close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Eine neue Transformationstheorie linearer kanonischer Gleichungen.

код для вставкиСкачать
C. Lancxos. Eine neue Transformatwnstheorie usw. 653
E h e neue ~ransformationstheorie
linearer kanondscher Gledchungem
Von C o r n e l L a m w o s
Es wird eine spezielle Gruppe der Hamiltonschen kanonischen
Gleichungen untersucht, bei denen die H a m i l t o n s c h e Funktion als
yuadratische Form der Veranderlichen q k , p k erscheint. Alle selbstadjungierten linearen Differentialgleichungen oder Systeme solcher
Gleichungen, sowie alle Storungsprobleme der Mechanik und Astronomie
gehoren unter diese Gruppe. I n Analogie zur iiblichen Hauptachsentransformation quadratischer Formen auf Grund orthogonaler Transformationen wird die ,,kanonische Hauptachsentransformation" der
H a m i 1t o n schen Funktion auf Grund linearer kanonischer Transformationen entwickelt. Im Hauptachsensystem sind die kanonischen
Gleichungen separiert und direkt integrierbar. Diese Methode gibt ein
sehr brauchbares sukeessives Xaherungsverfahren xur Integration samtlieher fur die mathematische Physik fundamentaler Differentialgleichungen.
1. Die H a m i l t onschen kanonischen Gleichungen
als Uniformisierung aller Variationsprobleme
Die von H a m i l t o n entdeckten sogenannten kanonischen
Bewegungsgleichungen :
werden gewohnlich in der Mechanik behandelt. Sie treten dort
auf als eine besonders vollendete Form der mechanischen
Gleichungen, die insbesondere inVerbindung mit der H a m il t on J a c o b i schen partiellen Differentialgleichung viele Probleme
der Astronomie und Atomphysik zu losen gestattet, die der
einfacheren Lagrangeschen Mechanik betrachtliche Schwierigkeiten bereiten wurden.
Die wirkliche Bedeutung der kanonischen Gleichungen
kann jedoch aus rein mechanischen fiberlegungen nicht erschlossen werden. Es liegen keine mechanischen Griinde vor,
weshalb die Impulse neben den Koordinaten als eine neue
Reihe unabhangiger Variablen eingefiihrt werden sollen. Der
Umstand, daB dieses Gleichungssystem in der Mechanik auftritt,
654
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
ist akzidentelbr Natur. Es liegt daran, da% die Gleichungen
der Mechanik aus einem Variationsprinzip: dem Prinzip der
kleinsten Wirkung abgeleitet werden konnen. Das eigentliche
Feld der kanonischen Gleichungen ist nicht die Mechanik,
sondern die Variatimsrechnung. Da dieser Tatbestand in der
Literatur nur selten beriicksichtigt ist und so die wahre Bedeutung der H a m i 1t o n schen Gleichungen nur selten zur
richtigen Darstellung gelangt, sei es gestattet, den folgenden
Ausfiihrungen die fundamentale Tran sformation vorauszuschicken,
die den Hamiltonschen Gleichungen zugrunde liegt und die
es erlaubt, samtliche Variationsproblenze zu urziformisieren und
in die kanonische Form uberzufuhren.
Die in der Literatur vielfach als ,,Legendresche Transformationbbbezeichnete Umformung wird folgendermaBen ausgefiihrt: Wir betrachten eine Funktion L (die ,,Lagrangesche
Funktion"), die von beliebig vie1 Variabeln abhangen soll; wir
richten unser Augenmerk jedoch auf eine einzige Variable v:
L = L(. . ., v).
(2)
Wir fiihren eine neue Veranderliche u ein durch:
und konstruieren die Funktion H (,,€I
a m i l t o n sche Funktion"):
(4)
H
~
U
-L
V .
Dabei ist aber noch folgendes wesentlich: die G1. (3) gibt u
als Funktion von v. Umgekehrt kann man v als Funktion
von u ausdriicken und sowohl im ersten wie im zweiten Term
der rechten Seite von (4)einfiihren. Erst dann ist die Konstruktion der Hamiltonschen Funktion fertig, die also nicht
von v, sondern von u abhangt:
(5)
H
= H(.
. ., u).
Man kann leicht folgende Beziehung beweisen, die eine eigentiimliche Reziprozitit zu (3) darstellt:
Wir betrachten nun eine beliebige Variation der L a g r a n g e schen Funktion L , die infolge einer Variation von v zustande
kommt. Nach (4) la%t sich L in folgender Form ausdriicken:
L = U D - H ( . . ., u).
(7)
Hier konnen wir u und v vorerst unabhangig voneinander
variieren, miissen aber dann du auf dv reduzieren, da j a u
eine Funktion von v ist. Es zeigt sich nun, daB diese Reduktion
C. Lanczos. Eine n e w Transfomtationstheorie usw. 655
tatsachlich gar nicht erforaerlich ist.
infolge Variation von u ist namlich :
Die Variation von L
Da der Faktor von 6 u nach (6) verschwindet, ist es fur das
Resultat ganz gleichgiiltig, ob u als Funktion von v, oder als
eine ganz unabEngig xu variierende Grope betrachtet wird.
Haben wir also das Variationsproblem, das Integral
21
zu einem Extremum zu machen (d. h. die erste Variation zum
Verschwinden zu bringen), so konnen wir dieses Problem ohne
jede ModZkation durch ein neues Problem ersetzen, in welchem
das Integral
2.
I =J(uv
(10)
- H)dx
x1
zu einem Extremum werden soll durch unabhangige Variation
von v und u.
Diese Erweiterung der Zahl der Veranderlichen kann nun
dazu verwendet werden, ein gegebenes Variationsproblem weitgehend zu vereinfachen. Denken wir uns ein Variationsproblem
nter Ordnung gegeben, d. h. L soll eine zu variierende Funk)
deren erste, zweite, . . . n te Ableitungen (evtl.
tion y ( ~ und
auch x selbst) enthalten:
L = L (x,y, y', . . y'n').
(11)
.
Indem wir unser friiheres v niit y(n) identifizieren und die
Legendresche Transformation ausfuhren, haben wir nunmehr
das neue Variationsintegral
11
wo auBer y auch u variiert werden soll. Dieses Problem ist
wohl auch noch von nter Ordnung. Gegeniiber dem urspriinglichen Problem aber hat es den groBen Vorteil, daB die n t e Ableitung der zu variierenden Funktion y(x) in einer besonders
einjachen Form, namlich rein linear auftritt , wahrend das
urspriingliche Problem y@) in einem beliebig komplizierten
funktionalen Zusammenhang enthalten hat.
656
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Nun kann das neue Problem sofort von n auf n - 1
reduziert werden durch eine partielle Integration, die wir im
ersten Term vornehmen :
Suy(%is [uy(n-1)]~~-S211y(n-1)as.
=a
(13)
Xl
=
21
Xl
Das ursprungliche Problem n t e r Ordnung ist also nunmehr
1) ter Ordnung, mit dem
ersetzt durch ein Problem (n
Variationsintegral :
-
21
(14)
I=[[-U'Y(~-')-
qz,
y,. . . y(n-1), %)]as.
2
,
Nun betrachten wir den Integranden dieses neuen Problems als
Lagrangesche Funktion L und wiederholen das Verfahren niit
Rucksicht auf y@- 1). Auf diese Weise reduzieren wir das Problem
weiter und weiter, wobei die Zahl der Freiheitsgrade dauernd zunimmt, die Ordnung der Differentiationen dauernd abnimmt.
1 Schritten haben wir ein Variationsproblem, das
Nach n
nunmehr n zu variierende Funktionen (n Freiheitsgrade) besitzt,
jedoch keine hoheren Ableitungen als erster Ordnung enthalt.
Hat das ursprungliche Problem n ter Ordnung mehr als
einen Freiheitsgrad, so konnen die entsprechenden Umformungen
fur alle Freiheitsgrade simultan durchgefiihrt werden, so dab
nach n 1 Schritten die Reduktion auf bloB erste Ableitungen
wieder gelungen ist.
Wir konnen also ein beliebiges Variationsproblem der
einzigen unabhangigen Variablen x, was immer die Ordnung
des Problems und die Zahl der Variabeln sein mag, auf die
Betrachtung eines speziellen Variationsproblems reduzieren,
dessen L a g r a n g esche Funktion nur eine beliebige Zahl von
Funktionen ql, qp7. . . qn und deren erste Ableitungen ql, q2, .. . qn
enthalt, jedoch keine hoheren Ableitungen:
-
-
-
L = q s ; 41 4, * * qn; 417 a,, * .
Auch diesma~lkann noch die L ege n d r e sche Transformation
mit Erfolg angewendet werden, obwohl eine weitere Reduktion
in der Ordnung der Differentiation nicht mehr zu erhoffen ist.
Wir fiihren die n neuen Veranderlichen
(15)
dL
&)a
(16)
pk==?
die sogenannten ,,konjugierten Impulse", ein und konstruieren
die Hamiltonsche Funktion
H = H ( z ; q k , Pi)
(17)
C. Lanczos. Eine neue Transformationsthorae usw. 657
auf Grund der Definition
wobei der allgemeinen Vorschrift entsprechend die qk mit Hilfe
von (16) a16 Fhnktionen der p k ausgedriickt werden miissen.
Nunmehr erhalten wir das Variationsintegral:
21
das dadurch ausgezeichnet ist, daf3 die ersten Ableitungen im
Integranden in besonders einfacher Weise vertreten sind,
namlich bloB linear vorkommen. Damit haben wir ein beliebiges Variationsproblem auf die Untersuchung eines ganz
speziellen Grundtypus zuriickgefuhrt, der keiner weiteren
Vereinfachung mehr bedwf. Alle nur denkbaren Variationsprobleme sind in der LSsung des speziellen Variationsproblems
mit dem ,,kanonischen Integral" (19) enthalten. Die Verschiedenheit der Probleme liegt nur noch in der Zahl 2 n der kanonischen Veranderlichen und in der Struktur der Hamiltonschen
Funktion.
