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Einige Untersuchungen ber Brownsche Bewegung an einem Einzelteilchen.

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JG 11.
1917.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIEBTE FOLGtE. BAND 53.
1. -4ge
Untersuchumgern iiber
Browmsche Bewegzvng a m eirnern E4mxelteilchem;
vom R e h h o l d l W r t h .
(Am dem physilralischen Institut der deutsohen Universitiit Rag.)
Die vorliegende Arbeit beschiiftigt sich damit, einige Erscheinungen der Brownschen Bewegung an einem Einzelteilchen theoretisch niiher zu untersuchen und die Ergebnisse
einer experimentellen Kontrolle zu unterziehen. Der 1. Teil
behandelt die Brownsche Bewegung eines in einer Fliissigkeit suspendierten Teilchens, das sich nach allen Richtungen
ungehindert bewegen kann, sowohl unter dem EinfluB der
Schwere als ohne ihn, in einer von der ublichen abweichenden
Weise durch Beobachtung der zur Zuriicklegung einer bestimmten Verschiebung notwendigen Zeit. Der zweite Teil
sol1 sich mit der Rage befassen, inwiefern die Bewegung des
Teilchens durch eine in der N&he befindliche feste Wand
modifiziert wird, und wie man die letztere Erscheinung benutzen kann, um einerseits eine absolute Bestimmung der
Lo schmid tschen Zahl durchzufiihren. andererseits die Erscheinungw bei Konzentrationsschwankungen auf die Beo bachtungen an einem solchen Einzelteilchen zu ubertragen.
I. Teil.
A. Theofie.
Wir betrachten ein in einer Fliissigkeit suspendiertes
festes Teilchen, das durch die unregelmafiigen StoBe der
Fliissigkeitsmolekiile einerseits, durch die konstante Wirkung
der Schwere andererseits, in eine Bewegung versetzt aird, von
der hier einige Eigen tiimlichkeiten niiher auseinandergesetzt
werden sollen. Das Prinzip dessen ich mich bedienen will,
ist bereits an anderem Orte von M. v. Smoluchowskil)
1) M. v. Smoluchowski, Wiener Ber. 124. p. 263. 1915; Phys.
Zeitschr. 16. p. 319. 1915; Ann. d. Phys. 48, p. 1103. 1915; Bull. Acad.
Cracowie p. 418. 1913.
12
Annalen der Phyaik. IV. Folge. 63.
R. Fiirth.
178
angewandt morden. Anstatt nemlich die Zeitgesamtheit zu
betrachten, welche die sukzessiven Lagen des Teilchens bei
systematischer Beobachtung bilden, kann man eine virtuelle
Gesamtheit konstruieren, so da13 die relativen Haufigkeiten
jeder einzelnen Lage in dieser Gesamtheit denselben Wert
haben, als die relativen Verweilzeiten in den entsprechenden
Lagen bei unserer Zeitgesamtheit, wie des in der statistischen
Mwhanik hlsufig gemacht Wjrd.
Wir behandeln das Problem als nur von einer Koordinate
z abhsngig. Die Lage des Teilchens zur Zeit t = 0 sei zo.
Dann denke man sich statt dieses einen Systems eine groBe
Anzahl analoger Systerne von gleich beschaffenen Teilchen,
die sich alle zur Zeit t = 0 in der unendlich diinnen Schicht
zwischen zo und x,, d z aufhalten sollen. Die Wahrscheinlichkeit einer gewissen Lage zo .. . so ds unseres Teilchens
zur %it t ist dann gegeben durch diejenige Anzahl der Teilchen
der virtuellen Gesamtheit, die sich zur Zeit t i m Koordinatenbereiche sc, . . so d z aufhalten. D. h. ich kann diese
Wahrscheinlichkeit finden, indem ich die Methoden der
DiffuGonstheorie auf diese Gesamtheit anwende. Der EinfluS
der Schwere PuSert sich dabei offenbar darin, dab sich iiber
diese Diffusion noch ein Niedersinken mit konstanter Geschwindigkeit superponiert. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
ist dann gegeben durch das iiber die Qnellen erstreckte Integral
der Diffusionsgleichung (oder Warmeleitungsgleichung) mit
Beriicksichtigung einer Konvektion
+
+
. +
wobei D den Diffusionskoeffieienten, c die konstante Fallgeschwindigkeit durch die Schwere bedentet.
Obmar die
folgenden Entwicklungen bereits zum Teil von Smoluchows k i
0.c.) angestellt wurden, will ich doch der Vollsttindigkeit
halber anch diese hier knrz referieren.
Zuniicbst kam smn die Lasung der Differentidglei&ung
(1) reduzieren anf die Losung der Gleichung
-aa ut--D-anu
a5a9
wenn
gesetzt wird.
Einige Untersuchungen iiber Broumsche Bewegung usw. 179
Urn zunachst die Einstein-Smoluchowskische Formel
fiir das rnittlere Verschiebungsquadrat aus (1) abzuleiten,
braucht man die Losung der Diffusionsgleichung fiir. den Fall
eines unendlich ausgedehnten homogenen Mediums bei gegebener Anfangsverteilung. Diese ist aus der Theorje der
Wiirmeleitung bekannt und lautet
wobei 0 (u) den gegebenen Anfangszustand bedeutet.
Laut unseren Voraussetzungen sol1 di ( a ) da liberal1 gleich
Null sein, und fiir a = xo gleich Eins. Dann wird
Es sei zunachst c = 0, dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit einer Verschiebung x - xo in der Zeit t gegeben
durch
(4)
und das mittlere Verschiebungsquadrat
(5)
-
(z
+m
zo)a= J w ( x , t )
(2
- Z0)2dX = 2 0 t
-m
m e i auf anderem Wege bereits oftmals hergeleitete Formeln.
Fiir c =#0 lautet die Losung gem&B (3)
.
(43
w * ( z , t ) d z5
-
(a:
- z, + e t)'
4Dt
dx
2 ) f z E
die mit (4) iibereinstimmend wird, wenn man die Koordinatentransformation
5* = s + c t
ausfiihrt, d. h. wenn man die Verschiebungen in einem Koordinatensystem miBt, das sich mit der Gesohwindigkeit c
von oben nach unten bewegt.
Biir Formel (5) tritt die analoge Formel ein
(57
(z*
- x0)' = 2 D t .
12 *
180
R. FQirth.
Wir wollen nun eine andere Wahrscheinlichkeitsbetrachtung an unserem Teilchen anstellen, die unabhiingig voneinender von Schrodinger und Smoluchowskil) zuerst
vorgenommen wurde, im Zusammenhang mit der bekannten
Weiss-E hrenhaf tschen Berechnungsmethode. Wir werdexi
niimlich die Wahrscheinlichkeit berechnen, daB ein Teilchen,
das sich sur Zeit t = 0 i m Punkte s = b befand, die Ebene
z = 0 zwischen t und t d t zum erstenmal iiberschreitet.
Dem Umstande, daB das Teilchen in dem Momente von der
Betrachtung ausscheidet, wo es die Marke s = 0 zum erstenmal
uberschreitet, wird Rechnung getragen, indem man als Randbedingung fiir s = 0 fiir alle Zeiten die Konsentration Null
vorschreibt.
Das Quellenintegral der Differentialgleichung (2) unter
dieser Randbedingtlng lautet, wie aus der Wiirmeleitungstheorie bekannt ist,
+
oder unter unseren Voranssetmgen iiber @ (a)
Die pro Zeiteinheit durch die Ebene x = O hindurchtretende Teilchenzahl bei der virtuellen Gesamtheit ist d a m
gegeben durch
welche GroBe also gleichzeitig
die gesuchte Wahrscheinlichkeit
"
der Erstpassage liefert.
Die Berechnung ergibt
b'
(6)
Bezieht man noch den EinfluB der Schwere in die Rechnung ein, so muB man nach (3) die Konzentration in der Form
ansetzen
1) E. Schrodinger, P h p . Zeitschr. 16. p. 289. 1916; hl, v. Smoluohowski. Phys. Zeitschr. 16. p. 319. 1915; siehe such D. Konstsntinowaky, Phys. Zeitschr. 16. p. 369. 1915.
Einige Untersuchungm iiber Brownsche Bemgung usw.
181
woraus sich die analoge Wahrscheinlichkeit zu
berechnet .
Diese Formel kann man nun beniitzen, um einige zeitliche
Mittelwerte zu bestimmen. Mdtlim e k e i t i g e E~stpassagezeit
wollen wir die mittlere Zeit nennen, die das Teilchen braucht,
urn e k e in der Entfernung b senkrecht unter dem Amgangspunkt mgebrachte Marke znm erstenmal m passieren. Sie
ergibt sic&
Do
t = l t M * ( t ) d t= b
(7 4
c,
0
wiihrend die analoge GroSe
ergibt.
Durch Kombination von (78) und (7b) ergibt sich die
zum ersten Male von E. Weissl) in etwas anderer Gestalt
angewandte Formel zur Bestimmung des Diffusionskoeffizienten
aus den Abweichungen von der gleichformigen Fallbewegmg
1st speziell wieder c = 0, so wird, wie man sieht,
(7 4
(+)=?
nnd
t=m.
Da also in diesem Falle (7a) sinnlos wird, kann man versuchen, das ansloge Mittel fiir eine endliche Beobachtungsdauer T zu bilden, d. h., man bilde das Mittel aller einseitigen
Erstpassagezeiten, die kleiner sind als eine gegebene Zahl T.
