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Elastizittskonstanten des Aluminiumeinkristalls.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5 . F O L G E , B A N D 1 7 , H E F T 3, J U N I 1 9 3 3
ELasttkitatskonstanten des AZzcrniniume.2nIcristnZZs
TTon E, G o e n s
(Mitteilung aus der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt)
(Mit 2 Figuren)
In einer schon vor liingerer Zeit erschienenen Notiz l) waren
vorlaufige Zahlen fur die Hauptelastizitatsparameter stk(.,Elastizitatsmoduln" nach W. V o i g t) von Aluminium mitgeteilt worden.
Die vorliegende Veroffentlichnng bringt die ausfuhrlichere Darstellung der Ergebnisse, die bisher durch iiuBere Umstinde
sowie durch notwendig werdende Erg&nzungen zur Theorie
der MeBmethodik hintangehalten wurden.
1. Versuchsmaterial
Die zur Untersuchung verwendeten Einkristallstiibe kreiszylindrischer Form waren mir teils von Prof. S a c h s (seinerzeit Eaiser-Wilhelm-Inst. f. Metallforsch.), teils von Dr. MT e e r t s
(seinerzeit Techn. Hochschule, Berlin) freundlichst uberlassen
worden, wofiir ich den Herren auch an dieser Stelle meinen
verbindlichsten Dank ausspreche. Beide Probengruppen, die
im folgenden durch S bzw. W unterschieden sind, waren nach
dem Rekristallisationsverfahren hergestellt, ihre Einkristallnatur
war durch Atzen festgestellt worden. Die Oberflache der SKristalle war etwas starker zerkluftet, wahrend die W-Kristalle
eine sehr gleichmiiBige Oberfliiche mit ausgezeichneter gerichteter Reflexion zeigten. Der Reinheitsgrad sol1 bei den
S-Kristallen etwa 99,5 Ole, bei den W-Kristallen 99,7 o/io betragen.
Die kristallographischen Orientierungen der Proben, d. h.
die Winkel der Stabachse mit den kristallographischen Hauptachsen wurden im Kaiser-Wilhelm-Institut fur Metallforschung
dank dem Entgegenkommen der Herren Dr. B o a s , S c h m i d ,
W e e r t s auf rontgenographischem Wege (Drehkristd!verfahren)
bestimmt, nachdem sich die Ermittlung aus den Atzreflexen
als nicht genugend genau erwiesen hatte.
1) E. G o e n s , Naturwiss. l i . S. 180. 19W.
Annalen der Phgsik. 5. Folgc. 17.
16
234
Annalen. der
Physik. 5. Folgge. Band 17. 1933
Die Durchmesser der S- bzw. W-Proben betrugen ungefahr
4,7 bzw. 3,4 mm. lhre genauen mittleren Werte wurden aus
der Gesamtlange und Clem Gewicht unter Zugrundelegung einer
Dichte von 2,700 berechnet.
2. Theoretiache Grundlagen
Da der Aluminiumeinkristall dem kubischen System angehort, ist sein elastisches Verhalten durch die drei unabhangigen Hauptparameter s , !~ sI2, s4( vollstandig bestimmt, deren
Ermittlung Ziel der Untersnchung ist. Es wurde dabei so
vorgegangen, da8 an den verschiedenen Proben die reziproken
Dehnungsmoduln (spezifische Dehnung) s;:l und die reziproken
Drillungsmoduln (spezifische Drillung) 1/2 (& 4-&) im folgenden
abkiirzend mit so' bezeichnet, gemessen wurde. Beim kubischen
Kristall hangen diese GriiBen von den Hauptparanietern und
der Orientierung in folgender Weise ab I),
(1) (2)
1
+
= ~ 1 1 - 2 A I' - ( ~ k 4
2
1
= s~'=
~>j)
+ 4 A I'
wo A=sl1-sl2- - 2S 4 4 und I'=COS';/,
C O S ~ ~ , + C O S ' ~ ~ C O S
cos2ys cos27 , 2, und yl, y2, ys die Winkel zwischen der Stabachse und den elastischen Hauptachsen (Wiirfelkanten) bedeuten.
