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Eine Revision der Gleichgewichtsbedingung der Gase. Thermische Molekularstrmung

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205
9. Eine Revision der Gleichgewichtsbedingung
der Gase. l'hermische MolekularstrSmung;
worn Ham%u K n u d s e n .
1. Einleitung und Zueammenfaesung der Untersuchungsergebnisse.
1st eine Gasmasse in zwei mikeinander verbundenen Gefa6en eingeschlossen, wird gewahnlich als die Gleichgewichtsbedingung angefuhrt, da6 der Druck uberall in der ganzen
Gasmasae derselbe sein SOU, und zwar sol1 diese Gleichgewichtsbedingung gelten, auch wenn die beiden GefaBe verschiedene
Temperatur haben , und auch wenn in der Verbindungsrohre
Temperaturunterschiede vorkommen.
Benutzen wir aber das Wort Gleichgewicht als Bezeichnung des Zustandes, in dem die in jedem der GefaBe vorhandenen Gewichtsmengen von Gas sich nicht ferner verandern, wenn die Temperaturen ungeandert bleiben , so kann
die angefuhrte Gleichgewichtsbedingung in gewissen FIllen
ganz falsch werden.
Einige auf Grund der kinetischen Gastheorie angestellte
Betrachtungen haben mich veranlaBt, die Frage experimentell
zu untersuchen, und es hat sich dadurch ergeben, da6 die
Gleichgewichtsbedingung fur die in den beiden kommunizierenden GefaBen eingeschlossene Gasmasse folgenderma6en ausgedriickt werden kann, vorausgesetzt, daB die Weite der Verbindungsrohre verschwindend klein ist gegen die mittlere freie
Weglange der Oasmolekiile :
indem p l , el und TI Druck, Dichtigkeit und absolute Temperatur der Gasmasse in dem einen GefaBe bedeuten und p,, e2, T,
die entsprechende Bedeutung fur das Qas in dem anderen Gefiise haben.
I m Gegensatz dazu ergibt die altbekannte Gleichgewichtsbedingung
in welchen die Glcicligewichtsbedingung allniiililich iihergeht
mit stetig wachsendem Verhaltnis zwischen dem Durchmesser
der Verbindungsrohre und der mittleren freien W eglange der
Gasmolekiile.
Dieses Resultat ist im Einklang mit der kinetischen Gastheorie und laBt sich aus den Versucheii folgern. Die Versuche haben direkt ergeben, daB in den beiden auf dersellren
Temperatur gehaltenen Behaltern ein Druckunterschied entsteht , wenn in die \Teite Verbindungsrohre der Behalter eine
enge Rijhre eingefiigt urid die eine der Ubergangsstellen von
der weiten zur engen Rohre erwarmt wird. Die GroBe des
Druckunterschiedes, den man im Gleichgewichtszustande hat,
wachst mit der Temperaturdifferenz der Zusammerifugungen
und richtet sich iibrigens nach dem Druck, Molekulargewicht
und Beibungskoeffizient des Gases, sowie nach der Weite der
Verbindungsrohren. Ferner wird die Wirkung gosteigert, wenn
mehrcre Rohrenzusammensetzungen der Reihe nach angebracht
werden und jede zweite Ubergangsstelle zwischen enger und
weiter Rohre erwarmt bzw. abgekiihlt wird. Indein ich in
dieser Weise zehn Rohrenelemente (wie elektrische Thermoelemente) der Reihe nach anbrachte, in denen die engen
Rohren einen Durchmesser von 1/3 m m hatten und eine Erwarmung von ca. 500° anwendete, erhielt ich bei einem
mittlereri Druck von ca. 1/4mm Quecksilber einen 10maE so
groBen Druck in dem einen GefiB wie in dem anderen im
Gleichgewichtszustand, uricl bei einem mittleren Druck von
ca. 3 'I, mm Quecksilber war der Unterschied zwischen den
Urucken im Gleichgewiclitszustsride fast 3 mm Quecksilberdruck.
Der Unterschied zwischen den Drucken in den beiden
GefiBen im Gleichgewichtszustande ist bei sehr lrleinen
Drucken selbstverstaridlich sehr klein, wachst sodann mit
wachsendem mittleren Druck und erreicht ein Maximum, wenn
die mittlere Weglange der Gasmolekiite mehreremal so klein
ist wie der Durchrnesser der engeren Rohre. Bei ferner
Revision der Gleichgercicfitsbedilzguny der Gase.
207
wachsendem Druck nirnmt der Druckunterschied wieder ab
und wurde bei den angestellten Versuchen kleiner als l/lo m m
Quecksilberdruck bei dem mittleren Druck von
Atm. Diese
Abnahme des Druckunterschiedes laBt sich durch entstandene
Gleitungsstrome und Reibungsstrome vollkommen erklaren.
Der erwahnte Druckunterschied kann dazu benutzt werden,
kontinuierliche Gasstromungen aufrecht zu halten, indem die
beiden GefaBe durch eine zweite nicht erwarmte Rohre verbunden werden, in Analogie mit den thermoelektrischen StrGmen.
Die hier besprochene Erscheinung bewirkt , da6 die Angaben eines Gasthermometers vom Querschnitt der Rohre abhangen mussen, die vom Thermonieterbehalter zum Manometer
fuhrt. Zu erwarten ist, daS der am Manometer nbgelesene
Druck je mehr von dem im Therrnometerbehiilter selbst
herrschenden Druck, d. h. von dem Druck, den man bestimmen
wollte, abweicht, je enger die benutzte Verbindungsrohe ist.
Der Druckunterschied bei Atmospharendruck ist bei den allgemein benutzten Gasthermometern wahrscheinlich so gering,
dab er keine praktische Bedeutung erhalt, aber wegen der
Benutzung des Wasserstoffthermometers als Normalinstrument
mochten andere spezielle Messungen, welche die Untersuchung
dieses Verhaltnisses bezwecken, vielleicht doch yon Interesse sein.
Die Erscheinung mu6 jedenfalls in vielen FBllen berucksichtigt werden, wo es sich um statische Bestimmungen der
Dampfdichte, Darnpfdruck oder Siedepunkte bei kleinen Drucken
handelt.
