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Eine neue Bestimmung der Molekldimensionen.

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289
3. Elins aeue Bestimmwng der XolehWdfimensdonen; vom A. Ebstedm.
Die iiltesten Bestimmungen der wahren GroBe der Molekule
hat die kinetische Theorie der Gnse ermoglicht, wahrend die
an Fliissigkeiten beobachteten physikalischen Phanomene bis
jetzt zur Bestimmung der MolekulgroBen nicht gedient haben.
Es liegt dies ohne Zweifel an den bisher uniiberwindlichen
Schwierigkeiten , welche der Entwickelung einer ins einzelns
gehenden molekularkinetischen Theorie der Flussigkeiten entgegenstehen. I n dieser Arbeit sol1 nun gezeigt werden, daB
man die GrijDe der Molekule des gelosten Stoffs in einer
nicht dissoziierten verdiinnten Losung aus der inneren Reibung
der Losung und des reinen Losungsmittels und aus der Diffusion
des geltisten Stoffes im Losungsmittel ermitteln kann , wenn
das Volumen eines Molekiils des gelosten Stoffs grog ist gegen
das Volumen eines Molekuls des Losungsmittels. Ein derartiges
gelostes Molekul wird sich namlich bezilglich seiner Beweglichkeit im Losungsmittel und beziiglich seiner Beeinflussung
der inneren Reibung des letzteren annahernd wie ein im
Losungsmittel suspendierter fester Korper verhalten , und es
wird erlaubt sein, auf die Bewegung des Losungsmittels in
unmittelbarer Nahe eines Molekuls die hydrodynamischen
Gleichungen anhwenden, in welchen die Fliissigkeit als homogen
betrnchtet, eine moleknlare Struktur derselben also nicht berucksichtigt wird. Als Form der festen Korper, welche die
gelasten Molekule darstellen sollen, wahlen wir die Kugelform.
S :1 tfber
die Beeinflussung der Bewegung einer Flussigkeit
durch eine sehr kleine in derselben suspendierte Kugel.
Es liege eine inkompressible homogene Fliissigkeit mit
dem Reibungskoeffizienten k der Betrachtung zugrunde, deren
Geschwindigkeitskomponenten T L , v , w als Funktionen der
Iioordinaten r, y, z und der Zeit gegeben seien. Von einem
beliebigen Punkt z0, yo, z,, aus denken wir uns die Funktionen u, v, w als Funktionen von x - x,,, y -yo, z - z,, nrtcli
290
A. Einstein.
dem Taylorschen Satze entwickelt und um diesen Punkt ein
so kleines Gebiet G abgegrenzt, daJ3 innerhalb desselben nur
die linearen Glieder dieser Entwickelung berucksichtigt werden
mussen. Die Bewegung der in G enthaltenen Fliissigkeit kanii
dann bekanntlich als die Superposition dreier Bewegungen EmfgefaBt werden, namlich
1 . einer Parallelverschiebung aller Flussigkeitsteilchen ohne
Anderung von deren relativer Lage,
2. einer Drehung der Flussigkeit ohne Anderung der
relativen Lage der Flussigkeitsteilchen,
3. einer Dilatationsbewegung in drei aufeinander senkrechten Richtungen (den Hauptdilatationsrichtungen).
Wir denken uns nun im Gebiete G einen kugelfiirmigen starren
Korper, dessen Mittelpunkt im Punkte xo,yo,zo liege und dessen
Dimensionen gegen diejenigen des Gebietes G sehr klein seien.
Wir nehmen ferner an, daJ3 die betrachtete Bewegung eine so
langsame sei, daB die kinetische Energie der Kugel sowie
diejenige der Flussigkeit vernachlassigt werden konnen. Es
werde ferner angenommen, daB die Geschwindigkeitskomponenten eines Oberflachenelementes der Kugel mit den entsprechenden Beschwindigkeitskomponenten der unmittelbar benachbarten Flussigkeitsteilchen ubereinstimme, d. h., dai3 auch
die (kontinuierlich gednchte) Trennungsschicht iiberall einen
nicht unendlich kleinen Koeffizienten der inneren Reibung
aufweise.
