmetrisch ist und man
die A c h e aIs Grundstrahl verwendet, kann man in (10,ll) bis
(10,13) rl = r2 P r und R, = R, = R setzen. (10,13) ist dann nichts
anderes als das bekannte Kugelspiegelgesetz.
11. Kapif el: Feldartige Mannlgfaltfgkeiten i n inhomoKenen and laotropea
Medien
§ 11. Einfiihrung
In diesem Kapitel sollen die entsprechenden Cfberlegungen wie
im vorigen fur inhomogene Medien durchgefuhrt werden. Es sol1
also jetzt die Brechungszahl n eine Ortsfunktion sein:
(11,1)
n = n(z,).
Die Grundfunktion des F e r m atschen Variationsproblems lautet
dann fur diesen Fall:
F@k, d z 3 = “(z,)’p+sl,
und damit wird aus dem allgemeinen System (1,7) der Eulerschen
Gleichungen
d
-(n.Ci) = ny,
(143)
t11,2)
ds
.
wenn d s das Bogenelement in der euklidischen Metrik bedeutet.
Die Lichtstrahlen miissen also Integralkurven dieses Systems von
Differentialgleichungen sein. Schreibt man es in der Form
so erkennt man sofort das folgende uber den Verlauf im kleinen:
Der Hauptnormalenvektor der Lichtstrahlkurve liegt stets in der
Epheser. Moderne Darstellung der Gu2ktrandschen Arbekten usw. 521
ck
Ebene, die von ihrem Tangentenvektor
nnd dem Gradienten
von n aufgespannt wird, und die Kurve ist so gekriimmt, da8 sich
ihr Tangentenvektor dauernd in die Richtung des Gradienten von n
zu drehen sucht.
fjber den Verlauf eines Strahls im groBen lassen sich allgemein
keine naheren Angaben machen, weil es dabei auf die spezielle Beschaffenheit der Funktion n ankornmt. Nach dieser hier zusatzlich
erforderlichen UOtersuchung eines einzelnen Lichtstrahls sollen nun
analog Kapitel I die feldartigen Mannigfaltigkeiten auch in inhomogenen Medien studiert werden.
8 12.
1. Unterauchung einer feldmtigen Strahlenmalllligfaltigk~it
im inhomogenen ieotropen Medium
Wie schon in 8 4 erwahnt, ist man bei der jetzt folgenden Betrachtung gezwungen, vollstandig im kleinen zu bleiben, weil man
die Strahlen nicht ohne weiteres in ihrem Gesamtverlauf iiberblickt.
Insbesondere lassen sich jetzt auch keine allgemeinen Sltze iiber
das Hiillgebilde einer solchen zweiparametrigen Lichtstrahlenschar
aussprechen. Wir haben lediglich eine einparametrige Schar von
Wellenflachen mit den dazu gehorigen Lichtstrahlen als der Schar
ihrer orthogonalen Trajektorien vor uns,' wobei, wie schon in 0 2
gesagt wurde, die Orthogonalitat in diesem Falle auch fur die
euklidische MaSbestimmung erhalten bleibt.
a) Z u s a m m e n s t e l l u n g d e r w e e e n t l i c h e t e n g e o m e t r i e c h e n GroEen
u1 und ua seien wieder die Koordinaten, die einen bestimmten
Strahl der zweifach unendlichen Schar festlegen, die langs des'strahles
veranderliche Koordinate sei u0. Dabei sollen durch uo= const. die
Wellenfliichen gegeben sein. Die Darstellung laute:
z1= Ei (UO, u',u2).
(1291)
Wie bisher werden von 1 bis 2 laufende Indizes mit griechischen Buchstaben bezeichnet, dagegen werden solche, die Zahlen
von 0 bis 2 angeben, durch kleine deutsche Buchstaben wiedergegeben werden.
Zur Abkiirzung wird gesetzt:
-
n [h(u31 = N (u3
SuSerdem fiihre ich eine Reihe geometrischer GroBen ein. Zunachst ist:
(12,2)
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 38. 1940
522
der erste Fundamentaltensor des dreidimensionalen Ranmes. Wegen
der Orthogonalitat von Lichtstrahlen und Wellenfiiichen ist dabei
(12,4)
gol = goa = 0 .
Ebenso lassen sich die Dreizeigerzeichen einfuhren:
Diese Gleichungen fiihren in der gleichen Weise \vie in der FYachentheorie zu:
Es ist jetzt zweckma6ig, fiir die Koordinate uo die optische
Lange S zu verwenden. Dadurch treten im System der gii und in
dern der Dreizeigerzeichea gewisse Vereinfachungen ein, und man
kommt in einen Zusammenhang mit dem Brechungsindex, Zunachst
ist dann namlich:
woraus sogleich folgt:
(12,11)
,
goo
-
1
"N
(12,4) und (12,Il) kann nian zusammenfassen zu:
(12,121
Daraus erhiilt man leicht:
$0 =
810
".
$0 = N 2 . 8'0.