Die Berechnung ergibt fiir diese GroSe
1) E. Weiss, Wiener Ber. l.20. (28) p. 1021. 1911.
R. Furth.
182
wovon man sich durch partielle Integration leicht uberzeugt.
2
Dabei bedeutet 0 (y) das mit - multiplizierte Gauss sche
l/n
Fehlerintegral
W
Fiir groI3e T vereinfacht sich die Formel durch Vernachltissigung kleiner GroBen zu
Betrachten wir nun folgende Wahrscheinlichkeit : Dss
Teilchen gehe wieder zur Zeit t = 0 vom Punkte x = b am.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, daB das Teilchen im Zeitintervall t . . .t + (2 t die Ebene x = 0 oder z = 2b
zum ersten Male uberschreite. Dabei sei c = 0 angenommen.
Bur analogen Ableitung aus der Diffusionsgleichung (2) braucht
man ihr Quellenintegral m t e r der Bedingung, daB in z = 0
und in x = 2 b s t b d i g die Konzentration ZL = 0 herrschen
soll. Die Losung bietet die Behandlung des Problems der
Temperaturverteilung als Funktion von Ort und Zeit in einer
Platte von unendlicher Breite und der Dicke 2b, an deren
Endfkchen stiindig die Temperatur Null herrscht.
Sie lautetl):
2b
- D G ) ¶ $ .
u'= + z e
n=l
nanx
nsa
sin f ( a )sin da =
2b
2b
0
sin 2
n=l
Die gesuchtg Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der
pro Zeiteinheit aus den beiden Grenzebenen diffundierenden
Teilchen
1) Riemann-We ber, Partielle Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 4. Aufl. 2. p. 112.
L
.
.
Einige Untersuchungen iiber B,rownsche Bewegung usw. 183
h c h Ausrechnung kann man leicht kontrollieren, daS
die ermittelte Wahrscheinlichkeit tatsachlich der Bedingung
geniigt:
f N ( t ) d t = 1.
0
Formel (9) kann man beniitzen, uni die mi&e
doppelseitige Erstpassagez@t, also jene Zeit zu bestimmen, die das
Teilohen im Mittel braucht, um eine oder die andere v m zwei
im Abstande bvom Ausgangspunkte rechts und links angebrachten
Marken zum ersten Male su iiberschreiten.
Es ergibt sich
m
9. =
b'
Jt N ( t ) d t = ,
ZD
0
worms fiir die Bestimmung von D folgt:
Zum Schlusse dieses Kapitels wollen wir noch die Wahrscheinlichkeit 'einer Wiederkehr des Teilchens im naehstehenden
Sinne behandeln :
Wir fragen nach der GroBe der Wahrscheinlichkeit, daB
daa Teilchen unter dem Einflusse der Brownschen Bewegung
allein, von seinem Ausgangspunkte zur Zeit t = 0 ausgehend,
in dem Zeitelement t .. . t d t wieder dahin zuruckkehrt,
nachdem es sich nach irgendeiner b i t e mi&um die
Strecke b vom Ausgangspunkte entfernt hatte.
Da es ma auch hier wieder nur euf die mittlere Wiederkehrzeit ankommt, konnen wir uns die Berechnnng der Wehrscheinlichkeit ersparen, wenn wir bedenken, daB diese mittlere
Wiederkehrzeit offenbar gleich sein muB der Zeit, die das
Teilchen im Mittel braucht, um vom Ausgangspunkte eine der
beiden Marken b, gleichgiiltig welche, m erreichen, vermehrt
um die im Mittel benotigh Zeit, um sich von da nach einer
b&mh
Richtung, niimlich in der entgegengesetzten, um die
Strecke b zum ersten Male zu entfernen. Es ist also diese
Wiederkehrzeit gegeben durch
+
?
= 9.
+ ZT--+,
wenn wieder T die maximale Beobachtungsdauer bezeichnet.
Auch hier haben wir c = 0 gesetst. Fiir unbeschriinkte Be=
obachtungsdauer wachst t iiber alle Grenzen.
Beobachtungsdauer erhalten wir ,
-
-
b'
44T-G)
(11)
r t T =___
b v=l-@
b
e
__
Fiir endliche
pz?
20'
(2iD(T-&))
was fiir groBe Beobachtungszeiten T durch Vernachlissigung
kleiner GroBen iibergeht in
Damit wollen wir die Betrachtungen dieses Kapitels
schlieBen und in dem niichsten die experimentelle Verifikation
der aufgestellten Formeln vornehmen.
B. Die Vereucheanordnung.
Um die i n A. aufgestellten Formeln einer experimentellen
Kontrolle zu unterziehen, wurde folgende Versuchsanordnung
getroffen:
Die untersuohte Suspension bestand entweder aus einer
nach Perrin') durch Losung von Gummigutt in Alkohol und
naohherige Ausfiillung durch starken WasseriiberschuB hergestellten Gummiguttemulsion (oder ilhnlichen Mastixemulsion),
oder einer durch Zerstiiubung von Quecksilber im elektrischen
Gleichstromlichtbogen unter Wasser hergestellten Quecksilberemulsion nach der Bredig-Ehrenhaftschen Methode.3 Die
Emulsion wurde i n eine unter dem Namen ,,Objektnetzmikrometer" bekannte Zeisssche Kuvette zur Zahlung von Blutkorperchen gebracht, mit einem Deckglas abgeschlossen und
die Riinder mit Paraffin iiberstrichen.
Dann wurde die
Kuvette auf dern Tisch eines horizontal gestellten Mer kschen
Mikroskops mittels der Befestigungsvorrichtung angebracht.
Bur Beobachtung diente das Objektiv 6 und das Okular 4
dieses Instrnmentes bei vollig ausgezogenem Tubus. Dieses
1) J. Perrin, Die Brownsche Bewegung und die wahre Existenz
der Molekiile, Dresden 1910; Die Atome. Leipzig und Berlin 1914.
2) G . Bredig, ,,Anorganische Fermente"; F. E h r e n h a f t , Akad.
hzeiger Nr. XXV, 1908; siehe auch R. v. Ettenreich, Wiener Ber.
(IIa) 121.
Einige Untersuchungen iiber Brownsche Bewegung usw. 185
optische System hatte eine VergroBerung von 430 lin. und eine
n. A. = 0,74. In dem Huygenschen Okular befand sich ein
Okularraster mit einer quadratischen Teilung in 60-60Elemente.
Durch Vergleich mit einem Zeis sschen Objektmikrometer
war die Distanz zweier benachbarter Linien des Rasters zu
19,2*104 em festgestellt worden. Bei den im nachsten Kapitel
folgenden Mefiergebnissen ist aber, wenn nichts ausdrucklich
vermerkt ist, diese GroBe als Einheit angenommen. Als Lichtquelle diente eine vor dem Mikroskop aufgestellte 32kerzige
Metallfadenlampe, deren Licht vor dem Passieren der Emulsion
noch ein Wasserfilter durchsetzte. Die ganze Anordnung
war auf einem Fundamentpfeiler erschutterungsfrei aufgestellt.
Zur Registrierung des Durchganges eines Teilchens durch
einenTeilstrich des Rasters diente der von Weiss bei der E h r e n h a f t schen Versuchsanordnung verwendete elektromagnetische
Doppelstiftschreiber, der in der im vorigen Kapitel zitierten
Arbeit von E. Weiss erwahnt ist. Durch ein Metronom mit
Quecksilberkontakt wurde der eine Hebel des Schreibers in
Intervallen von 1 Sek. betatigt, der andere durch einen im
Bereiche des Beobachters befindlichen Morsetaster.
Wenn
es notig war, die Richtung des Durchganges des Teilchens
durch einen Teilstrich ebenfalls zu markieren, wurde so verfahren, daB die Passage nach einer Seite durch einen einfachen Punkt, die nach der anderen Seite durch einen Doppelpunkt auf dem Morsestreifen markiert wurde.
Durch Beobachtung der Durchgange durch die Vertikalstriche des Rasters bekommt man die Analyse der Brownschen Bewegung in der Horizontrlen, das ist also ohne EinfluB
der Schwere, durch die des Durchganges durch die Horizontalstriche die Analyse der Bewegung in der Vertikalen, also unter
dem Einflusse der Schwerkraft. Da bei der verwendeten Vergrofierung die Teilchen nicht als Punkte erscheinen, mu13 man
bei Anstellung der Beobachtungen ein fiir allemal vereinbaren,
einen bestimmten Rand des Teilchens bei seinem Durchgange
durch die Teilstriche zu markieren.1)
1) Die verwendeten Apparate gehoren dem physikalischen Institut
der deutschen Universitat in R a g an, woselbst auch die Verspche &USgefiihrt d e n , mit Ausnahme des Objektnetzmikrometers, das mir
vom Institut fiir theoretisohe Physik an derselben UniversitLt zur Verfugung gestellt wurde.
186
R. Furth.
C. Die Beobeahtungen.
Wie man aus dem vorigen Kapitel ersehen haben wird,
ist meine Vcrsuchsanordnung dahin oingerichtet worden, nicht,
wie es bei Beobachtungen iiber Brownsche Bewegung iiblich
ht, die Lage des Teilchens i n aquidistaaten Zeitpunkten festzustellen, sondern die Zeiten zu messen, die die Partikel braucht,
um die Entfernung zwischen gegebenen Marken zu durchladen. Ich habe diese Beobachtungsmethode gewahlt, weil
sie erstens experimentell vie1 leichter zu realisieren ist als die
iibliche, die, urn genaue Resultate zu Iiefem, der Methoden
der Kinematographie und Mikrophotographie bedarf, zweitens
aber, weil die auf Grundlage dieser Beobachtungsmethode
theoretisch w erwartenden Wahrscheinlichkeitsergebnisse einer
ausreichenden experimentellen Kontrolle noch nicht unterzogen
worden sind.l)
I.
