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Einflu des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Krper - Anwendung auf Rayleighwellen.

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J. -1.Barth, Lripzig
Annalm der Physik. 7 . Folge, Band 34, Heft 4, 1977, S. 267-285
EinfluR des Randes auf das effektive Verhalten heterogener
Korper - Anwendung auf Rayleighwellen
Von UTEBAHR
Sektion Physik der Technischen Universitat Dresden
Inhaltsubersicht. Fur die elastische Oberflachenwellevom Rayleightyp in einem heterogenen
Xaterial (z.B. Gemisch aim mehreren Phasen, Verbundwerkstoff, Polykristall) merden die Wellengleichung und Randbedingungen nach den selben stiirungstheoretischen Nethoden, die fur unendlich
ausgedehnte heterogene Korper angewendet werden, hergeleitet. Diese Wellengleichung ist eine
Integrodifferentialgleichung,was zur Folge hat, da13 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Oberflachenwelle vs frequenzabhangig wird. AuBerdem sind die Wellen gediimpft.
Unter vereinfachenden Voraiissetzungen (Isotropie, nichtstochastische elastische Konstanten)
wird folgendes gezeigt : Beschranken sich die Dichtefluktuationen auf die Randniihe, so verhiilt sich
der frequenzabhangige Teil der Ausbreitungsgeschwindigkeit wie
1303
7
und die D&mpfung wie
C;?
1w
-, wiihrend
izW2
und
13w4
'4 ergibt. Hitrct
aus wird ersichtlich, unter welchen Umstiinden die Wellen hinreichend darch eine Differentialgleichung mit frequenzabhiingigerMassendichte beschrieben werden konnen.
$
sich bei Dichtefluktuationcn im gesamten Halbraum
Ef
Effective Elastic Properties of Finite Heterogeneous Media
Application to Rayleigh-waves
-
Abstract. Rayleigh waves in a heterogeneous material (multiphase mixtures, composite materials, polycrystals) are governed by integrodifferential equations derived by the aid of known
methods for infinite heterogeneous media. According to this wave equation the velocity depends
on the frequency, and the waves are damped.
After some simplifications (isotropy, nonrandom elastic constants) the following is obtained:
if the fluctuations of the mass density are restricted to the vicinity of the boundary, the frequency1%9
dependent part of the velocity behaves like 7and the damping is proportional to 7 whereas
,
C;
ct
1
w
2202
- respectively
.t'2
- is found if the fluctuations are present in the whole half-space.
1304
From this
l5:
it is seen, what assumptions are necessary to describe the waves by differential equations with frequenc y-dependent mass density.
Einleitung
Es werden heterogene Materialien betrachtet, die sich aus honiogenen Unterbereichen
( Kornern, Poren, einkristallinen Bereichen in einem PolykristaU, Einlagenmgen) mit
u nterschiedlicher Geometrie und physikalischen Eigenschaften zusammensetzen. Beson-
'
U. BAHR
268
ders interessiert die Ausbreitung elastischer Oberfliichenwellen. Die Arbeit ist ein erster
Schritt zum Verstandnis des Verhaltens der Oberflachenwellen auf piezoelektrischen
Sinterwerkstoffen, wie sie neuerdings in der HF-Technik neben den piezoelektrischen
Einkristallen eingesetzt werden [11.
Solange die Wellenlange 1 sehr groB ist iia Vergleich zu der charakteristischen Lange 1
der hoinogenen Unterbereiche, entstehen keine grol3eren Probleme, das heterogene Material kann durch effektive Materialkonstanten beschrieben werden. 1st dagegen die
Wellenlange 1 von derselben GroBenordnung wie die Ausdehnung 1 der Heterogenitaten,
gelten nicht mehr die ublichen Materialgesetze. I$
entstehen nichtlokale Beziehungen.
Das hat zur Folge, daB bei dem Einsatz von heterogenen Substanzen, z. B. Piezokeramik
fur Funktionseleinente mit Resonator- und Filtercharakter (11, bei hohen Frequenzen
frequenzabhangige Anderungen der Ausbreitungsgeschwindigkeit auftreten. AuBerdem
sind die Wellen gedampft, da sie an den Inhomogenitaten des Materials gestreut werden.
Fur Volumenwellen, d. h. hier fur Wellen, deren Ausbreitung in Gebieten erfolgt, deren
Abstand vom Korperrand sehr pol3 gegenuber der charakteristischen Lange 1 der Unterbereiche ist, ergibt sich in niedrigster Ordnung eine Dampfung proportional zu P o 9
[2, 31. Diese Frequenzabhangigkeit ist durch zwei Mechanismen, die aber beide den
gleichen Beitrag zur Dampfung liefern, zu erklaren. Die Schwankungen in den Lamkschen
Parametern liefern eine Art Rayleighstreuung. Das iiber einem Korn homogene mittlere
Feld induziert Dipole, die sich wie das Feld mit der Frequenz OJ zeitlich andern. Die BUSgestrahlte Leistung eines Dipols ist aber proportional zu w4. Wahrend die Dichtefluktuationen nur eine Monopolstrahlnng bringen, aber die Dichte ist stets mit w 2 niultipliziert, so dal3 als Faktor wieder w4 entsteht.
I n dieser Arbeit soll gezeigt werden, daB bei Oberflachenwellen im allgemeinen ein
anderes Danipfungsverhalten zu erwarten ist als bei Volumenwellen4Es werden speziell
Rayleighwellen [4] betrachtet. Zur Vereinfachung wird hier nur eine fluktuierende
Massendichte angenommen.
