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Einige kritische Betrachtungen ber die Integralgleichung des Skineffektes.

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300
Annaltm deer Physik. 5. E'olge. Band 33. 1938
Eirzige kritische Hetrachtumgem
iiber d i e Imtegralgleichumg des Skimeffektes
Pon F e l i x L e t t o w s k y
I. Zur Berechnung des Skineffektes in elektrischen Leitern
wurde von verschiedenen Autoren, insbesonders von Ch. M a n n e b a c k,
F. Woe t h e r u. M. J. 0. S t r u t t l) eine gewisse Integralgleichung
herangezogen. Bedeutet i(z, y, z) die gesuchte Stromverteilung, B die
elektrische Leitfahigkeit in elektromagnetischen Einheiten, m = 2 nf
die Kreisfrequenz (die Bezeichnungen wurden mit Riicksicht auf
die spater zu besprechende Arbeit E. R o t h e s gewahlt) so lautet
diese Integralgleichung mit uz= - 4 n i B m
I m Falle zylindrischer Leiter, bei denen die Verteilung der
Stromdichte von der Koordinate langs der Leiterachse x unabhangig
wird, geht diese Gleichung iiber in
S t r u t t zeigt auch, daB man aus dieser Integralgleichung im
Falle axialer Symmetrie leicht die bekannte Losung
(3)
i (2, ZJ) = K J , (Ur )
r =
fxz+
y2
erhalt. I n seiner weiteren Arbeit 2, wird diese Integralgleichung
etwas verallgemeinert, indem in ihrem inhomogenen Teil statt der
Konstanten eine Potentialfunktion eingefiihrt w i d . Dabei wird von
folgender Formulierung ausgegangen.
Vorgelegt sei irgendein zeitlich verandcrliches elektromagnetisches
Feld. I n dieses Feld wird ein Leiter von irgendwelcher Gestalt
hineingebracht. Gesccht ist da,s Feld innerhalb des Leiters und
insbesondere die Energiedissipation im Leiter. Als ,,Skineffekt"
bezeichnet M. J. 0. S t r u t t dann allgemein die Tatsache, daW das
1) Ch. M a n n e b a c k , F. N o e t h e r u. M. J. 0. S t r u t t , Ann. d. Phys. 86.
S. 781. 1928.
2) M. J. 0. S t r u t t , Ann. d. Phys. [5] 8. S. 777. 1931.
F . Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen usw.
301
Feld nach Hereinbringen des Leiters anders aussieht als vorher.
Die dieser Vorstellung entsprechende Integralgleichung lautet d a m :
wobei %@)(s,
y, z) als vorgegebene Vektorfunktion aufzufassen ist, die
das Feld darstellt, in das man sich den Leiter hineingebracht denkt.
Diese Gleichung kann wegen
(4)
i(z, y,z) = - i w a %
auch geschrieben werden,
so daB nach S t r u t t fur D = 0 (somit cc2 = O)%(s,y,z) = %(O)(z,y,z)
ist, im Einklang mit der Vorstellung, daB eben a($,y, z) das Feld
darstellt, das aus dem durch %(O)(s,y,z) dargestellten entsteht, wenn
in dieses der Leiter hineingebracht wird. S t r u t t untersucht nun
ganz allgemein die Frequenzabhangigkeit von i (z, y , z), indem er die
L6sung der Integralgleichung nach der allgemeinen Theorie der
inhomogenen linearen Integralgleichungen hinschreibt. Fur kleine
Frequenzen geniigt es, die hinreichend gut konvergierende Nenmannsche Reihe zu beniitzen. Es ist also
i
(5)
S t r u t t unterscheidet dabei zwei Falle, die er kurz als ,,elektrischen"
und ,,magnetischen" Fall bezeichnet, je nachdem ob nach Hereinbringen des Leiters in das durch %'O)(X, y,z) gegebene Feld, das
Linienintegral der elektrischen oder das Linienintegral der magnetischen Feldstarke zwischen zwei gegebenen Punkten konstant gehalten wird, wobei im ersten Fall nach S t r u t t ( E Linienintegral
der elektrischen Feldstarke)
walirend im zweiten Fall
t64
%'O)(%,
y, x) = c2 M
( M Linienintegrale der magnetischen Feldstiirke) ist und cI bzw. cz
die Frequenz nicht enthalten.
Annalen der Physik. 5. Folge. 33.