(12,131
Es sei noch der zweite Fundamentaltensor der WellenfZache durch
den betrachteten Raumpunkt eingefiihrt:
Jetzt lassen sich sofort einige der Dreizeigerzeichen des dreidimensionalen Raumes angeben. Vergleicht man (12,5)mit (12,14) bei Beachtung von (12,101, so erhalt man:
(12,15)
Epheser. Moderne Darstellung der Gullstrandschen Arbeiten
w i ~ .523
Setzt man in (12,12) i = EC und leitet man nach Us ab, so ist nach
(12,8):
Dann hat man nech (12,15):
Aus (12,4), (12,7) und (12,ll) folgt:
l"o"] =-[","I
ago,
"y1 du")
und wiederum nach (12,ll):
SchlieSlich wird noch:
(W8)
Aus (12,15) wird 'nach (12,'7) auoh:
Die fiir Normalensysteme von Geraden abgeleitete G1. (4,121 findet
sich also hier genau wieder. Der Faktor 1/N riihrt daher, da6
hier die optische Lange u0 an Stelle der Lange 2) des euklidischen
Raumes als Parameter verwandt wird.
b) Die s w e i t e Ableitung dee L i e h t w e g e e
Es kommt jetzt noch darauf an, die der G1. (4,13)entsprechende
Beziehnng aufzufindes, die also die h d e r u n g des. zweiten Fundamentaltensors der Wellenflache langs des Strafiles beschreibt. . Zu
ihrer Ableitung kann man ahnlich vorgehen wie bei den entsprechenden Betrachtungen des 0 8 , wo die Anderung des zweiten
Fundamentaltensors beim nberschreiten einer Unstetigkeitsflache
untersucht wurde; man kann also das Verschwinden der zweiten Ableitung des Lichtweges zwischen zwei Wellenfliichen ausnutzen. Dazu
xniissen die Methoden der Variationsrechnung herangezogen werden.
Es seien W [ ( U Q ) und wi''(u0) die beiden Wellenflachen, auf
denen die Randpunkte der betrachteten Strahlstiicke gleiten. Sie
seien durch uu= uo' und uo= uo" gegeben. Aus dem zweiparametrigen Strahlensystem sol1 eine beliebige einparametrige Schar
von Strahlen herausgegriffen werden durch:
(1 2,201
ua = U"(U).
524
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38. 19@
Dann werde gesetzt f
(12,2 1)
(12,22)
(12923)
<.
li[d,
ua (v)] =
Wi'[U"
(v)]
-
wi,,[U" (291
(UO,v )
Ei (u0', 2')
si
-z
,
(740":
=
wi'(v) ,
v) =
w;(v).
Bei der Aufstellung der zweiten Variation fiihre ich in den1 Variationsproblem einen Parameter ein , wozu ich spater natiirlich die
Koordinate uo wahlen werde. 1st zunachst t der Parameter und
werden Ableitungen nach t durch Punkte bezeichnet, so lautet die
Grundfunktion:
-
(12,241
F (xi, .fn)= n (2,).v.tl3, .
Dann ist:
Fz,= n,'
- fq,
Wenn uo Parameter ist, wird:
und daher ist:
(12,25)
(12,261
n,
Fzi= 11
'
F,, = n2.
. i.
'=
2 N a€
a u"
Die Eulerscheh Gleichungen lauten dann f a r die Xurven des
Feldes:
E s ist jetzt yon der Funktion:
die zweite Ableitung zu bilden, und diese muB verschwinden.
A4bkiirzung sei zuvor gesetzt:
Zur
Epheser. Moderne Darstellung der Gulktrandschen Arbeiten usw. 525
Dann ergibt sich:
+2
s ct,(UO, xi,
xi)duo = 0.
Dabei ist (I, die Grundfunktion des Variationsproblems der zweiten
Variation, also des sogenannten ,,akzessorischen Problems":
(12,3 1) 2 ct, (d,
Xi,
Xi) = Fzi+, Xi X j
+ 2F,,
XiX j + Fii i: Xi X j .
In die Ableitungen von F sind als Argumente stets einzusetzen:
= (uo,0 )
"k
und
(!&)(,o,
", -
Aus (12,24) gewinnen wir z m c h s t
F x i z j= nziy.
6,
Fiihrt man hier wieder u0 ein, so ist:
y,i:
=
1
1
1)
. .
1
I L 1
und so ergibt sich:
(12,32)
(12,331
F,; zJ = -- 5-1I 1 ZJ
,
Fzii j
-
= n nZi $ i ,
Fiii i = n2 .aij - n4 f.' 2I.'
(12,34)
Das wird jetzt in (12,31) eingeftihrt, wobei sich grundsltzlich alle
GrOBen auf den Strahl v = 0 beziehen und diem uiihere Bezeichnung
von jetzt an fortgelassen wird. Dann ist:
Die beiden Wellenfliichen, auf denen die Randpunkte gleiten, sollen
jetzt beliebig nahe aneinanderrlicken. Wir dividieren (12,30) durch
526
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1944
(uo" - uo') und lassen darauf diese Differenz nach 0 konvergieren.
Auf diese Weise entsteht, Venn man gleichzeitig (12,35) einfiihrt,
fiir Xk wieder
av schreibt und. (12,26) beriicksichtigt, aus (12,30):
__
c)
Die GroSe
Geometrische Ausnutzung
deJ
-I
ist eine
dv
zweite Richtungsableitung. Da diese
fur jede beliebige Richtung = 0 ist, merden wir aus (12,36) auf das
Verschwinden eines Tensors schlieben konnen. Dam beachte man :
azi = aEi __
duY
av
au7
al- '
a
l
z
a#
sr
d7t~
__ - -~
_
_
auoav - auoat1Y
at, '
~~
azzi -avi
at, d w
asti
.~
aUY
dc?
+
alcaauO
aua
--.
av
d d
av
Diese drei Ausdriicke denke man sich in (12,36) eingesetzt. Wegen:
asi aEi
--auO
-
at&"
a 9 u7
falit dann das enthaltende Glied heraus, und die Beziehung
dvY
bekommt die Form:
Wegen der Willkiirlichkeit der Funktionen ua (v) folgt daraus, da6
die Koeffizienten Ka einzeln verschwinden miissen, wenn man
rorher dafiir gesorgt hat, daS die Matrix (I<=& symmetrisch ist.
Das ist ohne Schaierigkeiten moglich, und anf diese Weise erhalt man das System der 3 Gleichungen:
Epheser. Moderne Datstellung der Gullstrandschm Arbeiten ww.
