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Einige Mittheilungen fr Mathematiker.

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v.
Einige
Ma-
M i r t I r e i I u n g e n f-iit
t h e in a c i k e r',
vord
C 0111 111 i Il'i o I I s r .
u. P'r o f ,
Bu ssE
in Prciberg.
I n ineiner Betiuchtrrng der W a f i r - u l e n-Ma@hiiten, 5. 63, h l t t e ich nocli e r w i h n e n konnen, dafs
e s auch in P r o 11y ' s Conftrtrction filt die verandrrlichen Krirtc a n Bd~irfigkeitfehlt ; untl in dem S j f t e ine d e t reinen und artgew:andti?nMechnnik von I d e ,
( we 1c h es v i el e v or t r e Ffl i c h e D a r It e 11u 11ge n mi tth eil t ,)
bei Begrnndiing tler D)ri~aniil; ehen rler unrichtige
Satz behauptet wircl, den ich khan a n I i s f t n e r ' s
I i a i i ~ r . e r i ~ ~ c i i cgcriigt
i n i ~ habe, in H i n d e n b u r g ' s
Archiu d r r reirien und un,ne&. itiu!hernurik,
1798,
B. 11, S. 50.
(Allerclings il't mein dortiger A u f L t i
ettvas n i i i l i ~ r i ~zu
a lefen, \veil er die Daiftellungeri
voii K u l c r , K n r C t e n u n d l i i i i t n c r etwas binitinc!lich vcrfo1r.t. Was ich gcscii P r o n y ' s E r weis ( l a - r l y r i ~ ~ r ~ i r c hGruntllchren
en
i n Ieiner Archit c a u r a 1i~dririrli:cc zu erinnern habe, will ich iieber iiur gelcgcnllich beibriiigcii, W o ich diejenige
Conkructiou ~ . I e d d h welclle
,
mir bei weitern die
anfci1;rulichftc L I I rathfarnltc
~
k h e i n t , zur PruFung
vorlegen werde. )
Gegcn
I:
337
1
Gegen gewirfe Vorftelluncgen vom Maafse veranderlicher GeCchwiridigkeit untl Befcilleuiiigung,
w i e fie h e i mehrel-n guten Schriftftellern, i'elhi't
euch bei einern der belten:, deln Hrn. Hofrath I d e ,
1. a. O., T h . 11, Q. 10,vorkommen, ilt der Q. 62 i n
meiner Berrachtiing der JVcflerfCuIea - 1Mufihinerr
gerich tet.
2.
In der kIeinen Schrift : Yerpl4chung zrvifihcn
C a r n o t 's iind ineiiier'Ai1J;cht der Algebra irnd ~ I R serer beiderkitig vorgcfclilagenen A&he!fuirg ilrrer
Unrichtigkeit, erirahnte ich, dafs auch die gewiihnliche Conftruction tler bcjaliten und verneint e n Quat'lrat\uurzel~unrichtig ift.
Geiibte Lefer
w e r d e n ctas. riclitige Syftem aus folgenden wenigen
Zcilen fich dadtellen k6nnen.
Jn einer gersden Linie A B D E , Fig. 4 , T a f . V,
feyen A B = D E.gemacht, und.Kr.eife.vm diefe-heid e n Linien, auch urn A D u n d R E&,~beCchriebenfer.ner aus B und D , i n den grijfsern Kreifen z w e i
P;ijr Orthogonalen, und an die kleinern Kreil'e
z w e i Paar Tangenten gezogeu : fo wircl jede Taw
gente allerdings eine einzige, bejahte oder verneint e , ntitt1el-e Yroportioiiule zwifchen zwei beju,hten
otlrr ziaei verucintelr iiuTser1l Glieiiern B D und
3 E , oder U B und D A , r e p .
Von jedem P a a r d e r Orthogonalen aber @ die
cine das bejuhce, die andere d a s verueiiire vvn dell
i w e i niittlern Giieclern zwifchen den Leideu unhnud. d.Phylik. JJ. 19. Sr. 3. J. lgoj Sr. 3.
