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Einiges zur Theorie der Elektrizittsleitung in Flammengasen.

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133
4. l%n.Iges
xur TheorJe dev Ele~tr~%.ItdltsZdtun~~
in F'lamrnenganen;
uon B e n n o E z l r x e .
(Gekurzte Leipziger Dissertation.)
I n h a l t s i i b e r s i c h t : Q 1. Einleitung. A. Experimentelle Unternuchungen des Verfassers. Q 2. ElektrodeneinfluS; Oberfliichen- und
VolumionLation. - B. Theoretische Grnndlagen der Flammenleitung ;
Theorie der unselbstandigen Striimung. Q 3. Ansatz. Q 4. Feldverteiluog.
Stromepsnnungekurve. Leitvermtigen. - C. Bemerkungen zu der lichtelektrinchen Theorie der Alkaliflammen. Q 5. Die Grundlagen der licbt-~
elektrischen Theorie.
Q 1. Einleitung.
Die vorliegende Abhandlung beschaftigt sich mit der Theorie
der Flammenlei tung. Wahrend die Theorie der unselbstandigen
Strtimung in ruhenden homogen ionisierten Gasen gurch die
Arbeiten von Miel) und Seeliger2) bis zu einem hohen Grade
von Vollkommenheit durchgefiihrt ist, sind wir in der Flammenleitung bis jetA nicht iibcr Anfange hinausgekommen.
Die Theorie der Gasentladung bedarf als Grundlage der
Flammenleitung einer Erganzung: sie muB den EinfluB der Gasbewegung feststellen ; sie mu5 die kathodische Oberflichenionisation in Rechnung ziehen und das Feld ftir den Fall des
gleichzeitigen Vorhandenseins von Volum und Oberflachenionisation untersuchen. Beide Punkte sind bis jetzt nur notdurftig behandelt worden, und Unklarheiten, die sich auch in
der neuesten Literatur diesbezuglich finden, beweisen, daB es
keineswegs iiherflussig ist, diese Dinge einmal mit miiglichster
Strenge klarzustellen.
A u f Grund des vorliegenden, allerdings noch recht liickenhaften Materials haben P. L e n a r d 3 ) und E. Marx4) auf ver-
-
--
1) G.Mie, Ann. d. Phys. 13. S. 857. 1904.
21 R . S e e l i g e r , Dies. Munchen 1910 u.Ann.d.Phys.33. S. 319.1910.
3 1 P. L e n a r d , Hei lelb Akad. d. Wiss. 34. Abh. 1911; 1. Abh. 1913;
17.Abh. 1914; Ann. d. t'hys. 40. S. 393. 1913; 41. S. 53. 1913.
4) E. Marx, Ann. d. Pbye. W. S. 521. 1916.
134
B. Kurze.
schiedener Grundlage den Versuch unternommen, durch Einfiihrung eines bestimmten Ionisationsmechanismus zu einer geschlossenen Theorie der Elektrizitatsleitung in Salzflammen zu
gelangen. Verfasser ist der Ansicht, daB der mathematischen
Ausgestaltung der Marxschen Theorie Bedenken entgegenstehen, wovon natiirlich die eingefiihrte Grundhypothese nicht
beriihrt wird. I n den Entwicklungeri von M a r x erscheint die
Ausdehnung der speziell fur den linearen Teil des Potentialfalles erhaltenen Gleichgewichtsbedingungen auf den Gesamtverlauf und die darauf gegriindete Jntegration des Feldes nicht
unbedenklich. Die Oberflachenionisation tritt im Ansatz an
falscher Stelle a d , und zwar in der Gleichgewichtsbedingung
fur den negativen Strom explizit, obwohl sie implizit in der
Divergenz bereits enthalten ist; fur den positiven Strom kommt
sie iiberhaupt nicht in Frage, da sie nur negative Ione liefert.
Nicht die von der Flamme gebrachten, sondern die im Volum
dauernd entstehenden und verschwindenden Ladungen bedingen
die Ionisierung in der Flamme.’) - Im letzten Teil der vorliegenden Abhandlung sollen, fuBknd auf den im theoretischen
Teil gewonnenen Erkenntnissen, die Gruhdlagen der lichtelektrischen Theorie der Flammenleitung in gedrangtem UmriB
skizziert werden.
Verfasser hat im Physikalischen Institut der Universitat
Leipzig auf Anregung von Hrn. Prof. M a r x eine Reihe von
Versuchen angestellt zu dem Ende, den EinfiuB der Elektrodeneffekte kennen zu lernen, sowie Volum- und Oberflachenionisation zu trennen. Die Ergebnisse dieser Versuche sollen zunachst kurz referiert werden.
A. Experimentelle Untersnehnngen des Verfassers.
5
2. ElektrodeneinfluB; Oberfliichen- und Volumionisation.
Die hier in aller Kurze referierten Versuche sollten das
wechselseitige Verhaltnis von Volum- und Oberfiachenionisation
bei geringen Spannungen klarstellen und entscheiden, ob die
1) Hr. Prof. Marx hat mir, nachdem ihm die vorliegende Arbeit
eum Zwecke der Kenntnisnahme vorgelegen hatte, Einsicht in das Maiiuskript einer Abhandlung gewiihrt, in der er den von ihm aufgestellten
Ansatz nilher begriindet. Trotzdem scheint mir nach wie vor der strenge
mathematische Weg der einzige zu sein, auf dem man zu wirklich stichhaltigen und sicheren Resultaten gelangen kann.
Einiges zur Theorie der Elektriritatsleitung in Flamnieyasen. 1 35
von A r r h e n i u s l ) gefundenen GesetzmLBigkeiten, die Gultigkeit
des 0 hmschen Gesetzes und de8 Quadratwurzelgesetzes der
Konzentration aus der Elektroden- oder der Volumwirkung zu
erklaren sind.2)
Die Messungen wurden in einer Flamme ausgefuhrt, die
aus zwei Reihen von je vier kleinen Flammchefi bestand. Dadurch wurde ein groBeres Arbeitsfeld gewonnen.3) Mittels eines
Beckmannschen Zerstaubers konnten Salzlosungen in die
Flamme eingef'iihrt werden. Als Elektroden dienten zwei PtBleche, deren Abstand verandert werden konnte. Sie konnten
riickwartig mitainander iiber ein Galvanometer und einen
Rheostaten, durch den ein Strom geschickt werden konnte, verbunden werden. Zur Spannungsmessung diente eine Pt-Sonde,
die zwischen den Elektroden verschoben werden konnte und
mit dem einen Quadrantenpaar eines Quadrantenelektrometers
verbunden war. Die Zuleitungsdrahte zum Elektrometer, sowie die zu den Elektroden und ebenso der Brenner wbren
elektrostatisch geschiitzt.