Der Fall fluktuierender Lamhscher Parameter ist Gegenstand einer weiteren Ver6ffentlichung. Der dafiir benotigte Formalismus wird aber bereits vorbereitet.
Arbeitshypothese ist wie in [3] und [ 5 ] bis [8], daB ein am 01%
r gemessenes Feld, das
heiBt ein ranmliches Mittel, gleich dem iiber eine Schar von Probekorpern gemittelten
Feld am Ort r ist. I m Unterschied zu den1 in einem Probekorper herrschenden Verschiebungsfeld u wird das mittlere oder ,,gemessene" Feld mit (u>bezeichnet, entsprechendes
gilt fur andere GroBen zuin Beixpiel den Spannungstensor 6.
Zunachst wird eine Gleichung fur das mittlere Feld ( u ) abgeleitet, die auch die
Randbedingungen enthalt . Zur Vereinfachung wird dann angenomnien, daB das heterogene Material in jedem Punkt isotrop ist, also durch Lam6sche Parameter il und ,u
beschrieben werden kann, die aber von Unterbreich zu Unterbereich verschieden sein
konnen. Das heterogene Material fiillt den Halbraum z 2 0 (Abb. 1).Senkrecht zu der
tz
Abb. 1 Halbraum, mit heterogenem Material gefullt
EinfluD des Randes auf das effektive Verhaiten heterogener Korper
2GB
I
ausgezeichneten z-Achse soll das Material statistisch isotrop und in den Ebenen
z = const. statistisch homogen sein. Das erste bedeutet, daD sich die Gleichung fur dss
mittlere Feld nicht bei einer beliebigen Drehung um die z-Ache andert. Die statistische
Homogenitat hat zur Folge, daD die Gleichung bei beliebigen Translationen des Korpers
normal zur z-Achse unveriindert bleibt. Auberdem soll in grobem Abstand von dem Rand
auch die z-Achse nicht mehr ausgezeichnet sein, das Material ist dann statistisch isotrop
und statistisch homogen.
Die Gleichung fur das mittlere Feld besitzt Rayleigh-artige Losungen. In groI3erem
Abstand von dem Rand klingt die Losung exponentiell ab. In Randniihe treten aber
Korrekturterme auf, die nicht einfache Exponentialfunktionen sind. Sie werden in
allgeineiner Form angegeben, explizite Ausdriicke lassen sich nur numerisch finden,
da auch der benotigte Greensche Tensor im Ortsraum keine einfache Form hat.
Es zeigt sich, daD in dem Fall, daB die Dichte nur in Randniihe fluktuiert, die Diimpfung proportional zu 14w6ist, wahrend sie sich bei einem durchgehend heterogenen Material wie bei Volumenwellen verhalt. Dieses Ergebnis ist nicht auf kleine Dichtefluktuationen beschrankt. Es wird zwar eine Storungsentwicklung nach Dichtefluktuationen
durchgefiihrt, sie dient aber nur zur Konstruktion des allgemeinen Integralkernes in der
Gleichung fiir das mittlere Verschiebungsfeld.
1. Umformung der Randbedingungen in Quellen
Das Verschiebungsfeld u eines Probekorpers genugt bei zeitlich periodischer Erregung
der Gleichung
DieKraftdichte q soll nicht stochastisch sein ( q ) = q, spiiter wird q = Ogesetzt. Sie
ist nur im Innern des Korpers von Null verschieden. Die Massendichte Q und der Hookesche Tensor E sind ortlich veranderlich und unterscheiden sich von Probekorper zu
I
u Fliichennormale
Abb. 2 Probekorper: Volumen V , Oberfliiche S,Oberflachennormalen
Probekorper. Die Probekorper haben alle das gleiche Volumen V (Abb. 2). Auf der
Oberflache S sind Randbedingungen vorgegeben. Der Rand kann eingespannt
1
i~ rcS = ~ ( f J , m )
(1.2)
oder frei sein
nir I rcS = 07
oder ein Teil des Randes ist frei und der andere eingespannt.
(1.3)
U.BAHR
,270
Die Schwierigkeiten mit den Randbedingungen konnen dadurch umgangeii werden,
,daB statt des Volumens V ein unendlich ausgedehnter Korper aus demselben Material
betrachtet wird, der im Gebiet V mit dem Probekorper vollig iibereinstimmt. AuBerhalb
von V werden stochastische Quellen (fur jeden Probekorper andere) angehracht, die
dafiir sorgen, daW das Verschiebungsfeld auf der Flache X die gegebenen Randhedingun.gen erfiillt. Das Problem wird so auf die Behandlung eines unendlich ansgedehnten
Korpers mit st.ochastischen Quellen zuriickgefiihrt, und die in [31 bis [71 verwendeten
Methoden zur Herleitung einer Differentialgleichung fur das mittlere Feld konnen angewendet werden. Um solche Quellen zu erhalten, wird das Verschiebungsfeld iiber den
Rand von V hinaus fortgesetzt
uz(r)= J dz’ Be0(r- (r‘
V
+ s n ( r ) )ul(r’).
)
(1.4)
.BJr - r I ) ist eine temperierte Diracsche &Funktion der Breite e0 . n(r)ist fiir Punkte r
in der Plache X gleich der Flachennormalen n, in das Innere von V wird n beliehig aber
glatt fortgesetzt. Der Parameter E ist klein. Es sol1 gelten
;1>l%&EEO.
(1.5)
Fiir Punkte r E V , selbst fur Punkte r 8, ist (1.4) eine Identitat, denn statt iiher V
kann auch iiber R3 integriert werden, da die 6,-Funktion fur solche r’ und r-R’erte
,ohnehin verschwindet. Neben u verlialt sich 6, wegen (1.5) wie eine Diracsche d-Funktion, so da13
f d t ’ aEO(r- (r‘ ~ nul(r’))
)
= uz(r- ~ n =
) ul(r).
