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Einige Untersuchungen ber eine gnstige Gestalt des Wagebalkens.

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939
5. m 4 g e Umtersuchungen
u b e r &me gurzstige Gestalt des Wagebathems;
von R a g m a r S t r b m b e r g .
(Mitteilungenaus dem Physikalischen Institut der Universitiit Stockholm.)
A. Allgemeinee.
Unter den verschiedenartigen Gesta!ten der Wagebnlken,
die man vorgeschlagen hat, und die in Gebrauch gekommen
sind, hat sich die rhombische Form des Balkens wohl am besten
bewahrt, und kommt von altersher am haufigsten vor. Schon
bei den alten Agyptern finden sich Abbildungen dieser Wageform.
Diese Gestalt des Balkens ist jedoch im eingehenden
Werke von W. F e l g e n t r a g e r nur wenig berucksichtigt
w0rden.l) Bei der Konstruktion einer neuen Mikrowage hat
auch H. P e t t e r s s o n von einem snlchen Balken Gebrauch
gemacht.2) Aber keine eingehenden Untersuchungen iiher die
geeignetste Form dieses Balkens sind, soweit mir bekannt ist,
ausgefuhrt worden.
Da ich bei meiner Ankunft an dem hiesigen Institut mit
cler Petterssonschen Wage zu arbeiten und dabei etwaige
Verbesserungen damn auszufuhren beabsichtigte, wurde mir
vom Direktor des Instituts, Hrn. Prof. C. B e n e d i c k s , vorgeschlagen, einige Untersuchungen uber die Gestalt des
Ralkens anzustellen.
Es galt bei diesen Untersuchungen zu bestimmen, welche
die giinstigste Gestalt eines obenerwahnten Balkens ware,
d. h. zu untersuchen, weloher EinfluB auf die Stabilitat des
Balkens dem Verhaltnis zwischen der Hohe und den Seiten
tles Rhombus zukommt, mit anderen Worten, es sollte festgestellt werden, welcher Winkel zwischen den Rhombenseiten
dats beste Resultat @be.
1) W. Felgentriiger, Theorie, Konstruktion und Gebrauch der
feineren Hebelwage. p. 51.
2) H. Pettersson, A new microbalance and its use.
940
Ragnar Stromberg.
Die Gesichtspunkt,e, woyon ich Lei dieser Bestimmung
ansging, w-areri folgende :
1 . Der Balken soll groBe Stabilitiit haben, uni bci cler
hnbrinuung der Last moglichst geringe Gestaltsanderungeii
P
zu erleiden.
2. Er soll moglichst geringe MaBe besitzen, urn clir
Enipfincllichkeit zu erhbhen.
3. Er soll ein kleines Tragheitsmonient und dainit auch
eine kurze Schwingungsdauer haben.
Von vornherein kann man durch rein theoretische Eiwagungen zu gewissen Schliissen &ommen betreffs der hier
anfgestellten Anforderungen.
Aus einer Zusamnienstellung einerseits von den in l.,
sndererseits von den in 2. uncl 3. aufgestellten Anforderungrn
geht hervor, da13 es eine Gestalt, des Balkens geben mul3. die
diwe Anforderungen in griil3tmiiglicheni Ma13 erfiillt und diese
Eipenschaften vereint.
Urn die giinstigste Gestalt des Balkens zu finden, stellte
ich nun folgende Untersuchungen an.
Ich verfertigte eine Anzahl Balken von dem allgemeinen
Typus, der in Fig. 1 dargestellt ist. Der Balken besteht a m
einem Rhombus, der niit
einer senkrechten Diagona,le versehen ist.
Die
LBnge
der
versehiedenen
3
E
Balken, d. h. der Abstand zwischen den Winkelspitzen A und B (Fig. 1)
Fig. 1.
war konstant , dagegen
wurde der W-inkel v zwischen den Rhombenseiten verandert.
Der ganze Balken wurde aus ausgegliihtem Messingdraht
mit quadratischem Querschnitt von 1 qmm gemach‘t. Der
Dra.ht wurde zu der gewiinschten Form gebogen, und dann
mittels Silberlotes bei dem einen Ende der Diagonale zusammengelote t. Die Diagonale dagegen war mit gewohnlichem Zinnlot festgesetzt und dies war auch mit den Enden
der Balken der Fall, die in der Weise zusammengebogen waren,
wie aus Fig. 1 (E) hervorgeht.
