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Einige Stze aus der theoretischen Photometrie.

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vollkommen init dem Typus derjenigen von Bbtaltak. Ein
mir vorliegender, kaum eine Link grofser Krystall von
jenern Fundorte bildet eine flachgewblbte Tafel, welche
dorch die Flgcben r und s gebildet wird. Ferner beobachtete ich an demselben s, c, u, s, y, P, ‘o, 90, Z, q, 0, f.
Der Axinit von Thum in Sachsen, auf griinem Schiefer in
bis zollgrofsen Krgstallen, zeigt durch P gebildete Tafeln
mit deu hinzutretenden Flachen s, u, x, y, P, o, 2, m, o
(etwa wie Fig. 4). Auf einem Stiicke von Thum in der
K r a n tz’schen Sammlung bemerkt man eine zweifache Axinitbildung: altere grirfsere Krystalle von braunlicher Farbe,
jtingere klein und fatblos. Die Krystalle von Treseburg sitzen
mit Asbest auf einem Gabbro - ahnlichen Gestein sind tafelfbrmig parallel T; hinzu treten P und x.
(Fortsetzung im nachsten Heft.)
111. Einige Satze aus der theoretischen
Photoonetrie;
von F. X o l l l a e r ,
Privatdocent der
Physik an der Universitat Leipzig,
5. 1.
D i e theoretische Bestimmung der Licbtmengen , welche
von den verachiedenen Phasen einer aus grofser Entfernung beleuchteten Kugel ausgesandt werden, ist mehrfach
der Gegenstand eingehender Untersuchungen gewesen, von
denen ich hier nur diejenigen von K i e s ’), E u l e r z),
wie ihn
V. S e n g e r besehreibt wieder gefunden worden.(< (Nachtrag cu
den Min. l’yrols von L i e b e n e r und V o r h a u s e r 1866); welche Auffindung ohoe Zweifel dureh meinen trefflichcn Fiihrer B e r n a r d mitgetlieilt worden ist. - Ueber die Gegend des FrIonzoni vergl. v. R i c h t h o f e n , Predazzo, St. Cassian und die Seifser Alp S. 252.
1) K i e s , Mknioiree de PdcadPmie de Berlin 1750, p. 223.
2 ) E u l e r , Zbid. p . 298.
47
S m i t h I), Bouguer'), L a m b e r t
M i c h e l l ' ) und J.
H e r s ch e l *) erwlhne.
Das Interesse, nelches sich an diese Untersuchungen
knilpfte, war zunilchst ein astronomiscbes, indem theils der
Mond, theils die unteren Planeten in ibrer verschiedenen
Stellung zur Sonne und Erde einen periodiscben Lichtwechsel zeigen, welcber, abgesehen von dem gleichzeitigen
Wechsel der Entfernungen, lediglich durcli die verschiedene
Pbasengrorse des beleucbteten Himmelskbrpers bedingt
segn multe.
Der bisherige Mange1 an geeigneten Pliotometern verhinderte indessen die Vergleichung jener theoretischrn Resultate mit denen der Beobachtung, so dak eigentlich nie
die Richtigkeit der den verschiedenen Theorien zu Grunde
liegeliden Principien hat empirisch gepriift werden kllnnen.
In einer vor Kunem von mir verbffentlirhten Scbrift6)
babe ich unter Anderen die Construction eines Photometers
mitgetheilt, init dessen Hiilfe es mir gelungen ist, im Laufe
der lebten drei Jabre S O W O ~das
~ Helligkeitsverhaltnirs des
Mondes und sBlamthher Planeten zur Sonne als auch die
verschiedene Lichtst3rke der Phasen jener Himmelskbrper
photometrisch zu bestimmen. Es ergabeu sirb bierbei fiir
die Phasen des Mondes so betrlchtliche Abweichungen von
den bisher als giiltig angenommenen Resultaten der Theorie, dafs notbwendig die Voraussetzuiigen, welche diesen
Berechnuugen zu Grunde liegen , unrichtige seyn miissen.
Die Voraussetzungen, welche L a mb e r t bei Entwicke.
"),
1 ) S m i t h , Opt&, iibersetrt von H a e s t n e r , Altenburg 1755, S. 382
bir 386.
2) B o u g n e r , Trait6 doptique 1760 Lime If. Sect. IV. Art. IF'.
3 ) L I m ber t , Photometria, rive de meniura et gradibur luminir colorum r t rmbrae. Augrburg 1160. $5. 1040 - 1060.