(1.6)
Ra
Das letzte Gleichheitszeichen folgt wegen (1.5) und d a Stetigkeit von u .
Fiir Punkte r auSerhalb V , die von dem Rand einen Ahstand groBer als E hwben,
verschwindet u. Nun wird auf uzder Operator,pd Szj aicijkl angewendet
@C02Uj
8iCijkl &Ul = [ dz‘ &,(r - (Y ‘$-En)) @ ( r02Uj(r’)
)
+
+
+
+
V
a&jkl(r)
[ dz’(&8eo ( r - (r’ f En))U l ( r ’ ) )
(1.7)
*
V
,e(r)und cijkl(r)sind Funktionen, die innerhalb eines Homogenitatsbereiches
(ZUKILBeispiel Kornes) konstant sind, aber beim Ubergang zu einem anderen sich sehr rasch andern. Die A n d e m g erfolgt iiber eine Lange der GroBenordnung .sk und 1 $ E ~ Die
.
anderen kleinen Parameter konnen so gewahlt werden, daS die folgenden Ungleichungen gelten
A > 1 % & k > > & % E0.
(14
Uber einem Gebiet der GroDe E andern sich e und E dann praktisch nicht. Keben der
&-Funktion in (1.7) kann e(r)durch,o(r’) ersetzt werden. Ahnlich kann mit dein anderen
a
Term verfahren werden, wenn zuerst -
a
+ - 7Se0= -&3,,
axk
gesetzt und an-
axk
.schlieBend partiell integriert wird. Terme, die den kleinen Parameter E enthalten,
konnen weggelassen werden. Nachdem dann auch noch mit a, wie mit a, verfahren wird,
ist das Ergebnis
ewzuj
&iCijkE akul = J dz‘ dEo(r- (r’
En))e(r’)w2uz(r’)
+
+
V
+ v dz’ Seo(t - (r’ + ~ n(8&z(r’))
)
&uZ(r’)
+ J dz‘ dEO(r- (r’ +
aiaiul(r‘)
E n ) ) cijkl(r’)
V
-
JS df::BE&
f
Js
S
S
(@&O(r
- (r’
+
En)) CijkW
a;% (4
- (r’ $. En)))C i j k l ( r ’ ) ul(r’)*
(1.9)
EinfluS des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Koqer
271
Auf der rechten Seite werden die ersten drei Terme ZusammengefaBt, es entsteht neben
der Ss0-Funktion derselbe Ausdruek wie auf der linken Seite von (1.1).Alle drei Ternie
lronnen also durch eine Integration uber die d,-Funktion und die Quelldichte ersetzt
werden. Diese Integration kann ausgefuhrt werden, da die Quellen nur im Innern von V
nicht verschwinden. Statt (1.9) entsteht
@dUj
+
aicijkl
a&
= qj(r)
’
(1.10)
+ SS d&(& dso(r
S
- (r’
-+
En))) C i j k l ( r ’ ) u
w.
Nebenbedingung: u(00) = 0.
Die erhaltene Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichungin R3. Die zusatzlichen
Quellen liegen auBerhalb des Volumens V , dafiir sorgt die Verschiebung En in Richtung
der Flachennormalen. Die Folge ist, da13 innerhalb von V wieder GI. (1.1)gilt. Das erste
Oberflachenintegral entspricht einer Kraftverteilung auf einer wenig nach auBen verschobenen Oberflache, wahrend das zweite eine Belegung dieser Oberflache init Kraftedipolen beschreibt. J e nachdem welche Randbedingungen vorliegen, ist entweder der
Integrand in dem ersten oder dem zweiten Integral bekannt. Fur den freien Rand zum
Beispiel verschwindet das erste Oberflachenintegral.
I n dem Spezialfall eines freien ebenen Randes bei z = 0 und der Flachennormalen
n = -e3 folgt
’
(1.11)
ew2uj
ajc,jkl[akul - 83kS(Z
E) %(X, y, 011 = qj
+
+
Nebenbedingung u(z = - 00) = 0.
Die Randbedingungen o Q I ( zy,, 0) = 0 lassen sich aus (1.11)wieder gewinnen, wenn die
Gleichung uber ein kleines Volumen V,, das einen beliebigen Punkt (x,y, 0) und zum
Teil die stochastischen Quellen enthalt, integriert und nach Division durch q2 zur Grenze
lini lim lim (Bezeichnung s. Abb. 3) ubergegangen wird.
a+O 7’0
E+O
Abb. 3 .Integrationsvolumen V , mit A
> 1 + ek + 7 > E & E~
Zur Vereinfachung dieser Prozedur wird
a..
- c.
a3 - zjkdakBl - 8 3 k @
oder die mit uz naoh (1.4) aus
f E f uZ(x~ Y,O)]
(1.12)
U.BAIIR
272
mit dein GauBschen Satz und df‘ = -dye, folgende Beziehung
cij= Jdzr SEa(r- (r’
V
+ En))cijkl(rf)
(1.13)
a;Ulpr)
benutzt.
Es entsteht zunachst
(1.14)
da die Kraftdichte in RandnLhe nach Voraussetzung verschwindet. Mit dem GauBschen Satz ergibt sich
$dz
QW2Uj
+$$ dfi 0,
VD
=
(1.15)
0.