Urn zunlichst eine Kontrolle der Formeln ohne EinfluB
der Schwere zu erhalten, wurden Beobachtungen an Mastixemulsionen in der Horizontalen auf die beschriebene Weise
Fig. 1.
angestellt.
Urn die erhaltene Beobachtungsreihe bequem
diskutieren zu konnen, habe ich sie von dem Morsestreifen
auf eine graphische Darstellung iibertragen, in welcher die
Ordinaten die (ganzzahligen) Verschiebungen der Teilchen, die
Abszissen die beobachteten Zeiten bedeuten. Fig. 1 stellt
1) Die Formeln (4) und (6)bzw. (4*) und (6*)d e n unhr snderem
gepriift von: J. Perrin und seinen Schiilern Dabrowski und Cheudesaignes, ,,Die Atome", The Svedberg, ,,Die Existenz der Molektile";
v. Ettenreich, 1. c.; J. Nordlund. Zaitschr. f. phpik. Cham. 87.
p. 4Off. 1914; I(. Seelis, Zeitsohr. f. physik. Chem. 86. p. 682ff. 1913;
Zangger und Bohi, Vierteljahrsschrift der naturforechenden Gesellschaft in Zurich 56. 1911.
Einige Untersuchungm uber Brownsche Bewegung usw. 187
die graphische Darstellung einer solchen Beobachtungsreihe
iiber 518 Sek. dar. An dieser Reihe konnen wir nun eine groBe
Anzahl der Betrachtungen des Abschnittes A. studieren. Wir
wollen zunachst unsere Formel (7d) benutzen, um mit ihrer
Hilfe den Wert des Diffusionskoeffizienten zu ermitteln, der
uns dann dazu dienen soll, die ubrigen Formeln zu verifizieren. Da bei der Brownschen Bewegung ohne Einwirkung
HuBerer KrBfte jede Lage gleich wahrscheinlich ist, konnen
wir von jedem Punkt unserer Kurve als Ausgangspunkt ausgehen und gemiiB den Bedingungen fiir die Formel (7d) jene
Zeit ermitteln, die notig ist, damit sich das Teilchen beispielsweise urn b Teile nach links bewegt. Von allen diesen Werten
bilden wir die reziproken und berechnen das Mittel. Dieselbe
Prozedur haben wir fiir die Bewegung nach rechts anzustellen;
aus beiden so erhaltenen Werten bilden wir wieder das Mittel.
Die entstehende GroI3e ist unser gesuchtes (lp).Fiir jedes
ganzzahlige b erhalten wir auf diese Weise das zugehorige
Wegen der Beschriinktheit der gesamten Beobachtungsreihe kann das Verfahren nicht auf zu groBe Werte von b ausgedehnt werden, wir begniigen uns im folgenden mit den Werten
b = 1,2, 3, an denen die Richtigkeit der Formel (7d) bereits
zu ersehen ist. Nachstehende Tab. 1 enthiilt die zu den
einzelnen b gehorigen Werte' von (l/t) und die Produkte
b 2 ( l / t ) , die nach der Formel konstant sein miissen; die
Forderung ist mit geniigender Genauigkeit erfullt. Der halbe
Mittelwert der genannten Produkte liefert das gesuchte D.
(m).
Tabelle 1.
b
1
2
3
1
0,026
Mit dem Werte fiir D = 0,116 wollen wir nun Formel
(8) fur ZT verifizieren. Der Vorgang, den man hier zu verfolgen
hat, ist analog dem vorher beschriebenen, nur daB man bei
der Mittelbildung alle Werte t > T wegzulassen hat. Fiir
je drei Werte von T und b ist i n Tab. 2 der aus den Beobachtungen ermittelte und der aus Formel (8) folgende Wert
R. Furth.
188
T
b
2 (beob.)
t (ber.)
50
1
2
3
1
2
3
1
2
3
9,95
18,46
29,67
15,42
30,30
41,08
19,42
37,90
10,03
18,3
2491
15,l
27,6
37,8
18,8
34,9
48,3
100
150
54,57
Nun konnen wir leicht auch Bormel(6) einer Kontrolle untereiehen, indem wir sie in der integrierten Form hinsohreiben
t
wo @ die auf p. 182 auseinandergesetzte Bedeutung hat. Wir
teilen die Zeit t in gewisse Intervalle t , und haben abzueahlen,
wieviele beobachtete Zeiten unserer Statistik bei einem bestimmten b in die eineelnen Intervalle hineinfallen. In der
nachstehenden Tab. 3 sind fur b = 1 die auf diese Weise aus
den Beobachtungen resultierenden und die aus Formel (6a)
berechneten Haufigkeitseahen n (beob.) und n (ber.) nebeneinandergestellt. Auch hier ist die obereinstimmung wenigstens
fiir die kleinen t-Werte eine befriedigende.a)
Tabelle 3.
f
- ts
10-20
20-30
30-50
1n
(beob.)
1
n (ber.)
n (ber.)
___-___
50-100
100-200
200-300
300-500
20
22
7
1
18
13
7
2
1) DaB die theoretischen t-Werte gegen die experimentellen etwas
zuriickbleiben, liBt auf einen zu groBen Wert von D schlieoen, doch habe
ich mit Absicht den aus Formel (7d) folgenden Wert zugrunde gelegt,
da dieser Formel eine groBere experimentelle Zuverlilssigkeit zukommt
als Formel (8).
2) Fiir die grol3en t-Werte ist bessere obereinstimmung nicht zu
verlangen, da hier die Unsicherheit infolge der Beschilnktheit der Beobachtungsreihe naturgemilB vie1 groBer ist.
Einige Untersuchungen iiber Brownsche Bewegung usw.
189
Wir gehen nun zur Bestimmung der mittleren doppelseitigen Erstpassagezeit uber, wie sie sich aus derselben Beobachtungsreihe ergibt, die wir bis jetzt verwendet haben.
Wir verfahren zu ihrer Bestimmung ebenso, nur daB wir jetzt
von einem Punkte ausgehend immer diejenige Zeit aus Fig. 1
bestimmen mussen, die bis zum nHchsten Durchgang durch
den bten Teilstrich rechts oder links vom Ausgangspunkte
vergeht. Aus allen diesen Werten fiir ein bestimmtes b haben
wir wieder das Mittel zu nehmen, das unser 6 der Formel (10)
darstellt. Nachstehende Tab. 4 enthalt fiir einige Werte von
b die zugehorigen 6 und b 2 / 6 , welch letztere nach (10) konstant und zwar gleich 2 0 sein mussen.
Tabelle 4.
b
Y
bS
Y
Der aus dieser Art der Beobachtung erschlossene Wert
von D steht, wie man sieht, in verhHltnism8Big guter abereinstimmung mit dem friiher gewonnenen.
Mit diesem Werte von D wollen wir nun auch noch
Formel (9) fiir die relative Hiiufigkeit einer doppelseitigen
Erstpassagezeit mit den Beobachtungen vergleichen. Auch
hier schreiben wir die Formel in der integrierten Form an:
Wir gehen SO vor wie bei Formel (6a), indem wir auch
hier wieder b = 1 setzen, Tab. 5 enthtilt wieder fiir eine bestimmte Intexvalleinteilung die beobachteten und berechneten
Hiiufigkeitswerte nebeneinander. Auch hier kann man die
Ubereinstimmung beider konstatieren.
R. Fiirth.
190
T a b e l l e 5.
4 - te
r)
(beob.)
- _ _ ~ _ ______
0-2
2-4
4-6
6-8
31
58
27
15
6
4
8- 10
10-16
n (ber.)
_ _ _ ~
32
42
26
16
10
12
Bum :hlusse dieses A schnittes wollen wir sc LieBlich
noch die Formel (11) ftir die mittlere Wiederkehrzeit einer
Probe unterwerfen. Wir entnehmen unserer Kurve, von jedem
F’unkte als gleichwahrscheinlichen einzeln ausgehend, die Zeit,
nach deren Ablauf die Kurve die gleiche Ordinate zum ersten
Male wieder beriihrt. Infolge der Eigentiimlichkeit der Beobachttungsmethode stellen diese Zeiten im Mittel direkt die
von uns definierten Wiederkehrzeiten fur b = 1 dar, da aufeinanderfolgende Durchgiinge durch einen Vertikalstrich, ohne
dafi sich das Teilchen in der Zwischenzeit bis mindestens zum
niichsten bewegt hatte, nicht riotiert werden. Dabei ist die
Mittelbildung wieder so vorzunehmen, daJ3 alle Werte t > T
wegzulassen sind. Unsere Beobachtungsreihe ergibt fiir T = 100
tbeob. = 18j97 88c,
wiihrend die Berechnung nach Formel (11)
zber,
18,84 8ec
ergibt, die in ausreichendem Grade ubereinstimmen.
11.
