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Einflu von Drehungen auf die piezoelektrische und photoelastische Wechselwirkung im kristallinen Medium.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 34, Heft 6, 1977, S. 435-440
J. A. Barth, Leipzig
EinfluR von Drehungen auf die piezoelektrische und
photoelastische Wechselwirkung im kristallinen Medium
VOn G . R[ACHELEIDT
Piidagogisclie Hochscliule Erfurt-RIiihlhausen, Sektion Mathematik/Physik, Erfurt
I r i l i n l t s i i b e r s i c h t . IVegen dcr Drehmomente, die durch die elektrische Polarisation im Festkorper erzeiigt werden, iHt der Spunnungstensor nicht mehr symmetrisch, so daD auch der antieymnictrisclie Anteil des Distorsionstensors thermodynamische Zustandsvariable wird. Die entaprechendcii antisymmetrischen Anteile der piezoelektrischen und photoelastischen Materialtensoren
werdeii darch die spontane elektrische Polarisation bzw. die lineare elektrische Suszeptibilitiit eusgedriickt. Einige Konsequenzen werden - auch hinsichtlich numerischer Werte - diskutiert.
Inflnence of Electric Polarization on the Piezoelectric and Photoelastic kteraetion
iu Crystallinc Medium
A b f i t r a c t . Becaiisc of the moments of force induced by electric polarization in solids the stresstensor is no longer symmetric, so that the antisymmetric part of the distortion tensor is a thermodynamic state function too. The corresponding antisymmetric parts of the piezoelectric and photoelastic tensors are expressed by the spontaneous electric polarization and the linear electric susceptibilitj-. Some consequences, also with regard t o numerical valuea, are discussed.
1. Drehnioinentebilanz
Die Kraft Fi auf einen (herausgegriffenen) Medienbereich ist gegeben durch ein
Oheifliichenintegral uher den Spannungsvektor pi und ein Voluinenintegral uber die
\.'oliiiiienkraftdichte fy'.
Nach Einfuhrung des Spannungstensors pi = Si,nml) - n, ist der Norinaleneinheitsvektor eines Oberflachenelelnentes
folgt unter Ausnutzung des GauBschen
Sat zes :
Fi = J (IS',,,,
fy')
(EV.
+
Analog stellt sich der itntisymmetrische Tensor & l ~des
a )Drehmonientes auf das im
Volunicn erithaltene Medium als ein Oberfliichenintegral iiber das Drehmoment des
Spannungsvektorv und ein Volumenintegral iiber dag Drehmoment der Volumenkraftdichte dar. Hinzu koninien Oberflachen- bzw. Volumenintegrale der antisymmetrischen
Tensoren yin- hzw.
zusatzlicher Oberfliichen- bzw. Volumendrehmomentendchten.
N'ird geiiiiin ti&= Rikmnmein Tensor Rikmdefiniert, gibt der GauBsche Satz schliel3-
mzl
l ) Vber doppelt auftretende Indizes ist von 1 bis 3 zu summieren. Konima mit nachgestelltem
Index bedeutet Differentiation nach der entaprechenden Ortskoordinate.
2) Dorch uberschiebung mit dem vollantisymmetrischen Levi-Civita-Pseudotensor
entsteht
darans der Pwudovektor des (doppelten) Drehmomentes 2 M , = ~ ~ & I f i , ~ .
G.M~CHELEIDT
436
lich :
=
1
(zi(Skm,m
+$
+ .fp’)-
Zk(Sim.m
f nt2’ f
+ .f?’)>
dV*
I m Falle des Gleichgewichtes mu13 gelten Fi = 0 und &Iik = 0. Das fiihrt auf die Beziehung P I
Sik - S k i = R i k m , m f m
y:‘.
Durch Hinzufugen der Tragheitstcrme -eVi bzw. - @ ( x i i U k - x k u i ) wird nach d’Alemhert der dynaniische auf den statischen Fall zuriickgefiihrt, so dd3 die angegebene
Relation auch fur die Dynamik gilt. Entscheidend ist allerdings, daB das Tragheitsdrehmoment allein durch das des Volunienelementes -@(xi
- ,rkui)beschrieben wird.
Die Tragheitsdrehmomente, d. h. die Tragheitsmomente von z. B. im Medium eingebetteten Teilchen mit zusatzlichen Drehfreiheitsgraden niiissen vernachlassigbar sein.
