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Einige instationre Bewegungen der zhen Flssigkeit mit zylindrischer Begrenzung.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLGE
B A N D 25
HEFT 3
F E B R U A R 1936
EBn6ge Bnstatiomnltre Rewegungm der xnlthen TliLssigkedt
m.2t xylindrlscher Begrenmng
Von WiZheZm MiLZZer
(Mit 8 Figuren)
I. Einleitung
Im folgenden sollen einige physikalisch-einfache, nichtstationare
Bewegungsvorgange in einer reibenden Fliissigkeit betrachtet werden,
die aufler von der Zeit nur von einer (linearen oder zirkularen)
Koordinate abhangen und als exakte Losungen der S t o k e s - N a v i e r schen Differentialgleichungen abgeleitet werden konnen. Der Ubersichtlichkeit halber mochte ich dabei zwischen Ausbreitungs- (oder
Diffusions-)Vorgangen und Druckbewegungen unterscheiden. Die
Ausbreitungsvorgange, von denen einige bemerkenswerte FaUe bereits
in einigen friiheren Arbeiten l) besprochen sind, beziehen sich auf
Bewegungen , die aus einem bestimmten Anfangszustand der Geschwindigkeits- bzw. der Wirbelverteilung sich entwickeln, wenn die
Fliissigkeit oder das bewegte Medium sich selbst iiberlassen ist,
ohne da6 eine auBere oder innere Druckkraft in Wirksamkeit tritt.
Diese Vorgange lassen sich, auch in der mathematischen Formulierung, vergleichen mit den Warmeleitungsvorgangen, die aus einer
bestimmten anfanglichen Temperaturverteilung ableitbar sind. Dabei
kiinnte man weiter die Unterscheidung der freien und der erzwungenen
oder randgefuhrten Diffusion einfiihren, indem man etwa unter der
erzwungenen Ausbreitung eine Bewegung versteht, die an die zeitlich
bestimmte Bewegung des Randes oder eines Teiles des Randes gekniipft bleibt. Eine freie Ausbreitung entsteht z. B., wenn ein
kreiszylindrischer Fliissigkeitsstrahl in das gleiche unbegrenzte Medium
eintritt; eine randgefiihrte Ausbreitung liegt dagegen vor, wenn z. B.
ein unendlich langer Kreiszylinder in der unbegrenzten Fliissigkeit
aus der Ruhe heraus plotzlich oder allmahlich in gleichmaRige
1) W i l h e l m Muller, Einfuhrung in die Theorie der ziihen Flussigkeiten,
Leipzig 1932, S. 90, 105; Verhandlg. des intern. Mathematiker - Kongresses,
Zurich 1932, 2. S. 316; Z.a. M. M. 13. S. 395-408. 1933; Ann. d. Phys. [5] 19.
S. 809--828. 1034; ferner S. G o l d s t e i n , Proc. London Math. SOC. (2) 34.
S. 51-88. 1932.
Annalen der Physik. 5. Folge. 25.
13
186
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 25. 1936
Drehung versetzt wird. In der vorliegenden Arbeit sollen einige
Beispiele der letzteren Art besprochen werden.
Die Druckbewegungen, die z. B. die bekannten Anlaufvorgange
umfassen, sollen dagegen unter dem EinfluB eines bestimmten Druckgefalles zustande kommen, das wieder von der Zeit abhangig sein
kann. Eine Frage dieser Art ist z. B. der Qbergang einer vorgegebenen Anfangsverteilung der Geschwindigkeit einsetzender
Stromung im Kreisrohr in den stationaren Endzustaud der Poiseuillestromuug, wobei das Druckgefalle gewohnlich entweder als konstsnt
vorausgesetzt wird, oder einem Grenzwert sich asymptotisch annahert.