Wir sehen, daB auf Grund von sukzessiven Transformationen,
die bloB Differentiationen und Eliminationen verlangen, eine
weitgehende Uniformisierung aller Variationsprobleme durchgefiihrt werden kann l). Das gegebene Variationsintegral, dessen
Integrand urspriinglich beliebig hohe Ableitungen von beliebig
vielen Funktionen in beliebiger funktionaler Abhangigkeit enthalt, la& sich immer auf die kanonische Form (19) reduzieren,
in der keine hoheren als erste Ableitungen vorkommen und
auch diese nur linear in der normierten Gestalt
vertreten sind2).
1) Anm. bei der Korrektur. Ich verdanke einer Korrespondenz mit
Prof. E. H e l l i n g e r (Frankfurt a. M.) die freundliche Mitteilung, daB
H i l b e r t in seinen Vorlesungen iiber Variationsrechnung auf die Bedeutung der kanonischen Gleichungen als Normalisierung aller Variationsprobleme schon seit langem hingewiesen hat, so daB diese Tattsache in
die mathematische Literatur hinlanglich iibergegangen ist. Wenn dieses
einleitende Kapitel demnacb im wesentlichen als Referat zu betrachten
ist, so diirfte seine Vorausschickung dennoch nicht iiberfliissig sein.
Verf. geht wohl kaum fehl in der Vermutung, daB so wie ihm auch
vielen anderen theoretischen Physikern diese fundamentalen Zusammenhange nicht bekannt gewesen sind.
2) Das Summenzeichen iiber gleiche Indizes sol1 dem .peueren Gebrauch entsprechend im folgenden weggelassen werden. Uber gleiche
Indizes ist also automatisch zu summieren.
658
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Die Losung dieses speziellen Variationsproblems wird
durch die kanonischen G1. (1) geleistet, deren Bedeutung somit
darin liegt, daB sie die Normal$orm dler aus Variationsproblernen
entstandenen. Di~~erenlialgleichzLngenreprasentieren ’). Da die
Gleichungen der Mechanik aus einem obersten Variationsproblem ableitbar sind, mu1 die Normalform der mechanischen
Gleichungen auch die kanonische Form sein , obwohl damit
durchaus nur eine spezielle Anwendung dieses fundamentalen
Gleichungssystems vorliegt, das seinem Wesen nach gar nicht
in die Mechanik, sondern in die Variationsrechnung gehort a).
2. Lineare kanonische Gleichungen.
Die H a m i l t o n s c h e F u n k t i o n als quadratische Form der p und p
Wir wollen uns fur die folgende Untersuchung auf einen
besonders wichtigen Spezialfall der kanonischen Gleichungen
beschranken: dieselben sollen in den dynamischen Koordinaten
q,, pk linear sein. Dies ist der Fall, wenn die Hamiltonsche
Funktion H (pk,pk) eine hornogene quadratische F o m der Veranderlichen p , p , ist, wobei die Koeffizienten der Form im
allgemeinen fiunktionen von x sein kijnnen. Es sind insbesondere xwei Arten von fundamentalen Problemen, die auf
solche kanonischen Gleichungen fuhren.
A. Storungsproblerne der Mechanik und Astronomie. Fib
ein beliebiges mechanisches Problem trifft es im allgemeinen
keineswegs zu, dafl die Hamiltonsche Funktion die Variabeln
nur quadratisch enthalten wurde. Wohl aber haben alle
Storungsprobleme eine solche Struktur. Denken wir uns, dafl
wir schon im Besitz der Losung eines mechanischrn Problems
sind und danach fragen, wie sich diese Losung modifiziert infolge einer schwachen Anderung der Anfangsbedingungen, oder
1) Die Moglichkeit, auch hiihere Variationsprobleme auf die
kanonische Form zu reduzieren, wird erwiihnt in E. T. W h i t t a k e r ,
Analytische Dynamik (Springer, 1924) S. 282, auf Grund der Arbeiten
von M. O s t r o g r a d s k i (1850), jedoch ohne Angabe der oben ausgefiihrten allgemeinen Reduktionsmethode.
2) Diesem Umstand diirfte es zuzuschreiben sein, daB die kanonischen Gleichungen H a m i l t o n s in modifizierter Interpretation auch fur
die moderne Wellenmechanik fundamental sind. Weit uber den Rahmen
der eigentlichen Mechanik hinaus scheint die ganze Natur von Variationsproblemen beherrscht. Es fallen darum sumtliche Differentialgleichungen
der Physik in den Rahmen der kanonischen Gleichungen, die somit das
umfassendste Gleichungssystem der mathematischen Physik darstellen.
In einer friiheren Arbeit (Ztschr. f. Phys. 81. S. 703. 1933; 85. S. 107.
1933) hatte Verf. versucht zu eeigen, daS die Maxwellschen Gleichungen,
wie auch die Diracschen Gleichungen des Elektrons als H a m i l t o n s c h e
kanonische Gleichungen aufgefdt werden kijnnen.
C. Lanczos. Eine neue Transformationstheorie mw. 659
infolge einer schwachen storenden Kraft. Hier liegt ein Storungsproblem vor, das auf lineare kanonische Gleichungen fuhrt.
Setzen wir namlich die Koordinaten des gestorten Problems in der Form
qk
+
‘qk7
2)k
+
‘Pk
an, so laBt sich die Hamiltonsche Funktion unter Vernachlassigung von Gliedern hoherer als zweiter Ordnung folgendermaBen schreiben:
Dabei haben wir die Ham ilto n sch e Funktion der storenden
Kraft - falls eine solche vorhanden ist - mit € H I(qk,p,)
eingefuhrt. Ferner hat H(qk,fik) folgende Bedeutung:
-
-
Dieses H ist nun in der Tat eine homogene quadratisclie
Form der Veranderlichen q,, $, mit Koeffizienten, die Funktionen von x sind, da fur q k ,p , ihre aus der Losung des
dynamischen Problems bekannten Werte einzusetzen sind.
Bilden wir nun das kanonische Integral (19) f u r das gestorte Problem und beriicksichtigen, daB qk, p , die kanonischen
G1. (1)befriedigen, so erkennen wir leicht, da8 sich die Glieder
erster Ordnung wegheben, bzw. auf eine vollstandige Ableitung
reduzieren, was fiir die Variation ohne Belang ist. Die Glieder
zweiter Ordnung ergeben fur qk, p , folgende Differentialgleichungen:
1st keine storende &aft vorhanden (also H , = 0 ) , so haben
wir die kanonischen G1. (1) vor uns mit der Hamiltonschen
Funktion (22). Die storende Kraft modifiziert das System
insofern, als nunmehr an Stelle der homogenen Differentialgleichungen die inhomogenen Gleichungen mit gegebener rechten
Seite treten. Das Transformationsverfahren, das wir entwickeln
werden, laBt die inhomogenen kanonischen Gleichungen rnit
derselben Leichtigkeit losen, wie die homogenen.
660
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
B. Selbstadjungierte Diferentialgleichungen. Unter den
linearen Differentialgleichungen bilden die selbstadjungierten
Gleichungen eine besonders wichtige Klasse von Differentialgleichungen, die in der mathematischen Physik fast ausschlieBlich zur Anwendung kommen. Sie sind dadurch ausgezeichnet, daB sie aus einem Variationsprinxip ableitbar sind.
Es sei
(25)
D (el = 0
eine selbstadjungierte Differentialgleichung 2 n ter Ordnung.
Dann bilden wir das Variationsintegral
(26)
I = -LJrpqrp)ax.
2
51
Die G1. (25) kann als Losung dieses Variationsproblems aufgefaBt werden. Nun formen wir im Integranden alle Glieder
durch partielle Integration sukzessive um, die hohere als n t e
Ableitungen enthalten. Die Ordnung der Differentiation flillt
dabei im zweiten Paktor und steigt im ersten, kommt aber
nicht iiber n. So entsteht eine neue Lagrangesche Funktion, die nur von nter Ordnung ist. Nun reduzieren wir nach
dem in Kap. 1 skizzierten allgemeinen Verfahren das Problem
auf die kanonische Form, wobei n Paare von kanonischen
Gleichungen entstehen. Die H a m i l t o n sche Funktion des
resultierenden Systems ist eine quadratische Form der 2 n Variabeln qe, p , mit Koeffizienten, die Funktionen von x sind.
Ganz ahnlich laBt sich die Reduktion vornehmen, wenn ein
System von selbstadjungierten Gleichungen vorliegt, dessen
Ordnung nun nicht mehr notwendigerweise gerade zu sein
braucht. So sind z. B. im Falle der Diracschen Gleichung
des Elektrons nach der Separierung in einzelne Koordinaten
jeweils xwei simultane Differentialgleichungen erster Ordnung
vorhanden, an Stelle einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, wie in S c h r o d i n g e r s Theoriel). Das zugehorige H a miltonsche System mit einem einzigen Paare p , q-Variabeln
1aRt sich unmittelbar konstruieren.
Sol1 an Stelle der homogenen Differentialgleichung (25)
die inhomogene Gleichung
1) Vgl. z. B. H. W e y l , Gruppentheorie und Quantenmechanik,2.Aufl.
(Hirzel, Leipzig 1931), S. 204.
C. Lanczos. E i n e neue Transformationstheorie usw. 661
gelost werden, wo Q eine gegebene Funktion von x ist, so ist
das Problem nach Ausfuhrung der Reduktion ganz ahnlich
wie beim mechanischen Storungsproblem mit gegebener storender Kraft: die kanonischen G1. (24) haben auf der rechten
Seite nicht mehr durchgangig Null. Allerdings tritt jet.zt nur
in einer einaigen der Gleichungen rechts an Stelle von Null
eine gegebene GroBe.