Es ist ohne weiteres klar, da6 die Kugel die Teilbewegungen 1. und 2. einfach mitmacht, ohne die Bewegung
der benachbarten Flussigkeit zu modifizieren, da sich bei diesen
Teilbewegungen die Fliissigkeit wie ein starrer Korper bewegt,
und da wir die Wirkungen der T’ragheit vernachllissigt haben;
Die Bewegung 3. aber wird durch das Vorhandensein der
Kugel modifiziert, und es wird unsere niichste Aufgabe sein,
den EinfluB der Kugel auf diese Fliissigkeitsbewegung zu untersuchen. Beziehen wir die Bewegung 3. auf ein Koordinatensystem, dessen Achsen den Hauptdilatationsrichtungen parallel
sind, und setzen wir
4,
y-y0=1;1,
2 - zo = <,
J7eeue Bestimmung der Molekiildimenisonen.
29 1
so laBt sich jene Bewegung, falls die Kugel nicht vorhanden
ist, durch die Gleichungen darstellen:
A , B, C sind Konstanten, welche wegen der Inkompressibilitat
der Flussigkeit die Bedingung erfiillen :
(2)
A+B+C=O.
Befindet sich nun jm Punkte so,yo, zo die starre Kugel mit
dem Radius P, so lndert sich in der Umgebung derselben die
Fliissigkeitsbewegung. I m folgenden wollen wir der Bequemlichkeit wegen P als ,,endlich" bezeichnen, dagegen die Werte
von l , 7, <, fur welche die Fliissigkeitsbewegung durch die
Kugel nicht mehr merklich modifiziert wird, als ,,unendlich groB".
Zunachst ist wegen der Symmetrie der betrachteten
Fliissigkeitsbewegung klar, da8 die Kugel bei der betrachteten
Bewegung weder eine Translation noch eine Drehung ausfiihren kann, und wir erhalten die Grenzbedingungen:
fur p = P ,
u=v=tu=O
wobei
e = IF++ > o
772
gesetzt ist. Hierbei bedeuten u , v, w die Geschwindigkeitskomponenten der nun betrachteten (durch die Kugel modifizierten)
Bewegung. Setzt man
(3)
1I :::;::l:
u=8E+u19
so miiBte, da die in Gleichungen (3) dargestellte Bewegung
im Unendlichen in die in Gleichungen (1) dargestellte fibergehen soll, die Geschwindigkeiten ul, v,, w, im Unendlichen
verschwinden.
Die Funktionen u, I J , w haben den Gleichungen der Hydrodynamik zu geniigen unter Berucksichtigung der inneren Reibung
292
A. 3instein.
und unter Vernachliissigung der Tragheit.
Gleichungen I)
d p ~ k d 2 d~- p - = k A ~
(4)
\
I
a '1
86
at4
_.
wobei d den Operator
Es gelten also die
a<
=k
A ti),
+ -aa i-vl - + -a0 ;w4T = o ,
-.-+---+-as
a2
a?
a52
372
a 5 4
uud p den hydrostatischen Druck bedeutet.
Da die Gleichungen (1) Lijsungen der Gleichungen (4) und
letztere linear sind, mussen nach (3) auch die GroBen ul, q,w1
den Gleichungen (4)geniigen. Ich bestimmte ul,q, w1 und p
nach einer im 8 4 der erwahnten Kirchhoffschen Vorlesung
angegebenen MethodeB)und fand:
1) 0.H i r c h h o f f , Vorlesungen iiber Mechanik. 26. Vorl.
2) ,,Aus den Gleichungen (4) folgt d p = 0. 1st p dieeer Bedingung
g e m a angenommen und einc Funktion P bestimmt, die der Gleichung
d
v = -k1- p
(a), wenn man
geniigt, so erfiillt man die Gleichungen
setet und u', v', w' so wiihlt, daB A d = 0, A of = 0 und A w' = 0 und
1
-a211
+ + + +a@.