Urn nun auch noch die in A. abgeleiteten Forrneln fiir die
Brownsche Bewegung i n der Vertikalen, also unter dem Einflusse der Schwerkraft, einer Priifung zu unterziehen, wurden
kihnliche Beobachtungen in der in B, niiher auseinandergesetzten Weise auch i n der Vertikalen an Gummigutt- und
Queoksilberemulsionen angestellt. Von der grol3en Anzahl
von Beobaohtungsreihen sol1 hier eine einzige an Queoksilber
angefuhrt und niiher diskutiert werden, da eine noch unaufgekliirte Anomalie die weiter unten kurz gestreift werden
wird, erst noch ihrer Aufkliirung zugefiihrt werden ~011,weswegen ich die Veroffentlichung dieser Reihen bis dahin auf-
Einige Untersuchungen uber Brownsche Bewegung usw. 191
schiebe. Die folgende Tabelle enthalt die dem Telegraphenstreifen entnommenen Passagezeiten beim Durchgange durch
die Horizontalstriche des Rasters. Um eine groJ3ere Anzahl
von Beobachtungen zu erhalten, lieB ich das Teilchen zunachst
uber die ganze Strecke von 60 T d e n fallen, worauf das
Objektnetzmikrometer mittels . der Objektstellschrauben des
Mikroskops soweit gehoben wurde, bis dasselbe Teilchen wieder
(im Mikroskop gesehen) am unteren Ende der Okularskala
angelangt war, und darauf die Ablesung wiederholt. Die mitgeteilte Reihe enthalt auf diese Weise 118 Beobachtungen,
die auf 0,l see abgerundet sind.
Tabelle 6.
t:
0,5
0,4
0,6
1,0
0,4
0,7
0,8
0,5
0,5
0,5
0,7
0,6
0,4
0,5
0,5
0,4
1,2
0,s
0,6
0,3
0,4
0,7
0,Q
0,Q
0,6
0,7
0,4
0,6
0,4
0,7
0,6
0,8
0,4
0,5
0,4
0,4
0,8
0,7
0,4
0,5
0,9
0,5
0,7
1,2
0,6
0,4
0,4
0,8
0,5
0,Q
0,4
0,8
0,7
@,7
0,5
0,4
0,5
0,s
0,6
0,4
0,Q
1,0
0,3
0,4
0,7
0,7
0,6
0,7
0,9
0,5
0,5
0,6
0,5
0,6
0,6
0,7
0,7
0,6
0,5
0,6
0,Q
1,o
0,Q
0,4
0,6
0,6
0,6
0,6
0,4
1,4
Wir wollen diese Statistik zunachst benutzen, urn die Richtigkeit der Relation (7c) zu priifen und aus ihr den Wert des
Diffusionskoeffizienten D und der mittleren Fallgeschwindigkeit c zu entnehmen.
Der Wert der letzteren ergibt sich m t i c h s t duroh Mittelbildung uber alle t zu
1
= 1,5245 Teilstr./sec.
t
Das Mittel der reziproken Fallzeiten liefert (l/t) und
damit das Mittel zur Bestimmung von 2 0 aus (7c).
Addiert man je zwei aufeinanderfolgende t-Werte, so
erhiilt man die entsprechenden Fallzeiten fiir die doppelte
Man kann so fur
Ftbllstreoke b = 2, analog fiir b = 5,4..
beliebige b, sofern sie klein sind, gegen die gesamte Fallstrecke
c=-
.
R. F W h .
192
(Vt)
die entsprechenden Werte yon Z und
ausrechnen und
in Formel (7c) einseteen. Tab. 7 enthalt fur b = 1 bis b = 9
die Werte von
und 112, sowie von
(-m)
welch letztcre sich als Konstante ergeben soll. Die Forderung
ist, wie man sieht, annaherungsweise erfiillt, doch diirfte zur
Erreichung der gleichen Genauigkeit, als in der Horizontalen,
jedenfalls eine weit groBere Anzahl von Beobachtungen notig
sein, da die Stopfehler hier naturgemaB eine groljere Rolle
spielen als doh.
Tabelle 7.
1
-
z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,7295
0,8259
0,5382
0,3940
0,3151
0,2611
0,2225
0,1944
0,1725
1,5245
0,7622
0,5082
0,3811
0,3049
0,2541
0,2178
0,1906
0,1694
j
b.((f)-;)
0,205
0,254
0,270
0,205
0,255 D = 0,121
0,253
0,232
0,248
0,254
Als Mittelwert ergibt sich daher der Wert des Diffusionskoeffizienten zu
D = 0,121 ,
gemessen aus den Abweiohungen von der gleichformigen Fallgesohwindigkeit.
Nach Schrodingerl) ist fiir langere Beobachtungsreihen
der mittlere relative Fehler bei der Messung
- des Diffusions-
d;,
wenn rt die Ankoeffizienten auf diesem Wege nahezu
zahl der Beobachtungen bedeutet. Das ergibt fiir unseren
Fall 13 Proz., wiihrend sich aus Tab. 7 der mittlere relative
Fehler der D zu 7,6 Proz. berechnet, also vollkommen innerhalb der zulassigen Genauigkeitsgrenze bleibt.
Mit den erlangten Werten von c und D wollen wir nun
noch Formel (6*) uber die Haufigkeit eines bestimmten Wertes
1) E. SchrBdin’ger, 1. c. p. 295.
Einige Untersuch.urtge42 iiber Brownsche Bewegung uaw.
193
der Fallzeit t kontrollieren. Tab. 8 enthlilt die nach (6*) berechneten Werte von Y* (t), die man in diesem Falle wegen
der Kleinheit der Zeitintervalle in der nicht integrierten Form
anwenden kann, indem man M*(t) mit der Liinge des Zeitintervalles multipliziert. Dieses ist infolge der Art der vorgenommenen Abrundung gleich 1 Seek. Tab. 8 enthlilt auljerdem
noch die aus diesen relativen Hiiufigkeiten folgenden ebsoluten
unter n (ber.) und die wirklich beobachteten Hiiufigkeiten unter
n (beob.). Man sieht, daS im ganzen und groBen fibereinstimmung herrscht. Eine bessere ist infolge der bereits auseinandergesetzten Griinde nicht zu erwarsen.
Tabelle 8.
I
t
1
Y*(t)
I
n(ber.)
0,636
1,460
1,800
1,676
1,342
0,990
0,679
0,462
0,292
0,183
0,116
0,071
~(beob.)
7
17
21
20
16
12
8
6
3
2
1
1
1
0,044
3
22
26
17
17
12
11
4
1
2
1
1
0
Fig. 2 enthlilt die graphische Darstellung der Tab. 8,
indem die gezeichnete Kurve den theoretischen, die kleinen
2%-
O
15
'3
4
5
6
7
'i'
8
9
10
11
12
13
14
15
Fig. 2.
Kreise den beobechteten Hhufigkeitswerten entsprechen. AUS
der Darstellung ist wohl zu ersehen, daB die theoretische Kurve
die Versachsergebnisse wirklich ausgleicht.
Annalen der Physik. IV, Folge. 68.
13
194
R. Fiirth.
Ich will nun noch kurz auf die am Eingang dieses Abschnittes erwiihnte Anomalie eingehen. Ich habe an derselben
Quecksilberpartikel, auf die sich die vorangehende Untersuchung bezog, aucb Beobachtungen iiber die Bro wnsche
Bewegung i n der Horizontalen in der i m vorigen Abschnitt
naher erliuterten Weise angestellt und daraus nach Formel
(10') iiber die mittlere doppelseitige Erstpassagezeit den Diffusionskoeffizienten in der Horizontalen bestimmt, der sich
als wesentlich groBer herausstellte.
WBhrend wir in der
Vertikalen erhielten D = 0,121, ergibt sich fiir die Horizontale
D = 0,195, was einem Unterschied von rund 60 Proz. gleichkommt. Und diese Anomalie zeigt sich tatsiichlich bei allen
10 vorllufig von mir angestellten Beobechtungsreihen an
Quecksilberemulsionen und zwar immer im gleichen Sinne,
so daB hier eine systematische Ursache zugmnde liegen muf3,
die noch der Aufdeckung harrt. Ich bemerke, daB in der bereiB
zitierten Arbeit E t t e n r e i o h s , der die Verschiebungen der
Teilchen in Bquidistanten Zeitpunkten miBt, ein gleicher Unterschied, und zwar im selben Sinne bei der groBten Anzahl der angestellten Beobachtungen konstatiert wurde, was darauf schlieBen
IaBt, daB die Anomalie nicht etwa auf die besondere Art der von
mir verwendeten Beobachtungsmethode zmiickzufiihren ist.
Da offenbar nur einer der beiden Werte des Diffusionskoeffizienten richtig sein kann, wiire nun zu entscheiden,
Unter Annabme der Kiigelgestalt der
welcher dies ist.
Tropfchen, die aus dem mikroskopischen Bilde als sicher angenommen werden kann, liiBt sich nun doch vermittels des
St o kesschen Gesetzes, dessen Gultigkeit fiir Kugeln dieser
GroSenordnung durch P e r r i n s Versuche einwandfrei nachgewiesen ist, die Loschmidtsche Zehl N bestimmen, wenn
der Diffusionskoeffizient und die- konstante Fallgeschwindigkeit bekannt ist.
Nach der Einsteinschen Formel ist niimlich
D = -R-T 1
N
6n5a'
wo 5 den Reibungskoeffizienten der Fliissigkeit, a den Radiue
des kugelformigen Teilchens bedeutet. Ferner ist
wo d die Dichte des Teilchens, do die der Fliissigkeit bedeutet.