Die Orientierungsfunktion variiert zwischen 0 und 1/3 (Wiirfelkante bzw. Raumdiagonale). Nach (1) und (2) sind sk und s '
lineare Funktionen von I', die Richtungskonstante ist fur 8;
dem absoluten Betrage nach doppelt so groB und von entgegengesetztem Vorzeichen als von shs. Tragt man daher uber
3 I' als Abszisse (0 5 3 I's1 ) ~ k :im
~ positiven Richtungssinn,
sg' in halbem MaBstab im negativen Sinn als Ordinate auf, so
rnussen die Afe8punkte auf zwei parallelen Geraden liegen.
[loo] bzw. sg'[lOO])
Die Abschnitte auf der Ordinate 3 r = 0 (s:]:~
liefern unmittelbar sI1bzw. sg4, die Abschnitte auf 3 I ' = 1 sind
die spezifische Dehnung und Drillung fur die Raumdiagonale
(sb3[ll 13 bzw. so'[ Z 1 1 3 ferner ist
3
A = -(&g[lOO]
- s:~3[111])= 43-(s"111]
- so"lOO]).
2
s
~ so'= 2 sll + sg4, also eine van der
Gleichzeitig folgt, daB 2 S L +
Orientierung unabhgngige Konstante sein sollte. Durch die
Abschnitte s;g[lOO] = s l l , sg'[10O] = sg4 sowie A sind die drei
Hauptparameter sI1, s12,sd4 vollstkndig gegeben, wobei schon
1) W. V o i g t , Lehrbueh d. Kristallphys.
2) Oder auch =
2
(1. -
2
3
5 371 Formel (438) und (440).
c0s4 y.) =
2
3
sin22 yz
.
~ ~ ~ +
E. Goens.
l3lnstizitatskonstanten des AluminiumeinkristaUs
235
eine gewisse nberbestimmung in der zu fordernden Gleichheit
von A aus (1) und (2) liegt.
Eine weitere zusatzliche Bestimmung liefert die kubische
Kornpressibilitat x = 3 (sl, + 2 slo). Sie ist insofern eine wertvolle Erghzung, als sich, wie Ieicht ersichthh, s12 aus x
wesentlich sicherer berechnen l&Bt als aus A, sofern nur ein
einigermaBen zuverliissiger Wert von x vorliegt. Bei kubischen
Kristallen kann dafiir auch die Kompressibilitat des Polykristalls verwendet werden.') Fur die Beriicksichtigung der
Kompressibilitat bei der graphischen Ausgleichung erweist sich
folgende, aus (1) ableitbare Reziehung als niitzlich 3 (3s',7[11 11 Sad)
=x.
3. MeBmethode
Mit Riicksicht auf die leichte Deformierbarkeit der Proben
empfahl es sich, dynamische Methoden in Anwendung zu bringen.
Zur Ermittlung der sl33 wurde die erste und z, T. auch die
zweite Biegungseigenschwingung (Grundton bzw. erster Oberton)
der Proben durch akustiscben Schwebungsvergleich mit einem
Normaltonsender gemessen.2) sn8 berechnet sich dann unter
Voraussetzung eines kreiszylindrischen Querschnittes folgendermaBen :
hierin bedeutet die Dichte, 1 die Lainge, r den Radius, n die
Eigenschwingungszahl des Probestabes; die Konstanten k,
F (k), H (Ic) andern sich nur mit der Ordnungszahl q der Eigent h e , und zwar ist fur
q = l
k = 2,365 k4= 31,285 P ( k )= 12,37 H ( k ) = 3,42
q=2
3,927
237,72
27,23
12,'i 9
~
1) Ein EinfluS der Korngrenzen auf die Kompressibilitiit scheint
bisher nicht nachgewiesen zu sein.
2) Val. E. G o e n s . Ann. d. Phvs. 11. S. 649. 1931. besonders S. 666
in folkend& als I1 zitiert.