3. Lineare kanonieche Transformationen
Eine direkte Integration der kanonischen Gleichungen
wird nur in seltenen Fallen gelingen. Das ist nur moglich,
wenn die Harnil t onsche Funktion von besonders einfacher
Beschaffenheit ist. Im allgemeinen Falle werden wir trachten,
vorerst solche Koordinaten einzufuhren, die dem Problem besonders angepaBt sind, was sich darin BuBert, daB im neuen
System die H a m i l tonsche Funktion so weit vereinfacht wird,
daB eine direkte Integration erfolgen kann. NaturgemaB wollen
wir die schon erreichte Normalform unserer Gleichungen nicht
wieder verlieren. Es kommen also nur solche Transformationen in Frage, die die kanonischen Gleichungen invariant
lassen. Solche Transformationen werden ,,kanonisch" genannt.
Bekannt ist die klassische Methode J a c o b i s , eine solche
kanonische Transformation aufzusuchen, bei der die H a m i l t onsche Funktion selbst als eine der neuen Variabeln figuriert.
Diese Methode ersetzt die Losung der kanonischen Gleichungen
durch die Losung einer partiellen Differentialgleichung. F u r
die besondere Gruppe linearer kanonischer Gleichungen jedoch
la& sich eine Transformationstheorie entwickeln, die dem
speziellen Charakter dieser Gleichungen bei weitem angepaBter
ist. Dies SOU im folgenden geschehen.
Wir wollen namlich auBer dem kanonischen auch den
linearen Charakter unserer Gleichungen bevphren und darum
bloB lineare Operationen ausfiihren. Der Ubergang von den
urspriinglichen qk, p,-Koordinaten zu den neuen Koordinaten
Q,, Pk sol1 also durch eine lineare Transformation geschehen.
Eine solche Transformation laBt sich durch eine Matrix charakterisieren, die in unserem Falle 2 n Reihen und ebensoviel
Spalten haben wird. Schreiben wir die Transformation so hi,,
dafi der Reihe nach q l . q,, p , . p , untereinander kommen,
wahrend in jeder horizontalen Zeile die Reihenfolge der neuen
Koordinaten Q, . . Q,, P, . P, sei, so entsteht ein Matrizenschema, das in leicht verstandlicher Schreibweise folgendermaBen charakterisiert werden kann:
..
.
. .
..
662
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
I
A , B, C, D bedeuten hier Matrizen. Wir fragen nach den
Bedingungen, denen diese Matrizen zu geniigen haben, damit
die Transformation kanonisch wird.
Jede Transformationstheorie ist durch eine Invariante beherrscht, die bei der Transformation unverandert bleibt. So
ist z. B. die Invariante der orthogonalen Transformationen, die
mit unseren linearen kanonischen Transformationen in naher
Beziehung stehen, die quadratische Form 2 q k 2 , an deren
Stelle auch die Differentialformen Z'qkdqk oder X d qk2 treten
konnen. Die Invariante der kanonischen Transformationen la6t
sich nur als Differentialform angeben. Sie wird in der Literatur vielfach als ,,bilineare Kovariante" bezeichnet'). Sie hat
folgende Beschaffenheit:
z
(39)
d'p k a- qk - a' qr p , .
d' und d" bedeuten hier zwei voneinander ganzlich unabhangige infinitesimale Verschiebungen. Im Spezialfall linearer
kanonischer Transformationen transformieren sich die Differentiale wie die GroBen selbst. I n diesem Falle kann die biZineare Differentialform auch durch die lineare Differentialform
P k a qkqk 'pk
(30)
ersetzt werden. Diese Form ist die fundamentale Invariante
linearer kanonischer Transformationen. Mit Riicksicht auf
diese Invariante schreiben wir zweckma6igerweise auch das
kanonische Integral (19) in einer etwas geanderten Form, in
der die p und q eine gleichberechtigte Rolle spielen:
Diese Form entsteht, wenn der Integrand (19) durch die vollstandige Ableitung - 4 (pkqJ erganzt wird, was fiir die Vari1) Vgl. E. T. W h itta k er , a. a. O., S. 316.
C. Lanczos. Eine new Transformationstheoie usw. 663
atioa ohne Belang ist. In dieser Schreibweise erkennt man
unmittelbar, da8 die Invarianz der DiBerentialform (30) auch
fur die Invarianz der kanonischen Gleichungen sorgt.
Aus der Forderung der Invarianz der Differentialform (30)
la& sich fur die durch das Schema (28) charakterisierte lineare
Transformation folgende Matrizengleichung ableiten als notwendige und hinreichende Bedingung einer kanonischen Transformation:
1
0
0
1
Unter geeigneten Bedingungen konnen die vier Matrizen A , B,
C, D, die voneinander unabhangig sincl, auf zwei komplexe
Matrizen zuriickgefiihrt werden. Wir konnen namlich an Stelle
der reellen q,, pk komplexe Koordinaten einfiihren auf Grund
folgender Transformation, die kanonisch ist :
(33)
Desgleichen konnen wir mit den Q,, P, vorgehen. Die so eingefiihrten komplexen Koordinaten konnen als ,,selbstkonjugiert" bezeichnet werden, da die konjugierten q und p in folgender einfacher Beziehung zueinander stehen :
'
*
P k = - 411
(34)
(Stern bedeutet: konjugiert komplex). Unter Verwendung selbstkonjugierter Koordinaten vereinfacht sich das Schema (28)
wie folgt:
*-
B*
1
A*
664
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Tritt nun speziell noch Separierung der q und p ein, jndem
die qk nur unter sich und auch die pk nur unter sich transformieren, so ist B = 0 und die Bedingung (32) reduziert sich
auf die einzige Gleichung:
(36)
A&=1.
Damit sind wir bei den orthogonalen, bzw. ,,unitaren" Transformationen angelangt , die sich somit als Untergruppe innerhalb der allgemeinen Qruppe der linearen kanonischen Transformationen erweisen ').
Die orthogonalen Transformationen lassen sich auch vektoriell charakterisieren, indem je eine Spalte der orthogonalen
Matrix zu einem Qektor zusammengefaBt wird. Die Orthogonalitat dieses Vektorsystems ist durch die Vektorgleichung
(37)
(Uj u,, = dik
ausgedriickt. Ahnlich konnen wir mit dem Matrizenschema (28)
vorgehen, nur dab hier jeweils Vektorpaare an Stelle einfacher
Qektoren treten und die Zahl dieser Vektorpaare 2 n an Stelle
von n ist. Das Schema dieser Qektorpaare kann zweckmagigerweise folgendermaBen geschrieben werden :
1 Q , Q, . . . Q,,
piV, V 2 .
. .
j P , P,
V,/V,V,.
. . .
. .
P,
1
v1
An Stelle der Orthogonalitatsbedingung (37) tritt dann folgende
allgemeinere Bedingung als Ausdruck eines kanonischen
Vektorsystems:
(39)
(Ui V,) - (Vi77,)= si .
1) Dieser speziellen Gruppe von kanonischen Transformationen
kommt - insbesondere in Hinblick auf die Wellenmechanik - folgende besondere Bedeutung zu. In jedem Bezngssystem, das aus dem
Hauptachsensystem durch orthogonde Transformation hervorgeht, erscheint die H a m i l t o n sche Funktion als reine Hermitesche Form der
(komplexen) Verhderlichen qk. Das hat zur Folge, da6 die beiden
Gruppen der H a m i l t o n schen Gleichungen in zwei separate, unabhangige Gleichungssysteme auseinanderfallen , so daS die erste Gruppe
schon in sich ein abgeschlossenes System bildet. Die Maxwellschen
wie auch die Diracschen Gleichungen entspringen einem solchen rein
H e r m i t eschen Wirkungsprinzip. Tatsachlich kann man diese Gleichungssysteme aus dem Hauptachsensystem durch Verwendung bloJ3er
orthogonaler Transformationen ahleiten. Dieser Zusammenhang war
dem Verf. bei Abfassnng seiner frfiheren Arbeit noch nicht klar gewesen. Er hat dort den Hermiteschen Charakter des Wirkimgsprinsips als Zeitende Forderung eingefiihrt, um die Selbstadjungiertheit
der Gleichungen zu erzeugen.
C. Lancxos. Eine new Transfomzationstheorie usw.
665
Die Indizes i, k konnen hier alle Werte von 1 bis n und T
bis 5i durchlaufen. Das Symbol Sik ist wie ublich gleich 0,
falls i von k verschieden, ferner im Falle k gleich i: + 1 fur
ungestrichene, - 1 fur gestrichene l'ndizes. (Fur die gberstreichung der Indizes soll die Vorschrift gelten: 5 = k).
4. Die kanonische Hauptaohsentransformation
I n voller Analogie zur Hauptachsentransformation quadratischer Formen auf Grund orthogonnler Transformationen kann
die quadratische Form der Hamiltonschen Funktion H (qk,pk)
auf Grund von kanonischen Transformationen in eine Hauptachsenform ubergefuhrt werden.
Die Hauptachsen einer
quadratischen Form sind durch ein Extremumproblem bestimmt'). Ganz ahnlich kann man zu den Hauptachsen der
Hamiltonschen Funktion gelangen.
In der ublichen Theorie suchen wir den Extremalwert der
quadratischen Form unter der Nebenbedingung, daB
(40)
Cqk2 = 1
sei. Diese Nebenbedingung ist invariant gegeniiber orthogonabn Transformationen. In unserem Falle mug an ihre
Stelle eine Bedingung treten, die einen invarianten Sinn hat
gegenuber kanonischen Transformationen. Da die Invariante
der kanonischen Transformationen nur als Differentialform angebbar ist, tritt die Nebenbedingung in ,,nicht-holonorner"-Form
auf: Wir suchen das Extremum der H a m i l t o n schen Funktion
H (qk,pk) unter der Nebenbedingung, da8 nur solche Variationen
in Frage kommen sollen, fur die
(41)
P k 'qk
- q k 'Pk
=
ist. Die geniale Methode des ,,Lagrange schen Multiplikators",
die auch im gewijhnlichen Hauptachsenproblem angewandt
wird, ist unabhangig davon, ob die Nebenbedingung in holonomer oder nicht-holonomer Form gegeben ist. Wir erhalten
also als Losung unserer Extremalaufgabe folgende Bedingungsgleichungen :
aH
A¶, = dpk
(42)
--p
- - .i3H
aqk
k -
1) Zur Transformationstheorie quadratischer Formen vgl. z. B.