Einige Untersuchungen uber Brown sche Bewegung usw. 195
Aus der letzteren Formel folgt
was in die erste eingesetzt
ergibt, oder fur N den Wert
Darin haben wir fiir unseren Fall zu setzen:
T = 293, R = 8,315.107,
= 981, a - do = 12~6,
5 = 0,0102, c = 1,524-19,2.10-5
und cmtweder
D~= 0 , ~ 2 ~ . ~ 9 , 2 2 . ~ 0 - 1 0 ,
oder
0,195 * 19,22*
Durch Ausrechnung ergibt sich im ersten Falle
N , =86.1OZ2
und im zweiten Falle
N H = 53.10a2,
D1p =
von denen der zweite dem Planckschen Wert
N =62~10~2
naher liegt als der erste, so deD man mit einiger Berechtigung
den aus der Beobachtung in der Horizontalen berechneten
Wert des Diffusionskoeffizienten als den richtigen anzusehen
haben wird.
Ob die gezeigte Anomalie auch bei anderen Suspensionen,
namentlich bei Gasen auftritt, diirfte von Interesse sein, da ja
in eben diesem Falle bei der Weissschen Methode der Wert
des Diffusionskoeffizienten in der Vertikalen benutzt wird,
um das Elementarquantum zu bestimmen. Doch sol1 auf
diese Konsequenzen sowie auf die noch nicht abgeschlossenen
Versuche zur Aufklarung der Anomalie hier nicht niiher eingegangen werden, sollen vielmehr einer spiiteren Arbeit vorbehalten bleiben. Mit diesen Betrachtungen will ich nun den
ersten Teil dieser Arbeit schlieEen und mich dem zweiten zuwenden.
13*
196
R. Furth.
II. Teil.
A. Vereucheanordnung und Beobachtungemethode.
Gem56 dem am Anfange dieser Arbeit ausgesprochenen
Plane sol1 dieser Teil sich rnit der Brownschen Bewegung
einer Partikel in der Nahe einer festen Wand beschaftigen.
Im folgenden will ich zuniichst die fiir die d a m notigen Beobachtungen gebrauchte Versuchsanordnung und die Methode
der Beobachtungen besprechen.
An der Aufstellung des Mikroskops wurde nichts geandert,
als daS statt des Okularrasters ein bloB mit Horizontalstrichen
versehenes Okularmikrometer verwendet wurde, das vorher
durch Vergleichung mit einem Zeissschen Objektmikrometer
geaicht worden war. Es ergab sich ein Teil des Okularmikrometers = 1,135.104 em. Ferner wurde statt des Objektivs
6 das Objektiv 9 dieses Mikroskops verwendet, Okular 4 wurde
beibehalten. Das derart geschaffene optische System hatte
eine VergroBerung von 930fach linear und eine N.A. = 0,827.
Statt des Objektnetzmikrometers muBte eine andere
Kuvette verwendet werden, die gestattete, das Teilchen bei
seiner Bewegung in der NBhe eines horizontalen Bodens zu
verfolgen. Sie wurde folgendermaaen hergestellt. Eine 1 em
dicke rechteckige, geschliffene Glasplatte von 5 x 6 em mit
einem u-formigen Ausschnitte von 2 ern Breite und S,5 em
Lange, die von einer unbrauchbar gewordenen Kuvette stammte,
wurde auf einer Seite durch eine Glasplatte, auf der anderen
durch eine Hartgummiplatte abgeschlossen, die rnit Pizein
verkittet war. Die Hartgummiplatte war etwa in der Mitte
des u-formigen Ausschnittes rnit einem kreisformigen Loch
von 12 mm Durchmesser versehen, das mit einem Deckglaschen von innen abgeschlossen war, und in das der Objektivkopf des Mikroskops bequem hineinpaBte. An dieses
Fenster war von innen ein Glaswiirfel von 1 2 m m Seitenlange
angekittet, dessen obere Kante das Fenster gerade halbierte.
Auf die obere horizontale Flache des Wiirfels wurde endlich
ein ebenes Deekglaschen so aufgekittet, dal3 es sich an das
Fenster rnit seiner Schmalseite vollkommen anlegte, Dieses
Deckglas bildete den horizontalen Boden, und die geschilderte
Anordnung ermoglichte es, rnit dem stark vergrol3ernden
Objektiv so nahe heranzugehen, als es der kurze Frontabstand desselben erforderte. Bei Scharfeinstellung auf die
EiLige U n ~ r s u c h iiber
u ~ ~Brownsche
~
Beweguttg
USEU.
197
Vorderkante des Bodens erschien dieser trotz der starken
VergroBerung als vollkommen eben, was fiir die anzustellenden
Messungen eine notwendige Vorbedingung ist.
Die Befestigung am Mikroskop geschah durch entsprechend
konstruierte K l a m e r n , so dal3 man durch Verdrehen der
Stellschrauben des Tischchens noch die Moglichkeit hatte, den
Boden genau horizontal zu stellen, und an eine beliebige Stelle
des Gesichtsfeldes zu bringen. Die Einstellung wurde in der
Weise vorgenommen, daB der als Horizontalstrich sichtbare
Boden mit einem Teilstrich des Okularmikrometers ubereinst i m t e .
Nun wurde in die Kuvette eine Gummiguttemulsion
gebracht und einige Stunden der Sedimentation uberlassen.
Nach dieser Zeit sah man, daB die am Boden abgesetzten
Teilchen daselbst nicht in Ruhe waren, sondern wie Gummibiille lebhaft auf- und abtanzten, indem sie durch den Glasboden
vollkommen elastisch reflektiert wurden. Es wurde nun ein
geeignetes Teilchen aufgesucht und auf seinem (durch das
Horizontalstehen des Bodens verbiirgten) vertikalen Wege im
Laufe der Zeit verfolgt, indem wieder die Durchgknge durch
die Teilstriche des Okularmikrometers mit Hilfe des Doppelstiftschreibers markiert wurden, und zwar eine ifberschreitung
von unten nach oben (im Mikroskop gesehen umgekehrt) durch
einen Punkt, ,eke solche von oben nach unten durch zwei
Punkte und eine Beriihrung des Bodens) durch drei Punkte,
urn eine Verwechelung beim nachherigen Auswerten des Telegraphenstreifens zu vermeiden.
i
t
Fig. 3.
Zur bequemen Weiterverwertung der erhaltenen Resultate
wurde der Inhalt des Streifens wieder graphisch dargestellt.
Eine solche Darstellung zeigt fiir ein Gummigutteilchen Fig. S,
die der nachfolgenden Diskussion zugrunde gelegt ist. Als
Ordinaten sind hier die Entfernungen vom Boden, in Teilen
des Okularmikrometers gemessen, ale Abszissen die entspreohenden Passagezeiten aufgetragen; die 60 erhaltenen
Punkte sind zur Orientierung durch gerade Linien verbunden,
R. Ftirth.
198
die aber keineswegs die Bahn dcs Teilchens wahrend dieser
Zeit bedeuten sollen.
In den spiiter vorkommenden Berechnungen ist immer,
wenn nichts ansdriicklich vermerkt ibt, als Langeneinheit ein
Teil des OkularmikroKeters zugrunde gekgt.
B. Bedimentation.
Wir wollen nun zuniichst theoretiech unt,eisuchen, wie die
Brownsche Bewegung des Teilchens durch Anbringung des
Bodens gePndert wird. Die betreffende Betrachtung ist von
M. v. S m o l u c h o w s k i l ) bereits angestellt worden; sie ~ o l l
hier kurz der Vollstiindigkeit halber wiederholt und durch
eine iihnliche Oberlegung ergiinzt werden.
Wir gehen wieder von der Diffusionsgleichung
,
am, zu der aber nun nooh die Zusatzbedingung hinznkommen
mu& daB die gesamte Stromung der Substanz en der Stelle
5 = 0, wo wir uns den Boden angebracht denken wollen, verschwinden muS.
aw
D-+cw=o
fur x = o .
az
Durch Einfiihrung der Funktion (5) kann men die Losung
von (1) wieder reduzieren auf die von (2):
aau
azs
-au
=Dat
wobei sich die Bedingung (IS) verwandelt in
au
c
D a- s+ T u =
Die Lijsnng von (2) unter der Rendbedingung (14) ist
identisch mit der aus der Theorie der Wiirmeleitung bekannten
Liisung der Aufgabe, wie sich die Temperatur i m Innern e k e s
nach einer Richtung unendlich susgedehnten Korpers iindert,
der nach der anderen Richtung dwch die Ebene z = O begrenzt ist, ltings derer er mit der Umgebung von der Tem1
1) M. v. Smoluchowski, Phys. Zeitsohr. 17. p. 668ff. 1916.
Einige Untersuchuqm iiber Bromsche Bewegung usw. 199
peratur Null in Beriihrung steht.
gegeben. Diese LiisUng lautet 1)
Die Anfangsverteilung sei
wo @ (- a) zu bestimmen ist aus der Gleichung
ober die Funktion 0 (a) ist wieder die Voraussetzung zu
machen, die bereits in Teil I, A tausgesprochen wurde.
Es ist deher
z
l
was nach einigen einfachen Umformungen iibergeht in
woraus fiir die gesuchte Wahrscheinlichkeit, daB sich des
Teilchen, das zur Zeit t = 0 von 5 = q, ausging, zur Zeit t
zwischen x und x d x befindet, wenn der Boden bei x = 0
angebracht ist, ergibt eu
+
1) Riemenn-Weber, Pnrtielle Merentislgleichungen der mathematisohen Phyeik, p. Mf, Brenneohweig 1901.