21
302
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
Weiterhin sei auf die Arbeit E. Rothes') hingewiesen, in der
der Autor eine von ihm als ,,strenge Integralgleichung des Skineffektes" bezeichnete Integralgleichung herleitet, wobei im Gegensatz
zu den meisten sonst ublichen Darstellungen der Verschiebungsstrom
nicht vernachlassigt wird. Mit Hilfe dieser Integralgleichung beweist
E. R o t h e unter sehr allgemeinen Voraussetzungen, daB die Stromdichte am Leiterrande ein bestimmtes, durch einen Exponentialausdruck gekennzeichnetes Verhalten zeigt, das er als ,,Skineffekt"
bezeichnet ". Dabei vermerkt E. R o t h e 3, folgenden Widerspruch:
Die von ihm hergeleitete Integralgleichung geht bei nachtraglicher
Vernachlassigung des Verschiebungsstromes nicht vollkommen in die
vorerwahnte, von M a n n e b a c k , S t r u t t usw. verwendete Integralgleichung iiber. R o t h e gibt auch (ubrigens nicht stichhaltige)
Griinde an, die dieses unerwartete Verhalten erlautern sollen. Wie
aus diesen Benierkungen hervorgeht, gehen die Auffassungen iiber
das Wesen des Skineffektes in dem bisher vorliegenden Schriftturn auseinander. Hier durch einige kritische Bemerkungen Klarheit
zu schaffen, ist der Zweck dieser Zeilen. Dabei geniigt es, das
einfache Beispiel eines unendlich ausgedehnten Leiters mit kreiszylindrischem Querschnitt heranzuziehen , bei dem alle in Frage
kommenden GroBen explizit hingeschrieben werden konnen , urn
folgendes einzusehen :
1. Die von S t r u t t dargelegte Formulierung des Skineffektproblems enthalt Unklarheiten. I m wesentlichen sind sie dadurch
bedingt, daS aus der Struttschen -4rbeit nicht klar zu ersehen ist,
was er rein begriff lich meint, wenn er von einem ,,Hineinbringen"
eines Leiters in ein vorgegebenes Wechselfeld spricht. Seine
Formulierung verleitet zu der Anschauung, daR die GroBe %to) nicht
von den Dimensioneu und von der Leitfahigkeit des Leiters abhangt, der in das durch 9.P),,vorgegebene" Feld ,,hineingebracht"
wird und damit auch zu unrichtigen Anschauungen iiber die Fiequenzabhiingigkeit von %@).
2. Die S truttsche Kerleitung der Frequenzabhangigkeit des
Skineffektes bei kleinen Frequenzen beruht auf unrichtigen Voraussetzungen hinsichtlich der Frequenzabhangigkeit von %(W. Sie ist
daher nicht stichhaltig.
1) E. R o t h e , Journ. f. reine u. angewandte Math. 170. S. 218. 1934.
2) Gewohnlich spricht man von ,,Skineffekt" auch d a m schon, wenn es
sich iiberhaupt urn die Erscheinung handelt, daB die Stromdichte gegen den
Leiterrand hin nach irgendeinem Geaetz zunimmt.
3) E . R o t h e , a. a. 0. S. 212, FuEnote.
F. Lettowsky. Einige bitische Betrachtungen usw.
303
3. Die Verwendung der Ausstrahlungsbedingung bei E. Ro t h e
bedingt eine Einschrankung fur die Funktion A(O)(P), die von
E.R o t h e, ahnlich wie %(")(z,y , z) bei S t r u t t , als vorgegebene Fun ktion
betrachtet wird. Es wird im Folgenden gezeigt, daB eben wegen
der Ausstrahlungsbedingung A(o)(P) keinesfalls beliebig gewahlt
werden kann.
4. Der von E. R o t h e vermerkte Widerspruch besteht nicht zu
Recht. A(O)(P) ist bei E. R o t h e anders bestimmt als der entsprechende Ausdruck bei S t r u t t.
5. Gegen die Rot heschen Ansatze sind vom physikalischen
Standpunkt aus grundsatzliche Einwande zu erheben. Es ist natiirlich nur eine Frage zweckmabiger Nomenklatur, welche elekromagnetischen Vorgange unter dem Namen ,,Skineffekt" zusammenfassend betrachtet werden sollen. Es ist beispielsweise kaum angangig, jede Art von Beugungsvorgangen, bei denen innerhalb der
beugenden Leiter skineffektahnliche Erscheinungen auftreten, so zu
benennen. Jedenfalls wird man von einer mathematischen Formulierung des Skineffektproblems unbedingt verlangen miissen, daB sie
die Vorgange richtig darstellt, die man normalerweise als Skineffekt
bezeichnet, d. h. man wird u. a. verlangen mhsen, daB sich aus den
Ansatzen das elektromagnetische Feld bei der Energieubertragung
langs einer Leitung berechnen 1aBt.