Courant - Hilbert, Methoden der mathem. Physik I, 2. Aufl.
Springer 1932, S. 19.
44
Annalen der Physik. 5. Folge. 20.
666
Annalen der Physik. 5. FoZge. Band 20. 1934
Nun hat die Hamiltonsche Funktion als quadratische
Form der Veranderlichen folgende allgemeine Gestalt:
wo die Matrizeii a und B symmetrisch sind:
(44)
wahrend die Matrix c beliebig sein kann'). Nach (42) sind die
Gleichungen f iir die Losung-des Extremdproblem's :
i
+
+
qa ' k a P a = A q k 9
' k a qa
' a k Pa = - ' P k *
Der unbestimmte Faktor A bestimmt sich - ganz ahnlich wie
im gewohnlichen Hauptachsenproblem - aus einer charakteristischen Gleichung ? die jedoch hier folgende Struktur hat:
(46)
'ka
(47)
Dies ist eine algebraische Gleichung 2 n ter Ordnung f iir 2.
Die Beschaffenheit der Wurzeln dieser Gleichung weist einige
charakteristische Unterschiede auf im Vergleich mit den
Wurzeln der gewohnlichen charakteristischen Gleichung. Vor
allem kann man uber die Realitat der Wurzeln nichts allgemeines aussagen : dieselben konnen reell, imaginar und auch
komplex sein. (Die Wurzeln der gewiihnlichen Laplaceschen
Gleichung sind bekanntlich immer reell.) Auch die Eigenschaft
der A-Wurzeln geht verloren , den Extremalwert der quadratischen Form darzustellen. Dieser Extremalwert ist namlich in
unserem Falle Null:
1) Arbeitet man mit den komplexen selbstkonjugierten Koordinnten (33), so werden die Koeffizienten der Form (43) komplex und die
Realitilt der Hamiltonschen Funktion fordert folgende weitere Beziehungen:
(45)
c=-
c
C . Lanczos. Eine new Transformationstheorie usw.
667
wie die Beriicksichtigung der Bedingungen (42) unmittelbar
ergibt. Hingegen gilt auch jetzt, daB die Wurzeln der charakteristischen G1. (47)invariant sind gegeniiber kanonischen Transfornationen ebenso, wie die Wurzeln der Laplaceschen
Gleichung invariant sind gegeniiber orthogonalen Transformationen.
Eine fundamentale Eigenschaft der A - Wurzeln erkennt
man, wenn man eine Transposition der Matrix (47)vornimmt
und die Reihenfolge der vier Felder 1, 2, 3, 4 in 4, 3, 2, 1
umordnet. Wir sehen dann, daB mit jedem il auch - 1 eine
Losung der Gleichung ist. Die charakteristische Gleichung
fur il reduziert sich also xu einer Gleichung n t e r Ordnung
fur I z .
Zu jeder Wurzel der G1. (47) gehort eine bestimmte
Losung des Extremalproblems, Diese Losung kann zu einem
Achsenpaar U , V zusammengefabt werden, indem man die
Werte (al, q2, . . . 4,) bzw. (p,, .pz, . . pJ als Komponenten
j e eines Vektors betxachtet. Die resultierenden 2 n Achsenpaare ordnen wir nach folgendem Schema an:
2, a,
. . . I., 1 -?,,
-1, .
. -a,
.
.
Die zu f il gehorenden zwei Losungen bezeichnen wir zweckmagigerweise als ,,konjugiert".
Infolge der Linearitat der bestimmenden Gleichungen
bleibt jedes Achsenpaar U,, V k mit einem unbestimmten
Faktor behaftet. Diese Unbestimmtheit wird teilweise aufgehoben, indem wir folgende Normierung verlangen:
(U, V,) - (V, U,) = 1 .
(50)
Auch hierbei bleibt allerdings noch die Hiilfte der Hauptachsen mit einem unbestimmten Faktor behaftet.
I n vielen fur die Anwendung wichtigen Fallen sind die
Koeffizienten der H a m i l t o n schen Funktion so beschaffen, daB
sich samtliche Wurzeln der charakteristischen G1. (47)als rein
imaginar ergeben. I n diesem Spezialfall vereinfacht sich das
Schema (49) folgendermagen l):
1) Man zeigt leicht an Hand der G1. (42), daB die Verwandlung
von i zu - i die Ldsung fur 2" (also in unserem Falle - h) ergibt. Die
Multiplikation mit dem Faktor i ist erforderlich, um die Normierung (50)
zu ermtiglichen, da sonst die linke Seite dieser Gleichung rein imuginur
wiirde.
44*
668
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
(51)
. . . l n 1 - A 1 -A, . . . -4
u, u, . . . u, iu,* iu,* . . . iU,h
v, v, . . . v, iv,* iv,* . . . ivn*
A, l,
Die Normierung (50) verlangt jetzt:
i(U,V,* - V * U J = 1
(52)
(k ist hier kein Summationsindex!). Hierbei bleibt in jedem
Achsenpaar ein Phasenfaktor e% unbestimmt. I n dieser Form
erscheint hier die in der Quantenmechanik wohlbekannte Tatsache, dab jeder Quantenzustand mit einem unbestimmten
Phasenfaktor versehen ist I).
Bemerkenswert ist, daB durch die Normierung (52) auch
entschieden wird, welche von den beiden f l-Wurzeln in die
erste und welche in die zweite Gruppe gehoren soll. Die
linke Seite von (52) erweist sich als wesentlich positiv oder
negativ und kehrt ihr Vorzeichen um bei Vertauschung von
+ und -A. Es gibt also eine und nur eineReihenfolge Ak, -Ak,
fur welche die Normierung auf + 1 moglich ist.
Ganz analog wie man in der gewohnlichen Theorie der
quadratischen Formen die Orthogonalit%, der Hauptachsen beweist, kann hier der kanonische Charakter der durch die
G1. (42) bzw. (46) bestimmten Hauptachsen bewiesen werden.
Wir betrachten zwei verschiedene Losungen der Hauptachsengleichungen; die eine: qk, pk soll zur charakteristischen WurzelJ
gehoren, die andere: qt, jk zur charakteristischen Wurzel 3,.
Wir multiplizieren die erste Gleichung von (42) mit pk, die
zweite mit qk und addieren. Dann entsteht rechts die
Bilinearform
(53)
die symmetrisch ist in den gestrichenen und ungestrichenen
Grogen. Fuhren wir den analogen ProzeB unter Vertauschung
der beiden Losungen durch und bilden die Differenz, so ergibt sich:
+
-
(54)
p , qk} = '
Mit der einzigen Ausnahme 1= il muB der xweite Faktor
verschwinden.
Unter Beriicksichtigung unserer Bezeich-
-
1) Vgl. B o r n - H e i s e n b e r g - J o r d a n , Ztschr. f. Phys. 36. S. 578.
1926. Die verschiedenen Quantenzustbde entsprechen den verschiedenen
Hauptachsen der Hamilt onschen Funktion im Hilbertschen Funktionenraum.
C. Lanczos. Eine neue Transfomationstheorie usw.
669
nungen (49) YaBt sich diese Bedingung vektoriell folgendermaBen schreiben:
*
(55)
(Vi
VJ - (ViUk)= 0
(k ij.
Fur k = tritt die schon friiher eingefuhrte Normierungsbedingung (50) in Kraft.
Die Gl. (55) in Qemeinschaft mit der Normierung (50)
driickt die charakteristische Eigenschaft kanonischer Vektorsysteme aus, wie der Vergleich mit (39) zeigt. Die 2n Hauptachsen (49), die wir als Losung unseres Extremalproblems erhalten haben, xeichnen also ein kanonisches Koordinatensystem aus.
Wir konnen somit an Stelle der bisherigen q,, p , dem
Schema (38) entsprechend ein neues kanonisches Koordinatensystem Q,, P einfiihren, dessen Koordinatenachsen die Hauptachsen der h a m i l t o n s c h e n Funktion sind. I n dem neuen
System nimmt die Hamiltonsche Funktion eine bemerkenswert einfache Gestalt an, die wir als Normalform oder Hauptachsenform bezeichnen konnen. Stellen wir namlich auch im
neuen System das Extremalproblem auf, so ist dessen Losung
a priori gewiB. Die Matrix der Losung wird zur Einheitsmatrix, da die Koordinatenachsen selbst zur Lasung werden.
Die il-Werte bleiben als Invariante erhalten. Setzen wir diese
Losung in (46)ein, so ergeben sich f u r das Koeffizientenschema der Hamiltonschen Funktion im neuen Bezugssystem
folgende Bedingungen :
1
*
b$k = ' 9
aik = 0,
Cik = 0 (i
k) ,
Cii= A;.
Es erscheint also die Hamiltonsche Funktion im Hauptachsensystem auf eine Summe von n Gliedern reduziert:
(56)
n
k=l
Diese Form reprasentiert die Normalform der H a m i l t o n schen Funktion]) und tritt an Stelle der Form il,qk2, die in
1) Gelegentlich eines Vortrags in Rochester (K.-Y.) bin ich darauf
hingewiesen worden, daB die Normalform (57) der Hamiltonschen
Funktion schon durch G. D. B i r k h o f f , Dynamical Systems (Am. Math.
SOC. 1927), S. 82, eingefuhrt und benutat worden ist. Die allgemeinen
Gesichtspunkte, Methoden und Resultate der vorliegenden Arbeit durften
jedoch als neu anzusprechen sein. Es ist anscheinend noch nicht bemerkt worden, daB die Theorie der linearen kanonischen Transformationen auf die Invarianz der Differentialform (30) - in Verbindung mit
670
Annalen der Physik. 5. FoZge. Band 20. 1934
der gewijhnlichen Reduktionstheorie quadratischer Formen die
Hauptachsenform darstellt. Die Analogie wird noch augenscheinlicher, wenn wir uns auf den Spezialfall beschranken,
daB alle charakteristischen Wurzeln 1, rein imaginar sind,
so daB wir setzen konnen:
(58)
A, = i W,.
Die Koordinaten des Hauptachsensystems sind dann komplex
und selbstkonjugiert, d. h. es gilt:
-
P, = i &,*.
