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Einsteins Feldtheorie mit Fernparallelismus und Diracs Elektrodynamik. IV (Das Elektron als Wurmloch)

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 37, Heft 8, 1980, 8. 360-367
J. A. Berth, Leipzig
EINSTEINSFeldtheorie mit Fernparallelismus
und DIRACS
Elektrodynamik. I V
(Das Elektron als Wurmloch)
Von ECKHARD
KREISEL
Zentralinstitut fur Astrophysik der Akndeinie der Wissenschaften der DDR, Potsdnm-Babelsberg
I n h a l t s u b e r s i c h t . Die von H. TREDER[l] und E. KREISEL [2, 41 untersuchte Feldtheorie
von Gravitation und Elektromagnetismus liefert eine uberclll singularitiitsfreie, statische, kugelsymmetrische Gsung, die ein Wurmlochmodell des Elektrons darstellt, WCM man die Kopplungskonstanten aus TREDER[l] genugend stark abiindert. Die Entwicklung von goonach Potanzen
von l / r enthalt im Unterschied zur Reisner-Nordstrom-Losung keinen Term proportional l/ra. Die
Ladung de8 Elektrons hat ihren Ursprung praktisch allein im Wurmloch; die gravo-elektrisch induzierte Ladungsdichte ist trotz der goRen Kopplungskonstante vewcbhwindend gering.
Einstein’s Field Theory with Teleparallelism and Dirac’s Electrodynemics. IV
(The Electron a8 8 Wormhole)
A b s t r a c t . The theory of gravitation and electromagnetism, investigated by H. TREDER
[l] and
E. KREISEL [2, 41 gives a n everywhere singularityfree, static, spherically symmetric solution,
representing a wormhole-model of the electron, if one changes the coupling-constant, used in TREDER
[l] sufficiently strong. The expansion of goointo powers of l / r contains in contrast to the ReisnerNordstgm-solution no term proportional to l/r*. The charge of the electron has ita origin practically
only in the wormhole. The charge densky induced gravo-electrically is vanishingly small in spite
of the large coupling constant.
1. Einleitung
Im AnschluD an die von KREISEL
[2] untersuchten Feldgleichungen yon Gravitation
und Elektromagnetismus, die von der Diracschen Elektrodynamik und Faradays Idee
der gravoelektrischen Induktion [ 31 ausgehen, wurde von KREISEL[4] eine statische,
kugelsymmetrische Losung angegeben, die st-reng in der Einstein-Diracschen Elektrodynamik gilt.
Diese Liisung besitzt die Topologic zweier durcli ein Wurmloch verbundenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten euklidischer Topologie. Die Determinante der Metrik
hat auf dem zweiten Blatt fur r --f 00 eine Nullstelle, und fiir ein Feld mit der Schwarzschildmasse des Elektrons fur r --f 00 auf den1 ersten Blatt ist die gravoelektrisch induzierte, im Unendlichen beobachtete Ladung
a=-
1
e. Dabei kt
4na
ea
4nfm2
die Eddingtonsche Zahl, e die Elementarladung, f die Gravitationskonstante und m die
Masse des Elektrons.
ENSTFR~S
Feldtheorie und DIRACS
Elektrodynamik. IV
3G1
Der Zusamnienhang zwischen induzierter Ladung und Schwanschildmasse des
Feldes ist schon im geometrischen Ansatz der unitaren Feldgleichungen begrundet.
Der Ausgangspunkt fur die Feldgleichungen in [l] ist die Identifizierung des elektromagnetischen Potentials A , mit dem zeitartigen Tetrad h: der Einsteinschen Feldt,heorie mit Fernparallelismus, wobei die Dirac-Eichung den Proportionalitatsfaktor
festlegt :
E ( ~ )A,,, x
112
h,”
8n.f ,u, = 0, 1, 2 , 3 .
