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Einflu einer Umkehrung des Magnetfeldes auf die galvanomagnetischen und thermomagnetischen Effekte.

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J . Meixner. EinfluP einer Umkehrung des Magnetfeldes usw. 105
Einflup einer Umkehrung des Mtvgnetfeldes
uuf die yaCaano~,,Lng.,~etivche~
und thermornagnetinchen. EffektcI)
Ton
J. M e i x m e r
Die M'iderstandsanderung im Magnetfeld H ist fiir schwaches
Magnetfeld in isotropem Material proportional zu H?. I n starken
Magnetfeldern ist der Widerstand im Magnetfeld durch
(1)
p ( H ) = g(O)[l + P H a + $H*+
= Q(- H )
darzustellen. Dieses Ergebnis IaBt sich einfach aus Symmetriebetrachtungen gewinnen. Die Koeffizienten P, 6 , ... hangen noch
in einfacher Weise vom Winkel zwischen elektrischer Stromstarke
und Magnetfeld ab.
I n anisotropen Einkristallen (auch in den kubischen Kristallstrukturen) laBt sich jedoch die Beziehung (1) nicht mehr herleiten.
Man muB den Ansatz (1) erweitern zu
...I
(2)
+ u H + P H 2 + y H S + 8 H 4 + + H 5 ...I.
Koeffizienten u , @, y,8 . . . hiingen jetzt vou den Orientie-
p ( H )= e(O)[l
Die
rungen der Stromstarke und des Magnetfeldes zu den Kristallachsen ab. I n den kubischen Strukturen ist allgemein a! = 0, jedoch
im allgemeinen y
0, E $. 0 usw. I n den hexagonalen Strukturen
ist im allgemeinen schon a 0.
Die Zusatzglieder in (2) gegeniiber (1) bedeuten, daB der elektrische Widerstand bei Umkehrung der Richtung des Magnetfeldes
sich Bndern kann. Wir bezeichnen diese Erscheinung als Umkehreffekt. I n isotropem Material gibt es keinen Umkehreffekt. Im
anisotropen nicht-kubischen Einkristall in einer Orientierung mit a! 0
tritt also nach (2) in sehr schwachem Magnetfeld bei geeigneter
Richtung des Magnetfeldes eine Widerstandszunahme, bei Umdrehung des Magnetfeldes eine 'CTiiderstandsverminderung ein.
Um allgemein die Abhangigkeit des Umkehreffekts von den
Synimetrieverhaltnissen der Kristallstruktur zu untersuchen, gehen
wir davon aus, daB sich die elektrische Feldstiirke allgemein,
+
+
+
1) Vorgetragen auf der Tagung des Gauvereins Hessen der Deutschen
Physikalischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. Juli 1939.
106
Annalen der P h p i k . 5. Folye. Band 36. 1939
d. h. auch im Magnetfeld, als lineare Vektorfunktion der Stromstarke ausdriicken l%Bt
3
Die neun GroBen rz, werden als Widerstandstensor bezeichnet;
sie hangen von den Komponenten H , , H,, H , des Magnetfeldes ab.
I m anisotropen nicht-kubischen Einkristall ist die elektrische Feldstiirke auch ohne Magnetfeld im allgemeinen nicht parallel zur
Stromstarke; daher kann eine transversale Potentialdifferenz auftreten (natiirlicher Halleffekt); ist z. B. J , = J , = 0, so ist E , = R,,J,
die elektrische Feldstarke in Richtung des Leiters (z,-Richtung),
E, = R,, J , , E, = R,, J, gibt die transversale elektrische Feldstarke;
dabei ist gesetzt: Ri, = r j k ( O , O , 0). I n isotropem Material ist ohne
Magnetfeld fur J , = J , = 0 auch E, = E , = 0, denn der Widerstandstensor hat in isotropem Material und in kubischen Einkristallen ohne Magnetfeld einander gleiche Diagonalglieder und
verschwindende Nichtdiagonalglieder. I n isotropem Material haben
die riL fur i k eine einfache Bedeutung; ist z. B. HI = H , = 0 ,
J , = J , = 0 , so ist E, = T,, (23,) J, die elektrische Feldstarke des
+
magnetischen Halleffekts und A H = 1"Q1 die Hallkonstante.
Fur
H P
schwaches Magnetfeld ist r3,/H2 wirklich eine Konstante, d. h. praktisch vom Magnetfeld unabhangig.