Inmitten der Diagonale war bei C.ein Querdraht angebracht, der zu zwei Haken geforint war, an welche die Last
Bitiige Untersuchngen Ub. eine giinst. Gestalt (1. Wagebalkens. 941
aufgehangt wurde. Bei C war aucli ein kleiner Zapfen D festgesetzt, woran diejenige Vorrichtung gestutzt wurde, mit
welcher ich die Durchbiegung besthniiite.
B. Bestimmung dee Triigheitemomentee und der Sohwingungsdauer der versohiedenen Balken.
Zuerst wurden das Tragheitsnioment und die Schwingungsdauer der Balken bestimmt, und zwar in der folgenden Weise.
In einem kleinen, Ianglichen Glaskasten war ein vertiliales
Glasrohr in dein Deckel angebracht. Am oberen Ende rlieses
Rohres befand sich ein Torsionskopf, an dem ein doppelter
Kokonfaden aufgehangt wurde. An dessen unterem Ende
wurde ein noch kleinerer Haken iron der Form, welohe
Fig. 2 zeigt, angebraoht. In dies kleine Hakchen kam
derjenige des Querdrahtes. Der Querdraht wurde dann
einjustiert, so da13 der Rhombus eine wagerechte
Stellung einnahm. Auf diese Weise wurde eine bifilare Fig. 2.
Aufhangung mit konstantem Abstand zwischen den Aufhangungsdrahten bei den verschiedenen Versuchen beairkt.
Eei TToruntersnchungen hatte es sich herausgestellt, da13 der
-4bstand zwischen den Drtihten von einem Versuche zu dem
anderen variierte, wenn die Rslken direkt in den bifilaren
Draht aufgehangt wurden.
Der L4ufhangungsdraht war clerselbe wahrend der ganzen
Versuchsreiho.
Zuerst wurde die Schwingungsdauer fur die verschiedenen
Formen der Balken hestinimt, und daraus wurde das Tragheitsmoment in folgender Weise abgeleitet.
Bezeichnen wir mit
T die Dauer einer Doppelschwingung ;
J das Tragheitsmoment ;
C das Direktionsmoment bei Bifilaraufhangung ;
1 die Lange des Aufhangungsdrahtes ;
a den Abstand zwischen den Drahten;
a den Ausschlagswinkel;
P das Gewicht des Balkens;
M die MaBe desselben,
PO rrhalten wir
$
Ragnar Stromberg.
942
Also
Als Ausdruck fiir C haben wir
( 3)
C=
P a a sin (t
1
Durch Einsetzen in (2) erhalten wir
Bei den Versuchen wurde die Schwingungsdauer fur
Schmingungen von gleicher Aniplitude gemessen. Weiter
war der Abstand a zwischen den Drahten konstant und auch
die Liinge der Driihte bei den verschiedenen Versuchen dieselbe. Daher wird das Produkt
aa sin CL
,
1
konstant.
Bezeichnen wir diesen Ausdruck niit I<, bekommen wir
:ils Ausdruck fur das Tragheitsmoment
(5)
Aus (5) konnen wir die Schwingungsdauer t fur den Fa,ll
berechnen, daB wir ein bestinimtes Direktionsmonient C , auf
den Balken einwirken lassen. Wir erhalten niimlich
Setzen wir
erhalten wir
(7)
T
= Kl
TIP.
I n der Tab. I sind die Schm-ingungsdauer, das Gewicht,
das Tragheitsmoment und die aus diesen GroBen berechnete
Schwingungsdauer bei gleicheni Direktionsmoment aufgefuhrt.
Einige Untersuchurigeniib. eine giinst. Gestalt d. Wagebalkens. 943
T a b e l l e I.
Num- Winkel
Zeit fa
in0 5 h h * g ~ mer
in Sek.
Mittel
der Balken
sceg.1
llK
l/KlxSchwinl"riigheits-~~$$~~~
moment tionsmoment
GefunDauer
8
176,O
175,5
177.6
180,l
184.7
189,9
198.7
211,7
1
140
r
59,54
62,38
64,81
72,23
80.71
90;83
107,95
129,lO
1,019
1,999
2,028
2,108
2.335
I 1
2,843
.
48,49
49,62
50,68
53,40
56,46
59,ss
65,29
71,39
Trilgheitsmoment
Zeit
'
501
'
0
35,oo
35,lO
35,62
36,02
36,94
37,98
39,74
42,34
'
'
20'
10'
40'
30'
1
SO'
'
60'
'
'
'
70° 80' 90'
Fig. 3.
Schwingungsdeuer
bei gleichem Direktionsmoment
80 ~ Z e i t
75
-
70 -
60
-
45
-
65
40
Winkel der Balkenseiten
I
0'
10'
I
20'
I
I
I
30' 40' 50' 60'
Fig. 4.