4 ) M i c h e l l , Phil. Transact. 1829. Yol. CXZX,y . 20. Anmerk.
6 ) J. H e r r e b e l , Rrrtcltr of artronomicol observations made during
the yearr 1834-1838 at the Cape of Good Hope. London 1847,
p . 356. Aomerk.
6 ) Photomerrische Uotersuebuagen mit bedonderer RGckiicht auf die phytirche Buchafieoheit der HimmelrkBrper. I Leipzig 1865.
long seiner Formel machte, waren im Wesentlichen die
drei folgenden:
I ) Die Gestalt des Mondes ist eine Kugel.
2) Die Oberflache des Mondca ist homogen.
3) Auf jedes Element der Mondoberflacbe ist das photometrisclie Gruiidgesetz anwendbar.
Nach deli Untersuchungen Hansen's') und Gussew'at)
ist aber die Gestalt des Mondes keine Kugel, sondern ein
mit seiner grofsen Axe der Erde zugewandtes Ellipsoid
von grringer Excentricitat.
Die zweite Voraussetzung entfernt sich offenbar am
meisteii von der Wirklichkeit und zwar in doppelter
Weise: eininal durch die Anwesenheit der Flecken auf dem
Monde und dann durch die zahlreichen und bedeutenden
Erheburigen auf seiner Oberflhhe.
Aus Gilinden, welche in meiner grafseren Schrift ausfiihrlich entwickelt sind (a. a. 0. S. 111 ff.) nahin ich die
letzte der drei Voraussetzungen als zulassig an und untersuchte den Einflufs, welchen sowohl die ellipsoidale Ge-
xv,
1) Monthly Notices of the Royal A8tronomica~ Society Vol.
1854. A'ou. 10.
2 ) Bulletin ds I'dcadehie de St. Petertbowg 1839. T.I, p. 278-300.
Die Hertiltate win H a n sen's tlieorelischen Untersuchuogcn verlangen
nur die Aonalime eiuer Siclitcoincideuz des Schioeryunker uud des
Cenfruntr der r l s Kugel betrrclrtcten Mondoberfllclia. Dieser Recliu-
gung kann aber auf doppelte W e i s e geniiFt werdeo; entweder dadiirch,
dais dcr Mond, bei gle;rhftirrniger Dichle, in einer der Verbindung*l i n k mit Jer Erde parallelen Richtung ton der Krrgc~geslalt abweictit,
oder , dafs bei vorhmdener Kugelgestalt die Diclrtigkait cine ungleiche
sey. A a n s s n enbcheidet sirh a. a. 0. fiir den letucn Pall, wogegen
G u s s e w , sowohl aus dern hffect einer von W a r r e n d e l a H u e mit
Bcoutzuag der Libration angcferlig~en Illondateredopie, als auth durch
sehr rorglafiigs Messiiagrn an diesem Objedc, sich fiir die crate Anaahme rrklirt. E r findet a. a. 0. dals ,die allgemeine Gotah der
Mnndobcrfliche in dem miltleren Tlirile der uns zugekehrten Htilfie als
eim Kugtl au betrachten C C J von einrm k l e i n m n Hadiw als der, welcher dem siclitbaren h o d s aqp4iart.u &tracbtet man die hierdsrch
eatrtelrende Figur annitrernd als eiu Ellipsoid, so betriigt die Excentricilit desselben nach G u r s e w 0,Oi; nach H a n s e n (bei Aonelune eincr glcichf6rmigen Dichte) 0,03.
49
sklt des Modes rb auch die bergige Bescbaffenbeit dnez
Obertlache auf die Liditmengen austibt, die van dep verschiedaien Moadphasen zur Erde gesandt werden.
Bei dieseii Untersuchungen biu ich auf einige neue
Lehrstit~e des photometrisclien Calciiles gefUbrt vnorden,
welcbe, wie ich glaube , auch unablihgig von dem Ziel
der erwahnten Untersuchungen ein matheinatisch -physikalisches Intereose beanspruchen durften, und die ich mir deshalb erlaube, hier in etwas allgemeinerer Form mitzutheilen.
fj. 2.
Mit dem Worte mlntensitiitn oder ~LeuchtkraftolSOU im
Folgmden steta eine Zahl bezeicbnet werdeo, welcbe' die
VOP der Fkrcheneinheit eusgesandte Lichtmenge eines eelbstleuchteuden oder beleucbteten KBrpers als Vielfachee einer
bestimmten , als Einheit angenommeuen Lichtmenge ausdrikckt.