11. Reine Ausbreitungsvorgange
Wenn wir die Stromung als linear und rotationssymmetrisch in
bezug auf eine der Bewegungsrichtung parallele Achse verteilt
voraussetzen, so lautet die Hauptgleichung fiir die Geschwindigkeit v = vz in Zylinderkoordinaten
wo p den Reibungskoeffizienten und v die kinematische Zahigkeit
bedeuten. Als reine oder freie Ausbreitungserscheinung bezeichne
ich diejenigen Bewegungen, die durch das Verschwinden des Druckgradienten
*=0
az
gekennzeichnet sind, und allein von der Anfangsverteilung der Geschwindigkeit abhiingen. Sie sind vollstandig identisch mit den
rotationssymmetrisch verlaufenden Warmeleitungsvorgangen, wenn
man unter v die Temperaturleitfahigkeit und unter v die Temperatur
versteht.
Da die Geschwindigkeit mit wachsender Zeit abnimmt, benutzen
wir als Losungselement die Funktion
v = A e - i a v t . JO
9
(2)
wo J. eine zunachst beliebige Konstante und J , die Besselsche
Funktion nullter Ordnung bedeuten. Weitere Integrale ergeben sich
aus (2) durch Summenbildung bzw. Integralbildung, wobei die GroBe h
und mit ihr die Gr6Be A zu variieren' sind.
Die allgemeine Darstellung der Geschwindigkeit in Abhangigkeit von der fiir t = 0 geltenden (stetigen oder stiickweise stetigen)
Anfangsverteilung F (r) erhalt man bei unbegrenzter Ausdehnung der
Fliissigkeit in Verbindung mit der allgemeinen Formel
W
m
W . Miilbr. Instationare Bewegwngen der xahen Fliissigkeit usw. 187
die unter der Voraussetzung gilt, daB F ( Q ) ~ von
? 0 bis 00 absolut integrierbar ist. Dabei bedeutet die linke Seite bei einer
Unstetigkeit der Funktion F (r) das arithmetische Mittel der unmittelbar vor und hinter dem Sprung auftretenden Funktionswerte.
Dann hat zu einer beliebigen Zeit t die Geschwindigkeit den Wert
(4)
der auf Grund einer vie1 benutzten Formell) zu der weiteren Darstellung fiihrt
(5)
wo Io(xj = J,(iz) gesetzt ist. I n den bereits angefiihrten Arbeiten
habe ich mehrere Anwendungen dieser Formeln gegeben, insbesondere
die Ausbreitung eines kreiszylindrischen Fliissigkeitsstrahles in dem
gleichen unbegrenzten, anfangs ruhenden Medium untersucht.
Die G1. (1) mit __aP = 0 beherrscht gleichzeitig die Wirbel32
bewegung bei der ebenen zirkularen Stromung, wahrend die Geschwindigkeit der weiteren Gleichung
geniigt. Die Integrale von (6) unterscheiden sich von den entsprechenden der G1.(1) nur dadurch, daB an Stelle der B e s s e l schen Funktion nullter Ordnung die Besselsche Funktion J1 erster
Ordnung tritt. Auch fur diese Bewegungsart habe ich mehrere
Beispiele gegeben, u. a. die Ausbreitung bzw. Auflosung eines kreissymmetrisch angeordneten Wirbelsystems, und dabei auf die Analogie
mit den entsprechenden Warmeleitungsfallen hingewiesen.
111. Ausbreitung bei konstanter Randgesohwindigkeit
Randgefuhrte oder erzwungene Ausbreitungsvorgange entstehen,
wenn der Rand eine vorgeschriebene, d. h. wahrend des ganzen in
Frage kommenden Zeitverlaufs gegebene Bewegung ausfiihrt. Wir
wollen etwa eine lineare, rotationssymmetrisch begrenzte Bewegung
voraussetzen und annehmen, daB der Zylinder mit der E’liissigkeit
zur Zeit t = 0 in Ruhe ist und plotzlich in der Richtung seiner
Achse mit konstanter Geschwindigkeit U bewegt wird. Dabei haben
1) Vgl. W. Muller, Einfiihrung in die Theorie der zahen Flussigkeiten,
Leipzig 1932, S. 115.