Dem angefiihrten nach kann man erwarten, da6 die Luft
in den Poren eines porosen Korpers, wenn dieser ungleich
stark an verschiedenen Stellen erwarmt wird, den gro6ten
Druck im Gleirhgewichtszustande an den wBrmsten Stellen
erhalten wird. 1st eine Platte aus porosem Stoff, z, B. warmer
an der eineu Seite als an der anderen, so wird sie Luft durch
sich saugen von der kalten zur warmen Seite, und dieser
Luftstrom dauert, so lange der Ternperaturunterschied zwischen
den Seiten der Platte besteht. Man kann dies Verliiiltnis zu
einer einfachen und bequemen Demonstration der Erscheinung
anwenden, indem man die Luft in einem porosen tonernen
oder porzellanenen Kolben elektrisch erwarmt. Die entwickelte
Warme wird dann durch die Wande des Kolbens zur 2u6eren
208
M. Rnudsen.
Luft abgeleitet, und die Wande halten sich nach innen warmer
als nach auBen. Dadurch wird die auBere Luft durch die
Wande nach innen gesogen, und wenn man vom Kolben eine
Rohre ins Wasser hinabfiihrt, sieht man die Luft durch das
Wasser emporsteigen, und man kann den im Gleichgewichtszustande bestehenden Uberdruck bequem messen. Bei starker
Erwairmung laBt dieser sich leicht bis auf einige Zentimeter
Quecksilberdruck steigern, und die Luftmenge, die ein Kolben
yon 100ccm abgibt, laBt sich leicht bis auf 100ccm in der
Minute steigern.
Diese Erscheinung ist ohne Zweifel von Bedeutung in der
Natur. Vielleicht spielt sie eine Rolle bei der Gaserneuerung
der Pflanzen, und sie mu8 bei der Erneuerung des Luftgehaltes der Erdbodenschichten mitwirken, indem die Luft
hervorgezogen wird, wo die Erdoberflache von der Sonne erwairmt wird, und einwartsdringt, wo eine solche Erwarmung
nicht stattfindet.
I m Jahre 1872 folgerte C. N e u m a n n l) aus theoretischen
Betrachtungen, da6, wenn man das Gas in einer Rohre (in
anderer Weise als durch Erwarmung) auf einer Strecke in
einen anderen Dichtigkeitszustand versetzt, als in den iibrigen
Teilen der Rohre, so wird eine Temperaturdifferenz zwischen
den Enden dieser Strecke Bewegung der Gasmasse hervorrufen. F e d d e r s e n 2, untersuchte diese sogenannte Thermodiffusion experimentell und fand, da6 pulverformige Stoffe, wie
Platinschwamm, Palladiumschwamm u. a. m., die anziehend
auf die Luft wirken und somit wahrscheinlich den erforderlichen Dichtigkeitszustand hervorbringen werden , in der erwarteten Weise wirken.
Im folgenden sol1 gezeigt werden, daB diese Wirkung
uberall erwmtet werden kann, wo ein Gas m i t einem festen
Korper in Beruhrung ist, dessen Oberflache an verschiedenen
Stellen verschiedene Temperatur hat, ohne da8 der Korper
absorbierend oder adsorbierend auf das Gas wirkt, wie von
Ne urn a n n urid F e d d e r s en vorausgesetzt wurde.
1) C. N e u m a n n , Berichte d. Konigl. Siichs. Gesellsch. d. Wissensch.
Mathem.-Phys. Kl. 24. p. 49ff. 1872.
2) B. W, F e d d e r s e u , Pogg. Ann. 148. p. 302. 1873.
Revision der Gbichgewichtsbe~ingung der Qase.
209
Ich habe den Namen Thermodiffusion nicht auf die hier
zu besprechende Erscheinung uberfuhren wollen , weil das
Wort Diffusion schon fiir so verschiedenartige Prozesse benutzt
wird. Ich schlage vor die Bezeichnungen thermische Molekularstromung, therrnischer Molekulardruck usw. in diesen Fallen
zu benutzen, wo chemische Affinitat, Absorption und Adsorption
keine merkbare Rolle spielen.
2. Theorie.
Die Betrachtungen, die mich zu einer experimentellen
Untersuchung der erwahnten Verhaltnisse fiihrten , waren
folgende:
Seien
und Fs (Fig. 1) die beiden Behalter, und T, die
absolute Ternperatur in V. bis zum Querschnitt A der Verbindungsrohre , wiihrend die
Ternperetur von ,:? von diesem
TL
Querschnitt an gerechnet, T,
8
ist. Sind PIund P, die Drucke
in den beiden Behaltern, so
Fig. 1.
behauptet man, daB die Gleichgewichtsbedingung bei gewohnlichen Verhaltnissen p, = p , ist.
Infolge der kinetischen Gastheorie hat man den Druck p bestimmt durch p = ( n / 8 ) N m@, wo N die Anzahl von Molekiilen i n der Volumeneinheit, m die Masse des Molekuls, und L!
die mittlere Geschwindigkeit desselben bedeutet. Die Gleichgewichtsbedingung p , = y, laSt sich somit ausdriicken durch
(1)
N,Ql, = AJ,
,
<
(&
+[3
wo 1,und L!,, N, und Q, Molekulanzahlen und Qeschwindigkeiten in den beiden Bebaltern in so groBer Entfernung von
der Temperaturiibergangsstelle A sind, da6 die Temperaturen als
konstant betrachtet werden konnen. Wenn es moglich ware, die
Temperaturen in den beiden Behaltern ganz bis an die Flache A
konstant zu halten, so daB sich in dieser Flache ein sprungweiser Ubergang von der Temperetur T, zur Temperatur T, befande, wird die Gleichgewichtsbedingung indessen eine andere.
Es mu6 niimlich in allen Fiillen die Gleichgewichtsbedingung
Bein, da6 durch jeden beliebigen Querschnitt eine gleich groBe
Oewichtmenge yon Gas i n der einen Richtung passiert wie in
210
M. Knudsen.
der entgegengesetzten. Die Qewichtmenge Gas, die in einer
Sekunde durch 1 cma des Querschnittes A von links nach rechts
geht, ist unter Voraussetzung des erwahntcn sprungweisen
Temperaturiiberganges infdge der kinetischen Theorie $ Nl m 9,
wlihrend die Gewichtmenge, die in derselben Zeit in entgegengesetzter Richtung geht, N, m !2, wird. Die Gleicbgewichtsbedingung ist also in diesem Falle
iv, Q, = N2 Q 2 .
(2)
+
Da die Temperaturen T, und 17, und somit auch die Geschwindigkeiten 8,und 9, als verschieden. vorausgesetzt sind,
konnen die Gleichungen (1) und (2) nicht beide richtig sein.
Die Gleichung (2) mu6 die tatsachliche Gleichgewichtsbedingung
enthalten, wenn die kinetische Theorie imstande ist, auch hier
ein richtiges Bild der tatsachlichen Verhaltnisse zu geben.
Diese Gleichung la6t sich indessen ausdriicken durch
oder
im Gegensatz zu p , l p , = 1.
Die Gleichung (2) laBt sich auch ausdriicken durch
(4)
wo el und ez die spezifischen Gewichte in den beiden Behaltern sind. Im Gegensatz dazu ergibt die Gleichgewichtsbedingung (1) pl/gz = Tz/!Cl, was G a y - L u s s a c s Gesetz ausdruckt, das also dem Anschein nach auch nicht auf den vorliegenden Fall sollte angewandt werden konnen.