1-
gleich bezeiclineten Pufsern Gliedern D B unct B E ,
ocler 13 D untl B A Y alfo keine algebruij6h ein;&e
lnittlere Proportionale.
Kur i n der Geometrie der Alten konnte es von
jedem diefer vier Kreife heirsen, dafs er iiber der
Sirmnre der Adsern Glieder befchrieben ley. I n .der
neuern Geoinetrie mufs es heifsen; urn clie afgebruiJcIie D ~ j > r . c i t ~ .
Secanten fttatt Tangenten, und ungleich geneigc
t e Linien ftatt der Orthogonnlen , gehiiren fiir zwei
mittlere Glietler yon ungleicher b i n g e , wcnn man
&ere &en falls vermittelft des Ibeifes codtruiren will.
Zwifchen diefer Conftruction und derjenigen
&rch parallele gerade Linien findet nunmehr clie
vblligfte Uebereinftiiiimung Statt.
3.
D c r Herr Director V i e t h zu Delfm hat in
&r neulichen mireiten Auflage feines Lehrtzrchs der
reinen Efementarn~uth~murikmeia e Betrachtung
der trigononietrifchen Htilfdioien in den neueu Erarterungpn iiber Plus iind Minus, u. J w.,fiir richtig anerkannt, und davon, fo vie1 die Abficht feiner
Lehrbuchs es mit fich brachte, mitgetheilt.
Ich
mache mir uin fo mehr eine Ehre daraus, da inir
IIerr V i e t h auch (lurch ehem'a1;Ii;e ziemlich lange
perfijnliche Bekmntfchaft fehr iverth geworden ift.
Des Sinus verfus zu erirtihncn, fdnJ jch in meiner-rben angefdhrten kleiner: Schrift riocli niclit.
nothwencfig; ich hatte es dort nur mit clen ubrigen
Hitl!'slinien Z L I t!iuit.
lin lireisdsrchmcffer H G C D A , (Fig. 1 1 s des
genannten L e h r l ~ i ~ c ,)
h s ift C D cIer CoGiius eines
fpitzeli, C G eines f t u m p f r n Winliels. Fur d e n fpitZen LVinkcl wird D A als OuerGnus angegeben, w o
niit ich aherein ftimnie. Filr d e n ftunipfeii V,'iuktt
a b e r lol! G H cler OuerGnus r e p . Ich clenke, er
niuk G.i dafar genorcmcn werden, a n Linge una
Richtung.
D e n n iikerhaupt muk . jeder QLEP
tinus Scyn
= Gegengrofse iLcs CoJnus
erf'ein
bejalrter
..
-+
HulbineJer.
Das aber
giebt iIC -k CL" =
f a r clen fpitzen, und eben
fQ auch GC $. C A = GA ftir d e n ftumpfen M'inkel.
2. B. bei d e n Cvkloicieii, wenii lie clurch p a r d l e l e Ordinaten conftruirt w e r d e n , pllegt man d e n
QuerGnus des abgewilzten Winkcls zur AbkifTe anzunehmen. Alay es auch eigeutlich dieGegengriifse
des QuerGnus feyn: d a r i n verfihrt man richtig m i t
diefern Querlinus, h f s m a n ihn 21s gleich bezeichnet fiir fpitze uncl ftumpfe, ftir concave und convexe W i n k e l , kurz , als gleich liezeiclmec fur den
gnnzeri Kreis behauclelt.
Eben das gilt auch filr den C o j n u s ver/;s.
Seine Definition iit: Sui~uneU I J S &r Gegengriifie der
Sinus uird den1 s u e i t e n bejulrreiz Hulbuleflei:
4.