13*
188
Annabn der Physik. 5. Folge. B a n d 25. 1936
wir die beiden wesentlich verschieden zu behandelnden Falle zu
unterscheiden, daI3 die Fliissigkeit im Innern oder im AuBengebiet
des Zylinders sich befindet.
1. Wenn die Fliissigkeit das Innere des Zylinders ausfullt, 80
konnen wir v in der Form
M
ansetzen, wahrend verlangt werden mug, da% vl f u r t --f 0 in den
konstanten Wert U iibergeht und fur t -+ 00 verschwindet. Ferner
aber muB v1 am Rand, d. h. also fur r = a fur alle von Null verschiedenen Werte von t verschwinden. Die zweite Bedingung ist
von vornherein erfullt, wenn die A , endlich sind. Um der letzten
Bedingung zu geniigen, bestimmt man die Parameter As als Wurzeln
der Gleichung J , (hi a) = 0. Um schlieBlich der ersten Forderung
entsprechend die Iioeffizienten Ai der Beziehung
i=l
-
anzupassen, multipliziert man beide Seiten mit r J , (A,r ) und integriert zwischen den Grenzen 0 und a. Benutzt man fur die linke
Seite die fur eine allgemeine Zylinderfunktion Zn( h r ) geltende
Formel
(7)
d[PZn(hr)=
] ArnZ,-,(Ar)dr,
fiir die rechte Seite dagegen die wegen J,(Aia) = 0, J,(A, a) = 0
geltenden Beziehungen
SO
ergibt sich in unserem Falle wegen 2,'
Ai
2
= lia J1(Ai
und daher fiir v der Ausdruck
(9)
a)
(2)= - 2, (x)
W . Hulkr. Innstationtire Bewegungen der ziihen Fliissigkeit usw. 189
tv
der mit l i a = si, a2
= t, -Y = x die dimensionslose Form ana
nimmt :
Wir haben in der Fig. 1 die Geschwindigkeitsverteilung v I U fur
einige Werte von t graphisch
veranschaulicht.
2. Der gegebene Ansatz ist
nicht mehr giiltig fur den Fall
der unendlich ausgedehnten Flussigkeit oder wenn die Flussigkeit sich
auBerhalb des Kreiszylinders befindet. Es wird dann notig sein,
die Besselsche Funktion zweiter
Art mit in den Ansatz aufzunehmen bzw. statt J, eine zusammengesetzte Besselsche Funktion zu benutzen, die sich als
lineare Kombination der Funktion
erster und zweiter Art darstellt.
Die bei W a t s o n mit Yn(x) bezeichnete Funktion hat die Reihenentwicklung :
2
Y
Fig. 1. Wirkung einer plotzlich
einsetzenden Axialbewegung eines
Zylinders auf die Fliissigkeit im
Innern
in der In - = 0,11593 zu setzen ist und die rechts auftretenden
Funktionen die gewohnlichen Besselschen Funktionen erster Art
bedeuten. W e man sieht, besitzt die Funktion im Nullpunkt x = 0
eine logarithmische Singularitat, die aber in unserem Falle ( 5 = L r )
wegen r > a ausgeschlossen ist. Setzen wir:
Sn(ilr,LQ) = J n ( h r ) . Y t L ( L p) k',(Ar).Jn(ilg),
Annulen der Physik. 5 . Folge. Band 25. 1936
190
so gilt folgende Formel von W e b e r und Orrl):
la
= -1[ F ( r
2
+ 0) + F ( r - O)]
fur alle n, wenn die Funktion vT.F(g) iiber das Intervall a - cx)
integrierbar ist. Dann geniigt im besonderen die Funktion:
m
(12)
2)
=J
00
so(nr7 La)
JOB
0
(a a) +
(1a)
Yo9
e-
A*vta
a i k J S o(ae, a a) g F ( p ) d g
a
der Differentialgleichung (1) und gibt fur t --f 0 die durch F(r)
gegebene Anfangsverteilung. Der Ausdruck verschwindet ferner fur
r = a, da So in dem Intervall a - 00 endlich bleibt. Die durch (12)
dargestellte allgemeine Losung kann daher in folgender Weise fiir
unser Problem nutzbar gemacht werden. Nehmen wir namlich
F(r) = U und setzen:
m
m
so geniigt U = v1 den oben formulierten Bedingungen, d. h. v geht
fiir t --f 0 in den Wert Null uber, wahrend am Rand r = a’fiir
alle Werte t += 0 der Wert v = U herrscht, der schliefilich nach
unendlich langer Zeit fiir die Geschwindigkeit aller Punkte in der
Fliissigkeit erreicht wird. Nun ist aber, wenn wir die bekannte
Formel 2,
J , (a U) Y, (a U) - Y , (a a). J,, (a a) = % . l a
2
(13)
anwenden:
~
n
Wir erhalten also:
1) Vgl. E. C. Tits c h m a r s h, Proc. London Math. SOC.[Z] 22. S. 11-111.