(59)
Die Normalform (57) erhalt also die zur Form 1, qk2sehr analoge
Gestalt :
(60)
Wlc Qk Qk**
5. Erweiterung des Hauptachaenproblems und seine Liisung
durch sukseesive Approximation
Wenn die Hamiltonsche Funktion auf die Normalform
(57) reduziert ist, lassen sich die kanonischen Gleichungen unmittelbar integrieren. In diesem System vereinfachen sich
namlich die kanonischen Gleichungen wie folgt :
(61)
{
qk
-
gk =
7
- p k - 1,p,= 0.
Das kanonische System zerfallt also in 2 n voneinander unabhangige lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, die
unmittelbar integrierbar sind. Wir fiihren die folgenden
n Quadraturen aus:
(62)
t,(II;)
= JRk
(x)d II;
.
Die Losung der kanonischen Gleichungen ist nun:
mit den 2 n willkiirlichen Konstanten C, und Cs.
Da das Aufsuchen der Hauptachsen bloB die Losung eines
linearen Gleichungssystems verlangt, gewinnt man nach den
bisherigen Entwicklungen den Eindruck, als ob die Losung eines
der symmetrisierten Form (31) des kanonischen Integrals - aufgebaut
werden muB und daB diese Transformationen eine Hauptachsentheorie
quadratischer Formen entwickeln lassen, die von hoher asthetischer
Vollendung ist und der klassischen orthogonalen Hauptachsentheorie
ebenwertig zur Seite steht.
C. Lanczos. Eine neue Transforrnationstheorie usw. 671
beliebigen linearen kanonischen Systems nach Ausfuhrung
eines rein algebraischen Transformationsprozesses I) auf n Quadraturen reduzierbar wiire. Das ist jedoch tatsachlich nur in dem
einen Spezialfall so, wenn die Koeffizienten der H a m i l t o n schen Funktion von x unabhangig, also reine Konstanten sind.
Dann werden auch die A, konstant und die Exponenten t k(x)
sind direkt angebbar:
T, = A k X .
(64)
Im allgemeinen Falle aber ist die Situation darum verschieden,
weil die Hamiltonsche Funktion keine Invariante einer
kanonischen Transformation ist, falls die Koeffizienten der
Transformation Funktionen von x sind. Dann geht namlich
der erste Term (p, qk - qkpk) des kanonischen Integranden
nicht einfach in den entsprechenden Ausdruck des transformierten Systems uber, sondern es kommt ein Zusatzglied
hinzu, das (mit negativem Vorzeichen versehen) zur HamiJonschen Funktion hinzugerechnet werden kann. Diese Anderung A H der Hamiltonschen Funktion ist in unserem Falle
selbst wieder eine quadratische Form der Veranderlichen, so
daB der allgemeine Charakter der Hamiltonschen Punktion
auch im neuen System erheiten bleibt. Man kann leicht
folgenden Ausdruck fur die Anderung A H der H a m i l t o n schen Funktion ableiten:
+
Dabei durchlaufen die Indizes i und k alle Werte von 1 bis n
und I bis Z, falls wir uns vereinbaren, die Variabeln P, mit
Q; zu bezeichnen.
In dem neuen Bezugssystem der Q,, P, ist die H s m i l t o n sche Funktion nicht mehr das urspriingliche H, sondern
H, = H + A H .
(66)
Die Reduktion auf die Normalform ist also nur teilweise gelungen. Denn wohl ist jetzt H auf die Normalform gebracht,
aber dazu gesellt sich das nicht reduzierte A H. Dieses A H
kann vielfach als Korrektion betrachtet werden gegeniiber H ,
so daB auch seine Vernachlassigung schon eine brauchbare
1) Zur Unterscheidung von der nunmehr vorzunehmenden Erweiterung des Hauptachsproblems, das auf Differentialgleichungen fuhrt,
sei die im vorigen Kapitel behandelte Transformation, die bloB algebraische Operationen verlangt, a19 ,,algebrakche Hauptachsentransformation"
bezeichnet.
672
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 20. 2934
Approximation liefert. I n diesem Falle kannen also die Hauptachsen von H angenahert auch als Hauptachsen von H, angesehen werden. Ferner kann der ProzeB der algebraischen
Hauptacnsentransformation nunmehr fur H, wiederholt werden,
wobei eine neue KorrektionsgroBe A, H sich einstellen wird,
und so weiter. Auf diesem Wege kann man hoffen, die Hauptachsen des resultierenden H immer weitergehend zu approximieren. Dieser ProzeB ist aber miihsam und im allgemeinen
nicht konvergent.
Bei weitem vorteilhafter ist es, von Anfang an die Hauptachsen der durch die Transformation rnodqizierten H a m i l t o n schen Funktion aufzusuchen. Es muB also H in eine Form
kommen, die neben der Normalform (57) noch die Korrektion
- A H enthalt, damit die resultierende Hamiltonsche Funktion des neuen Bezugssystems, also H + A H , in die Normalform gebracht wird. Zu diesem Zwecke modifizieren wir die
Hauptachsengleichungen (46) wie folgt:
(67)
1
ckaqa+akaPa=
'qk-kqk,
b k a q , -k ' a k p , = - ' P , - @ k '
Jetzt sind also die Hauptachsen nicht mehr rein algebraisch,
sondern durch Differentialgbichungen definiert. Die Methode,
durch die wir die G1. (54) abgeleitet haben, fuhrt jetzt zu
folgender Beziehung:
(68)
('+ ~ ) ( q k ~ k - p k ~ d $ - ( q k ~ k - - P I ; 4 3 1 = "
Diese Beziehung hat zur Folge, daB die Bedingung (55) unverandert fiir alle x-Werte erhalten bleibt, wenn sie nur fur
einen beliebigen Anjangszcert x = x1 bestanden hat. Dasselbe
ist der Fall mit der Normierungsbedingung (50). Andererseits
laBt die Differentialgleichung (67) die Anfangswerte von q k ,p ,
frei. Wir kdnnen also fiir den Ausgangspunkt x = x1 das
Hauptachsenproblem rein algebraisch lijsen und die kanonischen
Bedingungen in diesem Punkte erfullen. Dann sorgen die
G1. (67) dafur, daB der kanonische Charakter der Transformation auch fur alle spateren x-Werte erhalten bleibt.
Die 2n Lijsungen der G1. (67) bestimmen also wieder ein
kanonisches Koordinatensystem. Andererseits sorgen die Zusatzglieder qk,.- 9, gerade fur die gewunschte Korrektion, so
daB nunmehr im neuen System die H a m i l t o n sche Funktion (66)
auf die Hauptachsenform (57) reduziert wird l). Jetzt sind die
1) Zum Beweis schreiben wir den Integranden des kanonischen
Integrals (31) in folgender Form:
C. Lancms. Eine neue Transformationstheorie usw.
673
kanonischen Gleichungen separiert und konnen im Sinne von
(63) direkt integriert werden.
Nun scheint die Bestimmung der Hauptachsen auf Grund
der Differentialgleichungen (67) keine einfachere Aufgabe zu
sein, als die direkte Losung der kanonischen Gleichungen.
Dem ist aber nicht so. Wir konnen die Hauptachsengleichungen
nach einem Storungsverfahren durch sukzessive Integration.
losen und so die Koeffizienten der Hauptachsentransformation,
wenn auch nicht exakt, so doch mit beliebiger Genauigkeit,
bestimmen. Zu diesem Zwecke losen wir das Hauptachsenproblem zuerst rein algebraisch und fiihren die entsprechende
kanonische Transformation aus. I n dem neuen System hat
die Hamiltonsche Funktion die Form (57) plus einem A H ,
daB wir als Korrektion betrachten. Wir konnen also im
neuen System die Hauptachsengleichungen in folgender Form
ansetzen:
Diese Gleichungen kiinnen nach dem ublichen Stiirungsverfahren bequem durch sukzessive Integration gelost Ferden.
I n ,,nullter Naherung" vernachlassigen wir die rechte Seite
und haben die hornogenen Gleichungen zu losen. Dieses gibt
fur die kte Hauptachse:
(70)
I.= A,, q k = 1,
alle iibrigen qr und p, = 0 . Analog fur die Ete Hauptachse
(70')
A=--,,
p,=1,
alle ubrigen p , und q, = 0. Die nullte Naherung fallt also
mit dem rein algebraisch bestimmten Hauptachsenproblem
zusammen. Nun fuhren wir rechts die so erhaltenen Werte
ein und integrieren die inhomogenen Gleichungen, was infolge
der Separation auf direkte Quadraturen fiihrt. Die Wiederholung desselben Qerfahrens ergibt ebenso die zweite, dritte
und alle hoheren Naherungen. Eine Modifikation von I. ist
dabei nicht erforderlich. Die rein algebraisch gewonnenen
und fiihren vorerst bloS im zweiten Faktor beider Terme die Transformation auf die neuen Qk,Pk durch. Infolge der Bedingungen (67)
resultiert ein einfacher Ausdruck. Reriicksichtigen wir noch die rezip o k e Transformation, die sich auf Grund der GI. (32) explizite angeben
la&, so folgt unmittelbar das gewiinschte Resultat.
674
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
charakteristischen Wurzeln konnen also auch fur die endgiiltige Normalform beibehalten werden.
Die Gefahr jedes Storungsverfahrens besteht darin, daB
die Storungsglieder zu sehr anwachsen und die Konvergenz
gefahrden. Dem kann aber durch eine kanonische Transformation mit konstanten Koeffizienten immer abgeholfen werden.
Wir konnen namlich vor Losung der Differentialgleichungen (69)
in ein neues kanonisches Koordinatensystem iibergehen, das
wir dadurch gewinnen, daB wir eine algebraische Hauptachsentransformation ausfuhren, und zwar mit konstanten Werten
der Koeffizienten aik, bik, cik der Hamiltonschen Funktion,
wie sie fur einen speziellen Punkt x = xo der unabhangigen
Veranderlichen gelten. D a m wird die Hauptachsenform f iir
den Punkt x = z, ezakt erreicht. Die Storungsglieder sind
also in diesem Punkte alle gleich Null und in der Umgebung
beliebig klein. Somit kann das Storungsverfahren zumindest
abteilungsweise immer mit Erfolg durchgefuhrt werden l).