Diese Formel geht f i b groSe t, d. h. wenn die Sedimentation eingetreten ist, in folgende uber:
c5
in der, wie man sieht, die Aussage uber den Ausgangspunkt
des Teilchens natiirlicherweise nicht mehr enthalten ist. GemiiS
den im vorigen Abschnitte erliiuterten Versuchsbedingungen
hat m n auf die Resultate der Beobachtung in unaerem Falle
Formel (16) anzuwenden.
Die Formel ist ubrigens identisch mit der Perrinschen
Hohenverteilungsformel, wenn fiir D der aus dem Gleichverteilungssatz folgende Wert eingesetzt wird. Die Perrinsche
Beobachtungsmethode der Hohenschichtung ist die Obertragung der hier fiir eine Zeitgesamtheit abgeleiteten Formel
auf eine Raumgesamtheit. Die Idee, statt der groBen Teilchenzahl bei P e r r in , die Zeitgesamtheit der Lagen eines Teilchens
zu untersuchen, ist ebenfalls zum ersten Male von Smoluchows kil) ausgesprochen worden, obzwar ich bemerken
mochte, daB ich den Plan der Ausfiihrung dieser Versuche
gefal3t hatte, bevor ich von der erwahnten Abhandlung
Smolucho ws kis Kenntnis erhielt.
Bus Formel (16) ersieht man, daD w sein Maximum hat
fur 5 = 0, d. h. wie zu erwarten, bildet der Boden die wahrscheinlichste Lage des Teilchens wiihrend langer Zeiten. Dagegen erkennt man aus der Formel gleichfalls daB die mittlere
Entfernung des Teilchens vom Boden endlich und von Null
verschieden ausfiillt, und zwar
5 wird von Smoluchowski als ,,Dicke der Sedimentationsschicht" bezeichnet .
Urn nun an unserer Beobachtungsreihe die Ergebnisse
vorstehender Theorie zu priifen, bemerken wir, dal3 die Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltes des Teilchens zwischen den
Ebenen z = q und z = s2 offenbar gleich ist der relativen
Verweilzeit des Teilchens im besagten Intervalle, die man ja
1)
M. v. Smoluchowski, Phys. Zeitschr. 17. p.
591. 1916.
Einige Unhrsuchungen iiber Brownsche Bewegung usw. 201
aus Fig. 3 direkt ablesen h n n , indem man alle Zeiten addiert,
die man erhiilt, indem man die Abszissendifferenz zwischen
Ein- und Austrittsstelle der Kuve in das Intervsll mi&. Um
die Resultate mit Formel (16) zu vergleichen, sohreibe ich
sie in folgender integrierten Form:
= ej
-ce
D
q
to (z1,z2)
-C
=e
- _D*
C
D% - e
2,
Setzen wir z2 = k = 1 fa;, d. h. berechnen wir die
Wahrschehlichkeit eines Aufenthaltes zwischen dem Teilstriche 70 und L f l des Mikrometers und bezeichnen diese
mit %, so erhalten wir
-- ;(k f 1)
(16%)
wk = e
-e
= (1 - zfYOyzfYo.
Bus der folgenden Tab. 9, die in der ersten Spalte die
Intervalle der Okularmikrometerteile, in der meiten die beobachteten relativen Verweilzeiten, in der dritten die aus (16a)
unter Zugrundelegung des gefundenen w, berechneten Werte
von w enthalt, sieht man, da8 im groBen und ganzen zwischen
den beobachteten und berechneten Werten fjbereinstimmung
herrscht, daB also die angewandte Methode der relativen Verweilzeiten auf die Sedimentation gerechtfertigt erscheint .
3
Tabelle 9.
Interval1
wk
(beob.)
Aus Formel (16a) entnehmen wir
- -C
~ ~ - 1 - De
oder
wk
,
-- - log (1 - ta,).
D
Fur unsren Fall ergibt sich
-=
c
0,937.
(ber.)
802
R. Fiirth.
Wir konnen noch auf einem anderen Wege zu dem Werte
von D / c kommen, indem wir nach (17) den durchschnittlichen Aufenthalt des Teilchens zu bestimmen suchen. Zu
diesem Zwecke bestimme ich aus Fig. 3 die Anzahl der Durchgrange der Kurve durch die Geraden mit den Ordinaten 0, 1 , 2 . ..
und habe nun, um die durchschnittliche Ordinate zu finden,
jede der Zahlen 0 , 1 , 2 . . . mit ihrer derart gefundenen Hiiufigkeit zu multiplizieren und durch die gesamte Zahl zu dividieren. Dabei ist zu beachten, daB jede Spitze unserer Kurve
als doppelter Durohgang zu zahlen hat, da er nach der Beobachtungsmethode tatsiichlich einem solchen entspricht.
Dic Ausrechnung ergibt
D
5 = 1,298 = F
-
Fiir die spatere Berechnung nehmen wir aus den beiden
gefundenen Werten das Mittel und setzen
D
f = - = 1,118
in Libgeneinheiten des Okularmikrometers.
Gelingt es nun, aul3erdem noch die Fallgeschwindigkeit
c allein zu ermitteln, so besitzen wir einen Wert, von D, den
man wieder im Vereine mit c zur Ermittelung der Loschmid t schen Zahl benutzen kann, wie es S m o l u c h o w s k i (I
c.)
. vorschliigt .
Den Wert der Fallgeschwindigkeit c kann man nun aber
ermitteln, ohne eigene Versuche an demselben Teilchen dazu
anstellen zu miissen, was mit experimentellen Schwierigkeiten
verbunden wiire, die man so umgehen kann. Wir konnen
niimlich annehmen, daB die reflektierende Wirkung des Bodens
verschwunden ist, wenn sich das Teilchen i n einer von: Boden
geniigend weit entfernten Spitze unserer Kurve in Fig. 3 befindet. Bestimmen wir dann aus der Figur die Zeit, die es
braucht, um zum ersten Male den Boden zu erreichen und
teilen diese Zahl durch die gesamte Fallstrecke, so erhalten
wir das Reziproke der gesuchten Fallgeschwindigkeit, wenn
wir fur eine groBere Anzahl von Spitzen die Berechnung durchfiihren und aus den gefundenen Werten das Mittel nehmen.
Zur Berechnung herangezogen wurden die am weitesten vom
Boden mtfernten Spitzen z = 4 und z = 3, aus denen sich
Einige Unfersuchungeniiiber Brownsche Bewegung usw. 203
im Mittel fiir die Fallzeit uber einen Teilstrich ergibt 3 = 5,24
oder
c = - - - 0,1905.
z
Urn nun zum Werte fiir die Loschmidtsche Zahl zu
gelangen, brauche ich bloB Forniel (12) anzuwenden, die durch
Einfiihrung von 5 an Stelle von D / c die Form annimmt:
i n der die Buchstaben die friiher erklarte Bedeutung haben.
Zur Berechnung haben wir nun zu setzen:
R = 8,s15~107, T = 293, 9 = 981, a- a, = 0,194, t = 0,0102,
5 = 1,118.1135.10-4, c = 0,1905.1,135*10-4.
Durch Einsetzen i n Formel (12a) ergibt sich
N =6 4 ~ 1 0 ~ ~ .
was mit den tbuf anderem Wege erhiiltlichen Werten in bester
abereinstimmung steht.
Was die Methode anlangt, mochte ich noch bemerken, daS
sie, wie bereits S m o l u c h o w s k i erwahnt, einen wesentlichen
Fortschritt gegenuber der Perrinschen bedeutet, der gegenuber sie sich durch bedeutend groBere Einfachheit suszeichnet.
Mir scheint aber der von mir benutzte Weg des Markierens der
Passagen durch die Teils triche eines fes ten Mikrometers gegenuber der von S m o l u c h o w s k i vorgeschlagenen Methode der
Aufzeichnung der Lage des Teilchens i n iiquidistanten Zeitpunkten einen Vorteil zu besitzen, da sie erstens experimentell
vie1 einfacher zu realisieren ist und zweitens die aufgenommene
Reihe direkt gleichzeitig auch den Wert der Fallgeschwindigkeit liefert, ohne daB man dazu eigene Versuche an demselben Teilchen enstellen m u t e , was wieder eine experimentelle
Erleichterung bedeute t.
Die bis jetzt angestellten Betrachtungen illustrieren den
sich nach geniigend langer Zeit bei einer groBen Anzehl von
Teilchen einstellenden statistischen Gleichgewichtsznstand und
zeigen, daB man ihn auch durch Beobachtung einer Zeitgesamtheit an einem Einzelteilchen darstellen kann. Da dieser
Gleichgewichtszustand das Maximum der Entropie darstellt,
demonstrieren also die mit der Theorie ubereinstimmenden
Versuchsergebnisse die ,,Irreversibilitat".
?204
R. Fiirtlt.
Gerade die Beobachtung des Einzelteilchens gibt nun
aber auch die Moglichkeit, die im Gegensatze zum 2. Hauptsatze stehende prinzipielle Reversibilitiit im Laufe der Zeit
vor Augen zu fiihren. Wie man BUS der Kurve 3 ersieht, ist
der Boden allerdings als Aufenthalt extremer Wahrscheinlichkeit ausgezeichnet, doch werden von dem Teilchen entgegen dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik innerhalb geniigend langer Zeit tatsiichlich auch Punkte in groBerer Entfernung vom Boden erreicht, wobei sich das Teilchen entgegen
der Schwere bewegen mu% und daher auf Kosten der inneren
Energie des umgebenden Mediums Arbeit leistet. Da die
Entropie des Systems in diesem Falle einfach eine monotone
Funktion des Bodenabstandes ist, kann man qualitativ die
Kurve direkt als Entropiekurve auffassen, wodurch auf eine
in die Augen springende Weise die Auffassung der Entropie
im Bol tzmannschen Sinne als Zustandswahrscheinlichkeit
plausibel wird. Die Kurve hat ganz den Charakter der vielumstrittenen Boltzmannschen H-Kurve, eine Kurve, von
der Bol t z m a n n bekanntlich die scheinbar paradoxe Behauptung aufstellte, daB sie uberall ein Maximum besitzen miiBte.