1924.
2) Vgl. etwa G. N. Watson , A Treatise an Bessel-Functions, Cambridge
1922, S. 77.
W . Muller. Instationare Bewegungen der xahen F1ussigke;t usw. 191
Die Formeln lassen sich verallgemeinern im Sinne der Annahme, daB die Geschwindigkeit der Randbewegung nicht mehr konstant, sondern als Funktion der Zeit .gegeben ist.
IV. Ausbreitung bei verkinderlicher Randgeechwindigkeit
Um die fur diese Erweiterung anzuwendende Methode zu
zeigen, wollen wir den Fall der zirkularen Beweguug heranziehen
und die Umfangsgeschwindigkeit des rotierenden Grenzzylinders in
der Form
24
annehmen.
*f(4
Unter der Voranssetzung, daI3
Arp(r) - - =
r"
0,
also y (r) einem stationaren Zustande entspricht, ferner daB 9 (r)
fur den Rand r = a in u iibergeht, setzen wir:
Dann ist
01
= 9(r).f(t).
Bestimmen wir also vg so, dab die Gleichung
erfiillt ist, so geniigt die Summe v = v1 + v2 der grundlegenden
G1. (1). Um die entseheidende Lasung v, zu finden, entwickelt
man y (r) in eine Reihe mit B esselschen Funktionen J , (Air) und
fiihrt fur v, eine Reihe von der Form
M
ein, wobei die Parameter A$ als Wurzeln der Gleichung J1 (Aj a) = 0
zu bestimmen sind. Nach Einsetzung in die Differentialgleichung (6)
ergibt sich dann fiir jeden Index i eine Beziehung, aus der die Bi(t)
durclz eine einfache Quadratur sich berechnen lassen.
1. Fbiissigkeit irn Innern des Zylinclers. I n diesem Falle ist
Z.
B:
y ( r ) = w .r
zu setzen. Wir erhalten ferner durch die bekannte, oben fiir einen
Spezialfall entwickelte B e s s el-Fouriersche Integrationsmethode
[vgl. (S)] die Reihendarstellung
m
192
Annabn der Physik. 5. Folye. Band 25. 1936
die wegen
-
z J‘(z)= J , (z)- 5 J2 (z)= x J, (z) J , (z)
und
v
J , (I,a) = 0
auch in der Form
geschrieben werden kann.
