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Eine spezielle Form des elektrodynamischen Potentials von Supraleitern.

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Eine spezielle Form
des elektrodynamischen Potentials von Supralei fern
Von F . Beck
Inhaltsiibersicht
Gelegentlich taucht in Arbeiten iiber die phanomenologische Theorie der
Supraleitun?; a n Stelle des von M. v. L a u e l ) eingefiihrten elektrodynamischen
Potentials eine Funktion auf, die sich von der freien Feldenergie um das Volumenintegral iiber den Term
a) unterscheidet. Diese Notiz will zeigen, unter
welchen Bedingungen beide Funktionen identisch sind und daher wahlweise benutzt werden konnen.
-(a,
In der zitierten Arbeit bewies 81.v. L a u e fur die Funktion
die folgenden zwei Satze :
1. Bei allen quasistationaren h d e r u n g e n des Feldes, die als Folge von Verriickungen der Materie stattfinden, ist die vom Felde geleistete Arbeit 6.4 gleich
der dbnahme des elektrodynamischen Potentials (-6V).
2. Sind gegeben die Lagen aller Korper zueinander, die Ohmschen Strome in
ihnen, der permanente Magnetismus und die Perioden Si etwaiger Ringstrome,
so stellt sich das stationiire Feld auf ein Minimum des elektrodynamischen Potentials ein.
Die Funktion Ti stellt demnach das aus der Xaxwellschen Theorie stationirer
Felder bekante elektrodynamische Potential fur den Fall dar, da13 sich ein Supraleiter im Felde befindet. Satz 2 enthglt die Nebenbedingungen, unter denen V zum
Ninimum -Tird, namlich die Konstanz der Quellen des Feldes. Ferner sind in der
genannten Arbeit die Beziehungen zwischen V und der freien Peldenergie U fiir
die einzelnen Moglichkeiten der Felderregung (Ohmsche Strome, permanente
Magnete) diskutiert.
Verschiedene Autorenz) benutzen nun an Stelle des Potentials V dic Funktion
G = u-
J (8,23)dz
(2)
(r)
mit der Beliauptung, G erfiille die beiden oben angegebenen SBtze. G stellt das
elektrodynamische Potential eines quasistationaren Magnetfeldes ohne ReruckM. v. Laue, Z. Physik 125, 517 (1949).
Hauptsachlich in der englischsprachigenLiteratur, s. z. B. F. London, Macroscopic
Theory of Superconductivity, New York 1950.
1)
2)
F. Beck: Spezielle Form des elektrodynumischen Potentials von Supraleitern
31 1
sichtigung von Supraleitern dar, denn dieses ist bekanntlich gegeben durch
(Pist mit dem Anteil des Magnetfeldes in (1) fur den Ansatz 2' 3 = ,u @ 4-%l
identischa)). I m Supraleiter setzt bekanntlich die L o n d o n - L a u e s c h e Theorie
,u = 1, und @ = 23 ist ein mit wachsender Entfernung von der Oberflache rasch
abklingendes Wirbelfeld. Urn dieser Abschirmwirkung gerecht zu werden, ersetzen
nun jene Autoren bei dem in ( 2 ) in Abzug zu bringenden Term den Supraleiter
durch ein im AuRenraum dieselbe Feldverteilung hervorbringendes Diamagneticum, d. 11. durchein Potentialfelds und eine davon verschiedene Induktion @.
Demgegenuber sind in die Feldenergie U die aus der elektrodynamischcn Theorie
der Supraleitung folgenden Werte einzusetzen (s. z. B. das zitierte Buch F. L o n d o n s , S. 127). Diese Theorie aber steht im Widerspruch zur Auffassung des
Supraleiters als diamagnetischer Korper, und die Inkonsequenz ist offensichtlich.
Es ist daher von Interesse, zu untersuchen, wann die so definierte Funktion G
mit dem elektrodynamischen Potential ubereinstimmt und die a n sie geknupften
Folgerungen ihre Beweiskraft behalten.
Dazu betrachten wir einen einfach zusammenhangenden Supraleiter, dessen
Ringperiode S, definitionsgemafl Null ist. Dann folgt aus (l),wobei wir gleich
in einen iiber den AuRenraum und einen uber den Supraleiter zii integrierenden
Anteil aufspslten,
V , ist, wie schon susgefiihrt, init G, identisch, wir brauchen weiterhin nur
mit Gs zu vergleichen. Wegen
V,
us= 8 j- {@2 4-($2, a)>at
(s)
ergibt sich
Die zweite Maxwellsche Gleichung (in1 stationaren Fall)
1
rot 8 = - $ I
und die Vektorbeziehung
('$, rot
5)- (a,rot '$)
div
1
[a,'$1
lassen die Umformung zu
M. v. L a u e , 1. c. u. F. Beck, Z. Physik 129, 246 (3961), SchluB yon Abschn. 111.
Dieser Wert von V , - U,ergibt sich auch in der nichtlin. Erweiterung der Theorie
fur einfach zusammenhangende Supraleiter (1. c., S. 271).
