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Einfache harmonische Schwingungen der Luft in Rhren und die durch sie erzeugten Staubfiguren.

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A9 4.
1917.
ANNALEN DER PHYBIK.
VIEBTE FOLBE. BANI) 58.
Im AnschluB an die Untersuchungen in meiner h u g u r a l Dissertation') gebe ich im folgenden einige v d s d Naeb
triige sowie ergiwende und erweiterade ?h&mhungen auf
Grund der dort aufgestellten Theorie iiber Sehwingungsvorgiinge
in Rohren, wie sie einfachen harmonischen Tonen entsprechen.
Es handelt sich dabei vor allem auch urn mathematkche
Untersuchungen iiber stehende Wellen, die durch Reflexion
an einem offenen Rohrenende erzeugt sind.
Wir betrachten ebene Schallwellen, wie sie in Rohren
entstehen, wenn die Erregungspunkte uber den ganzen Querschnitt senkrecht zur Achse mit konstanter Dichte verteilt
sind. Wir setzen ferner voraus, daB die Erregungspunkte
nur einfache harmonische Schwingungen volifuhren, wie sie
durch die reine Sinusfunktion dargestellt werden. In gegebener Entfernung von den Erregungspunkten sol1 eine
ebene Grenzflache zweier Gase verschiedener Dichte vorhanden sein, oder aber die Rijhre mag dort entweder durch
eine feste Platte luftdicht verschlossen sein oder offen mit
dem freien Raume kommunizieren.
Die durch solche Umstande an den Ychwingungsvorgangen
hervorgerufenen Erscheinungen nennen wir bekanntlich Reflexion.
Wir konnen nun einerseits aus den als bekannt vorausgesetzten Gesetzen der Reflexion oder Spiegelung die Gleichungen fur die durch sie bedingten Bewegungszustande ableiten, aber andererseits auch aus den rein praktisch gegebenen Bedingungen der Reflexion, wie sie oben naher dargelegt sind, die Gleichungen der Bewegungszustande auf1) 1naug.-Dies.Bonn, Leipzig 1916; Ann. d. Phys. 48. p. 693. 1916.
22
Amden der Physilr. 1V. Folge. 6%
G. Schweiht.
834
stellen und aus diesen die Gesetze der Reflexion ableiten. Der zweite Weg ist offenbar instruktiver, da er
aus den gegebenen Bedingungen die Gesetze der auftretenden
Erscheinungen entwickelt.
Bezeichnen wir die Rohrenachse als x-Achse des KOordinatensystems, dessen Ursprung in der Ebene der Erregungspunkte liegt. Die Richtung des fortschreitenden Schalles
sei die positive Richtung der x-Achse. Die Ebene der Reflexion habe die Gleichung:
x=xo ;
beriicksichtigen wir noch, daS die Schwingungsenergie mi t
wachsender Entfernung vom Ursprung eine Absorption erfiihrt, die durch das Exponentialgesetz bestimmt sei, so wird
die Gleichung der fortschreitenden ebenen Schallwelle:
( zs);
A l ~ = s . e - b z . s i n xt - -
(1)
%=2n.n,
wo A , e die dem Schall entsprechende Dichteanderung, s der
maximale Wert dieser Dichteanderung im Ursprung (x=O, t =O),
b der Absorptionskoeffizient, t die Zeit, n die Schwingungszahl des einfachen Tones pro Sekunde und a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schwingungen im gegebenen Gase
ist. Der Absorptionskoeffizient b ist hier ein MaS fur die
allmahliche Abnahme der Dichteunterschiede mit der Entf ernung.
Geht man hingegen von der Verschiebungsgleichung:
( - -3
y = A . e - b z . sin% t
aus, so ist b natiirlich ein MaB fur die Abnahme der Amplitude ( A ) .
8
1. Reflexion durch Energieetauung.
Wir definieren zunachst ganz allgemein die Reflexion als
eine Zustandslnderung in den Schwingungsvorgiingen eines
Mediums, die durch eine Diskontinuitatsflache hervorgerufen
wird d. h. durch eine solche Flache, an der die Funktion,
welche den Schwingungszustand des Mediums darstellt, eine
Unstetigkeit aufweist oder, was dasselbe besagt, an der
die Zustandsanderungen, die den Schwingungsvorglingen entsprechen, einen Sprung erleiden.
Eivfache harntonische Schwingungeti der Luft an Rohren usw. 385
Man unterscheidet nun bekanntlich zwei wesentlich verschiedene Flille der Reflexion, namlich: 1. die Reflexion an
rinem ,,akustisch dichteren" Medium; 2. die Reflexion a n
rinem ,,akustisch diinneren" Medium. Betrachten wir zunachst den ersten Fall. Das Wesentliche, was hier ganz allgemein die Erscheinung der Reflexion charakterisiert, ist
die geringere Fortpflanzungsgeschwindigkeit im zweiten Medium, wodurch an der Trennungsflache eine ,,Energiestauung"
stattfindet. Es wird daher diese Art der Reflexion durch jeden
beliebigen, eine Unstetigkeit in dem schwingenden Medium
bedingenden Umstand hervorgerufen, der die weitere gleichmZiSige Ausbreitung der Schwingungsenergie hindert, und
ich bezeichne aus diesem Grunde diese Art der Spiegelung
ganz allgemein als ,,Reflexion durch Energiestauung" oder,
was das gleiche besagt, ,,durch Energieverdichtung".
Die Bewgungsenergie eines--Schwingungsvorganges steht
in direkter Beziehung zu den Dichteunterschieden ( A e). Eine
Stauung der Energie bedingt eine Vermehrung derselben,
d. h. eine VergrOBerung von d e. Die Gleichung (1) fur A , e
ergibt an tler reflelitierenden Ebene cc = ro zuniichst die
1)ichteanderung :
(1 a)
( 2)
( A , g)% = s. e - * q . e m x t - - .
*
Die Y'rrgroBerung, welche A l e erfahrt, bringen wir nun da(lurch zum Ausdrucli, daB wir einen Paktor [l r ; r > 01,
tler grol3er ist als 1 , hinzusetzen, so daB der durch die Heflexion veranlaBte Zustand in x = ro endgultig durch dit.
Beziehung bestimmt ist :
+
(2 a)
( A q x , = s. (1 + r)
-
e-bro.
3.
einx t - --
(
1)iese Gleichung konnen wir in zvei Trile zerlegm:
Iler erste Teil der rechten Seitc ist identisch mit ( l a )
und war oben mit (Al& bezeichnet worden. Er stellt somit
(lie Dichteanderung dar, vie sie durch die fortschreitende
Schw-ingungsbewegung allein bewirlit wird. Der zweite Teil
entspricht aber seinerseits einer ganz analogen Zustands22 *
G. Schweikert.
836
gnderung, die sich in der gleichen Weise im ersten Medium
ruckwiirts ausbreiten muB wie jene; denn der Vorgang der
Ausbreitung ist allein durch die Eigenschaften des Mediums
bedingt.
Indem wir nun diesen durch den zweiten Teil (d,e),
obiger Gleichung charakterisierten Schwingungsvorgang als
einen selbstandigen, abgesonderten ProzeS betrachten, bezeichnen wir ihn als ,,reflektierte Welle", deren Gleichung
in derselben Weise erhalten wird wie die der ,,einfallenden
Welle"; es ist nur zu berucksichtigen, daJ3 sie von anderen
Erregungspunkten ausgeht und in entgegengesetzter Richtung
fortschreitet. Diesen Urntiinden wird Rechnung getragen
durch eine Transformation des Koordinatensystems. Bezeichnet man die neue Variable allgemein mit XI, so rrhiilt
man fur die reflektierte Welle die Gleichung:
(2)
(
( ~ I ~ ~ ) = s . r . e - ~ z ' - s ti -n -x
3.
Die Transformation des Koorclinatensystems best eht nun
auf Grund des Gesagten in einer Translation des Ursprunges
llings der Abszissenachse (urn eine gewisse Strecke c) untl
in einer Drehung um 380°. Somit gilt die Substitution:
2) = - x + c .
Setzt man diese;in obige Gleichung ein, so ergibt sich:
. .
dap = s r e t b ( z - 4
.sin x (t + 2
L
.
uc)
I n der Ebene x = xo wird im besonderen:
(3 a)
- .
( A , @ z ~ , =s r
ea(q-e).
sinx (t + F)
.
Da aber nach (3):
QL= s
( - 3a )
r e-bzo sin x t
sein mnB, so folgt notwendig:
z' = 2z0 - 2 .
Dadurch ist die Gleichung der reflektierten Welle vollstiindig
bestimmt. Aus (2) folgt direkt:
2,-c=-
(4)
zo;
c = 22,;
1
-5 .
A, 8 = 8 . r . e - b ( z q - z ) . sin%( t - 22,
a
Ein,fache harmonische Schwingungen der Luft in Rohren usw. 337
Aus A , @ und A , e ergibt sich nun entsprechend ihrer
Definition als additive Teile von A e auf Grund von Gleichung (3) fur A e folgende Gleichung:
Dieses ist die Gleichung, welche den infolge von Reflexion
durch ,,Energiestauung" an der Ebene z =z,, bedingten Zustand des Mediums darstellt. Aus ihr folgt, daS wir uns
diesen Zustand entstanden denken konnen durch Addition
oder, was in geometrischer Ausdrucksweise dasselbe besagt,
durch Superposition der ,,einfallenden" und der ,,reflektierten"
Welle. Der Begriff der ,,reflektierten Welle" wurde durch
eine Abstraktion erhalten und ist definiert durch Gleichung (3a)
bzw. (4).
Den durch Gleichung ( 5 ) charakterisierten Schwingungszustand eines Mediums bezeichnen wir als ,,stehende Welle".
Wir haben also rein mathematisch diesen Schwingungszustand
gefunden, indem wir die Bedingungen, wie sie durch eine
Diskontinuitlitsflache innerhalb des Mediums gegeben werden,
mathematisch darstellten und sie so in die Gleichung der
fortschreitenden Schwingung einfuhrten. Dabei ergab sich
durch eine Abstraktion aus der erhaltenen Gleichung der
Begriff der ,,reflektierten Welle" und das ,,Prinzip der Superposition", zwei Hilfsmittel, die nunmehr die Aufstellung der
Gleichung einer ,,stehenden Welle", d. h. eines durch Reflexion fortschreitender Schwingungen erzeugten Bewegungszustandes, sehr erleichtern.
Zugleich ergibt die die reflektierte Welle definierende
Gleichung (4) das Gesetz der Spiegelung, und zwar zunlichst
fur den Fall der Reflexion an einem ,,skustisch dichteren"
Medium oder - in obiger Ausdrucksweise - fiir den Fall
der Reflexion durch ,,Energiestauung". Wie Gleichung (4)
lehrt, scheint die reflektierte Welle von Erregungspunkten
auszugehen, die sich in demselben Abstande wie die ursprunglich erregenden Punkte jenseits der spiegelnden Ebene befinden, oder mit anderen Worten: ,,Die infolge von Reflexion
durch Energiestauung bedingte Anderung des Schwingungszustandes ekes Mediums ist genau die gleiche, wie sie durch
538
G'. Schweikert.
eine zweite Welle hervorgerufen werden wurde, die ihren Ursprung in Punkten mit derselben Entfernung wie die erregenden
Punkte jenseits der reflektierenden Ebene hat, wenn sich
beide Wellen nach dem Prinzip der Superposition entsprechend
der Addition ihrer Gleichungen zusammensetzen."
0 8. Beflexion duroh ,,Bnergieent.iehungc4.
Das Wesen der Reflexion an einem ,,akustisch diinneren"
Medium mit groJ3erer Fortpflanzungsgeschwindigkeit als das
erste Medium besteht im Gegensatz zum vorigen Fall in einer
,,Energieentziehung" oder ,,Energieverdiinnung". Wie bei geringerer Fortpflanzungsgeschwindigkeit im zweiten Medium
sich die Energie in derselben Zeit uber eine geringere Strecke
fortpflanzt und dadurch eine Verdichtung der Energie, gewissermal3en ein hoheres Potential an der reflektierenden
Fliiche auftritt, so tritt in diesem zweiten Falle ein niederes
Potential, eine ,,Energieentziehung oder -verdiinnung" ein.
(Das Potential an einer bestimmten Stelle ist dabei zu messen
durch die maximale hderung, welche die Dichte an dieser
Stelle erfiihrt.) Daraus erkennt man, daJ3 die Reflexion in
analoger Weise wie an einem Medium mit geringerer Fortpflanzungsgeschwindigkeit durch Hinderung der Ausbreitung,
so hier durch Erleichterung der Ausbreitung zustande kommt .
In jenem Falle ergibt sich als Grenzfall die vollstiindige Verhinderung der weiteren Ausbreitung, die Reflexion an einer
absolut festen Wand. In diesem Falle dagegen wiirde in derselben Weise wie ein diinneres Medium auch die Ausbreitungsmogliohkeit nach mehr Dimensionen innerhalb desselben Mediums wirken miissen, ein Fall, der an dem offenen Ende
einer Rohre verwirklicht ist. Wiihrend sich innerhalb der
Rohre die Schwingungsenergie nur in einer Richtung ausbreiten kann, tritt am offenen Ende die Ausbreitungsmoglichkeit nach drei Dimensionen, also eine ,,Energieverdiinnung"
ein. Daher erfolgt hier Reflexion, die derjenigen an einem
Medium I& griifierer Fortpflanzungsgeschwindigkeit vollig
analog ist.
Um nunmehr den mathematischen Ausdruck fiir den
Bewegungszustand im ersten Medium zu finden, wenn in
einer bestimmten Ebene 5 =z,, Reflexion durch ,,Energieentziehung" eintritt, so ist nur zu berucksichtigen, daJ3 in
Einfache harmonisch Schwingungen der Luft in Rohren usw. 839
analoger Weise wie im vorher betrachteten Falle hier die
Dichteanderung an der reflektierenden Ebene durch Multiplikation des durch Gleichung (1a) gegebenen Wertes ( A e)%
mit einem Faktor [l - r ] , der kleiner als 1 ist [l > r > 01,
erhalten wird :
(deb= 8 (1 - r) e - b r 0 . sinx
-
Weiterhin setzen wir genau wie obeii:
So erhalten wir auch hier wieder in der gleichen Weise eine
reflektierte Welle :
(7)
und iiiithin allgemein fur den Schwingungszustand :
(';)
IA
I
p=
A, g + A, pl= s -
e-bz
- sin x (t - -3
1
- .
- ~ . r . e - b ( Z z o - ~ ) sin%
.
t - 22,
(
1;
a
Hier 1st \vie oben r > 0, aber auch r < 1; denn durch ,,Energieentziehung" kann offenbar die vorhandene Energie hijchstem
auf Null herabsinken.
Gleichung (7) gibt nun iwiederum das Gesetz der Spiegs
lung. Auch hier, bei Reflexion an einem akustisch diinneren
Medium oder - allgemeiner - bei Reflexion durch Energieentziehung, scheint die ,,reflektierte Welle" von Punkten
auszugehen, die sich in der gleichen Entfernung mie die erregenden Punkte jenseits der spiegelnden Ebene befinden.