Es fragt sich nun, ob man einen so jahen Temperaturiibergang erzeugen kann, oder ob ein so jaher, wie der hier
vorausge$etzte, in der Natur vorkommt. Man konnte sich ihn
in der Weise erzeugt denken, dab in die Rohre bei A eine
diinne feste, mit einer kleinen Ofthung versehene Scheidewand
eingefiigt wird. Hat nun die linke Seite der Scheidewand
die Tempcratur T,, und die rechte die Temperatur T ! , wird
die Anzahl Molekule, die in der Zeiteinheit jede Flacheneinheit der Offnung von links nach rechts passiert, wie ich
2 11
Revision der Gleichgewichtdedingung dev Gase.
,
durch fruhere Messungen experimentell dargetan habe gleich
8, sein, wkhrend die Anzahl der in entgegengesetzter
Richtung gehenden AT, 8, ist, weshalb die Gleichgewichtsbedingung i n diesem Falle N, B, = It, B, ist. Hat man dagegen einen allmahlichen Temperatul.ubergar~g, so knnn man
nicht a priori erwarten, dab + N 9 ein Ausdruck der Anzahl
Molekule sei, die in der Zeiteinheit eine Fllicheneinheit treflen,
oder daB der Druck durch ( n / 8 )Nni B2 angegeben werden
kann.
Nehmen wir indessen vorlanfig die annaherungsweise
Giiltigkeit dieser beiden Formeln in einer engen zylindrischen
R6hre an, in der ein kontinuierlicher Temperatur fall stattfindet, was eine reclit naturliche Annahme sein wird bei verschwindend kleinem Ro tirendurchmesser im Vergleich zur
mittleren Weglange. Wir nehmen also an, da6 an jeder
Stelle der Rohre
n
p = - N w Sa
~
+
8
ist, und daB Nnt R eine die ganze Rohre liindurch unveranderliche GroBe ist, indem sie der Anzahl von StoBen, die jede
Flacheneinheit in der Sekunde erhalt , proportional ist. Wir
haben demnach
d p = R N v fidbZ,
~
8
was durch Division durch den Ausdruck von p
ergibt, also die namliche Gleichgewirhtsbedingung wie vorhin.
Ware die Verbindungsrohre sehr weit gewesen im Vergleich
mit der mittleren Weglange der Luftmolekule, und ware keine
Scheidewand da, so wurde man bekanntlich jedenfalls annaherungsweise die andere Gleichgewichtsbedingung haben,
namlich XI BIZ
= N, ,c22z, d. h. ditW der Druck in beiden Behaltern gleich groB ist.
Wir sehen also, daB bei verschiedenen Verbindungsrohren
zwischen den Behaltern verschiedene Ausdriicke der Gleichgewichtsbedingung vorliegen. Im Gleichgewichtszustand erhsllt
die Platte rnit der Offnung ungleich groSe Urucke von jeder
M, Knudsen.
2 12
Seite, und die Platte wurde sich, wenn sie beweglich ware, in
der Langsrichtung der Rohre bewegen. Resteht zwischen
Platte und Wand ein Reibungswiderstand, wird der Uberdruck auf die eine Seite der Platte als Tangentialkraft auf
die Wand ubertragen werden. Das Vorhandensein einer
solchen im Gleichgewichtszustande in der Langsrichtung der
Rohre wirkenden Tangentialkraft wird umgekehrt anzeigen,
da6 im Gase zu beiden Seiten des Temperaturiiberganges ein
Druckunterschied bestehen muB. Es lafit sich nun leicht einsehen, daB infolge der kinetischen Gastheorie eine Tangentialkraft auf die Wande einer zylindrischen Rohre, in der ein
Temperaturubergang stattfindet , wirken muB , auch wenn der
Temperaturubergang ein kontinuierlicher ist und sich in der
Rohre keine Platte befindet.
Es sei die Verbindungsrohre (Fig. 1) zylindrisch ohne eingefugte Platte, und nehmen wir an, daB die Temperatur
kontinuierlich von links nach rechts ahnimmt. Die Anzahl
Sto6e n, die eine Flacheneinheit A der Wand von Molekiilen
empfangt, die von links kommen, setzen wir im Gleichgewichtszustande gleich der Anzahl StoBe, welche dieselbe Flacheneinheit von Molekulen empfangt, die von rechts kommen,
indem vorausgesetzt wird, da6 im Gleichgewichtszustande keine
Stromung langs der Rohrenwand stattfindet. Habm die yon
links kommenden Molekiile die mittlere Geschwindigkeit 9’,
die von rechts kommenden die mittlere Geschwindigkeit Q’,
so wird die Bewegungsgrofie, welche die betrachtete Flacheneinheit in der Richtung der Rohre empfangt, proportional mit
n ( i 252’ mu6 gro6er sein als a“,da wir vorausgesetzt
haben, da6 in der Langsrichtung der Rohre von links .nach
rechts, und somit auch in der Gasmasse ein Temperaturfall
stattfindet. Die Molekiile, die von links kommend die Flacheneinheit treffen, sind also von Stellen gekommen, wo eine hohere
Temperatur besteht, und wo die Molekiile somit eine grogere
Geschwindigkeit haben als an Stellen, von wo aus die von
rechts kommenden Molekiile das letztemal gegen andere Molekule oder die Rohrenwand amtieBen, bevor sie die betrachtete
Flacheneinheit treffen.
Eine genaue Berechnung der Anzahl Sto6e n, welche die
betrachtete Fliicheneinheit in der Sekunde von jeder der Seiten
a’).
Revision der Gleichgelcic?itsbedingun,q der Gase.
21 3
empfangt, ist schwierig, wenn sowohl B und N als die mittlere Weglange il von Stelle zu Stelle in der Rohre variiert.
Nehmen wir aber an, da6 der Temperaturgradient klein ist,
wird die Anzahl SttiBe d n , welche die Flacheneinheit in der
Sekunde vom Raumwinkel d w empfangt, unter dem Einfallswinkel a annaherungsweise
1
d n = - -4NnB c o s a d m
gesetzt werden konnen.
Wir nehmen sodann an, da6 die Temperatur in der Weise
in der Richtung der Rijhre abnimmt, daB d Q l d l , wo d l ein
Langenelement in der Rohrenrichtung ist, auf einer Strecke,
die einigemal so gro6 ist wie il, als konstant gelten mag,
und wir bezeichnen durch R die mittlere Geschwindigkeit der
Molekiile im Querschnitt durch die betrachtete Flacheneinheit,
indem wir roraussetzen, da6 alle Molekiile i n demselben Querscbnitt dieselbe mittlere Geschwindigkeit besitzen.