D i e gewchnliche Definition und Clafhficirung
des Hebelr k h e i n t nlir hauptGcuLicb d u r c h E Y -
Y2
c
klict's
340
3
Gewohnheit, (lie Sutnme zweier rechten
Winkel nicht fiir einen Winkel, fondern blofs firr
eine geraile Linie zu achten, veranlafst zu feyn.
Ich habe diefe Gewohnheit khan in meiner Erjien
Geonzetrie beftritten , uncl j'enen Wixilcel einen geJtrecKten genannt, .welches nicht iiur feehr nette Erkliirunzttn t i u t l ejnleuchtenile Satze filr alle rechte
U
I .a'l/e
~
Nebenwirrkel, (auch wo i h r e r inelrr als
WE^ find ,) ;in t1i.e I-Iand giebt, fonclern auch init
cler gemeiiien unil algcbraifchen Aritlitnetik i n keinet1 iVi:lerfpructi gerith , wenn diefe auf Geonietrie
mguwa!i;lt .wird. 'Bei diefer'AnwenLlmg ift es nothwentlj,q, die hciden Sclienkel eines geftrrckten Winkel: d l s :wei Linien i o n entgegen gefetzter Richt u n s z u bctrachten, und auch von der Summe
zwejer rechten Winkel behaupten zu konnen, .&fs
fie einc ihren T h e i l e n homogene Grijfse fay.
Jeder H&el ift ein iVinkel, welchen ICriifte, clie
ihn in verkieinern ocler Z L ~vergrofsern ftreben,
\virklich zu ver3ndern nicht, fondern n u r utn feinen
iklittelpunkt in feiner Ebene zu drehen vermogen.
xft feein Winkel = 180 oder = o Grail, fo Iiegen
feine beiden.Schenke1 in geracler Linie. Bis zu deli
Punliten. h i n , a n welchen die Krafte wirken, hei-
isen .*fiefeine Arme.
Jecler Hebel ift wenigftens zweidrmig, uncl heifst
in diefem Falle ein einfacher Hebcl. 1111fo genannten einarmjgcn, beffer , einfeitigen, defreii LVitiIieI
d o , ' i f t , hat rein Ruhepunlit einen \Vi.!erTtancl =
c t e r ' . : ~ v ~ e r e ni;m, ' zweiIeiLigen aber , (IcCfcii \vin-,
kel i
180Grad.iCt, einen Widerftand = der Summe beitler Kriifte zu'leiften;
voraiis,@fetzt, dafs beide Kriifte einander parallel geriditet
find.
W o nicht, io wircl auch (liefe
SLrinrne cler Differenz nicht fernerhio Jell bciilcn
Arten eigenthiimlich bleiberi, uritl durch die verfchiedenen Hichtungen dergeftalt iaodifici rt wertlcii,
dafs felbft anch diefer Eiutbeilungsgrund nicht aielir
Stich halt.
. Keinesweges aber will ich hierniit diejenige Methode getadelt haben, welche init den geratlliiiigen Hebeln anfiingt, anfangs aucli nur folche KrCfte,
w&he auE die Arme lediglich trorrnal wirlici, , annjmmt, hierbei den Unterfchied zwil'c1)en ein unci
zweifeitigem Hebel beinerken lafst , uiitl 11iIcll und
nach zurn Allgerneinen fich erhcbt. Vieltnehr 1131te ieh es fcir das befte, bei cfer erften Einleitiirig in
die Statik, \vie Be etwa fiir die mathcinatifche l'bvfik gehiirt, cliefe Methode fernerhi!i zu befolgen ;
in deli VOrlefUngen iiber nrrgc?Ivutidtt?rkhheniutik
aher iogleich den Hebel Itheriiaupt zii umfaffen.
. Faft alle Syfterne u r d ihre Clai'lifcationeii erfcheinen mangelhaft und der Saclie felbi't niclit viillig gernifs, fo bald man zur t-eberfchnuung ties Gan.
Z e n gelanat ift; U I habe11
~
cletinoch. den Sutzen,
tins zu diefer Ueberkhmung xu fiiiliren.