Das negative Vorzeichen lehrt aber, daB sich die erregenden
Punkte und ihr Spiegelbild gleichzeitig in genau derselben
absoluten Richtung verschieben. Wenn also die Erregungspunkte bei ihren Schwingungen sich der reflektierenden Ebene
nlihern, entfernen sich ihre Spiegelbilder von dieser Ebene
und umgekehrt. Diese Eigentumlichkeit, daB die Welle gleichSam bei'der Reflexion das Vorzeichen ihrer Amplitude umkehrt,
kann man bekanntlich dadurch ausdrucken, daB man sagt :
Bei Reflexion an dem akustisch diinneren Medium (durch
84Q
G. Schweikert.
Energieentziehung) ,,geht eine halbe Schwingungsperiode ver-
loren".
Fur die Verschiebungsgleichung ist es naturlich gerade
umgekehrt ; denn hierbei werden durch ,,Energieentziehung"
die Amplituden vergroBert, durch ,,Energiestauung" dagegen
verkurzt. Daher erhalt die reflektierte Welle in jenem Falle
das positive, in diesem dagegen das negative Vorzeichen, d. h.
bei Reflexion durch Energiestauung ,,geht eine halbe Wellenlange verloren".
0 8. Die Gleiohung der etehenden ebenen Welle.
Die Gleichungen ( 5 ) und (6), die fur beide Falle der
Reflexion die Form der stehenden Welle geben, unterscheiden
sich nur durch das verschiedene Vorzeichen des zweiten Teiles
der rechten Seite. Man kann somit beide Gleichungen in
eine zusammenfassen, wenn man nur bemerkt, daS fur den
Fall der Reflexion durch Energiestauung 1 > r > 0, fur den
Fall der Reflexion durch Energieentziehung dagegen - 1<r<O
sein soll. Daher wird nllgemein:
Durch Umformung erhiilt man l) :
wo :
ist. Die Gleichung (9) ist die allgemeine Form einer stehenden
einfachen harmonischen Schwingung, wie sie sich als allgemeine Losung der entsprechenden Differentialgleichung ergibt, in der jedoch die Koeffizienten (A, B, C) unbestimmt
bleiben.
1) Vgl. meine Bonner Dissertation. LeipZig 1916.
Einfache harmonische Schwiqungen der Luft in Rohren usw. 341
Setzt man:
+ C. sinx-a“1 = J . c o e r z ,
s - [ ( A - B) - sinx- + C. coax;
a
“I = J .singr,
a.
[(A + B ) c o e x z
X
so erhiilt man statt (9):
(10)
d e =J.sinx(t-~)
Dabei ist:
(1Oa)
[
J a = 6 %A
.
”1
a + B a + O + 2 A B . 0 0 8 x ~ + 2 A C . s i n ~; ~
X
(lob) t g x r
.
2
( d - B ) * a i n x - +C.coexa
a
= __
~-
-
X
(A+B)-cosxa
+ Cosinw-1a:
X
( A - B ) . tgxa + C
=e-
d+B+C.tgx;
X
Untersuchen wir zuniichst, ob es irgendwelche Stellen gibt,
an denen d e dauernd Null wird, d. h. die Dichte uberhaupt
keine k d e r u n g erleidet. Gleichung (9) zeigt, daS dieses nur
da der Fall ist, wo:
X
X
(A + B) - COB x + C - sin x 5a = (A - B) - sin x a
a
+ C . c o s x - ;X
=0
ist, und mithin:
C
=-- A - B
A+B
X
Q x a = - -c
-
ist. Daraus folgt zuniichst:
(1la)
Ca
B’ ;
oder :
e-2bz
(12)
-
A’ = Ba + C”
= TI.e-2b(2z~-z);
fr
TB
= e4b(zo-z).
= e2bko-z).
Da die rechte Seite der Gleichung eine positive GroSe ist, so
mnS auf der linken k i t e das ,,+“-Zeichen stehen, wenn
r > 0, d. d. bei Reflexion dureh Energiestauung; dsgegen
das ,,--“-Zeichen, wenn Y < 0 ist, d. h. bei Reflexion dnrch
Energieentziehung. Da zudem Irl S 1 ist, so mnS s z
sein. Wenn also die stehende Welle dureh Reflexion erzeugt
wird (IT] < 1, b 0), so gibt es keine Btelle, an der die Dichte
G. Schweikert.
342
unveriindert bliebe. Nur falls die stehende Welle durch Interferenz zweier liings einer Geraden entgegengesetzt fortschreitenden ebenen Wellenziige gebildet wird, wobei dann der
Abstand der Ausgangspunkte 2 5 betragt, bleibt die Frage
nach der Moglichkeit solcher Stellen offen. Ihre Beantwortung
ist leicht durch Weiterverfolgung der Gleichungen (11) und
(12) zu finden.
Nehmen wir jedoch an, daI3 Irl = 1 ist, so muB nach
Gleichung (12) entweder b = O oder x = xo werden. Wenn
also die Reflexion vollkommen ist, jedoch die Schallenergie
Absorption erfahrt, kann nur an der reflektierenden Ebene
die Dichte ungeandert bleiben, und zwar nariirlich nur fiir
r = - 1, d. h. bei Reflexion durch vollkommene Energieentziehung in der Ebene z = xo. Dieses folgt auch sofort
aus Gleichung (11); denn fur r = 1 ; b TO; x =x,, wird:
A=e-b%;
B=~-~%.co~x
C=
%e -;b r o . s i n r E 0 .
+
a
Daher :
tg x
a
2,
22 0
sin x -
1 +cosx- 2 2 0
a tgx- =
a
20
sin x 2
a
- 1-cosx- a2
50
tga.5
a
20
=--- 1
.
t g x e2 0
= - 1.
wird also imaginiir; es gibt keinen reellen Punkt, in
+
dem die Dichte ungeandert bleibt, wenn r = 1; b
Setzen wir dagegen r = - 1 ; b 9 0; x = xo, SO wird:
B == - e - b z o . coax%;
A = e-";
a
und daher nach (11):
-
'
a
tgx5=
a
22
~-coex-~
a
.
- sin%-
220
a
3
c =- e-bq
- s i n r -2a,
- s i n % 2%
a = - t g x a2 0
1 +cosx-
0 ist.
20
-
'L 2
,
a
Die Gleichung wird also jetzt durch jeden Wert von zo identisch befriedigt ; bei Reflexion durch vollkommene Energieentziehung (r = - 1, b T 0) bleibt die Dichte in der Ebene
z = ungeihdert, was ja an sich evident ist.
Nur im idealen Grenzfall der vollkommenen Reflexion
und ungeschwiichten Fortpflanzung (Irl = 1; b = 0) ist bekanntlich in jedem Bauch die Dichte konstant.
Einfache harmonische Schwingungen der Luft in Rohren usw. 343
8
4.
Die Stellen extremer Anderung der Diohte.
Wir hatten im vorigen Paragraphen den Schwingungszustand ebener Wellen allgemein durch Gleichung (10) dargestellt :
A e = J . sin x ( t - t) .
wobri :
P = sp. (AZ
+ BB+ CY+ ~
+~
A Bcoax:
.
A Csinx. 2az )
und :
X
( A - B)tgx;
tgxr =
+c
B+B+C.tgw-
X
a
ist. A p nimmt also an solchcn Stellen z extreme Werte
an, wo IJI ein Maximum oder Minimum hat. Wir finden diese
Stellen durch Nullsetzen der ersten Ableitungen von J2.
Wir nehmen zunachst einige Umformungen der W-erte J 2
und tg x z vor. Mit Hilfe der Gleichungen des vorigen Paragraphen erhalten wir :
sinw-
(14)
tgxr
X
2% + r - e - '2 b (z0 - z) .
a
.
2x0-z'
+ r e - ? b ( a - COB x &%
a
= -~
X
COB%-
a
C)
a
a
Gleichung (13) fuhrt nun unter T'crnachlassigung von s2 zu:
1)irse Gleichung gibt die Stellen z extremer Dichteanderung.
Urn die Maxima und Minima zu ermitteln, ist die zweite Ableitung von J 2 zu bilden. Xach (15) wird:
G. Schweikert.
544
Daraus folgt zunachst : Wenn
r - c o ~2x( z , - 4 < 0
a
ist, so hat J2 sicher ein Minimum. 1st dagegen
r e c o a x 2 k - A > 0,
so hat J 2
1. ein Maximum, wenn:
b”(1
+r2.e-4b(%-z))<2.
(G)’. .
T
2. ein Minimum, wenn:
b a n(1
a
+ ra. e - 4 b k - 4 ) > 2 -
(.-“I2 .
e-zb(?o-z),
e-2bb-d.
co~x2(20-?)*
a ’
-
cosx--2 (so - 4
a
Mithin gibt x ein Maximum oder Minimum der Dichteanderung, je nachdem:
(17) z.
1 (!!?)’. e?b(%-d. [1 + r 2 , e - 4 b ( % - z ) - = r . COB%-- 2 (so - 4
I=-
a
ist. Da die linke Seite dieser Ungleichungen ihrem Wesen
nach positiv ist, so sind hierin die Bedingungen:
r - c o s x 2 (zoa- 4 0
gleichfalls enthalten. Gleichung (16) wird durch 2 = zo identisch befriedigt, wenn Irl = 1 ist, nicht aber, wenn Irl < 1
ist. Es lie@ demnach nur bei vollkommener Reflexion an der
reflektierenden Ebene ein Knoten oder Bauch, und zwar,
wie Gleichung (17) zeigt, ein Knoten, falls r > 0, d. h. bei
Reflexion durch Energiestauung ; dagegen ein Bauch, wenn
r < 0, d. h. die Reflexion durch Energieentziehung erfolgt.
Die Gleichung (16) hat aber nur dann eine ’reelle Losung
fur x, wenn:
ist, wobei g(x) zur Abkurzung fur:
e2ah-z)
-
r2.
e-abh-4
gesetzt ist. Andernfalls gibt es wenigstens fur entsprechend
kleine Werte von 5, d. h. in hinliinglicher Entfernung von
der reflektierenden Ebene, keine Stellen, an denen J 2 einen
extremen Wert annimmt. Das erkllirt sich daraus, daS bei
groI3en Werten des Absorptionskoeffizienten die reflektierte
Einfache hamnonische Scht&gungm der Lufl in Rohren usw. 546
Welle schlieSlich so gesehwacht wird, da13 sie gegeniiber der
einfallenden Welle faat verschwindet. Man kann j a die Sehwingungsvorgiinge gewissermahn in eine rein stehende Welle und
eine rein fortschreitende Welle zerlegen, wobei die Amplituden
dieser beiden Wellen von dsr GroBe von b und Irl abhangen.
Je groSer b und je kleiner 171 ist, um so kleiner mnS die Amplitude der stehenden und um so groBer diejenige der fortschreitenden Welle werden. Es wird also fur bestimmte Werte
von b und Irl in entsprechender Entfernung von der reflektierenden Ebene die Amplitude der fortschreitenden Welle
die der stehenden Welle iibertreffen und daher J2 seine extremen Werte als Funktion von z einbukn miissen. Dieses
tritt, wie Gleichung (16) lehrt, dann ein, wenn:
wird, und zwar ersieht man, da8 je grol3er die Wellenliinge 1
und je groSer daher auch z,,und g (2) bei extremer Resonanz
werden, um soviel kleiner b (wenn wir r als nahezu gleich 1
voraussetzen) und mithin uni so weiter die Rohre sein muB.
Em also iiberhaupt in einiger Entfernung von der reflektierenden Wand noch stehende Wellen zu erhalten, ist es notwendig, dal3 die Rohre urn so weiter ist, je griiSer die Wellenlange ist. Es ist ja eine bekannte Erscheinung, daS tiefe Tone
nur in hinlanglich weiten Rohren stgrkere Resonanz hervorrufen, und fur ein und denselben Ton muB die Rohrenweite
uni SQ groBer sein, je lhnger die Rohre ist. Zudem nimmt
aber g(z) - wie natiirlich auch I / l r l - mit wachsendem r
ab. Und deshalb kann bei gegebener Wellenlange die Rohre
hinwiederum um so enger und langer sein, je vollkommener
dir Reflexion ist. 9 (z) erreicht als Funktion von z seinen
grijl3ten Wert fur z =O.
Sol1 also die stehende Welle im
Verlaiife der ganzen Riihre vorhanden sein, so muB:
oder :
sein.
346
G. S’chweikert.
Wir bestimmen nunmehr fur die einzelnen Falle der
Reflexion die Lagen der Knoten und Bluche. Es sei:
I. r > 0. Die Reflexion erfolgt durch Energiestauung.
Dann lehrt Gleichung (16), daB:
stets positiv ist, da auch:
- 72.
g(3) = e + Z % - z )
e-Zb(q-4
>0
ist; denn 5 ist auf das Intervall 0 < 5 < z, beschrankt.
Daraus folgt zuniichst, daB:
2 m . n < ~ . 2 ( x ~ - x )< 2 m n + n
a
ist. Wir spalten dieses Intervall in zwei Teile, die wir gesondert betrachten:
-
(19)
-
- x) < 2 m n + 2,
1
< - z < (4m + 1)- I ;
2
n+
< 2 - t ( x 0 - x) < 2 m n + z,
2 m n < 2 5 .(xo
a)
also:
b)
m
2m
oder :
(4m
‘IT
a
to
+ 1)81 < xo - z < (2m+ 1) -1y
I n dem durch (19a) gegebenen Intervall ist:
sinxa2 8 > 0 und cosx;2 8 > 0 [ l = q,- z];
in dem durch (19b) bestimmten dagegen:
cosxs
a
< 0;
sinxa2 8
> 0.
Kach (17) erhalten wir aber ein Maximum oder lllinimuni,
je nachdeni:
cos x
2(2”,-x) =($)z.
eab(~-z)+r**e-2b(Q-z)
~
2r
ist. Da die rechte Seite eine positive GroBe ist, so gibt (19b)
auf Grund des Gesagten sicher ein Minimum; denn der Kosinus
ist in diesem Falle negativ. Wenn iiberhaupt ein Maximum
vorhanden ist, so liann dieses nur durch (17a) bestimmt
werden. Gleichung (16) ergibt nun weiter:
Einfache harmonische Schwingungen der Luft i n Rohren usw. 347
oder :
Xun
= XO
-
1
2
1 .
. a-b
-arcsin
4n
x
0
s(xn).
~2r’
< arcsin < n
so- zm ist der Abstand der m . Extremumstelle von der reflektierenden Ebene. Wir bezeichnen ihn mit 5,. xm dagegen
ergibt den Abstand der mten Extremumstelle von der Tonquelle; doch ist auch jetzt m von der reflektierenden Ebene
aus zu zahlen.
Beschranken wir den Arcussinus auf das Intervall (0, n/2),
so gibt (20), wie wir sahen, die Maximumstellen, d. h. die
Knoten. Nehmen wir dagegen den Wert vom Arcussinus aus
dem Intervall (n/2,n), so ergeben sich die Minimumstellen,
d. h. die Bauche.
Fur die Lage der Knoten und BRuche haben wir also
folgende Gleichungen :
a) Die Lage der Knoten ist bestininit durch:
B) Die Lage der Bauche wird bestimmt durch:
Da sin a =sin (n- a) ist, konnen wir statt dessen schreiben:
G. Schweikert.
340
bzw. :
wobei jetzt ebenfalls:
o < arcsin <
ist.
11. r < 0. Die Reflexion erfolgt durch Energieentziehung.