Unter der Voraussetzung, dafs auf die hier bewacbteten
Kb-per, towohl leuchtende als beleuchtete, die Principiea
dea Lambert'scluen CalcUlea l ) anwendbar sind, aeyeu
dp md dp' zwei im Raume beliebig gelegene EThheuelemente, von denen das erste mit der Illtensitit J als lcuohtcnd, das zweite als von dem m t e n beleucbfst vorauqp
setzt wird.
Bezeicbnet man den Abstand der beiden Elemente mit r
und die Winhi, wdche ihre Normalen mit ibrer Verbik
duugslinie macben, betiehungsweise mit a und E', 60 wird
die Licbtmenge, welche van dem leuchteiiden Elemente dp
auf das nicht leuchtende dp' iibergeht nach Lambert's
Calciil ausgedriickt durch :
Jdpdp'cosc
r'
cosd
.. . . .
.
(1).
Am diesem photometrischen Grandgesette L a m b e r t '8
ergden sich analytiseh einige mze, wekbe im Foipndcn
imehrfache Aawendung W e n , rkksichtlich deren Ableitung
1) Vergl. L a m b e r t Photometria. - B e e r GrundriL drs photometrisehen
Calciiles, Braonschweig 1864.
PoggendorETs Annal. Bd. CXXVIII.
4
50
ich jedoch auf L a m b c r t ’ e Photometria oder B e e r ’ s Gmndrifs des photometrisehen Calcliles verweise.
Zunachst ergiebt sich aus dem angeriihrteii Grnndgesetze der folgende Satz:
Wird ein Flachenelement aus grofser Entfemung o m
einer uberall mit gleicher In tensitat leuchtenden Kugel
bestrahlt, SO bleibt die Erleuchtung jenes Elemenles dierelbe, wenn man die Kugel durch eine gleich intensic leuchtende, spharische Kreisflache ersefat, deren scheinbarer
Durchmesser , ~ o r nElement arts betraehtet, mit dem der
Kugel ubereinstimmt und deren Mittelpunkt auf der Verbindung dink des Elcmenfes rnit dem Kugelcentrum liegf.
Sowohl bei diesein als auch bei allen folgenden SBtzetl
werden die Entfernungen der sich Licht zusendenden Kbrper
so grofs vorausgesetzt, dare die Dime~~sionen
dieser Kdrper
gegen ihre Entfernungen zu vernachlassigen sind.
Unter dieser Voraussetzung sey eine, mit der Intensitst J
leuchtende Kugel und ein von dieser beleuchtetes Flachenelement dp’ gcgebeo. Bezeichnet j den Winkel zwischen
der Normalell jenes Eleinentes ntid seiner Verbindungslinie
mit dem Kugelcentrum, ferner 71 den scheinbaren Haibmesser der voin Elemente dp’ aus geseherien Kugel, so wird
die Lichtmeoge d q , welche VOII der Kugel auf das Element dp‘ ubergeht ausgedriickt ’) durch:
d q = J n siiiZqcoscdp’ .
(2).
Substiluirt inan nach dem ohen angefiihrten Satze fur die
Kugel eine sphtirische Kreisfltiche und setzt
[=O
. ..
so erhelt mau aus dieser Formel (2) fh die Liclitmenge
d q , welche von der ganzen, iiber dem Element dp’ gewblbteu und uberall mit der gleichen Iutensitlt J strahlenden
Hemisphare auf jenes Element iibergeht, den Ausdruck:
d q = Jmdp’
. . . . (3).
Das beleuchtete Element dp‘ denkea wir uns von solcher
I ) L a n r b c r t , Pliotomctt.ia 5 . 135. - B e e r , pl~ot.Cdc. S.33.
.
.
51
Beschaffeobeit, dafs es das empfangene Lick zerstreub nach
allen Richtungen gemafs deui Lambert'schen Emiseionsgesetee ') aussendet.
Da dieses Gesetz beim Lambert'schon Calciil sowohl
fur beleuchtete als euch fur selbstleuclitciide KBrper als
gleich vorausgc~setztwird, so kann inan sich jedeneit das
beleuchtete Element, beztiglich der *on ibm ausgestrahlten
Lichtmenge, durch ein, ?it einer gewissen Intensitat 1,
selbstleuchteodes Element ersetzt denken.