= - - p a wf
a5
ist ."
aq
al;
k
Setzt man nun
a2
und im Einklang hiermit
1
-
p s2c- e
k
a t2
lassen sich die Honstanten a, b, G 50 bestimmen, da0 fur Q = P
u = o = w = 0 ist. Durch Superposition dreier derartiger L6sungen erhlilt
man die in den Gleichungen (5) und (5s) Rngegebene Losung.
SO
Es ist leicht zu beweisen, daB die Gleichungen (5) Losungen
der Gleichungen (4).sind. Denn da
dE=o,
uiid
1
A--=O,
Q
dg=-
2
P
erhalt man
Der zuletzt erhaltene Ausdruck ist aber nach der ersten der
Gleichungen (5) mit a n / d 6 identisch. Auf gleiche Weise zeigt
man, daB die zmeite und dritte der Gleichungen (4) erfiillt ist.
Ferner erhalt man
294
A. Einstein.
Da aber nach Gleichung (5a)
so folgt, daB auch die letzte der Gleichungen (4) erfullt ist.
Was die Grenzbedingungen betrifft, so gehen zuniichst fur
unendlich groBe Q unsere Gleichungen fur u, v , w in die
Gleichungen (1) uber. Durch Einsetzen des Wertes von D aus
Gleichung (54 in die zweite der Gleichungen (5) erhalt man:
Bq2
+ CC2)
P5
3 qz + C)5%- Al
.
Q5
Man erkennt, daB u fur g = P verschwindet. Gleiches gilt
aus Symmetriegriinden fiir v und w. Es ist nun bewiesen,
da8 durch die Gleichungen (5) sowohl den Gleichungen (4) als
auch den Grenzbedingungen der Aufgabe Geniige geleietet ist.
Es lii8t sich auch beweisen, daB die Gleichungen (5) die
einzige mit den Grenzbedingungen der Aufgabe vertragliche
LSsnng der Gleichungen (4) sind. Der Beweis sol1 hier nur
angedeutet werden. Es magen in einem endlichen Ranme die
Qeschwindigkeitskomponenten P , u, w einer Fluasigkeit den
Gleichungen (4) geniigen. Existierte noch eine andere Losung
U, Y, W der Gleichungen (4), bei welcher an den Grenzen des
betrachteten Raumes U = u, V = v, W = w ist, so ist (U-u,
P-v, W - w ) eine Lbsung der Gleichungen (4), bei welcher
die Geschwindigkeitskomponenten an der Grenze des Raumes
verschwinden. Der in dem betrachteten Raume befindlichen
Fliissigkeit wird also keine mechanische Arbeit zugefiihrt. Da
wir die lebendige Kraft der Fliissigkeit vernachlassigt ' haben,
so folgt daraus, daS auch die im betrachteten Raume in Warme
verwandelte Arbeit gleich Null ist. Hieraus folgert man, daB
im ganzen Raume u = ul, 21 c T+, w = w1 sein muS, falls der
Raum wenigstens zum Teil durch ruhende Wande begrenzt
ist. Durch Grenzubergang kann dies Resultat auch auf den
Fall ausgedehnt werden, da8, wie in dem oben betrachteten
Falle, der betrachtete Rawn unendlich ist. Man kann so
dart,un, daB die oben gefundene Losung die einzige Losung
der Aufgabe ist.
aeue Bestimmung der Molekuldimensionen.
295
Wir legen nun urn den Punkt q,, yo, zo eine Kugel vom
Radius R, wobei R gegen P unendlich groB sei, und berochnen
die Energie, welche in der innerhalb der Kugel befindlichen
Fliissigkeit (in der Zeiteinheit) in Wlrme verwandelt wird.