Nach (16) wird jetzt:
stets negativ. Es muB also:
2ma
+a<2-
(xo
- x ) < (2 m + 2 ) - a
sein. Wir unterscheiden wiederum :
(22) a) (2 m
+ 1) - a < 2 - - (xo - x ) < (4 m + 3 ) - 3
odm:
1
+ 1) 7
< x0 - 3 < (4 m + 3)
(2
*
7
*
- x ) < 2 ( m + 1)
1
1
(4m+3)~,<xo-x<(m+
1 ) - 2-
(22) b) ( 4 m + 3).
oder:
1
*
7z
<2
+(xo
m,
Im Intervall (22a) ist:
coax
2(2,
- 4 < 0,
a
im Intervall (22b) dagegen:
coax 2 (zoa- 4
> 0.
Die Gleichung (17) gibt wiederum ein Maximum oder
Minimum, je nachdem:
ist. Die rechte Seite der Ungleichungen ist stets positiv; also
gibt. die Bedingung (22b) sicher ein Minimum, d. h. einen
Bauch, und deshalb kann ein Maximum, d. h. ein Knoten,
nur durch (22a) bestimmt werden.
Einfache harmmkche SchzoingUngen der Luft in Rohren u8w. 349
Wir entwickeln vollig analog wie oben:
2mn] = Qb. So = - _
o b. g(5) .
*
x
xo
- x,, = 3
1
L
2r
Blrl
x
1
+. arcsin = b . g(z-)4n
x
2r ’
!lc<msin<2n.
Daraus folgt :
a) Die Lage der Knoten wird gegeben durch:
oder :
la
m
2.a = 2 0
I +1 - -in
.2
42z
n<arcain<Tr.
8
a b - g(t-);
x
2r
A a b .o(z,).
- - -21 - arcsin-437
x
0r
,8) Die Lage der Bauche gibt folgende Gleichung:
=m
1
ab
. -Y1 + 4-_.
ms1n--.
n
x
g ( € ).
2r
’
3
-2- n < a r c a i n < 2 a
xu = xo
- m . -1 - 1 . arcsin-a b . 9(%).
4n
2r
2
x
Die beiden letzten Gleichungen konnen wir wegen der Beziehungen sin (a n) = - sin a ; sin (n- a) =sin a in folgender Weise umformen :
+
o < arcsin <
+
b m .:
o<arcsin<+.
Alle diese Gleichungen ergeben Verschiebungen der Knoten
und Bhche, und da der Arcussinus seherseits nooh eine
Funktion von 5, bzw. s,,,ist, 80 nehmen diem Versohiebungen
fur jeden einzelnen Bauch und Knoten andere Werte an.
Ann.len der Phndk. IV. F o b . 61.
23
G. Schweikert.
360
Desgleichen iindern sich die Verschiebungen mit dem Werte
von r, d. h. der GroSe der Reflexion. Dagegen wird der
Abstand (E) der Knoten und Bauche von der reflektierenden
Ebene nicht beeinflat durch die Entfernung (q,)der Erregungspunkte vom reflektierenden Ende ; vielmehr liegen
Knoten und Biiuche stets an der gleichen Stelle, welchen Wert
such immer der Abstand (q,) zwischen Erregungspunkten
und reflektierendem Ende annehmen mag.
Q 6. Die Amplitude (J)der etehenden Welle.
Wir berechnen nun die GroJ3e (P) der Schwingungen
bzw. der Dichteiinderungen in den Knoten und Biiuchen.
Gleichung (13) gab folgenden Wert:
J2
[
= 8 2 . e-2bo
+~
2
e-abh-z)+
.
2 + . ,-Zap.
~ 0 s ~ -
a
Aus Gleichung (16) folgt:
1.
2r
Mithin wird:
JB
L5)(
.(e2)6-
= s2. e-Zb%
+ r*.e - 2 b C n f l/4
+2
-
($r
.(eabhn-
72.
e
- 2 b4n
2
1 9
wobei &, der Abstand des Knotens bzw. Bauches von der
reflektierenden Ebene, durch (21) bzw. (23) bestimmt wird,
und das positive oder negative Vorzeichen der Wurzel zu
nehmen ist, je nachdem J fur einen Knoten oder einen Bauch
zu berechnen i d .
Wenn null a b / x ein hinlanglich kleiner Wert und Irl
nahezu gleich der Einheit ist, so kann der Subtrahend unter
der Wurzel vernachlassigt werden, und es ergibt sich folgende
einfache Beziehung :
J2
= 3 2 . e-2b". [eb$m f Irl. e-bCn]Z;
J = s. e - * % . [ebt-f
I+].
e-bt-1.
Setzen wir noch Irl = 1, so wird in den Knoten:
(229
J X = ~ . S * G - ' * * C O & ~
~ ~ ,
Einfach b h c h Schwingungm der Luft in Rohren usw. 361
und in den Bauchen:
(26)
JB= 2s.e-b~~ssinhbgB.
Fiir den idealen Grenzfall b = 0; Irl = 1 ist schliel3lich:
Jg= 2 s ;
JB c 0 .
Indem wir an Stelle der Exponentialfunkt,ion die hyperbolischen Sinus- und Kosinusfunktionen einfiihren, konnen
wir die allgemeine Gleichung (13) fur J2:
J a ,= sa . e - 2b%
. [ # b € + f a . e - ? b e + 2 r . COB x .
$1
,
welche J in beliebiger Entfernung 6 vom reflektierenden
Rohrenende gibt,, auch in folgender Form schreiben :
S
6.
Die Phesendifferens der Knoten ond BBiuohe.
Die Gleichung (14) liiBt die Phasendifferenz der Knoten
und Bliuche leicht bestimmen. Wir gestalten zunhhst den
Ausdruck fur z zweckm8Biger. indem wir schreiben:
a *m %z- -0 - f
@ XT =
a
+ r . e - " e . s i n x - %.+ f
-.
a
~-
-F
COB x -+ r . e
zo
a
-?b5
* COBY-
s+f
a
Die Zerlegung der trigonometrischc~n Funktionen und entsprechende Zusammenfassung gibt :
Zur Abkiirzung setzen a i r :
869
G. Schweikerl.
wo q nach (27*) durch folgende Gleichung bestimmt wird:
' '
q = - -a-
2n
T = -n1-
-arctg[h(g).tgrd];
Statt (28*) konnen wir nunmehr schreiben:
Gleichung (28) l a t nun leicht die Phasendifferenz
Bauch und Knoten ermitteln:
a
rK
a
von
T
- rB = ' bx %]
2 n [Mctg [n(b)
'
- arc@ [n(M
*
tgx?]}
;
oder :
t
el9
(29)
a
T
2n
h B * t g X a- - h K * t e ; x y
~
EB
1 + h ~ h- ~t g x. - - .
a
tgx-
&K
T
= -*arCtg&,
2n
a
worin & und EB durch (21) bzw. (23) gegeben sind.
Berechnen'wir aus (16) den Wert von
tg x - 6
a
fur die Knoten und BSiuche, so erhalten wir folgende Besiehungen:
Ehfache hamonische Scluacngwngsn der Luft in Rohrm taw. M8
wo aur Abkuraung:
gesetat ist. Mit diesen Gleiohungen ergibt eioh ftir u folgender
Wert :
Setzen wir nun wiedenun wie im vorigen Paragraphen
voraus, daS
gegen 4 r8 au vernachliissigen sei, so wird :
fB=o:
f K = 2 .
und mithin:
(30)
ab
1
-.-.
8
=
?B.hB
~.
'
)
:
f
(
. :p . g n . h,j . g K . hK
-
. A T . .
ab
1
(ebtK-r.e-b(4'
Die Phasendifferenz a zwischen Knoten und Bauch erhiilt
also fur hinlgnglich kleines 1. b und grohs Irl den Wert:
Betzen wir noch Irl =1, so ergibt sich den Gleichungen (26)
entsprechend :
Und fur den idealen Grenzfall b = 0; Irl = 1 wird sohliel3lioh:
a = -J--=T~-~~.
T
Das ist die bekannte Tatsache, daS fiir ideale stehende Wellen
(b =0, irl=1) die Phasendifferenz eftisohen Knoten und
darauf folgendem Bauch eine Viertelperiode ( T ) der Elohwingung betr8gt.
G. Schweikert.
064
Q
7.
Zlllurmmenetellung der hanptagohlioheten Formeln nnd
Beiepiele.
A) Reflexion durch Energiestauung: r > 0.
1. Die Lage der Knoten: Gleichung (21) a).
. 1 + -.1
A
*
a b m S C l )4 =
arcsinm'T+pK;
m 2
In
a 3 A
-
2m'
x
g(&J = G a b € -
2r
x
-.
o < arcsin < E
2 '
- ra - e - 2 b € - =
-
(1 - 9) coeh2b$r
+ ( 1 +t')sinh4bg.
-
A
1
*
ab - 9(%).
arcsin
z- = zo - m -2
4n
x
2r '
2. Die Lage der Bluche: Gleichung (21)
p).
1
- a b s(€ 1
t,,,= (2 m + 1) . A - In
. arcsin
-2
x
2r
=(2m+
z,,,
a z
,,- (2 m
+ 1) - A + 1
4n
l ) s P 1- / ? ~ .
. 2r
ab g(4.
arcsin x
'
o < arcsin <
-
3. Der Wert J der Diohtelnderungen an beliebiger
Stelle t : Gleichung (18).
=$.e-ab%.
= 82-
e--2b%
eabE+
+ 27 . c o s x x
r'.e-aaE
- [(l + ra)- cosh2bg + (1 - r')
sinh2bg + 2 r .
B) Reflexion durch Energieentziehung: r < 0.
1. Die Lage der Knoten: Gleichung (24) a).
g,,,=((Zm+
1 ) - -1+ - - . 1
4
z,,,
= zo- (2 m
4n
arcsin a b .-'
arcsin-a b .9(&lI)
A
+ 1) - -4L - 4n
x
214
x
g(U.
2lrl
o < arcsin < p
Einfache harmonische Schwingungen der Lujt in Rohre 2 usw. 565
2. Die Lage der Bauche: Gleichung (24)
Em = m .
I
.
1
- an. arcsin
ab
--
x
- g(5,)
--
2lri
p).
'.
I + -I . arcsin a b- .2
~ ( 2 : )
- m ..
2
4%
219-1
Tt
0 < arcsin <
g (g) = e 2 a t - r2 - e - 2 b t = (1 - r2)- cosh 2 b 6
xm = xo
X
;
+ (1 + r') - sinh 2 b t .
Hinsiohtlich des Wertes von r , welcher die GroBe der
Reflexion charakterisiert, konnen wir drei wesentlich verschiedene Fiille unterscheiden, je nachdem die Reflexion an
einem inkompressiblen Medium, einem kompressiblen Medium
oder an einem offenen Ende erfolgt. Wird die Reflexion
durch ein vollig inkompressibles Medium hervorgerufen, so
wird T = 1, und dieser Fall wird an jedem luftdichten
VerschluB einer Rohre mit fast volliger Genauigkeit wreicht.
1)agegen wird a n offenen Enden bei hinlanglich engen Rohren
mit groBer Annaherung r = - 1 gesetzt werden kiinnen,
wiihrend an einem kompressiblen Medium, das ist also vor
allem bei Reflexion an Gasen, r je nach der Grolje der Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieses Mediums in weiten Grenzen
sich andern kann. Wenn wir nun speziell Irl = I setzen, so
Iassen sich die abgeleiteten Formeln sehr zweckmaljig umformen. Zunachst ist zu bemerken, daW fur ]rI = I
g(F
-) - f sinh2 b E
+
2r
mird, und daher a.llgemein:
E,,,=rn.-
(32)
r
4
.
l 1
f - arcsin - * sinh 2 6 : t )
47c
(a%b
.
IXe Grolje der J)ichte5mlerung ( J ) fui. Pincm beliebigen
Punkt 5 wird nach Gleichung (13):
J2
= s2. e - 2 L e .
[
e2LE
+ T I . e - 2 b C + 2 r . cosx 2
1.
Setzen wir:
,5266
+ 7'2 . e - 2 L t + 2 T . cos x
2E
a =
J12,
so konnen wir die GroWe von JI2leicht grometrisch konstruieren
und den Verlauf der I~)ichtr8ntlrning graphisch darstellen.
G. Schweikert.
366
Man erkeniit namlich, daB die Gleichung dem Kosinussatze
der Trigonometrie entspricht. Es sri:
ein Winkel,
und
ear=.
r.e-ba=b
die beiden den Winkel y einsch1icBendt.n Seiten, so gibt die
dritte Seite des hierdurch bestimnitrn Dreiecks J,. Wenn
also b, r uiid 1. gegeben sind,
so k m n n u n fur jede beliebige Stelle 6 die GroBe
der 1 h h tein d e ru n g und sornit auch die Kuivc~,wrlche
J,
J ,il\ h i k t i o i i von 6 gibt,
leicht tlarstellen.
Um eine Vorstellung von dvrn hchu inguiigsmtandt. zu
gewinnen, wie er durch dir abgelriteten k'oi nieln bestininit
wird, gebe ich im folgenden fur cinige willkurlichc. M-rrte von
b, r , L die entsprechenden Zahlen untl Kurven.
Die Werte von tE und tB kann man in bt,liebiger Ailnaherung berechnen, indem man zunachst den Wert 5 gleich
einer ganzen Anzahl halbei bzw. viei tel T;S'c.llenl$ngen in den
Ausdruck fur g (t)einfuhrt und SO aus den Gleichungen (21)
und (23) einen Naherungswert von tK bzw. En berechnet ;
dann diesen Naherungswert in g (6) tlinsetzt iind dadurch
einen genaueren Wrrt von 6 findet. iisf. his mi heliebigrr
Genauigkeit.
Ts1)elle I.
___
1. Knoten. . .
1. Bauch . . .
2. Knoten . . .
2. Bauch . . .
1
.-
0
24,36
51,56
72,Pl
- -
24,36
27,20
20,85
-
~
I
0
1
- 0,64
1,56
- 2,58
+
0
25
50
75
Einfache hcrrmonische Schwingungen der Luft in Rohren w . 367
T a b e l l e I (Fortsetzung).
Die We*
ftir J,* und J , Bind &us der Qleiohung
J,' = ooeh 2 b 6
+ 008 2 x 2E
1
-
bereohnet worden.
~
Einom
-___
-_
~
0
6
10
16
20
m
26
J,Z
J,'
~
-
__
2
1,814
1,329
0,736
0,272
1,414
66
1,347
60
1,163
85
0,868
70
0,622 B. 7&4l
2,478
2,120
1,862
1,342
l&M
J,
1
tinom
~
I
1,674
110
116
1,466
1,289 B.117978
120
1,168
lJ8@ 126
~
091% OW% 76
0,128 0,367
80
30
86
0,376 0,613
35
90
3,417 1,848 146
0,948 0,973
40
1,646 1,283 I 96
46
2,243
60
2,643
K. 61,M -1
1,600 K.los;Sa
Die dieaer Tabelle entaprechende Kurve vgl. Fig. 1.
B.
ZE i iE
(1/
A =
100; r =
+ 1;
35
Fig. 1.
J,*
_
b = 0,Ol cm-'
_
4,876
4,728
49704
4,748
6,132
1
J,
_
-
G . Schweikert.
558
Tabelle 11.