527
Hier sind noch einige Umformungen moglich. Zunachst ist:
Mit Hilfe von (12,6) wird daraus:
Dabei sol1 das Zeichen b die kovariante Ableitung andeuten. Setzt
man das in (12,37) ein und beachtet (12,3), (12,5) und (12,6), so
gelangt man zu:
1
bsN
Hier ist xunilchst:
Das setze ich jetzt in die vorige Gleichung ein und berucksichtige
dabei noch (12,13), (12,15), (12,16) und (12,lT). Dadurch entsteht:
Wenn man wieder:
02,391
g*"ax'iL
= map
fur den dritten Bundamentaltensor der Wellenflachen schreibt und
,die rechte Seite von (12,38) noch etwas umformt, erhalt man
schlieBlich:
Diese Beziehung entspricht der fiir Normalensysteme von Geraden
abgeleiteten Gl. (4,13) und geht bei konstantem n in diese iiber.
5 13. 2. Auegangepunkt der weiteren Betraohtungen
Die G u l l s t r a n d sche Untersuchungsmethode, die differentialgeometrischen Eigenschaften der Wellenflilchen dadurch abzuleiten,
daB man den optischen Abstand zweier Wellenflilchen a19 Funktioii
voii u1 und u2 auffafh, van dieser E'unktion die Ableitungen bildet
528
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 38.
1940
und die Tatsache ausnutzt, da0 diese samtlich verschwinden miissen,
war im ersten Kapitel fur die Betrachtnng der Brechung sehr
niitzlich. Ich habe sie im vorigen Paragraphen ebenfalls angewandt
und werde sie auch fur das Studium der Brechung an einer Orenzfiache inhomogener Medien verwenden.
9 14. 3. Dae Brechungsgeeetz
Es sol1 wieder durch:
(1V)
Zi = Ai(U', UZ)
eine Unstetigkeitsflaahe der Funktion n dargestellt werden. Die beiden
Wellenflachen, zwischen denen die optische LLnge gemessen wird?
seien wieder w,'(ua) und wil)(ua). Die erste Ableitung des Lichtweges mu6 dann wieder das Brechungsgesetz ergeben; denn d a sich
die Endpnnkte ja senkrecht zu den Strahlen verschieben, treten dort
keine Anteile auf. Das Brechungsgesetz lautet:
a di~d (n
a ua
-
. ci)= 0.
Fiihrt man dann wieder den Normaleneinheitsvektor aider brechenden
Flache ein, so kann man auch hier schreiben:
A(?%* Ck) = 9,. d ( n * cosi).
(143)
Auch die weiteren A4usfuhrungen des 8 6 Ubertragen sich vollig
ungeandert.
3 15. 4. Formeln f i r den abtrrgang der ersten Fundamentalform
Da in 5 7 nichts weiter verwendet wurde als die Ergebnisse
von 8 6, kann der Inhalt von 5 7 ebenfalls vollig ungeandert hierher
iibernommen werden.
8 IS. 6. obergang der aweiten Fundamentalform
Dagegen bestande die Miiglichkeit? daB hinsichtlich des obergangs der zweiten Grundforrn gegenuber gem Fall homogener
Medien hderungen eintreten; dieser Fall mu0 also neu behandelt
werden.
Es sei wieder durch (12,20) eine einparametrige Strahlenschar
bestimmt. AuBerdem wird gesetzt:
(W)
A i [U"(v)] = A? (v).
Wie im ersten Teil sollen auch hier die Randpunkte auf den durch
den Einfallspunkt des Grundstrahls gehenden Wellenflachen gleiten,
wobei man sich die Strahlen zum Teil ungebrochen in das andere
Medium verlangert denken muB. Dann fallen fur v = 0 Anfangsi
und Endpunkt zusammen, und daher rerschwinden in dem Susdruck
Epheser. Moderne DarsbWung der Gullstrand schn Arbeiten usw. 529
fur die zweite Ableitung die Integrale. Die beiden betrachteten
Wellenflachen seien wieder w{ (ua)und will (ua),und es werde wieder
gesetzt:
(1692)
wi [ua (v)] =
Die zweite Ableitung lautet dann:
wi(v).
Daraus folgt ganz iihnlich wie im Anfang von S 12 c) bei Berticksichtigung von (1,9) nnd der Transversalitatsbedingung der Wellenflachen :
Nun ist:
-
F,, 6 n Ci
W,5)
und da somit (14,3) genau mit (6,l) iibereinstimmt, gilt auch hier (6,2).
Setzt man in (16,4) (16,5) und (6,2) ein, wobei noch die Bezeichnungen des ersten Teils iibernommen werden, so bat man:
(16,6)
.
d ( n lo,)
-
= g a p A ( % . cosi).
Das ist mit (8,4) vollig identiscb, und es hat sich damit gezeigt, da8
auch auf den flbergang der zweiten Grundform die Inhomogenitat
der Medien keinen EnfluE hat.
5 17. 6. SohluBbemerkungen
Zu den in 8 9 dnrchgefuhrten fjberlegungen gibt es im Falle
inhomogener Medien bei so allgemeiner Betrachtungsweise kein
Analogon mehr, weil schon Begriffsbildungen wie ,,offnnngswinke16L
auf gekriimmte Strahlen nicht mehr tibertragbar sind. Wichtig ist
aber das Folgende: Es spielt der Fall hier eine besondere Rolle,
daE Objekt- und Bildraum homogen sind, da6 das Licht zwischendurch aber inhomogene Medien passieren mu6. In diesem Fall
kann mau die 6ffnungswinkel ganz in der Weise yon 0 9 natiirlich
fiir Objekt- und Bildrsum definieren, und es besteht auch dann
noch ein ebensolcher linearer Zusammenhang, weil diese differentiellen
GroEen ja lineare Formen in du' und du2 sind. Alles, was in 0 9
iiber die Verkntipfnng von Objekt- und Bildraum gesagt wurde, behtilt
also seine Giiltigkeit, sofern nur diese beiden Raume homogen und
isotrop sind. Auch dazwischenliegende anisotrope Raume wilrden
daran nichts andern konnen, wenn nicht durch Doppelbrechnng
Mehrdeutigkeiten hineinkommen.