Nun sieht man tatsiichlich, daB die Kurve uberall, wo sie sich
etwas weiter von der Ruhelage entfernt, fast sofort wieder
nach abwlirts geht. Indem man berucksichtigt, daB ja nur die
eingetragenen Punkte tatsachlich beobachtet sind, und daB
der Charakter der Kurve in den Zwischenpunkten gar nicht
bekannt ist, hindert nichts, dieselbe Struktur, wie sie an der
ganaen Kurve sichtbar ist, auch an jedeni mischen zwei Beobachtungspunkten befindlichen Kurvenstuck in iihnlicher
Weise ausgefiihrt zu denken. Vom mathematischen Standpunkte hat die auf diese Weise beliebig weit gefiihrte Verfeinerung keine Schwierigkeit und es realisiert dann tatsachlich
Unsere Kurve das, was sich B o l t z m a n n unter seiner H-Kurve
vorstellt. Vom physikalischen Standpunkte scheint es allerdings, als o b man bei genugender Verfeinerung schliefllich
doch zu einer differenzierbaren Kurve gelangen miiBte, wenn
die Vorstellung der kinetischen Theorie ihren Sinn behalten
soll. Doch spielt das fur die Illustration durch unseren Fall
keine Rolle, wie ja die Behauptung B o l t z man n s auch nicht
in dem streng mathematischen Sinne aufzufassen ist.
Urn die Erscheinung der Reversibilitat an den Beobachtungen am Einzelteilchen auch theoretisch zu verfolgen, wollen
Einige ~ntersu~hunge~
uber Bromsche Bewegung usw. 205
wir uns die Aufgabe stellen, die Zeit zu bestimmen, die das
Teilchen im Mittel braucht, um von dem willkiirlich gewtihlten
Ausgangspunkt q, nach aufwiirts zum ersten Male bis zum
Punkte z = 1 zu gelangen. Die Rechnung soll auf lihnlichem
Prinzip, wie in den vorausgehenden Fiillen, durch Aufsuchung
des den Rand bedingungen angepaBten Quellenintegrals der
Diffusionsgleichung gelost werden.
Es handelt sich also urn Losung der Gleichung (2) unter
der Randbedingung (14); zu dieser kommt nun aber noch
die Bedingung hinzu, daB das Teilchen zur Zeit t zum ersten
Male mum Punkte t gebngt sein soll. Er mu13 also fiir z = I
u = 0 sein. Es gelten also die Randbedingungen:
(
B -aa+ux - - ~2 = o ,
fiirx=~
), x - 1
,, t = O
u=o,
u =@(a).
Die Losung ergibt sich analog dem Problem aus der
Theorie der Warmeleitung, wenn eine Platte, in der die Temperaturverteilung zur Zeit Null gegeben ist, an beiden Begrenzungsebenen gegen den umgebendsn Raum Warme ausstrahlt. Dieser Fall ist von Kirchhoffl) ausfiihrlich behandelt
worden, an, dessen Ausfiihrungen ich mich hier anlehne.
Ich setze zunachst
u=e
-dDt
C08ax
c
-2Ua
wo a eine noch zu bestimmende willkiirliche Konstante bedeutet. Dieser Ansatz genugt der Differentialgleichung (2)
und der ersten Randbedingung. Damit auch die zweite befriedigt werde, mu6 sein
e
-3Dt
oder
c
(cos a1 - masin
al) = o ,
cos a I = 2 D a sin a 1 .
Bezeichnen wir die Wurzeln der transzendenten Gleichung
(19) mit a,, so lautet die allgcmeine L6sung
(20)
u=
2Ane
-a2Dt
c
cos anx - sin anx ) ,
2Da,
n=l
1) G. Kirchhoff, Vorlesungen tiber die Theorie der Wiirme.
p. 30. Leipzig 1894.
R. Fun%.
206
wo die A, so zu bestimmen sind, da13 auch noch die Anfnngsbedingung befriedigt wird.
@(z) = ~ d , ( e o s a c , z- 2 D u , sin anz) =
2A, x,,.
Wenn wir zur Abkurzung setzen
x, = COB anx - 2
-sin anx .
2 Dan
Es handelt sich nun darum, die Koeffizienten A,, zu bestimmen. Man geht hier analog vor, wie bei der Entwicklung
einer Funktion i n eine Fouriersche Reihe. Man uberzeugt
sich leicht von folgenden Identitaten:
fXnXmdz=O
iiir
m+n
n
daher ist
woraus man bei gegebenem @ die A,, bestimmen kann.
Durch Einsetzung in (20) erhllt man unter Beiiicksichtigung unserer Voraussetzungen iiber 0 (x)
u = 2 2
n=l
-
-
2Da,cosa,x
c8ina.x
( ~ ~ C ~ , , C O S ~ ZcsintZ,z,)
~ Z ~
(4D3a,,4+cs)1-2Dc
-
worms sich das gesuchte w durch Einsetzung in
ergibt.
Analog wie bei den Betrachtungen uber die Erstpassagezeiten im I. Teil dieser Arbeit erhalten wir daraus endlich die gesuchte Wahrscheinliclikeit (unter Berucksichtigung von [19]):
Eiwige Untersuchungen iiber Brownsche Bewegung usw. 907
Durch Ausrechnung kann man sich in der Tat iiberzeugen,
m
K
daB
( t ) d t = 1 erfiillt ist.
0
Der gesuchte Mittelwert der Zeit also, die das Teilchen
braucht, nm vom Ausgangspunkte zo entgegen der Schwere
bis zum Punkte z = I zu gelangen, ist daher gleich
f=
i
320'
K(t)dt=-c
7a, c o~a. 1(2Da~coaa,~,,-csina,z,) .
m
-&('-%)
(4Daams
+c')[(4Dpanp+a')l-
2 x 1
n=l
0
Die Formel 1aBt sich wesentlich vereinfachen, wenn man
eine Funktion so finden kann, daS ihre Entwicklung nach
den GroBen X,, gerade die obenstehende Gestalt hat. Die
etwas urnstiindliche Rechnung ubergehe ich und schreibe
gleich das Resultat an, von dem man sich nachtraglich iiberzeugen kann, daB es mit der oberen Formel identisch ist:
Wir wollen die Formel in etwas anderer Gestalt schreiben,
indem wir 1 = x,, b setzen, d. h. wir fragen nach der Mittelzeit, die das Teilchen braucht, um sich vom Punkte zo zum
ersten Male um die Strecke b nach aufwarts zu bewegen.
+
c b
Durch Entwicklung von e D nach Potenzen des Exponenten leitet man fiir den Grenzfall c = 0 die Formel ab-
Diese Formel geht fiir x = 0 in die fiir die mittlere
doppelseitige Ers tpassagezeit iiber, was man von vornherein
allein vermoge des Spiegelungsprinzips hlitte vorauesagen
konnen, wiihrend fiir groSe Werte von x,, auch 3, sehr groB
208
R. Fiirth.
wird, wie es die Formel fiir die mittlere ehseitige Erstpassageaeit verlangt, denn in diese muB ja (25b) bei geniigender Ehtfernung vom Boden jedenfalls ubergehen.
Formel (25b) speziell kann man natiirlich auch auf einfacherem Wege erhalten, wenn man gleich zu Anfang der
Rechnung c = 0 einfiibrt.
Formel (23a) liiBt sich an den Versuohsergebnissen unmittelbar verifizieren, indem man aus Fig. 3 die Zeiten bestimmt, die zwischen der Passage der Kurve durch einen Teilstrich k bis zu der durch den Teilstrich k 1 verlaufen, und
aus ihnen das Mittel nimmt. Tab. 10 enthiilt fiir verschiedene
3c die beobachteten und die aus Formel (23a) berechneten
Werte von 2 nebeneinander. Man sieht, daB mit Ausnahme
von ib = 2 die Ubereinstimmung recht befriedigend ist, daB
daher die angewandte Uberlegung auf diesen Fall zulassig
erscheint.
+
Damit wollen wir nun die Betrachtungen iiber die Sedimentation abschlieBen und uns den eingangs erwiihnten iiber
die Erscheinungen der Schwankungen zuwenden.
c. Schw&nkungserscheinungen.
Hat man eine groBe Anzahl iihnlicher Substanzteilchen,
die dem EinfluB der Bro wnschen Bewegung unterworfen sind,
so kann man"makroskopisch, wie bereits ausfiihrlich erortert,
die Veriinderungen ihrer Konzentration als Funktion von Ort
und Zeit erhalten durch Losung der (makroskopischen)
Diffusionsgleichung. Die Ubertragung auf die Bewegung eines
Einzelteilchens hat uns gelehrt, daB die innerhalb langer
Zeitriiume von einem solchen Teilchen dargestellte Zeitgesamtheit sich analog verhiilt. Gleichzeitig sehen wir aber, daB
innerhalb kurzer Zeitstrecken die Sache gerade umgekehrt
ist; die Bewegung des Teilchens IaBt sich dann mittels der
makroskopischen Uberlegungen nicht mehr verfolgen, der Vorgang wird vollstiindig ungeordnet.