Die Rotheschen Ansatze ergeben aber nur im Falle einer
Spezialisierung fur den quasistationaren Fall, der auch durch die
Annahme 8 = 0 gekennzeichnet werden knnn und auch da nur f u r
das magnetische Feld das Richtige. Das elektrische Feld wird
d a m durch diese Ansatze nur im Leiter selbst richtig erfaBt; im
AuBenraum wird es durch die Annahme, daB dort das skalare
Potential @ = 0 sein soll, ganzlich entstellt wiedergegeben, was
allerdings fur den Skineffekt selbst oon untergeordneter Bedeutung ist.
Zur Begriindung dieser fiinf Behauptungen sei Folgendes angefiihrt: S t r u t t stellt wohl die S. 300 zitierte Formulierung an die
Spitze seiner Ausfiihrungen iiber den ,,Skineffekt" (in der unter 2.
genannten Arbeit). Er leitet aber die Integralgleichung ab, ohne
dabei naher zu sagen, wie man sich eigentlich das ,,Hineinbringen"
des Leiters in das Feld vorstellen soll bzw. wodurcli das vor dem
Hineinbringen des Leiters vorhandene Feld vorgegeben sein soll.
Erst nachtraglich und zwar bei den Anwendungen, wird von dem
,,elektrischen" bzw. ,,magnetischen" Fall gesprochen.
Im Grunde genommen wird daher die eingangs erwahnte Formulierung zur Herleitung der Integralgleichung gar nicht verwendet.
EE hnndelt sich also letzten Endes nur urn eine besondere Inter21 *
304
A n n a l e n der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
pretation der Integralgleichung. Sobald man aber von einem Hineinbringen eines Leiters in ein vorgegebenes Feld spricht, wird man
doch wohl stillschweigend annehmen miissen, daB das vorgegebene
Feld nicht von der Leitfahigkeit und den Leiterdimensionen des
Leiters abhangt, der erst hineingebraclit werden soll. Sonst ware
j a in dieser Hinsicht von dem vorgegebenen '%@) genau so wenig
bekannt, wie von dem gesuchten % und die Benennung ,,vorgegebenes
Feld" ware unangebracht und vor allem irrefuhrend '). In dem von
S t r u t t erwahnten elektrischen bzw. magnetkchen Fall bangt aber
%@) von den genannten OroBen in gleicher Weise ab wie % selbst,
wie das schon an dem Beispiel des Leiters mit kreiszylindrischem
Querschnitt in augenfalligster Weise zum Ausdruck kommt. Urn
demnach die S t r u t t sche Formulierung des Begriffes Skineffekt als
sinnvolle Interpretation seiner Integralgleichung zu erweisen, wBre
in jedem einzelnen Fall in erster Linie nachzuweisen, daB %LO) von
den genannten Grogen nicht abhangt. Sonst kann diese lnterpretation
leicht zu Trugschliissen hinsichtlich bei Frequenzabhangigkeit von
'$0)
fiihren. In dem von S t r u t t ausfiihrlich besprochenen elektrischen bzw. magnetkchen Fall hangt namlich 8 0 , auch v o n der
Frequenx in ahnlicher Form ab wie % selbst 2), daher ist die S t r u tt sche
Herleitung der E'requenzabhangigkeit des Skineffekts unrichtig. Noch
etwas genauer kann man sagen: Bei dem von S t r u t t als Skineffekt
formulierten Problem, das die gewohnlich unter diesem Namen znsammengefabten Erscheinungen miteinschlieBt, handelt es sich offenbar
urn den Zusammenhang zweier Feldverteilungen, die durch 8 bzw.
8(0' dargestellt werden, in einem begrenzten (zwei oder dreidimensionalen) Gebiet, innerhalb dessen im ersten Fall der Wert der
GroBe B von dem des AuBenraumes B = 0 verschieden ist, im zweiten
Fall mit ihm iibereinstimmt, falls gewisse, fur den Wert von $
bew.
?I
maBgebende Grogen, z. B. E oder M , in beiden Fallen gleich
bleiben. Die Vorstellung vom ,,Hineinbringen" des Leiters in das
Feld %(@ ist, wie erwahnt, nur dann sinnvoll, wenn unter den gegebenen Voraussetzungen (z. B. E = const oder M = const) die
Bedingung
l i m a = %(O)
(7)
a-fo
1) Sobald man au8 anderen Uberlegungen etwas iiber den Charakter der
Funktion WO)angeben kann, z. B. daB A(")(z,y)raumlich konstant sein muB,
ist es zulassig, die Integralgleichung so auszuwerten, wie dies Strutt in seiner
euerst erwahnten Arbeit getan hat.