Die Differentialgleichung ergibt dann:
Da der Inhalt der ersten eckigen Klammer nach der Definition
der Besselschen Funktionen verschwindet, so kommt fur B,
t
und damit unter Voraussetzung der Konvergenz als Gesamtlosung :
Die Geschwindigkeit ist damit also in zwei Teile zerlegt, von
denen der erste von der Geschwindigkeit und der zweite von der
Beschleunigung der Randbewegung abhangt. Da aber f’(t) unter
dem Integralzeichen steht, darf man daraus nicht schliegen, dab der
zweite Bestandteil bei konstanter Bewegung verschwindet.
a) Nehmen wir namlich:
f(t) = 1 e - k * v t = 1 - e - a a r ,
-
was einer anfangs beschleunigten, spater angenahert konstanten Rotation des Zylinders entspricht, so wird:
Man sieht dam, da8 f u r jedes cc die GroBen xi fur wachsende
Wurzeln si der Funktion J, (si) eine Reihe positiver abnehmender
Zahlen darstellen, die urn so sfarker gegen Null konvergieren, je
groSer a und je grofier r werden. Da aber die vor dem Integral
W. MuUer. Instationare Bewegungen der zahen Flussigkeit usw. 193
stehende Summe im Ausdruck (17) fur t = 0 und damit fur alle
Werte t konvergiert, so bleibt die Konvergenz bei Hinzufugung der
Faktoren xi erhalten. Wenn o zufallig einer der Nullstellen sk gleich
1
wird, so nimmt (x2xIcden Wert
an. Ein Unendlichwerden einzelner Reihenglieder ist also jedenfalls
ausgeschlossen. Man erhalt also aIs Losung
Wenn o nun unendlich wird, so haben wir den Fall einer pliitxlich
einsetzenden und konstunt bleibenden Rotation des Zylinders. Die
Bewegung der Flussigkeit geschieht dann im Sinne der Formel
Wir haben in den Figg. 2 und 3 die Geschwindigkeit in Abhangigkeit
von der dimensionslosen Zeitvariablen z fur eine Reihe von x-Werten
dargestellt und zwar fur die Falle a5 = 10 und a = 03. Die bei der
Drehung des Zylinders zu uberwindende, auf die Flacheneinheit bezogene Reibung wird
Sie steigt, wie die Fig. 4 zeigt, fur alle endlichen a, vom Werte Null,
bis au einem Maximum, um sich d a m asymptotisch dem Grenzwerte
(R)=.+-= p w zu nahern, Nur fur 01 =co wird die Bnfangsreibung
theoretisch unendlich grofi.
b) 1st die Beschleunigung der Drehung konstant, also
(qr=,= Eo - t ,
so wird
2,
1
= E
0
K, . t = E o x t .
Es entsteht dann die Losung
W
Nun ist, wie man leicht feststellt
m
Annabn der Physik. 5. Folge. B a n d 25. 1936
194
Fig. 2. Wirkung einer allmahlich einsetzenden Drehung des Zylinders
$0
U
48
FU
Fig. 3. Wirkung eines plijtzlich einsetzenden Drehung des Zylinders
Fig. 4. Reibung bei der Drehung eines mit Flussigkeit gefiillten Zylinders
(ae = 10, 20, 50, 100, a)
Wenn man diese Formel auf das von t freie Glied anwendet, so
bleibt
W . Miiller. Instatwnare Bewegungen der zahen Flussigkeit usw. 195
oder
Man erkennt, daB die Reihe nur bei kleinen Zeitwerten ins Gewicht
fallt. F u r grogere Werte t kann man angenahert setzen
und fur t-too geht v in eine lineare Funktion uber. Auch die
Zeichnung (Fig. 5) zeigt, dab die Kurven fur die Geschwindigkeits-
Fig. 5. Wirkung einer gleichformig beschleunigten
Drehung des Zylinders auf die Fliissigkeit im Innern
verteilung mit wachsendem T den Charakter von geraden Linien
annehmen.
c) Nach derselben Methode lassen sich auch die erzwungenen
Schwingungen berechnen, die von einer vorgegebenen Drehschwingung
des Zylinders erzeugt werden. Wenn die Geschwindigkeit des Randes
w a sin /3 t ist, so erhalt man
m
[si2 cos p z
+ a sin ,&'T
- si2e-s;r].