3) Die Formel ist die sinngemBBe Ubertragung der in I1 angegebenen
Gleichungen (20) und (30). Hierbei ist gesetzt,
ferner ist im Korrektionsfaktor (30) das Glied mit
vernachlassigt, die
anderen Glieder in leicht ersichtlicher Weise nmgruppiert und die
numerischen Konstanten zusammengezogen.
Der Ersatz 1/G durch
1
(sk
+
st5) ltiBt sich, worauf nicht naher eingegangen werden 8011,
2
rechtfertigen, wenn, wie im Text erwiihnt, n2 durch n'n" ersetzt wird.
If;*
-
AnnaEen der Physik. 5. P'olge. Rand
236
I?'. 1933
Der in eckigen Klammern stehende Faktor beriicksichtigt die
endliclie Stabdicke sowie die mit der Biegung verbundene
Der meist unvermeidScherung (,,Timoschenkokorrektion'.).
lichen geringen Elliptizitat der Stabe la& sich in der Weise
Itechnung tragen, daB man f u r die beiden moglichen Schwingungsebenen die Eigentiine n', n" bestimmt und in (3) n2
durch n'n" ersetzt.
Eine weitere prinzipiell erforderliche Korrektion, die von
der bei Kristallstaben im allgemeinen bestehenden Verkniipfung
zwischen Biegungs- und Drillungsvorggngen herriihrt (,,Biegungsdrillungseffekt"), wurde in einer fruheren Arbeit 1) (im folgenclen
mit I11 bezeichnet), abgeleitet, sie iibersclireitet aber bei den
ersten beiden Eigenschwingungen nur bei sehr gedrungener
Probenforni und grofier elastischer Anisotropie einige Promille.
lni vorliegenden Fall ist sie vollig belanglos und braucht nicht
weiter behandelt zu werden.
Die sg' wurden ebenfalls dynamiscli nach einer friiher
entwickelten Methode2) bestimmt. Sie beruht darauf, da8 die
Enden der Probestibe mit zwei gleichgebauten Zusatzmassen
(Endmassen) versehen und die Drillungsgrundschwingung dieses
Gebildes (Knoten in der Stabmitte, Schwingungen der Enden
um 180 O in ..tier Phase verschoben) auf elektroakustischem
Wege durch Uberlagerung mit dem erwahnten Normaltonsender
gemessen wird. Bezeichnet man mit J , das axiale Triigheitsmoment einer Endinasse, so gilt
(4)
1 p1.p
-(<
3 45,
1)) p Masse des Probestabes. Ton den
beiden letzten Korrektionsfaktoren in Bormel (4) tragt 1 + A
den1 Umstand Rechnung, daB die Endmassen nicht als absolut
starr anzusehen sind, er 1tiBt sicli auf Grund der Theorie gekoppelter Systeme mit ausreichender Genauigkeit errnitteln..7)
Die zweite Korrektion htingt mit dem eben erwahnten Biegungs1-xD
drillungseffekt zusammen. Sie hat die Form 71 =
, hierin
wo
CL
=
~
2 A2
I-%
ist x fur das lrubische System sk3 s,; W(yJ [ A wie in ( l ) , (Z),
P(yi)Orientierungsfunktion] und D eine GroBe, die sich in
~
1) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [5] 16. S. 455. 1932; Berichtigung
ebenda 16. S. 902. 1932, im besonderen G1. (52) und (53). Die dortige
Bezeichnungsweise entspricht der vorliegenden mit Ausnahme von k,
das a. a. 0. mit k, bezeichnet wurde.
2 ) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [5] 4. S. 733. 1930 (Beeeichnung I).
3) I, GI. (21).
E. G'oens. Elastizitatskoiistanten des Alur~ainiiLmei?ckrista7ls 237
ziemlich ltomplizierter Weise aus den hbmessungen, der Eigenschwingungszahl usw. der Probe berechnet, beziiglich der Einzelheiten muB auf I11 verwiesen werden.