Wir legen ein rechtwinkliges Koordinatensystem (Fig. 2)
mit Anfangspunkt in der bez
trachteten Flacheneinheit, 1 Achse
in der Langsrichtung der Rohre,
und lassen z die Normale zu der
Flacheneinheit sein. Die Schenkel h des betrachteten Raumwinkels
bilden mit der Normale den WinI
kel a, und mit der Langsrichtung
der Rohre den Winkel is. Man
sieht leicht, daB die sto6enden Y
Molekule durchschnittlich die GeFig. 2.
schwindigkeit haben werden, die
sich in der Entfernung il von der Flacheneinheit findet, und
diese Geschwindigkeit ist infolge der Voraussetzungen
wenn a rechts von der Querschnittebene y z gerechnet wird, und
dn
9 - --ilcosp,
dl
wenn a nach links gerechnet wird, indem wir voraussetzen,
M . Knvdsen.
214
dab d S / d l negativ ist. Es mu6 aber hierbei vorauegesetzt
werden, daB die mittlere Weglange il Idein ist im Verhaltnis
zum Rohrendurchmesser, weshalb das folgende nur fur diesen
Fall gilt.
Die RewegungsgrKBe, welche die Flacheneinhei t in der
Richtung der Rohre durch die StoBe der Molekiile erhalt, die
von dem rechts vom Querschnitt liegenden Raumwinkel diu
kommen, ist folglich
(
m d n 9 + --ilcos,i3
( ldal
1
cosp.
Von dem damit symmetrischen Raumwinkel dzu in bezug auf
die Querschnittebene erhiilt die Flacheneinheit auch die Sto6anzahl d n , und soniit in der Richtuug ,von links nach rechts
die BewegungsgroBe
1
m d n ( 0 - - 2 d c~o s p c o s p .
dfi
Die durch diese St6Be resultierende BewegungsgrGBe dill' von
links riach rechts ist dann
rl R
d W = + 2mdn--L
cos2/3,
dl
w o r m s folgt
41, = + 2
jl COSa p d n ,
-$
":;
indem wir vorausgesetzt haben, da6 sich die Molekiile nach
den StoBen symrnetrisch in bezug auf die Querschnittebene
und mit gleich groBen mittleren Geschwindigkeiten verteilen,
so wie sis es tun wiirden, wenn sie nach dem cos-Gesetz uncl
mit Geschwindigkeiten zuruckgeworfen werden, die ausschlieBlich durch die Temperatur der Flacheneinheit bestimmt sind.
I n den Ausdruclr von M' wird der obenstehende Wert
von d n eingefiihrt und d i g Integration dann ausgefuhrt. Danach
hat man
1
d a
a' == - N m .Q;1--.
16
Cll
Bei dieser Rechnung sind die Geschwindigkeiten der Molekiile
alle gleich B in dem betrachteten Querschnitt gesetzt. Nimmt
man a n , daB die Geschwindigkeiten nach M a x w e l l s Gesetz
verteilt sind, so hat man, d a B die BewegungsgroRe M , welche
jede Oberfliicheneinheit der Wand wegen der Variation der
Revision deer GleicJigeiaichts6edingung cler Case.
2 15
Molekulargeschwindigkeiten durch die Rohre in der Sekunde
gesetzt werden kann.
Da
NrnQii=-~-
0,30967
ist, wo q der Reibungslroeffizient ist, so hat man
Die GroBe M ist die Tangentialkraft, mit der das Gas
auf eine Flacheneinheit der Rohre in deren Langsrichtung
wirkt, und findet sich in den Gasschicliten keine Strijmung,
die auBerdern BewegungsgroBe an die Rohrenwand abgibt,
mu& wenn d p l d l den Druckgradienten bezeichnet,
2nXiu
.+ 7 t H 2 - -dd-Pl
=0
sein.
Hieraus folgt
dP
dl
3ng
dbl
64.0,30967B d l
.
Nun hat man
wo T die absolute Temperatur und Q,, das spezifische Gewicht
des Gases bei O o C. bezeichnet unter dem Druck 1 Dyn/cm2;
q wird infolge S u t h e r l a n d s Formel
1+
G EG
= ,%
----c
1 - t . T
~.
gesetzt, wo man fur Wasserstoff infolge I(. S c h m i t t l ) C = 83
und qo = l o - ? . 841 hat. Werden diese GroBen, sowie
po =-:
88,62 eingesetzt und wird der Paktor
G
1f-273
___
C
1+T
1) K. S c h m i t t , ,4nn. d. Phys. 30. p. 398. 1909.
216
M. Kniidsen.
in S u t h e r l a n d s Formel ersetzt durch 1,12, was mit hinlanglicher Genauigkeit im Temperiiturintervall T, = 800 und
T, = 300 bewerkstelligt werden kann, so hat man
dP
R __
dT
= 0,0139.
Daraus ergibt sich in einer Rohre mit dem Halbmesser
R = 0,0187, in der der Temperaturfall 500° betragt,
p1 - p 2 = 371,9 Dyn/cma,
und bei 10 solchen Rohren, durch weite Rohren getrennt, rnit
dem Halbmesser R = 0,51 cm hat man
p , - pa = 3581 Dyn /cm2.
Vergleicht man dies mit den in der Tabelle iiber die Beobachtungen angefuhrten Werten von p , undp, im Gleichgewichtszustande, so sieht man, daB die gr6Bte angetroffene Druckdifferenz 3693 Dyn/cm2 betragt, also sogar ein wenig mehr
als die berechnete; aber man sieht dagegen, daB die Druckdifferenz rnit wachsendem Drucke schnell bis auf sehr kleine
Werte abnimmt, wahrend sie infolge der obenstehenden Formel
konstant sein sollte.
Demzufolge geben wir die Voraussetzung auf, daB die
betrachtete Flacheneinheit gleichviel StMe von beiden Seiten
erhalt, und drucken dies durch die Annahme aus, daB im
Gleichgewichtszustande bei grijBeren Drucken Stromungen in
der Rohre stattfinden, und daB diese Stromungen derart sind,
daB die Rohrenwand eine kleinere Bewegungsmenge als M
erhalt. Die Stromung langs der Rohrenwand mu6 somit in
der Richtung der steigenden Temperatur gehen, in welcher
Richtung die Rohrenwand mit einer Tangentialkraft auf die
nachste Gasscbicht wirkt. Im Gleichgewichtszustande 8011
infolge der Definition dieses Begriffes die ganze Gasmasse, die
durch jeden Querschnitt passiert, Null sein, und es muB also
gleichzeitig mit der erwahnten Gleitungsstromung langs der
Wand eine Gasstromung im Innern der Rohre in entgegengesetzter Richtung stattfinden, also in der Richtung, in der
wir einen Druckfall erwnrtet hatten. Das im Innern der
Rohre, wo die Gasschichten nur den inneren Reibungswiderstand zu uberwinden haben, eine Stromung in der Richtung
Revision der Glcichgewichtsbedinguny der Gase.
2 17
des abnehmenden Druckes stattfinden mu6, ist iibrigens ganz
naturlich.
Wir wollen nun davon ausgehen, daB der Temperaturfall
Strijmungen der erwahnten Art erzeugt, und untersuchen, welche
Druckunterschiede man bei dieser Annahme zu erwarten hat.