Benutzt man die Reihenentwicklung fur die Funktion r , so laBt
sich der Ausdruck in die Form setzen
196
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 25. 1936
(9)
Es ergibt sich, daB die Anfangsbeschleunigung
fur alle
r r=O
Werte x < 1 verschwindet und nur fur x = 1 entsprechend der
Grenzbedingung den Wert GI a (3 annimmt. Mit wachsender Zeit
geht die Bewegung der Fliissigkeit in eine rein harmonische Bewegung tiber, die gegen die erregende Schwingung des Zylinders
urn so starker phasenverschoben ist, je groBer die Frequenz ,I3 und
der gbstand von der Wand werden, wahrend die Amplituden mit
wachsendem Abstand sich verkleinern. Wir haben in der Fig. 6 die
? z)
Kurven f u r verschiedene Werte x (0,2; 0,4;0,6; 0,s)in der
(5 -
Weise nebeneinandergestellt, daB die I-Achsen die Abstande x = f
von der Achse x = 0 haben. Es treten dann die Phasenverschiebung
und die Amplitudenanderung deutlich hervor.
2. Wenn die Flussigkeit zwischen zwei konzentrischen Zy lindern
(r = a, r = b < a) eingeschlossen ist und wenn der auBere Zylinder
sich mit der Geschwindigkeit o1af, (t), der innere sich mit der Geschwindigkeit o2b f, (t) dreht, so haben wir
m
B
o, = P ( r , t ) = A r + (22)
zu setzen. Es ergeben sich dann fur die im allgemeinen von t abhangigen A und B die Werte
a' 0 1 fi (t)- ba ma fs (0 .,
bB(%f, ( t ) - w1 f i (t))
B = a*
-_____-__.
(22a) A =
a t , ba
a2 - bz
W. Miilbr. Instationare Bewegungen der xahen Fliissigkeit usw. 197
Wir konnen daher F ( r , t ) in die Form
+ 'p, (4 f, (0
F ( r , t) = 'p1 (9 * fl (4
(23)
setzen, wo
a* o1(r -
(234
91( r ) =
F) ;
62
bto,
9 2
(r) =
(5
- .)
b!d
Der zweite Betandteil w, der Gesamtlosung muB also der Gleichung
geniigen. Statt der Besselschen Funktionen J, ist in diesem Falle
die zusa.mmengesetzte Zylinderfunktion
zu verwenden und die Parameter A als Wurzeln der Gleichung
(nu,ab) = o
(26)
s,
zu bestimmen. Z,(hr) hat alsdann die Eigenschaft, fur r = a und
r = b zu verschwinden. Die Entwicklung der Funktionen yl (r) und
y, (r) nach 2, (hr) geschieht in derselben Weise wie es oben gezeigt
wurde, an der Hand der allgemeinen Formeln (S), die auf das Intervall a bis b anzuwenden sind. Wenn man
m
mit r Z , (h,r) multipliziert und uber dieses Interval1 integriert, so
gewinnt man durch eine leichte Rechnung wegen 2 2,' = 2, - 2, ,
2
2, + Z , = 2, = 0 fur x = ila und Ab die Beziehungen
31
Wenn man die Funktion S einfiihrt und die bekannte Beziehung
(28)
2
so,* (h b, h b) = J, (hb) Y , ( A b) - J, ( A b) Y o(A b) = - nib
berucksichtigt, aus der in Verbindung mit S,(h a, A b) = 0 die weitere
Formel
' ___
Ji (A a)
(nu, ilb) = - 2
(29)
?I ia
J1(A b)
198
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 25. 1936
sich ergibt, so erhalt man
Setzt man dann, wie oben, fur
9,
die Entwicklung
an, so lassen sich die Koeffizienten Bi berechnen, und e5 kommt
schlieBlich als Losung
Wenn z. B. der auBere Zylinder ruht und nur der innere eine
wb2
as - rs
Drehung ausfuhrt, so wird mit y2(r) = y (r) = ____
a2 - ba
~
r
die Geschwindigkeitsfunktion
Die auf die Flacheneinheit bezogene Reibung am auBeren und
inneren Zylinder haben wir im allgemeineii Falle die Werte
W . Miiller. Instationare Bewegungen der xahen Fliissigkeit usw. 199
Wenn z. B. die Zylinder gleichsinnig rotieren, wird die Bewegung
jedes Zylinders die Reibung am andern Zylinder verkleinern,
wahrend bei ungleichsinniger Drehung die Reibungskrafte entsprechend vergroEert werden.