Die r i k( H I ,H,,H,) entwickeln wir in eine Reihe nach Potenzen
und Produkten der H , , H,, H,. Dann entsteht aus (3)
Die einzelnen Summen gelien hier und im folgenden von 1-3.
Die Symmetrieverhaltnisse der Ri, sind lange bekannt, die der Rill,
die den magnetischen Halleffekt bei nicht zu starken Feldern geben,
und die der R i k l m , die die quadratische Widerstandsanderung
geben, sind fur die verschiedenen Kristallstrukturen von K o h l e r l)
untersucht worden. K o h l e r ), hat ferner fur spezielle Kristall1) M. K o h l e r , Ann. d. Phys. [5] 20. S. 878, 891. 1934.
2) M. K o h l e r , Ztschr. f. Phys. 95. S. 365. 1935.
J . Meixner. EinfluP einer Gmkehrung des Magnetfeldes usw.
107
strukturen, die Glieder vierter und sechster Ordnung, in den H ,
in (4)untersucht.
Wir beweisen zunachst die folgenden beiden SBtze:
I. Bei fester Orientierung des Magnetfeldes zu den Rristallachsen und festem Betrag des Magnetfeldes erfiillen die Richtungen
des elektrischen Stromes, f iir die es keinen Umkehreffekt des elektrischen Widerstandes gibt , im allgemeinen einen Kegel zweiter
Ordnung. I n isotropem Naterial gibt es dagegen nie einen Umkehreffekt.
11. 1st das Magnetfeld senkrecht zu einer
und ist die elektrische Stromstarke senkrecht oder parallel zur selben Drehachse,
so gibt es keinen Umkehreffekt des elektrischen Widerstandes
(mit A(n) bezeichnen wir eine n-zahlige Drehachse).
Zum Beweise des ersten Satzes erinnern wir damn, dab der
Widerstand in einer Richtung n,, n2, n3 mit nI2 n2, n3z = 1
experimentell bestimmt wird als Verhaltnis der Komponente der
elektrischen Feldstarke in Richtung von n,, n,, n3 zur Stromdichte, die parallel zu n,, n,, n3 ist. Also ist nach (3)
+
i
+
k
Dalnit kein Umkehreffekt eintritt, muB die Bedingung
i
k
erfiillt sein. Das ist die Gleichung eines Kegels zweiter Ordnung
(ob reel1 oder imaginar bleibe unentschieden), der in ein Ebenenpaar
oder in eine Doppelebene ausarten kann. Nur in dem Falle, da6
bei festen H , , H , , H, fur alle i, k
(6)
{
Tik
( H , 7 H , 7 H3) + T k i ( H ,,H , ,H3)
= r ; * ( - H 1 , - H 2 1 - H 3 ) + T k i ( - q , -H,,
-q
erfiillt ist, gibt es f u r keine Richtung des elektrischen Stromes
einen Umkehreffekt des Widerstandes. I n isotropem Material ist (6)
identisch erfiillt, denn dort nimmt (4)die spezielle Form a n
Dab in isotropem Material kein Umkehreffekt auftreten kann,
folgt auch unmittelbar aus dem noch zu beweisenden Satz 11. Man
3
3
betrachte eine Richtung, die zu J und zu H senkrecht ist. Sie ist
108
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 36. 1939
in isotropem Material wie auch jede beliebige andere Richtung,
eine zwei- (sogar eine co-)zahlige Drehachse, also ist Satz I1 anwendbar.
Zum Beweis von Satz I1 nehmen wir an, der elektrische Strom
flieBe in der 2,-Richtung (das bedeutet keine Einschrankung. da die
Lage des Koordinatensystems zu den Kristallachsen bisher nicht
spezialisiert wurde). Der Widerstand fur diese Richtung ist nach (5)
p ( 1 , 0, 0 ; H,, H,,H,) = r,, ( H , , H , , H3t. Damit kein Umkehreffekt
eintritt, mu6 sein
(8)
5#,?H27%)
= r1,(--H1,
-H,,
-H,L
1st etwa die x,-Achse eine A(*),so gilt
rll
( H ,9 H , , H3) = rll (HI 9 --H,
7
-H J .