2) Bekanntlich tritt beim Skineffekt immer das Produkt u o 1 auf, wobei
2 eine GroSe von der Dimension einer Lange ist. Bei kreisformigem Querschnitt beispielsweise ist I = Y, dem Abstand von der Leiterachse.
F. Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen usw.
305
erfiillt und demnach 9Uo) von D unabhangig ist, nicht aber, wenn
bloB die selbstverstandliche Beziehung
lim % = lim 'W)
(7 a)
0 3 0
0 3 0
besteht *).
Als wirklich vorgegeben, im strengen Sinne des Wortes, wird
man $?Go) dann betrachten diirfen, wenn die erwahnten Bedingungen
ausreichen, um %@) eindeutig festzulegen. Im allgemeinen ist aber
Bedingung (7) mit der Forderung E = const oder M = const, unvereinbar, wie an dem einfachen z. T. von S t r u t t selbst behandelten
Beispiel eines zylindrischen Leiters von kreisf ormigem Querschnitt
gezeigt werden soll. Aus Dimensionsgrunden zu schlieBen, dafi c1
in (6) bzw. cp in (6a) die Frequenz nicht mehr enthalt, ist unzulassig.
Die Leitfahigkeit c hat im elektromagnetischen System die Dimension [Z- t], daher ist mit Rucksicht auf c2 = - 4 n i w c z. B. bei
kreisformigem Querschnitt die Gr6Be (a R) ( R Leiterradius) dimensionslos und es kann c1 bzw. c2 sehr wohl von dieser GroBe abhangen.
Die Bedingung (7) ist sicher erfullt, wenn im AuBenraum die Funktion %, die durch die Stetigkeitsverhaltnisse am Leiterrand eindeutig
an die Funktion
im Leiterinnern gekniipft ist, in geniigend
groBer Entfernung vom Leiter der Funktion 9.P beliebig nahe kommt.
(Man denke etwa an ahnliche Aufgaben der Elektrostatik oder
Magnetostatik, z. B. eine Kugel in einem homogenen Feld.) Dadurch
wird auch aufgeklart, welche Rolle die Ausstrahl~iigsbedingungin
der spater zu besprechenden Arbeit E. Ro t h e s spielt.
Es moge nun in diesem Zusammenhange der Fall des Skineffektes in einem unendlich langen zylindrischen Leiter mit Kreisquerschnitt betrachtet werden. Fur den unendlich langen zylindrischen Leiter lautet die Integralgleichung
1) Es wurde u -t 0 geschrieben und nicht u = 0, um gemissen Schwierigkeiten auszuweichen, die sich sonst ergeben, z. B. wenn die Gesamtstromstarke
als vorgegeben zu betrachten ist. Der quasistationiire Ansatz ist naturlich nur
bei guten Leitern, wenn der Verschiebungsstrom neben dem Leitungsstrom vernachlassigt wird, zuliissig, keinesfalls aber bei u = 0. Trotzdem mufi man so
rechnen als ware er auch dann noch gultig, wenn man von der erorterten
Formulierung ausgeht. Fur u = 0 gabe es dann uberhaupt keinen Strom, so
dab man die Bedingung J = const bei Hereinbringen des Leiters in das Feld
gar nicht aufstellen konnte. So ist man nur genotigt zuzulassen, daB f u r
u+ 0 gewisse GriiBen in bestimmter Weise unendlich groB werden.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
306
und aus dieser folgt die Berechnung von C1)
R
2n
i(r)
+ &fdyf(
0
In
0
[(
z)'
1+
- 2 (5)cos(cp - ,y)\ } g i(p)dp = C
0
oder
R
t
i(r)
+ aBJi(e)pln$de
=C
+ uBJi(p)plnedp = K .
0
0
Die Losung dieser Volterraschen Integralgleichung fur i ( r )
t
i(r)
+ u L f i ( y ) e 1 nQr d p = K
0
am einfachsten durch die Neumannsche Reihe - ergibt, wie
man sich leicht uberzeugen kann, im Einklang mit der Formel (6)
von S t r u t t fur die Stromdichte die Formel (3)
(3)
i(r) = KJ&T),
-
was sonst durch unmittelbare Integration der Wellengleichung bei
Voraussetzung axider Symmetrie und der Regularitiit der Losung
fur r = 0 hergeleitet wird. Die Konstante K l26t sich mittels des
faed I = 4
J aus der Gesamtstromstirke J berechnen und hat den Wert (H Leiterradius)
Umlaufsintegrals
11t
K=
Da ferner
mJ
271 RJ, (aB)'
1) In den Bechnungen Strutts finden wir mehrere Versehen. Es sol1
richtie hei0en :
(z- R*
+ (Y - 7)'
{ (+):'
=
I
I,
+ 2 5 cos (0e
derselbe Zeicbenfehler befindet sich in Formel (4), ebenso in der darunter
stehenden Formel fur 0
<e <
T,
in welcher auSerdem rechts i?- statt In
e
steht und schliefllich in der Formel fur G(v) auf der folgenden Seite.
e
F.Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen usw.