Der Spannungstensor ist also im allgemeinen nicht symmetrisch. Der antisymnietrische Anteil wird durch die Dichten der Drehmomente bestimmt, die nicht von Oberflachen- oder Voluinenkraften herriihren. Der wohl wichtigste Fall Rind Medien mit
inagnetischer oder elektrischer Polarisation Pi i tn magnetischen hzw. elektrischen Feld
Ei. Das Drehmoment pro Volumen schreibt sich dann
= Pi E k - P 1E%- ’
Sind
und rik null, ergibt sich der syinmetrische Spannungstensor der iildichen
Elastomechanik;
(Rikm,m
ski - Sik)
uk
mzl
?>)zi
2. Drehungen als ZnstandsgroBen
Ini folgenden kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit fFigleich Null gesetzt
werden.
Bei der infinitesimalen Verschiehung d Ui wird - auf die Volunieneinheit hezogen die Arbeit
du = fi dUi = 8 i k . k d d i = (SikC’i),, - S i k dUi9k
verrichtet. Bei der Volumenintegrdtion liefert der erste Ausdruck in der Differenz kcinen
Beitrag [ 2 ] , so da13 hleibt
du = - 8 i k dui,k.
Geht inan damit in die Definition der Dichte der inneren Energie eines unrnagnetischen
Mediums ein
du = T ds f E i dPi - CEa = T d.9 f Ei dPi f Sik dU;>,,
sieht man, da13 - neben der Entropiedichte 8 und der elektrischen Polarisation Pider Distorsionstensor Ui als thermodynarnische Variable fungiert.
Der Ausdruck Sik dUi,k kann unter Benutzung der symiiietrisierenden iind nntisymnietrisierenden Bachscheri Klnnimern
+
init Sik = X(ik) Sliklund hei Beriicksichtigung (lessen, da13 das vollstandige innere
Produkt eines syminetrischen Tensors mit einem antisyinnietrischen Tensors identisch
verschwindet,, umgeschrieben werden :
+
+
S i k dUi k = ( S ( i k )
S l i k ] ) (dU(i,k)f d U [ i , k ] )= s(ik)( l u ( i , k )
s [ i k ] (lu[i,k]*
Dieser Beziehung entnimmt man, daB nur bei symmetrischem Spannungstenmr allein
der syninietrische Anteil des Distorsionstensors, d. h. der (linenrisierte) Defoniintions-
EinfluIl von Drehungen auf die piezoelektrische und photmlaatische Wechselwirkung
437
tensor U ( i , k ) als Zustandsvarkble auftritt. Bei allgemeinem Spannungatensor wird auch
der antisymmetrische Distorsionstensor U [ i , k ] thermodynamische ZustandsgroI3e. Er
stellt nichts anderes als die Rotat,ion
(rot u)i= -&QlUk,l = - & i k l U [ k , l ]
des VerschiebungsvektorfefeldesU dar und beschreibt Drehungen init den1 Vektor
0i --
_-
EiklU[k.I]
des Drehwinkels.
3. Thermodynamisches Potential und Materialtensoren
Durch die Legendretransformation
erhalt man aus der inneren Energie u die elektrische Enthalpie ii, die als thermodynaniisches Potent.ia1 von s, E; und U ; , k abhiingt :
Eine Potenzreihenentwicklung von 6 nach Ei und UimR
bei fixierter Entropiedichte s
- 1
1
u = U, - tviEi - -tvikEiEk - * . * $- ~ p i b i ~ U i , k Uf
i,~
2
* . a
+
yilmEiU1,m
+1
YiklmEiEkU1.m
+
0
.
.
definiert die Tensoren der adiabatischen Fvlaterialkoeffizienten
ai
spontane elektrische Polarisation,
sik
lineare elektrische Suszeptibilitat,
/%Elm
lineare elastische Rloduln,
Yikl
piezoelektrische Konstanten,
Yiklm
photoelastische Konst,anten.
Als Entwicklungskoeffizienten haben sie die Indexsymnietrie
Olik =
p i k l m = Plmik,
YikZm
= ykilm.
Im Spezialfall verschwindenden elektrischen Feldes resultiert die rein mechanische
Kontinuumstheorie mit synimetrischern Spannungstensor [2 1. Fur den Tensor der elastischen Moduln bedeutet das weitere Indexsynimetrien
Piklm = Pkilm = h m l .
Rein elastomechanische Prozesse werden somit, auch nur durch den1 Deformationstensor
beschrieben.
Eine entsprechende Synimetrie im letzten Indexpaar der piezoelektrischen und
photoelastischen Materialtensoren existiert aber im allgemeinen nicht.
Elektrische PoIarisation und elektrisches Feld fuhren zu einem Drehmoment, das
einen antisymmetrischen Anteil des Spannungstensors und damit auch des Distorsionstensors bedingt.
29 Ann. Physik. 7. Folge,Ed. 34
G . MACHELEIDT
438
Wir zerlegen die Tensorprodukte der piezoelektrischen und photoelastischen Terlne
der Potentialentwicklung in ihre syninietrischen und antisymnietrischen Anteile :
yilrnEiUlsrn = Yi(lrn)EiU(lm )
+
~i[lrnlEiU[l,ml.