Diese Energie W ist gleich der der Flussigkeit mechanisch
zugefiihrten Arbeit. Bezeichnet man die Komponenten des
auf die Oberflache der Kugel vom Radius R ausgeubten
Druckes mit X,, Y,, Z,, so ist:
P=
J
jX,U
+ Y," + Z n w ) d s ,
wobei das Integral uber die Oberflache der Kugel vom Radius R
zu erstrecken ist. Hierbei ist:
zn= - (ZE---Ee + zq e + z'7
),
wobei
aec
X<=p-2k--,
85
Y q = p - 2 k - - a, 0
87
aW
Z~=p--2k,,
a,
Die Ausdrucke fur u, u, w vereinfachen sich, wenn wir beachten, daB far g = R die Glieder mit dem Faktor P6/05
gegenuber denen mit dem Faktor P s / g s verschwinden. Wir
haben zu setzen:
I
I
=
- gps----------,
5(AEsf B q a f C P )
0%
Fiir p erhalten wir aus der ersten der Gleichungen (5) durch
die entsprechenden Vernachlassigungen
p =- 5
p3
"
' '
Bq2
es
+ konst.
296
A. Xinslein.
Wir erhnlten zuniichst:
4- 2 , $ A + 1 0 , $ p A
- 2t-2
x,
x,
- 2 5 k p ?i(n5”+?’/’+
‘Le),
P7
Q6
+ 1 0 k P At11
3~--2521P3~~~+B’i’+C_:“1,
e5
P7
; ?( A E2 + B I ;+~ Cc21
+ 1 0 1 L P sd- -€ ’C- 2 5 k P 3
E
il; =
und hieraus
.Xn= 2 A k -E - 10 A k P3-E
4
1
B’
P5
E ( A Ee -k I3 + C a*)
+ 25 LP3 ____---
P4
Pa
Mit Hilfe der durch zyklische Vertauschung abzuleitenden Ausdriicke fur Yn und Zn erhalt man unter Vernachlassigung aller
Glieder, die das Verhaltnis Pip in einer h6heren ale der dritten
Potenz enthaltoo :
Xn u + I’, v + qLw
23 (:f2 E2 + B2q2 + C2(2)
+
- lokc:
P*
Q
(AZg2
‘
+ . + .) + 2 0 k -B, ( d p + . +
P3
.)2.
Integriert man iiber die Kugel und beriicksichtigt, daB
so erhalt man:
gesetzt ist. Ware die suspendierte Kugel nicht vorhanden
(@=O), so erhielte man fur die im Volumen P verzehrte
Energie
(74
w,= 262R 7.
Neue Bestirnmiing der Molekuldimensioneu.
297
Durch das Vorhandensein der Kugel wird also die verzehrte
Energie urn 2 S2 k @ verkleinert. Es ist bemerkenswert, daB
der EinfluB der suspendierten Kugel auf die GroBe der verzehrten Energie gerade so groB ist, wie er ware, wenn durch
die Anwesenheit der Kugel die Bewegung der sie umgebenden
Flussigkeit gar nicht modifiziert wurde.
2. Berechnung des Reibungskoeffizienten einer Flussigkeit, in
welcher sehr viele kleine Kugeln in regelloser Verteilung BUSpendiert sind.
Wir haben im vorstehenden den Fall betrachtet, daB in
einem Gebiete G von der oben definierten GroBenordnung eine
relativ zu diesem Gebiete sehr kleine Kugel suspendiert ist
uDd untersucht , wie dieselbe die Fliissigkeitsbewegung beeinflu6t. Wir wollen nun annehmen, da8 i n dem Gebiete G
unendlich viele Kugeln von gleichem, und zwar so kleinem
Radius regellos verteilt sind, dab das Volumen aller Kugeln
zusammen sehr klein sei gegen das Gebiet G. Die Zahl der
auf die Volumeneinheit entfallenden Kugeln sei n, wobei n
allenthalben in der Fliissigkeit bis auf Vernachlassigbares konstant sei.
Wir gehen nun wieder aus von einer Bewegung einer
homogenen Flussigkeit ohne suspendierte Kugeln und betrachten
wieder die allgemeinste Dilatationsbewegung. Sind keine
Kugeln vorhanden, so kannen wir bei passender Wahl des
Koordinatensystems die Geschwindigkeitskomponenten u,,, v,,, w,,
in dem beliebigen Punkte X, y, z des Gebietes G darstellen
durch die Gleichungen :
uo
Ax,
5
v0 = B
y,
w* = C r :
wobei
A + B+
c=o
Eine im Punkte x , , y,,,z, suspendierte &gel beeinflugt nun
diese Bewegung in der BUS Gleichung (6) ersichtlichen Weise.