84
Das Verschiebungsfeld u nach (1.4) ist, in V , in z-Richtung rasch veranderlich, bleibt
aber-endlich. Deshalb ist der Beitrag des Volumenintegrals klein im Vergleich xu dem
des Oberflachenintegrals. Die Seitenflachen des Volumens V , werden so klein gewahlt,
daS sie in dem Oberfliichenintegral unberiicksichtigt bleiben konnen. Innerhalb der
kleinen Plache z = q beziehungsweise z = -q ist oij nicht mehr veranderlich, so da13
sich die G1. (1.15) auf
(1.16)
0 3 j /z=o = 6 3 j 1 = + 0
reduziert. I m AuBenraum ist 03jwegen (1.13) aber Null, so da13 die Randbedingungen
b 3 j Iz=0 =
(1.17)
0
folgen.
2. Die Gleichung fur das mittlere Feld
Es wird ein Halbraum ( z >, 0 ) mit kraftefreiem Rand betrachtet. Das Versckiebungsfeld genugt unter dieser Voraussetzung der G1. (l.ll),die als
Ljlul = qj
(2.1)
oder einfach als
Lu = q
geschrieben werden kann. Wie der neu eingefiihrte Operator auf einen Vektor v wirkt,
wird durch die folgende Beziehung angegeben
Ljlul
= Qm2uj
+
&Cjjkl[Gv,
- &kS(z
+
Y,0)l.
&) U U I ( X ,
(2.2)
Die Gleichung fur das mittlere Feld ( u )
(2.3)
L$f(u,) = (LjlU1) = qj
folgt durch Mittelung aus (2.1), wenn es gelingt u durch ( u ) auszudriicken. Um das zu
erreichen, werden zunachst der geniittelte Operator ( L )
+
+
(Ljd v1 = (e> mzvj 4 ( C i j k , ) [a,% - 8 3 k m
8 ) VZ(% Y,0)
und die Abweichung des Operators L von seinein Mittel eingefiihrt
Li1= Lj, - ( L j l ) niit
+
(Li,) = 0 ,
+
L;[S = erm2uj aicijkl[akvl
- 6:,k6(2
init e’ = Q - ( Q ) u n d t ‘ = 6 - ( 6 ) .
(2-4)
(2.5)
Ul(x,Y,0)i
(2.6)
273
EinfluB des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
Die fur nichtstochastische Quellen gultige Beziehung
q j = (qj) = (LjlUl)
und die Zerlegung
(2.7)
zu bringen.
Die folgenden Ausdriicke lassen sich etwas einfacher schreiben, wenn neben (. .)
fur die Mittelung noch der Mittelungsoperator M eingefiihrt wird
-
M U = (v).
(2.10)
Statt (2.9) entsteht dann
(2.11)
ul(r) = (udr)) - Sat‘ 91rn(r,r’) (1- M ) Gmdr’)u,(r’)
(2.12)
R9
oder kurz
I
u = ( u ) - g(1 - M ) L‘u.
Der Greensche Tensor selbst genugt der Gleichung
(2.13)
(Ljt) glm = SjmSCr - r ’ ) .
Aus (2.13) folgt unmittelbar der gesuchte Ausdruck
(2.14)
+
(2.15)
u = (I g(1 - M ) L’)-l ( u ) ,
mit I wird hier der Einheitsoperator bezeichnet.
Einsetzen in (2.1), Mittelung und Vergleich mit (2.3) liefert den effektiven Operator
+
(2.16)
L,,, = ( L ( I g(l - M) L’)-1).
Bei komplizierteren Problemen (nicht ebener Rand oder andere Randbedingungen) verliiuft die Rechnung entsprechend, der Operator L ist aber ausgehend von (1.10) anders
zu definieren.
Das Ergebnis (2.16) ist zuniichst nur in dem Sinn zu verstehen, da13 es sich um eine
Reihenentwicklung nach Potenzen des Operators L’ handelt
(I g ( l - M ) L y = I - g(1 - M ) L’
(2.17)
g ( l - M ) L’g(1 - M) L’ -
+
+
+
+
me.,
also urn eine Entwicklung nach Potenzen der Fluktuationen Q‘ und 6’. Wird aber weiter
mit der Annahme gearbeitet, daB diese Reihe konvergiert, lassen sich aus ihrer Struktur
allgemeine Aussagen uber den effektiven Operator machen [S].
Werden nur Terine bis in 2. Ordnung in den Fluktuationen e’ und 6’ beriicksichtigt,
entsteht die effektive Gleichung
(2.18)
( L ) ( u ) - (L’g(1 - M ) L‘) ( u ) = q .
Ausfiihrlich geschrieben bedeutet das
(Lj,) (Ul) - (L;L Sdz’ 91rn(r,r’) (1 - M ) L ‘ m n ( m (uu,(r’))=
RS
!+.
(2.19)
U. BAHE
274
Die Integration uber den gesamten Raum kann mit der gemittelten Beziehung (1.4) auf
die Integration uber das Volumen V zuruckgefuhrt werden. Zunachst ergibt sich mit L‘
aus (2.6) und der analogen Uniformung, die von (1.12) auf (1.13) fuhrte,
(2.20)
Einsetzen und Ausfuhren der Integration uber r’ liefert
Die kleine Verschiebung en im Argument r’ wird im weiteren nicht mehr initgeschrieben.
Xur in der Nahe des Randes muB sie bei konkreten Rechnungen wieder beachtet werden,
Fur Punkte r E V wird dann aus (2.19)
( e ) o2(Uj)
-
+
ai(Cijk1)
a d Jdt’(akgh(r,
V
Gk(u1)- w4 Jdt‘gjm(r, r‘) (e‘(r)
v
I‘
()
cijkl(r)
e“)
(%(t‘)>
@’(r’)>
+ S dt’ (a;gim(r, r’))(e’(r)c ; , n a n ( m a;obn(ro)
+ a,. vS waka;gz,(r, r o
c;man(ri))a;(u,(r’)) = 0.