3. Fliissigkeit au/?erhalb cles Zylinders. Dieser Fall, der besondere Beachtung verdient, la& sich mit Hilfe des unter (11) angegebenen W e b e r - Orrschen Integrals behandeln. Wir wollen annehmen, daB fur r = a die Geschwindigkeit den Wert ~ ( u.fit)
)
besitzt. D a m ist (r) = a,
wahrend vz der Gleichung
a2
zu setzen und wir haben v1 = gj (r) .f (t),
U2
geniigt. Nun ergibt sich aber aus (11) mit F (p) = M wegen
e
fur 1/r die Darstellung
(33)
Nehmen wir ferner fiir vz eine Entwicklung von der Art
an, so ergibt sich nach Einfiihrung in die Differentialgleichung (6)
und damit
200
AnnaZen der Physik. 5. Folge. Band 25. 1936
1st z. B. f (t) = 1 - e - k * y t , so kommt
Bei pliitzlich einsetzender und konstant bleibender Rotation des
entsteht die bereits von G o l d s t e i n l) angegebene
Zylinders (ka+ o)
Losung
V. Geradlinige Laminarbewegung der Fluaaigkeit
in einem zylindrischen Rohr unter der Einwirkung eines Druckgefiilles
Wenn wir ein zeitlich veranderliches Druckgefalle annehmen,
so genugt die axial gerichtete G.eschwindigkeit v2 = v einer Lineargleichung von der Form
(37)
deren Integration auf Grund der gegebenen Entwicklungen durchgefuhrt werden kann.
1. Den Fall der instatwnaren Bewegung bei konstantem Druckgefalle
( F (t) = konst.) habe ich in einer demnachst erscheinenden Arbeit 2,
ausfuhrlich entwickelt fur den kreisringformigen Querschnitt. Es
handelt sich dabei insbesondere um die Ermittlung der sogenannten
Anlaufstromung 3, die bestimmt ist durch den Anfangszustand, fur
den man etwa die gleichmafiige Verteilung (v = U = konst. fur jedes r)
annehmen kann und den stationaren Endzustand, der beim Vollzylinder mit der bekannten Poiseuillestromung identisch ist. Beim
Hohlzylinder (b < r < a) ist fur die Reihenentwicklung die zusammengesetzte B e s selsche Funktion
zu nehmen, wobei die Parameter I als Wurzeln der Gleichung
So(A a, ilb) = 0
1) S. G o l d s t e i n , Proc. London Math. Soc. (2) 34. S. 51. 1932.
2) Vgl. auch Vortrage Physiker- und Mathematikertag.,Stuttgart, Z. a. M. M.
Heft 6, 1935.
3) Vgl. L. S c h i l l e r , Z. a. M. M. 9. S. 96. 1922.
(1
(39)
v=2u
1
1 - 22)lg - (17 q 2 ) lg ;
q
-
(1
1
_____
1
+ 'r*) Ig - (1(1
q2)
b
___
9" = x ,
-=q(<l)
a
a
gesetzt ist. Der fibergang vom Anfangszustand in diesen Endzustand
wird erhalten durch den Ausdruck
w0
1-
1 +p- = E
1
lg
gesetzt ist. Fur b = 0 wird
E
= 1 und
Wir haben insbesondere die diesem Spezialfall entsprechende
Geschwindigkeitsverteilung fur verschiedene Zeitwerte graphisch ver-
Fig. 7. AnlaufstrSmung in einem Kreiszylinder bei konstantem Dmckgefiille
Annnlen der Physik. 5 . Bolge. 25.