(8)
C = K[uRJ,(uR)lnR +J,(uR)]
oder
(8 a)
307
I
cs=J[%+
2nR
J oJ(,a(R,
aR)
also ein Wert, der, wie man sieht, bereits sowohl die Leiterdimensionen. als auch die Frequenz ufid die Leitfahigkeit enthalt. Auch
wenn man das Linienintegral der Feldstarke E am Umfang einfiihrt,
ist dies deutlich zu sehen, denn es ist')
Dasselbe gilt offenbar auch fur A(o)(z,y), das in diesem Falle den
Wert hat (fur p = 1)
und zwar auch dann, wenn man J ebenfalls durch E ausdriickt.
Am besten iibersieht man den Sachverhalt, wenn man Ato)(x, y) in
der Form schreibt
E
A(o)(z,y)=2JlnR- 2 0
(10a)
-.
Wie man sieht ist weder bei konstant gehaltenen E noch bei
konstant gehaltenen J zulilssig, A@)(2, y) im festgelegten Sinne als
vorgegebenes Feld zu betrachten, in das man den Leiter hineinbringt. Deshalb ist die Integralgleichung zur allgemeinen Ermittlung
der Freqnenzabhilngigkeit, wie sie von S t r u t t in der zweiten eingangs erwahnten Arbeit durchgefiihrt wurde, nicht geeignet.
Vergleicht man Formel (10a) mit Formel (6), so sieht man dann
nach (9), da das Verhaltnis E/J von der Frequenz abhangt, daB entgegen der Voraussetzung S t r u t t s
von der Frequenz nicht unabh&ngig ist. Damit entfallt die Moglichkeit der Herleitung der E'requenzabhangigkeit des Skineffektes in
der von St r u t t durchgefiihrten Weise, denn diese beruht auf der
ausdriicklichen Voraussetzung, da6 c1 bzw. c2 die Frequenz nicht
mehr enthalt. [Vgl. die Ausfiihrangen auf S. 3043.1
1) Vgl. e. B. das Lehrbuch von Cl..Schaefer, 3. Bd., I. Teil.
2) Ein gewieses Interesse . bietet noch das Verhalten der betrachteten
GroSen beim Greneiibergang a -+ 0. Bei festgehaltenem I wird
308
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
IIa. Nach dieser Feststellung ist es nicht schwer den Widerspruch
aufzuklaren, den E. R o the in seiner Arbeit I) vermerkt. E. R o t he
weist darauf bin, da6 die von ihm mit Beriicksichtigung des Verschiebungsstromes abgeleitete ,,strenge" Integralgleichung des Skineffektes 2) bei nachtraglicher Vernachlassigung mit der von anderen
Autoren abgeleiteten Integralgleichung, die von vornherein ohne Verschiebungsstrom rechneten, nicht iibereinstimmt.
Die ohne Beriicksichtigung des Verschiebungsstromes abgeleitete
und im vorangegangenen Abschnitt diskutierte Integralgleichung lautet
bei E. R o t h e ] )
wahrend die ,,strenge" Gleichung auf
mit
k , = (2 InT 2
-in)
Y
fiihrt, wenn
k== E a p 0
2
Dielektrizititskonstante des AuBenraumes) ist. Dabei sol1 nach
Ro t h e s Darstellung in beiden Fallen A @ )(P) dasselbe bedeuten,
(E,
namlich ein vorgegebenes Feld, in das man sich den Leiter hineingebracht denkt. Vorgreifend wollen wir schon hier bemerken, daB,
wie sich zeigen wird, A@)( P ) in den beiden Integralgleichungen nicht
dieselbe Funktion bedeutet. Beide unterscheiden sich vielmehr um
die Konstante k,. Hinsichtlich dieser Konstanten ist zunachst sehr
auffallend, da6 sie beim Grenziibergang E , --f 0 - im allgemeineu
ist die Vernachlassigung des Verschiebungsstromes identisch mit der
Die Vektorpotentiale zeigen demnach tatsachlich das in Bemerkung S. 305 erwahnte Verhalten, bei festgehaltenem E am Leiterrand wird
1) E. R o t h e , a. a. 0. S. 222, FuBnote.