Da wir den mittleren Abstand benachbarter Kugeln als sehr
groB gegen deren Radius wahlen, und folglich die Ton allen
Annalen der Physik. IV. Folge. 19.
20
29%
A. Einstein.
suspendierten Kugeln zusammen herriihrenden zusatzlichen
Geschwindigkeitskomponenten gegen uo, v,,, zq, sehr klein sind.
so erhalten wir fur die Geschwindigkeitskomponenten u, 3, u:
in der Fliissigkeit unter Beriicksichtigung der suspendierten
Kugeln und unter Vernachlassigung von Gliedern hiiherer Ordnungen :
wobei die Summation uber alle Kugeln des Gebietes G zu
erstrecken ist und
gv = x - x,,
-yv,
5, = % - z,
Vv
=y
Qv
=
12:+ V: +T,
gesetzt ist. zv, y v , z, sind die Koordinaten der Kugelmittelpunkte. Aus den Qleichungen (7) und (7 a) schlieBen wir ferner,
dat3 die Anwesenheit jeder der Kugeln bis auf unendlich
Kleines hSherer Ordnung eine Verringerung der Wiirmeproduktion pro Zeiteinheit urn 2 P k @ zum Gefolge hat und
da8 im Gebiete G die pro Volumeneinheit in Wiirme verwandelte Energie den Wert hat:
IT= 2 P k
oder
(7 b)
- 2 n P k @,
w = 2 6 2 k ( 1 - (p),
Neue Besiirnmzcny der $10lek uldimensionen.
299
wobei 'p den von den Kugeln eingenommenen Bruchteil des
Volurnens bedeutet.
Gleichung (7 b) erweckt den Anschein, sls ob der Reibungskoeffizient der Ton uns betrachteten inhomogenen Mischung
von Fliissigkeit und suspendierten Kugeln (im folgenden kurz
,,Mischung" genannt) kleiner sei als der Reibungskoeffizient k
der Flussigkeit. Dies ist jedoch nicht der Fall, da A, B, C
nicht die Werte der Hauptdilatationen der in Gleichungen (S)
dargestellten Flussigkeitsbewegung sind; wir wollen die Hauptdilatationen der Mischung 1,
.Bx,C" nennen, Aus Symmetriegrunden folgt, daB die Hauptdilatationsrichtungen der-Mischung
den Richtungen der Hauptdilatationen A, B, C, also den Hoordinatenrichtungen parallel sind. Schreiben wir die Gleichungen (8) in der Form:
P 1 = ~ 4 X f ~ 7 1 , ,
21
=By
20
=
+ xu,,
c z + CZU,,
so erhalten wir:
A" =
(-p)= A
x-0
+z(z)-2 (%Lo
a
x=o
=A
SchlieBen wir die unmittelbaren Umgebungen der einzelnen
Kugeln von der Betrachtung &us, so konnen wir die zweiten
und dritten Glieder der Ausdriicke von 11, u, w weglassen und
erhalten fur I = y = z = 0:
p a z v ( A z : $. By: + (7%;)
.& = - B
2
-
r:
r,"
(9)
wobei
r, = 1J.y"
+ y; qz > o
gesetzt ist. Die Summierung erstrecken wir uber das Volumen
einer. Kugel K von sehr groBem Radius R, deren Mittelpunkt
im Koordinatenursprung liegt. Betrachten wir ferner die
20 *
300
A. Einstein.
verteilten Kugeln als gleichrnapE:g verteilt und setzen
an Stelle der Summe ein Integral, so erhalten wir:
regellos
wobei das letzte Integral iiber die Oberflache der Kugel K
zu erstrecken ist. Wir finden unter Beriicksichtigung von (9):
= A - n ( $ P S n ) A= A ( l
Analog ist
- y).