= -,
c4
Nun ist die Konstante in der Diracschen Eichbedingung eigentlich frei wahlbar; ihre
Abknderung entsprache der Anderung der Kopplungskonstanten der Feldgleichungen
von TREDER[l]. Da die Beziehung (1) bei vorgegebener Schwarzschildmasse des asymptotisclien Ausdrucks fur hg schon impliziert, welche Ladung im asymptotischen elektrischen Potential A, erscheint, ist es formal moglich, die Konstante in der DiracEichung so festzulegen, dal3 sich fur die Schwarzschildmasse des Elektrons das elektrische Potential der Elementarladung ergibt. Daa Ziel dabei ware, die Wurmlochtopologie als alleinigen Grund fur die Elementarladung, und die Energiedichte der
Einstein-Diracschen Elektrodynamik, die ja keinen konventionellen Ruhmasseterm enth d t , als einzige Quelle der Schwarzschildmasse des Elektrons zu erhalten. Auf diese
Weise ergabe sich dann ein Wurmlochmodell des Elektrons.
Wir wollen im folgenden zeigen, daB dieses Modell tatsiichlich durchfuhrbar ist.
Die Problemstellung ist nicht trivial, weil die Wurmlochtopologie der Lijsung aus [4]
sich fiir sehr kleine Werte der Konstanten a-l aus der allgemeinen Losung ergab, unsere
Aufgatenstellung aber eine drastische Abanderung von a-l zu sehr grol3en Werten
impliziert. Es ist eine echte Frage an die Einstein-Diracschen Feldgleichungen, ob die
allgemeine Losung a m h fur grol3e a-l noch eine Wurmlochtopologie impliziert und ob
die gravoelektrische Induktion im Vakuum nicht 50 groD wird, dal3 sich Widerspriiche
zur Erfahrung ergeben. Der Wert der neuen Kopplungskonstanten p-‘ entspricht
groBenordnungsmal3igder Eddingtonschen Zahl, denn er ist festgelegt durch den Ansatz :
mit der Bedingung
d.h.
pi=
(-)4ne2
fm2
-l
1043
1093~-1.
(4)
Fur die Konstante der Diracschen Eichbedingung bedeutet das die Anderung :
2. Das Elektron als Wurmloeh
Die in [4] hergeleitete allgemeine Form der statischen, kugelsymmetrischen Losung
der Einstein-Diracschen Feldgleichungen gilt auch fur die Kopplungskonstante P-l
aus (4). Wir ersetzen in den Formeln von [4] u durch B und benutzen sonst die dort
eingefuhrten Bezeichnungen. Gleichungen aus [4] werden im folgenden mit (111.1)usw.
zitiert.
24 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 37
ECKEABD
KBmm
362
Die Losung fur goo hatte die iiiiplizite Gestalt (111.43):
22,
81
11:
1
= gGF - C1gGi3
r
wobei ul, u pdie Wurzeln der Gleichnnp
+
4p
l p l l f ?La = 0
sind. 4 s geniiherte Losung von (6) erhalten wir iiiit ,4
< 1:
(6)
2i l’?.
(7)
I m Gegensatz zu den1 in [4] betracliteten Fall sind hier die Wurzeln u1,2koniplex,
und die Liisung (5) nilnilit die geriliherte Forin
UI,? =
-2p
an. Die Bedingung
fiir ~ + o o
legt. die Konstante c1 zu 1 fest, so dt\l;l wir die Losung in der Form
goo = 1
schreihen konnen, wobei wir den Faktor
1
in
(9)
der neuen Konstanten c2 absorbiert
1
haben. Wir interessieren tins fur (10) in1 Gebiet goo 5 1, deshalb mu13 cg positiv sein.
Es egehen sich danii positive V-Werte nur, so lange goo in dem Bereich
-
e-?xffl
5 goo 5 1
(11)
rariiert. Xian wird r gein2l;l (10) sowohl an der oberen, als auch a n der unteren Grenze
von (11) unendlich, die Lijsring hesitzt also auch fur die Konstante (4)eine Wunnlochtopologie. Der Umkehrprun1;t der 1-Koordinate ist durch die Nullstelle von
gegehen. Man erhalt atis (12) die folgende Bedingung fur den Unikehrpunkt :
1
n
arc ctg (- 1/13) = -lng,,
= - - - arc tg l/p.
