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Einflu eines Magnetfeldes auf die durch ein elektrisches Feld bewirkte Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem dichten Plasma.

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W. D ~ L E N B A CEinfluS
H : von Magnetfeld auf Elektronengeschwindigkeit im Plasma 253
EinfluBeines Magneffeldesauf die durch ein elektrisches Feld
bewirkte Driftgeschwindigkeit der Elektronen
in einem dichten Plasma
Von W. D-ENBACH
Mit 2 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Das Elektronengas in einem dichten Plasma kommt unter der Einwirkung eines elektrischen Feldes E und der ZusammenstoRe mit den im Mittel ruhend vorausgesetzten neutralen und positiv geladenen Teilchen auf eine Driftgeschwindigkeit u parallel zu E, welche
im allgemeinen eine empirisch bestimmte Funktion von E ist. Kennt man diese Funktion,
so liil3t sich aus dem Relativitiitsprinzip die Driftgeschwindigkeif u ableiten, welche das
Elektronengas in einem elektrischen Feld E bei Anwesenheit eines MagnetfeldesB annimmt.
Abstract
In a dense plasma, under the influence of an electric field E and the collisions with
the neutral and positively charged particles, supposed to be a t rest on the average, the
electron gas reaches a drift-velocity u parallel to E which is in general an empirical function of E. If this function is known, the drift-velocity u reached by the electron gas in
an electric field E and in presence of a magnetic field B can be deduced by the principle
of relativity.
Bezeichnet man die neutralen plus die positiv geladenen Teilchen des
Plasmas abkiirzend els das ,,Gas", so bestehe das zu betrachtende materielle
System aus ,,Gas" plus Elektronengas. Die Zustande von ,,Gas" und Elektronengas, sowie die einwirkenden elektrischen und magnetischen Felder werden ctls raumlich homogen und zeitlich konstant vorausgesetzt. Die Beweglichkeit der positiven Ladungstrager sei vernachllssigbar klein.
Relativ zum Laborsystem K, in welchem das ,,Gas" ruhe, bewegt sich das
Elektronengas unter dem EinfluB eines elektrischen Feldes E mit der D r i f t geschwindigkeit
u=-,uE
(1)
und kommt auf eine zur Temperatur T des ,,Gases" h 6 h e r e T e m p e r a t u r T,,
gegeben durch
3kT,/2 = 3kT/2 f 7 M ~ 2 / 2 .
(2)
In (1)ist die Beweglichkeit ,U der Elektronen ein phanomenologisch definierter, stets positiver Skalar, welcher von Art und Zustand des ,,Gases" und im
allgemeinen auch vom absoluten Betrag E des Feldes E abhiingt. I n (2) sind k
die BoLTZMANNsche Konstante, M die Teilchenmasse des ,,Gases" und der
Koeffizient 7 ebenfalls ein phanomenologisch definierter, stets positiver Skalar,
254
Annalen der Physik
*
7. Folge *,Band 18, Heft 6 - 6
*
1966
wdcher von Art und Zustand des ,,GasesLL
und im allgemeinen auch vom absoluten Betrag u der Driftgeschwindigkeitu abhiingt. Im Spezialfall eines schwachionisierten ,,Gases" ist q meist nicht sehr verschieden von 1. (Vgl. [l].)
Betrachtet man den Vorgang von einem Koordinatensystem K' aus, i n
welchem d a s E l e k t r o n e n g a s r u h t , so lassen sich fiir ein zur Lichtgeschwindigkeit stets klein vorausgesetztes u die Gln. (1) und ( 2 ) ohne sie zu andern, nun
auch in K' interprehieren :Das Elektronengas wird vom ,,Gas" mit der Geschwindigkeit -u angeblasen und durch das elektrische Feld E' = E im Raum fixiert.
Die Beweglichkeit p in (1)ist dann-ein MaB des Stromungswiderstandes,
den das Elektronengas der Stromung des ,,Gases" entgegensetzt. Dem Term
qMua/2in ( 2 ) entspricht die Leistung, mit welcher das Elektronengas durch das
,,Gas" von T &uf T, aufgeheizt wird. Die mittlere Energie eines Elektrons
der Masse m ist in K allerdings um die kinetische Energie mua/2groBer als in K'.
Da aber stets m
M , kann mua/2gegen qMua/2vernachliissigt werden.
Erregt man nun im Laborsystem R auBer einem elektrischen Feld E ein
Magnetfeld der Induktion B, so hat dieses elektromagnetische Feld in K' die
Komponenten
E ' = E + u x B ; B ' = B.