Um die Elektrizitatsverteilung in der Flamme und die
Storungen, die die Elektroden bedingen, kennen zu lernen, wnrde
die Sonde horizontal in der Flamme verschoben; die eine Elektrode war aus der Flamme entfernt, die andere (geerdete) befand sich am anderen Eude der Flamme (in Fig. 1 links auBerhalb der Zeichnung) So wurde die in Fig 1 gezeichnete Kurve
erhalten.' Der Zusammenhang des Potentialverlaufs mft der
Temperaturverteilung (gemessen mit dem Pt-PtRh- Element)
ist nicht zu verkennen, wie ein Blick auf die darunter gezeichnete Temperaturkurve lehrt.3 - Aus der Kriimmung der
Potentialkurve ergibt sich auf Grund der P o i s s o n schen Glei__
Sv. Arrhenius, Bihang Stockholm Akad. 8. Okt. 1890; Wiener
Ber. 11. 99. S. 731. 1890 u. Wed. Ann.4'2. S. 18. 1891. - A r r h e n i u s
fand bei geringen Spannungen Proportionalitsit zwiechen Strom und eingeprlgter elektromotorischer Krtrft; bei gleichen Spxnnungen nahm der
Strom proportioilal der Quadratwurzelau8 der Konzentration zu, wenigstens
sofern diese nicht zu gro6 warm
2) Vgl. E. Marx, a. a. 0. S. 544.
3) H A. W i l s o n hat, soviel mir bekannt, dierre Anordnung zneret
verwendet.
4) Die Temperaturangaben sind sicher zu niedrig ; indessen geniigt
es fiir uneere Zwecke, den relativen Temperaturverlauf zu kenneh.
1)
B. Kurzc.
136
chung die Ladungsverteilung. Im allgemeinen herrscht in den
heiI3eren Teilen freie positive, in den kalteren freie negative
Ladung; der Flammenrand ist positiv geladen, wie j a schon
lange bekannt ist. Ein eigentumliches Verhalten zeigt das Potential nach Ausweis der Sonde auSerbalb des sichtbaren Flammenrandes. In allen beobachteten Fallen stieg es daselbst
sehr stark an (etwa 2 Volt), um in 0,4 bis 0,8 om Entfernung
ein Maximum zn erreichen. Im Abstand 1,0 bis 1,5 cm hbrt
die Ionisierung auf, Dieses Verhalten wurde auch an der gewohnlichen Bunseuflamme festgestellt. In der Gegend des
Maximums betrug die Temperatur noch etwa 300 O.
Mutmdlich. Potentialverlauf
R
(...
1, l/sn B, co, o o o (tags darauf aufgen.)
11. H,O x x x
en%to3
Fig. 1.
Fig. 2.
Durch Einbringen der Elektroden in die Flamme wird sowohl die Temperaturverteilung wie der Potentialverlauf gestiirt.
Dort, wo sie sich befinden, ist die Flammentemperlttur erniedrigt. Diese Erniedrigung betrug 150 bis 2000. . Auch die
Pt-Sonde, die zur Potentialmessung verwendet wurde, kiihlte
die Flammengase ab (etwa 104. Fig. 2 gibt den Potentialverlauf im Gebiet zwischen den Elektroden. Dahei waren diese
riickwartig miteiaander verbunden; wurde die Verbindung aufgehoben, so zeigte die nichtgeerdete - 0,023 Volt. Sie waren
nicht gitnz gleich temperiert; die geerdete (Abjzisse 0,95) war
etwas kuhler. Die i n Fig. 2 gezeichneten Kuiven sind durchweg vom gleichen Charakter. Die Einschnurung in der Mitte
Einiyes zur Theorie der Elektrizitatsleituny in Rammengasen. 181
ist dieselbe wie die in der vorigen Figur (bei der Abszisse 2,O)l);
ebenso stimmt der Verlauf des Potentials iiberein.
I n der Nachbarschaft der Elektroden ist das Gas positiv
geladen. Verfasser glaubt, da6 das in die Flamme gebrachte
Metall aus dem Volum der Flamme Elektronen aufgenommen
hat, die aus der Flamme hineindiffundiert sind. Bus diesem
Diffusionseffekt scheint sich auch das merkwiirdige Verhalten
des gemessenen Potentials am Flammenrande zu erklaren.
Wahrend die Sonde in der Flamme zu niedrig zeigt, gibt sie
am Rande das wahre Potential. Das Maximum des Potentials
am Rande ist also niclit reell; wir haben anzunehmen, daB
das Potential stetig gegen den Rand hin abfallt. Gleichzeitig
erhellt, da6 der Einflu6 der Elektroden sich auf ihre Nachbarschaft beschrankt.
Befinden sich die Elektroden an zwei Stellen der Flamme,
die verschiedenes Potential haben, oder ist die Potentialerniedrigungq der einen von gro6erem Betrage wie die der anderen,
so erhalt man bei riickwartiger Verbindung natiirlich einen
Strom. Diese ,,Eigenstriime" der Flamme sind bereits friiher
Gegenstand zahlreicher Untersuchungen gewesen. Sie variieren
stark, wie ohne weiteres verstandlich ist, mit der zufalligen
Stellung der Elektroden und konnen biu zu namhafter Starke
anwachsen.
Fiir geringe Spannungen ist der Eigenstrom additiv; fiir
grbflere Spannungen mub die elektromototische Kraft des Eigenstromv berucksichtigt werden. Urn die Stromspannungskurve
exakt zu erhalten, mu6 die gesamte Stromstarke in Beziehung
gesetzt werden zu der um die elektromotorische Kraft des
Eigenstrorns verminderten Elektrodenspannung.
Messungen des Potentialfalles seitens des Verfassers ergaben dasselbe Resultat, das schon W ilckenss) erhalten hatte.
Nachstehende Fig. 3 gibt die Ergebnisse von Messungen des
Verfassers. Zur naheren Untersuchung des Anodenfalles wurde
1) Die Stellung der Elektroden ist in Fig. 1 suf der Absziseenachse
eingetmgen.
2) Der Diffusionseffekt ist immer vorhanden; ein Strom entateht
jedoch nur, wenn die Elektroden infolge der Tcmperatnreffekte verschiedenes Potential Imnelimen.