4. Ergebnisse
In Tabellen l a und 1 b sind die nuinerischen Ergebnisse
der Messungen fur Zimmertemperatur zusammengest@lt. Tab. 1a
gibt zuniichst die Winkel yi, auWerdem sind zur Ubersicht in
-
Tabelle l a
__
1
-_
Kri-
3 r
stall
__
I
!I+
df
n' bieg.
,, [...I
r2
I
~
~
s 11
0,09,
s 5
0,17,
16,4,
s 21
S 25
__
s 16
13746
w
4
0,492
w 12
0,61,
14,5,
13,9i
Fig. 1 die Richtungen der Stabachsen im stereographischen
Lagendreieck eingetragen. Die Genauigkeit der Winkelmessung
diirfte einige Zehntel Grad betragen. Rei der Berechnung
von 3 Ir (Spalte 3) wurden die cosByi vorher so ausgeglichen,
Annalen der Physik. 5 . Folge. Rand 17. 1933
238
_iI
I(-cu
m
w
hl
7-l
L
O
m
co
1-I
*r0-
c-
2
rno
'0,
0
4
c-0
1 3
-!
1 0
m
12
tn
I
c\1
2
0
aI
1-
n
E. Goans. ~lustizitatskonstantendes AlunLiniuniei~zkristnlls 239
daB ihre Summe praktisch Eins war, indem die anfiinglichen
kleinen Abweichungen von Nins im Verhdtnis von sin 2 yi auf
die cosa yi aufgeteilt wurden. Spalte 4-43 bringen die Gesamtlangen der Proben, die mittleren Durchmesser, die gemessenen
Biegungseigenschwingungszahlen n', n" in beiden Ebenen fur
die Ordnungszahlen q = 1 und eventuell q = 2, weiter die
Timoschenkokorrektionen und endlich (Spalte 9) die mi!. den
vorangehenden Zahlen berechneten Werte von sj,. Die Ubereinstimmung der si3 aus Grundtori und
im!!
erstem Oberton ist befriedigend, wenngleich die kleine Differenz anscheinend
systematisch ist.
Die Angaben fur die Bestimmung
der sg' enthalt Tab. l b . Die Drillungseigenschwingungen (Spalte 5) wurden unter
Verwendung der Endmasse A und z. T.
#Zf* WIZ
auch von G gemessen. Die axialen Tragheitsinomente Jz dieser Endmassen betragen 1,153 bzw. 6,47 [g/cmal, ihre
esz5 J.16
sonstigen fur die Berechnung der Korrek- [no]
[I
tionsfaktoren in (4)benotigten Koastanten ~ i1. orientierUng
~ .
der
finden sich in I, Tab. 3, 111, Tab. 2. Etwas Kristallstlibe (in stereoschwierig war die Befestigung der End- graphischer Projektion)
massen auf den Staben. Sie wurde dadurch
bewerkstelligt, daB die Endflachen der Stabe zunachst mit
einer Schicht Aluminiumlot uberzogen wurden, auf die sich
dann die Endmasse mit W oodschem Metal1 anloten lieB.
Bei der Messung der S-Kristalle mit Endmasse A war die
Dicke dieser Lotschichten in der DrillungsmeBlange zunachst
vernachlassigt worden, nachdem sich aber herausgestellt hatte,
daB die Summe der Lotschichten doch etwa l/, mm, also ungefahr 7 O l o n der MeBlange betragen mochte, wurde bei spateren
Versuchen die Effektivlange durch Ausmessen der inneren Abstande der Endmassen bestimmt, wahrend die anf anglichen
MeBlangen durch schematische VergroBerung um 0,05 cm
korrigiert wurden (in Spalte 4 mit * bezeichnet).
Die Unstarrheitskorrektion A war bei den Versuchen mit
Endmasse A nicht unbetrachtlich, sie betrug fur die S-Proben
ziemlich gleichbleibend etwa 6 o/o, fur die W-Proben 11/a-2 o/o,
bei den Messungen mit Endmasse G nur wenige Promille.