Wir berechnen erst die BewegungsgroBe N , die jeder cma der
Wand durch den Temperaturfall empfangt, welcher bewirkt,
da6 die von der ejnen Seite kommenden Molekule eine groBere
Geschwindigkeit haben als die von der anderen Seite kommenden. Bei dieser Berechnung kann man nicht von der friiheren
Voraussetzung ausgehen, daB B uberall in einer Querschnittebene denselben mittleren Wert hat. Die Stromung mu8
namlich bewirken, da6 die isothermen Flachen mit der Normale der Riihrenwand einen Winkel bilden. Da nun die Geschwindigkeit der Gaswhichten in der Richtung des Temperaturfalles von der Rohrenachse gegen die Rohrenwand hin abnehmen mug, kann man erwarten, da6 die isothermen Flachen
mit der Richtung der Rohrenwand, in der der Temperaturfall
stattfindet, einen spitzen Winkel bilden. Dies wird wiederum
bewirken, daB die Anzahl der Molekule, die von links mit besonders groBer Geschwindigkeit kommen, groBer ist als die
Anzahl derjenigen, die von rechts mit besonders kleiner Geschwindigkeit kommen, weshalb anzunehmen ist, daB der oben
berechnete Ausdruck numerisch kleiner ist a1s die BewegungsgroBe B, welche die Flacheneinheit tatsachlich durch den
Temperaturfall allein empfangt ohne Beriicksichtigung der Bewegungsgrotle, die direkt von der Gasstrijmung langs der
Wand herruhrt. Wir setzen
N=-k
3nrl--.
dfi
128.0,30967
dl
Die Gr6Be 4 kann keine Konstante sein, da bei kleinen
Drucken, wo Stromungen in entgegengesetzten Richtungen sich
nur in sehr geringem Grade entwickeln konnen, die isothermen
Flachen fast senkrecht auf der Langsrichtung der Rohre stehen,
und somit = 1 sein muf3. Allmahlich, wie die mittlere Weglange
bei wachsenden Drucken ein immer kleinerer Bruchteil des
Riihrendurchmessers wird , werden die isothermen Flachen
immer schrager stehen im Verhaltnis zur Normale der Rohrenwand; es ist aber eine wahrscheinliche Annahme, da6 der
Anualen der Physik. IV. Folge. 31.
15
218
icz. Knudsen.
Winkel, den sie mit der Normale bilden, gegen einen gewissen
Wert konvergiert, der kleiner ist als 90°, Die langs der Wand
gleitende Gasmasse sol1 namlich derjenigen gleich sein, die im
Innern der Rohre in entgegengesetzter Richtung passiert. 1st
die mittlere Weglbge nur sehr klein im Verhaltnis zum
Rohrendurchmesser, und nehmen wir an, dab die langs der
Wand gleitende Gasschicht in allen Fallen eine Dicke hat,
die von derselben GroBenordnung ist, wie die mittlere Wegrange, so muB der absolute Wert der Qeschwindigkeit der in
entgegengesetzter Richtung gehenden Gasstromung im Innern
der Rohre sehr klein sein. Der Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten der langs der Wand gleitenden Gasschichten
und der Gasschichten im Innern der Rohre muB somit mutmaBlich gegen einen gewissen Wert konvergieren, wenn 2 l i / A
gegen Unendlich wachst, und also mu8 der Winkel der isothermen k’lachen mit der Normale der Rohrenwand und somit
auch k, gegen einen gewissen Wert konvergieren, der, was k,
betrifft, groBer ist als 1.
Bei fruherer Gelegenheit l) habe ich zu berechnen gesucht,
wie groB die Gewichtsmenge Gas G ist, die durch eine zylindrische Rohre stromt, die uberall dieselbe Temperatur hat,
wenn der Druckgradient d p l d l ist. Ich fand, daB wenn die
BewegungsgroBe B‘ ist, die jede Flacheneinheit der Rohrenwand in der Sekunde empfangt, gleich
gesetzt wird, die Qasmasse sich mit einer mittleren Geschwindigkeit
F=ql+?)
bewegen wird. I n diesem Ausdruck von P sind jedoch nicht
die Geschwindigkeiten mitgerechnet, die davon herruhren, da6
die Geschwindigkeiten infolge des allgemeinen Gesetzes der
inneren Reibung von der Rohrenwand gegen die Rohrenachse
hin zunehmen. Werden diese Geschwindigkeiten mitgerechnet,
1)
M. K nud s en , Ann. d. Phys. 28. p. 123. 1909.
Revision der Gleicltgewichtsbedinyuny der Gase.
2 19
so wird die jede Sekunde durch die Rohre stromende Gewichtsmenge Gas G ausgedriickt durch
wo
& = f l l p und
8 T
b=
4 - -
v2z
l/el R3.
Es ergab sich, daB ein Ausdruck dieser Gestalt mit den beobachteten Werten gut ubereinstimmt ; jedoch muBte der Faktor
2R
1+---h7
1
i
1
+
durch
2R
5R
+ 0,81__
i
____---
1
7
5R
+T
ersetzt werden, was bei gro6en Werten von 2RlA in 0,81
ubergeht. Ersetzen wir gleichfalls im Ausdruck von B‘ das
genannte Verhaltnis durch 0,81, so haben wir
B’ = -3 %
Nm
32
9 7 - 1.
0,81
1st 22211 klein, so ist der entsprechende Ausdruck der BewegungsgroBe bekanntlich
B = - 3n
N
32
,I
m
9P,
woraus wir sehen, das B’ bei gegebener Gleitungsgeschwindig.
keit verhaltnismaBig groBer ist als B”. Dies mag davon herruhren, daB die Geschwindigkeit der Gasschichten von der
Rohrenwand gegen die Achse hin stark zunimmt, so daB die
iibertragene BewegungsgroBe groBer wird als diejenige, die
durch eine in allen Flachenelementen eines Querschnittes konstante Geschwindigkeit hervorgerufen werden wiirde. Wenn
umgekehrt die Geschwindigkeit von der Wand gegen die Rohrenachse hin abnimmt , wird die ubertragene BewegungsgrbBe
mutmaBlich kleiner sein als diejenige, die von der konstanten
Geschwindigkeit P hervorgerufen werden wiirde. Dieser Fall
mu6 notwendigerweise im Gleichgewichtszustande vorliegen,
und wir nehmen deshalb an, daB die BewegungsgroBe B, welche
jede Flacheneinheit der Wand in diesem Falle empfangt, aus15*
220
M; Knudsen.
gedriickt werden krtnn durch B
uaserem Befunde
B'
1
= 0,81B",in
= __ B"
0,81
Analogie mit
.
Wir setzen also
3n
B = --am
sZ0,81 V .
32
Da wir
dP
G = - ( u p + 0,816)-
dl
setzten, bezeichnet
dP
- 0,81 6 dl
die Gewichtsmenge ass, die in der Zeiteinheit wegen der
mittleren Geschwindigkeit P durch die Rohre stromt. Wir
haben also
- 0,81 6 dP = n R2 Q P.