I
I
70' 80''
'
90'
~
Bagnar Stromberg.
944
Zu der Tab. I' gehoren die in Figg. 3 und 4 aufgetragenen
graphischen Dars tellungen.
Aus Fig. 3 geht hervor; dal3 das Tragheitsmoment anfangs langsam, aber bei groiaeren Winlceln schneller wachst.
Das ist ja auch mit der Schwingungsdauer der Fall, m-ie
aus Fig. 4 ersichtlich ist.
C. Bestimmung
der Durohbiegung der Balken.
Weiter wurden Bestimmungen der Dmchbiegung der
Balken unternom, 'en. Dabei verfuhr ich in der folgenden
Weise
In ein parallelepipedisches Holzstuck wurden zwei ein
wenig abgerundete Metsllschneiclen befestigt. Auf die Schneiden
placierte ich den Balken, wie Fig. 5 auswrist,. Die Belastung
fancl an dem Querdraht statt.
.
Fig. 5.
Um die bei den1 Anbringen der Last auftretende Durchbiegung zu beobachten, machte ich von einer empfindlichen
mit Spiegeln versehenen Hebelanordnung Gebrauch. Das
Aussehen derselben geht aus Fig. 6 hervor. Hervorgehoben
Spiegel
Fig. 6.
sei nur, dal3 eines der vertikalen Stabchen a mit einem wagerechten Vorsprung versehen war, welcher auf den friiher besprochenen Zapfen der Mittelstrebe gelegt wurde. Parallel
mit dem Balken wnrde dann ein gerader viereckiger Draht
angebracht, auf welchem das andere StBbchen ruhte, und $war
Einige Untersuchungen iib. eine gunst. Gestalt d. Wagebalkens. 945
so, daB die beiden Spiegel der Hebel ungefahr dieselbe Stellung
hatten, was mittels eines Fernrohres und einer Skala zu beobachten war.
Mittels dieser Anordnung m r d e n die storenden Deformationen der Unterlage usw. in recht befriedigender Weise
eliminiert.
Wenn die Belastung zukam, wurde also die Differenz der
Ausschliige direkt abgelesen.
Weiter nahm ich mit Hilfe einer Mikrometerschraube eine
Bestimmung der Skalenteile in absolutem MaB vor.
In der Tab. I1 sind die bei den Versuchen erhaltenen
Dnten aufgefiihrt. Die Dixrchbiegung ist hier in Skalenteilen
ausgedruckt
.
Der Ausschlag ist der Belastung proportional und aus
den Beobechtungen ist die Durchbiegung fiir 100 g bereohnet.
In der Tab. I11 ist die Durohbiegung in Millimetern
fiir 100 g und die Stabilitiit = Durohbiegung aufgefuhrt.
Tabelle 111.
946
Rccg.rtar Strornberg.
In Fig. 7 wird eine graphische Darstellung der Stabilitiit
gegeben. Daraus geht sehr deutlich hervor, dal3 die StabiIitiit
mit dem Winkel der Balkenseiten in betriiehtliehem Ma13
wiichst. Weiter ist ersichtlich, da13 die Stabilitiit bei einem
Winkel von ungefahr
600ein recht ausgepriigtes Maximum besitzt.
Aus diesen Untersuehungen kann man
also folgern, da8 die
gunstigste Gestalt des
rhombischenBalkertsdiejenige ist, wo der Winkel
der Balkenseiten 60 O betrligf. In diesem Falle
errcicht namlich die
Stabilitiit des Balkens
ihr
Maximum, und daFig. 7.
bei sind noch die MaBe
und das Tragheitsmoment verhiiltnismiiBig gering.
Es sei hier hervorgehoben, da13 bei dioser Gestalt des
Balkens die Durchbiegung bei einer Belastung von 100 g nicht
mehr als 0,00220 mm betriigt, trotzdem daB der Balken nur
2,s g wiegt.
Diese Gestalt des Balkens ist daher sehr zu empfehlen,
besonders bei feineren halysenmagen. D a m konnen niimlich die Balken vie1 leichter gemacht werden, als es jetzt gebriiuchlich ist.
D. Untereuchungen uber den EinfLuB der Mittelstrebe
auf die Steifheit des Balkene.
Bei den vorigen Untersuchungen hatta es sich herausgestellt, daB die giinstigste Form des Wagebalkens diejenige
ist, wo die Soiten des Rhombus einen Winkel von 60° ein8chlieBen. Die niiehste Aufgabe war, zu bestimmen, welchen
EinfluB der Quersehnitt der Mittelstrebe a d die Steifhoit des
Balkens haben wiirde.