530
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940
Die Sonderfalle des 6 10 sind an sich genau iibertragbar, ohne
daB sie jedoch hier eine so wesentliche Vereinfachung bringen
kijnnen wie bei homogenen Medien. AuSerdem mub dabei natiirlich auch jede Symmetrieeigenschaft gleichzeitig fiir die Funktion n
bestehen, wenn diese Sonderfdle tatsachlich eintreten sollen.
111. Wnpitel: Zwei feldartlge lannlgbltigkeiten
mit gemelnsamem Grnndstrahl
8 1s.
1. Vorbereitende Betrachtungen
Die beiden ersten Kapitel waren dem Studium einer einzelnen
feldartigen Strahleumannigfaltigkeit gewidmet. Um nun an das
Problem der optischen Sbbildung heranzukommen, mu6 sich daran
die Untersuchung von zwei feldartigen Strahlenmannigfaltigkeiten
schlieben, die den Grundstrahl gemeinsam haben; das wurde schon
in 8 3 ausgefiihrt. Diese Betrachtungen werde ich nun gleich im
inhomogenen Medium durchfiihren, der Fall des homogenen Mediums
ist dmin j a enthalten.
Zu dem System j12,l) tritt also jetzt noch ein weiteres hinzu:
(W)
Zi
=
Ej
(a0, 231,
aa).
Der gemeinsame Grundstrahl habe die Koordinaten:
(1892)
Ua
= a-0
0.
Es seien (uo,u’,U ~ und
J
(ao,a’, a2) zwei Koordinatensysteme. Die
zwischen ihnen bestehenden Transformationsformeln mogen lauten:
Nun sollen uo und iio jeweils die Bedeutung der optischen Lange
haben. Dann sind sie langs des Grundstrahls bis auf eine additive
Konstante identisch. Daraus aber folgt, daB an allen Punkten des
Grundstrahls gilt:
..$us (18,4) kann man sofort den SchluB ziehen: In den Punkten
des Grundstrahls transformieren sich diejenigen Komponenten eines
Tensors, unter deren Indizes nicht die 0 ist, so, a19 ob diese
Komponenten fur sich einen Tensor in bezug auf das System (u”)
bzw. (“P) bildeten. Die auf das a-System bezogenen Tensorkomponenten werde icli durch Uberstreichen kennzeichnen. Ebenso
Eplwser. Moderne Darstellung der Gullstrandschen Arbeiten usw. 581
iiberstreiche ich die auf das o-Sy stem bezogenen Dreizeigerzeichen.
SchlieBlich wird gesetzt:
N (u')= *T(aj).
(18,6)
Die G1.(12,3)-(12,9) und (12,11)-(12,13)
gelten nun genau 60 f a r
die Iiberstrichenen GroBen. Wenn man ferner mit be,. die Koeffizienten
der zweiten Grundform der Rellenflachen des a-Systems bezeichnet,
lauten die (12,15) und (12,16) entsprechenden Gleichungen:
Faltet man weiter (12,16) mit
(12,131 ist:
$Y
und beachtet dabei, da6 nach
so erhalt man:
Die entsprechende Beziehung far das a-System lautet:
Die GI. (18,4) und (18,5) bringen nicht nur fur die Transformation
von Tensorkompoi~enten Vereinfachungen mit sich, sondern sie vereinfachen auch das Transformationsgesetz der Dreizeigerzeichen
wesentlich. Dieses kann man bekanntlich schreiben:
Hier werde jetzt fur f und 3 die Zahl 1 oder 2 gesetzt, und r = 0.
Bei Beachtung von (18,4) und (18,5) erhalt man d a m :
Wen, wir hier (18,9) und (18,lO) berlicksichtigen, erhalten wir die
Beziehung i n der fur spater wichtigen Form:
Die Umkehrung lautet:
532
Annulen der PIip'li. 5. Folye. Band 38. 1940
n sol1 dabei einfach das Symbol filr den Brechungsindex als solchen
sein, wobei die Wahl der unabhangigen Variabeln offen bleibt.
Es bleibt schlie6lich noch ubrig, das Gesetz (12,40) fur das
a-System hinzuschreiben. Dazu setze ich zunachst fur den dritten
Fundamentaltensor im &System:
9"'bovbor = ce n .
(18914)
Dsnn ergibt sich:
Im folgenden sind alle eingefiihrten GroBen auf Punkte des Grundstrahls
zu beziehen. Ich setze auf dem Grundstrahl uo= o0= S, und betrachte
alles nur noch als Funktion von S, wobei ich aber im allgemeinen daraiif
verzichte, neue Funktionssymbole einzuftihren. Ich setze lediglich
Wenn man das i n (18,12) und (18,13) einsetzt, bekommen diese Beziehungen schlieBlich die Form:
(18,17)
dk,Y
1
d S = -((Id?