3) E. W i 1 c k e n 8 , Diss. Heidelberg 19 14.
B. Kurze.
138
in ca. 3 mm Entfernung vor der (geerdeten) Anode die Sonde
festgehalten und dabei die Elektrodenspannung variiert. Fig. 4
hft
1
&/bouh
I
021
K,CO,
EMK
dee Eigenstromes
L
I: - 0,085
11: 0,065
111: 0,45
IV: 1,82
V: 896
44,7)
VI: 47,3
Volt Ampere
9
I
\I
LafhOdl?
Potentialfall bei fast gleich temperierten Elektroden.
Fig. 3.
stellt die beobachtete Potentialdifferenz als Funktion der Stromstarke dar. Auch bei den starksten Stromen (1,12. 10-4Amp.)
ist das Gebiet der positiven Ladung vor der Anode. noch nicht
verschwunden und das Pow
tential vor der Anode besitzt einen griiBeren Wert
wie an der Anode selbst.
Q3
Die t'reie positive Ladung
0.2
vor der Anode wird durch
0.7
den EinfluS des Stromes
705*
80 20 4.0 60 8.0 700 720
herabgesetzt. Daraus erDer Anodenfall a1s Funktion der
hellt, daB der nach geStromstarke. Fig. 4.
brauchlichen Methoden gemessene Anodenfall lediglich durch die freie positive Ladung an der Anode bedingt ist. Eine anodische Oberflachenionisation I) ist ausgeschlossen. Ein Heizen der Anode mu6
!dLL
1) Vgl. E.Marx, Verhandl. d. D. Phys. Ges. 6. S. 447. 1903 und
A. B e c k e r , Bericht uber Flammenleitung, Jahrb. d. Rad. U. El. 13.
S. 165 u. 177. 1916.
Einzges
ZUT
Theorie der Elektrizitatsleitung ia Iflammengasen.
139
diesen scheinbaren Anodenfall vollig beseitigen und hat natiirlich eiren Stromanstieg zur Folge.
Seit H i t t o r f l ) wissen wir, da6 die Stromstarke in Salzflammen mit der Temperatur der Kaihode variiert. Die Stromspannungskurve ist daher wesentlich durch die mehr oder
weniger zufalligen Kathodentemperaturen beeinflu6t. Wir haben
eine Oberflachenionisation anzunehmen. Vor der Kathode liegt
ein starkes Feld auch dam, wenn eine ganz geringe Spannung
angelegt wird; daher tritt schon bei den geringsten Spannungen
706*
T
Kalhode ka/ter
Charektpristik bei geringen
Ka&
/
//'
~remer
/-
Spannungen.
1
I. Elektroden fast gleich temperiert
I1 u. 111. Elektr. versch. temperiert
Fig. 5.
die Oberflachenionisation stark in Erscheinung. Der Strom
steigt infolgedessen iiber Erwarten stark an, und erst spater in
dem MaBe, wie diese Ursache zurucktritt, wird die Charakteristik
parabolisch.
Fig. 5 gibt den Zusammenhang von Strom und Spannung
bei geringen Spannungen. Bei den einzelnen Messungen waren
die Elektroden sowohl absolut wie relativ verschieden temperiert.
I h r Abstand wurde unverriickt festgehalten ; ihre Temperatur
ist lediglich durch ihre wechselnde Stellung in der Flamme
bedingt. 1st die Kathode hei6er wie die Anode, so ist der
Strom bei gleicher wirksamer Spannung groBer wie im um1) W. H i t t o r f , Pogg.Ann. 136. S. 225.1869; Jubelband S.430.1874.
140
B. Kurze.
gekehrten Falle ; die Tangente an die Stromspannungskurve
durchsetzt die Abszissenachse unstetig.
Unsere gegenwartige Kenntnis der Ionisierung wie der
Stromleitung in der Flamme ist noch sehr mangelhaft und die
bisherigen Versuche miissen mit Zuriickhaltung aufgenommen
werden.
1. Es bedarf zum Studium der Flammenleitung einer sorgfaltigen Berucksichtigung und Kenntnis der Elektrodeneffekte.
2. Fur die Erkliirung der Eigenstrome der Flamme sind
die Temperaturunterschiede der Elektroden ma8gebend; es ist
nicht korrekt, die Eigenstrome durch Mittelbildung zu eliminieren. - Die Stromstarke ist wesentlich (auch bei geringen
Spannungen) durch die Elektrodeneffekte beeinflufit; das Gefalle im Innern ist ibr proportional. - Es ist nicht statthaft,
den Potentialverlauf in der E’lamme auf Grund des einfachen
Superpositionsprinzips herzuleiten. Der Anodenfall ist nur
scheinbar. Das betrachtliche Feld vor der Kathode begunstigt
auch bei den geringsten Spannungen das Auftreten einer Oberflachenionisation.
B. Theoretische Grnndlogen der Flammenleitung; Theorie der
hnselbsthdigen StrBmung.
Unabhangig von jeder speziellen Hypothese uber die Elektronenhefreiung in der Flamme sollen nunmehr die allgemeinen
Grundlagen der Theorie der unselbstaodigen Striimung formuliert werden. Der Ansatz des Feldes, wie wir ihn J. J. T h o m s o n verdanken, bedarf fur die Flammenlcitung einer Erweiterung; wir haben die Gasbewegung und die an der Oberflache
der Kathode erfolgende 0berflachenionisation zu berucksichtigen.
Auf die Quadratur des Feldes gehen wir nicht ein; die Rechnung wiirde sehr kompliziert ausfallen und die Ergebnisse
konnten gegenwartig bei unserer fragmentarischen Kenntnis der
Flammenleitung gar nicht mit dem Experiment verglichen werden. Das Hauptgewicht liegt darauf, eine theoretisch einwandfreie Grundlage fiir kiinftige Experimente zu gewinnen.
3. Ansata.
I. Vorbemerkung.
Die Elektrizitatsleitung in Flammengasen d a d im allgemeinen nicht als eindimensionales Problem behandelt werden.
Eniyes zur Fheorie der Xlektrizitatsleiiung in Rammenyasen. 141
Denn abgesehen von der Iiriimmung der Kraftlinien, bedingt
durch die Begrenzung der Elektroden, bedingt die Aufwartsbewegnng der Flammengase eine Veranderung der Stromlinien.
Diese fallen im allgemeinen nicht mit den Kraftlinien zusammen.