Die in Spalte 6 angegebenen Zahlen fur sg' enthalten bereits
diese Korrektion.
bringen noch etwas eingehendere Angaben
Spalte 7-9
iiber die Biegungsdrillungskorrektion als Erganzung zu den
/q
240
Annalen der Physik. 5. Poige. Rand l 7 . 1933
in 111 aufgefiihrten Beispielen, zu denen bereits W 4 geh8rte.
lhre Besprechung muB im Interesse einer kurzen Darstellung
an die friihere Dislrnssion (111, S. 474ff.) ankniipfen. Infolge
der miiBigen elastischen Anisotropie betragen die GroBen x
nur wenige Promille. Da wie bei den friiheren Beispielen
die radialen Haupttragheitsachsen der Endmassen in der
Querschnittsebene des Stabes nicht nach dem theoretisch vorgeschriebenen Achsenkreuz, sondern nach dem Zufall orientiert
waren, sind fur D und 71 wieder die beiden J,= J L bzw. J,= J ,
entsprechenden Grenzwerte angegeben. Die damit korrigierten sg' finden sicli in Spalte 10, und zwar [snit Susnahme
yon W 4 (G) und IT121 die Mittel der Grenzwerte, sowie die
Abweichungen der Grenzwerte vom Mittel. Man ersieht aus
Fig. 2. Spezifische Debnung s:]
als Funktion yon 3 r
is
uud spezifische Drillung
(sil + ski)
Messungen mit Endmasse G
)
letzteren Zahlen, daB die hierdurch bedingte Unsicherheit zu
vernachlassigen oder doch init den sonstigen MeBfehlern vergleichbar ist, die fu r die Absolutwerte unter den obwaltenden
Verhiiltnissen auf etwa lo/, zu schatzen sind. Auch der
mittlere Betrag der Korrektion Iiegt ineist nnter 1 O/,, immerhin
bewirkt sie fast durchweg eine Verbesserung der inneren Ubereinstimmung der sg'- Als unverwertbar erwiesen sich auf Gruncl
der nachtraglich berechneten 9 lediglich neben der fruher erwahnten Messung an W 4 die an W 12 mit Endmasse A , sie
sind daher im folgenden nicht weiter beriicksichtigt.
In Fig. 2 sind die s;j,~ und sg' fur die einzelnen Proben
als Funktion von 3r in der in Abschn. 2 erwahnten Weise
graphisch dargestellt, bei den sg' ist das Unsicherheitsintervall
durch die Strichlangen angegeben. Den durch die MeBpunkte
E. Goens. Elastizit~tsko?istu?atendes Alunciniurneinicristulls 241
liindurchgelegten Geraden entsprechen folgende Werte fur die
elastischeri Hauptparameter bei Zimmertemperatur
sll = 15,9,.10-13, sI2=-5,80.10-13, s4$= 35,1,.10-13 [cm2/dyn],
gegeniiber den Zahlen der vorlaufigen Mitteilung sind sie um
etwa 1-2('/, verandert.
Die mit vorstehenden Zahlen nach Formel (1) und (2) fur
die einzelnen Proben bereehneten Werte sind in der letzten
Spalte der Tabellen l a und 1 b angegeben, die maximalen Abweichungen betragen fur 8;s etwa 0,5°/,, fur so' etwa lo/o.
Da alle Messungen nach dynamischen "Methoden ausgefuhrt wurden, sind die aufgefuhrten M'erte genauer gesagt
die adiabatischen Parameter.])
fjber die Ableitung der Zahlenwerte s Z k ist im einzelnen
noch folgendes zu sagen. Da den S ~ Qdie grol3ere Sicherheit
zulram, wurde zunachst fiir diese eine moglichst passende
Ausgleichsgerade gesucht, wahrend die Parallelgerade durch
die sg'- Werte wegen der geringeren Genauigkeit der Absolutwerte danach unter Beriicksichtigung der kubischen Kompressibilitat x (vgl.Abschn.2) festgelegt wurde. Herr Prof. B r i d g m a n
hatte hierbei die Freundlichkeit, an zwei Kristallstaben (S 25
sowie einem sonst nicht benutzten W-Kristall) x nach seiner
bewahrten Methode zu bestimmen, wofiir ich ihm zu groBen
Dank verpflichtet bin. Seine Originalznhlen fur die relative
isotherme Volumanderung sind:
s 2 5 300
w 300
750
-
~
vo
-13,2,*10-'p
1374,
13,7,
i
-55,5.10-12p2 p in kg/cm2,
Bereich
670
12 000 kg/cm2.
670
-
Hieraus berechnet sich im Mittel fur 20 O Xisoth. = 13,5,
[cm2/dyn]. Diese Zahl unterscheidet sich praktisch nicht von
dem Bridgmanschen Wert f u r den Polykristall. Fur die hier
gebrauchte adiabatische GroBe erhalt man durch Umrechnung
xadiab. = 12,9,.
[cmz/dyn], wahrend die angenommenen
Zahlenwerte fur die Hauptparameter 12,g0 ergeben. Endlicli
wurde noch fur samtliche Stabe niit Ausriahme von W 12
2
sg'= 2 sll s4& gebildet, der Mittelwert ist 66,9,.
in Ubereinstimmung mit der Berechnung aus den Hauptparam etern.
+
-
~ _ _ _
1) Uber den Zusammenhang zwischen adiabatischen und isothermen
GriiBen vgl. W. V o i g t , a. a. 0. § 393, fur A1 ist
= 0,0686-10-13.
PJCP
242
AnnalerL der I'hysik.
5 . Folge. Band 17. 1933
Im Vergleich zu anderen kubischen Metallen ist die
Anisotropie des Aluminiumkristalls maBig. Fur das Verbzw. sg' erhalt man
haltnis der Extremwerte der
~ ~ ~ [ l l l ] : ~ & [ l O=
O ]l:1720!,7 ~ ~ ' [ l l l ] : ~ ~ ' [ l O O=] 1,15ti:1.
Demgegenuber sind z. 13. die analogen Zahlen fur Au 1:2,7
bzw. 2,2: 1, F e 1 :2,2 bzw. 1,9: 1, Cu 1:2,9 bzw. 2 3 : 1.l)
Aus den obigen sik berechnet man fur die cik (,,Elastizit%konstanten" nach V oig t) folgende Zahlenwerte 2):
cI1 = 10,8,. 1011, c , =
~ 6,2,. loll, c,$ = 2,84. lo1' dyn/cm2.
Da das Gitter des Aluminiumkristalls als kubisch-flachenzentriertes Zentralsyinmetrie besitzt, sollte man nach der
Gittertheorie erwarten, da% die C a u c h y sche Relation ell = cd4
erfullt ist. Der experimentelle Befund zeigt jedoch, daB dies
keineswegs der Fall ist, das gleiche gilt auch fur die sonstigen
bisher untersuchten kubischen Metallkristalle.
Zusammenfaeeung
Durch dgnamische Messungen wurde fur eine Reihe von
Aluminiumeinkristallstaben verschiedener kristallographischer
Orientierung die spezifische Dehnung und Drillung bestimmt
und daraus Zahlenwerte fur die Hauptelastizitatsparameter siL
(,,Elastizitatsmodulnccnach Voigt) fur den Aluminiumeinkristall
abgeleitet. Die elastische Anisotropie ist im Vergleich zu
anderen kubischen Metallkristallen verhaltnismB6ig gering.
Weiter zeigt die Berechnung der c i k , daB die Cauchysche
Relation nicht annahernd erfullt ist.
1) Au: E. G o e n a , Naturw. 17. S. 180. 1929; Fe: E. G o e n s u.
E. S c h m i d t , ebenda 19. S. 521. 1931; Cu: E. G o e n s u. J. W e e r t s ,
Ztschr. f. Instrumentenkde 52. S. 167. 1931.
2) W. V o i g t , a. a. 0. 8 371, Forrnel (444).
B e r l i n - C h a r l o t t e n b u r g , PhysikaLTechn. Reichsanstalt.
(Eingegangen 22. April 1933)
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