I
I
1. Bauch . . .
1. Knoten . . .
2. Bauch . . .
2. Knotan . . .
3. Bauch . . .
3. Knotan . . .
4. Bauch . . .
4. Knotan . . .
6. Bauch . . .
VerI
schiebung I
6 in cm
- 0,168
25.42
+ 49,31
76,06
98,64
127,15
147,27
179,23
194,78
0
+ 0,42
+
26
50
- 0,69
22.47
28,62
20,ll
31,96
15,55
I
+
j
1,066
- 1,464
55
'
1
I
+
4,230
- 5,217
E
fur b = 0
1
100
125
160
176
200
Die Werte fur J,* und J , sind aus der Gleichung:
. I , ? = (1 + r ? ) . c o s h 2 b , ' + ( l - r 2 ) . s i n h 2 b , t + 2 r . c o s 2 n . - -2E
1
brechnet worden.
I
0
5
10
15
I
0.04
0.3701 0,608
1;2007
12.2262
,I
'
11
1 1
634206
95
1 2,0373 1,43 160
1,78
165
7,8252
98954 j 1,8849 j 1337
170
9,0673
1 1,9124 1,38
1,56 1 100
176
9,8448
1,23 11 105
2,4125 1,55
0,89 110
3,4202 1,86
179928 10,0420
10,0389
4,6299 2,15
180
4981 0,6876 0,76
185
120
116 1 5.6670 2.38
9,7707
50
0,6732 0.76
9,3470
6;2243 2149 11 190
0,9708 0;98 125
55
1,8713 1,37 127,15 6,2790 2,60 1 1w78
60
2,9694 1,72 I 130
66
6,1873 2,49 I 200
.(lfLc
%%a
Die dieaer Tabelle entsprechende Kurve vgl. Fig. 2.
26,42 8,4266 1,86
30
36
40
45
3,1742
2,4366
1,6174
0,7946
'
I
~
2353
2,80
3,Ol
3,14
3917
3,17
3,13
3,06
Aus den beistehenden Tabellen erkennt man, was ja
auch ohne weiteres schon aus der entsprechenden Formel zu
ersehen ist, daB die Verschiebungen (b) der Knoten und
Bauche mit zunehmendem Abstand von der reflektierenden
Ebene bestlindig zunehmen ; wahrend aber die Vewchiebungen
der Bauche stets negativ sind, also eine Verringerung des
Abstandes bedingen, werden die Abstande der Knoten von
Einfache harmonkche Schzoingungen der Luft i n Rohren usw. 869
T a b e l l e 111.
1 = 10 cm;
~
r = + 0,707.
-~
b = 0,Ol cm-l;
~___
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
10.
10.
12.
12.
13.
16.
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knotan
Bauch .
Knotan
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Bauch .
Knoten
Knoten . .
~-
0
1
2
2,5
3
4
5
6
7
7,6
8
1,707
1,395
0,614
0,336
0,623
1,408
1,724
1,417
0,664
0,422
0,682
I
$
+0,0046
2,4948
5,ooso
7,4934
10,0073
12,4920
16,0088
17,4904
20,0104
22,4888
25,0121
27,4870
30,0139
32,4850
35,0168
37,4832
40,0179
42,4809
45,0202
47,4787
55,0254
57,4731
60.0284
70;0362
1
J,
VW-
Abstand
von Knoten
und Bauch
tincm
B
-
+ 0,0046
- 0,0062
+ o,OO60
- 0,ooSs
+ 0,0073
- 0,0080
+ 0,0088
- 0,0096
+ 0,0104
- 0,0112
+ 0,0121
- 0,0130
+ 0,0139
2,4903
2,6112
2.4874
2,6139
2,4847
2,6168
2,4816
2,6200
2,4784
2,6233
2,4749
2,6269
2,471 1
2,5308
2,4674
2,5347
2,4630
2,6393
2,4686
2,5494
2,4477
2.6653
'
i;:!
'I
mhiebung
- 0,0160
+ 0.0168
- 0;0168
+ 0,0179
- 0,0190
+ 0,0202
- 0,0213
f 0,0264
- 0,0269
+ 0,0284
+ 0,0362
,- 0,0371
+ 0,0482
+ 0,0534
+ 0,0692
- 0,0623
+ 0,0666 '
$
12
1
32
32,6
1,637 ' 33
1,836 j 34
1,555 I 36
0,929 I 36
0,688
0,869
I
1,008
0,873
1,024
1,632
1,917
1,864
Die dieaer Tabelk entepreobende Kurve vgL Fig. 3.
1
m'4
0
2,6
6
796
10
12,B
16
17,6
20
22,5
26
27.5
30
32,5
35
37.5
40
42,5
46
47,5
55
67,6
60
70
72 5
86
90
96
97,5
100
G. Schweikert.
360
I
A
= 100 cm; b = 0,006 cm-';
r = 0,8 cm
/
7
Fig. 2.
I
I .
O
s
rrd
1
1 = 10 cm; r =
+ 0,2071;
b = 0,Ol cm-'
0
1
4
1
J
2
0
u
0
s
5
0
4
5
J
Q
5
5
59
Fig. 8.
der reflektierenden Ebene kontinuierlich groBer gegeniiber
dem idealen Abstand von einer ganzen A m h l halber bzw.
Ekiach h - c h
Sch-m
dsr Luft in Rohren w . 361
viertel Wellenlbgen. MiSt man die Abstiinde der aufeinanderfolgenden Knoten, so ergibt sich von der reflektierenden
Wand bis zu den Erregungspunkten eine etetige Zumhm
der halben Wellenliingen. Wiirde man hingegen die Abstiinde
der aufeinanderfolgenden Btiuche bestimmen, so m a t e n die
halben Wellenliingen bestbdig kiirzer werden. Man sollte
also erwarten, daS die Kundtsche Methode zu groJ3e Werte
der Wellenlbge ,und also auch der Schallgeschwindigkeit erg&be, und zwar um so grobre, je stiirker die Abnahme der
Schwingungsamplitude mit der Entfernung ist. Mit anderen
Worten: Die Kundtsche Methode m a t e nach umerer Theorie
in engen Rohren grof3ere Werte der Schallgeschwindigkeit
ergeben als in weiten.
-4nders liegen die Verhaltnisse dagegen, wenn man aus
der Lhnge der Rohre bei maximaler Resonanz die Schallgeschwindigkeit berechnet. Wie ich bereits in meiner Dissertation gezeigt habe und im folgenden noch ausfiihrlicher begriinden werde, erfiihrt die Rohrenlange maximaler Resonanz
infolge der Absorption von Schallenergie eine Verkiurzung,
die um so betriiohtlicher ist, je groBer diese Absorption (b)
ist. Deshalb miissen die Resonunzmethodsn von Quincke
und die Methode der Orgdpfeifen in Ubereinstimmung mit
unserer Theorie eine Verkiirzung der Schallgeschwindigkeit
mit abnehmendem Rohrendurchmesser ergeben, und zwar
miissen die nach diesen Methoden gefundenen Differenzen
ewischen der wirklichen und der beobachteten Schallgeschwindigkeit in Rohren gemiiS den Ergebnissen umerer Theorie
sehr betriichtlich sein, wiihrend die nach der Kundtschen
Methode erhaltenen Untemchiede in Anbetracht der sehr
kurzen Wellen und der Mittelberechnung aus einer grohn
Anzahl von Knotenabstiinden nur a d e r s t gering sein konnte;
und dieses steht ja mit den experimentellen Ergebnissen in
voller Ubereinstimmung.
Ich weise noch auf die Ubereinstimmung der hier wiedergegebenen Kurven mit denen von stehenden elektrischen
Wellen hin. Wiihrend die I n t e n s i t g t s b e n fiir Hertzsche
Wellen leicht zu ermitteln sind, stoI3t bei Schallwellen
die Intensitatsmessung auf erhebliche Schwierigkeiten. Doch
soheint mir das neuerdings von S t ei n h a u s e n 1) angewendete
1) Ann. d. Phys.
48. p.693. 1016.
562
(2. Schweikert.
Verfahren die relative Intensitiitsmessung stehender Schallwellen in Rohren zu ermoglichen, ohne dabei den Schwingmgszustand durch den benutzten Hilfsapparat merklich zu
modif izieren.
Q 8. Extreme Werte der Resonam.
Da die Intensitat der Luftschwingungen in Rohren von
der Lage (.o> der reflektierenden Ebene abhlingt, so konnen
wir fragen, fiir welche Werte von zo diese Ifitensitat extreme
Werte annimmt. Die Frage ist gleichbedeutend mit der nach
den Rohrenliingen, die extreme Wert,e der Resonanz im Innern der Rohre ergeben. Wir hatten oben fur die GroBe J
der Intensitlit die Gleichung erhalten:
Daraus geht hervor, daD J, abgesehen natiirlich davon, daB
8s mit wachsendem xo stetig abnimmt, nur von 5, nicht aber
~ EB) der Knoten
von x abhiingt. Da aber die Lage ( 5 bzw.
b m . Biiuche gemiiD den Gleichungen (21) und (25), wie oben
schon dargelegt wurde, nicht durch die Lage (zo) der reflektierenden Wand relativ zur Tonquelle beeinfldt wird, so
iindert sich auch J1 nicht mit dem Abstand der spiegelnden
Ebene, und somit gibt unsere Gleichung (9) auch keine Maxima
und Minima der Resonanz. Das Auftreten solcher extremen
Resonanmerte kann also nicht ohne weiteres aw der Gleichung der stehenden Welle abgeleitet werden, wie ich dieses
in meiner Dissertation aus den extremen Werten der Koeffizienten der allgemeinen Gleichung (9) versucht habe. Vielmehr finden die Resonanzerscheinungen in einem gens anderen
Umstande ihre Erklgrung.
Wenn die Amplitude der Tonquelle einen bestimmten
konstanten Wert besitzt, so hangt die GroDe der hervorgerufenen Dichtehnderung im umgebenden Medium auBer
natiirlich von der Amplitude der Tonquelle und .der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Mediums vor allem auch von
dem Schwingungszustand des Mediums an der Tonquelle ab,
wie er durch die Reflexion bedingt ist; denn die durch die
Tonquelle hervorgerufenen Dichteiinderungen und diejenigen
der reflektierten Welle im Punkte z = O superponieren sich
Einfache harmon4sche Schwiqungen der Luft in Rohren ww. 568
fortgesetzt. Daraus folgt, daB je groBer die knderung der
l h h t e im Punkte z = O durch die reflektierte Welle ist. urn
so groBer auch die gegenseitige Beeinflussung sein muB, und
das Resultat eine Vermehrung oder Verringerung der Uichte
ist, je nachdem die Tonquelle und die reflektierte Welle im
Punkte 5 = O dieselbe Phase oder entgegengesetzte Phase
haben; denn da gleichzeitig die Schwingungen der Tonquelle
ihre groSte Geschwindigkeit und die hierdurch hervorgerufenen
hderungen der 1)ichte im umgebenden Medium ihr Maximum
erreichen, so muB extreme Resonanz eintreten, w ~ n ndie
Dichteanderungen der reflektierten Welle an der Stelle 2 = 0
zugleich mit den Schwingungen der Tonquelle ein Extremum
erreichen, und m a r erhalt man maxiniale Resonanz, wenn
der Gangunterschied von Welle und reflektierter Welle an
der Stelle 5 = 0 eine gerade Anzahl halber Wellen ist, niinimale
Resonanz dagegen, wenn dieser Gangunterschied eine ungerade Anzahl halber Wellen ist. Das erkennt man auch
daraus, dab dann, wenn die Dichte in z = O zugleich mit
den Verschiebungen der Tonquelle das Maximum und Minimum
erreicht, diese ein Maximum an Arbeit leisten mulj und fortgesetzt die grobtmogliche Energie der stehenden Welle mitteilt .
Wirj konnen also sagen : Maximale bzw. minimale Resonanz wird hervorgerufen durch fortgesetzte Addition bzw.
Subtraktion der durch Tonquelle und reflektierte Welle veranlaljten Dichteiinderungen, wahrend nur einmalige Superpsition von Welle und reflektierter Welle die Resonanzerscheinungen nicht zu erklaren erlaubt.
Betrachten wir zuniichst den idealen Grenzfall der stehenden
Welle in Rohren ( b = 0 ; r = kl),so ist nach dem Gesagten
ohne weiteres klar, daB wir das Maximum der Resonanz erhalten, wenn an der Tonquelle ein Knotenpunkt liegt. Dieses
hat ubrigens schon Helmholtz in seiner beriihmten Arbeit
uber ,,Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden" bewiesen: ,,Die Resonanz in der Rohre und der Schall im freien
Raume werden am starbsten, wenn die Schwingungen der
Rohre in einem Knotenpunkte mitgeteilt werden".') Das Minimum der Resonanz dagegen tritt ein, wenn an der Tonquelle
ein Wellenbauch liegt. Mathematisch folgt dieses aus unseren
Gleiohungen auf folgende Weise :
1) C h l l e - J o ~67.
~ ~p. 46. 1860.
G. Schweilcert.
364
I. Reflexion durch ,,Energiestauung"; r = + I .
Gleichung der Welle sei :
Die
Also ist:
(A1~))t=o=s.ainxt.
Die reflektierte Welle wird durch folgende Gleichung gegeben :
A%e = s - sin x
(t
2z0 - z
- y)
;
mithin ist:
( A , e X - 0 = s - sinx
Daraus ersieht man sofort, daS hier die Bedingungen dafiir,
daI3
und (d,e),,o einen extremen Wert haben, zusammenfallen. Sie lauten
1. fur das Resonanzmaximum:
2. fur das Resonanzminimum :
=
(Al
- (A, e ) t = o = f s;
zo = (2m
x
---(2m+
a
2zo
l).a;
1
+ 1)- 4
Maximale Resonanz erfordert also eine Rohrenllinge von einer
ganzen Anzahl halber Wellen: z,,= m . 1/2; denn dann ergibt sich zuniichst :
( - - :);
d1@--8.Sin% t
Daher wird :
d g = so {sin x ( t
und :
-): + sinx (1+ :)}
(A&,=o = 2 9 , - einxt.
;
Einiache hawmni.de Schzltingrungsn dsr Luft ia Riihran w. 866
Da nun die Schwingungen der Tonquelle fortgesetst erhaken
bleiben, so kommt wiederum hinzu :
und die entsprechende reflektierte Welle :
Also ist:
(dQblo,=[28, S h X t
usw. Allgemein erhiilt man fur den Schwingnngsrmettmd,
nachdem sich N Wellen superponiert haben:
( A p L , o = 2 . (so + s1 + S a + ...) - S h x t
-
N
2 * 3 ( a i sin%t.
Da hier, wie im folgenden gezeigt wird, so = s1 = sI = . . . s
ist, so wird:
Daher miiBten die Uichteanderungen mit der Anzahl der
Schwingungen der Tonquelle unendlich groB werden, und
zwar nicht nur an der Stelle z = 0, sondern in jedem Knotenpunkte. Die Tonquelle liefert ein Maximum an Arbeit. Die
Gleichung der stehenden Welle in dieeem Falle ist:
+
1) . 1 / 4 beWenn die Rohre die Liinge xo = : ( 2 m
sitzt, so fiihren analoge Uberlegmgen wie oben zu den
Gleichungen :
A,g=-s.sinx t + - ;
A , ~ = s . s i n xt - ;
3( A Q L o
(
3
=0,
d. h. die I h h t e an der Tonquelle ist fortgesetzt unveriindert,
die Tonquelle leistet %cine Arbeit mehr ; einmal erregt, bleiben
die Schwingungen unveriindert erhalten, was unter der Voraussetzung b = O ; Irl = 1 selbstveretandlich ist, da kein Verlust der einmal mitgeteilten Schwingungsenergie eintritt. Die
stehende Welle nimmt in den Knoten die Amplitude 2 s an;
ihre Gleichung lautet :
-
2
A Q = - 2 s sinat-.
cosxt.
a
A m d e n der Phynik. IV. Folge. 52.