2) E. R o t h e , a. a. 0. S. 221, FuBnote.
F . Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen
WW.
309
Annahme E = 0 - logarithmisch unendlich wird. AnBerdem ware
das additive Hinzutreten einer GroBe von der Art des k,, die u. a.
den Logarithmus der E u l erschen Konstanten y enthalt, zu A(*)(P),
das ja eine anschauliche Bedeutung haben soll, recht merkwiirdig.
Wie die Verhaltnisse liegen und worauf der von R o t h e vermerkte
Widerspruch zuriickgefuhrt werden kann, laBt sich wieder bereits
an dem einfachen Fall eines kreiszylindrischen Einzelleiters mit
voller Klarheit uberblicken. Aus diesem Grunde moge die aus den
R o t h e schen Ansatzen sich ergebenden eindeutigen Losung der
Diff erentialgleichungen in1 Lei terin n eren und im AuBenraunie explizit
ausgerechnet und im Zusammenhange mit der R o t h e schen Integralgleichung betrachtet werden. Beziiglich oiniger Bedenken physikalischer Natur, die die Ansatze selbst betreffen, soll noch am Schlusse
dieser Arbeit einiges gesagt werden.
E. R o t h e erfullt die vollsthndigen Maxw ellschen Gleichungen
sowohl im Innern alu auch im AuBenraume dadurch, daB er fur das
Vektorpotentential 8 und das mit diesem verkniipfte skalare Potential
ansetzt:
@ = 0,
ZY=0 , as=A(%,y ) e i w t ,
aE=
wobei fur A (5,y) die sogenanote Wellengleichung gelten soll, und zwar
(11)
d A + a I 2 A= 0 ,
im Leiter,
(11a)
A A + uZ2A = 0,
im AuBenraum.
E / . L w ' - -~ R ~ w c ~ / . L
u2'= E ~ / . L w ~
D a m soll A so beschaffen sein, das es den Stetigkeitsbedingungen
fiir das elektrische und magnetische Feld Gewahr leistet.
Ferner soll fur o = 0 und offenbar E = E, (es sei spater uberall
der Einfachheit halber E = &a vorausgesetzt) l). 0 =
und 8 = 8(0)
sein und schlieBlich soll = 2 - !NO) der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung geniigen.
Lassen wir diese letzte Bedingung fur den Aagenblick beiseite,
dann erhalt man bei Erfiillung aller iibrigen Bedingungen fur 8,
wenn J wiederum den durch das Umlaufsintegral der magnetischen
Feldstairke langs des Leiterrandes definierten Gesamtstrom bezeichnet.
a
A, =
1) Diese fiir unsere Betrachtung unwesentliche Bedingung fehlt bei
E. R o t h e .
310
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
f u r das Vektorpotential im Leiter, als einzig mogliche Losung, die
auch in dem Punkte r = 0, der dem Querschnitte angehort, endlich
bleibt. Die Grenzbedingungen erfordern, daB am Leiterrand, also
fur r = R, das Vektorpotential samt Normalableitung stetig durch
die Grenze geht. Setzt man somit im AuBenraum
(13)
A,
= D,
Jo(a,r ) + D, H,(2)a, r ) ,
wobei Ho(2'(g,r) die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung erfullt, dann sind durch die Grenzbedingungen D, und D, vollig bestimmt und man erhalt
Man sieht, daB das Vektorpotential bereits eindeutig bestimmt
wurde, ohne daB die S ommerfel dsche Ausstrahlungsbedingung
irgendeine Rolle dabei spielte, denn auch das Verhalten von A , im
Unendlichen ist bereits festgelegt. Eine Anwendung der Ausstrahlungsbedingungen auf 2 = A - A@) kann also nur eine Einschrankung der Moglichkeiten fur die Wahl von A(@ bedeuten, das
demnach gar nicht mehr beliebig vorgegeben sein kann. In unserem
speziellen Falle ist durch die Ausstrahlungsbedingung A@)ebenso
eindeutig festgelegt wie A ; es kann A(@ gar nichts anderes sein,
als der erste Teil von A,, somit
Nun soll fur (T = 0, A = A@)werden. Man sieht aus Formel (13a),
daB dies bei vorgegebenem Gesamtstrom J im Leiter (ebenso wie bei
vorgegebener elektrischer E'eldstarke am Leiterrand) jedenfalls nur
dann zutrifft, wenn man
als den Wert betrachtet, der gleichsam nach Hereinbringen des
Leiters in das ursprungliche Feld erhalten bleiben soll. Nur in
diesem Falle geht
fur a = 0, somit u1= a, tatsiichlich in A@) uber. Man beachte,
daB bei der Aufstellung der Integralgleichung nur der Forderung
F. Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen usw.