Es reflectirt indessen keiri K6rper die gesammte auf ibn
fallende Licbtmenge, aondern stets nur einen Theil derselben. Daher wird auch niclit die gauze, pach der obigen
Formel auf das Element dp' ubrrgehende Lichtmenge d q
ausgesandt werden, sondern iiur die Lichtmenge p d q , wo
p einen achten Bruch darstellt, der die sogeriaiinte a Albedo u
oder '1 Zichtrefictirende Kraft a dee bcleucliteten K(lrpers
bestimmt.
Mit Rlicksicht hierauf zeigt der 1)L a IU b e r t 'sche Calcul 2),
dais man jedes Element, auf welches von einem leuchtenden Kbrper die Lichtmeiige d q iibergegangea ist, durch ein
gleichgrofses , selbstleuchtendes Elemeiit d p ersetzen kann,
dessen Intensitat oder Leuchtkraft J ausgedrbckt wird
durch:
J =P d q .
. (4).
73
dP
... ..
0. 3.
\
Die vorstehend angefiihrten Satze reichen frir unsere
Jerneren Untersuchuugen aus. Es sol1 mit ihrer Hillfe zunBcht der folgende Satz bewiesen werden :
Sind drei beliebig grofse Kugeln gegeben, @on denen
awei durch die dritte belcuchtet urerden, so bleibt die
sioirchen den ersferen iibergehende Lichfmenge dieselbe,
1 ) In
wie weit die Aowendbnrkcit dirnes Gudres suf phyyischc lisrpr
zulissig ist. habe ich im ersten Theile mciner obco citbten ,SchriB,
bci einrr Kritit du Larnbert'rchen und Bouguer'schen Cdciilu,
untusucht.
2 ) L a m b e r t , Photom.
IS#'@
B e e r , phor. c l l c . S. 28ff.
5.
-
4*
52
wenn man d k beiden Krgrb, h r c h m e i Kreiacylinder
ersetzit, h e n A x m normal su der dwrch die h i Kdrper gelegten Ebene stehen , deren Bariodwchmesrer mit
h Durcbmearer dcr mtsprechmden Kugeln iibereinstimmen und dcren Aoher Jich ou den Durcbmesrern ihrer
Gmndtlachen wic awei BU drei uerhalien.
Die Entferouagen der drei K6rper werden hierbei so
grofs vorausgesetzt, dafs man die A bsande ihrer Mittelpuukte fiir die Absttinde dcr einzelnen Punkte ihrer Oberfiilchen setzen darf.
Uuter dieeer Vorauseetzung segen zunkbst A , B , C
drei Kugeln und zwar sey A selbstleachterid, degegen B
iind C voii A beleuchtet.
Es bezeichne ferner :
D den Abstand der beleuchteten Kugelu A und B
53
p die Albedo der Kugel B
scheinbaren Halbmesser der von B aus betrrchteten Kitgel A.
o den Winkel ABP.
hlsdann ergieb4 sich nach dem Lambert'scheo Cal~61') fiir die Lichtmenge q , welche von der Kugel B auf
die senkreclit zur Riehhqij B C gelegeiic Flacbeneinheit der
Kugel c ubergeht, der folgende Ausdruck:
q=:.pJr'sin'q (sina-aeoso)
.
(5).
D1
~p den
. .
Um die von der Kugel C auf B iibergehende Lichtmenge
zu erhalten, braucht man in diesem Ausdruck ogenhar nur
fur p, r, 9, o die der Kugel C entsprechenden Grafsen w
substituiren.
Es sol1 nun gezeigt werden, dafs diese Lichtmenge dieselbe bleibt, wenn man unter den oben angegebenen Bedingungen die beiden Kugeln B und C durch zwei CyIinder ersetzt.
Zu diesem Zwecke mbgen jetzt die um B und C beschriebenen Kreise die Gruodrisse der beiden Krdscylinder vorstellen, deren Axen senkrecht zu der durch die friiher betracbteten Kugeln gelegten Ebene steben. biese
Ebene sey durch die des Papiers dargestellt.
Um nun die Lichtmenge zu bestimmen, welche von der
durch A belenchteten Cplinderflache B auf die s a n k d t
besttahlte Flikiebeoeinheit dee CyIindem C tibergeht, megen
die Wetlhe D, p, o, 9 diesdben blelben, wia vorher bei
Betrachtung der Kugel. Es bezdchoe ferner:
da ein beliebiges Cylinderelement mit der Norhlalcn N,
rp den Winkel deraelben mit der Ricbtung BC,
a den lneidenzwinkd der von A auf der Element fallenden QtraMen,
e' detl Emanationawiakel dm- vom Element nach der
Richtung B C ausgesandten Strdetl,
r den Halbmesser der Cylinderbasis, welcher gleich
dem HalBmesea dar fhtber betzacbteten Kugel ist,
h die HBhe des Cylinders.