Wir unterscheiden zwei Falle:
1. Horizontale Elektroden : Die Flammengeschwindigkeit
hat die Richtung der Feldstarke. I n diesem Fallen kann das
Problem eindimenvional behandelt werden.
2. Vertikale Elektroden: Hier muB das Problem als zweidimensionales aufgefdt werden; und zwar sol1 die r-Achse
von der Anode zur Kathode fuhren. die y-Achse in ihrer
Richtung mit der Flammengeschwindigkeit zusammenfallen.
Wir betrachten den stationaren Zustand. Die Flammengase mogen sich zwischen zwei planparallelen Elektroden (Abstand Z) gegebener Potentialdiffeerenz E' befinden.
Es bezeichnet:
n2 die Zahl der in der Volumeinbeit gleichzeitig vorhandenen positiven bzw. ncgativen Ladungen uod
X, K2 deren Wanderungsgeschwindigkeit im Feld 1 Voltlcm.
Q (Komponenten X , Y) die Feldstarke; @ das Potential: 0 = - grad @.
e das Elementarquantum der Ladung.
b (uz7 q,)die Gasgescbwindigkeit. - Aus den Messugen von B e c k e r l )
hat sich ergeben, daI3 in der Flamme keine Gebiete wesentlich verschiedener Geschwindigkeiten existieren. b kann somit wenigstens
in dem Gebiet zwiscben den Elcktroden als konstant sngenommen werden. Demgegenuher hat W i l c kens') festgestellt, da6 die Flammengeschwindigkeit mit Anniihernog an die Elektroden stark abuimmt.
hrjdie 1onisierungsstB;rke: die Zahl der pro Zeit und Volumeinheit entstehenden und
ATm die Molisierungsstlrke: die Zahl der pro Zeit- und Volumeinheit
verachwindenden Ladungen.
3-i ist eioe zunlcbst unbekannte
Funktion der Metallkonzentration n. n h h g t dabci (auSer von
der Wirkungsmeise des Zerstlubers) von der Flammengeschwindigkeit iind den Flammendimensionen ah. Die Ionisierung .Xihtingt
ferner von der Temperatur ab; sie warhst mit steigender Temperatur. Bei konstanter Temperatur darf N, als Konetante betrachtet
werden. - ATmwird dem Prodnkt nl nppropoi tional vorausgesetzt:
Xm= a nl n,; a ist der Rekombinationskoeffizient.
nol ,B ~ die
*
durch die OberflHchenionisatioh an der Anode bzw. Kathode
bedingte Volumkonzentratiou der positiven bzw. negativen Ladungen.
No,, Ifo4die Zahl der infolge der Qberflacheniouisation der Anode bzw.
Kathode in der Zeiteinheit gebildeteu Ladungen.
*a1,
-
-
-
I ) A. B e c k e r , Ann. d. Phys. 24. S. 831. 1907.
2) E. W i l c k e n s , a. a. 0.(Anm. 3) S. 5.
B. Kurze.
142
uber die Natur der Elektrizitatstrager ist keine Voraussetzung erforderlich.’) Wir machen keine spezielle Annahme
uber den Mechanismus der Ionisierung. Es wird angenommen,
daB die Oher5achenionisation in der Erzeugung von Ionen in
den Elektroden oder in deren nachster Nachbarschaft besteht.%)
11. D i e S t r o m n n g im b e w e g t e n Gas.
I n einem bewegten Gas tritt zu dem Strom, hervorgerufen
durch den Potentialgradienten, eine Stromung, veranlaBt durch
die Bewegung des Gases. Der Gesamtstrom ist demgemafi
durch folgenden Ausdruck gegeben:
nB K . )e B.
(1) c = i p b = i ( 7 1 ~ - n z ) e b ; i = (nlKl
i gibt den Ohmschen Strom, g b den hinzugetretenen Konvektionsstrom, p ist die freie Ladung, b die Gasgeschwindigkeit.
(2)
divB = 47ce(nl - nz),
0: =-grad@.
Es ist das die Poissonsche Gleichung.
Bus G1. (1) und (2) la6t sich die Ladungsdichte n, und
in bekannter Weise berechnen.
Der gesamte Strom ist quellenfrei:
b
div c = 0; div i + 47c
graddiv Q = 0 ,
(3)
+
+
+
b ist konstant angenommen. Bei horizontalen Elektroden sind stcts
Starungen vorhanden. Im folgenden werden wir uns aufvertikale
Elektroden beschranken und b wie eine Konstante behandeln.
Die Stromdichte c genugt der Gleichung:
J = c, d f = Const.
(4)
Die Integration wird uber eine Aquipotential5ache erstreckt;
gibt Jc,,df den Anteil im ionisierten Gas, so ist nach dem
Gaubschen Satz in bekannter Weise: Jc,df + Const. =[div c da;
da div c = 0, folgt J’cr2 d f = J = const; J ist die Stromstarke.
1
111. G l e i c h g e w i c h t s bed i n gun gen.
a) Im Volumen.
Um zu den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen zu
gelangen, trennen wir positiven und negativen Strom. Die
Zahl der in einem Volum’element entspringenden positiven oder
1) Wir wollen im folgeoden nur eine Art von positiven Tragern
annehmen, die sich mit der einheitlichen mittleren Geschwindigkeit Kl
bewegen sollen.
2) Vgl. G. Moreau, Ann. Chim. Phys. (8) 24. S. 289. 1911.
Einiges zur Theorie der Elektrizitatsleitung in Rammengasen. 143
negativen Strornungslinien ist gegeben durch die Differenz der in
der gleichen Zeit entstehenden und verschwindenden Ladungen.
div i+ -t e div (n,t,) = e (Ni - a! 7 5 n2);
i+ = n1 Kl Q e ,
(5)
div i- - e div (n2a) = - e (q- a! n, n J ; i- = n2 K2 B e .