31 1
Geniige geleistet wurde, das L4('3) der fur B = 0 spezialisierten
Differentialgleichung gehorchen 6011, und nicht der weitergehenden
Forderung E. R o t h e s , daB fur B = 0, A = A(0) sein soll. Der in
Formel (14) angegebene Wert von A@) ist nun auch wirklich durch
die von E. R o t h e verwendete Integralgleichung mit der Verteilung
der Stromdichte im Leiter verkniipft, er wird aber beim Grenzubergang ez--f 0 &cht identisch mit dem von M a n n e b a c k ,
S t r u t t usw. eingefuhrten vorgegebenen Vektorpotential.
Es ist fur u2--t 0
-f Glieder
mit
(u2R)2 als
Faktor
somit
und es wird (fur p = 1)
Dies ist aber nach Formel @a) nichts anderes, als der Wert dkr
Konstanten C in der Integralgleichung von M a n n e b a c k , S t r u t t usw.
bei deren Aufstellung der Verschiebungsstrom von vornherein vernachlassigt wurde. Der von E. R o t h e in seiner Arbeit I) vermerkte
M'iderspruch besteht also nicht zurecht, es hat A@)(P)in Forme! (2 a)
bloB eine andere Bedeutung als A(o)(P)in Formel (Za'), und zwar
unterscheiden sich die beiden Werte gerade um das Glied, das fur
a2--f 0 logarithmisch unendlich wird, namlich urn
Setzt man in beiden Gleichungen jeweils die richtigen Werte fur A@),
dann werden die Gleichungen vollig identisch.
IIb. Gegen den R o t he schen Ansatz ist noch vom physikalischen
Standpunkt einzuwenden, daB er uberhaupt nicht den Ausbreitungsvorgang langs der unendlich lang gedachten Leiterachse berucksichtigt. I n den klassischen Arbeiten von A. S o m m e r f e l d ,,nber
die Fortpflanzung elektrodynamischer Wellen langs eines Drahtes" 2,
1) E. R o t h e , a. a. 0. S. 222, FuSnote.
2) A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. d. Phys. u. Ch. 67. S. 232-240.
1899.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
312
deren Ergebnisse auch in Lehrbiichern wie z.B. R i e m a n n , W e b e r s
Differentialgl. der Physik I1 zu finden sind und G u s t a v Mie
,,Elektrische Wellen an zwei parallelen Drahten" l) wird dieser in
ganz natiirlicher Weise dadurch beriicksichtigt, daB die Abhangigkeit
des Zustandes von der 2-Koordinate langs der Leiterachse durch
den Faktor
i, c z
berucksichtigt wird, wobei der Wert von c fur die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Dampfung langs der Leiterachse maBgebend ist.
Das Vektorpotential hat dann im allgemeinen die Form
+ v R ( x ,y) x f j e i e z ,
'i!l= {A(x,y)f
wenn t ein Einheitsvektor in Richtung der z-Achse ist, und sowohl
A (z, y) als auch R (z,y) der Wellengleichung, aber mit anderen
Paramenten namlich
im Leiter
Ll A + (a12- c2) A = 0
A A + (u2Z- c2)d = 0
im AuBenraum.
Dieselben Differentialgleichungen gelten fur R (2, y), das nur irn
Falle radialer Symmetrie identisch verschwindet. I)er Wert von c
ist durch die Riickleitung bestimmt und zwar erfolgt diese im
Sgmm erfeldschen Fall nur durch Verschiebungsstrome, wahrend
G. Mie bei Behandlung des Lechersystems zeigt, welchen Wert c
bei reiner oder iiberwiegend metallischer Ruckleitung annimmt,
falls die Drahte weit genug voneinander entfernt sind, so daB in
diesem Falle die radiale Symmetrie fur jeden Einzeldraht im Leiter
selbst und auch in seiner Umgebung nicht merklich gestort ist,
S ommerfeld bemerkt folgerichtig, da6 jede willkiirliche Annahme
eines reellen e2 < cdZ2 zwangslaufig zur Annahme von Energiequellen
im Unendlichen (oder einer gekunstelten Annahme der Ruckleitung)
fuhrt. E. R o t h e s Ansatz geht aber a m diesem allgemeinen Ansatz
dadurch hervor, daB man
c=0
setzt. Wie wenig diese Annabme den normalerweise als Skineffekt
betrachteten Verhaltnissen gerecht wird, sieht man schon daraus,
da6 fur c = 0 und B = 0 die Hankelschen Funktionen zufolge
ihres reellen Argumentes nicht exponentiell, wie bei A. S o m m e r f e l d
und G. Mie, wo im Argument der Zylinderfunktionen c2 - c2 an
Stelle von
CL
1
steht, sondern nurmehr wie abnehmen, gleich-
~~
1) G u s t a v M i e , Ann. d. Phys. 2. S. 201-249.