- e),
c*= c (1 - ql).
B* = B ( l
Setzen wir
a* = A*' + B*'+ C*',
so ist bis auf unendlich Kleines hoherer Ordnung:
6*8
= 62(1
- 2 ql).
Wir haben fiir die Warmeentwickelung pro Zeit- und Volumeneinheit gefunden :
w*= Z P R ( 1 - y).
Bezeichnen wir mit k* den Reibungskoeffizienten des Gemisches,
so ist:
W* = 2 6."' k*.
Aus den drei letzten Gleichungen erhalt man unter Vernachlassigung von unendlich Kleinem hijherer Ordnung :
k* = k ( 1
+ y).
Wir erhalten also das Resultat:
Werden in einer Fliissigkeit sehr kleine starre Kugeln
suspendiert, so wachst dadurch der Koeffizient der inneren
Reibung urn einen Bruchteil, der gleich ist dem Gesamt-
Neue Bestimmung cter Molekuldimensionen.
301
volumen der in der Volumeneinheit suspendierten Kugeln,
vorausgesetzt, daB dieses Gesamtvolumens & r klein ist.
9
3. tfber das Volumen einer gel6sten Substana von im Vergleioh
Bum LBsungsmittel groBem Xolekularvolumen.
Es liege eine verdunnte Losung vor eines Stoffes, welcher
in der Losung nicht dissoziiert. Ein Molekul des gelasten
Stoffes sei groB gegenuber einem Molekiil des Losungsmittels
hnd werde als starre Kugel vom- Radius P aufgefaBt. Wir
kdnnen dann das in 0 2. gewonnene Resultat anwenden. Bedeutet k* den Reibungskoeffizienten der Losung, K denjenigen
des reinen Losungsmittels, so ist :
wobei sp das Gesamtvolumen der in Losung befindlichen Molekule pro Volumeinheit ist.
Wir wollen cp fur eine 1proz. wasserige Zuckerlasung berechnen. Nach Beobachtungen von Burkhard (Tabellen von
L a n d o l t und Bornstein) ist bei einer lproz. wasserigeu
Zuckerlbsung k * / k = 1,0245 (be; 20° C.), also y = 0,0245 fur
(beinahe genau) 0,Ol g Zucker. Ein Gramm in Wasser gelaster
Zucker hat also auf den Reibungskoeffizienten denselben EinfluS
wie kleine suspendierte starre Kugeln vom Gesamtvolumen
2,45 cm3.
Es ist nun daran zu erinnern, daB 1 g festen Zuckers
das Volumen 0,Sl cm3 besitzt. Dasselbe Volumen findet man
auch f i r das spezifische Volumen s des in LGsung befindlichen
Zuckers, wenn man die Zuckerlosung als eine Mischung von
Wasser und Zucker in geloster Form auffaf3t.. Die Dichte
einer 1proz. wasserigen Zuckerlasung (bezogen auf Wasser von
derselben Temperatur) bei 17,5O ist namlich 1,00388. Man hat
also (unter Vernnchlassigung des Dichteunterschiedes von
Wasser von 4O und Wasser von 17,5O):
+ 0,Ol s ;
s = 0,61 .
1
= 0,99
1,00388
also
Wiihrend also die Zuckerlosung, was ihre Dichte anbelangt,
sich wie eine Mischung von Wasser und festem Zucker ver-
302
A. Etnstein.
halt, ist der EinfluB auf die innere Reibung viermal gr6%er,
alx er aus der Suspendierung der gleichen Zuckermenge resultieren wiirde.- Es scheint mir dies Resultat im Sinne der
Molekulartheorie kaum anders gedeutet werden zu kiinnen, als
i d e m man annimmt, daB das in Lijsung befindliche Zuckermolekiil die Beweglichkeit des unmittelbar angrenzenden
Wassers hemme, so daB ein Quantum Wasser, dessen Volumen
ungehhr das Dreifache des Volums des Zuckermolekals ist,
an das Zuckermolekiil gekettet ist.