Die G1. (2) und (5) bestimmen das Feld, sowie die Grenzbedingungen (vgl. unter b) gegeben sind. Es sind dies drei
voneinander unabhangige Gleichungen fur die drei skalaren
unbekannten Gro6en (Ortafunktionen) 0 ((3 = - grad @), n1
und n,; Ni, u, e, R,, R, und t, sind gegebene Parameter.
c und i sind durch G1. (1) definiert; GI. (3) und damit (4) folgt
aus den GI. (5).
b) Randbedingungen an den Elektroden; Oberflachenionisation (vertikale Elektroden; horizontale liefern andere
Grenzbedin gun gen).l)
Bei reiner Volumionisation liegen die Dinge sehr einfach:
an der Anode ist n, = 0, an der Kathode n, = 0; denn von
der Anode her treten keine positiven, von der Kathode her
keine negativen Elektrizitatstrager ein. Erfolgt jedoch an der
Elektrodenoberflache eine Ionisation nus irgendwelchen Ursachen, so sind diese Bedingungen abzuandern. Jetzt herrscht
an der Anode eine von 0 verschiedene Konzentration der
positiven, an der Kathode eine von 0 verschiedene Konzentration der negativen Elektrizitatstrager. Die Grenzbedingungen
lauten jetzt an der Anode n, = no,, an der Kathode n2 = no2.
Im Gegensatz zu reiner Volumwirkung hat der positive Strom
an der Anode, der negative an der Kathode einen von 0 verschiedenen Wert. Werden in der Zeiteinheit an der Anode
und an der Kathode No, Ladungen pro E’lacheneinheit geb’ildet,
so treten durch eine den Elektroden benachbarte Flache an
der Anode
= 7tO1 Kl .XA, an der Kathode I%, = no2K2 XK
Ladungen; X, und Xx ist die Feldstarke an der Anode bzw.
der Kathode. Die Oberflachenionisation ist aquivalent dem
Eintritt von Tragern aus den Elektroden heraus.
{
IV. S p e z i a l f a11 e ; V e r e i n f a c h u n g en.
Die Stromungslinien fallen in der Flamme im allgemeinen
nicht mit den Kraftlinien zusammen. Der Vektor c iet auBer
1) Auf die Grenzbedingungen im Volum der Flamme (bzw.am
Flammenrand) gehen wir nicht ein.
B. Rurze.
144
durch den Vektor @ durch den Vektor 11 mitbestimmt, hat
also im allgemeinen eine abweichende Richtung. Aus den soeben aufgestellten Formeln folgen in leicht ersichtlicher Weise
folgende Satze, deren Beweis wir ubergehen:
I. Gibt es ein Gebiet, in dem divQ verschwindet, so kann
sich nl = n2 = n o nur normal zu den Kraftlinien andern.
11. 1st @ der Richtung nach konstant (vertikale Elektroden):
Q = X, so ist divi = 0; n1 und n2 sind von y unabbangig und
das Problem ist der eindimensionalen Behandlung zugang1ich.l)
111. 1st-divQ = 0 und (3 der Richtung nach konstant, so
ist no =
i$
und die Flamme'hat ein Ohmsches Leitver-
mogen.3 Es ist in diesem Fall
i = noe(Kl K , J ~ , ; i = I . @ ~ ; A = e(Kl
+
+K
-
J ~ +.
Der lineare Potentialfall, den die experimentellen Messungen
ergeben haben, berechtigt dazu, in der Flamme ein Ohmsches
Leitvermiigen anzunehmen.
Q 4. Feldverteilung ; Btromspctnnungsknrve; Leitvermtigen.
V. Feldverteilung.
Wir gehen jetzt dazu iiber, eingehend die Stromspannungskurve und die Feldverteilung Tom tbeoretischen Standpunkt zu
diskutieren.
I m Gebiet zwischen den Elektroden ist ein homogenes Feld
vorhanden; die Feldstarke ist konstant und das Gefalle linear.
Auch bei Verwendung vertikaler Elektroden, die durch ihre einfachen Randbedingungen vor den horizontalen ausgezeichnet
sind und die wir im folgenden stets voraussetzen wollcn, erscheint somit die Annahme zulassig, @ im ganzen Raum zwischen
den Elektroden als gleichgerichtet zu betrachten. Wie wir gesehen hahen, ist in diesem Fall die Flammengeschwindigkeit
ohne EinHuI3 und dns Problem kann wie im ruhenden Gas eindimensional behandelt werden.
Drei Punkte sind es im wesentlichen, die wir nunmehr ins
Auge zu fassen haben. 1. Die Flammengase besitzen eine griifiere
1) Dieser Satz gilt streng fiir reine Volumionisation; im allgemeinen
Falle muS homogene Flachenbelegung der Elektroden (ale Wirknng der
Oberflachenionisation) vorausgesetzt werden.
2) Dieser Sat?: gilt, sofern im stromlosen Zustand no als konstant
betraehtet werden kann.
h'iiniges zur Theorie der Elektrizitatsleituny in Hammengasen. 145
Ionisation,. als sie von einem Ionisator erreicht wird. 2. Das
negative Ion (Elektron) wandert vie1 schneller als das positive.
3. Die Randbedingung an der Kathode (von einer anodischen
Oberflachenionisation sehen wir ab) lautet nicht n, = 0, sondern
n2 = n o a t wobei no, die Elektronenkonzentration an der Kathode ist.
1. Wir wollen zunachst znsehen, welche Resultate sich
bei Beriicksichtignng dieser drei Punkte 811s den allgemeinen
Entwicklungen von S e e l i g e r (a. a. 0.) fur die spezielle Natur
der Flammenleitung gewinnen lassen. Dazu mussen wir mit
einigen Worten auf die Fundamentalgleichungen zuruckgreifen.
Eindimensional geschrieben lautet der Ansatz I):
i = (xl Kl
(I)
+ n, K J X e = const,
dX
dz
= 4ne(.n,
- n2)
Daraus folgt in bekannter Weise:
D a m kommen als Grenzbedingungen:
1 an der Anode
(V)
1
R, =
0,
an der Kathode n2 = n O 2 ,
dX
4 n 1.
4n i
-rr,
- -
(Xz)
INit Hilfe der letzten Gleichungen + - - t , , ( K , i 4n
Kl
K,)Xe.
kann man also aus dem Potentialfall die Wanderungsgeschwindigkeit der Trager bestimmen (Thornson,), Marxs); Voraussetzung
_ _
~~
1) G1. (11) folgt aua der G1. (I), die G1. (I) und (111) Bind den
G1. (2) und (5) oben aquivalent.
2) J. J. Thornson, Conduct. of electr. 1903 u. 1906.
3) E. Marx, Ann. d. Phys. 8. 5. 768. 1900.
Annalen der Physik. IV. Folge. 66.
10
B. Kurze.
146
ist aber, daB die Ionisierung homogen ist und eine Oberflachenionisation nicht stattfindet.