6. Die s e l b s t a d j u n g i e r t e Differentialgleichung z w e i t e r O r d n u n g
Von besonderer Bedeutung fur die theoretische Physik
sind die selbstadjungierten Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Die wichtigsten Funktionenklassen der Physik, wie die
B es s e lschen Funktionen, die Kugelfunktionen, die Polynome
von H e r m i t e , L a g u e r r e usw., die mit der S c h r o d i n g e r schen Differentialgleichung verbundenen Funktionen sind alle
durch lineare selbstadjungierte Differentialgleichungen zweiter
Orduung charakterisiert. Es ist darum von besonderem Interesse die allgemeine Theorie auf die Lijsung dieser Xlasse
von Differentialgleichungen anzuwenden.
Die allgemeinste lineare selbstadjungierte Differentialgleichung zweiter Ordnung kann in folgender Form geschrieben
werden :
d(ZLy’’ + 2, y
0,
(7 1)
ax
5
1) Man kann dieses Vorgehen durch folgendes mechanisches Bild
veranschaulichen. H a t man die bescbleunigte Bewegung eines Massenpunktes von hoher Geschwindigkeit zu studieren, so wird man zweckmlBigerweise durch eine Lorentz-Transformation ein gleichformig bewegtes Bezugssystem einfiihren, in dem der Punkt momentan ruht und
fiir einige Zeit eine so kleine Geschwindigkeit behalt, daS man mit den
gewohnlichen Formeln der Mechanik arbeiten kann. Die relativistische
Aorrektion, die sonst gro6 wiirde, wird dabei vermieden, bzw. in die
Transformation geworfen. Wachst die Geechwindigkeit zii stark an,
80 kann das Koordinatensystem noch einmal geandert und auf momentane Ruhe transformiert werden.
C. Lanczos. Eine new Transformationstheork usw. 675
wo u und v gegebene Funktionen von x sind. Die zugehorige
L a g r a n ge sche Funktion wird l):
(72)
L
1
= -(uq'2
2
- va".
(Dem allgemeinen Bezeichnungsschema entsprechend schreiben
wir 4 statt y.) Ferner w i d :
(73)
p = uqt
und wir konstruieren die Hamiltonsche Funktion:
Als ersten Schritt bilden wir die Formeln der algebraischen
Hauptachsentransformation :
(75)
--Ip=vq.
Da der allgemeinen Theorie zufolge fur k2 eine lineare Gleichung resultieren muB, kann A nur reel1 oder rein imaginar
werden. Wir wollen uns auf den letxteren. praktisch wichtigeren Fall beschrhken. Bus (75) folgt:
(76)
h = & i p -U .
Damit il iiberall imaginar bleibt, setzen wir u und
ganzeii betrachteten Gebiet positive Funktionen von
Die zwei Losungen der Gleichungen (75) ergeben
Berucksichtigung des allgemeinen Schemas (38) Transformationsahema:
v als im
x voraus.
- unter
folgendes
(7 7)
1) Um iiberflussige Minuszeichen zu vermeiden, multiplizieren wir
die Gleichung erst mit - 1.
2) In dieser quadratischen Form fehlt ein ,,gemischtes" Glied von
der Form w p 4. In den mit der Diracschen Gleichung verbundenen
Problemen tritt auch dieses Glied auf.
676
lnnalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Die Hauptachsentransformation lautet, also :
I
q=--,
1
&+iP
VT
ViE
p = F i1. w4( i-Q
+ P).
Vernachlassigen wir A H im neuen Bezugssystem, so
haben wir die Hauptachsenform van H schon erhalten und
die kanonischen Gleichungen sind direkt integrierbar. In
dieser ,,nullten Naherung“ ergibt sich also :
(79)
I
C, und C,
zur Abkiirzung
Es ergibt sich also folgende angenaherte Liisung der Differentialgleichung (71), wenn wir von der Bezeichnung q zu y (x)
zuriickkehren, ferner statt p nach (73) y’(5) einf iihren:
Da bei der Hamiltonschen Methode die erTrte Ableitung zu
einem unabhangigen Freiheitsgrad wird, werden Funktion und
erste Ableitung voneinander unabhangig approximiert. Dieses
gibt eine vie1 gkichmapigere Approximation, als wenn man die
angenaherte Liisung differentiieren wiirde. Auch darin ist ein
wesentlicher Vorteil der kanonischen Methode zu erblicken.
I m Spezialfall u = 1 wird die erste der G1. (82) identisch
mit der wohlbekannten, in der Wellenmechanik vielfach verwendeten ,, K r a m e r s - W e n t z e l - B r i l l o u i n s c h e n Approximation‘:. Wir sehen, wie sich diese Approximation in einen
breiteren Rahmen hineinstellt und sich auf beliebige selbstadjungierte Differentialgleichungen oder Systeme solcher Qleichungen verallgemeinern la&.
Wir kommen nun zur Verfeinerung dieser Approximation
Berechnen wir das A H der G1. (65), so ergibt sich der fol-
C . Lanczos. Eine neue Transformatwnstheorie ww. 677
gende Ausdruck fur die Hamiltonsche Funktion im Bezugssystem Q, P :
(83)
= i [QQ P
Hierbei wurde gesetzt:
+
P3].
;(Q2+
Wir bilden noch
k=a
(85)
B
und schreiben das kanonische Integral in folgender Form:
s(Qz+
(86) I = l ( $ ( P d Q - Q d P ) - i p [ Q P +
P2)]dx]-
Fuhren wir statt x eine neue unabhangige Veranderliche
durch
t
ein
(87)
so vereinfacht sich die Hamiltonsche Funktion zu
(88)
H
=i[QP
+ +(Qz+
P3].
Diese Form ist nur von der einen Funktion k ( t ) abhangig,
an Stelle der xwei Funktionen u und v im ursprunglichen
Ausdruck (74)').
Die Differentialgleichungen fur die Hauptachsen lauten:
(89)
-iQ=ikP,
+
(P
Q +iiP
lQ
+ i P =-ikQ.
Fur die erste Hauptachse haben wir ii = i zu wahlen und
somit folgende Gleichung nach dem Storungsverfahren zu intePrieren:
Q =ikP,
P + 2 i P =- i k Q ,
beginnend mit der nullten Naherung:
(91)
Q=l,
P=O.
1) Dieselbe Reduktion auf eine einzige Funktion h d e t auch statt,
wenn im ursprunglichen H alle drei Glieder (namlich auch das gemischte Glied w p q) vertreten waren.
678
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Die konjugierte Hauptachse braucht nicht gesondert behandelt zu werden. Im Sinne von (35) kann namlich das
Schema der Transformation (da selbstkonjugierte Variable aufeinander bezogen werden) folgendermaben geschrieben werden,
wenn wir die Xoordinaten des Hauptachsensystems mit q, p
bezeichnen:
-
A
__.
B
I
1
R*
A*
I
Nun losen wir im Hauptachsensystem die kanonischen Gleichungen durch den Ansatz:
(93)
ij =
pe",
j = : 0.
Fiihren wir diese Losung in (92) bzw. (78) ein, so erhalten wir
im Endresultat folgende Losung der allgemeinen selbstadjungierten Differentia,lgleichung zweiter Ordnung l):
Dabei sind A und B Funktionen von x, die durch sukzessive
Integration aus folgenden Differentialgleichungen zu gewinnen sind:
A'=ikB,
(95)
{B'+2iB=-ikA,
beginnend mit der nullten Naherung A = 1, B = 0. Die
Struktur der GI. (94) zeigt, dal3 f u r jede Naherung nur eine
Integration auszufiihren ist, da die rechte Seite abwechselnd
in der einen bzw. anderen Gleichung verschwindet.
1) Die zweite magliche LGsung unterscheidet sich von der angegebenen nur dadurch, daB uberall + i durch
i zu ersetzen ist.
Zu beachten ist, daB A und B in sich komplex sind.
-
C. Lancxos. Eine neue Transformationstheore usw. 679
Damit das Stbrungsverfahren geniigend konvergiert , darf
k(x) nicht zu groB werden. Nun zeigt die Anwendung der
folgenden kanonischen Transformation :
f
(96)
Q
Q + i P1 = v ,
IIP1=---,
v2
iQ+P
1/2
daB hierdurch in (83) die PYatze von Q und (i gerade vertauscht werden. Es geht also dabei o/Q in p/o iiber, mithirr
k in llk. Daraus erkennen wir, daB man immer dafiir sorgen
kann, daB die Storungsjunktion k (x)sich xwischen den Grenzen
0 u n d 1 halten soll. Wachst k uber 1 hinaus, so fuhren wir
erst die Transformation (96) aus und verwandeln dabei k in
seinen reziproken Wert. Insbesondere wird dabei die singuYare Stelle k = m in die durchaus regulare Stelle k = 0 ubergefuhrt.
Da k im allgemeinen zwischen 0 und m variieren wird,
so erhalten wir die angenaherte Lbsung der Differentialgleichung in Form von zwei verschiedenen analytischen Ausdrucken, je nachdem k kleiner oder groBer als 1 ist.
Ein numerisches Beispiel: die Kugelfunktionen von L e
gendre. Die Anwendung der hier entwickelten Methode auf
die Approximation der iiblichen fiir die mathematische Physik
fundamentalen Funktionensysteme hatte der Gegenstand einer
besonderen Untersuchung zu sein. Hier soll nur an Hand
eines numerischen Beispiels die Brauchbarkeit der Methode
erwiesen werden. Wir wahlen zu diesem Zwecke eine Funktion, die man leicht auch in exakter Weise angeben kann,
z. B. ein Polynom von x. Und zwar soll es sich um die Losung der Legendreschen Differentialgbichung handeln, durcb
welche die Kugelfunktionen definiert werden l).