(S) ist also i n diesem Falle sicher erfullt, wenn H , = 0 , wenn also H
senkrecht zu dieser zweizahligen Drehachse ist. Da wir diese Achse
parallel zu J angenommen haben, ist somit ein Teil des Satzes I1
bewiesen. 1st die 2,-Achse eine At2],so gilt
r11(H1,H2,H3
=r11(-H19
H2,
-H3);
+
also ist (8) erfullt, wenn H2 = 0, d. h. wenn H senkrecht zu
3
dieser A(*)ist; sie ist aber so angenommen, daB auch J senkrecht
zu ihr ist. Damit ist Satz I1 vollstandig bewiesen.
Unter Beriicksichtigung yon Satz I folgt jetzt: 1st H senkrecht
zu einer A',), so erfiillen die Stromrichtuagen J , fiir die kein
Umkehreffekt des m'iderstands existiert, ein reelles Ebenenpaar. Die
eine Ebene ist senkrecht zur A'2', von der anderen Ebene kann
man nur sagen, daB sie die A'z) enthalt. Sie ist nur dann allgemein, d. h. unabhangig vom betreffenden Metal1 festgelegt, wenn H
zu zwei verschiedenen A(*)senkrecht ist.
Genauere Aussagen iiber die Orientierungen des elektrischen
Stromes und des Magnetfeldes, f u r die es keinen Umkehreffekt
gibt, kann man nur unter speziellen Voraussetzungen machen. Wir
betrachten zunachst hexagonale Kristallstrukturen mit A : , A : , A:
(A! bedeutet eine A'"' in Richtung der xl-Achse). Beriicksichtigen
wir in (4)nur die linearen Glieder in den H i und die von den H ,
unabhangigen Glieder, so reduziert sich (4)nach K o h l e r I) zu
(9)
El = Rf J , + 8,H,J , - S, H , J,,
E, = RI J , + S, H , J , - X,H , J , ,
E3 = R I I J 3 -I- fl, (H, J 1 JJ
-
1) M. K o h l e r , Ann. d. Phys. [5] 20. S. 8i8. 1534.
J . Meixner. Einflup einer Cmkehrung des Magnetfeldes usw. 109
RI und RII sinrl die Werte des spezifischen elektrischen Widerstands senkrecht und parallel zur hexagonalen Achse ohne Magnetfeld. X,,s,, X, sind die drei Hallkonstanten, die bei dieser Kristallstruktur auftreten. Der spezifische Widerstand i n der Richtung mit
den Richtungskosinus ni ist also
+ +
+
-
Q = RI ( % I 2
nZ2) R I I ~( S,~- ~
S J n , ( H , n l - Hl nz)
Es kann also eine lineare W-iderstandsanderung bei dieser
Kristallstruktur geben, wenn S, S,. Sie verschwindet id. h. es gibt
fur schwache Magnetfelder keinen Emltehreffekt), wenn n, = 0 oder
wenn H,n, - H , n , = 0 (reelles Ebenenpaar). Wurden wir noch die
Glieder dritter Ordnung in den H , beriicksichtigen, so aiirde zu
(10)
+
Q
in (10) nebcn quadratischen Gliedern noch ein Zusatz
(11) [T,H,(H,nl+ H 2 n 2 ) f T,(Hi2+
Hz2)n,+ T3H,2n,l(H,n1-H~n,)
kommen. T,, T,, T , sind drei neue Materialkonstanten. Auch in
dieser Naherung gibt es allgemein fur die Richtungen ohne Umkehreffekt ein Ebenenpaar; jedoch nicht mehr bei Beriicksichtigung der
Glieder fiinfter Ordnung.
Die allgemeinen Orientierungen von Magnetfeld und Stromstarke gegen die Kristallachsen ohne Umkehreffekt, die nur von der
Kristallstruktur und nicht vom speziellen Metall abhangen, sind bei
hoheren Symmetrien durch die in Satz I1 enthaltenen Falle nicht
immer erschopft. Bei unserem hexagonalen Kristall gibt es noch
eine weitere Moglichkeit ; liegt namlich das Nagnetfeld in Richtung
der hexagonalen Achse, so gibt es fur keine Richtung des elektrischen
Stronies einen Umkehreffekt.