24
G. Schweikert.
866
Der Verlauf der Erscheinungen ist also folgender : Wenn
die Tonquelle zu schwingen begimt, so haben wir zuniichst
in einem Zeitintervall von der GroI3e % / a eine rein fortschreitende Welle ; danach bildet sich von der reflektierenden
Ebene aus ruckwiirts die stehende Welle, die nach dem weiteren
Zeitintervall ? / a die ganze Rohrenliinge ausfiillt. Von diesem
Moment an, d. h. also nach Verleuf der Zeit 2 % / a seit Eintritt der Schwingungen hort die Tonquelle auf, Arbeit zu
leiaten; es wird keine Schwingungsenergie mehr in die Rohre
hineingesandt, und somit kam sich der Schwingungszustand
der Rohre in diesem idealen Grenzfall, wo weder durch Absorption (b = 0) noch Reflexion ( r = +1) Energie verloren
geht, nicht weiter andern.
11. Reflexion durch ,,Energieentziehung". Die Gleichung
der fortschreitenden Welle ist wiederum :
.-
A, g = s sinx ( t also :
s)
;
(dlg ) 2 4 = 8 - s i n x t .
Fur die reflektierte Welle besteht die Gleichung:
A,
=
-8
Daher ist:
(A, Q ) = = O =
sinx ( t
-z
-1.
2x0
a
-s .
Die Bedingungen maximaler Resonanz lauten:
oder :
sinxtr-sinx
(A, Q L = o =;(A, Q L o ,
(t - - ;):'
x . -2%
=(2m+
l)-n;
a
~ ~ = ( 2 r n +1 l ) - ,~ =
Die Gleichung der stehenden Welle ist,:
Auch hier liegt bei maximaler Resonanz an der Tonquelle
ein Knoten.
Einjache harnwnische Schwingungen der Luft in Rohren usw. 367
Fur das Minimum der Resonane lautet die Bedingung:
Daher :
(A, &=o = - (A, QL-O.
sinxt=sinx
(t - - "a");
2 4 LI 2mm;
x.-
I
*
zo=m.
a
-1 .
2
An der Tonquelle liegt ein Bauch. Pie Gleichung der stehenden
Welle ist:
2:
A Q =- 28 * 8 h x- 008 X t .
a
Bei Reflexion durch Energieentziehung tritt maximale Resonanz ein, wenn die Rohrenlange eine ungerade Anzahl von
Viertelwellenlihgen enthglt, minimale Resonanz hmgegen bei
einer Rohrenlange von einer geraden Anzahl Viertelwellenliingen.
In beiden Fallen der Reflexion (r = +1 und r = -1)
lie@ bei maximaler Resonanz an der Tonquelle ein Knoten,
bei minimaler Resonanz ein Brtuch.
Wir konnen nun leicht die Amplitude der Dichteiinderungen bei maximaler Resonane genauer bestimmen. Der
Wert von s ist als Funktion der Schwhgmgsamplitude (A)
der Tonquelle, der Dichte (e,,) und der Fortpflanzungs
geschwindigkeit (a) des Mediums darwstellen. Wir erinnern
uns der Voraussetzung, dal3 die Tonquelle iiber den ganzen
Querschnitt der Rohre gleichmiiBig verhilt sei und einfache
harmonische Schwingungen vollfiihre. Zudem ist in dem
hier betrachteten idealen Falle die Absorption in der R o b e
In nebenstehender
Null.
Figur sei A die Ruhelage
der Erregungspunkte. In
einem bestimmten Zeitmoment (t) nach Eintritt der
Sehwingungen mogen sie sich bis A' vemchoben haben. Die
GriiSe ( A z) der Verschiebung ist:
LIZ =A.sinxt .
In der Zeit t moge sich die durch diese Verschiebung bedingte Dichteiinderung d e in der Rohre um die Strecke
n
24'
G. Sckweikert.
860
+
z
d 3 bis zum Punkte B fortgepflanzt haben. D a m befindet sich also die Masse A4 des Gases, welche bei ungestortem
Zustande mit der gleichmlI3igen Dichte eo das Volumen:
V = q . ( 5 d 5) (q = Querschnitt der Rohre) einnahm, jetzt
auf das Volumen: V' = q . 2 verteilt. Das Geseta dieser Verteilung im Abschnitt A'. . B ist durch die Gleichung:
+
.
g =
eo + s - sin%-Xa
bestimmt, wo also s die zu ermittelnde Amplitude der DichteBnderung ist. Da nun:
und daher: M = j e . d V ; dV = q . d 5 ist, so erhalten wir
am der Konstanz der Masse (M) in dem Rohrenabschnitt
A
B folgende Gleichungen:
...
1.
-
- +A -q;
M = q ~ ~ q d x = q - .pf od z + q - 8 0
M
= po V = Po ( x
3)
2
2.
0
0
x2: d x
a
unter der Voraussetzung, daB die GroSe A x gegen x zu vernachlassigen ist. Daraus folgt :
1
- COB x n
Wiihlen wir als Zeitmoment:
t=-T
4 '
so wird :
z = -1= - .a- n
4
x
2
und d x = A . Ilaher ist:
s = X . e o . ~ = 2 w q o .A- - .
a
(33)
1
s = 2 n . g o . 1A
-
Dabei ist' Voraussetzung, daB A sehr klein gegen iZ ist.
ECnfache h ~ b c h Schzoingungen
e
der Luft in Rohren USW. 869
Dadurch ist die Amplitude der Dichteiinderung aus der Ampli’
tude (A) der Tonquelle, der Wellenliinge (1) nnd der Dichte (eJ
des schwingenden Mediums bestimmt.
In derselben Weise wie hier s b n n man auoh die Amplitude s1 der niichsten Welle, welche sich uber die stehende
Welle bei kontinuierlich fortwirkender Tonerregnng superponiert, leicht ermitteln. Die Gleichung der stehenden Welle
nach einmaliger Superposition ist :
A g = 2 s - c o s x -Xa . s i n x t .
Fiinde keine Verschiebung der Erregungspunkte statt, so
wiire die Masse, welche sich in dem Abschnitt 0 bis x der
Rohre befiinde, bestimmt durch das Integral von 0 bis 2 (<4 2 )
uber die stehende Welle :
g = go
+ 2 s - cosx-a - s i n x t .
X
Durch die Verschiebung (A x) der Tonquelle wird diese Masse
jedoch auf das Volumen q . (5 - A 5) beschrgnkt. Wenn
also jetzt die Gleichung des Schwingungszustandes in einem
bestimmten Zeitmoment t :
4 = go + 2 s . cosx-.a
X
sinxt + s1
3
sin# t - -
(
ist, so muB das Integral hieriiber von 0 bis x - A 2 gleich
dem Integral iiber die stehende Welle von 0 bis x sein. d. h.:
E
Z-AZ
2
=-A2
Z-AE
0
0
Dieses ergibt :
- + 2s:
Q~ x
-sin x l - sin x = po . ( X
a
a
X- AX
+ 2 s - - - e i n x t - sinx- a +sl
a
X
sinx-X - AX + S 1 ‘ - - .a
a
- Az)
a
.-•
einxt
G. Schweikert.
870
Folglich ist :
a
Qo
-
.
-
X-AZ
a
- sin xi:) +
AZ +cosxt.cosx- ~ l . - (L- c o s x t .
d z 3 2 s - sinxt ( s m x -
s x
mnxt-ainx-5 - a
a
Setzen wir nun speziell :
t=- T
oder 4T,
so wird :
1
bzw. -
x=- A
2
und :
4
A x = 2 A bzw. A ;
daher: sin x t = 0 bzw. +l; cos x t = -1 bzw. 0.
Wird wiederum vorausgesetzt, dab A sehr klein gegen
Af4 ist, so ergibt sich angenahert :
~ P ~ - A = - S ~ - - *C O S J C - - ~
bzw. s ~ *a - * .s ~ xA Da aber:
(
2a
A
)
4a
I
l a
1
cosx=- 1;
2a
sin%-=
-
+1
ist, so wird in beiden Fallen:
Qo'ff=S1
- -a .
x '
(34)
S1
= 2 n Q o .Ay = S .
Bei maximaler Resonanz
haben also die aufeinander folgenden, sich superponierenden
Dichteiinderungen die gleiche Amplitude: s = s1 = s, . . . = st.
Daher wird:
$Si
= N. s,
und die endgultige Gleichung de; stehenden Welle nach
aufeinander folgenden Superpositionen ist :
A ~ = 2 s . N . c o s x -a- s i n x t .
a
N
Sczltoingungen der Luft in Rohren usw. 371
Ehfache ha-che
Nennen wir die Anzahl der Schwingungen der Tonquelle
so ist offenbar:
N= p p o ;
N',
A
da ferner:
zo=m'-
vorausgesetzt ist, so folgt :
1
2
N = - -N',
wo rn die Anzahl halber Wellen in der Rohrenlange ist.
In dem hier betrschteten idealen Grenzfall (b = 0, t = 1)
muBte also die Amplitude der stehenden Welle unendlich
werden, wenn nicht die Eigenschaften der Materie dieses unmoglich machten; denn einmal kann die Dichte nicht kleiner
als Kull werden, und da zudeni die schwingende Masse einen
endlichen konstanten Wert hat, so muBte das Volumen, welches
durch diese Masse erfiillt wird. unendlich klein werden, was
mit den Eigenschaften der Materie unvereinbar ist. (Es wiirde
dieses dem Gesetz von der Erhaltung des Stoffes widersprechen.) Die Masse M , welche die Resonanzrohre enthiilt,
ist: M = q . 5.eo. Diesel Wert kann durch den Schwingungsvorgang weder vermehrt noch vermindert werden. Deshalb mu8 zu jeder beliebigen Zeit (t) das iiber die ganze
Rohrenlange (zo) erstreckte Integral der stehenden Welle :
Q
bzw. :
X
=-o+2.~slcosx.--sinxt,
p = po
+ 2 . Cs,. sinx -2a.
denselben Wert M besitzen.
haben wir daher:
zo
q.JQdx=
0
bzw. :
l h h e r ist:
cosxt
Solange nun 2 .
C s,
S eo ist,
=o
q . ~ ~ , d z + q . 2 . ~ s , m n x toosx-ddz
.
5
0f
0
a
=9'zO'Qo,
22.
Csi,sinxt . sin x 2. = 0 ,
872
G. Schweihrt.
bzw. :
- 2 - - -a~ s i c o s x t .
C O s X ~ r O .
a
Da nun im ersten Falle: z
, = m . 1/2, im zweiten dagegen:
q,= ( 2 m 1).1/4 ist , so sind diese beiden Gleichungen
identisch fur jeden Wert von t erfiillt.
Wiirde aber 2 . Csf.> Po werden, so ist zu beachten,
daI3 an allen Stellen z, wo fur ein beliebiges t :
+
eo + 2
bzw. :
Q~
wird, die Dichte
bzw. :
- ~ s i - c o s -xsinxt
~
< 0,
+2.Csi.
e
ainx-a - c o s x t
X
<0
Null ist. Setzrn wir
Po
+ 2 - Csi- cosx'
go
+2.c s i
*
X
a
- sinxt = 0 ,
s i n x 5 . c o s x t = 0,
a
so wird :
a) c o s x a1G1= -
eo
*
2x,sf.
ainxt'
b) sin x 3 = a
eo
wobei wir z1 auf das Intervall:
o<z,<y
-
2x9 c o e x t '
1
beechriinken. D a m ist an allen Stellen z, fur die:
-1
coax- X
a
< coax$,
bzw.
- 1 s s i n x -sa < sinx-a
31
ist, die Masse Null, und daher mussen hier die Integrale uber
die Dichte verschwinden. Es zerfallt dann das Integral iiber
die ganze Rohrenliinge von z = 0 bis z = z, in folgende Teilintegrale :
Betrachten wir zuniichst den Fall a): 1st sin x t > 0, so wird
e in den Intervallen z1 bis 1 - q;1 5 bis 2 1 - q;. . .
m. t
a; bis (m 1). 1 - z1 negativ; deshalb fallen diese
Integrale fort und wir erhalten:
+
+
+
Einfache hmwnische Schwinqungen der Luff i n Rohren usw. 373
%
-pz
2,
21+2,
14-2,
= s p d z + s p dx +Jp
0
0
dt
+ . .. = Q~ -
?A-2,
1-2,
‘1:.+pz+...1
lo
1-2,
Da nun q, = m . ApZ ist, so wird:
15,
1
+ 2; a C s i s i n x t m - sinx = Q ~ m. . a
2 ’
I
z1 + 2: - Cs,ain x t sin x 2 = po (sinxt > O ) .
a
2’
p0 m .zl
(96)
*
2:
Q,,
*
-*
Daraus geht hervor, daS das Hesultat fur jeden Wert von
m dasselbe ist wie fur: m = 1; wir beschriinken uns daher
der Einfachheit, wegen auf die Annahme, daS xo = 112 sei.
1st jetzt sin x t < 0. so wird in dem Intervall 0 < z< z1
negativ und somit :
u2
I?
I?
+ 2Csisin x t XI
(36)
Q,,
I
. (T - .rl) - 2;
-
1
. 2 si * sin x t . sinx = Q~ 2 ;
a
* 1 5 ,
Aus Gleichung (35) erhalt niari:
(sin x t
< 0)
sinxt
<0
Aus (36) dagegen folgt:
(967
Yo 21
s i n ga3 = - 2
.
.
a i.~s,.sinXt’
wobei :
bt. Da13 diese Beziehungen unnioglich sind, ist nun leicht
xu zeigen. Da niimlich nach Voraussetzung 2 . Csi > eo ist,
0 0 gibt es stets ein Intervall, derart, daS fur alle Werte von
t aus diesem Intervall:
2 . C s i s i n x t > p,,
374
G. Schweikert.
ist. Zu jedem Wert t aus diesem Interval1 wird nach (37)
der Wert x-, best.immt, so daB:
40
sinxt = 2
.
XI
s, COB x a
ist. Fur diese zusammengehorigen Werte von t und x-, miiBte
dann auch die Gleichung (35*) bzw. (36*) gelten, also:
sinxt =
00'
(+ - X
1I.
. %a
2 . 2 s{ ain XI'
bzw.: s i n x t = -
X.
a
40
-
x1-
2-xst sin x- %
a
sein, d. h. es miiBte, wenn auch fur ein noch so kleines Intervall der x-,-Werts, identisch:
sein. I)a dieses nicht der Fall ist, so kann niemals 2 si > eo
werden. (Einzig und allein fur den Wert: q = A/2 bzw. 0
wiirden diese Beziehungen erfullt sein. Dann miiBte aber
eo = 2 . st werden, was gegen die Voraussetzung ist.)