I n diesem Falle haben die Funktionen u und v folgende
Werte:
u = 1 - x2, v = n(n + 1);
(97)
-
x variiert von - 1 bis + 1 , n ist eine ganze Zahl. Wir
fiihren einen Winkel y ein als neue Veranderliche durch
(98)
x
= sin y
.
1) Vgl. z. B. E. Madelung, Die mathematischen Hilfsmittel des
Physikers, 2. Aufl. Springer (Berlin 1925), S. 55; C our ant-Hilbe r t,.
a. a. O., S. 250.
680
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Ferner sei zur Abkiirzung gesetzt:
(99)
p=
ynp
+ 1).
Die allgemeinen Ausdriicke fur p, c, k, t spezialisieren sich
nun wie folgt:
Die Losung der Legendreschen Differentialgleichung ergibt
sich also wie folgt, wenn sp als die unabhangige Veranderliche
verwendet w i d :
wo A und B aus folgenden Gleichungen durch sukzessive
Integration zu bestimmen sind:
1
A’= - tg CJI - B ,
2
B + 2 i p B = = t 1t g ~ p * A .
beginnend mit A = 1, B = 0. Da 2 p sehr nahe ist zur ganzen
Zahl 2n + 1, konnen - unter Hinzufiigung einer kleinen
Korrektion - die sukzessiven Integrationen mit Hilfe von
trigonometrischen Funktionen ausgefiihrt werden.
Trennen wir in der Losung (101) Real- bzw. Imaginarteil,
so resultieren die zwei Arten Ton Kugelfunktionen: die
,,Kugelfunktionen erster bzw. zweiter Art‘(, und zwar in
der Reihenfolge alternierend, je nach dem n gerade oder
ungerade ist.
Wir haben die Rechnung fiir n = 2, Realteil, durchgefiihrt, um zu zeigen, daB die Methode schon von den
niedrigsten Eigenwerten an brauchbare Resultate liefert, wahrend
die iibliche funktionentheoretische Annaherung (Sattelpunktsmethode) nur fiir grope Eigenwerte hinreichend genau ist.
Gegeniiber diesen Verfahren besteht auch der Vorteil, daB die
h e r entwickelte Methode systematisch und elementar ist, die
cpino
-
0
10
20
30
40
50
60
65
70
1
I
0,000
0,174
0,342
0,500
0;643
0,966
0,869
0,906
0,940
Y W
1,0000
0.9095
0;6491
0,2500
- 0,2395
- 0,7605
- 1,2500
- 1,4642
- 1,6491
1
Yo
1,0000
0,9170
0,6769
0,3055
- 0,1586
- 0,6697
- 1,186
- 1,438
- 1,692
1
Yr
Yrr
1,oOoo
0,9095
0,6487
0,251 8
- 0,2443
- 0,7688
- 1,255
- 1,453
- 1,611
1,0000
0,9095
0,6491
0,2506
- 0,2390
- 0,7594
- 1,247
- 1,452
- 1,628
Man erkennt , wie giinstig die sukzessiven Korrektionen die
rohe Annaherung yo beeinflussen. Nach zwei Quadraturen
ist der Funktionswert bis zu ziemlich hoeen Werten von x
schon praktisch auf drei Dezimalen genau. Uber z = 0,9 wird
die Anntiherung rapide ungiinstiger infolge starken Anwachsens
der Funktion k ( y ) . Dann wird es vorteilhafter, von der
Stelle z = 1, also k =m ausgehend zu approximieren, nachdem
diese Stelle durch die Transformation (96) in k = 0 umgewandelt wurde. Weitere Einzelheiten miissen hier der
Kurze halber unterbleiben. Doch sei erwahnt, da6 die
Methode auch zur Aufjindung von Eigenwerten mit Erfolg
verwendet werden kann.
7. G r e e n a c h e Funktion
und kanoniache Hauptachsentransformation
I n der Theorie der linearen Differentialgleichungen spielt
die sogenannte ,,Green sche Funktion" eine fundamentale
Rolle 2). Sol1 die inhomogene Differentialgleichung (27) mit
1) Diese Funktion unterscheidet sich vom zweiten L e g e n d r e schen Polynom um den Faktor - 2, da die Funktion so normiert wurde,
daI3 sie fur 2 = 0 den Wert 1 annehmen soll.
2) Vgl. Courant-Hilbert, a. a. 0. S. 302ff.
Annalen der Physik. 5. Folge. 20.
46
682
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
gegebener ,,Lastfunktion" 9 (x)und vorgeschriebenen homogenen
Randbedingungen gelost werden, so hat man sich eine Funktion G ( x , g) zu konstruieren, mit deren Hilfe die Losung d u d
folgendes Integral gegeben wird:
21
(zl, x2 sind die Grenzpunkte des gegebenen Intervalls von z.)
Die Hilfsfunktion G (qt) ist definiert als diejenige Losung der
Differentialgleichung (27), die durch die Einzellast 1 an der
bei den vorgegebenen Randbedingungen erStelle x =
zeugt wird.
Einen direkten Weg zur Konstruktion der G r e e nschen
Funktion hat es bis jetzt nicht gegeben. Man kann allerdings G (5,g) in eine unendliche Reihe entwickeln, indem man
sich das vollstandige orthononale Funktionensystem tpk (x) herstellt, das mit dem gegebenen Problem gekoppelt istl). Die
G r eensche Funktion ist dann durch die unendliche Summe
dargestellt , wo A, die ,,Eigenwerte" sind. Dieses Verfahren
setzt die Kenntnis der unendlich vielen Eigenlosungen tp, (5)
voraus, die jedoch nur selten explizite zur Verfiigung stehen.
Um so bemerkenswerter ist es, da8 die kanonische Hauptachsentransformation einen direkten Weg zur Konstruktion der
Greenschen Funktion liefert. Es zeigt sich, daB ein fundamentaler Zusammenhang besteht zwischen der G r e e n schen Funktion
und den Koeffizienten der kanonischen Hauptachsentransformation, so dab mit Hilfe der letzteren die Greensche
Funktion explizite darstellbar wird.
Nicht nur die homogene, sondern auch die inhomogene
Differentialgleichung (27) la8t sich aus einem Variationsprinzip
ableiten und somit auf die kanonische Form reduzieren. Der
ganze Unterschied ist, da6 in der Hamiltonschen Funktion
noch ein Zusatzglied hinzukommt. Beim allgemeinen Reduktionsverfahren wurde die urspriinliche Funktion durch
weitere n - 1 Funktionen erganzt, die zusammen das System
der q-Gro6en: q1 . . q, bilden. Die erste Funktion, die wir
.
1) Wir denken an selbstadjungierte Probleme, bei denen nicht nur
der Differentialausdruck D (cp), sondern auch die Randbedingungen selbstadjungiert sind.
C. Lanczos. Eine neue Transformationstheorie usw. 683
haben, ist y ( x ) selbst, diese sol1 also mit q1 identifiziert
werden. Das zusatzliche Glied der Hamiltonschen Funktion,
das die rechte Seite von (27) erzeugt, ist dann = pql. Nun
sondern wir in der Matrix der Hauptachsentransformation
speziell die erste Zeile aus. Wir bezeichnen ihre Koeffizienten
der Reihe nach mit
A,. ..An;
(106)
B,
. . . B,.
Dem allgemeinen Transformationsschema (28) entsprechend
lautet die Transformation von p1 auf die Normalkoordinaten,
die mit Q k , P, bezeichnet seien:
(107)
Ql=A,Q,+ Blcpk‘
Also ist im Hauptachsensystem die Hamiltonsche Funktion
infolge der Inhomogenitat zu erweitern durch:
+
(108)
Q (A,Q, B,
*
Die kanonischen Gleichungen resultieren :
Diese Gleichungen sind unmittelbar integrierbar. Wir beschranken uns insbesondere auf eine solche Lastverteilung Q (x),
wie sie fur die Greensche Funktion vorgeschrieben ist. Dann
gehen wir mit der Losung in (107) ein und haben damit die
G r e e n sche Funktion G (z,-6) erhalten.
Das Resultat 1aBt sich folgendermaBen hinschreiben: Wir
definieren eine Funktion 6ts) wie folgt. Die Funktion habe
einen konstanten Wert C fiir alle Werte x kleiner als 0; sie
habe ferner den konstanten Wert C + 1 fur alle Werte x groBer
als 0. An der Stelle x = 0 springt die Funktion um den
Betrag 1. Die Konstante C sei nicht naher normiert. Wenn
wir a,, 4, . . . a,, schreiben, so heiht das, daB wir verschiedene
6 - Funktionen mit den Konstanten C, , C,, . ., C, in Betracht
ziehen.
Die Greensche Funktion wird nun durch den folgenden
Ausdruck gegeben:
.
(110)
{G
(z,
Tg
(e)
77b
6’
E) = A, (z) Bk(6) 8, (s - E) ern - A, (6) B, (z)6, ( X - 6) (I)
e‘h
Die Exponenten t k ( z )sind durch (62) definiert. Die 2n unbestimmten Konstanten Cl, . ., C,; C,, . . ., C, der &Funk-
.
45 *
684
Anna2en der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
tionen konnen den 2 n vorgeschriebenen Randbedingungen angepa6t werden.
Die Konstanten der L6sung sind nur in bezug auf x
konstant, aber nicht in bezug anf 6. Wir konnen jedoch das
Resultat noch weiter spezialisieren, wenn wir die von der
allgemeinen Theorie her bekannte Tatsache heranziehen, da6
die Greensche Funktion auch a k Funktion von 1 betrachtet
die Differentialgleichung (27) mit der Einheitslast an der
Stelle E = x befriedigt. Das ermiiglicht, die Konstanten der
Greenschen Funktion auf absolute Konstante zuriickzufuhren,
die nunmehr weder von x noch von 6 abhangen.
Wir normalisieren vorerst die Konstante der S-Funktion
auf links - +, rechts + Q. Diese Funktion bezeichnen wir
ohne Index als S(x). Sie ist eine ungerade Funktion:
(111)
a(- x ) = - S ( x ) .