(3)
In K' gelten dann immer noch (l),also
<
U = -pE'=
- p ( E + u x B)
(4)
und unverandert ( 2 ) . Dazu ist allerdings sofort folgendes zu bemerken:
a) Fiir die Beweglichkeit p, welche im allgemeinen vom absoluten Betrag
E' des Feldes E' nach (3) abhiingt, ist der entsprechende Wert einzusetzen. Dies
is6 nicht ohne weiteres moglich, weil E' nach (3) ja seinerseits von der aus E
und B zu bestimmenden Driftgeschwindigkeit u abhiingt. Die Beweglichkeit p
in (4)ist also zunachst noch eine Unbekannte.
b) Es konnte sein, daB das Magnetfeld B' = B noch einen spezifischen
EinfluB hat auf die Beweglichkeit p in (1)und den Koeffizienten q in (\2), denn
angenommen, es bestehe in K' zuniichst nur das elektrische Feld E' und erst
nachtriiglich werde das Magnetfeld B' = B beispielsweise von 0 an wachsend
zugeschaltet, so hat dieses Magnetfeld allerdings keinen EinfluB auf das in K'
ruhende Elektronengas als Ganzes, aber es modifiziert die thermische Bewegung jedes einzelnen Elektrons (Verhiiltnisder Kolliaionsfrequenz zur Zyklotronfrequenz) und moglicherweise auch sonst die Qualitiit der ZusammenstoBe der
Elektronen mit dem ,,GasL',beispielsweise 'durch magnetische Polarisation der
Teilchen des Gases und durch Spin-Orientierung der Elektronen und eventueller
Atomkerne. Das Magnetfeld B' wird also im allgemeinen einen spezifischen EinfluB haben einmal auf den Stromungswiderstand, den das ruhende Elektronengas der Stromung des ,,Gases" entgegensetzt, aber auch auf die Leistung, mit
welcher das Elektronengas durch das ,,Gas" von T auf T,aufgeheizt wird. Diese
Einflusse wird man formal dadurch berucksichtigen konnen, dal3 man an Stelle
von ( 4 ) und ( 2 ) etwa schreibt
u = -p((E'
Z . E')
und
3kT,/2 = 3kT/2 (7 5 ) Mua/2.
Darin sind Z ein Tensor 2 . Stufe und 5 ein Skalar, welche von B' abhiingen
und fur B' = 0 verschwinden.
+
+ +
W. D~LLENBACH:
EinfluD von Magnetfeld a d Elektronengeschwindigkeit im Plasma 255.
Vom spezifischen EinfluD des Magnetfeldes entsprechend der Bemerkung b)
SOU fiir das Folgende angenommen werden, er sei von hijherer Ordnung klein
und diirfe in enter Naherung vernachliiesigt werden.
Nun wird G1. (4) nach u aufgelijst, indem man sie sowohl skalar' als auch
vektoriell mit p B multipliziert. Man erhiilt dann die beiden Gleichungen
u-pB= -pE-pB
(5)
und
u x p B = - p E x p B - (U x p B ) x p B .
Fiir letzbre k m man anch schreiben
u x p B = - p E ~/~B-(u-pB)pB+u(prB)'.
( 6)
(4), (5) und (6) sind drei lineare Gleichungen fiir die drei Unbekannten U,
u p B ) und (u x p B). Insbeeondere erhLlt man fur die Driftgeschwindigkeit
-pE
bE X P B ) - b E . p B ) p B
U =
( 7)
1 GB)Z
.
+
+
1 s t y der Winkel zwischen den Vektoren E und B, so folgt an8 (7) fiir das Quadrat
dea absoluten Betrages der Driftgeschwindigkeit
U'
= @E)'
2
@I12
Abb. 1. Geometrische Komtruktion des abeoluten Betrages u der Driftgesohwindigkeit u und der Beweglichkeit ,u fur gegebene elektrisclie und magnetische Felder E
bzw. B BUE der dnroh das Relativitiitsprinzip geforderten Beziehung zwimhen u
nnd p einerseits und der fur B = 0 empirisch bestimmten Beziehung zwiechen u
und p anderemeits
1
+ (pB)' cos'y
1+ (p B y - .