14
202
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 25. 1936
anschaulicht (Fig. 7) und verweisen im ubrigen auf die ausfuhrliche
Darstellung, in der auch die zahlenmabige Auswertung der allgemeinen
Formel (40) durchgefuhrt ist.
2. Urn fiir den Fall des veranderlichen Druckgeftittes die entscheidende partikulare Losung zu ermitteln nach der oben geschilderten Methode, gehen wir aus von der Identitat
nnrl von rler unbestimmten Entwicklung
i=l
Man erli51t dann aus der Differentialgleichung die Losung
die mit Renutzung von (28) iibergeht in
Die Liisung kann vervollst,andigt xerden durch Hinzufugung
einer Reihe von derselben Art mit konstanten Koeftizienten, die versehiedenen Bedingungen angepal3t werden konnen.
Wir wollen in diesem Zusammenhange insbesondere noch den
Fall der periodischen Druckanderung kurz behandeln und dabei
einen kreisformigen Querschnitt mit dem Radius a zugrunde legen.
Wenn b = 0 ist, so geht der Ausdruck (42) iiber in
otler in dimensionsloser Schreibweise
(43a)
Setzen wir jetzt ftz) = U I sin! z, so w i d
W . Miiller. Instationare Bewegungen der xahen Flussigkeit uszu. 203
Wir erhalten also die gewiinschte Losung in der Form
die im wesentlichen mit der nach einer anderen Methode bestimmten
Lijsung von S z y m a n s k i *) iibereinstimmt. Der Budruck (44) setzt
$0
48
46
44
42
2
0
Fig. 8. Bewegung einer Fliissigkeit im Kreiszylinder
bei periodischer Anderung des DruckgeRlles
sich zusammen aus einem mit r exponentiell abnehmendem Glied und
zwei trigonometrischen Gliedern, die insgesamt eine periodische
Schwingungsbewegung ausmachen. Diese Schwingung hat gegeniiber der Druckschwankung oine Phasenverschiebung, die mit der
Frequenz p und dem Abstand von der Wand wachst. Die Geschwindigkeitsverteilung ist aus Fig. S fur die Werte x = 0,2; 0,4;0,6; 0,s
berechnet und in ahnlicher Weise wie in dem oben behandelten
Fall der Kreisschwingung graphisch in Abhangigkeit von der Zeit
dargestellt.
az
Setzen wir v = -, so finden wir fur den Weg x unter derVorausat
setzung, daB die Bewegung mit t = 0 beginnt
1) P. S z y m a n s k i , Joiirn. mathClm. p. et appl., Paris 1932.
14*
S. 67.
204
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 25. 1936
Wenn das Druckgefalle urn einen Mittelwert periodisch schwankt,
so haben wir noch die stationare Losung
2 u ( l - 22)
hinzuzufiigen, wo u yon dem Mittelwert des Druckgefalles abhangt.
Dann wird auch die Geschwindigkeit an jeder Stelle urn einen durch
die Poiseuillesche Verteilung gegebenen Mittelwert oszillieren. 1st
ferner eine bestimrnte Anfangsverteilung fiir die Geschwindigkeit
vorgeschrieben, so ist der Ausdruck fiir v noch zu erganzen durch
eine Losung der druckfreien Diffusionsgleichung, deren Koeffizienten
nach dem B e s s e l - Fourierschen Verfahren zu bestimmen sind.
Ein weiteres Eingehen auf einige Spezialfragen behalten wir uns
fur eine andere Gelegenheit vor.
A a c h e n , Technische Hochschule.
(Eingegangen 15. November 1935)
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zheni, zylindrischen, der, bewegung, begrenzung, mit, einigen, flssigkeiten, instationre
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