Ferner ist es zweckmagig, die Bezeichnung B, durch A, zu
ersetzen und auch noch die Bezeichnung
(112)
Tii
= - zk
einzufuhren. Mit den genannten Festsetzungen schreibt sich
schlie6lich die G r e e n sche Funktion wie folgt:
Der letzte Term ist eine Summe von im allgemeinen 4na
Qliedern, da sowohl i wie k alle Werte von 1 bis rz und i bis Z
durchlaufen. Sind jedoch die Randbedingungen selbstadjungiert - wie das meistens der Fall ist - so verringert sich
die Zahl der freien Konstanten. Wir wissen namlich, daB in
diesem Falle die Greensche Funktion symmetrisch ist in x
und 6. Das gibt die Symmetriebedingung
Der erste Term von (113) ist i m m r symmetrisch in x
und E, da sowohl der erste wie der zweite Faktor antisymmetrisch ist.
C. Lanczos. Eine n e w Transformationstheorie usw.
685
E s ist von Interesse, die solcher Art dargestellte G r e e n sche Funktion mit der ,,Bilinearformel" (105) zu vergleichen.
In beiden Fallen handelt es sich um eine Hauptachsentransformation, jedoch von zwei sehr verschiedenen Oesichtspunkten aus. Einmal wird das ganze Variationsintegral, aus
dem sich die Differentialgleichung herleitet, als quadratische
Form betrachtet, indem man das Integral als unendliche Summe
auffaBt. Das ist die Betrachtung im Hilbertschen Funktionenraum, der unendlich viele Dimensionen hat. Die unendlich
vielen orthogonalen Hauptachsen dieser Form sind die Eigenfunktionen cp,(%). Das andere Ma1 wird die H a m i l t o n s c h e
Funktion auf die Hauptachsen gebracht. Diese ist auch eine
quadratische Form, aber nur von n Paaren konjugierter
Variabeln. Sie hat auch nur n Paare konjugierter Hauptachsen. Diese Hauptachsen sind andererseits in standiger Bewegung begriffen, wahrend im Funktionenraum jede Bewegung
eliminiert ist, da die HieBenden W erte der unabhangigen Veranderlichen in die verschiedenen Dimensionen des Funktionenraumes aufgehen. Die Bilinearformel hat also einen statischm,
die kanonische Formel einen dynamischen Charakter.
Bemerkenswert ist auch, wieviel elastischer sich die
kanonische Behandlungsweise gegeniiber verschiedenen Randbedingungen verhalt. Die 2n Konstanten der Formel (110)
lassen sich beliebigen Randbedingungen anpassen. Demgegeniiber
sind die Eigenfunktionen und Eigenwerte eines orthogonalen
Systems einer Anderung der Randbedingungen gegeniiber SO
empfindlich, daB jede Modifikation sofort a l b Individuen des
unendlichen Systems ergreift und verandert.
Zueammenfassung
Fiihrt man ein gegebenes Variationsproblem auf die
Hamiltonschen kanonischen Gleichungen zuriick, was immer
moglich ist, so treten zwei ihrem Wesen nach sehr verschiedene Probleme in Korrelation zueinander: die kleinen
Schwingungen eines mechanischen Systems um eine Gleichgewichtslage, und die Losung einer linearen, selbstadjungierten
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Beidemal
wird die Losung durch Exponentialfunktionen geliefert und
beidemal reduziert sich das Problem auf eine rein algebraische
Transformation: die Hauptachsentransformation der H a m i l t o n schen Funktion, die in dem gegebenen Fall eine quadratische
Form der konjugierten Variabeln qs, p , ist mit konstanten
Koeffizienten.
686
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Die vorliegende Untersuchung zeigt, daB die Methode der
Hauptachsentransformation nicht a d den statischen Fall beschrankt ist, sondern ebenso im dynamischen Falle anwendbar
bleibt, wenn es sich um die schwache Stornng einer beliebigen
d ynamischen Gleichgewichtslage handelt. Das korrespondierende
Problem auf dem Gebiet der Differentialgleichungen ist eine
lineare selbstadjungierte Differentialgleichung - oder Systeme
solcher Gleichungen - mit beliebigen Koeffizienten. Die
H a m i l t o n sche Funktion ist wieder eine quadratische Form
der konjugierten Variabeln, aber nunmehr rnit veranderliichert
Koeffizienten. Die Hauptachsen sind jetzt nicht mehr rein
algebraisch, sondern durch Differentialgleichungen bestimmt.
Das Auffinden der Hauptachsen gelingt auf Grund sukzessiver
Approximationen, die nur Quadraturen verlangen. Das Ausgangssystem ist rein algebraisch festgelegt. Die LGsung erscheint wieder in Form von Exponentialfunktionen, wie im
statischen Falle, aber nunmehr mit veranderlicher Frequenz,
veranderlicher Amplitude und veranderlicher Phase. Dabei
bleibt das Hauptglied der Losung, die Exponentialfunktion,
von den sukzessiven Naherungen unberiihrt dieselben korrigieren nur Amplitude und Phase.
Es ergibt sich also eine Losungsmethode, die sowohl auf
dynamische Storungsprobleme , wie auf die Approximation beliebiger selbstadjungierter Differentialgleichungen mit Erfolg
angewendet werden kann. Es zeigt sich auch, daB die fur die
Theorie inhomogener Differentialgleichungen fundamentale
,,Green sche Funktion" rnit den Koeffizienten der Hauptachsentransformation in unmittelbarer Beziehung steht und mit deren
Hilfe explizite darstellbar ist.
,
Nachtrag
Im Laufe dieser Untersuchung haben wir uns prinzipiell auf selbsta&ungierte Differentialgleichungen beschrankt, da nur solche Gleichungen
aus einem Variationsprinzip ableitbar sind. Dabei miissen wir also auf
den EinfluS nichtkonservativer Krafte (Reibungsglieder) verzichten. Nun
konnen wir aber durch einen einfachen Kunstgriff auch diese Einschrankung fallen lassen und beliebige nicht selbstadjungierte lineare
Differentialgleichungen mit in unsere Betrachtung einbeziehen. 1st namlich D (q)ein linearer Differentialoperator, dessen adjungierter Operator
B (q)von D (q)verschieden ist, so konnen wir die nicht selbstadjungierte
Differentialgleichung D (q)= 0 zu folgendem selbstadjungiertem System
erweitern :
(115)
C. Lanczos. Eine neue Transformationstheorie usw. 687
w
p und
sind 2 unabhiingige Funktionen.
folgendem Variationsintegrd:
Dieses System entspringt
wobei sowohl q wie cp zu variieren sind.
Dem allgemeinen Verfahren entsprechend kSnnen wir wieder die
Erniedrigung der Differentiationsstufe durch partielle Integration und
die allmghliche Uberfuhrung in die kanonische Gestalt durch Einfuhren
neuer Variabler vornehmen. Das allgemeine Reduktionsverfahren ist
simultan auf y und 'p bzw. deren Ableitungen anzuwenden. SchlieBlich
entsteht ein kanonisches System mit n Paaren von kanonischen Gleichungen und ebensoviel Paaren kanonischer Veranderlicher , wenn n
die Ordnung der urspriinglichen Differentialgleichung bezeichnet. Die
H a m i l t onsche Funktion ist wieder eine quadratische Form der kanonischen Veriinderlichen. Die allgemeine Theorie der Hauptachsentransformation kann also auch jetzt wieder angewendet werden.
Uber die Struktur der H a m i l t o n s c h e n Funktion lassen sich noch
bestimmtere Aussagen machen, infolge des Umstandes, daS das Integral (116) sowohl in q wie in cp linear ist. Wir werden zweckmaBigerweise zwei Reihen von kanonischen Veranderlichen unterscheiden: eine
Reihe qk, p , infolge der Funktion 'p und deren Ableitungen, und eine
Reihe &, pk infolge der Funktion q und deren Ableitungen. Das
kanonische Integral (19) erhalt dann folgende Form:
(117)
11
wobei die H a m i l t o n sche Funktion H als Bilinearform der gestrichenen
und ungestrichenen Veriinderlichen erscheint. Die kanonischen Gleichungen ergehen:
Die beiden Teilsysteme (118a) und (118b) sind voneinander unabhangig, insofern, als das erste System nur ungestrichene, das zweite
nur gestrichene Veranderliche enthiilt. Die beiden Systeme sind jedoch
fur sich allein genommen nicht kanonisch, uur in ihrer Gesamtheit.
Man erkennt auch leicht folgenden einfachen Zusammenhang zwischen
den beiden Teilsystemen. Die Matrix des Koeffizientenschemas, das die
rechte Seite der Gleichungen charakterisiert , ist in beiden Systemen
dieselbe Matrix, nur transponiert zueinander.
In diesem allgemeinen Aufbau, das nunmehr beliebige lineare
Differentialgleichungen umfaBt, nehmen die selbstadjungierten Gleichungen
folgende Sonderstellung ein. Das Koeffizientenschema der rechten
Seite wird dann zu einer symmetrischen Matrix. Die beiden Teilsysteme (118a) und (118b) werden jetzt identisch. Nun k6nnen wir in
der H a m i l t o n s c h e n Funktion die Bilinearform der doppelten Reihe von
688
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Variabeln qk, p , und ij,, p , durch eine quadratische Form der einfachen
Reihe qk, p , ersetzen, indem wir. q, durch 8, pn. durch p k ersetzen und
durch 2 dividieren. Die so konstruierte neue H a m i l t o n s c h e Funktion
sei Hl(qk,pk).Es gilt dann:
Das Einsetzen dieser Werte in (118a) zeigt, daB jetzt die beiden Teilsysteme schon in sich abgeschlossene kanonische Systeme werden, mit der
Hamiltonschen Funktion HI. Eine solche Reduktion auf blo6 halb
so vie1 Veranderliche ist im nicht selbstadjungierten Fall nicht miiglich.
L a f a y e t t e , Ind. (USA.), Purdue University, Dept. of Math.,
J u n i 1934.
(Eingegangen 22. Juli 1934)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 682 Кб
Теги
kanonischen, transformationstheorie, linearer, eine, gleichungen, neues
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа