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Einsteins hermitesche Relativittstheorie als Unifikation von Gravo- und Chromodynamik.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 37, Heft 4, 1980, 8. 250- 258
J. A. Barth, Leipxig
Einsteins hermitesche Relativitiitstheorie als Unifikation
von Gravo- und Chromodynamik
Von H.-J. TREDER
Zentralinstitut fiir Astrophysik der Akademie dcr Wissenschaften der DDR, Potsdam-Babelsberg
I n h a l tsiibersich t. Einsteins ,,hermite-symmetrische Fortsetzung der Allgemeinen Relativitlitstheorie (ART) ins Komplexe", seine hermitesche unitiire Feldtheorie, wurde von ihm als Unifizierung und Generalisierring der Einstein-Maxwellschen Theorie, von Gravodynamik und Elektrodynamik, gedeutet. Jedoch fuhrt - in dcr EIH-Naherung - das n-Teilchen-Problem nicht zu
Coulomb-artigen Kriiften zwischen den punktformigen ,,Ladungen" e - 4ne 6(r) (INFRLD 19!3l),
sonden vielmehr zu Kraften mit einem distanzunnbhangigen Term (TREDER
1957):
Dariiber hinaus zeigt die verallgemeinerte Schwarzschildsche Lijsung (WYnrAN In.%), daR es keine
freie geladene Partikel geben kann: es gibt also kein freies Elektron.
Demgegeniiber haben die zur Modellierung der Quanten-Chromo-Dynamik als ,,confinement"
fur die Benegungen der Quarks auftretenden Krafte gerade die obige Form, und es gibt, keine freien
von
Quarks. - Dnher wird vorgeschlngen, den rein imaginiiren antisymmetrischen Teil gPv = -g
v
3
Einsteins hermiteschem Fundamentnl-Tensor g,,, = gy*, als das Duale des ,,Gluonenfeldes" aufzufassen. Dann nerden alle Eigentiimlichkeitcn der Einsteinschen Theorie physikalisch interpretierbar.
Es gibt keine freien Quarks, denn die Feldmasse einer Farbladung divergiert wie -I?%; desgleichen divergieren die Feldmassen von Teilchen-Systemen mit nichtverschwindender Gesamtn
ladung
$: 0. Beides ist ein Ergebnis dcs Gravitiitionsteils der Einsteinschen Gleichungen. Da-
2
A
gegen findet man als Integrations-Bedingung fur diese Gleichungen bei verschwindender Gesamtladung die obigen Krafte 3,fB,. Kompensieren sich die Ladungen in einem Bereich NU, 80 findet
man nus den Gravitationsgleichungen n l ~Rsymptotische Masse M des n-Teilchen-Problems fur
r 9 L einen mit der Ausdehnung dcs Systems wachsenden Wert
Einstein's Hermitian Theory of Relativity as Unification of Gravoand Chromodynamics
A b s t r a c t . Einstein's Hermitian unified field throry is the continuation of the Rieniannian
GRG to complexc values with a Hermitinn fuiidnmental tensor gllv = g,". This complexe continuation of GRG implies the possibility of matter and anti matter with a sort of CPT theorem. - Einstein himself has interpreted his theory as t i unification and generalization of the Einstein and
Maxwell theory, th. i. of grnvodynamics and of electrodynamics.
Einsteins hermitesche RelativitiLtstheorie
251
However - according the EIH approximation -, from Einstein’s equations no Coulomb-like
forces between the charges are resulting (INFRLD, 1960). But, the forces between two charges
and cII have the form (TREDEB1967)
It is interesting that such forces are postulated in the classical models of the chromodynamics
of the interactions between quarks (for t,he confinement of their motions).
If we interprete the purely imaginary part gcrv= -gvp of the Hermitian metrics ge = gcrvf ge
v
v
as the dual of the field of gluons then, all peculiarities of Einstein’s theory become physically meaningful. - Einstein’s own interpretation suggests that the both long-range fields, gravitation and electroa
&
2
r has a
magnetism, must be unified in a geometrical field theory. However, the potential
r
“longer range” than the Coulomb potential
-
-+
1
-, and such an
asymptotical potential
9.
E
N
r is
2
resulting from Einstein’s equations (TREDER19.57).
n
I n Einstein’s theory there are no free charges with
2 + 0. (WYMAN
1960) because the field
A
nmss of a charged particle becomes infinite asymptotically:
That means, in a chromodynamics we don’t have free quarks. The same divergences are resulting
from one-particle systems with non-vanishing total charges: dl
-
9,.
However, if the total charges vanish because in a domain -L3 the positive sources are compensated by negative sources, the field massea of the n-charge systems become finite. From the gravitational part of Einstein’s equations we get field masses
I
which are the masses measured by observers in dist,ances r
L. That means, the masses of quark
11
systems with t,lle colour condit,ion
pA
= 0 are proportional to the linear dimension L of the
A
system.
I. EINSTEIN[ 1, 2, 31 hat 1945 eine Erweiterring der Allgenieinen Relativitatstheorie
(ART) angegeben, die s u f einer ,,analytischen Fortsetzung“ von deren Riemannscher
Metrik ins Komplexe heruht. Diese dann zu ihrer physikalischen Interpretierbarkeit
notwendig herniitesche Feldtheorie ist insofern eine eindeutig ausgezeichnete Verallgemeinerung der ART, als die Forderung der Hermitezitat und einer ,,Super-Eichlnvarisnz“ (ETNSTEMS
[4] A-Gruppe, l953), welche in der ART trivial erfullt sind,
bei komplexer Metrik die Feldgleichungen faktisch eindeutig hestimnien.
Die Geschichte von EINSTEINS
lier~nitescherunitarer Feldt heorie ist bemerkenswert. - 1025 schlug EINSTEIN
[l] sie iin Yrinzip in einer Akadeniie-Mitteilung vor.
E r nahni sie dann rther alsbald zuriick, weil sie die Existenz von RIaterie iind AntiMaterie iniplizierte (s. TREDER[j]): Eine herniitesche Metrik und Geometrie (niit
reellen Koordinsten d)enthalt. tatsiichlich ein CPT-Theorem. Erst 1945 kani EINSTEIN - linter Betonung der Symnietrie von Teilchen und Anti-Teilchen gemafi der
H.-J. TREDER
252
Quantenelektrodynamik - auf die hermitesche Relativitatstheorie zuriick. Ihn unterstiitzte dabei SCHRODINCER
auf Grund der Auffassung, daB grundsatzlich die Mikrophysik die Komplexitat der 'Felder verlangt [6, 71.
Das erste Problem war dabei eine ,,Super-Eich-Gruppe" (EINSTEINS [4] A-Gruppe) :
Die Theorie ist nur dann interpretierbar, wenn sie invariant gegeniiber den Substitut ionen
rey-+ r;v+ a p v
ist,. Aus dieser ,,Eichinvarianz" folgt notwendig, da13 der imaginare Teil der Metrik
durch ein Vektorpotential A , darstellbar ist :
r;,, cv
(Spater aber trivialisierte EINSTEINdie Super-Eich-Gruppe zur Eich-Gruppe
+
8; @," [3]). EINSTEINwollte denientsprechend F,, als duales elektromagnetisches
+
Feld deuten. Genauer betrachtcte er
i
-
qpyoT1/-g
gC? als elektromagnetisches Feld.
EINSTEINsah dann [3] 1050, da13 dann die Hermitezitat zu Anziehung zwischen gleichnaniigen und AhstoBung zwischen ungleichnamigen Ladungen fiihren wiirde; daher
verzichtete er auf die Koniplexitat dcr unsyinmetrischen g,,,. (Dadurch ging aber, wie
PAULI[S] kritisierte, die geometrische Bedeutung der Theorie verloren.)
INFELD
[9] zeigte aber 1950, da13 EINSTEINSFeldgleichungen [2], [3] keine reinen
Coulomb-Krafte liefern iind da13 bei ihrer Interpretation als ,,Einstein-Maxwellsche
Theorie" iiberhaupt keine nichtgravischen Krafte
zwischen den Partikeln, d. i.
keine Krafte zwischen den ,,Ladungen", restiltieren. - WYMAN
[ 101 (1950) fand zudem,
da13 geladene Punktteilchen (also in EINSTEINSInterpretation ,,freie Elektronen") in
der Theorie gar nicht. frei existieren konnen. - Ich zeigte dann (TREDER[ I l l 1957)
die Existenz von Kraften
sA
zwischen den Ladungen
dcr Partikeln (wobei das Vorzeichen der herniiteschen
Metrik entspricht).
EINSTEINS
seinerzeitige Argurnent,a.tion,daB seine geometrische Feldtheorie als Fortsetzung der ART beide weitreichenden Felder, die Gravitation und den Elektromagnetisnius, zusanimenfassen sollte, ging also deswegen fehl, weil das P-Feld ,,weiterreichender"
ist als die Maxwellschen Felder. - SCHRODINGER
[6, 71 (1947, 1950) wollte statt der
Elektrodynaniik eine Mesodynamik erhalten und gab dazu eine Variante der Feldgleichungen mit einem ,,kosmologischen Term'' I g F v an, wobei fur das d u d e F-Feld
]lh = cc" die Ruhmasse
STEINS
der ,,Feldquanten" definiert.. Dagegen beschreiben EIN1/2 h
Gleichungen ruhmasselose Felder: a,,,= a,.,,
und A,.
11. Der herniitesch-symniet.rische Fundamental-Tensor ist
Einsteins hermitesche Relativitiitstheorie
253
und
wobei (2) den ,,affinen Zusminienhttng" I'EV eindeutig bestimnit. Zwischen den Gleichungen hesteht, noch eine verallgenieinerte Binnchi-Identitat (EINSTEIN
1950, [ 121) :
BOSE[ 131).
( 3 ) besagt die Super-Eich-Invarianz der Theorie gegeniiber der A-Gruppe und ist
daher identisch zii hefriedigen, was zu der Existenz eines reellen Vektorpotentials fiihrt :
ails der die Blnssische Dynaiiiik vollstandig ableitbar ist (vgl. auch
Die Gleichungen (4) werden als Gravitationsgleichungen init, Feldmaterie T p y= T,,
gedeutet. I n g,, ist der Realteil des Gravitationspotentials a," und F,, ist ein reeller
Bi-Vektor:
a,, = gpv
glCv= a,,"
+ iF,,
= a,,, -
iFVll= ,g:
iF,,, = Be.
(8)
Dann besagt mit dem Ricci-Tensor G,,,, = G,, der ART (4) (INFELD
[91 1950, TREDER
[14] 1955, HLAVATP[16] 1957)
Dagegen definieren die Gleichungen (5) an ihren singularen St ellen punktformige Feldquellen :
Daiiii t I a B t sich das n-Teilchen-Probleni in quasi-atntischer Approximation entsprechend
der Einstein-Tnfeld-Hoffiiwnn-Methode behandeln (TREDER[ 1I], vgl. TONNELAT
[ 1 (;I).
1TI. I n uiiserem Fall der reinen Felditiaterie (9a) ist die 1. Nalierung fiir die apI,
c4iif:Lch die Minkowski-Metrik qtt,,:
aflV= qllV
+ Y~~
"
= q,,
1
+ Y,~,. Y,,,= 0 .
Fur das F-Feld ergibt sich aus (7) der Ansatz
1
Fik =
1
qiN~),[,
Fi,
1
=
1
0 ; A , = y, Ai = 0
( i = I ) 2, 3)
(10)
H.-J. TKEDER
264
und damit erhalt nian aus (9b) in 1. Naherung eine Bi-Potentialgleichung
A
ddp = -4n
&A
d(rA),
A
niit der Greenschen Funktion
p=-
1 "
,Z
&A~A
A
(6 = 6).
Die Gravitationsgleichungen (9a) enthalten in 2. Naherung den Materietensor des FFeldes; fur das quasi-Newtonsche Gravitationspotential gilt dabei die Poisson-Gleichung
(vgl. TREDER
[ll], TONNELAT
[16])
iind fur die raum-artigen Komponenten ist allgeinein (s. [t), 111)
Die lntegrabilitat voti (14) fuhrt explicite zuni Auftreten von WechselwirkungsKriiften zwischen den Quellen deR F-Feldes [ll]:
C2
gleichnamige Ladungen q = -E stollen sich ah, ungleichnaniige ziehen sich an. Die
17
2
Felder werden in hoherer Naherung notwendig zeitabhangig mit yio =+ 0. Verschwindet
aber die Gesamtladung
nicht, dann ergibt (13) ein fur r -+
00
divergierendes Gravitationspotential
a,-l.--
(lea)
woraus
tiiit
2
yw = - 'jM eine divergierende schwere Masse
c2r
Jj--
c2r
f
(1 - am) hl-
H2
r
des Systems folgt :
(fur H $2 0).
C2
Daher giht es insbesondere keine isolierten geladencn Teilchen (s. auch [ 101).
Nehinen wir dagegen an, dab das F-Feld innerhalh eines Voluiriens -L3 gleich
viele Quellen rind Senken hat, so dafi in L3 die Qesanitladung H = 2 qA verschwindet,
dann haben wir asyniptotisch fiir r 9 L angenahert,:
A
Einsteins hermiteache Relativitiitstheorie
255
und daiiiit eine schwere Masse (in erster Naherung)
die mit der Abniessung L des Systems linear anwachst. (Wegen des Aquivalenzprinzips
sollte M dann auch die triige Masse sein.)
I\-. Itii Zwei-Kiirper-Probleni ntit qI = -qIr = q ergibt sich eine distanzunabhiingigc -4nziehung im System :
niit der schwcren System-Masse
.In
7
Lo,q2/C2.
M(2)=
1111 nrei-Eioryer-Probleni niit
rlI
+ 711 +
7111 =
0, 71 = %I = 1 1 1
17111 =
-2q
finden wir die Wechselwirkungs-Krafte
und dic schwere Masse
Die physikalischen GroRcnordnmgen bestimmen wir, indem wir die Systenie H = 0
als ,,Hadronen" deuten und die qA als ,,Ferbladungen der Quarks", Der Vergleich
niit dcr phiinotnenoiogischenMeso-Dynamik der starken Kernkrafte niit einem Y ukawa-
Potential
-
-
-
-
e-rlA
h
T
7nc
-, einer Conipton-WellenlangeA = - und einer ,,starken Ladung"
1
A setzen (woheiA eine positive Zahl von der
I'hc ergiht denn, wenn wir L(%)w
G rij IJenordnung ,,eins' ' ist ),
-
(jtna/Wc
WO~ILIIS
fiir
4n)
,,Eddingtonsche Zahl")
,,Mesonen" bzw. ,,Baryonen" Massen von der Uriille
M ( 2 )M
4n
3
A(,)rn, M ( 3 ) m 4nA(,)m
-
3M(,)
(21)
folgen. Dies sind die schweren Massen der n-Teilchen-Systcnie ,,Meson" bzw. ,,Baryon",
geitiessen von eineni Beobachter in1 ,,Unendlichen", d. h. aul3erhalb des Sygtems, fur
h
T $ ' L w - . Diese Massen sind die ,,Feldmassen" wechselwirkender ,,chrometischer
//1C
256
H.-J. TREDER
-
Ladungen" 11 mc3B h-lr2, d. 11. wechselwirkender Quarks. Jsolierte Quarks hatten dagegen eine divergierende Masse. Diese Feldmasse hat genau so wenig niit einer Ruhmasse des F-Feldes (d.h. der
,,Gluonen") zu tun wie die klassische Selbstinasse des Elektrons in der Elektrodynatnik
mit einer Ruhmasse der Photonen. Vielmehr hat. in der EINSTEINschen Theorie das
gesanite g,,-Feld keine Ruhniasse; dies hahen die ,,Gluonen" niit den ,,Gravitonen"
gemeinsam. (Tatsachlich enthalt EINSTEJNS
Theorie iiherhaupt keine universelle Konstante von der Diniension einer Masse.)
E
V. DieGreeiische Funkt ion pl = -r gehort ZII einer delta-artigen Ladungsverteilung ( I 1 )
3
AAP, = -4n&d(r).
Die allgeineine Lijsung einer Bi-Potcntialgleichnng [ I l l d2g7 = 0:
q~= - + - r
I
%
&
r
2
+ 6 + dr2
(22)
+
enthalt zwei ,,quellfreie lntegrationskonstanten" 6 dr2, welche keine Krafte
hewirken. Der ,,Coiilotiih-artige" Teriii fiihrt arif Feldquelleii ohne Gesatiit ladungen
ddg, = -4n(aAd(r)
+ cb(r))
(23)
mit
JAApl d3.r = - h e .
Die &aft zwischen zwei Ladungen ist dann allgemein (TREDER
[ 111): I )
wahrend die Qesamtmasse weiterhin
init
= -tB
betragt und fur
+ E~ f 0 divergiert.
Grundsatzlich ist eine Bi-Wellenglcichung 0 2 @ =r: 0 ails der Anzahl ihrer ,,Wellenfrinkt ionen" zwei Wellengleichungen gleichwertig. Es ist
@ =y
+x
niit
y =0
und
0x
= Q,
0 (0
=
0.
I n i statischen Fall ist :
Ay
= 4nad(r),
Ax'-
&
r
,
do) = -4ned(r),
or
y=-,
r
E
(0
= -;
r
&
x=,r.
2
Die Losungsmannigfaltigkeit eines n-koinporientigen Wellenfeldcs, das etner Hi-Wellengleichung genugt, ist genau so groli (aher anders gehaut) wie die eines 2n-koiiiponentigen
Feldes, das einer Wellengleichung geniigt. - Das in iinserer Interpretation Z u n i Gluonen-Feld der Chromodynaniik duale I"-Feld atis (8) ist daher von zwei Potentialvektoren y,,und xy (Y = 0, 1 , 2, 3) abhangig.