Wir wollen die G1. (IV), deren Integral die Feldstarke
als Ortsfunktion gibt, nach dem Vorgang von S e e l i g e r in
zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zerspalten; im
Interesse spaterer Darlegungen fuhren wir dabei eine etwas
andere Konstantenbezeichnung ein : an Stelle des Sattigungsstromes J = Ni I e wollen wir mit dem 0 hm schen Leitvermogen
+
1 = e (K, K2)
operieren, wobei wir die physikalische
Bedeutung dieses Ausdruckes - Leitvermogen beim Strome 0 zunachst dahingestellt sein lassen.
Wir substituieren in GI. (IV):
dX
d;
d2 X
(1%) XZ=zj
2X-Z
= 2 j *7
-- 4p-d P
dz2
~
dx
dx
dx
und danach:
(lb)
-z = -1ie22 ~ ;
-
=4nip;
1, = e(K,
+X
J ~n;Y.
So erhalten wir zwei Differentialgleichungen der ersten Ordnung:
dabei ist:
s= f V . 2 ; p =
(2b)
Die Grenzbedingungen sind jetzt:
I a n der Anode: n , = O ;
1
-x4ni
dX
dz
.
1
- K, = P ,
2. Wahrend sich die zweite Gleichung sofort integrieren
la&, ist das allgemeine Integral der ersten nicht explizit darstellbar. Als Differentialgleichung erster Ordnung von der
Form !k = F ( p z ) kann sie jedoch graphisch integriert werden.
dP
Fig. 6 gibt den Verlauf der Integralkurven.‘)
S e e l i g e r zeigt
1) Die Kurven der Fig. 6 sind qualitativ. Der allgemeine Charakter
der Integralkurven ist in der Flammenleitung derselbe wie in der Gasionisation.
Ziniges zur Theorie der Elektrizitatsleituny in Flammengasew. 147
eingehend, daB fur die unselbstandige Stromung nur die Kurven
rechts der stark ausgezogenen Grenzkurve, die dem Strome i = 0
entspricht, in Betracht kommen. Neben den Integralkurven
sind in Fig. 6 die durch die Grenzbedingungen an den Elektroden gegebenen Kurven eingezeichnet worden. Diese geben
die Elektrodenpunkte. Wahrend letztere bei reiner Volum1
K2
ionisation auf zwei Geraden liegen, die im Abstand - - bzw.
1
-
KI
parallel der Abszissenachse verlaufen, reihen sie sich bei statthabender Oberfliichenionisation zu Kurven aneinander, die
naher der Abszissenachse gelegen sind. 1st z. B. noz eine
0.
7
'
+z
4
Fig. 6 .
Konstante, so liegen die Kathodenpunkte auf'der in Fig. 6
gezeichneten Parabel. Diese einfache Darstellung durch eine
festbestimmte Kurve ist jedoch nur so lange maglich, als noB
von i und 1 unabhangig iut.
Es YiBt sich nun ganz allgemein folgender Satz aussprechen:
Sind A, 1 und E gegeben, so ist i bestimmt und wir haben es
mit einer vollig bestimmten Integralkurve zu tun. - Der Beweis mu6 ubergangen werden.
3. Im Innern der Flamme ist das Feld homogen. 1st
X = const, so ist p = 0 und z = 1. Wir befinden uns im
Punkt P (Fig. 6), also auf der linken Grenzkurve. Ein mathematisch lineares Gefalle kann es in der Flamme nicht geben.
Solange aber ein praktisch linearer Teil vorhanden ist, verlauft die zugeordnete Integralkurve der Grenzkurve benachbart.
10*
148
B. Kurze.
Bei wachsender Leitfahigkeit oder zunehmendem Elektrodenabstand rucken die einer bestimmten Stromstarke zugeordneten
Kurven an die linke Grenzkurve heran. Unter Leitfahigkeit
d:
-
( K . + KJe. In
Flammengasen erreicht sowohl die Ionisierungsstarke Ni wie
die Elektronenbeweglichkeit Rz betrachtliche Werte. Hieraus
erklart sich die Linearitat des Gefalles im Flammeninnern.
Mit, zunehmender Leitfahigkeit (z. B. in SalzAammen) breitet
sich das lineare Gefalle aus. Dieses Verhalten wurde von
W i l c k e n s (a. a. 0. S. 13) und auch durch Versuche des Verfassers bestatigt.
Fig. 6 la6t sehr anschaulich erkennen, daS die GroSe des
Kathodenfalles, verglichen mit demverschwindend kleinen Anodenfall durch das Verhaltnis der Wanderungsges&windigkeiten der
positiven und negativen Elektrizitatstrager bestimmt ist. Die
Oberflachenionisation kiirzt den Kathodenfall ab, und hierin
beschriinkt sich ihr EinfluB.
verstanden wir dabei den Ausdruck
a=
VI. D i e S t r o ms pan nung sku r v e.
1. Wiewohl die Stromstirke in der Flamme betrachtliche
Werte besitzt, kiinnen wir doch die fur schwache Striime geltenden Niiberungen anwenden. Wir konnen uns auf die Betrachtung der linken, dem Strome 0 zugeordneten Grenzkurve beschranken, wenigstens bei nicht zu hohen Spannungen. S e e l i g e r
(a. a. 0.)und vw ihm bereits Mie (a.a. 0. S. 877) geben fiir diese
Kurve den Zusammenhang von Strom und Spannung durch eine
Gleichung der Form:
E =Ail +Biz,
(4 a)
worin A und B Konstanten sind. In der von uns gewiihltea
Bezeichnungsweise kiinnen wir noch etwas spezialisierter, wie
folgt, schreiben:
(4 bJ
il
jy=-+A
biB
IS
'
wobei nur noch 6 eine unbekannte Konstante ist.')
-
_.___
1) Diese Darstellung 18th sich direkt aus der Mieschen Formel gewinnen, wenn man beachtet, daB R (Widerstrnd des Kondensators) =
111 und J, (S8ttigungsstrom) = N t l e , N, = const 1%
ist. - GemiiB den
obigen Ableitungen gilt diese Formel auch fur die Fiamme.
EinQes zur Theorie iler Elektrizitatsleitung in Flammengasen. 1-19
E s la6t sich nun auf Grund einer Naherungsbetrachtung
folgendes dartun: Denkt man sich die Stromstarke konstant
gehalten, so bedingt eine Bnderung des Elektrodenabstandes nur
eine Zunahme oder Abnahme des lineaxen Teiles, iindert aber
nichts an der Gestalt des Elektrodenfalles. Liegt, wie in
Flammengasen, fast der game Spannungsabfall an den Elektroden, speziell an der Kathode, so erhalt man das paradoxe
Resultat, da8 der Strom unabhangig ist von der Elektrodenentfernung.