E’inige Untersuchungen iiber Brownsche Bewegung usw. 209
Die Theorie der Konzentrationsschwankungen, wie sie
von Smoluchows ki und anderenl) aufgestellt wurde, hat
gezeigt, wie man noch diese scheinbar regellosen Schwankungen
einem statistischen Gesetze unterordnen kann und fiir die
GroSe und Geschwindigkeit dieser Schwankungen Formeln
aufgestellt. Diese Formeln fur die Konzentrationsschwankungen
in einer Emulsion sind aber natiirlich weit allgemeinerer Natur
und lassen sich jedenfalls suf jede Reihe von ZahlengroBen
anwenden, wenn dieselben so beschaffen sind, daB man sie
als statistische Abweichungen einer Durchschnittsgrolje auffassen kann.
Die Brownsche Bewegung an einem Einzelteilchen, wie
sie im ersten Teil dieser Arbeit dargestellt wurde, ist nicht
von dieser Art; denn die Verschiebungen des Teilchens aus
seiner Anfangslage sind nicht statistische Abweichungen von
einer Durchschnittslage, da jeder Teilchenlage gleiche Wahrscheinlichkeit zukommt. Wohl aber lassen sich auf die Beobachtungeii des 11. Teiles uber die Bewegung in der Nahe
des GefiilSbodens diese Formeln anwenden, da wir ja gesehen
haben, daB tatsiichlich die Entfernung des Teilchens voni
Boden einen Durchschnittswert besitzt, und daB sich die Entfernung im allgemeinen jedenfalls als statistische Abweichung
von diesem Durchschnittswert darstellen IaBt.
Man kann daher versuchen, die Formeln fur die Konzentrationsschwankungen auf diese Erscheinungen zu ubertragen, indem man statt der durchschnittlichen Teilchenzahl
pro Volumeinheit die durchschnittliche, und statt der beobachteten Teilchenzahl die beobachtete Entfernung vom
Boden eiriffiihrt, gemessen in Teilstrichen des Okularmikrometers. Wenn die Ubereinstimmung auch nicht immer quantitativ streng ist, so ist jedenfalls die qualitative Zulassigkeit
dieser Ubertragung aus dem folgenden ersichtlich.
Fur die relative Haufigkeit einer bestimmten Abweichung
von der Durchschnittslage ergibt sich bei der erwahnten obertragung folgende Formel :
e-”r*
w(n) = 121
’
1) M. v. Smoluchowski, Phys. Zeitschr. 17. p. 660ff. 1916; siehe
daselbst auch ausfiihrliche Literaturangaben.
Annalen der Physik IV. Folge. 53.
14
R. Furtk.
210
worin n die beobachtete, v die durohschnittliche Bodendistanz
bedeutet. Fiir v hatten wir i m vorigen Kapitel gefunden:
v = 1,298.
Unter Zugrundelegung dieses Wertes ergibt sich fur n = 1, 2 . . .
Formel (24), die Werte k(ber.), wahrend die aus Fig. 3 entnommenen Haufigkeiten, die zur Berechnung von Y bereits
herangezogen wurden, die Werte k (beob.) der folgenden Tab. 11
liefern.
T a b e l l e 11.
IZ
1
k(beob.)
k (ber.)
______
1
2
3
j
5
c
'1
40
66
34
20
4 i
42
56
36
15
6
1
11
i
Bezeichnet man dasjenige, was der ,,Verdichtung" bei
Konzentrationsschwankungen entspricht, mit
12 - Y
6=---
v
'
so rrhalt man nach S m o l u c h o w s k i (1. c.) folgende Formel
fur diejenige GroBe, die man auch nach der Ubertragung als
,,mittlere Schwankung" bezeichnen wird :
wiihrend 6 selbstverstandlich gleich Null sein muB. Berechnet
man aus den Angaben der Tab. 11 die Werte d2 und die ihnen
zukommenden relativen Haufigkeiten und bildet so die GroBe
82, so ergibt sich
VSZ = 1/0,682 = 0,826,
wahrend mit Benutzung des friiher gefundenen Wertes v folgt :
1
v~
= 0,877.
Die Formeln fur die ,,SchwankungsgroBe" bleiben also
auoh auf diese Obertragung anwendbar.
Wir wollen nun auch noch die Resultate betreffend die
,,Schwankungsgeschwindigkeit" auf unseren Fall anwenden.
Die betreffenden Fornieln lauten so :
Einige Untersuchultgen iiber Browltsche Bewegung usw. 211
Bezeichnet man mit d , d i e in der Zeit t eintretende durchschnittliche h d e r u n g der Teilchensahl des Kolloids bei der
Ausgangssahl lt, so ist
A , = (v - % ) P ,
(26)
wo P eine vom speziellen Mechanismus der Emulsion abhiingige Funktion ist. 1st ferner 3das allgemeine hderungsquadrat bei beliebiger Ausgangssahl, so gilt
__
(27)
A2=2vP.
Man kann d,als die hderungsgeschwindigkeit auffassen,
und als solche habe ich sie auf folgende Weise auf den hier
behandelten Fall ubertragen.
Von einer bestimmten Hohe 12 ausgehend, bestimme ich
ausJ-Fig. 3 die Zeiten, die notwendig sind, damit sich das
Teilchen mm Nachbarteilstriche bewegt, wobei ich diese positiv
rechne, wenn das Teilchen sich gegen die Durchschnittshohe
bin bewegt hat, negativ dagegen, wenn es sich 8012 dieser
mtfemt hat. Macht man ferner die vereinfachende Annahme,
daJ.3 sich das Teilchen in der Zwischenzeit geradlinig und
gleichformig bewegtl), so stellen die reziproken Werte dieser
Zeiten die bderungsgeschwindigkeiten, also die GroiSen A,,
dar, und ihr Mittelwert das gesuchte d,. Auf iihnliche Weise
erhtilt man die Werte von 3.
Die Berechnung ergab folgende Werte :
-A8
3 - v
- 0,275,
*
2-r
= 0,201,
= 0,277,
0--v
die nach Formel (26) konstant gleich P sein sollten; die
Forderung ist anniihernd erfullt und ergibt als Mittelwert
fur P den Betrag
P = 0,251.
Die Berechnung von
z2ergibt
-
4 2 = 0,582,
wiihrend sich mit Benutzung des oben angefiihrten Wertes
von P und Y ergibt:
2 P v = 0,561.
1) Diese hnehme, die naturlich sicher unrichtig ist, mu13 man
nicht machen, wenn man die auf diese Weise erhsltenen Werte der A,,
als mittlere Werte der hdemgsgeschwindigkeit im erwiihnten Intervelle
ansieht.
14*
21 2
R. Fiirtk.
Es liefert also ersichtlicherweise auch Formel (27) annahernd das richtige Resultat.
Zuin Schlusse wollen wir noch den von S m o l u c h o w s k i
eingefdu ten Begriff der Wiederkehrzeit auf unseren Fa11 iibertragen. Unter der Wiederkehrzeit 0 versteht er die im Mittel
notwendige Zeit, damit das betrachtete System einen zur Zeit
Null innegehabten Zustand, der vom normalen abweicht, zum
ersten Male wieder annimmt. Dabei mull man beachten, o b
die Beo bachtung intermittierend (in gleichen Intervallen etwa)
oder kontinuierlich vorgenommen wird. Fur unseren Fall
haben wir die Formel fiir kontinuierliche Beobachtung anzuwenden ; sie lautet folgendermal3en:
wo K eine vom speziellen Mechanismus abhangige Konstante ist.
Die Berechnung wurde so vorgenomnien, daB fiir eine Anzahl von Werten n, die Wiederkehrzeiten @,
die sich aus
Fig. 3 ja direkt ablesen lassen, bestimmt wurden und aus
ihnen fiir jedes n das Mittel genommen wurde. Diese Mittelwerte sind in Tab. 12 als 0,(beob.) eingetragen. Unter Zugrundelegung dieser Werte berechnete ich nun die Ausclrucke :
e - " vn
die nach Formel (18) konstant sein sollen. Jeder dieser Ausdriicke wurde nun als Gewicht mit der ihm zukommenden
Haufigkeitszahl (Formel 24) multipliziert und alle diese Wert
addiert. Die Summe gibt dann den wahrscheinlichsten Wert
von K , der sich zu K = 8,69 ergab.
Mit diesem Werte fur K wurden nun aus Formel (28) die
Werte 0,(ber.) der Tab. 12 ausgerechnet. Man sieht auch hier
wieder, wie bei den vorangehenden Beispielen, dal3 die Ubertragung der Formeln auf den hier behandelten Fall zu durchaus
befriedigenden abereinstimmungtn fuhrt.
Einige Untersuchungen iiber Brownsche Bewegung usw.
21 3
Mit diesen Betrachtungen, die sich wohl noch ausdehnen
lieBen, will ich meine Arbeit vorlaufig abschlieBen ;die in ihrem
Verlaufe erwahnten ungeklarten Ergebnisse bilden den Gegenstand fortgesetzter Untersuchungen und sollen erst nach deren
endgiiltigem Abschlusse veroffentlicht werden.
P r a g , im Juni 1917.
(Eingegangen 7 . Juli 1917.)
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