Abb. 2. Driftgeschwindigkeit u
cm/eec der Elektronen in einern
Cemisch von Argon plus 1%
Stickatoff bei 760 Torr Druck in
Abhilngigkeit von der elektrischen Feldatrirke E V/cm bzw.
in Abhangigkeit von der Beweglichkeit p orna/Vseo neoh
Masungen von COLLI und
FACCEINI
[2]
Nach vorausgehender Bemerkung a) ist die Beweglichkeit in (7) und (8) eine nun
noch zu bestimmende Unbekannte. Sind die Felder E und B vorgegeben, also
E , B und cos y bekannt, so ist (8) eine erste durch das R e l a t i v i t k t s p r i n z i p
geforderte Beziehung zwischen uz und pz. Fur die graphische Darstellung in
256
Annalen der Physik
*
7. Folge
* Band 18, Heft 6-6 * 1966
Abb. 1ist statt 18)
geschrieben und
als Funktion von ( P B )aufgetragen
~
mit den Parameterwerten cos2y = 0 ; 112 ; 1. Man erhiilt eine Schar von Hyperbeln durch den
Koordinatenursprung (0, 01, in welchem sie die durch (0, 0} und (1, l} gehende
Gerade tangieren, zu welcher die Hyperbel fiir cos2y = 1 degeneriert. Die
Asymptote fiir (pB)agegen 00 geht stets durch den Punkt (1, I} und hat auf der
senkrechten Koordinatenachse den Abschnitt sin2y.
Fiir B = 0 sei anderseits empirisch bekannt, wie u von E, also p = u/E
von E abhangen. Damit erhalt man neben (8) eine zweite Beziehung
u=UW
(10)
zwischen u und p.
Abb. 2 zeigt nach Messungen von COLLIund FAUCHINI
[2] die Driftgeschwindigkeit u von Elektronen in einem Gemisch von Argon plus 1%Stickstoff bei
einem Druck von 760 Torr zunachst in Funktion von E und d a m entsprechend
(10) in Funktion von p = u/E. Mit den vorgegebenen Feldern E und B, also
bekannten Werten E und B bildet man aus (10)
Dies ist beispielsweise fur
A
E = 500V/cm,
B = 2 - IW4Vsec/cm2
a l s Kurve in Abb. 1 eingetragen. Durch den Schnittpunkt mit der Hyperbel,
deren Parameterwert cos2y den vorgegebenen Feldern E und B entspricht, sind
der absolute Betrag u der sich einstellenden Driftgeschwindigkeit u und die
Beweglichkeit p bestimmt. Mit diesem p folgen aus (7) ir selbst und a m (8) u2.
1st der u zugehiirige Koeffizient q empirisch bekannt, so bestimmt sich aus (2)
endlich auch die Elektronentemperatur Te.
Die Gln. (7) und (8) sind von Wu [3] auf einem ganz anderen Weg, niimlich
vermoge der BoLTzMANNschen StoBgleichung und unter den folgenden verehfachenden Annahmen abgeleitet worden :
1. Die meisten ZusammenstoDe zwischen Elektronen und neutralen Teilchen
sind elastisch. Unelastische ZusammenstiiBe werden vernachlassigt.
2. Die neutralen Teilchen haben MAxwELLsche Geschwindigkeitsverteilung.
3. Die ZusammenstoBe der Elektronen untereinander und mit positiven
Ladungstragern werden vernachlassigt gegenuber den ZusammenatiiBen mit
neutralen Teilchen.
4. Die Weglange 1 zwischen zwei aufeinanderfolgenden ZusammenstBBen
eines Elektrons mit neutralen Teilchen ist eine Funktion der momentanen Geschwindigkeit v des Elektrons. Es wird angenommen llv, also die Zeit zwischen
zwei solchen ZusammenstoBen, sei konstant. Dies ist identisch mit der Annahme,
die Beweglichkeit ,u der Elektronen sei konstant, insbesondere also unabhhgig
von der elektrischen Feldstarke.
Durch die hier gegebene Ableitung, basierend auf dem Relativitiitsprinzip
und der Voraussetzung des Fehlens eines spezifischen Einflusses des Magnetfel-
W. DALLENBACH:
EinfluB von Magnetfeld auf Elelrtronengeschwindigkeit im Plasma 257
des auf die Qualitat der ZusnmmenstoBe der Elektronen mit dem ,,Gas", ist
gezeigt worden, daB die Gln. (7) und (8) fur die Driftgeschwindigkeit der Elektronen einen groBeren Geltungsbereich haben.
Literaturverzeichnis
[l] KERREBROCK,
J. L., A I S A Journal 2 (19Gi) 1072.
[ Z ] COLLI, L., and H. FACCHINI,
Rev. Sei. Instr. 03 (1952) 39, Fig. 3.
[3] Wu, C. S.: Proc. Roy. SOC. London 269 A (1961) 518.
Ich danke dem Battelle Memorial Institute, International Division, Genf,
f ur die Erlaubnis, diese Mitteilung zu veroffentlichen.
B e r n 1 6 (Schmeiz), Sagerstr. 6.
Bei der Redaktion eingegangen am 21. August 1965.
17 Ann. Phyaik.
7. Folge, Bd. 18
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