2. G1. (4) gilt zuniichst fur reine Volumionisation, sowie
fir konstante (von i und I unabhangige) Oberflachenionisation.
H. A. Wilson') hat bei einer Anordnung, wo die Elektrodeneffekte gegen die Volumionisation zurucktraten, die Stromspannungskurve fur die reine Flamme empirisch durch die
Hie sche Formel dargestellt.
I n Salzflammen diirfen die Kathodeneffekte nicht vernachliissigt werden. Der Kathodenfall stellt ein betrachtliches Stromhindernis dar ; seine Abkurzung hat demzufolge bestimmenden
EinfluB auf die Stromstarke. 1st nOa eine Konstante, d. h. also,
da no, K . X = N o , , da0 die Zahl der an der Kathode erzeugten
Ionen der FeldstIrke proportional ist, so liegt der Kathodenpunkt fest; die Charakteristik hat noch immer parabolische
Glestalt. Anders werden die Verhiiltnisse, wenn Noa konstant
ist. In diesem Falle wird der Parameter der in Pig. 6 gezeiohneten Parabel mit wachsendem z kleiner, und also die
Abkurzung des Kathodenfalles mit zunehmender Stromstkke
geringer. Sein EinfluB nimmt zu, und der Strom steigt langsamer an. - Verfasser neigt der Ansicht zu, da6 bei geringen
Spannungen die Oberflachenionisation rasch zunimmt, nm bald
konstant zu werden. Die Stromspannungsk'urve mu6 also nach
ranhnglich raschem Ansteigen im Zuge einer Parabel einen
Knick bekommen und langsamer ansteigen, um sich schlieSlich
cler Charakteristik bei reiner Volumionisation zu niihern, wie
dies die Versuche von A r r h e n i n s (a. a. 0.) u. a. ergeben
haben.
-
1) H. A. W i l s o n , Phil. M a g . (6) 10. S. 476. 1905; such in seiner
Monogmphie The electrieel properties of flames and of incandescent solids, London 1912, referiert S. f32ff.
B. Kurze.
150
Trifft diese Interpretation der Stromspannungskurve zu, so
folgt weiter, wie wir schon oben folgerten, da8 bei geringen
Spannungen, soweit die Charakteristik mit ihrer Tangente zusammenfallt, von einer Giiltigkeit des 0 hm schen Integralgesetzes nicht die Bede sein kann.
VII. D a s Leitvermiigen der Flammengase.
Abweichend von S e e l i g e r haben wir anStelle dessattigungsstromes das Leitvermogen eingefiihrt. Darunter verstanden wir
den Wert il =
(K, + K J e . Wenigstens bei Pt-Elektroden
sind die Elektrodeneffekte ohne EinfluB auf den linearen Teil.
Im linearen Gebiet treten die der Flamme charakteristischen
Verkaltnisse offen hervor. Der Versuch, hierauf das Studium
der Flammenleitung zu griinden, ist wiederholt unternommen
worden, so z. B. von Tufts1), der den Kathodenfrtll durch CaO
herabsetzte. Auch die Untersuchungen von Marx2) im Maguetfeld sind hier zu nennen. Durch das Studium des linearen
Teiles kann vielleicht eine Entscheidung zwischen der Nahewirkungstheorie und der lichtelektrischen Theorie der Elektronenbefreiung herbeigefuhrt werden. Denn die Abhangigkeit
des Leitvermtigens von der Konzentration, wie sie aus den beiden
Theorien folgt, ist nicht dieselbe. Allein diese Verhaltnisse
diirfen herangezogen werden zur Erklarung des Quadratwurzelgesetzes der negativen Trager.3)
VIII. Z us a m m e nf a s sung.
Wir sind am Ende dieser allgemeinen theoretischen Erorterungen. Wir haben erkannt:
1. Bei Verwendung vertikaler Elektroden kann die Elektrizitatsleitung in Flammengasen wie im ruhenden Gas behandelt
werden; die Flammenbewegung bleibt ohne EinfluB.
2. Da die Oberflachenionisation nur die Randbedingungen
andert, sind die Vorgange und Zustande an den Elektroden
ohne EinfluB auf das Flammeninnere.
s.
1) F. L. Tufts, Physik. Zeitschr. 6. S. 76 u. S. 158. 1904.
2) E. Marx, Ann. d. Phys. 2. S. 795. 1900; Physik. Zeitschr. 1.
374. 1900.
3) Vgl. E.Marx, Handb. d. Rad. IV. S. 730ff.
Eini-yes zur Theorie der Elektrizitatsleit7ing in Flammengasen. 15 1
3. Die Striirne in der Flamme sind vom Standpunkt der
Theorie als schwache Strome zu bezeichnen.
4. Auch bei geringen Spannungen hat die Oberflachenionisation ma6gebenden Eintl uB.
5. Eine Basis fur die weitere Untersuchung der Flammenvorgiinge wird im Studium des linearen Teiles gefunden.
Die gewonnenen Resultate sind unabhangig yon einer
speziellen Hypothese der Elektronenbefreiung. 01iginal ist der
Versuch die Flammenbewegung und die Oberflachenionisation
exakt in Ansatz zu bringen.
C. Bemerkonpen zu der lichtelektrisehen Theorie der Alkaliflmumen.
S 5. Die Qrundlagen der lichtelektrischen Theorie.
Die beiden speziellen Theorien der Flammenleitung, die
L e n a r d scheNahewirkungstheorie und die 1ichtelektrischeTheorie
von Marx, behandeln die Stromleitung in der Flamme nach
Mittelwertsmethoden. Verfasser dieser Arbeit vertritt die von
M a r s in die Flammenleitung eingefiihrte lichtelektrische Hypothese der Elektronenbefreiung.
Man kann sich' die Frage vorlegen: Wie miiBte die lichtelektrische Theorie der Flammenleitung formuliert werden, um
den gesicherten Ergebnissen der Theorie der Gasentladung gerecht zu werden?
Wir haben oben fijr I folgende Formel abgeleitet:
Da hi vie1 griiBer ist als K l , als Elektronenbeweglichkeit aber
von der Metallkonzentration unabhangig angenommen werden
kann, folgt aus dem Arrheniusschen Quadratworzelgesetz, vorausgesetzt, da6 die Arrheniusschen Versuchel) auf Volumionisation zu beziehen sind, daB die Ionisierungsstarke 3, der
Metallkonzentration proportional ist.