(2.22)
o2
V
<&kdr)
Die zweifache Ableitung des Greenschen Tensors akahglm ist symbolisch zu verstehen.
Es handelt sich nicht mehr um eine gewohnliche Funktion sondern urn eine Distribution
[4, 91. Ihr Auftreten laBt sich vermeiden, wenn die Ableitung a, nicht sofort unter das
Integral gezogen wird, sondern erst durch partielle Integration der Integrand umgeformt
wird. Dabei entsteht zusatzlich ein Oberflachenintegral. Wie die Distribution zu definieren ist, folgt dann unmittelbar
J dt’(akglm(r,r’)) a;f(r’)
+ SsSdf;(akgzm (r,r’)) f ( r ‘ ) ;
Swaka;glrn(r,r’) f(rf)= -
V
V
(2.23)
f(r) steht symbolisch fur den restlichen Integranden. Die Integrodifferentialgleichung
(2.22) unterscheidet sich von der Gleichung im unendlich ausgedehnten Volumen [3]
an zwei Stellen. Es wird uber ein endliches Volumen V integriert, und der Greensche
Tensor erfullt (2.14) und damit auch die Randbedingungen
c3jkZ
akm, lZ=,
= 0,
falls r‘cl S ,
(2.24).
ist also nicht der Greensche Tensor fur ein unendlich ausgedehntes Material. Fur Punkte
r in sehr groBem Abstand von dem Korperrand geht (2.22) in die Gleichung fur die Verschiebungen im unendlich ausgedehnten Korper uber, wenn zwischen den Fluktuationen
der MaterialgroBen an weit voneinander entfernten Korperpunkten keine Korrelationen
bestehen.
EinfluU des Rnndes auf das effektive Verlialten heteroganer Korper
275
I n dem Spezialfall, daB nur die Maasendichte fluktuiert, ist nur die Korrelationsfunktion (g’(r)e‘(r‘))verschieden von Null, so daB
(g) w2(uj>
-
04
+
aicijki a k ( u i >
(2.25)
J dt‘gj,(r, r’) <e’(r)e’(r’)>(u,(r’)> = 0
V
entsteht.
Werden auch hohere Glieder der Storungsreihe in Betracht gezogen, hat alIgemein
die Gleirliung fur das mittlere Verschiebungsfeld die Gestalt
(2.26)
I t ( r , 1.’) kt ein unbekannter Kern, der die Symmetrieeigenschaften in dem statistischen
Ensemble von Probekorpern widerspiegelt. Falls sich die Korper wie ein statistisch isotropes Material verhalten, das einen Halbraum (z 2 0) fiillt, hangt dieser Kern von der
Summe (.x - x ‘ ) ~ (y - Y ‘ ) ~ ,auBerdem von z, 2‘ und von icu ab. Da e’ stets mit cu2
iiiultipliziert ist, gilt beziiglich der Abhangigkeit von o
(2.27)
Kjnb(r,r’, iw) = gjm(r,r’, iw) (e’(r)e’(r’)> O(w2)
Falls nicht die Dichte sondern der Hookesche Tensor 6 Fluktuationen aufweist, ergibt
sich statt (1.12)
<P) W2<uj>
az(cvjk~)ak<u~)
(2.28).
dt’(WLglrn(r,r’)) (c;jkl(r)cirngn(r’))a;(un(r’))= 0 .
+
+
+
-
+
A U Cdie
~ Beriicksichtigung hoherer Terme in 6‘ Lndert an der prinzipiellen Struktur d e r
Gleichung nichts
(2.29)
6 ist wie I;- ein im allgemeinen unbekannter Kern. Er zeigt aber fiir kleine Abstande
1 r - r’ 1 das gleiche singdare Verhalten wie aka;glrn.
Die Randhedingungen fix das mittlere Feld ( u ) sind in dein effektiven Operator
(2.16) enthalten. M e in dem ersten Abschnitt dieser Arbeit vorgeschlagene Prozedur,
um aus (1.11)die Randbedingungen zu gewinnen, ist sinngemiil3 anzuwenden. I m Fall
stochastischer Massendichte entsteht
cAj,jkl ak(ui>j z = ~ =
0,
dagegen fiir stoehastische Hookesehe Tensoren
(cyjki) ak<uz>[z=o
+ J’dr’I)3jqn(r, r‘) a;<un(r’)>lz=o = 0 .
(2.30)
(2.31).
V
3. Hayleigh\wllen
Nun sollen Rayleigh-artige Oberflachenwellen, die sich in 2-Richtung ausbreiten,
untersucht werden. Das Material habe nur Dichteschwankungen. Die Ausgangsgleichung
(2.26) bekomiiit niit den konstanten Lambschen Parametern 1 und p in Vektorschreibweise die Gestalt.
U. BAHR
276
and die Losung hat nach (2.30) den Randbedingungen
zu genugen. ZweckmiiBig ist der Ansatz
mit
der die longitudinale und die transversale Welle entklt, die auch noch in etwas groBerem Abstand von dem Rand vorhanden sind. 6ul(z),6ut(z)sind z-abhangige Korrekturen
in Randnahe. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v8 in x-Richtung wird sich als komplex
und frequenzabhangig ergeben. Gleichungen fur m1 und at in den z-Komponenten der
Wellenvektoren folgen aus der Wellengleichung fern von dem Rand
W
K ( I r - r' 1, iw)steht fur den Kern, wenn der RandeinfluB abgeklungen ist. Statt iiber
V kann uber Rs integriert werden, da die Dichteschwankungen an weit voneinander
entfernten Punkten unkorreliert sind und deshalb der Kern das Integrationsgebiet ohnehin beschrankt.