Die Prinzipien, worauf ich die Untersuchungen griindete,
waren folgende: Bei der Relastung wird der Balken sich deformieren. Die -4rmliingen leiden hierdureh eine Verilnderung,
yelehe dadurch festzustellen ist, da13 das Verhaltnis der Wage-
Einige Untersuchungeniib. eine giinst. Gestalt d. Wagebalkens. 947
arme bei verschiedenen Belastungen sich allmalilich verandert,
und diese Veranderungen konnen auf die ubliche Weise beobachtet werden. Und zwar wird dies Verhiiltnis fiir dieselben
Belastungen ein verschiedenes, je nachdem der miagebalken
eine wagerechte Stellung hat oder einen Winkel mit der Wagerechten bilde t.
Bei horizontaler Lxge des Balkens kann die verachiedene
Starke der senkrechten Mittelstrebe keinen besonderen EinfluB
auf das Verhiiltnis der Wagearme ausuben.
Ganz anders verhalt sich aber die Sache, wie leicht ersichtlich ist, wenn der Wagebalken einen Winkel mit, der Wagerechten hildet .
Aus ausgegliihtem Mersingdraht mit 1 qmm quadratischem
Querschnitt wurden zwei Wagebalken von derselben Form
und GroBe verfertigt, und m a r so, daB die Seiten des Rhombus
einen Winkel von 60° miteinander bildeten. l3ei einem der
Balken war der senkrechte Diagonalstab von demselben Querschnitt wie derjenige der Rhombenseiten, bei dem anderen
zweimal grol3er. Dies wurde in der Weise bawirkt, daB zwei
Stiicke von den1 obenerwahnten Messingdraht aneinander gelbtet wurden.
Die streng definierte Aufhangung des Balkens sowohl als
auch diejenige der Wagschalen wurde mittels diinner gewalzter
Me tallstreifen erreicht.
Die Beobachtungen wurden mit geeigneter objektiver
Spiegelablesung ausgefiihrt.
Das Verhaltnis der Hebelarme des Wagebalkens wnrde
dnrch die Gausssche Methode der Doppelwagung ermittelt.
Die Langen der Hebclarme seien L, und Lt und die Gewichte auf den verschiedenen Seiten bei den zwei Wagungen G,.
und GI bzw. Dann erhalten wir. das Verhiiltnis der Armlangen:
I n der Tab. I V sind die erhaltenen Daten aufgefuhrt.
Die Folgerungen, die man aus diesen Beobachtungen ziehen
kann, sind folgende :
Bei wagerechter Stellung 'des Watgebalkens sind die Veranderungen, welche die Wagearme fiir eine geqebene Belastung
leiden, bei den beiden Wagebalken dieselben, unabhangig von
dem groBeren oder kleineren Durchschnitt der Mittelstrebe.
948 R. Stromberg. Einige Untersuchungen uber den Wagebalken.
T a b e l l e IV.
Bei schriiger Stellung des Balkens sind die Veriinderungen
des Verhaltnisses der Wagearme fiir eine bestimmte Belastung
vie1 groBer in dernjenigen Falle, wo die Mittelstrebe denselben
Querschnitt, wie die Balkenseiten besitzt, als in dem Falle,
wo der Querschnitt der Mittelstrebe zweimal groBer ist.
Aus den Versuchen geht auch hervor, daB in dem Falle,
wo der Querschnitt der Mittelstrebe zweimal grol3er als derjenige der Balkenseiten ist, die Veranderungen des Yerhaltnisses der Wagearme denselben Betrag ausmachen, also innerhalb gewisser Grenzen von der Stellung des Wagebalkens unabhiingig sind. Dadurch kann man weiter folgern, daB durch
eine weitere VergroBerung des Querschnittes der Mittelstrebe
nichts zu gewinnen ist, sowie daB die Anbringung einer horizontalen Strebe, a i e nicht selten zus Anwendung kommt,
durchaus unnotig ist.
%ueemmenfaseung.
Es hat sic11 herausgestellt, daIS die giinstigste Gestalt des
rhombischen Wagebalkens diejenige ist, wo die Seiterz des
Rhombus Linen Winkel Ton 60 ?niteinander bilden.. Dabei
sol1 der Querschnitt der Mittelstrebe xujeirnal. groper seirt, a h
derjenige der Seilen des Rhombus.
S t o c k h o l m , Physik. Inst. d. Univ., Juni 1915.
(Eingegangen 4. Juli 1915.)
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