21’B
2
(13)
Entwickeln wir in (13) die arc tg-Funktion nach der kleinen GroBe llE so ergibt sich
in erster Kaherung:
d.h. geinlil3 (lo), daB der Umltehrpnnkt. hei
liegt .
EIS~TELJ
s Feldtheorie und DIRACSElektrodynarnik. IV
Vni die Bedeutung der Konstanten
Die Grijfle 2c,
363
c, zii klaren, betrachten wir das Verhalten von
- --\/pist demnach der
im U;endlichen
beobachtete Schwarzschild-Radius
des Feldes. Da wir ein Model1 fur das Elektron erhalten wollen, haben wir also fur die
Konstante c2 zu setzen:
c2 =
-111f
C"B
Wegen (2) ist die im Unendlichen beobachtete Ladung dann automatisch die Elementarlndung, wobei das Vorzeichen der Ladung von der Wahl des Vorzeichens von h: abhiingt.
Wir erlialten such hier, genau wie fur die Losung mit der Kopplungskonstanten LY [4],
lrein Rcsisner-Nordstrom-Verhalten im Unendlichen (vgl. (16)).
Berechnet man aus (10) die Ableitungen (16) auf dem zweiten Blatt
n
[c2 (1
V B 2 900 2 e-2n G
+
1-
)
-
1
fiir r + 00, d.h. goO!r,=o = e 2nifl,
so erhiilt man:
also ehenfalls keinen Reisner-Nordstrom-Term.
\\%tirend bei der in [4]untersucht.en Losung,der Umkehrpunkt der Funktion goo(r),
der den ,,Durchiiiesser" des Wurmlochs charakterisiert, praktisch gleich dein im Unendlichen gemessenen Schwarzschild-Radius des Feldes war, erhalten wir hier mit (15),
(17) wid (4)fur die Radialkoordinate an1 Umkehrpunkt
also iiii Wesentlichen die mit der Wurzel der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten
mrilt iplizierte Plancksche Elementarllinge. Wahrend das Fernfeld der Losung (8) 90
aussieht, als ob das Feld erst beim Schwarzschild-Radius des Elektrons
-
6,s lO-5* cm
stark wird, verhindert das Wurniloch schon bei
r % 2,8. 10-34 cin
ein weiteres Vordringen zu kleineren Radialwerten. Ganz in1 Sinne der Planckschen
Elemtntarlange als unterer MaBschranke fiir Langenmessungen (vgl. [5]) laBt sich keine
Kugeloherflache unter den Wert der minimalen Flache 4ncg zusammenziehen, die die
Oherflache dcs Wiirmlochs reprasentiert.
nahei ist das Gravitationsfeld g, dort durchaus schwach, und sein Wert (vgl. (14)):
r
24'
M
ECKHARD
KREISEL
364
stimmt in der GroBenordnung vollig mit dein gemal3
fur r = c2 durch Extrapolation aus dem Fernfeld erhaltenen Wert uberein. Man sieht
hier, daB das in der Einsteinschen Gravitationstheorie bei der Betrachtung von Quantenfluktuationen gebrauchliche Argument, Anderungen der Topologie und nichttriviale
topologische Strukturen konnten in der Theorie organisch erst auftreten, wenn das
Gravitationsfeld extrem stark ist, eng a n die Art der Feldgleichungen gebunden ist.
Schon die Einsteinschen Gravitationsgleichungen zusammen mit der Diracschen Elektrodynamik geben von selbst topologische Strukturen, trotz schwachen Gravitationsfeldes,
wenn man die Kopplungskonstante entsprechend (2), (3) einfuhrt.