+
1'iLlrnEiEltUL.m = 3'ix(lm)EiEku(l,m)
~'ik[lrn$iE~U[~,m]
*
Im folgenden wollen wir nur die unkonventioriellen antisymmetrischen Tensoren der
piezoelektrischen und photoelastischen Konstanten yiilrn1,
yzLlml weiter untersuchen.
Die durch sie deterininierten aiitisyniiiietrisctien Anteile des Spannungstensors sind
Andererseits ist der antisymmetiisclic Spannungstensor gleich dem Tensor des Drehmomentes der elektrischen Polarisation im elcktrischen Feld.
Aus dem therrriodynarnischen Potential folgt die elekt rische Polarisation
und soniit fiir den Drehmomententen~or~)
+
+
P[@rn]= a[Jrn] a [ ~ l k E ~ ~ E r n l
Setzt iiian die erhaltenen Beziehungen in die Gleichgewichtsbedingung S[lrn]= P[,Ern,
ein und sortiert gleich nach den Qliedern entsprechender Feldstlirkepotenzen, resultiert
0
.
'
.
~zrlrnlEi= ~ [ l E r n=
] ~[16rnliEi
9
yik[lrnIEiEk = 2'3[11kIEm]EL
= ?'&[llk GilrnlEiEk*
Fur die Koeffizienten folgt (nach drr not wendigen Syiiimetrisierung wegen
photoelastischen Term)
1
~ i [ l m=
l &[mall =
~ i k [ r m==
] 'a[l(k
7
- (dim%[ - S i l h m )
4)ml =
1
-
(allt dim
-t
EiEk
irn
3
&li bktn
- amk
& - arni 8 k 1 )-
Die antisyiiiiiietrisclien Tensoren ckx piezoelekt rischen wid photoelastischen Konstanten lassen sich also durch die spontnne elektrische Polarisation bzw. die fineare elektrische Suszeptibilitat ausdriicken.
Das Verfahren laL3t sich offeiibiclitlicli aach aaf elektroniechanische (z. B. elektroakustische, optoakustischc, piezooptische) Wechselnirknngen heliebig hijherer Ordnung
ausdehnen. Dabei werden iri dicb entspreclienden antisynimetrischen Materialtensoren
Konstanten eingehen, die einen in der Deforinatioii uin eine Potenz niedrigeren Effekt
beschreihen. XleBwerte werden sich in der Regel auf den Gesamttensor, z. B.
Yilm = Yi(lm) = Yi[lrnI 9
YiIlm = YiL(tm) $. Yik"m1
beziehen, so daB die tahellierten empirischen Werte nicht von vornherein als die spinnietrischen Anteile nngesehen werden kdnnen. Die antisyiuinetrischen Materialtensoren
spielen offensichtlich nur bei Prozessm atit. transversalen elastischen Vektorfeldern
(Ul[,rnl$; 0). d.h. insbesondere niir in Pextkijrpern eine Rolle. Von Interesse sind z.B.
transversale Schallwellen mit den durch sie hervorgerufenen lokalen - niit der Wellenlange periodischen - Drehungen der Polume~ieleiiiente.
3,
Dabei sind in den Bachsclien Klnmmern die durrli senkrechte Striche eingeschlossenen Indizes
von der Antisymmctrisierting auugeschlossen.
Einflu5 von Drehungen auf die piezoelektrische und photoelastische Wechselwirkung
439
Der antisymmetrische piezoelektrische Materialtensor kann nur bei den zehn pyroelektrischen Kristallklassen der zwanzig piezoelektrischen auftreten. Da er aus dem
Velitor der spontanen elektrischen Polarisation konstruiert ist, sind von seinen 9 Komponenten hochstens 3 linear unabhangig.