Die Formeln werden etwas einfacher, wenn die folgenden zweistufigen Tensoren eingefiihrt werden
&(z, iw,ikJ =
J dz' 6 ( x - x', y - y',
z, z', iw)&(r'-r),
V
"
00
"
s dz' K(I r - r' 1, i w )
s dz' I?(. - y - y',
m
Jz(oo,iw, ik,) =
eikl(r'-r),
R3
jt(z,i w , ik,) =
(3.8)
XI,
z, z',
i w ) e6kt(r'-r),
V
m
Jt(0o,iw, i k t ) =
dz'
Re
k(I r - t' 1, i w ) eikt(y'-r).
(3.9)
(3.10)
(3.11)
EinfluB des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
277
Statt (3.6) und (3.7) entsteht
(3.12)
(3.13)
wenn
(3.14)
(3.15)
gesetzt wird.
Weiter ist es zweckniafiig in dem effektiven Material fern von dem Rand die longitudinale und transversale Schallgeschwindigkeit einzufiihren
(3.16)
(3.17)
Beide Geschwindigkeiten sind in heterogenen Materialien komplex und frequenzabhiingig. Die Entwicklung von @iff
und ,oLffbis zur dritten Ordnung in w liefert
"
w
"
c
m
m
mit J = J1(oo,iw, 0) = Jt(co, iw,0) nach (3.9) und (3.11).
v
m
J ist ein Einheitstensor, da in grofier Entfernung von den1 Rand keine Richtung
mehr ausgezeichnet ist. Es bleiben, um (3.18) zu bestatigen, noch die Terme zu diskutieren, die durch Entwicklung der Exponentialfunktion in (3.9) und (3.11) entstehen. Sie
verschwinden, da es keine isotropen Tensoren ungerader Stufe gibt. Die typische Frequenzabhiingigkeit der effektiven Dichte hat zur Folge, da13 die frequenzabhangige
Korrektur der Ausbreitungsgeschwindigkeit in niedrigster Ordnung proportional o2
und die Dampfung proportional zu w4 ist, wie bereits in [2] und [3] gezeigt wurde. Genauer mu0 gesagt werden, proportional
(0212
c,"
w413
beziehungsweise - , wenn die Abkling-
;:
lange der Korrelationsfunktion (e'(r) e'(r'))in (2.27) mit I bezeichnet und beriicksichtigt
wird, dafi sich der Greensche Tensor
m
9.23 - 8zp(l
1
'
+ 2p) r
(3.19)
1
1
dimensionsmafiig wie - = -verhalt.
b 1 (e>c,"
Statt
(3.20)
19 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 34
U. BAHR
278
kann iiii Nenner der Proportionalitiltsfaktoren auch
O
c2
--
2
+ 2p
(3.21)
(e>
geschleben werden, die neben den Paktoren stehenden Zahlen werden nur entsprechend
groBer.
Aus den Dispersionsrelationen (3.12) und (3.13) folgt mit den durch (3.16) und (3.17)
eingefiihrten Schallgeschwindigkeiten
(3.22)
at =
p
.
-
(3.23)
c?
Kun fehlt noch eine weitere Beziehung, die die vorlaufig unbekannten GroBen &,, at
und v, miteinander verkniipft. Diese ergibt Rich aus den Randbedingungen, denen das
inittlere Verschiebungsfeld geniigen muB.
Mit dein Ansatz (3.4) werden die Randbedingungen (3.2) und (3.3) zu zwei homogenen Gleichungen fur die unbekannten Amplitudenfaktoren a und b
(3.24)
(3.26).
(3.27)
EinfluB des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
279
und die Uniforinung
die unniittelhar aus (3.22) und (3.23) folgt, gebraucht wurde.
Fur eine nichttriviale Losung ist erforderlich, da13 die Koeffizientendeterminante
verschwindet. Das ergibt die gesuchte Gleichung
4%at - (1
+
+ at")' -
dbadab
f
cSba
daadbb
- 2(al8bb
- dab)
f
at")
+ at
daa)
(3.30)
= O.
Fiir die weiteren Diskussionen ist es giinstig, statt der Rayleighgeschwindigkeit v, die
Gro13e ( durch
= 5'ct
Vs
einzufiihren. Aus (3.22) und (3.23) wird dann
a
= 1/1- 5'2
,
(3.31)
Interessant ist es, den Fall, da13 die Dichteschwankungen nur in einer Oberflachenschicht
der Dicke 1 anftreten, dern Fall gegeniiberzustellen, da13 die Dichteschwankungen im
05
gesaniten Halbrauin z 2 0 vorliegen. I m ersten Fall gilt K = 0, was c, = cf zur Folge
hat. Die Frequenzabhiingigkeit von v, ist dann allein durch die von c gegeben. Die GroBe
[ wird sich ini allgemeinen in einen frequenzunabhingigen Teil (, und einen frequenzabhangigen 5 zerlegen
(3.32)
i= 50 ~ 5 ' ( 0 ) ,
wobei V: = Cogdie Rayleighgeschwindigkeit in einem Matkrial mit der mittleren Dichte
<e) ist. Fur &, ergibt sich aus (3.24) und (3.25)
+
(3.33)
mit
Wie die iiii nachsten Abschnitt durchgefiikrte Berechnung von du, und du, zeigen wird,
Bind ,a,
dab,
,a,
und
&, in niedrigster Ordnung proportional zu
nach (3.31) nicht explizit sondern nur implizit iiber
w313
D. und reell. Da
at
:
6 abhangt und cz.
c von der Frequenz
C?
in al wegen (3.16), (3.17) und (3.18) frequenzabhangige Terme in niedrigster Ordnung
w414
proportional zii -hat, zeigt SC in niedrigster Ordnung eine ebensolche Abhangigkeit
:;
19'
U.BAHR
280
L0313
von LO wie die 6-GroBen, also wie 0.