~
dl
Im Gleichgewichtszustand sol1 G infolge der Definition Null
sein, was
ergibt. Wird der hieraus gefundene Wert von P in den Ausdruck von B eingesetzt, so ist
ap d p
B = - 3 . 0 , 8 1 id----.
32
R2 d l
Die game Bewegungsgrofie, die jede Flacheneinheit der Wand
in der Sekunde empfangt, ist gleich M + B, was die Gleichgewichtsbedingung
2 n R ( M + B)+ n B 2 S = 0
crgibt. Werden die gefundenen Werte von M und B eingesetzt, so hat man
Revision der Gleichyewichtsbedinguny der Gase.
221
Wird wie fruher R = 0,0187 und, was den Wasserstoff betrifft,
3= 8.933
ViG
und annaherungsweise
If-
C
273 =
C
1,12
1-t-7
1
gesetzt, so hat man
dp=0,0187
0,0139
kl
--
+ 0,000910 2
T
.
Wird dieser Ausdruck uber die ganze Rohre von T, bis T2
integriert, so wird, indem k, = 1 gesetzt wird, der Druckunterschied p , - p8 im Cileichgewichtszustande ausgedruckt durch
bzw. Ausdrucken dieser Form bei anderen Werten von k,.
Nach dieser Formel und einer entsprechenden fiir den
Sauerstoff sind die in der Tabelle uber die Beobachtungen
unter (p, - p , berechnet) angefuhrten Werte berechnet, indem
der Druckfall in den weiten Verbindungsrohren als verschwindend klein betrachtet wurde. Eine entsprechende Reihe Ton
Werten ist berechnet worden unter der Annahme, daB k,
konstant gleich 1,45 gesetzt wird. Die Berechnung, die fiir
die zehn Erwarmungsstellen der Reihe nach gilt, ist in der
Weise geschehen, daB der gr6Bte der im Qleichgewichtszustande
gefundenen Drucke p , als gegeben betrachtet wurde, und daraus
ist der Wert des Druckee p , nach der ersten Erwarmungsstelle berechnet; daraus w i d sodann in derselben Weise der
Druck nach der zweiten Erwarmungsstelle berechnet usw.
1st der Rohrendurchmesser nicht groB im Verhaltnis zur
mittleren Weglange, kann man nicht, wie im vorhergehenden,
die gegen ein Flachenelement der Rohrenwand stofienden
Molekiile als mit der Geschwindigkeit kommend betrachten,
die in der Entfernung der mittleren Weglange vom FIHchenelement herrscht. Die Weglange A', welche die Molekiile
durchschnittlich zurucklegen yon dem Moment, wo sie ein
anderes Gasmolekiil oder die Rohrenwand trafen, bis sie die
M. Knudsen.
222
die betrachtete Flacheneinheit treffen, la& sich in folgender
Weise finden.
In einer Langeneinheit der Rohre, wo die Anzahl der
Molekule R RaN betragt , finden in der Sekunde n RaN ( S / k )
gegenseitige ZusammenstoBe und 2 R R4N.Q StsBe gegen die
Wande statt. Die Molekule stoBen also im ganzen
rn R2N
(
+i
A)9 ma1 in der Sekunde,
jedes einzelne von ihnen somit
wahrend die Weglknge SZ durchlaufen wird. Die Wegliinge,
die durchschnittlich ohne StoB durchlaufen wird, ist somit
h'=
1
-+,I
1
'
LR
ist il groB im Verhaltnis zu 2 R, so ist h'=2 R.
In Analogie mit der fruheren Berechnung der Bewegungsgroi3e H, die eine Flacheneinheit der Rohrenwand empfangt,
setzen wir hier
3n
dJ-2
= j -k Nm QX-.
dl
128
Da wir im Bleichgewichtszustande
haben sollen, so ist
3%
128
2R
-kNmS
l
2R
+ l
dfi
R dp
dd=Tdl.
Hieraus erhalt man durch Division mit (n/8)N m Q2 = p
Die in diese Bleichung eingehende GroBe h ist verschieden
fir die verschiedenen Werte von 2 RIA. Wenn 2 R verschwindend klein ist im Verhaltnis zu k, geht die Gieichung iiber in
Revision der Gleicligeu,ichtsbedingung der Gase.
223
Friiher haben wir aber gefunden, daB d p / p = d Q / S ,
woraus folgt, daB k = ist. Wird der Wert von Q, ausgedruckt durch 3': in letztere Gleichung eingesetzt, so hat man
_
d p --- - 1
P
und daraus durch Integration
dT
2 T
also, wie zu erwarten war, dieselbe Gleichgewichtsbedingung,
welche bei dem plotzlichen, durch die oben erwahnte Platte
mit kleinem Loch erzeugten Temperaturubergang gilt. Dasselbe Ergebnis erhalt man naturlich durch eine direkte Berechnung der BewegungsgrbBe, welche in diesem einfachen
Fall auf die Wand ubertrageh wird. Diese Gleichung gilt
indessen nur, wenn 2 R verschwindend klein ist im Verhaltnis
zu I . 1st 2 R grog im Verhaltnis zu I , so ist A'= 1, und
in dem Falle wird die auf die Flacheneinheit iibertragene
BewegungsgroBe ausschliefilich des Temperaturfalles wegen,
wie wir fruher gesehen haben, durch die GroBe M ausgedruckt
werden kGnnen, wenn k gleich 1 gesetzt wird. Wir sehen
also, daB k bei zunehmenden Werten von 2 R I I von
bis
auf 1 abnimmt.
1st die GroBe 2 R klein, aber nicht verschwindend klein
im Verhaltnis zu A, so setzen wir annaherungsweise k=4/,, was
ergibt. Setzen wir hier
so ergibt die Integration annaherungsweise
1st p , der Druck an der erwarmten Uhergangsstelle zwischen
zwei ungleich weiten Rohren mit den Halbmessern R und R,,
wo R,> R , und nehmen wir an, daB obige Gleichung far die
enge Rohre gilt, so haben wir in ahnlicher Weise fiir die
224
M. Knzrdsen.
weite Rohre, wenn der Druck darin an der Stelle, wo die
Temperatur T, ist, y,’ genannt wird
Die beiden Gleichungen ergeben durch Subtraktion
Hieraus folgt wieder annaherungsweise
Aus dieser Gleichung sehen wir, daI3 der groBte Druck sich
in der weitesten Rohre findet, daB die prozentuale GroBe
des Druckunterschiedes der Temperaturdifferenz und der Differenz der Halbmesser proportional ist und bei wachsendem
mittleren Druck p zunimmt. Dies hat jedoch, wie bereits erwahnt, nur annaherungsweise Giiltigkeit und kann nur als Annaherung betrachtet werden, wenn die mittlere Weglange groB
ist im Verhaltnis zu den Rohrendurchmessern. Die Tabelie
iiber die Beobachtungen zeigt eine gute Ubereinstimmung damit.