Der tiefere Grund fur das Auftreten des Wurmlochs ist der negative Beitrag, den
das Diracsche Multiplikatorfeld 1 in der Quelle der Einsteinschen Gleichungen verursacht (8. I11 (25), I11 (28)). Da der Beitrag IAOA, dem Betrage nach doppelt so gro5
ist wie die 0- 0-Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des Maxwell-Feldes, tritt
in der 0 -0-Komponente des Einstein-Tensors eine negative Quelle auf. Aus der Sicht
der Einstein-Diracschen Elektrodynaniik ware die Wurmlochlosung demgeniii5 auch
generell als unphysikalisch zu verwerfen, da 1 offensichtlich nicht als klassisches Feld
interpretierbar ist. Die Ankopplung des Gravitationsfeldes an die Diracsche Elektrodynamik fuhrt in diesem Sinne nicht zur Existenz einer statischen kugelsymmetrischen
Losung; die Diracsche Elektrodynamik ist notwendig zeitabhangig ganz im Sinne der
ursprunglichen Vorstellungen von Dirsc.
Aus der Sicht der unitaren Feldgleichungen von [l] ist die Funktion 1 eine reine
RechengroBe, die bei geringer Torsion der rauniartigen Tetraden auftritt. Man ist im
Rahmen der unitaren Feldgleichungen nicht gezwungen, den Beitrag von ?, als zum
gesamten Energie-Impuls-Tensor gehorig zu interpretieren. Da die unitaren Feldgleichungen geometrisiert sind, kann man den Term mit dem A-Feld auch zur linken
Seite der Feldgleichungen rechnen und als geometrische Abanderung des EinsteinTensors auffassen und als Quelle, d. h. als Materietensor, nur solche Terme auf der rechten Seite stehen lassen, die, wie in unserem Fall der Ausdruck mit der Struktrir des
Maxwellschen Energie-Impuls-Tensors, die physikalischen Bedingungen an einen
Materietensor erfullen. Im Rahmen geometrisch interpretierter Feldgleichungen ist die
statische Wurmlochlosung also nicht von vornherein physikalisch unsinnig.
Es ist nun natiirlich fraglich, ob die groBe Kopplungskonstante und die damit verbundene gravo-elektrische Induktion nicht zum Widerspruch mit Beobachtungen und
experimentell gesicherten theoretischen Anetzen fuhren muB. Wie drastisch die groBe
Kopplungskonstante P-l die ublichen theoretischen Ansiitze abandern kann, sieht man
an unserer speziellen Losung, fur die wir ohne die grundlegenden Ruhmassen- und
Ladungsterme auskommen, was natiirlich generell erwiinscht ware, vielleicht aber zum
Widerspruch fiihrt, wenn es nicht generell inoglich ist.
Interessanterweise ergibt sich trotz der groBen Kopplungskonstante fur die in einem
Volumen gravo-elektrisch induzierte Ladung in unserem Fall ein sehr kleiner Wert ;
die im Unendlichen beobachtete Gesanitladung ruhrt nahezu ausschlieBlich vom Wurmloch her. Urn das deutlich zu machen, geben wir zunachst die Gestalt der iibrigen Feldgrofien fur die Liisung (10) an:
Aus (111.14), (111.18) und (111.30) folgt fur gI1:
qll = const. +qG1
(%T-
EIWSTEINS
Feldtheorie und DIRACS
Elektrodynamik. IV
365
Dahei bestimmt sich die Konstante in (21) mit (lo), (12) und der Forderung g, = -1
fiir goo== 1 zu:
(22)
const. = -(@$)-I.
Das elektromagnetische Potential A, ergibt sich unniittelbar aus (111.16), (111.18) bzw.
(1) :
-
A, = &
-
/-$
g&2!,
8;.