Die Cersiiche von A r r h e n i u s wie die von S m i t h e l l s Wilson-Dawson deuten darauf hin, daB die Leitfahigkeit in
gleicher Weise wie von der Konzentration des Metalles auch
-~
1) Sv.A r r h e u i u s , a. a
0.(Anm. 1) S. 3.
B. Kurze.
152
von dessen Atomgewicht abhangt.') - Die Messungen des
Rotationskoeffizienten des Halleffektee 9, bei denen die Oberflachenionisation nicht beteiligt war, sprechen fiir diese Abhfngigkeit. Erst die direkte Bestimmung des Leitvermogens
im linearen Teil ale Funktion der Konzentration und des Atomgewiohtes des eingebrachten Metalles wiirde hier Klarheit
schaffen kiinnen.
Wir wollen die Ionisierungsstarke im Volum der Flamme
sowohl dem Atomgewicht des zerstaubten Metalles als auch der
Konzentration proportional annehmen.
p sei die Zahl der in einem Atom abspaltbaren Elektronen
- p ist also dem Atomgewicht proportional - und n die
Metallkonzentration ; n p ist die Gesamtzahl der abspaltbaren
Elektronen. n, und n, seien die Konzentrationen der positiven
und negativen Ladungen, a der Rekombinationskoeffizient ; im
linearen Teil ist n, = n, = no. - /?sei der Bruchteil der gleichzeitig vorhandenen Ladungen (Elektronen):
(2)
no =
np.
Nimmt man an, daS die Zahl der sekundlich gebildeten
Ladungen proportional der Zahl der nicht abgespaltenen Ladungen ist, so betragt die Ionisierungsstarke Xi im stationken
Zustand :
4 = spnp (1 - j 3 ) ;
(3)
sp ist dabei wesentlich durch die Temperatur bestimmt, aber
auch vom Saureradikal beeinflu6t. Wir kbnnen y in zwei
Faktoren zerlegen: sp = x w ; x ist eine chemische Konstante:
nX gibt die Zahl der aktiven Atome, d.. h. der Metallatome,
die Elektronen abgeben konnen ; w ist eine Strahlungskonstante
Funktion der absoluten Temperatur.
Die Molisierungsstarke betragt:
N, = u nl n2 = u no2.
.-
~~
1) Smithells-Wilson-Dawson, Phil. Trans. 193. S. 89. 1900.
Daa gilt epeziell fur die
Vgl. Handb. d. Rad. IV. S. 618 u. S. 625f.
Alkalimetalle I(, Rb und Cs; Li und Ns stimmen schiecht damit iiberein.
-
Aber wir wissen nicht, wie und in welcher Weise die Oberfliichenioniaation, die wir ale Funktion der Stromdichte und des Leitvermiigene hetrachten kSnnen, dabei beteiligt ist. Arrheniue folgerte aus seinen
Versuchen bei 0,1 Volt Proportionalitat des Stromes mit dem Atomgewicht.
2) E. Marx a. a. 0. (Anm. 2) S. 18.
Ritiiges zur Theorie der Elektrizitatsleitung in Flammengasen. 153
Im stationken Zustande ist die Ionisierungsstilrke gleich
der Molisierungsstarke: N i= N, ; d. h.:
y n p (1 -
(5)
Daraus Solgt die Ladnngszahl
nachlassig t werden kann :
=
uno9.
p, wenn ela! gegeniiber
n p ver-
Bei kleinem
(kleinem y / a gegeniiber n p ) betragt somit
die Ladungsdichte:
(7')
Die Ladungsdichte ist also proportional der Quadratwurzel aus
der Konzentration und dem Atomgewicht. a = 4 a b e (4
+ KB)
4 a b e KB (Langevin) - b ist der Bruchteil der wirklich
statthabenden Rekombinationen zu den maximal moglichen darf als vom Atomgewicht unabhangig angenommen werden,
da j a &, die Elektronenbeweglichkeit, davon unabhangig ist.
Die mittlere Ladung q, die ein Metallatom tragt, ist proportional der Wurzel aus dem Atomgewicht.
Die Dauer des wanderungsfahigen Zustandes eines Elektrons (bzw. einer positiven Ladung, aber nicht eines positiven
Tragers) betragt :
-
die Dauer des neutralisierten Zustandes hingegen :
(9?
=
6
A.
gibt nicht nur den Bruchteil der freien Elektronen,
sondern auch den Brnchteil der Zeit, wahrend der sich ein
Elektron im wandernngsfahigen Zustand befindet. Wahrend die
Dauer des neutralisierten von der Zahl der Atome und vom
Atomgewicht (bei kleinem @) unabhangig ist, nimmt die Dauer
des wanderungsfahigen Zustandes mit steigendem Atomgewicht
und steigender Konzentration ab.
Bei Bestimmung der Wanderungsgeschwindigkeit nach Auftriebsmethoden muB der Ladungswechsel beachtet werden.
154 B. Kurze. Einiges zur Y'heorie der Elektrizitatsleitung usw.
GemiiB G1. (l)und.(7)betragt das Leitvermiigen der Flamme
(im linearen Gebiet):
-I
1st @ die Feldstarke, 'so folgt fur die Stromdichte i (in dem
Teile der Flamme, wo das Feld quellenfrei ist):
i=
e(K,
+ K2)@.
Boi reiner Volumionisation ist also, sofern das Ohmsche
Integralgesetz gilt, der Strom proportional sowohl der Wurzel
aus dem Atomgewicht wie aus der K0nzentration.l) Die Untersuchung des Ohmschen Leitsermiigens i m linearen Teil kann
vielleicht Klarheit dariiber verschaffen, ob und inwieweit der
hier gemachte Ansatz zutriflt. Wabrend nach der L e n a r d schen Nahewirkungsrheorie dits Leitvermiigen im allgemeinen
Falle eine verwickelte Funktion der Kmzentration ist, bei reiner
Volumionisation aber der Konzentration direkt proportional sein
wurde, folgt hier Zunahme mit der Wurzel aus der Konzentration.
Diese wenigen Andeutungen miigen geniigen.
Eine Zusammenfassung der Ergebnisse der vorliegenden
Arbeit befindet sich am Schlusse der einzelnen Teile, S. 140,
S. 150 f.
Z i t t a u , den 27. Juni 1921.
1) Vgl. E. Marx, Handb. d. Rad. IV. S. 733.
(Eingegangen 10. August 1921.)
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