I n dem Fall, daB statistische Dichteschwankungen
c,"
im gesamten Material vorliegen, ist dann in den beiden niedrigsten Ordnungen die Frequenzabhiingigkeit von ct dominierend, also
(3.34)
Falls die Dichteschwankungen auf den Rand beschrankt sind, ist c, = c! unabhiingig
von LO,und die Frequenzabhlingigkeit von Sg'wird bestimmend
V.$
= v,"
+ - const + i -const.
w3~3
::
0414
$:
(3.35)
w514
Die Diimpfungskonstante ist proportional zu 0,
also schwacher als im oberen Fall.
ct"
4. Bereehnung der Losung in der Nahe des Randes
Um endgiiltig die Frequenzabhangigkeit von Sg' zu bestiitigen, miissen du&),
6u,(2) und die Ableitungen dieser Vektoren berechnet werden. Gleichungen fur die Korrekturterme dul(z) und 6u&) ergeben sich, wenn der Ansatz (3.4) in die Wellengleichung (3.1) eingesetzt und die Dispersionsrelation (3.6) beziehungsweise (3.7) verwendet
wird. AuBerdem konnen Terme, die die Produkte co46utund w4 6u,enthalten, weggelassen
werden, da sich spater auch du, und du, in niedrigster Ordnung proportional zu 0 4
erweisen. Mit den Definitionen (3.8) bis (3.11) lauten die gesuchten Gleichungen
+ w4e
Die Verschiebungen 6ul und du, lassen sich nun selbst wieder in einen longitudinalen
und einen transversalen Anteil zerlegen. Es wird definiert
a
sdu,
= dUtl,
(4.4)
EinflnB des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
281
Die Ableitungen sind dann aus den folgenden Formeln zu berechnen
Fur ull,u,, utl und utt ergeben sich nach einer weiteren Differentiation dieser Gleichungen, (wenn wieder die entstehenden Ableitungen nach (4.5) ersetzt werden) einfache
entkoppelte Differentialgleichungen
v
= f(z),
wobei f ( w )= 0
(4.7)
mit der Randbedingung v(00) = 0 hat die Losung
Der Beweis ist leicht durch Differentiation der Losung zu fiihren.
Die Komponenten der Korrekturterme 6ut und 6ut genugen demzufolge den Relationen
282
U. BAHR
I n niedrigster Ordnung bezuglich w ergibt sich nach partieller Integration
BU,,
=-
7
dz' 6u,,(z')
2
6u, = -
Jm
dz' Bu&'),
2
(4.10)
00
But2= -
f
dx'
2
00
du,, = -
j- dz' Su,,(z').
Z
Fur die durch (4.4) neu eingefiihrten skalaren GroBen entstehen aus (4.1) und (4.2)
mit d aus (4.3), ce und cp aus (3.20) und (3.21), az aus (3.22) und at aus ( 3 . 2 3 ) die Gleichungen
Die Losungen ergeben sich ebenfalls nach der allgemeinen Formel (4.8)
Im weiteren souen d,,,
dbb,
(4.12)
dab und dbb nur in niedrigster Ordnung berechnet werderi. Da13
1w414
als nachster Entwicklungsterm auch Glieder proportional - auftreten, ist clann nicht
zu schwierig aus (4.9) und (4.12) zu SchluBfolgern.
:;
EinfluB des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
283
Der zweistufige Tensor j l darf sich bei der Transformation x -+ -x nicht andern, da
G1. (4.1) unverandert bleiben muB. Deshalb ist
JL, = Jix = 0.
(4.13)
Das entsprechende Ergebnis
(4.14)
Jk8 = Ji, = 0
folgt aus (4.2); es ist zu beachten, da13 sich du, nicht wie ein Vektor, sondern wie dns
Kreuzprodukt kt x ey transformiert. Mit der Symmetrieeigensehaft nnd (3.5) ergiht sich
nach partieller Integration in niedrigster Ordnung
(4.15)
Die Indizes t und 1 an den Tensorkomponenten J x . und J,, bijnnten auch weggelassen
werden, da nach (3.8) und (3.10)
(4.16)
& ( z , 0, 0 ) = &(z, 0, 0)
ist. Die Abschatzungen folgen wieder niit den? Kern (2.27) fur = 0, wenn angenommen wird, daB die Korrelationsfunktion (e‘(r)e’(r‘))die Abklinglange 1 hat.
Nun bleibt noch (4.15), (4.9) und (4.5) in (3.28) einzusetzen. Der ganze letzte Term
in &a, kann weggelassen werden, da er sich wegen (3.19), (3.20), (3.16), (3.17) und (3.18)
wie (04 verhalt. Das Ergebnis ist endgultig
(1)
(4.17)
Die 6-GroBen erweisen sich in niedrigster Ordnung proportional zu
ov , zeigen also so
-
:;
eine Xbhangigkeit, wie fur (3.32) und (3.33) im voraus angenominen wurde. Aus (4.12)
und (4.9) ist leicht zu sehen, daB in der nachsten Ordnung neben reellen Termen, die
proportional zu m4 sind, auch imaginiire auftreten, da einmal .fl beziehungsweise & von
im abhangt und aul3erdem in (4.12) ein Faktor iw explizit erscheint.