Die Eogliinder pliegtelr h l ' t tleir geratllirrjgen
Hebel i n ttrei A.rti?n abzutliejlen. Einen Hehel cler
ctritten A r t a;liriiten fie denjenigen clcr zweiten Art,
tler die Kr+ ati l'cinern kiirzern, die Lalt an fei-
---
---
.
,
i
nein lingern-,4rme hitte. Da 11i1tcinan ja eben fo
viel, als eben fo weiiig Recht Sehabt, auch den
tler erlten A r t alinlich nbzutheilen.
J a m e s IT o o tl hat die d r i t t c -4rt abiichtlich
befcitjgt i n leitien Principles o J i V I z h a n i x , de-Jgned
fdr t . h ~
:iJe offirrdents in the Univerjicy, CcinbridG P 1799.
Das Buch hat einen ungeniein guten
Vorti-ag dortiger A r t , roll auch eins cler belten untFr cleii ueueu englifchen LehrLilchern kyn. Alfo
f!:>crfetzet ins Deutfche, o ihr Ueberfetzer ! Allerdings lioinrnt nianche D d t e l l u n g und Bemcrkung
darin vor, die auch ein deutfcher Lehrer mit Xutzen beacliten wiirde.
Was aber im Gznzen gesonimen , nach tlielem Lehrbuche zu urtiieilzn in
Euglancl, und n3mentlich in Cambridge, von Statilc und Mechanik vorgetragen wirtl, will nicht viel
fagen, i n Vergleichung init denijenigen , was man
i n Deutfchland zu erwarten pflegt, u n J h e r in ungleich kiirzerer Zeit gelelirt wercfen muk.
D e r dortige Beweis fiir clas Gefetz des Hebels
mit mehr Gewancltheit der Methode aufserhalb Englands bebandelt diirfte nicht iibel ausfallen. Et
geht davon aus clafs zwei Krafte , am geracllinigen
Arnie i n zwei verli-hietlenen Punkten ziigebracht,
zur Drehung cles Hebels eben fo viel veriniigen milCfen, als ob fie beide in der Mitte zwifc!ien den beiden Punkten vereinigt waren. An tlem Beiveife filr
diefen Satz gefdlt mir nicht, dafs er ei:ies zweiten Ruhepuiiktes bedarf, da cloch cler Eatz auch
bd einenr Ruhepmkte von der Katur befolgt wird.
A b e r die weitere dortige Benutzuug des Satzes verdient beachtet zu werclen.
5.
I n dein fchon u n t c r I . ernGhritcn Euche, Seite
288, fetzte ich voraus, d ~ man
k das obcrfchlZ!gige
it^ ein fciicliwiirts laufenctes Z L I nenrieli pflege. Die
E:cernplare w r e n fchon verfanclt, als ich diefe Tjetereilung bemerlite, unit uberdies wiire es 1 ; ~ u m
d e r Miihe w e r t h gewefeii, das EIatt cteLshJ~)zii
cartonniren. \Venn man geracle, wie es clort clcr
.
.
Fall ilt, a u f den \Vi;iderftand cles Stauwafl'crs i n i IJiiterfluther lejn ,4uge gerichtet h a t , lo wirtl i m r i Fchr
geneigt zu d e r Uehauptung f e y , dais geratle tias
unterfchkgige Rad iich dcm Strome gcmiiCs tlrelik,
unJ das oberfchliigige ein i h m entgegeli hufttrirles
zu nennen fey, voriliis geletzt, cfafs eins voii !,ejdeii
dergleichen x a m e n f d l r e n fo'oll, der eigenl!jcli ilJ J c dt.111Falle m e h r Schein als \Yahrlleit far iicii list,
ulIc[ fo w i e e r wirklich eingefiihrt ift, m e h r dein
aftronoxnifchen Sprachgehrauclie, a l s cler hydrJuLichen Kraftrichtung gemsis i f t
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