'1) L a m b c r t , Photometria
S. 1047.
- Beer, pbor Caic. S. 68,
34
Nach der fiber die Entfernungen und Dimemionen der
drei Kfirper gemachten Annahme werden die hier in Betracht kommeiiden Strahlenspsteine als parallel vorausgesetzt.
Wir hestimmen zuntichst die Lichtmenge d q ' , welche
van der leucbtenden Kugel A anf das Cylinderelement da
iibergeht. Durch Einftihrung der entsprechenden Gr6Csen
erhalt inan hierftir nach Formel (2)
. .
dq'=Jnsin'qcos&da , . .
(61,
worin J die uberall als gleicl angenominene Leuchtkraft
oder Intensitat der Kugel A bezeichnet.
Urn nun die Lichtmenge d q auszudrticken, welche von
diesem belerichteten Eleinente auf die senkrecht zur Richtung B C gelegene Flacheneinheit des Cylinders c Iibergeht, verwandelo wir jenes Element zunachst in ein selbstleuchtendes, dessen Leuchtkraft J durch die Forinel (4)
bestimmt ist. Substituirt man bierin f i r d q den oben in
( 5 ) fur dq' gefundenen Werth uiid setzt d o = d p , so erhalt man :
J = u Jsin=t]cos E
folglich, mit Rucksicht auf' Formel (1):
p.?ein'q
dq = --D,--
.
COSE
COS6'dG
,
.
. -
(7).
Der von C a w geseheiie und beleuchtete Theil des Cylinders B liegt nlrn zwiscben den Beruhrungslinien zweier
Tangcntialebenen, well he parallel den Richtongen B A und
B C a n den Cylinder B gclegt sind. Sind die Projectionen
dieser BerGbruogshien d u d T und 0 dargestellt, SO mufs
der oben fur dq gefundene Ausdruck iiber diesen Raum
TOFU intqrirt werdeii, urn die Licbtmeiige zu erhalten,
welche \. 011 der beleuchtcten Cglindeifllicbe a u f die senlirecht zu B C gelegene Flgcheneinheit des Cylinders C iibergeht. Mail hat also:
q=-
pJsin27)"
1
)
'
Co~&COSE'db
:nit
. . .
(8).
55
Mit Rucksicht auf die obcn eiiigefiihrten Bezeichnuogen
ist aber:
dC=hrdrp
E
=n-(u+cp)
8' = y .
Die Substitiition dieser Werthe in dern obigen Ausdruck (8)
giebt :
;Z-V
pJhrtn2q f
4=-
-D
-
d y cosy cos(t~+gp)
. .
(9))
tn
L
oder nach AusfUhrung der Integration:
4-
p J h r sin'
a D' 'I (sinv-vcoso)
.
.
Macht man hierin die Hbhe des Cylinders gleich
Durchmessers seiner Basis, d. h. setzt man
3
des
4r
)=-
3'
von
L a m b e r t fur die Kugel angegebenen Formel (S), was zu
beweisen war.
so wird der Ausdruck (10) identisch mit der oben
Q.
4.
Es solt nun ferner der folgende Satz bewiesen werden:
Wird die Oberfldche eines geraden Kreisylinders, tiersen Eohe gleich dem Uurchmesser seiner Basis ist, einer
zur Axe senkrechten Strahhng ausgesetit, so sendet die
hitrdurch erleuchtete Cylinderfldche auf ein aur S t r a h h richtung senkrecht und sehr entfernt gelegenes Flachcnelement dieselbe J3chtmenge) wie die in derselben Entfernung senkrecht bestrahlfe Basis des Cylinders.
Zum Reweise dieses Satzes ersetzen wir die bisher betrachtete Flacheneinheit des Cylinders c durch ein Flgchenelement d y , welches zwischen der leucbtenden Kugel A
und dem voii dieser belcuchteten Cylinder B, senkrecht
zur Verbiodungslinie A B dieser beiden Kbrper liegt. Die
Entrernungen der Kugei, des Cylinders uiid des Flacbenelemeotes d;. wrrden nacb dem Obigen so p o l s angenommen,
56
darn die zniachen diesen stattfindende Bestrahlnng ale eine
parallele betrachtet werden kann.
Man erhalt nun leicht aus Formel (10) die Lichtmenge,
welche unter den angenommenen Bedinguiigen von der
Cylinderflkhe B auf d y i n der Entfernung D ubergeht.