I n den kubischen Strukturen mit A:), Ag), A::) gelten bis zu
den linearen Gliedern in den Hi ebenfalls die G1. (9), aber mit
S , = S, = S, und mit RI = RII. Die linearen Glieder liefern also
nach (10) keinen Umkehreffekt. Die Glieder dritter Ordnung in den
Hiliefern nur d a m keinen Umkehreffekt, wenn
H , ( H 1 2 - H H , 2 ) n , n 2 +H , ( H z 2 - - H,2)n2nn3+H”,(H32-H,2)n,n,
= 0.
Bei den kubischen Kristallstrukturen gibt es iiber die in Satz I1
enthaltenen Falle hinaus nur noch die folgenden allgemeinen (also
vom speziellen Metall unabhangigen) Orientierungen, f ur die kein
Umkehreffekt existiert, namlich, wenn das Magnetfeld parallel zu
einer Kante oder zu einer Raumdiagonale des Elementarwurfels ist;
in beiden Fallen ist die Stromrichtung beliebig, ist also (6) erfiillt.
Auf den Reweis gehen wir hier nicht ein.
Auch beim Halleffekt kann man sich die Frage uberlegen, ob
ein derartiger Umkehreffekt bei gegebenen Kristallsymmetrien moglich
110
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 36. 1939
ist. Die Verhaltnisse liegen bier weniger einfach als beim Longitudinaleffekt der Widerstandsiinderung im Magnetfeld. Wir erwahnen
nur, daB ein solcher Umkehreffekt in1 allgemeinen existiert und daB
man auch ein Analogon zu Satz I1 aufstellen kann.
Unsere obigen oberlegungen bleiben in vollem AusmaB giiltig,
wenn wir die thermomagnetischen Effekte betrachten. Wir fiihren
als Beispiele an:
1. Warmeleitung im Magnetfeld. An Stelle von El bzw. J , in
(3) treten die Komponenten w l des Warmestroms bzw. - r3 T / d z , des
Temperaturgefalles. rz (HI,H,, H3) ist durch den Warmeleitungstensor xtI.( H l ,H,, H 3 ) zu ersetzen.
2. Thermokraft Ton magnetisiertem gegen unmagnetisiertes
Material. Die El sind d a m die Komponenten der im Temperaturgefalle auftretenden thermoelektrischen Feldsfarke, cler Temperaturgradient tritt an die Stelle des elektrischen Stroms und r , * ( H , H,,
, H3)
ist durch den Tensor der absoluten thermoelektrischen Kraft des
H H~ 3, ) zu ersetzen. Die
betreffenden Materials im Magnetfeld E ~ ~ (H,,
Definition der longitudinalen absoluten thermoelektrischeii Kraft ist
--t
nicht eindeutig ;man kann darunter die Komponente von E in Richtung
des Rarmestronis oder in Richtung des Temperaturgradienten, beide
Male beim Temperaturgefalle 1 gradlcin serstehen. Sie ist jedoch
in beiden Fallen durch einen Ausdruck der Form
gegeben, wo die n, im einen Fall die Richtungscosinus des Warmestroms, im anderen Fall die des Temperaturgradienten gegen die
Koordinatenachsen bedeuten.
Experimentell ist bis heute noch kein Umkehreffekt des elektrischen Widerstands im Magnetfeld beobachtet worden. Das liegt
wohl an den folgenden Griinden.
1. Bei Zimmertemperatur sind die Widerstandsanderungen durchweg klein und gewohnlich a n polykristallinem Material gemessen.
2. Messungen a n Einkristallen sind vorzugsweise in tiefen
Temperaturen gemacht, R O die Widerstandsiinderungen groB sind.
E s sind aber haufig Orientierungen gewahlt, bei denen sowieso kein
Umkehreffekt eintritt.
3. Bei der Bestimmung der Widerstandsanderung wird gewohnlich
Magnetfeld und Strom kommutiert und uber alle MeBwerte gemittelt,
urn Stiirungen durch thermoelektrische Krafte, Halleffekt, Gitterfehler und Unsymmetrien in der Apparatur weitgehend auszuschalten.
J . Meixner. Einflup einer Umkehrung des Magnetjeldes usw.
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Eine Abschatzung des Umkehreffektes des elektrischen Widerstands in schwachen Magnetfeldern fiihren wir fiir einen Wismutm von K o h l e r ' )
Einkristall durch. Die Konstanten R1,, und R i k E sind
nach Messungen des Halleffekts von V e r l e g e r z ) und nach Nessungen
der R'iderstandsanderung von S t i e r s t a d t 3 ) berechnet worden. 14%
legen die kristallographische Hauptachse in die x3-Richtung, die
binare Achse in die 2,-Richtung. Ferner nehmen wir J , = 0, J , = J3
und H , = H , = 0 an, um einen moglichst grollen Umkehreffekt in
den linearen Gliedern in den H i zu bekommen. Mit den Zahlenwerten von K o h l e r wird dann
=
1,13 R~+ 9 . H
+ 12 .