(23)
Fur den Diracschen Multiplikator A erhalt man mit (111.28), (111.14), (12), (21), (22)
und (10):
Daniit ist auch der Stroni
jfi
ails (111.17) mit (23) und (24) gegeben:
Da gooauf beiden Blattern ohne Nullstellen und Singularitaten ist, gilt das auch fur
alle FeldgroBen (23)-(25). Lediglich g,, besitzt am Umkehrpunkt (15) eine durch die
Koordiriatendarstellung der Wurmlochmannigfaltigkeit bedingte Singularitat, genau wie
die in [4] behandelte Losung. Fuhrt man gooals Radialkoordinate ein, 80 ist die hier
behandolte Losung uberall singularitatsfrei, und lokal minkowskisch, im Gegensatz zu
der in [4] untersuchten Losung, die fur r --f m im zweiten Blatt Nullstellen in goo,g,
und der Determinante der Metrik besaB, so daB die zugehorige Mannigfaltigkeit geodatisch inkomplett war.
Aus (25) erhalten wir nun mit (lo), (12), (21), (22), (17) und (4) fur die Ladung Q
in eineni Volumen
gOo(1) I
900 5 9,(2),
Die gesamte auf beiden Blattern vorhandene gravo-elektrisch induzierte Ladung ist
also entsprechend (11) und (26):
+2n f i e .
Und fiir die Ladung des ersten Blattes ergibt sich
&1+2 =
Q, =
n VFe
10-21
(27)
e.
Entsprwhend ist auch die Ladung in jedem Raumgebiet der beiden Blatter immer um
den Faktor
geringer in der GroBenordnung als die Elementarladung e. Fur die
durch das Oberflachenintegral im Unendlichen gemessene Ladung
IF
&,
= &eg,-,”2),=
Q)
= *e
ECKHARD
RREISEL
366
ergibt sich hingegen die Elementarladung, in Ubereinstimmung niit (2), (3). Die g r o h
Kopplungskonstante P-l fiihrt also zur richtigen Ladung des Wurmlochs, ohne anBerhalb des Wurmlochs eine mit dem Experiinent rinvereinhar gvofie TAsdunggravo-elektrisch zu induzieren.
Genau wie fur die in [4]betrachtete Losung bleibt aucli hier die Energie des elektromagnetischen Feldes erhalten. Wir erhalten mit ( l o ) , (12), (21), (22) sowie (111.19),
(IILZO), (111.14) und (23) fur diese Energie in1 Bereich
900(1) 5 900 I 900(2)
(29)
Berucksichtigt man (17) und berechnet ('29) auf der gesamten Wurinlochmannigfaltigkeit (ll),so ergibt sich:
Die Energie auf dem ersten Blatt allein betragt die Halfte des Wertes (30). Man sieht
nun leicht mit (29) und (17), daB die Energie m c 2 auf dem folgenden Teil des eraten
Blattes erreicht wird :
e-48
5 g, 5 1.
(31)
Das bedeutet auf Grund von (10) fur die r-Koordinate den Bereich:
roiri-,
wobei
r, = 2n-
e2
m 2
das 2z-fache des klassischen Elektronenradius ist. I n Ubereinstimmung mit der klassischen Feldtheorie ist also die Selbstenergie des elektromagnetischen Feldes des Wurmlochs fur einen Radius von der GroBenordnung des klassischen Elektronenradius gleich
der Ruheenergie des Elektrons. Die Energiereserve des Wurmlochs ist gemaB (30) allerdings gewaltig.
3. Schluflfolgerungen
Die hier von uns betrachteten Feldgleichungen [I, 2 , 41 geben eine klassische, singularitatsfreie Beschreibung des Elektrons als statisches, kugelsymmetrisches Wurmloch. Es
ware von Interesse festzustellen, ob die Theorie in der Lage ist,, auch allgemeinere Falle
richtig zu beschreiben, insbesondere, ob die gravo-elektrische Induktion immer hinreichend klein ist im Bereich schwachen Gravitationsfeldes. Von besonderer Bedeutung
ware eine Losung, die ein elektrisches Dipolfeld beschreibt. Wegen der Geometrisierung
des elektromagnetischen Potentials genial3 ( 2 ) scheint auf den ersten Blick jede Massenverteilung im Unendlichen einen Term proportional l/r im elektrischen Potential A ,
zu implizieren. Nun mu13 hg aber nicht direkt die Wurzel aus goosein, sondern nur bis
auf eine Lorentztransformation 0: :
1/E+
( A = 1, 2,3)
hg = ogx; = og
0$&
(33)
so daB sich nicht unbedingt ein Widerspruch zwischen Dipolpotential und Verhalten
von gooim raumlich Unendlichen ergeben mug. Es ist die Frage, ob wirklich eine Losung
der Feldgleichungen aus [l]existiert, die ein Dipolfeld in hg gemaB (33) aus goound den
iibrigen Tetraden
kombiniert.