Dem zu beweisenden Satze gemafs sind hierzn nur folgende Substitutionen erforderlich:
h=2r
a=%
dafs die gesuchte Lichtmenge dq aich ausdMcken liifst
durch :
so
Eiiiem in d y befindlichen Auge wiirde bei den gemachten
Voraussetzungen die Cylinderflache als ein beleuchtetea
Quadrat erscheinen, dessen Helligkeit nach Maafsgabe des
Jncidenzwinkels der auffallenden Strnhlen an verschiedeneii
Stellen eine verschiedene ist. Es sol1 niin gezeigt werden,
dafs die von diesein Quadrate ausgestrahlte Lichtmenge
dieselbe bleibt, weiin man detn Cylinder eine solcbe Lage
giebt, dafs seine ebene kreisformige Basis einer senkrechten
Bestrahlung ausgesetzt ist und daber ein in d y ’ befindliches
Auge an Stelle des friiheren , ungleichfbnnig erleuchteten
Quadrates, eine gleichfbrmig beleuchtete Kreisscheibe sieht.
Baeicbnet d q ein Flachenelemeut der Cylinderbasis,
SQ wird nach Formel (2) die Lichtmenge dq’, welche von
dw saakrecht iiber jenem Elemente befindlichen Kugel A
iibcrgebt, ausgedruckt durch:
dq’ = J n sinp q dy.
Urn die hierdurch auf d y eneugte Erleuchtuog zu bestimmea , ersetzen wir wieder ,das erleuchtete Element d v
durch ein selbstleuchtendes, fih dessen Iutensitat J’ sich
nach Forwel (4) mit Berucksichtiguiig des obigen Werthes
fur dg’ ergiebt:
J’ = p Jsin’q.
Folglich ist die von d v auf d y in der Entfernung D iibcrgebende Lichtmenge dq”:
p Jsin’q
d q” =Ta-d y d ‘I/
57
und demnach die von' der ganzen Cylinderbasis aiif dy
Ubergehende Lichtmenge d q :
dq=p*dyfdy
D
oder, da:
f d y = r'n
Dieser Ausdruck ist, wie man sieht, rnit dem in (11)
gebndeaen identiach , worms folgt , dafs die dort betracbtete Cylinderwche dieselbe Lichtinenge auf d y sendet, wie
die e k e Fldche der senkrecht zur Strahlung gelegeneo
Basis des Cylinders, was zu bewcisen war.
Erseht man die obcn bctrachtefen Kreiscylinder unter
iibrigans gleichen Urnstanden, durch 5wei CyZinder mit
elliptirehen Grundflachm, deren grof'.e Axen in die VGTbindungslinie ihrer dlittelpunkte fallen, so untersckidct
d o h der m t e r diescr Bedingung erhaltene Ausdruck WA
dtm fiir KreMcylinder erhaltenen nur durch Glieder, caslche
@on holbem Pdenien der Exeentricitdt der eldiptiwhen
Besis ubhdngen.
Der Beweis dieses Satzes warde hier zti weit fUbren;
ich erlaube mir daber bezuglich desselben auf ineins IUSffibrliche Scbrift (S.43 bie 49) zu verweisen. Es ist dort
ebenfalls gezeigt worden, nie inan mit Rlicksicht auf jenen
Satz zu dem Schlusse berechtigt sey, dafs die geringe, elRpsofdaie Abweichung des Mondes V O I ~ der Kugeigcstalt
keinen merklicben Einfluf6 aiif die pbotometriscli bestimbaren Lichtmengen seiner Phasrn Bufsern ksnne.
Q. .5.
Urn nun auch den Einflufs der bergigen Beschahheit
der Mondoberfleche auf die LicbtstPrke seiner Phaeen der
Rechnung zu unterwerfen, bio icb von folgenden Bctrech.tungeo ausgegan~en.
Jet auf der Mondnberflikhe ein beliebig gelegener Geb i r p u g gegeben, so ist offenbar die Lage demelben f(ir
die Grbfae seines Schattenwurfes nicht gleicbgliltig. Viel-
58
mehr wird hei einem senkrecht zur Strahlearichtung gelegenen Rergzuge der Schattenwurf scin Maximum, bei einem
parallel derselben gelegenen sein Minimum erreirhen. In
sofern inau also zuriachst nur den Einflufs dieses Schattenwurfes btdicksiclitigt, kann man slets die G m k e des Schatteiis eines beliebig gelegenen Gehirg’zuges durcli den Schatten cines andern, senkrecht zur Bcstraliliing gelegenen ersctzen, so dafs a n Stelle der iinregelmaCsigen Vertlieilung
von Hergen eine regelmafsige substituirt werden kann, dergestalt, dafs continuirliche Bergziige von gleicber Hbhe pa rallel den Meridianen die Mondobei.fliichr?bedecken. Hierbei
wird vorauegesetzt, dafs die Mondaxe normal zu der durch
Sonne, Mond und Erdc gelegten Ebene steht.