I1
:k
- bl.
kYY)
9
19. 2. Aufstellnng einee GriiBensysteme,
daa llinge des genzen Strehle ungehdert bleibt
G u l l s t r a n d sucht nun ein System von GroBen auf, die langs des
Grundstrahls durch ein games optisches Instrument hindurch konstant
bleiben. Wir haben tjolche Gr6Ben zwar in den Lagrangeschen
Klammern schon zur Hand, wollen aber hier zunachst den Gulls t r a n d schen Gedankeii verfolgen. Zu diesem Zwecke denke man sich
die G1. (12,40) und (18,15) fur einen Punkt des Grundstrabls hingeschrieben. Man faltet dann (12,40) mit :k und (18,15) mit il.; urid
subtrahiert die so entstehenden Gleichungen voneinander. Da nun die
rechten Seiten von (12,40) und (18,15) Tensorkomponenten sind, die
durch Transformation ineinander iibergehen , wird dabei auf Grund
der im AnschluB an (18,4) gemachten Bemerknngen die rechte
Seite' = 0. Es entsteht:
Epheser. Moderne Darstellung der Gulktrundschn Arbeiten usw.
533
die bei anderer Bezeichnung der Indizes ubergeht in:
Wir brauchen ferner noch die Gleichung:
l a , bQ*!k - be0 l a y H; = 0 ,
(1993)
deren Richtigkeit man sofort erkennt, wenn man sie auf die Form
bringt:
1m J be o 9 . 7 k ! - l
bP O @ Y i t = O .
Wir addieren jetzt (19,3) zu (19,2) und beachten dabei (15,17)und
(18,18). Dann entsteht:
.@
- -d (n . la,) ke@ -- n - Zus
S
d
oder
(19,4!
d
dS
--
[n (beeilan
- la@k:)]
d kgfi
-~
as
~~
=o
=0
und durch eine Integration folgt:
(19,5)
n - ( b p d E U o iUsk,B)
= Cue,
wobei diese Graben Cup v ~ z lS unabhangig sind. Es bleibt jetzt
noch zu untersuchen, ob sie auch bei Brechungen ungehdert bleiben.
D a m denke man sich die brechende Flache in doppelter Weise
darges tellt :
zi = A,(u', u') = Ai(al, a').
(1 996)
Die QriiBen der brechenden Flache sollen ebenfalls uberstrichen
werden, wenn sie auf das Koordinatensyetem (a1, i2)bezogen sind.
Fur die beiden feldartigen Strahlenniannigfaltigkeiten hat man dann
nach ( 1 6,6) die folgenden ubergangsformeln der zweiten Grundformen
(1997)
(1998)
.
A (n Zap) = quJ . A (n cos i),
d ( n . b,,) = qpo A ( n * C O S ~ ) .
Nun ist einleuchtend, da6 an der brechenden Flache die Transformationsgr6Ben k keine Unstetigkeiten besitxen. Faltet man jetzt
(19,B)mit kaa und (19,7)mit ke@,so ergibt sich ganz nhnlich wie zu
Anfang dieses Paragraphen:
kc -
(19,9)
A [n (bio
Zus kp@)] = 0 .
Die GroBen Cogandern sich also auch bei Brechungen nicht.
Annalen der Physlk. 6. Folge. 98.
26
534
Anrtalen der Pliysik. 5. Folye. Band 38.
1,940
20. 3. Deatnng dieeee C)roBeneyeteme ale Lagrangeache Klammern
Bevor ich auf die geometrische Auswertung des in 8 19 anfgestellten GrOSensystems komme, mochte ich dieses zunachst auf
einem ganz anderen Wege herstellen. Dazu denke man sich die Gesamtheit aller m' Strahlen in der in 9 3 ausgefiihrtea Weise dargestellt, und diese Darstellung laute:
zi= qi (t, u1, ua,a', f9).
(20,1)
Ferner werde gesetzt:
Der Kurvenparameter t soil so eingefuhrt sein, daS f u r 01 = =: 0,
t mit uo identisch ist, und daS beim Verschwinden von u1 und uz
t mit QO zusammenfllllt. Aus der ganzen Art der Darstellung
folgt dann:
qi (t! u', ua,0, 0) = Ei (UO, d , UZ),
(20,s)
qi (t, 0, 0, ii1, ??) = gi(a0, a', ?P)
.
Ebenso erkennt man sofort:
p i ( f , ul,21'9 0, 0) = (N * G!(uo, 1 0 , us) 9
(20,4)
Pi(t, 0, 0, 4 1 , a.2) = (rn - ~ i ) ( x o , p J ) .
Aus (20,3)und (20,4) folgt jetzt in Verbindung mit der iiber die
Einfilhrung von t getroffenen Festsetzung:
{
{
wobei die Koordinaten des Grundstrahls eingesetzt werden miissen.
Die Lagrangeschen Klammern [ua,d ]einerseits und [a?, 403
andererseits verschwinden auf G n n d der Feldeigenschaften. Aufzustellen sind aber noch die Klammern [ua,i i e ] . F u r sie ergibt sich:
Jetzt beriicksichtige man die Beziehung:
% = .-k;,
ati aua
azco
.
Epheser. Moderne Darstellung dcr GuUstrandschen Arbeitcn usw. 535
Wenn man gleichzeitig die Orthogonalitiitseigenschaften bedenkt,
ergibt sich rlamit:
Das wiederum schreilt sich sofort um i n :
W,7)
[~a,a?]=-n(b~..%~-Z~~.k,B)=-
Coo.
Die in (19,5) eingefilhrten GroSea sind also nichts anderes sls die
L a g r a n g e schen Klammern.
21. 4. oeometrieohe Anwendung der gewonnenen Ergebnbee.
G u l l e t r a n d e Fnndamentslgleichung
Die Ausfilhrungen von 8 20 haben gezeigt, claS das Ergebnis von
8 19 im Rahmen unserer Betrachtungen nichts neues war, sondern
lediglich eine neue Formulierung des schon in 0 2 ausgesprochenen
Satzes iiber die Lagrangeschen Klammern darstellte. Nun hat
G u l l s t r a n d eine ,,Fundamentalgleichung der reellen optischen -4bbildung' aufgestellt und hat damit dem Satz von der Konstanz der
Lagrangeschen Klammern fiir die Strahlenoptik eine geometrische
Deutung gegeben. Ich habe die Ableitung yon 8 19 hier gleichwohl
aufgenommen, weil sie grundsatzlich den G u l l s trandschen Gedanken
wiedergibt. I n diesem Paragraphen sol1 nun G u l l s t r a n d s Fundamentalgleichung geworinen werden.