Fur Seignetteelektrika sollte wegen der groBen spontanen elektrischen Polarisation
diese zusatzliche Materialeigenschaft bedeutsam sein. Da aber auch deren piezoelektrische Konstanten relativ grol3 sind, betragen die Werte der antisymmetrischen Komponenten weniger als 1%der Werte der symmetrischen Komponenten. BaTiO, der Kristallklnsse 4 mm hat bei Zimmertemperatur eine spontane Polarisation al = a2 = 0,
a3 0,26 Cm-2 [3]. Daraus errechnen sich die nichtverschuindenden Komponenten des
antisymrnetrischen piezoelektrischen Tensors :
Zum Vergleich geben wir die entsprechenden Komponenten des symmetrischen Tensors
an [l]:
Yl(31) = 32,2 Cm-2,
Y2(32)=
Genau wie der symmetrische photoelastische Materialtensor kann der antisymmetrische photoelastische Ma,terialtensor in allen Kristallklassen von Null verschieden sein,
wenn man vom Fall der dielektrisch isotropen Medien absieht. yaLlmIverschwindet
nlimlich, wenn man mit a i k = a d i k eingeht. Deshalb kann auch in dem Ausdruck fur
y i s [ r m l die Suszeptibilitat fxik durch den Tensor der dielektrischen Konstanten &ik =
~~d~ + fx* ersetzt werden :
1
(Elk d i m f Eli dmk - Emk dil - &mi dk1)
Yik[lm] =
-
NELSON/LAX
[i]
erhalten das gleiche Ergebnis durch Transformation des dielektrischen
Tensors bei der infinitesimalen Drehung, die der antisymmetrischen Distorsion entspricht. Die ihr zugeordnete Transformation des Koordinatensystems wird durch
TI = (ai, + ULi rl beschrieben. Die Tensortransformationsmatrix ist also durch
DG = bil U,i,llgegeben:
+
E:k = DGDkmElm
= (di,
+
u[i,l]) (dkm
+
u[k,m])
Der antisynimetrische photoelastische Tensor folgt dann aus
A E i k = &:k - Eik = EklU[i.ll
+
EimU[k,m] = Y i k [ l m l u [ l , m l .
Da in den oben angegebenen Ausdruck fur Y i k [ l m ] nur der spurfreie Tensor der dielektrischen Konstanten eingeht, sind von seinen 18 Komponenten hochstens 5 linear unabhangig. Die Werte der symiiietrischen und antisymrnetrischen photoelastischen Konstanten sind fur optisch stark anisotrope Kristalle von gleicher GroBenordnung.
Fur optisch einachsige Kristalle (cI1= c22 = Eon&eg3= Eon:) ergeben sich die von
Kid1 verschiedenen antisymmetrischen Komponenten
_ -EO (n,
-
+
no)(n, - no)= conAn.
2
I n Tab. 1 sind fur einige Kristalle die antisymmetrischen Anteile y31L311
= y32[321
aus
dem ordentlichen Brechungsindex no und dem auIlerordentlichen Brechungsindex n,
[l, 51 berechnet worden. .Ihnen werden die aus den Pockelskonstanten piklm [1,,5, 61
gemaB Yiklm = - - - E ~ %p~i k l m berechneten symmetrischen bzw. effektiven Koniponenten
~ 3 1 ( 9 i )= Y 3 2 ( 3 2 ) gegenubergestellt.
29'
G. MACIIELEIDT
440
Tabelle 1
Substanz
n0
n,
Y31[311
;'31(31)
Quarz (32)
1,544
2,45
1,510
2,286
1,658
2,62
1,553
2,47
1,469
2,200
1,486
2,90
0,014 E,,
0,05 e0
-0,06
-0,19 Eo
-0,27 E,,
0,77 e0
(439 Eo
3,112 E,,
0,29 E,,
- i,50 E,,
0,53 E,,
CdS (6mm)
KDP (4'2m)
LiNbO, (3m)
Kalzit (3m)
Rutil (4/mmm)
0,iO
E,,
Eine geeignete MeDmethode zur Bestirnmung der Komponenten des photoelastischen
Materialtensors Yiklm - und damit seiner syminetrischen und antisymmetrischen Anteile - stellt die Brillouinstreuung dar [7].
Auf diese Weise kann auch die angegebene Relation fur yir[lmliiberpruft werden [6,8].
Literaturverzeiehnis
[l]J. SIROTIN
u. M. SCHASKOLSKAJA,
Osnowy kristallofisiki, Moskwa 1975.
[2] L. LANDAU
u. E. LJFSCHITZ,
Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. VII, Berlin 1965.
[3] J. BURFOOT,
Ferroelectrics (mas.),Moskwa 1970.
[4] D. NELSON
u. M. LAX,Phys. Rev. Lott. 94, 379 (1970).
Metody moduljazii i skanirowanija sweta, Moskwa 1970.
[5] E. MUSTELu. W. PARYGIN,
[S] D. NELSON,
P. LAWYu. N. LAXin Y.BALKANSKI,
Light scattering in solids, Park 1 9 i t .
[7] G. MACHELEIDT,Exp. Tech. Phys. 90, 539 (1972).
[8] D. NELSON
u. P. LAZAY,Phys. Rev. Lett. 95, 1198 (1970).
Bei der Redaktion eingegangen em 2. Dezember 1976.
Anschr. d. Verf. : Dr. G. MACHELEIDT
Piidagog. Hochschule Erfurt-Miihlhaiisen, Sektion Mathematik/Physik
DDR-50 Erfurt, Nordhauser StraBe 63
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