2/R
1900.
F . Lettowsky. Einige kritische Betrachtungen usw.
313
bedeutend mit der Annahme, da8 durch konzentrische Zylindermantelflachen in noch so groBem Abstand von der Leiterachse der gleiche
EnergiefluB hindurchgeht.
Die Ansatze E. R o t h e s ergeben uberhaupt nur einen Energieflu8 senkrecht zur Leiterachse. Die Energieiibertragung mittels
Leitungen erfolgt aber mittels des Energieflusses parallel zur
Leitungsachse, wahrend der EnergiefluR senkrecht zur Leitungsachse
im Leiter als Joulesche Warme absorbiert wird. Bei E. R o t h e
fehlt (wegen @ = 0) ebea die fur den EnergiefluB lsngs der Leiterachse maBgebende Radialkomponente cles elektrischen Feldes vollstandig, obgleich nach der sogenannten optischen Theorie des
Skineffektes, gerade fur den ausgeprkigten Skineffekt charakteristisch
ist, dab eine gebundene Welle (Oberflachenwelle) mit sehr steiler
7tx7ellenfront langs der Leitung fortschreitet. I m sogenannten elektrostatischen Grenzfall, bleibt l) sogar gleichsam die Radialkomponente
allein ubrig, wahrend die Parallelkomponente verschwindend klein
wird. I n diesem Fall ist c2 z uZ2. Auch sonst unterscheidet sich
c2 Ton aa2bei guten Leitern nur wenig, so daB im AuRenraum am
Leiterrand und in der Umgebung des Leiters die Integrale der
W ellengleichung sich in denkbar bester hnniiherung auf die Integrale
der Potentialgleichung reduzieren, die im quasistationaren Fall im
AuBenraum gilt. Dies la8t schlie8en (bei dem von G. Mie behandelten Lechersystem ist dies leicht zu zeigen, fur den Fall
eines elliptischen Einzelleiters ist der Beweis hierfiir in einer demnachst erscheinenden Arbeit des Verf. zu finden), daR auch bei den
hochsten praktisch moglichen Frequenzen die Berechnung der Verteilung der Stromdichte im Leiter (gute metallische Leiter voraussetzt) bereits mittels des einfachen quasistationaren Snsatzes moglich
ist. Man erhalt aber auch LZUS allen von E. R o t h e hergeleiteten
Formeln die entsprechenden des erwahnten quasistationaren Ansatzes, wenn man den Grenziibergang u2-+ 0 durchfuhrt und aus
diesem Grunde ist die Aufklarung des scheinbaren Widerspruches
zwischen den von ihm und den anderen Autoren hergeleiteten Integralgleichungen Ton besonderem Interesse. Im quasistationken
Fall ist der Wert des skalaren Potentials vollig unabhangig vom
Werte des Vektorpotentials. Man kann wegen
aB
diva = @
am
1) Sogar bei einem Lechersystem, bestehend aus zwei gleichen Drahten,
bei dem d l e Werte der Stromdichte jeweils entgegengesetzt gleich sind, muljte
durch einen beliebig groaen, beide Leiter umfassenden Zylinder immer noch
ein radialer EnergiefluB eintreten.
314
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
im Hinblick auf cc2 = 0, div 8 = 0 setzen und trotzdem mit einem
von Null verschiedenen skalaren Potential im Aufienraume rechnen.
Setzt man hier @ = 0, so andert dies am Vektorpotential, somit
auch an der Verteilung der Stromdichte usw. nicht das geringste,
aber es gelten natiirlich alle beziiglich der Radialkomponente im
Aubenraume, des Energieflusses usw. gemachten Einwtinde.
Diese Srbeit wurde im Phys. Institut der Deutschen Technischen Hochschule in Brunn ausgefiihrt und ich danke dem Institutsvorstand Herrn 0.6. Prof. Dr. E r w i n Lolir herzlichst fur sein stetes
Interesse, fur viele wertvolle Ratschlage. Desgleichen danke ich
herzlichst Herrn 0.0. Prof. Dr. R u d o l f W e y r i c h , sowie allen Teilnehmern des von ihm geleiteten mathematischen Seminars fur viele
Anregungen und Diskussionen.
B r u n n (CSR.), Deutsche Technik, im Juni 1938.
(Eingegangen 24. Juni 1938)
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