Ijazu muS man i m homogenen Medium arbeiten. Hier brauchen
wir bloS je eine Wellenfiiiche des u-Systems und &Systems zu behandeln, die sich in einem Punkt des Grundstrahls beriihren. Diese
seien wi (UY) und wi (a?) die zugehorigen Normaleneinheitsvelitoren
seien: Ci(uy)und ti(w). Nun wird zuniichst aus Clem GroBensystem
(19,5) eine Invariante gegen Transformationen der Koordinaten (UY)
und (a1)gebildet. Es seien dul und dua die Koordinaten eines dem
u-System angehbrenden und dem Grundstrahl benachbarten Strahls,
und ein ebensolcher Strahl des ii-Systems sei bestimmt durch &a1
und daz. Dann ist die mit den Konstanten (19,5) gebildete bilineare
Differentialform
(241)
c, aua s
eine Invariante van der soeben geforderten Art. Zur geometrischen
Deutung dieser Qro8e werde zuniichst gesetzt:
und dieser Ausdruck so umgeformt, daS man seine geometrische Be,
deutung erkennen kann. ZunLchst kans man schreiben:
12 = (goI b , ~L,O - gs i , &a,
~ d u o s BC .
35 *
536
Physik. 5. Folge.
Annalen der
Band 38.
I940
Darin kann man einsetzen:
und erhlilt, wenn man noch
nebet Umkehrung beachtet:
Wendet man auf das erste Glied in der Klammer das System der
Weingartenschen Formeln an! so gelangt man zu:
Jetzt kann man wegen der Invarianz von 54 willkiirlich iiber das
Koordinatensystem (u',u2) verfugen: das Koordinatenliniennetz auf
der Wellenflgche 8011 fur u1 = u2 = 0 das Netz der Kriimmungslinien bertihren, so da6 wird:
2'1
= 1
R,
'
2,2
= 1,' = 0 ,
2,2
=
1
~
R
P
'
wobei Rl und R, die Hauptkriimmungsradien der W ellenflilche UJ
sind. Ferner sollen die Vektoren aa 16 und a w1 im Ausgangspunkt
Einheitsvektoren sein. Dann kann man schreiben:
4
-- = f )
a?ai
_ 1 _ __
~
( R , aue
aae + --jQe
af.
a
.
ace
- ( _R1_, _a@,
_ aw + a&
ace
a
up
) aul
aa.)
a d u a
a
oder in leicht verstandlicher Abktirzungsweise:
du' und dus sind nach den obigen Festsetzungen einfach die
Linienelemente der Rrtimmungslinien. Dann sind aber die GroSen
Eyheser. Modcrne DarsteUung der Gullstrandschen Arbeiten usw. 537
gerade die Offnungswinkel des 8 9, und zwar die &€nungswinkol des
Nachbarstrahls im u-System. Ftihrt man diese jetzt ein, so bekommt man :
$2 = (d ai+ R, S f.)
2% d rpl + (d ai + R, S f ) 5
d 9'.
8 aul
aui
-
.
Zur geometrischen Deutung dieses A d r u c k s ftihren wir zunilchst
2 Ebenen ein, die den Grundstrahl in den beiden halbstigmatischen
Punkten des u - Systems senkrecht schneiden. Ihre Gleichungen
lauten :
[z, - (wi R1 Q]* <i= 0,
(244)
[zi- (wi + R, c>] ci = 0.
G u l l s t r a n d nennt diese heiden Ebenen die erste und die zweite
Fokalebene. Es seien jetzt P, und P , die DurchstoSpunkte des
Grundstrahls durch die beiden Fokalebenen. Der durch Sal und S I P
bestimmte Strahl des a-Systems durchstii6t die beiden Fokalebenen
ebenfalls, seine Schnittpunkte seien Q1 und Q,. I n dem letzten
Ausdruck fUr $2 stellt die erste Klammer dann offeneichtlich den
von PI nach Q1 fiihrenden Vektor dar, die zweite Klammer entsprechend den von P, nach Q, fiihrendeii Vektor. Dann ist aber:
+ -
I
(21,6)
+ . a Q ma wi = da,
des Vektors PiG, auf die erste
(hi R,
die Projektion
u-Systems, und ebenso:
(2176)
(a#,
&G,
+ R, . a&)+a
11'
Hauptrichtung des
= da2
auf die zweite Hauptrichtung des u-Systems.
die Projektion von
Legt man in der ersten Fokalebene durch P, senkrecht zur ersten
Hauptrichtung des u-Systems eine Gerade, die also in P, die
kaustische Flache beriihrt, so ist da, der Abstand des Punktes &,
von dieser Geraden. Ganz entsprechend kann man anch da, auffassen. G u l l s t r a n d nennt die beiden hier eingeftihrten Geraden
,,Fokallinien", wiLhrend er far da, und da, die Bezeichnung ,,Fokalkoordinaten(' verwendet.
Mit den GroSen da, und a n , nimmt $2 die einfache Gestalt an:
(247)
G =aa,acgl+ aa,aqa.
Damit hat sich nun gezeigt, daS die bilineare Differentialform (21,l)
im homogenen Medium geschrieben werden kann :
(2198)
c n , d u n a a . = n ( a a , d ~ 1 + a a a d e 3 ..