EINSTEIN
Feldt,heorieund DIRACSElektrodynaniik. IV.
367
Die Feldgleichungen aus [ 11 stellen niit dein Ansatz (1)auf besondere Weise einen
Zusammenhang zwischen Gravitationsfeld und Eigenschaften von Elementarteilchen
her. Die alte Frage EINSTEINS
[6], ob das Gravitationsfeld fur die Struktur der Elementarteilchen von Bedeutung sein kijnnte, erscheint hier in einem neuen Licht. Alle
bisherigen Versuche, einen solchen Zusammenhang herzustellen, scheiterten im Grunde
genomm en an der Diskrepanz zwischen der GroBenordnung des Schwarzschild-Radius
eines Elementarteilchens (w
10-54 cm) und der fur Elementarteilcheneigenschaften typischen GroBenordnung von 10-13 cm. Auch bei den Ansatzen der Quantengeonietrodynainik [7], die die Eleinentarteilchen als Resultat der Existenz von Quantenfluktuationen der Geometrie im Bereich der Planckschen Elementarlange ( Mlo4 cm)
interpretieren mochte, bleibt unklar, wie Vorgange bei 10-33 cin uber 20 GroBenordnungen hinweg Strukturen bei 10-13 cin heeinflussen sollen, bzw. welche Gleichungen einen
Informationstransport uber diese Grolienordnungsdistanz noch physikalisch vernunftig
vermittdn sollen. Die Beziehung (1)realisiert diesen fur eine erfolgreiche Verknupfung
von Gravitation und Elementarteilchenstruktur notwendigen Zusammenhang auf einfachste Weise. Sie ist aber im Gegensatz zii anderen Gleichungen, die auch einen solchen
Zusaminenhang vermitteln konnten, gerade dadiirch echt sinnvoll, daB sie die direkte
Folge der Geometrisierung des elektromagnetischen Potentials ist und diese Geometrisierung voll ausdruckt.
bi
Herrn Prof. H.-J. TREDER
habe ich fur interessante Diskussionen zu den physikalischen Gesichtspunkten der Losung zu danken.
Literaturverzeiehnis
H.-J. TREDER,
Ann. Physik Leipz. 35, 377 (1978).
E. KIIEISEL,
Ann. Physik Leipz. 86, 26 (1979).
M. FARADAY,
vgl. R. A. TRICKER:
Faraday und Nnxwell, Akademie-VerlagBerlin 1974.
E. KIIEISEL,Ann. Physik Leipz. 87, 301 (1980).
E. KI~EISEL,
D.-E. LIEBSCHER,
H.-J. TREDER,Zur Quantengeometrodynamik, Akademie-Verlag
Berlin 1967.
[GI A. EINSTEIN,Sitzungsberichte d. preu0. Akademie der Wiss. 1, 349 (1919).
[7] J. -4. WHEELER,
Einsteins Vision, Springer-VerlagBerlin 19G8.
[l]
[2]
[3]
[4]
[5]
Bei der Redaktion eingegangen am 12. Marz 1980.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. sc. ECKIL\RDKREISEL
Zentralinstitut fiir Astrophysik
der AdW der DDR
DDR-1502 Potsdam-Babelsberg
Rosa-Luxemburg-Str.17 a
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