.Die weitere Beschaffeuheit der Hohenziige k a i i n man
dadrrrch fiir die Bereclinuiig vereinfachen; dafs man dieselben als atis zwei, unter einem bestiminten Wiukel zusammenstofsende Flachen bestehend annimmt, so dafs hierdurch die Mondoberflsche eine Art, parallel den Meridianen
gericbteter, Cannelirung erhalt.
Mit Hulfe dieser vereinfacbendeo Annahmen versuchte
ich niin eine Formel fur die. von verschiedenen Pbasen
einer solchen Kugel reflectirten Lichtmengen abzuleiten,
gelangte jedoch hierllei zu so complicirten Ausdriicken,
dafs ich von jeder weitercn Untersuchung nuf der angegebenen Basis Abstand nehmen inufste.
Auch unter der Annahme, dafs sich an Stelle der vorausgesetzteu Gebirgszuge einfach nur unendlich dunne W3nde
in glcichem Abstnnde befiinden, sind die Iutegrale, auf
welche man schliefslich kommt, doch noch vie1 zu vcrwickelt, als dafs man hoffen durfte, aiich nur einen cinigermafsen bequemen und ubersichtlicheii Ausdruck zu erhalten.
Die Ursache, weshalb sich trotz aller dieser Vereinfachungen die husdriicke doch schliefslich SO stark complicirten, lag wesentlich in der ephzrkchen Gestalt des betrachteten Korpers. Indem ich nun untersuchte, ob sich an
Stelle der Kugel nicht ein anderer Ktirper von einfacherer
Gestalt substitriirrn lasstr , welchei. dasselbe oder doch ein
.
59
Bhnliches Erleuchtungsgesetz diirch seine Phacen zeigte,
wiirde ich n i i f den hereits oben hervorgehobenen Satz von
der Uebereinstimrnung dieses Gesetzes bei KugeI oad Cylinder gefuhrt.
Es fragt sich nun, ob j m e Uebereinstimmung noch fortbestebt, wenn die Oberfllchen cler besagten Kerper nicht
mebr homogen, rondern eiiie ~ ~ ~ s c h a f f e o hvon
e i t der soebeii
besprochenen Art besitzen.
Streng gc~nommen wird mar, diese Frage ohne vorhergegsngene Untersuchung iin A llgemeiiien vei neinen miissen.
Mit Riicksicht auf dcn vorliegenden Gegensrand gestaltet sirli jedoch dimelbe einfiicher.
Abgeschen von den dunklen nud unregelrntif8ig vertbeilten Flecken auf der Mondoberfl;iche, ist auch die Vertheilung der Berge eiue sehr ~ioregeliiiafsige. Von beiden Umstanden mufs aber, der Nhtrir der Snche g t a f s , bei einer
theoretischen Ilntersuchung des Einflusses ~chatteowerfenum den es sich hier lediglich handelt
der Objecte
abgeschen werden.
Indem man nun den Einflufs 211 ermitteln pucht, welchen
eine regehursigc VertheiIung von schattenwerfenden Kdrpern auf das Pbasenerleuchtungsgesetz eines Cylinders ausiibt, kann man jedrneit arif der Kugel eine solche w e g e l mursige Vertheilung jener Kbrper annehmen, dals sowohl
fiir den Cylinder rnit regelmarsiger als auch fiir die Kugel
mif unregelmafsigw Vertheilung von Erhehungen dasselbe
Phasenerleuchtiingsgesetz stattfindet.
Anf Gruid dieser Retrachtung habp ich fiir die unregelrnafssig init Bergen bedeckte Mondkiigel einen regelmsfsig canuelirten Cylinder substituirt. Die befriedigende
Uebcreinstimmuug der arif diese Weise mtwickeltm Theorie
mit den Reobachtnngen hat gcbzeigt, dafs man zu den hier
gemacbten Voraussetzungeri berecbtigt war.