Wir konnen also sagen, daB ein gelostes Zuckermolekiil
(bez. das Molekiil samt dem durch dasselbe festgehaltene
Wasser) in hgdrodynamischer Beziehung sich verhalt wie eine
Kugel vom Volumen 2,45. 342/NcmS, wobei 342 das Molekulargewicht des Zuckers und N -die Anzahl der wirklichen Molekiile in einem Grammolekul ist.
$j4.
ffber die DifTusion einee nicht diesoziierten Stoffes in
fluseiger LSsung.
Es liege eine Losung vor, wie sie in 8 3 betrachtet wurde.
W r k t auf das Molekiil, welches wir ids eine Kugel vom Radius P
betrachten, eine &aft K , so bewegt sich das Molekiil mit einer
Geschwkdigkeit w , welche durch P und den Reibungskoeffizienten R des Lbsungsmittels bestimmt ist. Es besteht namlich
die Gleichung l):
w=-. K
(1)
6nkP
Diese Beziehung benutzen wir zur Berechnung des Diffusionskoeffizienten einer nicht dissoziierten Lbsung. Bedentet p
den osmotischen Druck der gelosten Substanz, welcher bei der
betrachteten verdiinnten Lbsung als. die einzige bewegende
Kraft anzusehen sei, so ist die auf die geloste Substanz pro
Volumeneinheit der Losung in Richtung der X-Achse ausgeiibte
Kraft = - dp/ax. Befinden sich e Gramm in der Volumeneinheit und ist m das Molekulargewicht des gelosten Stoffes,
N die Anzahl wirklicher Molekiile in einem Grammolekiil, so
ist ( ~ / r n ) N
die Anzahl der (wirklichen) Molekule in der Vo1) G. Kirchboff, Vorlesungen uber Mechanik. 26. Vorl., G1. (22).
Xeue Bestimrnzing der i~olerZuldime.l~sionen.
303
lumeneinheit und die auf ein Molekiil infolge des'Konzentrationsgefalles wirkencie Kraft :
1st die Losung geniigend verdiinnt, so ist der osmotische
Druck durch die Gleichung gegeben:
(3;
wobei T die absolute Temperatur und R = 8,31 . lo' ist. $us
'den Gleichungen (l), (2) und (3) erhalten wir filr die Geschwindigkeit der Wanderung der gelosten Substanz :
Die pro Zeiteinheit durch die Einheit des Querschnittes
in Richtung der 9 -Achse hindurchtretende Stoffmenge ist
endlich :
Wir erhnlten also fur den Diffusionskoeffizienten D:
RT
B = _-6
:i
k ''I$
1
.
Xan kann also aus dem Diflusionskoeffizienten und dem
Koeffizienten der inneren Reibung des Losungsmittels das Produkt a m der Anzahl N der wirklichen Molekiile in einem
Qrammolekul und dem hydrodynamisch wirksamen Molekularradius P berechnen.
I n dieser Bbleitung ist der osmotische Druck wie eine
auf die einzelnen Molekiile wirkende Kraft behandelt worden,
was offenbar der Auffassung der kinetischen Molekulartheorie
n i c k en tspricht, da gemab letzterer in dem vorliegenden Falle
der osmotische Druck nur als eine scheinbare Kraft aufzufassen ist. Diese Scbwierigkeit verschwindet jedoch, wenn man
bedenkt , da8 den (scheinbaren) osmotischen Kraften, welche
den Konzentrationsverschiedenheiten der Liisung entsprechen,
durch ihnen numerisch gleiche, entgegengesetzt gerichtete, auf
die einzelnen Molekiile wirkende Krafte das (dynamische) Gleich-
304
A. Einstein.
gewicht geleistet werden kann, wie auf thermodynamischem
Wege leicht eingesehen werden kann.