3,
4,
312
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 10. 1952
Das erste Integral verschwindet wegen der zweiten Londonschen Gleichung
=-a,
c r o t ($5
das zweite formen wir mittels des GauBschen Satzes urn und erhalten
Fur G8 ergibt sich nach (2)
(6)
_ _
G,
=
us- J (8,%) dt.
(8)
@ = rot '$
und i
(5) urn und erhalten
-_ _
Gs= Us(rot 8, 9l) dt - J div [%, 431 dt.
Wir formen mittels
s
(S)
(E)
Das erste Integral verschwindet, da
wieder den GauBschen Satz an:
5 Potentialfeld ist, auf das zweite wenden wir
G, = u,
+ J [9L- -@Indo.
(9)
(0s)
Da das Ersatzdiamagneticum im AuBenraum dieselbe Peldverteilung hervorbringen sol1 wie der Supraleiter, ferner 8 , Qtang, 21tang und
a n der
atang
Grenze dieses stetig sind, bestehen dort zwischen den uberstrichenen und den
richtigen Werten die Beziehungen
-
-8
@tang = @fang =
und
=
\Ustang = s a n g
8Lg
8Lng
(a"i-grad x)tang = (asi-grad %)tang
(x ist eine nicht weiter interessierende
skalare Funktion). Folglich laBt sich G,
durch die unuberstrichenen FeldgroBen ausdrucken :
Gs = us
+- J {W,81, i-[grad x,@In}
do.
(0s)
Wegen der aus (6) folgenden Rotationsfreiheit des Vektors
%=-
c
i-\U gilt
~($5
+- grad y
(y ist das Supraleitungspotential, das fur mehrfach zusammenhangeden Bereiche
eine wesentliche Rolle spielt). Dies setzen wir in die Gleichung fur G, ein, verwandeln zwei der entstehenden Flachenintegrale in Volumenintegrale zuruck und
wenden auf diese GI. ( 5 ) sowie (4) an. Dann entsteht
Q, =
us- c .f W ,
(08)
Die Vektorbeziehung
do
+ 71 J (grad [ y + XI, 3')dt.
(3)
+
(3,grad ry XI) = div (3[y -I- XI)- (y i-X) div SZ,
die Divergenzfreiheit von Gz (stationares Feld!) und das Verschwinden von
a n der Oberflache des Supraleiters ergeben das Nullwerden des Volumenintegrales
so daB man schlieJ3lich erhalt
Gs
in Ubereinstimrnung mit (7).
,&
usi-c J
(0s)
[@, GIn do,
F. Beck: Spezielle Form des elektrodynamischen Potentials von Supraleitern
3 13
V s und G, sind identisch fur den einfach zusammenhangenden Supraleiter,
fur den sich ein Potentialfeld und ein Induktion-s finden lassen, die im AuDenraum dieselbe Feldverteilung hervorbringen wie der Supraleiter. Aus den so
vorgeschriebenen Randwerten und der Rotationsfreiheit von
ergibt sich dieser
Vektor eindeutig. Fur die Induktion % dagegen ergibt sich eine weitgehende
Willkur, sie hat neben den vorgeschriebenen Grenzwerten lediglich der Bedingung
der Quellfreiheit zu genugen. Wie aus GI. (9) ersichtlich, kommt es fur das Potentrial G nur auf @tang-und damit auf Bnormal
a n der Oberflache des supraist aber durch die Randwerte und die Divergenzleitenden Bereichs an. Bnormal
freiheit eindeutig bestimmt. Die verschiedenen moglichen Werte fur den Vektor
‘23 fuhren demnach zu ein und demselben Potential G.
Fur geometrisch einfache Falle 1aBt sich ein solches Feld leicht angeben. so
ist, z. B. fur den unendlich ausgedehnten Draht oder die unendlich ausgedehnte
Platte im homogenen Longitudinalfeld $ 0
8
5
-
Fur
%
@ = @O.
kann man in diesem Falle setzen
gleich dem Mittelwert des wirklichen Feldes @ uber den Querschnitt des Supraleiters, d a der FeldfluD durch diesen erhalten bleiben muD. Man weiD zwar hier
nichts uber die Randwerte am (unendlichen) Ende des Supraleiters, aber die Quellfreiheit von @ fordert, daD beim Ersatz des wirklichen Feldes durch das fiktive
keine neuen Kraftlinien hinzutreten.
Fur kompliziertere Falle wird der Umweg uber das Ersatzdiamagneticum
immer umstandlicher sein als die Benutzung der der Elektrodynamik der Supraleitung gerecht werdenden Funktion V , ganz davon abgesehen, daD fur mehrfach
zusammenhangende Bereiche der erstere Weg unmoglich ist.
B e r l i n - D a h l e m , Kaiser-Wilhelm-Inst,itut fur physikalizche Chemie und
Elektrochemie.
(Rei der Redaktion eingegangen am 4. Januar 1952.)
Ann. Physik. 6. Folge, Ed. 10
21
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