Dasselbe l&Bt sich in entsprechender Weise fiir den
anderen Fall b) der maximalen Resonanz zeigen, wenn:
ist.
so = ( 2 m +
1
l)*-z,r = - 1
Es ist hierdurch bewiesen, daB auch im idealen Grenzfall (b = 0; T = & l ) der vollkommenen Reflexion und ungeschwachten Fortpflanzung der Schwingungen der gr8Bte
mogliche Wert der Amplitude eo ist, also stets: 2 . 2 sf S eo.
Wir sahen, daS bei minimaler Resonanz die Amplitude
der Dichteanderung :
2 S = 4 ' R Q A0 * ~
ist. Uaher ist die Dichteschwankung in den Knoten:
A
4.9 = 8 1 C Q o . ~*
Bei meximaler Resonanz hingegen ist in demselben Falle
die Amplitude 2 . Cst = eo, und daher betriigt die grdBte
Schwankung der Dichte in den Knoten 4 .
= 2 eo. Die
Differenz zwischen beiden ist :
xsi
Einjache harmonische Schzoingwcge?t dm Luft in Rohren usw. 376
2p0-[1-4a*-$]-
Ihbei ist zu beachten, daB dieses nur sehr angeniihert gilt,
wenn die Amplitude (A) der Tonquelle sehr klein gegen die
Wellenliinge 1 ist. Nur in diesem Falle wird der Schwingungszustand der Luft innerhalb der Rohre, wie er durch eine harmonisch schwingende Tonquelle hervorgernfen wird, angeniihert
durch eine Sinusfunktion dargestellt. In Wirkkhkeit erregen
hamumkche Schunkgungm einer Tollquelle n h a l s streng harmonische Luftschwingungen. (Den Beweis hierfiir behalte ich
mir fur spiiter vor, da er nicht eigentlich 5u dem Thema der
Ar beit gehort .)
Wenden wir uns nun zu dem allgemeinen Falle der
stehenden Welle (b 7 0; Irl < l), so komplizieren sich die
Verhaltnisse dadurch, daB sich die Knoten und Bauche verschieben, wiihrend die Phasendifferenz von Welle und reflektierter Welle in einer bestimmten Entfernung von der spiegelnden Ebene gegenuber dem idealen Falle unveriindert
bleibt, also insbesondere Welle und reflektierte Welle an der
Stelle z = 0 die gleiche Phase haben, wenn:
z
z0=m---
2
ist. Die extremen Werte der Schwingungen miissen aber
d a m eintreten, wenn an der Stelle 5 = O Welle und reflektierte
Welle in gleichen Zeitmomenten die groI3te Dichteiinderung
erreiohen. Haben beide Anderungen das gleiche Vorzeichen,
so erfolgt maximale Resonanz, ist das Vorzeichen entgegengesetzt, so tritt ein Minimum der Schwingungen ein.
Die Gleichung der fortschreitenden Welle ist :
A, p = s
- e - * z - sinx ( t - -3;
(Al
= 8 sinxt.
Uaraus folgt: ( A , e)z=o erreicht ein Maximum, wenn:
x
also
- tl
+2mn,
2
7(
m
t , m qT+ m - T
ist; ein Minimum dagegen, wenn:
-
x tz =
3
n
+ 2m a;
f =
3
3
T+m - T T = -
(
ist. Andererseits ist die Gleichung der reflektierten Welle :
876
C;. Schweikert.
und speziell:
Wenn ( ~ l , e ) , ,zur
~ Zeit
gleichfalls ein Maximum erreicht, so ergibt sich maximale
Resonanz durch fortgesetzte Addition von Welle und reflektierter Welle. Hat dagegen (A, e),=,, zur Zeit 4 ein Minimum,
so tritt ein Minimum der Resonanz auf und umgekehrt: erreicht (A, e)Z,.o zur Zeit
ein Maximum, so wird die Amplitude moglichst klein; hat dagegen (A, e)eIozur Zeit t, ein Minimuni, so erhalt man eine
gr6Bte Amplitude.
Es wird aber fur:
t , = pT+ m . T :
-
(A, p ) Z = o = s * r- e - a b z , . cosx- 2 aze = s B,,
wo B, der Wert von B [vgl. Gleichung (9*)] an der Stelle
x = O ist, und zur Zeit t, = $ T + m . T ist:
(4pk.0 - s. r . e - a b q
- coax- a - S - B , .
e
Daraus folgt, da13 die Frage nach der stiirksten und schwiichsten Tonstarke in der Rohre zusammenflillt mit der Frage
nach dem Maximum und Minimum von B,; denn hat B, ein
Maximum, 80 wird (A, e),EOzur Zeit 4 , ein Maximum, zur
Zeit tp ein Minimum, und dieses sind die Bedingungen fur
das Maximum der Resonanz. Wenn aber Bo ein Minimum
erreicht, so nimmt ( A , e)elo zur Zeit &i ein Minimum und
Bur Zeit 4 ein Maximum an, und das hinwiederum fiihrt zu
schwiichster Resonanz. Die mathematischen Bedingungen fiir
starkste und schwachste Resonanz in der Rohre nehmen daher
folgende Form an:
Einfache harmonische Schwingungen der Luft iin Rohren usw. 377
a) Die Rohrenliinge f i r das Maximum geniigt den Bedingungen :
b) Die Riihrenlange fur das Minimum dagegen ergibt
sich aus den Gleichungen:
(38b)
1he Gleichuna :
ergibt folgende Gleichungen l) :
(39) tg"T2 % = - 'a =x
B'
1
(40)
xo=m.-4
oder:
1
-
4n
a-b.
t g ( m . ~ - ~ . % )=-a
ab
arctgx ;
0 < arctg <
%
'
+-
Setzt man:
m . -1= l
4
und bezeichnet die Liinge xo als ,,reduzierte" Rohrenlange,
so ist nach (40):
,411~ - x ~ = -l- -a- . arc@-a b = a ; also: t g X * 2 a = -a=b - - - - . C
2 %
a
B
1)araus geht hrrvor, daB die Gro/je ( a ) der Iiorrektion bei geg e b e w Wellsnlange nicht von der Anzahl der Wellen, die in
&r Rohrenlange xo enthalten sind, abhdingt. Man findet die
wirkliche Ltinge extremer Resonanz dadurch, dab man von
einer ganzen Amah1 .Viertelwellenl&ngenstets denselben Wert a
subtrahiert, wie groB auch immer diese Anzahl von Viertelwellenltingen sein mag. Daraus folgt weiter, daB die aufeinander folgenden Abstlinde der spiegelnden Ebene in Lagen
extremer Resonanz stets genau um eine game Anzahl von
Viertelwellenllingen sich unterscheiden, welchen Wert der Absorptionskoeffizient b auch immer haben mag. Wenn man
also bei stehenden, ebenen Wellen in Rohren mit nur parallel
zur Achse verlaufenden, einfachen harmonischen Sahwingiingen aufeinander folgende Lagen dcr reflektierenden Ebene,
1) Vgl. meine Bonner Diesertetion, Lei&
Phys. 48. p. 632. 1916.
1916, p. 62; Ann. d.
870
G . Schweikert.
welche maximale Resonanz hervorrufen, genau bestimmen
konnte, so wurde durch die entsprechenden Abstande dic
Wellenlange des betreffenden Tones genau ermittelt, ganz
gleichgiiltig, welche Absorption der Ton erfahrt und wie unvollkommen auch die Reflexion sei.
Da nach Voraussetzung:
arctg-a b
<n
ist, so ist stets:
die GroBe der Korrektion ist immer kleiner als eine Achtelwellenlange und nahert sich diesem Betrage um so mehr, je
griil3er der Absorptionskoeffizient b ist.
Es fragt sich nun weiter, welche der extremen Werte
von q, maximale, und welche minimale Resonanz ergeben.
Urn das zu finden, muB man untersuchen, unter welchen Bedingungen die zweite Ableitung von B, positiv oder negativ
wird. Aus Gleichung (9*) folgt:
Mithin ist:
Wenn nun:
dB, = 0
dSO
ist, so wird:
C L - 2
d sos
.-.-.
a
x
dCo
dxo
E~T+WIM
h
~itm
s~hzoingungendet ~
~in Rohren
f t USW. a79
Daher hat B, ein Maximum, wenn:
(43)
hingegen ein Minimum, wenn :
(a)
<o
dze
(43V
iet.
e~tr.
Nun ist aber:
Unter Berucksichtigung von Gleichung (39) wird :
Der Ausdruck :
+
2x.
5
e - as)k:f([
11
ist stets positiv: wir bezeichnen ihn mit cg. Daher wird endgultig :
dC,'?T
COB# 2 z0
(44)
dqd-
'0
. .
.
a
Die Ungleichungen (45)geben also auf Grund von (44)fur B ,
1. ein Mazimum, wenn:
r * C O e x 2- %
>>,
a
und mithin nach (89):
t
sin x
<o
iet;
2. ein Minimum, wenn:
7
ist.
coex -8I< 6
0,
t
e i n r y2 %
>0
Daraus folgt:
I. Bei Reflexion durch Enargiestouung (r > 0) sind die
Bedingungen
1. fiir einen muzimden Wert von B,:
c0exo2 %
>0;
e i n x -2a%
< 0,
2. fiir einen nt&tcimcrlen. Wed von B,:
cosx- 2a%
< 0;
einx-2a%
>0.
G. Schweikert.
880
11. Bei Reflexion durch Energ.ieentz&ekung (r < 0) geben
die folgenden Ungleichungen
1. mascinzale We& von B,:
< 0;
cosxa2 %
sin%-2 %
> 0,
sin%-2G
< 0.
2 ) minimale Werte von B,:
> 0;
c o 8 x o2 %
l)a die Ungleichungen 11) mit I1 2) und 12) mit I1 1)
identisch sind, so ergeben dieselben Werte von
in Gleichungen (89) bei Reflexion durch Energiestauung ein Maximum von B,, die bei Reflexion durch Energieentziehung ein
Minimum ergeben und umgekehrt.
Obige Ungleichungen fuhren nun weiter zu folgendem:
11)
z8 m + 2 m , s < % 2. z7o < 2 m 1 m + 2 m ,
+ +) m < - zo < (2ml + 2) m ,
3
1
1
(273 + T) - 7 < zo < (2m, + 2). 7 -
(273
Naoh Gleichung (40) und (41) ist aber:
1
1
ZO
Demnach ist:
=
*
3
a!;
4 -
o < a ! < s .
1
1
1
(gm,+T)-T<m-T-
( 2 m 1 + +) - +
Also sicher auch:
(2m, +.-2')3
1
a -
2m1 +,<m<
4
a!
ac<(2m1 + 2 ) - 7 - ,
1
A
< (2m1 2 ) . T
+
<m -
+
a!.
1
< m * - 14 < ( 2 9 + 2 ) - T
+ s1 ,
2ml
5
+y.
Da m eine game Zahl ist, folgt notwendig:
nz = 2 m l + 2 = 2 m ' .
Die Gleichungen (40) und (41) geben fur B, ein Maximum,
falls m = 2 m', r > 0 ist.
111) $ + 2 m l n < x . T
"
0
< n 2m1n,
( 2 m , + + ) - ~1< ~ , < ( 2 m 1 + I ) - - -1.
+
4
Einfache harmonkche Schu;inguqen der Lufl in Rohren usw. 381
Nach den Gleichungen (40) und (41) ist:
A
xo = m . 4
mithin:
A
- u;
O<a<a;
A
++) -5+ u < m a TA < ( z m , + 11.r
+ a,
1
1
2 m, + a < m < 2 m, + 1 + a ,
(2m,
m = 2m,
-+ 1.
Uaher geben dir Gleichungen (40) und (41) f i r B, ein Maximum, falls m = 2 m, + 1, r < 0 ist.
1 2 ) ist identisch mit I1 1). Also: W L = 2 m l
1.
Die Gleichungen (40) und (41) geben fur B, rin Minimum,
falls rn = 2 m l + 1 , r > 0 ist.
I1 2) ist identisch mit 11). Also: nt = 2 m,.
1)ie Gleichungen (40) und (41) geben fur B, ein Minimum,
falls m = 2 m,, r < 0 ist.
Fassen wir die Resultate zusammen:
I. Bei Reflexion durch Energiestauung gibt, Gleichung
(41) fur B,:
1. ein Maximum, wenn m = 2 m,;
2. ein Minimum, wenn m = 2 m, 3.1.
11. Bei Reflexion durch Energieentziehuny gibt dieselbe
Gleichung fur Bo
1. ein Masimum, wenn ni = 2 m, 1;
2. ein Minimum, wenn m = 2 m, .
DemgemliI3 erhalten wir aus (41) folgende Ausdriicke:
+
+
(46)
I
1.
1
11); 112)
z o = m 0 * -2
I 2); II 1)
xo = (2 m,
- - *
In
A
L a b
arctg-2 n = m , . - 2- u ,
+ 1) . -2A - . arctg-2nA - b
In
A
= (2m, + 1) -u
o < arc%<
2
0
+
*
Die in meiner Bower Dissertation aufgestellten Beziehungen
fur ,,Nebenmaxima" bestehen also nicht zu Recht. Zudem
ist bei der Diskussion der Maxima und Minima ein Irrtum
vorgekommen.
Anmh
d a Phydk. IV. Folge. 62.
25
G. Schzoeikert.
582
Um nun den Schwingungszustsnd bei extremen Tonstarken in der Rohre genauer zu erkennen, best,immen wir
im folgenden die Werte, welche B und C bei extremer Resonanz annehmen. Aus Gleichung (39) folgt zunachst :
sinx- 2ax 0
(46)
COSX-
24
a
+ ab
1
=
COSX- 2 a0
a
.
;
SlUX-
=0 ;
2z0
a
1
=
___
Bmax.=
._
..
+i1+($)*
'
-b ( 2 q 1 - 2 a - 2 )
(4 7)
Bmia.
=
r-e
-
Bmm. = r (49) '
CB,,,.
\
=f
*
-
-- .
;
s f '
-
dT+Ty;
e, e
-by
- b T1
d+;
1+
Bdn-
CBmin.
-
=r.
8, * 8
___.
+1/1+(3)"
Einfache harmonische Schwingungen der Luff i n Rohren usw. 888
dem minimalen Werte von B ein kleiner positiver Wert von C,
namlich CBmln. Vernachlassigen wir in diesem Falle ( a b / x ) e
so wird:
gegen 1 und somit auch 1 gegen
Die Wertr von C' sind also gleichfalls sehr kleine GriiSen,
wenn B ein Maximum oder Minimum und:
b - 1.6
-a =
x
2n
sehr klein ist. Dieses gilt dagegen durchaus nicht, wenn ablx
eine endliche GroSe ist, und die Verhaltnisse kehren sich
sogar um, wenn a b / x ein groljer Wert wird. Sei z. B.
ab _
-1,
so werden die einander entsprechenden absoluten Werte von
B und C genau gleich:
- b y1
Es bietet riniges Interrsse, diese Resultate mit denen
der Helmholtzschen Arbeit: ,,Theorie der Luftschwingungen
in Rohren mit offenen Enden"l) zu vergleichen. H e l m h o l t z
geht in seinen Cntrrsuchungen von der allgemeinen Form
fur das CJeschwindigkeitspotrntial (y) der Schwingungen aus :
E r bemerkt zu dieser Gleichung, dab nach Eulers Theorie:
B * b = 0 ; nach P o i s s o n : B =0, 23 eine unbestimmte
kleihe Griilje; nach H o p k i n s sowohl B wie 8 unbestimmt
kleine GroSen sind. Berucksichtigt man, dalj in der hier an* -
I) Crelle Journal 67. p. 1-72.