Daraus folgt, dab zwischen zwei beliebigen homogenen Riiumen
eines optischen Systems die Beziehung besteht :
A[n(dald rpl duga$)] = 0,
p,9)
+
538
Annalen der Physak. 5. Folye. Band 38.
1940
Das ist G u l l s t r a n d s Fundamentalgleichung. Im Falle hoinogenen
und isotropen Objekt- und Bildraumes konnen mit ihrer Hilfe diese
beiden Rilume unmittelbax in Beziehung gesetzt werden, und m a r
auch dann , wenn dazwischen inhomogene Medien vorkommen. J a
sogar im Falle des Vorkommens anisotroper Medien bleibt diese
Beziehung, wie 8 20 zeigt, noch bestehen, ein Ergebnis, das Gulls t r a n d nicht bemerkt hat. E s handelt sich bei dieser Beziehung,
wie schon erwahnt, um eine anschauliche Deutung des Satzes von
den Lagrangeschen Klammern. V e n n man sich vor Augen halt,
daB G u l l s t r a n d nur einfachste mathematische Hilfsmittel angewandt
hat, was unbedingt zu larigen und schwer ubersehbaren Rechnungen
fuhren muBte, so tritt es an dieser Stelle besonders klar in Erscheinung, mit welcher bewundernswerten Sicherheit er zu dem Wesentlichen vorgedrnngen i s t
IV. Knpltsl
Q 22. Die abbildberen Linien
Wir sind jetzt in der Lage, einige grundsatzliche Aussagen
uber die optische Abbildung einer Objektflache zu machen. Die
Gestlmt3eit aller kaustischen Fliichen der von den einzelnen Objektpunkten ausgesandten abbildenden Strahlenbundel wird im allgemeinen einen gewissen Teil des dreidiniensionalen Raumes erftillen,
sa daB sich nicht samtliche Strahlen, die von einem zweidimensionalen Gebilde ausgegangen sind, auch wieder auf einem solchen
vereinigen. I n dieser Allgemeinheit stndiert G u l l s t r a n d die Abbildung nicht. Er betrachtet nur eine Bildjkich und verzichtet
darauf, alle ausgesandten Strahlen zu beriicksichtigen. Da ergibt
sich dun zunachst die Frage, was als Bildflache gewahlt werden 5011.
Urn diese Flilche festzulegen, bedient sich G u l l s t r a n d des projizierenden Btindels jvgl. 8 3). Auf jedem projizierenden Strahl liegen ja
im Bildraum zwei halbstigmatische Pnnkte des abbildenden Bundels,
dem dieser Strahl angehort. Die Gesamtheit aller dieser Punkte
ist nun eine aus zwei Manteln bestehende Flache und diese nimmt
G u l l s t r a n d als Bildflache an. Selbstverstandlich wird dabei der
von den ersten halbstigmatischen Punkten der abbildenden Biindel
gebildete Mautel als erster Bildflachenmantel bezeichnet und entsprechend der zweite. Ejne solche Festsetzung der Bildflache ist
naturlich ziemlich willktirlich, insbesondere deshalb, w’eil sie von
der Wahl des Projektionszentrums abhilngt, und das ist ja zunllchst
etwas, was mit der Natar der Abbildung gar nichts zu tun hat.
Eine Realitkt kommt aber der Gullstrandschen Bildflsche dann
zu, wenii man, wie das G u l l s t r a n d ja auch immcr tut, als Projektionszentrum den Mittelpunkt einer Blende nimmt und diese
h'pheser. Moderne Darsfellung der Gullstrandschen Arbeiten usw. 539
Blende hinreichend klein macht. Dann wird nilmlich von jedem
abbildenden BUndel nur die unmittelbare Umgebung des in ihm
enthaltenen projizierenden Strahls ausgeblendet, und das dreidimensionale Bildgebiet zieht sich in der Grenze auf die beiden
Mantel der Gulls trandschen Bildflache zusammen.
Die Abbildung der Objektfiizche auf die so eingefiihrte Bildflache ist also jetzt nlher zu untersuchen. Durch optische Projektion ist jedem Pnnkte der Objektflache auf jedem Mantel der
Bildflache je ein Punkt zugeordnet. Diese Pnnkte sind aber nicht
die Bilder des Objektpunktes im Sinne einer Abbildung, ich nenne
sie die ,,Projektionspunkte" der Objektpunkte. Das eigentliche .
optische Bild eines Pnnktes besteht in den Kurven, in denen die
Mantel der kaustischen Fliiche des von ihm ausgesandten Strahlensystems die Mantel der Bildflache schneiden, d. h. das Bild jedes
einzelnen Objektpunktes ist auf beiden Bildflachenmiintelo eine
Kurve, die durch den Projektionspunkt hindurchlluft. Auch die
Einfiihrnng der Bildflichen fiat also nicht dazu gefiihrt, da6 man
die Abbildung als eine Punktzuordnung ansehen kann.
Dagegen bekommt sie dadurch eine andere interessante und
OuSerst wichtige Eigenschaft. Es sind n h l i c h bestimmte Kurven
der Bildflache Bilder von Kurven der Objektflache, was man auf
folgende Weise erkennt: Da die Bildkurven eines jeden Objektpunktes durch seine Projektionspunkte laufen, ordnet sich jedem
Punkte eines Bildflachenmantels eine Richtung zu. Das wiirde fur
jeden Mantel der Bildflache eine Differentialgeichung erster Ordnung
ergeben, deren Integralkurven eine einfach unendliche Schar bilden.