3. Auefiihrung der Messungen und Messungsergebnisee.
Zu den Xessungen wurden zwei Mc Leod-Manometer
benutzt, die durch eine aus ungleich weiten Stucken zusammengesetzte Rohre verbunden waren. Bei der ersten Reihe von
Messungen wurde nur eine einzelne Kapillarrohre mit einem
Durchmesser von ca. 0,6 mm benutzt, wahrend der Durchmesser der weiten Rohre ca. 14 mm war. Das engere Riihrenstuck war 9 cm lang. Die Rohrenzusammensetzung wurde in
einem aus einer leicht schmelzbaren Legierung bestehenden
Bade bis auf eine Temperatur von ca. 350° erwarmt. Das
andere Ende der engeren Rohre erhielt dadurch eine Temperatur von ca. looo; diese Temperaturbestimmung .ist aber
nur unsicher. Die beiden Manometer konnten durch eine 1cm
weite Rohre, die mit Quecksilber abgesperrt werden konnte,
miteinander verbunden werden. Bei den Messungen, die bei
groherern Druck als 5 mm Quecksilber ausgefiihrt wurden,
wurde der im Gleichgewichtszustande bestehende Druckunterschied durch Messung des Hohenunterschiedes zwischen den
Quecksilberoberflachen in den beiden Zweigen dieser Verbin-
Revision der Gleichgewichtsbedi~lyu?&gder Gase.
225
dungsrohre bestimmt. Die Messungen mit M c Leod-Manometern wurden in der Weise ausgefuhrt, daB die Drucke p1
und p , gemessen wurden, wahrend oder unmittelbar nachdem
die beiden Seiten des Apparates in direkter Verbindung gewesen waren. Sodann wurde diese Verbindung abgesperrt, so
daB die beiden Manometer nur durch die ungleich weite Rohre
mit der erwarmten Zusammenfiigungsstelle oder den erwarmten
Zusammenfugungsstellen verbunden waren. Der Apparat stand
dann so lange ruhig da, bis die Drucke sich nicht mehr
Inderten, worauf p 1 und p , bestimmt wurden. (Wie lange
dies dauern wiirde, lieB sich durch eiuen Durchstromungsversuch ohne Erwlrmung der Rohre bestimmen). Es ist diese
Bestimmung von p , und p,, die von besonderem Interesse ist,
wiihrend die vorige, wo man p , und p , gleich groS finden
sollte, nur dazu diente, von der Genauigkeit der Messungen
eine Vorstellung zu geben. Es ist von besonderer Bedeutung
in der ersten Versuchsreihe, wo die gefundenen Druckunterschiede namentlich bei niedrigen Drucken sehr klein sind, daS
man ganz besonders auf etwaige Undichtheiten des Apparates
achten muB. Nach der letzterwahnten Bestimmung von p ,
und p , wurden die beiden Manometer durch die 1 cm weite
Rtihre wieder direkt miteinander verbunden und die Drucke
aufs neue bestimmt. Die Druckbestimmungen vor und nach
der eigentlichen Messung sind auch in der Tabelle iiber die
Messungen mit der einen erwarmten Riihrenzusammenfiigung
aufgefuhrt. Die Drucke sind in mm Quecksilber angegeben.
T a b e l l e 1.
Wasserstofffiillung. Eine Rijhrenzusammenfiigung erwiirmt.
pl und p , in mm Quecksilber angegeben.
Pl +PZ
P1
P%
Direkte Verbindung
Verbindung durch
die erwarmte Riihre}
Direkte Verbindung
0,0218
0,0216
2
0,0217
0,0223
0,021 1
0,0217
0,0218
0,0217
0,0218
Direkte Verbindung
Verbindung durch
die erwarmte Rijhre
Direkte Verbindung
0,260
o,282
0,258
o,241
0,259
0,261
0,259
0,260
}
0,262
P1-
Pz
P1
-_
Pz
0,0012
1,057
0,041
1,170
M. Knudsen.
226
T a b e l l e 1 (Fortsetzung).
Pl +P,
Direkte Verbindung
Verbindung durch
die erwlrmte Rahre
Direkte Verbindung
Direkte Verbindung
Verbindung durch
die erwarmte RBhre
Direkte Verbindung
]
]
PI
P2
1,366
1,373
2
1,370
1,424
1,315
1,370
1,379
1,370
1,375
5,219
5,248
5,234
5,268
5,175
5,222
5,222
5,227
5,225
PI-Pa
PI
-
0,109
1,083
0,093
1,018
P2
Unter p , + p 2 / 2 sind die mittleren Drucke berechnet, um
zu zeigen, daB die Qasmenge im Apparat sich wahrend der
Versuche konstant gehalten hat. Im Versuche beim gr6Bten
Druck ist die erste Angabe von p , um so vie1 groBer als die
ubrigen, daB wahrscheinlich ein kleiner Beobachtungsfehler
begnngen worden ist. Aus der Kolumne p , - p p , sieht man,
daB, wie friiher erwahnt, bei zunehmendem Druck eine schnelle
Steigung stattfindet. Beim grijBten Druck ist der Druckunterschied jedoch etwas kleiner als beim zweitgro0ten. Auch der
prozentuale Unterschied p , pa/p2,. und somit das Verhaltnis
zwischen den Drucken, hat ein Maximum und weist im ganzen
einen solchen Gang auf, wie nach dem im vorigen Abschnitt
angefuhrten zu erwarten war. DaB der Druckunterschied p , -pa
ein Maximum erreicht, von dem an er bei wachsendem Druck
abnimmt , bietet eine groBere theoretische Schwierigkeit dar,
und eine genauere experimentelle Untersuchung ist von besonderem Interesse fiir die Anwendung des Wasserstoffthermometers als Normalinstrument.
Ich habe deshalb die Wirkung zu vermehren gesucht,
indem ich die beiden Manometer durch eine R6hre mit
mehreren Verengerungen und Erweiterungen verband und
gr6Bere Temperaturdifferenzen benutzte. Die Rohre ist in
Fig. 3 dargestellt. Die dicken Striche bezeichnen die weiten
Riihren, die diinnen Striche die engen. Sowohl die weiten als
die engen waren je 5 cm lang. Die weiten hatten einen inneren
Durchmesser von 10,2 mm, die engen 0,374 mm im mittleren
Wert. Letztere GroBe wurde durch Auswagung mit Quecksilber bestimmt. Der Unterschied zwischen den Durchmessern
-
Revision der Gleichgewichtsbedir~yungder Gase.
227
der verschiedenen KapillarrGhrenstucken war iiugers t gering.
An den in der Figur durch kleine Vierecke gekennzeichneten
Stellen waren die Rohren mit Asbest umwickelt und um den
Asbest wurde ein Platindraht gewickelt, der wiederum mit
T
rl
T
n
r--l
U
LJ
l
i
LJ
b
Fig. 3.