1860.
25
G. Schweikert.
884
gewendeten Bezeichnungsweise: A l k = B - A ; B = - C;
%/k = C; b = A
B ist, so wird unter der Voraussetzung,
daS a b l x eine sehr kleine GroBe ist, bei maximaler Resonanz
und Reflexion durch Energieentziehung (r < 1):
+
- I r I .~ - ? L ( z o - z ) ] ;
lab . I r 1. e-a(%-z).
= e - b z . [I
B=
-,
Daraus folgt, daS die obigen Annahmen von E u l e r , Poisson
und Hopkins (naoh unseren Untersuchungen) hochstens
Giiltigkeit in der Niihe des offenen Endes bei maximaler Resonanz haben, wenn a b / x eine hinlanglich kleine GroBe, d. h.
wenn die Absorption sehr gering ist.
Helmholtz aber hat unter den Voraussetzungen, daS
die Dimensionen der uffnung der Rohre und des Querschnittes
in einem endlichen Verhaltnis stehen und gegen die Wellenllinge verschwindend klein sind, durch wiederholte Anwendung des Greenschen Theorems iiber Potentialfunktionen
die Beziehungen zwischen den Koeffizienten des Geschwindigkeitspotentials y ermittelt, und zwar findet er, daS B I A dann
eine kleine GroSe ist. Dieses stimmt unter denselben Voraussetzungen wie oben mit den hier gewonnenen Resultaten
gleichfalls naherungsweise iiberein; denn es wird :
(51)
{
I
wobei-.gemiiS der Voraussetzung Irl nahezu 1 und b eine
sehr kleine GroSe ist.
Helmholtz setzt nun das Verhiihis:
( b 2 n . Ea )
wobei er a die Differenz zwischen der wahren und teduzierten
Rohrenlange nennt. Wie er dam kommt, gerade diese Gleichung aufzustellen, ist aus seiner Arbeit nicht eu ersehen.
Einfache hammkchs S c M y u +
der Luft in Rohrm usw. 386
Unsere Theorie ergibt auf ganz elementarem Wege unter Voraussetzung extremer Resonsnz aus den Gleichungen (9*) und
(41) :
Nach H elm h o l t z sol1 tg k.a gleich dem Verhhltnis der
oberen Koeffizienten der Gleichung (60): k . B / A sein. Dafur
ergibt aber Gleichung (51) unter den entsprechenden Voraussetzungen folgenden Wert :
ab
In der Niihe ..der Miindung (z = q,) ist. jetzt
gleich 1. Also:
- Z)
atI ( a ~
I*I
nahe
Dieses ist die von H e l m h o l t z angenommene Bexiehung. Man
erkennt jedoch, daJ3 die Korrektion a (oder -a nach Hel mh o 1t z) nur durch die Absorption der Schallenergie bedingt
ist und nur unter der Voraussetzung fast vollkommener Reflexion am offenen Ende der Rohre den von Hel mh o l t z
angenommenen Wert naherungsweise erreicht , wslhrend H e 1m h o l t z von der Absorption gainzlich absieht'und nur durch
unvollkommene Reflexion die Korrektion zu erklhren sucht.
Nach unserer Theorie hat dagegen, wie oben bereits hervorgehoben wurde, unvollkommene Reflexion allein, d. h. wenn
b = 0 ist, keinerlei EinfluJ3 auf die Lage der Knoten und
Bauche oder auf die Rohrenlhnge bei extremer Resonans.
Was He 1m h o 1t z seine schwierigen mathematischen Untersuchungen leisten, ist zmilichst nur eine angenliherte Bestimmung des Verhli€tnisses ( B / A ) der oberen Koeffizienten
der allgemeinen Gleichung des GeschwindigkeitspotentiaL der
stehenden Wdle fur einige beetimmte Uhrenformen unter
den oben mitgeteilten Voraussetzungen. In welcher Beeiehung
aber dieses Verhaltnis zu der Rohrenliinge bei maximaler
Resonam steht, bleibt dabei ghnzlich unbestimmt. Es scheint
G. Schweikett.
386
nur eine willkiirliche Annahme, die in der Theorie nicht begriindet wird, daS zwischen einer Reduktion (a) der Rohrenliinge und jenem Verhiiltnis die Gleichung:
k *B - - t g R ~
-A
best8nde.l)
Wir hatten oben als Bedingung dafiir, daS Welle und
reflektierte Welle an der Stelle x = O zu gleicher Zeit maximale und minimale Amplitude erreichen, die Gleichung (41) :
x, = m
o < arctg <
1
1
-arctg a b ;
2
4n
erhalten und angenommen, daS diese Werte von
die Resonatorliinge bei maximaler Tonstiirke ergeben. Wir gehen
nun von der Gleichung (10) fur die stehende Welle:
L I P =6 . s i n x ( t - 7 ) = d . J 1 . a i n x ( t - 7 )
aus und fragen, in aelcheni Falle ( J J 0 an der Stelle x = O
als Funktion von xo pinen elitremen Wert erreicht. Nach
(10a) ist:
(J,b2= Aoa + Boa+ Co2+ 2 A, Bo = 1 + r 2 e - 4 b q
e-ab*
-
6 . e - a b q . cosx- 2 xo
Deshalb wird :
2
d (J h' = - 4 b r 2 . e
d ZO
~ 4 b Z ~4
cosx-2 2 0
a
a
- 4 . Xa. r . e - a b q . s i n x -
(W
r-e-2bxo
-
+ 2r
+ coax- 22,a
+-sin%x
ab
220
a
= 0,
22 0 = 0.
a
Urn hieraus einen miiglichst zweckmiiSigen Ausdruck fiir
zu erhalten, setzen wir:
sin x 2
-a b =tgx+=a.
(53)
a'
COB w-
Daher ist:
A
(53*)
.
ab
a = - - arctg271
x,,
a
1
+ m, .T-;
o < arctg <
+-
1) 'Andogien mit elektriscben Vorgtingen ftihren nur daeu, daB
BIA = - \a ist.
Einfache hamnische -en
ci?&&#wohren
usw. 387
Substituieren wir nach (68) &n %rt
ftir @ b / x in (52),
ergibt sich nach einfacher Umformung:
(tg x
.: ) T . e - ? b %
= - tgxya
T.e-2bzo
*
-
x- 3a6
.
a
. e m x -a=
I)a :
COB
einx-a
a
+ sinx- 2a% -
2s0-a
einx-
T . g - a b ~ .
SO
a
'
<1
ist, so ist diese Gleichung stets fur reelle Werte mijglich. Weiter
folgt :
22 - a
x 0
= arcsin (7 e - 2b% Sin x
.
.
a
.
Xach Gleichung (53) ist aber:
ab
~
I h h e r kijnnen wir weiterhin schreiben:
oder unter Beriicksichtigung von (53*) :
1
z0 = - arcsin
4n
r.
e--2b20
A
ab
arctgT
+m
A
-;
4
o < arctg < f
-
Soniit wird endgultig :
wobei das negative oder positive Vorzeichen des letzten Ausdruckes zu nehmen ist, je nachdem sin x a / a positiv oder
negativ ist. Damit also J1 an der Stelle z = O einen extremen
Wert annimmt, mul3 die Rohrenliinge noch um den Betrag:
ma
G. Schzoeikert.
gegenuber dem oben betrachteten Pall extremer Resonanz
verkiirzt sein, wo zo durch Gleichung (40) gegeben ist. Beide
Fiille unterscheiden sich dadurch, daS dann, wenn zo durch
(56) bestimmt wird, Welle und reflektierte Welle an der
Stelle x = O dieselbe bzw. entgegengesetzte Phase haben, so
daB sich (gleichsinnige) Verschiebungen fortgesetzt addieren
bzw. subtrahieren, ohne daS diese Verschiebungen jedoch an
dieser Stelle (z= 0) (hinsichtlich aller moglichen Rohrenlangen q) einen extremen Wert erreichen, wahrend fur den
zuletzt bestimmten Wert von zo [Gleichung (54)] zwar Welle
und reflektierte Welle an der Stelle Null eine Phasendifferenz
r .e
C" = arc@-[7(, = arctg1
+ Bo
1
-2'~.
+ r . e-abzo
einr 2%
a
* C08 x
2ZO
U
nach Gleichung (10b)] haben, jedoch ihre superponierten Verschiebungen extreme Werte annehmen. Es wird also in beiden
Fallen wie auch fur alle Werte zo, die zwischen den durch
die Gleichungen (40) und (54) bestimmten Werten (zo) liegen,
die Verschiebung sehr groS bzw. sehr klein sein. Wir erhalten
so gewissermaBen ein bestimmtes Resvnanzintewall (p), dessen
Breite zunlichst um so grol3er wird, je groSer b und Irl, d. h.
Absorption von Schwingungsenergieund Reflexion sind. Jedoch
verschwindet der EinfluB der Reflexion zugleich mit b. Da
in weiten Rohren die Absorption geringer als in engen Rohren
ist, so wird die Resonanzbreite um so groBer, je enger die
Rohre; mit anderen Worten: Das Maximum der Resonanz
tritt urn so scharfer hervor, je weiter die Rohre ist. Fur einen
bestimmten Wert von b erreicht p ein Maximum (derselbe
ist bestimmt als Wurzel folgender Gleichung 3. Grades:
die man &us:
-d =B o
db
erhlilt) und nimmt dann weiterhin wieder ab, urn fur b =oo
wiederun Null zu werden, wiihrend a bestiindig zunimmt
und fiir b =oo aeinan maximalen Wert, A/8 erreicht. Mit
wachsendem b (und x ) nimmt aber die Differenz zwischen
Einfache harmonische Schzaingungcn der Luf2 in Rohren
USID.
389
minimaler und maximaler Schwingungsamplitude ( J ) sehr
schnell ab. Ausgeprggte Resonanzerscheinungen kann man
deshalb nur fur sehr kleine Werte von b erhalten.
In analoger Weise wie fur den idealen Grenzfall (b = 0),
kiinnen wir auch allgemein fur beliebige Werte von b die
Beziehung zwischen der Amplitude (A) der schallerregenden
Tonquelle und der GrtiSe (s) der Verdichtungen der fortschreitenden Luftwelle bestimmen. Wir haben fur die fortschreitende 8challwelle in einem bestimmten Zeitmoment ( t )
die Gleichung:
.
z
Q = Q~ + S - C - ~ ~s m
. xe
.
Entsprtchend wie oben muS, wicderum unter dcr Yoraus-
setznng. daS A sehr klein gegen 1. ist,
r+At
2
i p o d s = po . I d =
+s .Je-br.
2
sinx-ddz
z
a
0
0
0
win. I?a durch partielle Integration folgt, da13:
ist, so wird:
+ dz) =
go (t
-
s
1
-s- *
b
c-b~ainx:
n
+-
1
5 e - b ~ .COB%--
a-b
a
Dndurch ist s bestimmt.
Setzen wir speziell x = 112 und daher A x = 2 A ,
hslten wir:
-a- . b * + +
(55)
8
=2
~ A . ~- n ! - -.
A
1+ C b f
1st b =0, so ergibt
sich daraus:
"I .
-
ab
SO
er-
G. Schweikert.
890
8
= 2~~
1
2
%
a
A*--.-=
2Q0
A *
-
A
Diese Gleichung ist identisch mit (33).
Als Gleichung der stehenden Welle ergibt sich schlieBlich:
A Q = si J1 sinx(t - T),
wobei:
JIB= A s + Ba Cz+ 2 A B c o s x y + 2 A C - sin x -2U2 -
xi
+
ist. Da J1 stets endliche Werte hat, so hiingt die schliebliche
Amplitude der Schwingung von dem Verhalten der Reihe:
= s +sl + s z
csi
+...
ab, wenn sl, s2, . . . die Amplituden der aufeinander folgendcn
sich superponierenden Wellenzuge sind. Es ist aber zu bedenken,
daB der Absorptionskoeffizient (b) der Schwingungsenergie der
Luft sicherlich von der GroBe dieser Energie und somit von
s abhangt. Wenn ,Zsi groB wird, so wird vermutlich auch b
groB und daher J1 klein, so daB auch aus diesem Grunde die
Amplitude der stehenden Welle einen bestimmten endlichen
Wert nicht uberschreiten konnte.
8 9.
Ruckblick.
Die ersten mathematischen Untersuchungen uber Luftschwingnngen in Rohren sind von D. Bernoulli und L. E u l e r
ausgefuhrt worden. Ihre Theorie stutzt sich auf sehr vereinfachende Amahmen gegenuber den offenkundig tatsiichlichcn
Bedingungen, unter denen die Luftschwingungen in Rohrcn
sich befinden. Sie setzen voraus, daB sich ebene Wellen vollig
ungeschwlcht in der Rohre ausbreiteten und am Ende derselben, mochte dieses nun geschlossen oder offen sein, vollkommene Reflexion erfuhren. Die unter diesen Annahmen
sich ergebenden Resultate stimmten zwar in den allgemeinen
Zugen mit den Beobachtungen uberein. Doch ergaben sich
einige Folgerungen aus dieser Theorie, die offenkundig mit
der Wirklichkeit nicht konkruierten. So muBten z. B. nach
jenen Theorien die durch eine fortwirkende Schallquelle erregten Schwingungen in einer Rohre unendlich groB werden
und einmal erregt ohne Hemmung nicht mehr erloschen. Urn
zu erkliiren, warum dieses nicht zutrifft, hat man verschiedene
Einfache harmonische Schwingungen der Luft i n Rohren ww. 391
Hypothesen aufgestellt. Die naheliegenste und offenbar wahrscheinlichste ist zuniichst die von E u l e r , daS die Sohaipgungen der Luft sich sum Teil den Wiinden der Rohr? mitteilen und dadurch fortgesetzt Energie der schwingenden
Luftmasse entzogen werde. Eine andere Annahme, im besonderen fur Rohren mit offenen Enden, machte Poisson,
namlich die, daI3 die Verdichtungen an dem offenen Ende
nicht vollig Null, d. h. also, daI3 die Reflexion unvollkommen
sei. Mit Hilfe einer spezielleren Annahme iiber den Zustand
der Luft in dem offenen Ende') hat Poisson die Folgerungen
seiner Theorie niiher verfolgt. Auch den Umstand, dab Rohren
von bestimmter Liinge beim Anblasen einen tieferen Ton ergeben, als nach seiner Theorie zu erwarten ist, hat Poisson
zu erkliiren versucht. Gie Unzulanglichkeit dieser Erkliirungen
ist dann besonders von H e l m h o l t z dargetan worden. Er
hiilt zwar an der allgemeinen Grundvoraussetzung Poissons
fest, daI3 die Verdichtung im offenen Rohrenende nicht Null
sei, erweist aber die spezielle Annahme Poissons uber die
GroSe dieser Verdichtung als unrichtig und sucht seinerseits
durch sehr tiefgehende und elegante mathematische Uberlegungen, insbesondere durch Anwendung des Gre enschen
Potentialsatzes, den wirklichen Schwingungszustand im offenen
Rohrenende zu bestimmen, indem er ganz allgemein voa der
Voraussetzug ausgeht, daS in den tieferen Teilen der Rohre
die Wellen eben seien und sich dann beim abergang in den
freien Raum allmiihlich zu Kugelwellen umbildeten. Er sucht
dadurch auch zu erkliiren, w a r m die Rohrenlange bei maximaler Resonanz geringer ist als eine ungerade Anzahl von
Viertelwellenliingen, und fur einige besondere Rohrenformen
berechnet er die Differenz zwischen reduzierter und wahrer
Rohrenliinge.