') Die Kruft (21) ist ersichtlich diejenige. die die Clirornodylinrnik phanomenologisch einfuhrt
(P. z.
B. [18]).
"7
Einsteins hermitescht- Kehtivitatstheorie
V1. Korrekturen folgen aus den hoheren Naheningen. Die Zeitabhangigkeit des
Systems als Folge der Krafte 8iHniodifiziert die Gravitationsgleichungen (8). Die
Nichtlinearitat dcr Gleicliringen (9) fiihrt auf eine nichtlineare Bi-Potentialgleichting
der Forni
d2q, const, rp"'rp"q~'
constIr ( q " ) 3 = 0 ,
+
+
welche eine Distribtition der Ladringen (tilit Vakuuni-Polarisation) inipliziert. Schliefilich ergibt der Ubergang zttr quasi-stationaren Xaherung iriit A i 0 ( i = 1, 2,3)
aiich spinahhlngige Ternie in den Kriiften %in.
Ein zrisltzliclier lcostnologischer Term Ag,,,,,wie er in SCHRODINGERS
[6, 71 Version
der unitaren Feldtheorie eingefiihrt ist, ergiibe fiir die Krafte in1 System nichts Wesent-
+
m2ca
liches, weil die Gravitationsgleichungen (aus kosiiiologischen Griinden) 1 4 -verh2
Iangen. Aher eine Ruhniasse beim ,,Gluonen-Feld" zwischen den Quarks wiirde der
Quanteii-CItrontody~~amilc
widersprechen, rind fiir das F-Feld bedeutete
eine zusatz- 1L
Die Bi-Potentialgleichi~ngbekommt
liche Ruhniasse der ,,Feldqoanten" ,u M V21
-.
C
nanilich die Bopp-Podolskysche Fornt (vgl. TREDER[I 71)
A2rp - 2AAy
=
-4md(r)
niit dem iiberall reguliiren Potential
Zusatz
Wahrend Eitisteins hermitesche Eraeiterung der ART zwangslaufig zu einer klassischen ruhmasselosen ,,Chromodynamik" mit ,,Quurks" als lndungstragende Feldquellen fuhrt, ware es gar
nicht so leicht, im Rahmen der speziell-relativistischen Feldtheorien eine solche Chromodynamik
7.u konstruieren. - Als Wellengleichungen 4. Ordnung fur ein Vektor-Potential @" bietm sich noch
obigem die Feldgleirhungen der ,,Elektrodynamik 4. Ordnung" von Bopp iind Podolsky iin:
1
p"
k' (0
0.v
- kzp"
)=
esv
mit dem Bi-T'ektor-Peld pfil,= @,.
-
4 ~ 5 ,= - 4 n j i Q h ( r )
- Qfi,,,und
der Compton-Wellenlange
(25)
1
h
k
jcc
- = - eineszusatz-
lichen ,,schwercn Feldqunnts" (s. [17]). Dns statische Potential Q,, hat dann die Forni
@,-;
-
B (1 - e-")
-
(26)
T
und dm geht fiir kr
fl0
<<
1 in
-/lk -1- 9,
k2
-r
(2i)
2
iiber. Aber die Feldmasse 31 riner freien T,adung
(~71):
B betragt
mit (26) gemaR dieser E1ektrodyn:imik
(28)
17
Ann. Pliysik. 7. Folgc, Bd. 37
€I.-J.TREDER
258
iind luit (27) erhiilt innu als Knift zwischen zwei Ladungen
PA
und
(29)
Diesc Ausdriicke verschwinden beide fur k =
Mit einer ,.storken Ladung"
p
PC
+ 0.
la
N
)/hc besagen (28) und (29) zudem
-
Die iin obigen kIodell (20, 21) in der Einsteinschen Feldtheorie frei einfiihrbaren Abmeasungen des
Mehrteilchen-Systems L A waren nach der BoppPodolskyschen Elektrodynamik also durch eine
Ruhmasse ,IL den ..Gluonen-E'eldea" bestimmt! - Dies all- zeigt, daO eine ,,Elektrodynamik 4. Ordnung" kein Model1 fur eine Chrornodgniimik sein kann und letzbre so peculiare Eigensclioften
besitzt, daC sic iius dem Schemn der spei.iell-rclativistinrlienFeldtheorien heransflilt.
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Zentralinstitnt fiir Astrophysik
1M.2 Potsdom-Babelsberg
Rosa-Luxem b u r g 4 tx. 17 a
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