Asbest gedeckt wurde. Der Platindraht wurde durch einen
elektrischen Strom gluhend gehalten und teilte somit jeder
zweiten Rohrenzusammenfiigung eine so hohe Temperatur mit,
wie das Glas sie meines Erwartens langere Zeit hindurch ertragen konnte. Der Temperaturunterschied zwischen den erwarmten und den nicht erwarmten Rohrenzusammenfugungen
ergab sich mittels eines Thermoelementes zu 500O. Das
Thermoelement war auswendig am Glase angebracht, weshalb
die Temperatur an der Innenseite des Glases nicht so gut
bestimmt wurde, wie zu wunschen war. Bei den hohen Drucken,
bei denen die Messungen von besonderem Interesse sind, wird
der Fehler der Druckunterschiedbestimmung indessen so grog,
da6 die Temperaturbestimmung genau genug ist.
T a b e l l e 11.
Wasserstofffullung. 10 Rohrenzusammenfugungen erwarmt.
pI und p, in mm Quecksilberdruck angegeben.
Pl
,,
p,
P,
Pl -P2
(pl-p*) ber. aus Formel (5)
kl = 1
k, = 1,45
0,00978
0,00419 0,00559
2,33
0,0314
0,247
8,85
0,278
0,475
0,0476
0,427
9,98
3,09
1,169
2,432
3,601
2,35
2,058
2,776
4,834
15,l
94
1,09
16,5
014
1,006
64,s
65,2
071
1,0005
235,O
235,l
Es war keine Druekdifferenz
760,O
*
2,153
3,303
1,917
2,906
0,96
1,22
0,50
0,33
0,14
0,06
zu beobaehten
Sauerstoff fiillung.
3,133
1,747
1,386
1,79
1,027
228
ill. Knudsen.
Aua dieser Tabelle geht hervor, da6 bei kleinen Drucken
das Verhaltnis zwischen den Drucken im Gleichgewichtszustande
bei wachsendem Druck wachst. Das Verhaltnis p , / p , hat sich
fur den kleinsten Druck gleich 2,33 ergeben, wo die theoretische
Formel (6) 2,49 ergibt. Dies ist eine so gute nbereinstimmung,
wie man sie wiinschen konnte, besonders wenn man sich erinnert, das K in der Formel (6) gleich 4/i, gesetzt, was die
hochste Grenze bezeichnet. Die so gefundene Ubereinstimmung
ist besonders wichtig, weil die benutzte Formel (6) direkt auf
der Annahme basiert, da6 durch eine Rohre, deren IUurchmesser verschwindend klein ist gegen die mittlere freie Weglange der Gasmolekule, der Druck im Gleichgewichtszustande
proportional mit der Wurzel der absoluten Temperatur variiert.
Der gro6te beobachtete Wert von p , / p , ist 9,98, so da8
die im Prinzip so einfache Rohrenzusammensetzung bei angemessener Erwarmung in diesem Falle wie eine Pumpe wirkt.
Ton besonderem Interesse ist indessen der Vergleich zwischen
den bei gro6eren Drucken als 1 mm Quecksilber beobachteten
und berechneten Werten des Druckunterschiedes im Gleichgewichtszustand.
Alle beobachteten Druckunterschiede sind gr66er als die
auf theoretischem Wege nach Formel (5) gefundenen, unter
der Annahme, da6 k, konstnnt gleich 1 gesetzt werden konnte,
und sie sind mit einer einzelnen Ausnahme alle kleiner als
die berechneten Werte, wenn man k, konstant gleich 1,45
setzt. Da wir nun erwarteten, da6 k, bei wachsenden Drucken
von 1 bis auf einen gewissen Grenzwert wachst, mu6 die fjbereinstimmung zwischen den beobachteten und berechneten Werten
als so gut betrachtet werden, wie sie zu sein braucht, damit
die vorgefundenen Druckunterschiede sich in der in der Theorie
angegebenen Weise erklaren lassen. Die Beobachtung von
Sauerstoff pa6t auch gut zum System. Der berechnete Wert
des Druckunterschiedes, wenn k, gleich 1 gesetzt wird, ist
auch hier kleiner als der beobachtete. Wird der Druckunterschied unter der Voraussetzung berechnet, da6 in der Rohre
keine Stromung stattfindet, so haben wir p , - p p , = 1,58 mm,
welche GroBe, wie zu erwarten war, gro6er ist als der beobachtete Wert 1,39 mm. Zu bemerken ist, da6 der gro6te
Druck in allen Fallen vorgefunden wurde, wo man ihn auch
Revisioii der Gleichgewichtsbedingung der Gase.
22 9
der Theorie nach finden sollte. - Die hier erwahnten numerischen Berechnungen wurden von Frl. K i r s t i n e S m i t h ausgef iihrt.
Diese Ubereinstimmung von Theorie und Beobachtungen
zeigt, dafl man guten Grund hat anzunehmen, da8 die Theorie
in der Hauptsache richtig ist. Hieraus folgt, da8 man wahrscheinlich den Fehler berechnen kann, welcher begangen wird,
wenn man bei Messungen mit dem Wasserstoffthermometer
den auflerhalb des warmen Behalters gemessenen Druck dem
tatsachlich im Innern des Behalters stattfindenden Druck gleich
setzt. Wird der Wert, gegen den k, mutmaBlicli bei groBen
Drucken konvergiert, gleich 1,40, ferner R = 0,035, T, = 373
und = 273 gesetzt, so ist der Druck im Behalter 0 , l S Dyn/cma
groBer, als der auBerhalb des Behalters gemessene! was also
einen unmerkbar geringen Fehler ergibt.
Aus der dargestellten Theorie darf man schlieBen, dafl
ein Gas, das mit einem festen Korper oder einer Flassigkeit,
an deren Oberflache Temperaturunterschiede vorkommen , in
Beriihrung ist, langs der Oberflache des Korpers oder der
Flussigkeit gleiten wird, und zwar von Stellen mit niedrigerer
Temperatur nach solchen mit hijherer Temperatur , und dafl
diese Gleitungsstrijmung durch zuriickgehende Stromungen auf
anderen Bahnen der umgebenden Gasmasse oder durch eine
geringe, aber fortwahrende Verschiebung derselben kompensiert
werden. Bus der Theorie folgt auch, da13 eine porijse Platte,
die an der einen Seite warmer ist als an der anderen, Luft
von der kalteren nach der warmeren Seite durchsaugt und
solange damit fortfahren wird, wie der Ternpernturunterschied
aufrecht erhalten wird, es sei denn, d$B an der warmen Seite
ein Uberdruck angemessener GroBe besteht. Dies laBt sich,
wie friiher erwahnt, leicht durch einfache Mittel dartun.
K o b e n h a v n s Universitet, November 1909.
(Eingegangen 19. November 1909.)
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