Diese Oberlegungen beschriinken sich aber auf Rohren
mit offenen Enden. Bei beiderseits geschlossenen Rohren
entbehren sie giinzlich der Anwendbarkeit. Doch weicht auch
bei diesen die wirkliche Rohrenlange von einer geraden Anzahl Viertelwellenliingen bei maximaler Resonanz ab. Weiterbin behalten auch nach der Helmholtzschen Theorie die
einzelnen Knoten und Bauche im Innern der Rohre die gleichen
1) Vgl. Helmholtz, 1. c. p. 2.
3 92
G. Schzueikert.
Abstande von ganzen Vielfachen Halber- bzw. Viertehellenliingen.
Alle diese Erscheinungen habe ich zu erklaren versucht,
indem ich zu der Poissonschen Voraussetzung der unvollkommenen Reflexion noch die Eulersche Annahme der Absorption von Schwingungsenergie bei der Ausbreitung hinzunahm, und zwar habe ich zunachst ganz allgemein in elementarer Weise diese beiden Faktoren in Rechnung gesetzt sowohl
f i r die Reflexion an ,,akustisch dunneren" wie an ,,akustisch
dichteren" Medien. Das Ergebnis ist, da13 nicht nur die
Rohrenliinge extremer Resonanz eine Verkurzung oder Verliingerung erfiihrt, sondern auch jede einzelne Knoten- und
Bauchflache eine Verschiebung erleidet. Im Gegensatz zu den
Helmholt zschen Resultaten wird aber durch unvollkommene
Reflexion allein weder die Rohre verkurzt, noch werden die
Knotenflachen verschoben. Der EinfluB der Reflexion verschwindet vielmehr ganzlich, wenn man ungeschwachte Aushreitung der Schwingungen voraussetzt. Wird niimlich in,
unseren Endgleichungen b = 0 gesetzt, so werden samtliche
Verschiebungen der Fliichen extremer Schwingungen wie auch
die Reduktion der Rohrenlange Null. Der eigentlich ma&
gebende Faktor ist also die Absorption der Schallenergie.
Nur wenn diese vorhanden ist, erhalt auch die Reflexion
EinfluS auf die Maxima- und Minimabedingungen.
Die Helmholtzsche Theorie besitzt aber insofern groBen
Wert, als sie den Schwingungszustand (und somit r ) im offenen
Rohrenende - wenigstens fur gewisse Rohrenformen und
unter bestimmten einschrankenden Voraussetzungen - zu
ermitteln gestattet. Was aber die von ihm daraus abgeleitete
Verkurzung der Rohrenliinge maximaler Resonanz anbetrifft ,
so ist daruber schon oben (vgl. $ 8) das Notwendige bemerkt
worden.
8
10. Eltbubftguren.
In meiner Inaugural-Dissertationl) ist eine Besprechung
der verschiedenen Theonen uber die Entstehung der Staubrippen in Gasen durch Schallbewegung gegeben und dargelegt, dab alle diese Theorien nicht hinreichen, die beob~~
1) 1. c. p. 40; A m . d. Phys. 48. p. 6l'4. 1916.
Eiizfache harnwnische Schwiltgsmgen der Luft i n Rohren usw. 393
achteten Erscheinungen befriedigend zu erklken. Wenn aucb
die Konigsche Theorie eine gewisse Wabrscheinlichkeit fur
sich zu haben scheint, so sind doch auch durch sie eine Menge
der beobachteten Erscheinungen unerkliirt geblieben. Ich
glaube nun in den Untersuohungen von Helmholtz, betitelt:
,,Uber atmosphiirische Bewegungen" l), ein P N p gefunden
zu haben, welches alle die analogen Erscheinungen der Schichtenbildung durch bewegte (kompressible) Fliissigkeiten, wie man
sie vielfach in der Natur beobachten kmn, auf dieselbe Ursache zuruckfiihrt, niimlich auf die Wirbdbildung durch Aufrollen innerer Diskontinuitiitsflachen in striimenden Fliissigkeiten. Es sind das die Erscheinungen der Rippel- und Diinenbildung durch stromendes Wasser und durch Wind, die Erscheinung der streifigen Cirruswolken, der Schichtenbildumg
in Flammen durch Luftstrome oder im h e r e n tonender
Luftsiiulen a) , und der Staubrippenbildung durch die Schallbewegung in Gasen. Die Entstehung der streifigen Cirruswolken, die Helmholtz in den genennten Arbeiten beschrieben
und erklkt hat, ist speziell der Bildung der Staubrippen ganz
analog und erschlieSt aueh das Verstandnis ihrer Entstehungsweise.
Wenn im Innern von stromenden Luftmassen Diskontinuitiitsfliichen entstehen, so ist das Gleichgewicht an solchen
Grensfliichen lrtbil, und daher tritt stets eine Aufrollung der
Fliiche ein, die zur Vermischung beider Schichten durch
Wirbel fuhrt. ,,Ist die untere Schicht schwerer, so liiSt sich
aeigen, daB die Stiirungen zuniichst iihnlich den Wasserwogen
verlaufen mussen, die durch den Wind erregt werden. Der
Vorgang wird sichtbar durch die gestreiften Cinuswolken,
welche sich zeigen, wenn an der Grenze der beiden Schichten
Nebel niedergeschlagen werden konnen. Wasserwogen, die
durch den Wind erregt werden, zeigen denselben Vorgang,
der nur durch den groSeren Unterschied der spezifischen Gewichte gladweise versehieden ist. Bei geringer Differenz der
spezifischen Gewichte mnS der Erfolg Mischung der beiden
Schichten mit Wirbelbildung sein. Im Innern solcher Wirbel
werden die ursprunglich getrennten Luftschichten in immer
1) Gea. Abhl. 8. p. 280 u. 309. 1806; Sitaungeber. d. Berliner h a d .
d. Wiss., 31. Mai 1888, p. 647 u. 26. Jul. 1689, p. 761.
2) Vgl. Kundt, Pogg. Ann. 138. p. 337 u. 4W. M.
394
C;. Schweikert.
zahlreichere und deshalb immer dunner werdende Lagen
spiralig umeinander gewickelt und ist daher hier durch die
ungeheuer ausgedehnte Beruhrungsflache ein schneller Austausch der Temperatur und Ausgleich ihrer Bewegung. durch
Reibung moglich."') Soweit H e l m h o l t z in bezug auf atmosphiirische Probleme. Betrachten wir nun speziell den ProzeW
der Staubschichtenbildung in K u n d t schen Wellenrohren, so
ist es von vornherein klar, daI3 diese Erscheinung nicht durch
einfache Schwingungen nur liings der Achse der Rohre bedingt sein kann; denn wie sollte eine solche Bewegung den
Gtaub uberhaupt gegen die Schwere vom Boden der Rohre
emporheben ? Offenbar kann aber auch keine periodische
Luftschwingung, die gegen die Rohrenachse geneigt ist und
bald vom Boden nach oben, bald von oben nach dem Boden
der Rohre zu gerichtet ist, die Ursache der dunnen Staubschichten sein. Vielmehr ist ersichtlich, daI3 solche wahrend
der ganzen Zeit des Tonens wie dunne Lamellen aufwartsgerichtete Staubschichten nur durch einen kontinuierlich vom
Boden gegen die Achse gerichteten Luftstrom erhalten werden
kijnnen, wie er in Spiralwirbeln besteht, deren Wirbelachse
horizontal liegt und senkrecht zur Rijhrenachse verlauft.
Was nun die Ursache solcher Wirbelbildung anbetrifft, so
ist dieselbe, wie gesagt, allgemein durch die Grenzflache von
Fiussigkeits- oder Gasmassen verschiedener Dichte, sogenannte
Diskontinuitatsfltlchen, gegeben. Bpi der Schallbewegung uber
eine Staubflache wird diese Differenz der spezifischen Schweren
durch den Staub veranlsBt. Die unmittclbar iiber dem Boden
lagernde Luftschicht erhalt durch den zugleich mit ihr in
Bewegung geratenden Staub grol3ere Masse und spezifische
Dichte als die dariiberliegenden, sich ungehindert bewegenden
Luftschichten. Damit ist aber der AnlaI3 zunachst zur Wellenbildung analog den Wasserwogen langs der Grenzflache beider
Schichten und sodann, bei hinlanglicher Geschwindigkeit der
Stromung, auch der Wirbelbildung gegeben. Im Irhern der
entstandenen Wirbel werden d a m die ursprunglich getrennten
Luftschichten in immer zahlreichere und deshalb immer diinnere
Lagen spiralig umeinander gemickelt. 2) Die einzelnen auf1) H. Helmholtz, Ges. Abh.
Gea. 22. Oktober 1886. p. 96.
2) H. Relmhol t z , 1. c.
a
p. 287. 1895; Verh. d. Physik.
Einfache h a r m k c h e Schzoingungen det. Luft in Rohren usw. 596
steigenden Schichten dieser Wirbel fiihren den Staub F i t bis
zu einer von seiner Schwere abhangigen Hohe empor und
erzeugen dadurch die stehenden Staubschichten. Wie aber
in den Bauchen der stehenden Welle die Stromungsgeschwindigkeit der Luft vom Bauch nach den Knoten zu abnimmt, so
nimmt auch die GroSe und Intensitiit der Wirbel und damit
die Hohe und Breite der Staubschichten vom Bauch nach
den Knoten zu ab. Bei hinliinglicher Intensitiit des Vorganges
trit t eine dem Branden und Verspritzen der Wasserteilchen
in den Schaumkiimmen der Wasserwogen entsprechende Erscheinung auf, wie sie z. B. von E. K. Schmidt') beschrieben ist.
Indem weiterhin durch die gegenseitige Einwirkung der
einzelnen Wirbel aufeinander eine Fortbewegung der Wirbel
senkrecht zur Wirbelachse eintreten kann, ganz analog dem
Fortschreiten der Wellen auf einer Wasserfliiche, wobei der
,,aufgewirbelte" Staub naturlich mitgefiihrt wird, so wandern
bei stehenden Wellen die einzelnen Staubschiohten von den
Bauchen zu den Knoten. Die innige Vermischung der verschiedenen Luftschichten durch die Wirbel fiihrt zu einem
schnellen Ausgleich von Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenzen, der slso nicht sowohl durch den a d e r s t geringen
EinfluB der inneren Reibung und Warmeleitung, sondern
vielmehr durch Konvektion bedingt ist.
Die sehr schwierige mat hematische Untersuchung dieses
Problems beschriinkt sich auch bei H e l m h o l t z auf stationiire
Wellen. Aus den aufgestellten Differentialgleichungen folgert
er auf Grund des ,,Prinzip der mechanischen &mlichkeit",
daB die GroBen:
b,'
1
u
-.und 4'
1-u
n
-.n
1-IT
stets unverandert bleiben mussen, wo b, und b, bzw.
die Geschwindigkeiten der beiden Luftschichten von verschiedener Dichte, n die VergroDerung der linearen Dimensionen durch Anderung von b oder 0 , und u das Verhtiltnis s2/sl der Dichten beider Luftschichten ist. Darans kann
man schliefien, daB:
1) Ann. d. Phys. 7. p. 226. 1902.
G. Schweakert.
896
1. bei konstantem (T = s / s l sich die linearen Dimensioiicn
der Welle mit dem Quadrat der relativen Geschwindigkeit
beider Schichten andern;
2. bei konstanter Welledlinge ( n = konst.) sich b, \vie
-1/ l/a- 1 und b, wie 1 - u iindern mul3;
3. bei konstanter Geschwindigkeit b, sich b, wie 1/1/ d
und mithin die relative Geschwindigkeit beider Schichten wie
1 und die linearen Dimensionen der Welle wie 1/( 1 - a)
iindern.
Nehmen wir nun an, daI3 sich diese Ergebnisse, obwohl
sie zunlchst nur fur stat.ionare Wellen bei inkompressiblen
Eliissigkeiten gelten, wegen der Analogie und inneren Verwandtschaft der Erscheinungen ihrer qualitativen Seite nach
auch auf die Vorgiinge der Schallschwingungen uber einer
Staubfliiche iibertragen lassen, so wurde das folgendes besagen: Da die Geschwindigkeit der Luftstromungen beim
Schalleitungsvorgang proportional der Amplitude der Schwingung ist, so wurde also:
1. bei unverlndertem Verhaltnis der Dichten beider Luftschichten, d. h. bei unveranderter Menge desselben Pulvers,
die L b g e der Staubwellen - der Abstand der Rippen direkt proportional dem Quadrat der relativen Geschwindigkeit beider Luftschichten zunehmen;
2. bei konstanter Amplitude der Schwingung wurde sich
der Abstand der Rippen indirekt proportional: 1 B = (sl- s ~ ) / s ~ ,
oder bei konstanter Dichte des schwingenden Gases mit' der
Staubmenge und dem spezifischen Gewichte des Staubes
Bndern. Die direkten Beobachtungen stimmen hiermit vollig
uberein.')
Weiterhin ergibt die Theorie nach Helmholtz, da13
Wind derselben St arke Wellen von verschiedener Wellenllinge und Fortpflanzungsgeschwindigkeit erregen kann, wodurch Interferenzen zwischen den Wellen zustande kommen
und sich abwechselnd hohere und niedere Wellenberge folgen,
wie bei den Staubrippen grol3e und kleine abwechseln. Dieser
Vorgang muB zudem sehr begunstigt werden, wenn auSer den
Schwingungen eines einfachen Tones noch sekundiire Schwin-
v p-
-
1) Vgl. meino Bonner Dissertation, Lei&
1916, 1. c. p. 46.
Einfache harmonkche Schzlringungen der Luft in Mhmn w . 897
gungen von Obertonen vorhanden sind, die infolge ihrer geringeren Amplitude kleinere Wellen und somit kleinere Staubrippen erzeugen. Dieses besutigt die Beobaohtung K u n d t s ,
daB kleinere Rippen zwischen den grCiSeren namentlich dann
ayftreten, wenn aul3er dem Grundton noch ein Oberton
schwach mittont.
Auf diese Weise erkliiren sich meiner Ansicht na& die
Erscheinungen der Staubrippenbildung bei weitem vollkommener, einfacher und verstiindlicher als nach der Theorie
von W. Konig auf Grund von hydrodynamischen Anziehungsund AbstoBungskriiften. Vor allem findet anch das Wandern
der Rippen und das Abwechseln von grol3en und kleinen Rippen
eine ganz ungemungene Erkliirung. Ja, man konnte am den
Ergebnissen der Helmholtzschen Untersuchungen, die sich
doch zunibhst und eigentlich auf einen gam anderen Gegenstand beziehen, alle dime Erscheinungen ale notwendig voraussagen, wenn sie noch nicht beobachtet wiiren.
(IwWwP 16. Jenaar 1917.)
A n d m der Pbpik. IV. Folge. 62.
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