Q. 6.
1st die Cannelirung cline scharfkantige, SO dals die eiirzelaen Erhebuiigen ladiBlich aus zwci, untrr einem bestimmten Winkel ziisainmenRtofFeoden Ebenen bestehen, so ninimt
der Ausdruck fur die von einem solchen Cylinder auf die
-
-
60
FlPcheneinheit ubergehende Lichtmenge folgende einfache
Gestalt an:.
sin (u-$)
- (o-p)
cos (u
- @)I
(13)
Hierbei wird vorausgesetzt, d a k die Anzahl der Erhebungen einc sehr grofse ist und dais ,4 den Winkel bezeichnet, urn welchen die Sei& einer Erhebung gegen ibre
Basis geneigt ist. Dieser Winkel mag in der Folge Ekwationszoinkel heifsen.
Berlicksichtigt man auch die Anzahl der Erhebungen,
so ergiebt sich zwar eine bei Weitem complicirtere Formel, die jedoch alsdann eine solche hllgemeinheit besitzt,
dals sie gleichzeitig die Erleuchtung durcb jeden beliebigen
zu einer bestitnmten Gattung gehorigen, prismatischen Karper ausdriickt. In Betreff dieser Formel und ihrer Entwkkelung mufs ich jedoch aof' meine ausfiihrliche Schrift
(3.54 bis 6 5 ) verweisen.
A m der Vergleichung des obigen Ausdruckes (13) mit
dem in (10) erhaltenen, ergiebt sich unmittelbar der folgende Satz:
Die Erlsnahtung cines Kdrpere durch die Phase Cines
scharfkantfg oannelirten Cylinders ist glelch &r E r k h hmg durch einen homogenen Cylinder, welchcr sich in
einer, urn derr Eltaationsaoinksl &r Cannelirung ocnnindkrten Phase befindet.
Man kana nun aber, uach dern friiber bewiesenen Satze,
den homogenen Cylinder durch eine homogene Kugel eraetzea, und, gemsfs der Uber die Vertheilung und den EinfluL von Erhebungen angestellten Betrachtungen , fiir den
ragslmllfsig cannelirten Cylinder eine anregehd/'sig mit
Erhebungea bedeckte Kugel substituireo. Mit RUcksicht
hierauf ergiebt sich aus dem letaten Satze der folgende:
Die Erleuchtung ekas K o q e r s durch die Phase &sr
mit nicht abgestumpften Erhehngm bedeckten Kugel, i s t
gldch dsr Erleuchtung durch erine bomoge#e &gel, oelche
d t h in dner, ikm den mitilaran E h & f h s w h k e i j e w r Erkbbmgcn nerminddrtm Phase beflndct.
61
In Wirklichkeit wird jedoch die hier vorauagesetvtt
Abwesenheit von Abstumpfungen nicbt stattfinden, uud es
ist klar, d a b der Einflufs der letzteren desto stlirker hervortreten muk, je kleiner die Phase der beleuchtet'en Kugel ist.
In Bttreff der hierdurch nothwendigen VerallgemeineP U der
~ Formel (13) verweise ieh auf Ineine ausflihdiche
Scbrift (S.60 bis 69).
Bei Anwendung der entwickelten Theorie auf die Lichtetiirke der Mondphasen, hat sich gezeigt, d a b , wenigstens
bei abnebmendem Monde fiir die Phasen von der Oppoeition bie in die Nhhe der Quadraturen schon das erste
GUed jeoer Formel geniigt, urn die. Beobachtuugen befriedigend derzustehn. Fur den zrinehinenden Mond findet
die Uebereinstimmung nur bis z u einer Elongation von
110" stett, indem die bei kleineren Elongationen ausgesandten Lichtmengen bereits den Einflufs der vernbcb~iis&@en Abstulnpfuugen anzudeuten scheinen.
Dab librigem die hier aufgestellten Stitze beziiglich
ihrer Anwendung auf die Mondphasen nur als Anniiherunglen zu betrachten sind, und daher der einpirisch bestimmten
Constanten p in Unserer Formel iiur annahernd die Bedeutung des mittleren Elevationswinkels der Mondberge
beienlepn ist, babe icti a. a. 0. auefiihrlich erartert.
Lei& im Jsnuar 1666.
I V . Der gegeirwartige experimentelle Ticatbestand der Lehre son der H y d r o d a ~ w i o ndurch
thiekche &Iembranen;
von C. E c k h a r d in Giefsen.
S e i t dem Jahre 1858 habe ich, micb vielfach mit der Feststellung der empiriuehen Gesetze besahsftigt, welche die
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