1 0 - 9 ~ 2 ~ ~
in elektromagnetischen CGS-Einheiten. Wir haben dabei R,,, I = 0
gesetzt, weil hierfiir kein experimenteller Wert vorliegt, und weil
unsere Grofienordnungsbetrachtung dadurch nicht beeinfluat wild.
Nun ist RI = 1,l lo5 el. in. CGS-Einheiten, also
-
-
g = RI [1,13 + 0,8 l o p 4 . H
+ 1,2. 10-8H2].
Unterhalb von etwa 7000 Gauss miiSte also die lineare Widerstandsanderung die quadratische iiberwiegen. St i e r s t a d t hat in
seinen Untersuchungen das Auftreten eines solchen Umkehreffekts
vermieden, indem er iiber die Widerstandsanderungen bei entgegengesetzten Feldrichtungen mittelte; er hiitte aber auch keinen Umkehreffekt in erster Ordnung finden konnen, weil bei seinen Orientierungen
die lineare Widerstandsanderung immer verschwindet ; in einigen
seiner Orientierungen verschwindet zwar die Widerstandsanderung
dritter Ordnung nicht, aber sie wird gegenuber der quadratischen
Widerstandsanderung kauni ins Gewicht fallen.
Wir erwshnen noch eine Untersuchung von F o r o u d 4 ) , der die
Widerstandsanderung von Mo-Einkristallen (kubisch-raumzentriert)
im Magnetfeld bei tiefen Temperatnren untersuchte; die Stromrichtung
war parallel zu einer Raumdiagonale des Elementarwiirfels, das
Magnetfeld transversal. Es ergab sich kein Umkehreffekt, obwohl
ein solcher nach unseren uberlegungen fur diese Orientierung nicht
ausgeschlossen ware. Immerhin ist die gewiihlte Orientierung von
ziemlich hoher Symmetrie; es ist auch nicht nnwahrscheinlich, da6
1) M. K o h l e r , a. a. O., S. 106, Anrn. 1 und 2.
2) H. V e r l e g e r , Ztschr. f. Phys. 76. S. i60. 1932.
3) 0. S t i e r s t a d t , Ztschr. f. Phys. SO. S. 636. 1933; €45. S. 310, 697. 1933;
S7. S. 687. 1934; 93. S. 676. 1938; 95. S. 355. 1935.
4) A. F o r o u d , Studien iiber den elektrischen Leitungsmechanismus der
Metalle, Diss. Universit5t Berlin, Wiirzburg-Aumiihle 1939.
Annnten der Physik. 5 . Folge. Band 36. 1939
112
der Umkehreffekt in hohen B’eldern (solche lagen hier vor) nicht so
stark anwaehst, wie der gerade Anteil der Widerstandsanderung.
Dafur sprechen auch die Messungen der Hallkonstanten der Metalle
bei tiefen Temperaturen, die his zu sehr hohen Magnetfeldstiirken
nieht stark vom Magnetfeld abhangen im Gegensatz zur WiderstandsBnderung.
Deutliche Umkehreffekte sind bei der Messung der Thermokraft
yon magnetisiertem gegen unmagnetisiertes W ismut bzw. Beryllium
von G r u n e i s e n und G i e l e s s e n l ) bzw. von G-riineisen und E r f l i n g 2 )
beobachtet worden. Die Erfahrungen stehen mit unseren Ergebnissen
in bestem Einklang.
__-
I) E. G r i i n e i s e n u. J. G i e l e s s e n , Ann. d. Phys. [5] 27. S. 243. 1936.
2) E. G r u n e i s e n u. H. D. E r f l i n g ; nach mundlieher Mitteilung. Den
Ergebnissen dieser Messungen entspringt auch die Anregung zur vorliegenden
Arheit. Herrn Prof. G r u n e i s e n mochte ich hierfur meinen herzlichsten
Dank sussprechen.
GieBen, Institut fur theoretische Physik.
(Eingegangen 5. August 1939)
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