U.BAHR
284
5. Diskussion
I n dieser Arbeit konnte ein Weg dafiir angegeben werden, wie die fur unendlich
ausgedehnte heterogene Korper abgeleiteten storungstheoretischen Methoden zur Berechnung effektiver Eigenschaften des Materials auf endliche Korper ubertragen werden
konnen. Das Anliegen ist dabei, Randeffekte zu untersuchen. Es wurden Rayleigh-artige
Oberflachenwellen betrachtet, fur deren Ausbreitung das Verhalten des heterogenen
Materials in der Nahe des Randes entscheidend ist. I n dem ausfiihrlich diskutierten Fall,
daI3 nur die Dichte Fluktuationen aufweist, sind zwei Extremfalle zu unterscheiden.
Einmal konnen die Dichtefluktuationen auf ein oberflachennahes Gebiet beschriinkt
sein, dann verhalt sich der frequenzabhangige Teil der Ausbreitungsgeschwindigkeit in
23w3
niedrigster Ordnung wie -und die Dampfung wie
z4w5
. Zuin anderen konnen die
:
:
Fluktuationen der Dichte iin gesamten Halbraum vorliegen, dann ist die frequenzabhanC;
gige Korrektur der Ausbreitungsgeschwindigkeit in nedrigster Ordnung proportional zu
12W2
~
3
~
4
-und die Dainpfung geht wie -. E s liegen ahnliche Verhaltnisse wie bei Volumen02
Ct
O4
Ct
wellen vor. Diese Abhangigkeit legt den Gedanken nahe, das Material nicht durch die
komplizierte GI. (2.25) zu beschreiben, sondern nur eine frequenzabhangige Dichte in der
ublichen Wellengleichung einzufuhren. Diese effektive Dichte (3.18) ist dieselbe wie sie
bei der Ausbreitung von Volumenwellen in den1 heterogenen Material auftritt . Dann ist
die Geschwindigkeit v, his zur dritten Ordnung exakt durch die ubliche Beziehung in [4]
gegeben.
Zu fragen bleibt, oh sich nicht ein einfaches Argument fur die unterschiedlichen
Potenzen der Frequenz in der Danipfung finden laat. Waruin kann eine ungerade Potenz
auftreten ? Wie die nachfolgende Uberlegung zeigen wird, ist das Auftreten einer ungeraden Potenz daran gebunden, daI3 sich die Heterogenitaten nur in einer Schicht befinden. Die Heterogenitaten wirken als Streuzentren fur die Oberflachenwelle, die abgestrahlte Energie ist proportional zu Pa4,dabei steht P fur das Volumen der Streuer.
Wenn die Welle ein kleines Stuck in Oberflachenrichtung gelaufen ist, geht ihr die Energie verloren, die die Streuer in diesem Bereich abstrahlen. Einmal ist die Anzahl der
Streuer proportional zur Eindringtiefe der Oberflachenwelle Zein. I n dein anderen Fall
dagegen proportional zur Schichtdicke h, in der die Dichtefluktuationen auftreten. Um
die Dainpfung zu erhalten, mu13 die auf dem kleinen Stuck in Laufrichtung abgestrahlte
Energie, zu der Energie der einfallenden Welle, die durch dieses Stuck hindurch geht,
ins Verhaltnis gesetzt werden. Diese Energie ist proportional zu der Eindringtiefe lein.
Die folgende Ubersicht zeigt das Ergebnis.
Dichtefluktuationen
Darnpfung
auch in1 Inneren
- ~ 3 ~ 4
nur in einer Oberflachenschicht
.
der Dicke h
~
3
h
-~
4
lein
1
Da sich die Eindringtiefe nach (3.5) wie - verhiilt und fur h die Relation
h2E
w
gilt, ergibt sich ein zusatzlicher Faktor 1 w . Das Ergebnis ist fur praktische Belange
wichtig. Das heterogene Material besitzt zusatzliche Dichtefluktuationen infolge der
Oberflachenrauhigkeiten. Solange die charakteristischen LBngen dieser Rauhigkeiten
EinfluS des Randes auf das effektive Verhalten heterogener Korper
285.
nicht wesentlich groL3er als die Liinge der innen liegenden Heterogenitiiten ist, kann
der Dampfungsbeitrag vernachlassigt werden.
Falls auch der Hookesche Tensor Fluktuationen zeigt, wie es praktisch der Fall sein
wird, ist die Diskussion genau so zu fuhren, es fehlt aber der Nachweis, da13 auch diese
Heterogenitaten in Oberfliichenniihe eine Energie proportional zu o4 abstrahlen. I n
G1. (2.29) fur das mittlere Feld fehlt der Faktor 0 4 , wie er in G1. (2.25) fur ein Material
mit Dichtefluktuationen steht. I n Randniihe ist an dem Imaginiirteil nicht zu erkennen,
ob sich wie iin Materialinneren dieser Faktor noch ergibt. Wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz in diesem Fall abhangt, kann nur eine weitere Rechnung zeigen.
Litoraturverzeichnis
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[a] 31.J. BERAN,Application of Statistical Theories to Heterogeneous Material. Phys. Status solidi
(a) 6, 365 (2971).
[9] U. BAHRu. D. ROGULA,
Arch. Mech. Stos. (in Vorbereitung).
[9L. D. LARDAU
u. E. M. LIFSCHITZ,
Bei der Redaktion eingegangen am 20. September 1976.
Anschr. d. Verf.: Dr. rer. nat. UTEBAHR,
Sektion Physik d. TU,
DDR-8027 Dresden, Mommsenstr. 13
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