Der auf die Masseneinheit wirkenden osmotischen &aft
--__
kann durch die (an den einzelnen gelbsten Molekiilen
Q ax
angreifende) Kraft - P, das Gleichgewicht geleistet werden,
wenn
*
Denkt man sich also an der gelosten Substanz (pro Masseneinheit) die zwei sich gegenseitig aufhebenden Krjiftesysterne P,
und - Pz angreifend, so leistet - P, dem osmotischen Drucke
das Gleichgewicht und es bleibt nur die dem osmotischen
Drucke numerisch gleiche Kraft P, als Bewegungsursache iibrig.
Damit ist die erwahnte Schwierigkeit beseitigt.3
$ 5. Bestimmung der Molekiildimensionen mit Hilfe der
erlangten Relationen.
Wir haben in
5
3 gefunden:
wobei n die Anzrthl der gelbsten Molekiile pro Volumeneinheit
und P den hydrodynamisch wirksamen Molekulradius bedeutet.
Berucksichtigt man, daB
wobei Q die in der Volumeneinheit behdliche Masse des gelijsten Stoffes und m dessen Molekulargewicht bedeutet , 80
erhalt man:
N P 3 = - -3( Tm- 1 k*
).
49.c
Andererseits wurde in
8
0
4 gefunden:
xp=
RT
---.
6nk
1
D
Diese beiden Gleichungen setzen uns in den Stand, die GroBen
P und N einzeln zu berechnen, yon welchen sich N als unI) Eine ausfiuhrliche Darlegung diesea Gedankengangee findet sich
in Ann. d. Phye. 17. p. 549. 1905.
Neue Bevtimmung der Molekuldimensionen.
305
tzbhangig von der Natur des Losungsmittels, der gelosten Substanz und der Temperatur herausstellen muB, wenn unsere
Theorie den Tatsachen entspricht.
Wir wollen die Rechnung fur wasserige Zuckerlosung
durchfiihren. Nach den oben mitgeteilten Angaben uber die
innere Reibung der ZuckerlGsung folgt eunachst fur 20° C.:
NP'
= 200.
Nach Versuchen von G r a h a m (berechnet von S t e f a n ) ist
der Diffusionskoeffizient von Zucker in Wasser bei 9,5O C.
0,384, wenn der Tag als Zeiteinheit gewahlt wird. Die Zahigkeit des Wassers bei 9,5O ist 0,0135. Wir wollen diese Daten
in unsere Formel fur den Diffusionskoeffizienten einsetzen,
trotzdem sie an 10proz. Lasungen gewonnen sind und eine
genaue Giiltigkeit unserer Formel- bei so hohen Konzentrationen
nicht zu erwarten ist. Wir erhalten
N P = 2,08.1016.
Aus den fur N P 3 und N P gefundenen Werten folgt, wenn
wir die Verschiedenheit von P bei 9,5O und 20° vernachIassigen,
P = 9,9.
cm,
N = 2,i. 1023.
Der fur N gefundene Wert stimmt der GroBenordnung
uach mit den durch andere Methoden gofundenen Werten fur
diese GroBe befriedigend uberein.
B e r n , den 30. April 1905.
(Eiagegangen 19. August 1905.)
Nachtrag.
I n der neuen A d a g e der physikalisch-chemischen Tabellen
von L a n d o l t und B i j r n s t e i n finden sich weit brauchbarere
Angaben zur Berechnung der GroBe des Zuckermolekiils und
der Anzahl N der wirklichen Molekule in einem Grammmolekul.
T h o v e r t fand (Tab. p. 372) fur den Diffusionskoeffizienten
von Zncker in Wasser bei 18,5O C. und der Konzentration
306
A. Einstein.
Neue Bestimmung der Molekiildimensionen.
0,005 Mol./Liter den Wert 0,33 cm2/Tage. Bus einer Tabelle
mit Beobachtungsresultaten von Hosking (Tab. p. 81) findet
man ferner durch Interpolation , daB bei verdiinnter Zuckerlijsung einer Zunahme des Zuckergehaltss urn 1 Proz. bei
18,5 O C. eine Zunahme des Viskositatskoeffizienten urn 0,00025
entspricht.
Unter Zugrundelegung dieser Angaben findet man
P = 0,78.
und
N = 4,15.
Bern, Januar 1906.
mm
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