* Eine solche Integralkurve denke man sich nun optisch auf die Objektfiilche zuriickprojiziert. Die Bildkurven aller Punkte dieser Objektlinien beriihren dann die Kurve der Bildflache, von der wir Busgegangen sind; diese ist also die Einhiillende der Bildkurven s h t l i c h e r
Pnnkte der ihr zugeordneten Objektlinie, und daher kann man sie
a l s deren Bildlinie ansehen. Das ist wiederum dann besonders
deutlich, wenn man sich die Blendenwirkung so stark denkt, da6
von jeder der Bildkurven der einzelnen Objektpunkte nur ein ganz
kleines Stuck zustande kommt. Dann setzen sich niimlich diese
Stiicke gewissermaben zu der Bildlinie zusammen.
Auj der Objektflache liegen zwei einfirch unendliche Scharen w n
abbildbaren Linden, Qon denen sick dde Linien dm einen Schar auf
die Bildlinien aes ersten, die &T anderen auf die Bildlinien des
naedten Bildfliichenmantels abbilden.
Wenn man die Abbildnng in der Umgebung eines Gmndstrahls
untersucht, kommt es zuniichst darauf an, etwas uber die Richtung
540
Annalen der Physik. 5. FoEge. Band 38. 1940
der abbildbaxen Linien zu wissen. Das ermoglicht nun ohne weiteres
G u l l s t r a n d s Fundamentalgleichung, nur mu6 sie erst noch ein
wenig umgeformt werden. E s sol1 das abbildende Bundel die Rolle
des frliheren u-Systems, das projizierende die des @-Systems ubernehmen (Proj.Nachb.Str.: da,, d a2).
Im Objektraum haben nun da, und da, eine besonders einfache Bedeutung, weil das abbildende Biindel dort zentrisch ist
(alle Strahlen gehen durch einen Punkt). Denkt man sich durch
diesen Pnnkt, den man wohl auch als ,,Objektmittelpunkt" bezeichnen
kann, eine auf dem Grundstrahl senkrechte Ebene gelegt, so sind
da, und da, die Komponenten desjenigen Vektors, der von dem
Objektmittelpunkt zu dem DurchstoBpunkt des benllchbarten projizierenden Strahls durch diese Ebene fiihrt, bezogen auf ein zunachst
rechtwinkliges Achsensystem in der Ehene. Nun sollen diese Komponenten auf ein schiefwinkliges System bezogen werden, und zwar
auf das der Fokalrichtungen des abbildenden Biindels (vergl. 0 9).
Dabei wird (da,, da,) als kovarianter Vektor transformiert, 80 da8
auch dann die Fundamentalgleichung in der ursprunglichen Form
erhalten bleibt, da ja (d 'p', d ea)als kontravarianter Vektor eingefuhrt
worden ist. Jetzt seien d a ' da,', d yl' und d v2' diese GroBen im
Objektraum, dal", da,", d
und d e2"die in der ublichen Weise
einzuftihrenden Gratlen fur den Bildraum. n' nnd n" seien die
Brechungszahlen von Objekt- und Bildraum. Dann wird aus der
Fundamentalgleichung :
(22,i) n"(aa,"dy1"
+ a a 2 " a v y = n'(aa,'av1' + aaa'aqaf).
Nun lltutet aber (9,lO):
{
(2272)
a = c, a
a v == ~c, ~
a
y l g ,
4p2g.
Beriicksichtigt man das in (22,l) und fiihrt man dabei den ,,relativen Brechungsindex":
ein, so ergibt sich:
-
(22,q ( N . C, aa,"- da,?av1?+ ( N . c,. da,"- d a , ' ) d y ~ f = 0 .
Da diese Beziehung identisch in d 91'und d q9' erfiillt ist, zerfllllt
sie in die beiden folgenden:
Epheser. Moderne Darstellung der Gullstrand s c h Arbeiten usw.
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Jetzt kehren wir zu den abbildbaren Linien zuruck. Da der erste
Mantel der kaustischen Flache die zweite Hauptschnittorse beriihrt,
fallt die Richtung der Bildlinie auf dem ers ten Bildflachenmantel
in die zweite Hauptrichtung des abbildenden Strahlensystems, es ist
also fur sie, bzw. die su ihren Punkten gehorenden Strahlen,
da,” = 0 . Ebenso ist fur die zweite Bildlinie daa” = 0. Aus (22,5)
folgt dam, daS die Richtungen der abbildbaren Linien auf der
ObjektflBche gegeben sind durch da;= 0 und da;= 0; diese
Linien stehen daher auf den Fokalrichtungen des abbildenden
B h d e l s senkrecht.
Wenn man sich das Netz der ersten nnd zweiten Schar der
abbildbaren Linien auf der Objektflache denkt, so ist es einleuchtend,
daS da,’ in der ersten Schar den Abstand der Linie durch den
Objektmittelpunkt von einer Nachbarlinie bestimmt. Es ist, genauer
gesagt, die Projektion dieses Abstandes auf die zu dem Grundstrahl
senkrechte Ebene. da,’ hat die entsprechende Bedeutung fitr die
zweite Schar. Ebenso sind da,” und da,“ die Projektionen der
Abstiinde der entsprechenden Bildlinien auf die zu dem dortigen
Grundstrahl senkrechte Ebene. Daher ist es berechtigt, die GriiSen
,,VergroBerungskoeffizienten~~der Abbildung zu nennen. Aus (22!5)
und (22,6) folgt sofort:
(2297)
N.C,.K’,=N-C,.K,= 1.
Die Auffindung der abbildbaren Linien und die Aufstellung der hier
angegebenen ersten einfachen Zusammenhange ist eines der wesentlichsten Ergebnisse der Gullstrandschen Forschungen. Es zeigt
sich hierbei der Wert der Gullstrandschen Formulierung der
Fundamentalgleichung.
Ich danke Herrn Prof. P r a n g e fur die Anregung zu dieser
Arbeit und fur die standige Forderung herzlich.
H a n n o v e r , Ferdinand-Wallbrecht-StraSe 30.
(Eingegsngen 21. August 1940)
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